高中数学分章节训练试题：34圆锥曲线与方程
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+ y 2-x-2 y -="0"B．x2+ y 2+x-2 y +1="0"C．x2+ y 2-x-2 y +1=0D．x2+ y 2-x-2 y +=0【答案】D【解析】主要考查抛物线的标准方程、几何性质、直线与圆的位置关系。
解：抛物线y 2=2x的准线为，验证圆心坐标适合y 2=2x且圆心到准线距离为半径。
选D。
2.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）A．y 2=-2x B．y 2=-4xC．y 2=2x D．y 2=-4x或y 2=-36x【答案】B【解析】主要考查抛物线的定义、标准方程。
解：由已知，抛物线开口向左，设y 2=-2px,则5+=6，所以p=2，y 2=-4x。
故选B。
3.过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y1) ，B(x2, y2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （）A．8B．10C．6D．4【答案】A【解析】主要考查抛物线的定义、标准方程。
解：因为直线AB过抛物线y 2=4x的焦点，所以由抛物线定义，|AB|==8，故选A。
4.把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、曲线的平移。
解：与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线方程为y 2=－4x，将其按向量a平移，即以分别代替y 2=－4x中的，得到，故选C。
5.抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为．【答案】2【解析】主要考查抛物线的标准方程及其几何性质。
解：抛物线y 2=4x的焦点为F（1,0），因为AB的长为4，所以A，B的纵坐标分别为代入y 2=4x得，故焦点到AB的距离为2.6.抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是．【答案】【解析】主要考查抛物线的标准方程及其几何性质，“点差法”求平行弦的斜率。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.过双曲线的右焦点有一条弦，,是左焦点，那么△的周长为（）A．28B．22C．14D．12【答案】A【解析】如图：由双曲线的定义得：∴△的周长为：。
【考点】双曲线的定义。
点评：此类问题用数形结合的思想来作，先直观观察，的解题思路，再利用双曲线的定义来做。
2.点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为（）A．0B．1C．D．2【答案】B【解析】由得曲线方程为:，点是抛物线的焦点，根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可得点到的顶点的距离最短，∴点到曲线上的点的最短距离为1。
【考点】抛物线的定义及其标准方程。
点评：本题综合性较强，考查了学生对知识的灵活应用能力。
本题把到焦点的距离转化成到准线的距离来做是一种常用的方法。
3.若AB为抛物线y2=2p x (p>0)的动弦，且|AB|=a (a>2p)，则AB的中点M到y轴的最近距离是（）A．a B．p C．a＋p D．a－p【答案】D【解析】如图，当直线AB过焦点F时，过点M作MH⊥Y轴于C交准线L于H ，则AB的中点M到y轴的最近距离即为|MC| .由|MH|=(|AE|+|BF|)=，∴|MC|=。
【考点】直线与抛物线的相交弦问题。
点评：利用数形结合，先直观观察，确定位置，利用抛物线定义把到焦点的距离转化为到准线的距离解决。
4.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）A．B．C．D．4【答案】D【解析】由椭圆的方程可得：a2=6，b2=2，∴c2=4，即c=2，∴椭圆的右焦点坐标为（2，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，∴抛物线y2=2px的焦点为（2，0），即=2，∴p=4．故选D。
【考点】本题主要考查圆锥曲线的几何性质。
点评：基础题，重在理解题意。
5.（12分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；【答案】(1) ； (2) .【解析】(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y),由得：由,点P在椭圆上,得,∴线段PA中点M的轨迹方程是.【考点】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质及中点坐标公式．点评：“相关点法”是求轨迹方程的基本方法，此类题目条件特征明显，关键是确定相关点的坐标关系。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.过抛物线的焦点的一直线交抛物线于两点，若线段的长为，则线段的长为 .【答案】【解析】根据题意，由于抛物线，可知焦点为（1，0），准线x=-1，则由于过抛物线的焦点的一直线交抛物线于两点，那么可知线段的长为，，那么设出直线PQ：y=k(x-1)与联立方程组得到，则可知=,故答案为【考点】抛物线的定义点评：解决的关键是理解抛物线定义中抛物线上点到焦点的距离等于到其准线的距离。
属于基础题。
2.已知抛物线，为抛物线的焦点，椭圆；（1）若是与在第一象限的交点，且，求实数的值；（2）设直线与抛物线交于两个不同的点，与椭圆交于两个不同点，中点为，中点为，若在以为直径的圆上，且，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）设，，代入又，（2）设中点，联立，得到，，，设中点，联立，，，，，由条件知，，，，，，，，又，，又，得到恒成立【考点】直线与椭圆的位置关系点评：解决的关键是能理解椭圆的性质，以及结合联立方程组的代数法思想来求解垂直时满足的条件，结合函数的知识得到范围。
属于中档题。
3.(本题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与该椭圆相交于和，且，，求椭圆的方程.【答案】，或【解析】解析：设所求椭圆的方程为，依题意，点P（）、Q（）的坐标满足方程组解之并整理得所以：，①由OP⊥OQ②又由|PQ|====③由①②③可得：故所求椭圆方程为，或【考点】椭圆方程点评：本试题考查了椭圆的方程的求解，利用待定系数法，来结合韦达定理来分析求解，属于基础题。
4.设双曲线(a>0, b>0)的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e= .【答案】【解析】渐近线为，右准线，联立方程得，△PQF是直角三角形代入坐标整理得，双曲线为等轴双曲线，【考点】求双曲线离心率点评：求圆锥曲线离心率关键是找到关于的齐次方程或不等式5.双曲线的焦距为【答案】【解析】根据已知等轴双曲线，可知a=b=1，那么结合=2，因此可知其焦距2c的值为，故答案为。
