三角函数的图象与性质最新衡水中学自用精品资料

三角函数的图象与性质
主标题：三角函数的图象与性质 副标题：为学生详细的分析三角函数的图象与性质的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：三角函数，正弦函数，余弦函数，图象与性质 难度：2 重要程度：4
考点剖析：
1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，π2上的性质.
命题方向：
1．三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，难度适中，为中低档题．
2．高考对三角函数单调性的考查有以下几个命题角度： (1)求已知三角函数的单调区间； (2)已知三角函数的单调区间求参数；
(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)． 规律总结：
2个性质——周期性与奇偶性 (1)周期性
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为
2π|ω|
，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|
. (2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．
3种方法——求三角函数值域(或最值)的方法 (1)利用sin x 、cos x 的有界性．
(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(或最值)．
(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(或最值)问题．
4个注意点——研究三角函数性质应注意的问题
(1)三角函数的图像从形上完全反映了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图像．
(2)闭区间上值域(或最值)问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的值域(或最值)问题，要讨论参数对值域(或最值)的影响．
(3)利用换元法求复合函数的单调性时，要注意x 系数的正负．
(4)利用换元法求三角函数值域(或最值)时要注意三角函数的有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x ，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误．
知 识 梳 理
正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x
图 象
定义域 R R ⎩⎨⎧ x ⎪
⎪ x ≠π
2＋k π，
k ∈Z }
值域
[－1,1]
[－1,1] R
单调性
递增区间： ⎣
⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2
(k ∈Z )； 递减区间： ⎣
⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2
(k ∈Z ) 递增区间： [2k π－π，2k π] (k ∈Z )； 递减区间： [2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) 递增区间：⎝
⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2
(k ∈Z )
最 值 x ＝2k π＋π
2
(k ∈Z )时，y max ＝
1；x ＝2k π－π
2(k ∈Z )时，
y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时， y min ＝－1
无最值
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
对称性 对称中心：(k π，0)(k ∈Z )
对称轴：x ＝k π＋π
2
，k ∈Z
对称中心：⎝⎛⎭⎫k π＋π
2，0(k ∈Z )
对称轴：x ＝k π，k ∈Z
对称中心：⎝⎛⎭⎫
k π2，0(k ∈Z )
无对称轴
周期
2π
2π
π。