(易错题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．13B ．32C ．12D ．12．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =3．已知曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][),10,1-∞-B ．(]1,1-C ．[)1,1-D ．[]()1,01,-+∞4．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） A 23B 3C 2D ．25．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（ ）A ．16B ．8C ．4D ．26．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的值为（ ） A ．2B ．3C ．32D ．527．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 在C 的左支上，1AF x ⊥轴，A 、B 关于原点对称，四边形12AF BF 的面积为48，则12F F =（ ）A ．8B ．4C ．83D ．438．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM 的周长为（ ） A ．910+B ．926+C ．712612+ D ．832612+ 9．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切； 则以上说法中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．611．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3cos 5ABF ∠=，则双曲线的离心率为（ ） A ．5B ．3C ．2D12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B．2C ．13D二、填空题13．F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是C 上且位于第一象限内的点，点P 在C 的准线上的射影为Q ，且2PQ =，则PQF △外接圆的方程为_____.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F，直线:(l y k x =过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________.15．设12,F F 为椭圆22:14x C y +=的两个焦点，P 为椭圆C 在第一象限内的一点且点P的横坐标为1，则12PF F △的内切圆的半径为__________.16．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.17．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.18．已知双曲线的方程为221916x y -=，点12,F F 是其左右焦点，A 是圆22(6)4x y +-=上的一点，点M 在双曲线的右支上，则1||||MF MA +的最小值是__________.19．已知点1F ，2F 为椭圆22122:1x y C a b +=（0a b >>）和双曲线22222:1x y C a b -=''（0a '>，0b '>）的公共焦点，点P 为两曲线的一个交点，且满足01290F PF ∠=，设椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则221211e e +=___________． 20．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果AF BF =，那么AKF ∆的面积是______.三、解答题21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B 且左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上的动点，在点P 的运动过程中，有且只有6个位置使得12PF F 为直角三角形，且12PF F 的内切圆半径的最大值为22-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点B 作两条互相垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，记MN 的中点为Q ，求点A 到直线BQ 的距离的最大值.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B ，离心率为32，且直线AB 与圆224:5O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.23．已知圆M 的方程为222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．（1）求圆N 的方程；（2）圆N 与x 轴交于E F ，两点，圆N 内的动点D 使得,DE DO DF ，成等比数列，求DF DE →→⋅的取值范围；（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A B ，两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行，并说明理由．24．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线2:43C x y =的焦点重合，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率12e =，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若2OM ON ⋅=-. 求直线l 的方程；25．已知离心率22e =的椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0-.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且423AB =，求直线l 的方程. 26．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率． 【详解】解：由32c e a ==，得2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+，∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12． 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．B解析：B 【分析】分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程． 【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =， 则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =， 所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以132p FG FC ===， 因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．3．C解析：C 【分析】利用绝对值的几何意义，由3y x =+，可得0y ≥时，3yx ，0y <时，3y x =--，则可得曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，再无其它交点，把3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，分类讨论，可得结论 【详解】解：由3y x =+，可得0y ≥时，3y x，0y <时，3y x =--，所以曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=必交于点(0,3)，为了使曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点，则将3y x代入方程229ax y +=，得2(1)6990a y ay a +-+-=，当1a =-时，3y =满足题意，因为曲线1C ：3y x =+与曲线2C ：229ax y +=恰好有两个不同的公共点， 所以>0∆，且3是方程的根， 所以9(1)01a a-<+，即11a -<<时，方程两根异号，满足题意， 综上，a 的取值范围为[)1,1-， 故选：C 【点睛】此题考查曲线的交点问题，考查分析问题的能力，考查分类思想，属于中档题4．B解析：B 【分析】设直线l 的方程为()by x c a=--，求得点A 的坐标，由2BF AB =，可得出23FB FA =，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程，可得出a 、c 齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率. 【详解】 如下图所示：设直线l 的方程为()b y x c a=--，则直线OA 的方程为by x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =， 即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得e =故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2c =. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±， ∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =，∴24c ==当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方6．A解析：A 【分析】设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设双曲线2C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点()2,0F c ，因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==， 又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=， 所以122PF c a =-， 设椭圆的长轴长为2a '，根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，所以121122a a c a ae e c c c c'-+=+=+=. 故选：A. 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.7．A解析：A 【分析】设122F F c =，求出1AF，由题意可知四边形12AF BF 为平行四边形，根据四边形12AF BF 的面积为48可得出关于a 的等式，由此可求得12F F .【详解】设122F F c =，由于双曲线的离心率为2ce a==，2c a ∴=，则b =， 所以，双曲线C 的方程为222213x y a a-=，即22233x y a -=，将x c =-即2x a =-代入双曲线C 的方程可得3y a =±，13AF a ∴=，由于A 、B 关于原点对称，1F 、2F 关于原点对称，则四边形12AF BF 是平行四边形，四边形12AF BF 的面积2341248S a a a =⨯==，解得2a =，12248F F c a ∴===.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线几何性质的应用，利用四边形的面积求双曲线的焦距，解题的关键就是利用双曲线的离心率将双曲线的方程转化为只含a 的方程，在求解相应点的坐标时，可简化运算.8．B解析：B 【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM 的三边长度，从而周长可求. 【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A My y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又因为()1,0F ，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--， 又()24134y x y x⎧=--⎪⎨⎪=⎩，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，()()22434126BM =-+--=，所以ABM 的周长为：25112692644AB AM BM ++=++=+， 故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 9．D解析：D 【分析】由抛物线的性质可判断①；连接11,A F B F ，结合抛物线的性质可得1190A FB ∠=，即可判断②；设直线:2pAB x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】对于①，设,AF a BF b ==，则11,AA a BB b ，所以线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b， 所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确； 对于②，连接11,A F B F ，如图，因为11,AA AF BB BF ==，11180BAA ABB ，所以1118021802180AFA BFB ，所以()112180AFA BFB ∠+∠=，所以1190AFA BFB 即1190A FB ∠=，所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确； 对于③，设直线:2pAB x my =+，()()1122,,,A x y B x y ， 将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0∆>，则212y y p =-， 又2111112,,,,22y pOAx y y OB y p ， 因为2211222y y p pp ，221112121222y y y y y y p y p p p ，所以2112y OAOB p，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确； 对于④，不妨设(002A x px ，则002AT px k =，则直线002:x AT x x p =-，代入抛物线方程化简得0202220x px py p +=-， 则0020228x p ppx ⎛∆=- -=⎝，所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.10．A解析：A 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标. 【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=.故选;A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.11．A解析：A 【分析】在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率． 【详解】在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3cos 5ABF ∠=， 由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠， 从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．||16BF ∴'=，||10FF '=．2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =． 5ce a∴==． 故选：A.【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.12．B解析：B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b--+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=，因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+， 又1212011422AB y y k x x -+===--， 所以22212b a =，即2a b =，所以231c b e a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】由题可判断为直角三角形即外接圆的圆心为中点求出圆心和半径即可写出圆的方程【详解】由抛物线方程可知焦点准线方程为即则即为直角三角形外接圆的圆心为中点即圆心为半径为外接圆的方程为故答案为：【点睛 解析：()2212x y +-=【分析】由题可判断FPQ △为直角三角形，即PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程. 【详解】由抛物线方程可知焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，2PQ =，∴12P x +=，即1P x =，则2P y =， ()()1,2,1,2P Q ∴-，FP PQ ∴⊥，即FPQ △为直角三角形，∴PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，即圆心为()0,1，半径为122FQ = ∴PQF △外接圆的方程为()2212x y +-=.故答案为：()2212x y +-=.【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.14．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故解析：102【分析】取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.【详解】 如图，取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=， 因为22()0OP OF PF +⋅=，所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+， 由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =， 故2||2PF =，122PF a =+.在12Rt PF F 中，由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=， 即()242240a ++=，整理得2280a a +-=， 解得2a =.故双曲线C 的离心率为10c a =. 10【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】由点的横坐标为1代入得出点的纵坐标继而求得的面积S 再设的内切圆的半径为由可得答案【详解】因为点的横坐标为1所以点的纵坐标为所以的面积设的内切圆的半径为所以即所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆解析：3【分析】由点P 的横坐标为1，代入得出点P 的纵坐标，继而求得12PF F △的面积S ，再设12PF F △的内切圆的半径为r ，由()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，可得答案. 【详解】因为点P 的横坐标为1，所以点P 的纵坐标为P y =12PF F △的面积121322P F F y S ⋅==，设12PF F △的内切圆的半径为r ，所以()(1212122S F F PF PF r r =++⨯=+，即(322r +=，所以32r =-.故答案为：32-. 【点睛】本题考查椭圆的方程和椭圆的定义，以及焦点三角形的相关性质，属于中档题.16．【分析】设动圆的圆心为半径为R 根据动圆与圆外切与圆内切得到两式相加得到再根据椭圆的定义求解【详解】设动圆的圆心为半径为R 因为动圆与圆外切与圆内切所以所以所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆所以所以动圆解析：2212516x y +=【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切， 所以121,9QQ R QQ R =+=-， 所以1212106QQ QQ QQ +=>=， 所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆， 所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=，故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】由题意知可求的坐标由于轴可得利用抛物线的定义可得代入可取再利用即可得出的值【详解】解：如图所示与轴平行解得代入可取解得故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质平行线的性质三角形面积计 解析：6【分析】由题意知可求F 的坐标．由于//AB x 轴，||2||AF CF =，||||AB AF =，可得13||||22CF AB p ==，1||||2CE BE =．利用抛物线的定义可得A x ，代入可取A y ，再利用13ACE ABC S S ∆∆=，即可得出p 的值.【详解】 解：如图所示，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3||2CF p =，||||AB AF =.AB 与x 轴平行，||2||AF CF =，13||||22CF AB p ∴==，1||||2CE BE =．32A p x p ∴+=，解得52A x p =，代入可取5A y p =，1113535332ACE ABC S S p p ∆∆∴===，解得6p =．故答案为:6．【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出A 的坐标后，如何根据已知面积列出方程.18．【分析】设点的坐标为利用双曲线的定义可得于是转化求解即可【详解】解：由题意可得即则的坐标分别为由双曲线的定义得又是圆上的点圆的圆心为半径为2由图可知则的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的 解析：4+61【分析】设点C 的坐标为(0,6)，利用双曲线的定义，可得12||||26MF MF a -==，于是1||||MF MA +=2||||2||MF CM a CA ++-2||62CF ≥+-，转化求解即可．【详解】解：由题意可得，291625c =+=，即5c =，则1F ，2F 的坐标分别为(5,0)-，(5,0)，由双曲线的定义，得12||||26MF MF a -==，又A 是圆22(6)4x y +-=上的点，圆的圆心为(0,6)C ，半径为2， 由图可知，22||||||CM MF CF +≥，12||||||||2||MF MA MF CM a CA +=++-2||62461CF ≥+-=则1||||MF MA +的最小值为4+61 故答案为：4+61 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键，属于中档题．19．2【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得再结合离心率公式求解即可【详解】解：设P 为双曲线右支上的任意一点点分别为左右交点由椭圆定义有由双曲线定义有则即又则即所以即2故答案为：2【点睛】本题考查了椭圆及解析：2 【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得2'2a a +22c =，再结合离心率公式求解即可. 【详解】解：设P 为双曲线右支上的任意一点，点1F ，2F 分别为左、右交点， 由椭圆定义有122PF PF a +=，由双曲线定义有'122PFPF a -=，则212()PF PF +212()PF PF +-=22122()PF PF +2'24()a a =+，即2212PF PF +2'22()a a =+，又01290F PF ∠=，则222124PF PF c +=，即2'2a a +22c =，所以2'2222a a c c +=，即221211e e +=2， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了椭圆及双曲线的定义，重点考查了离心率的求法，属中档题.20．【分析】计算得到故为正三角形计算面积得到答案【详解】抛物线的焦点准线为l ：由抛物线的定义可得由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得即有为正三角形由F 到l 的距离为则的面积是故答案为：【点睛】本题解析：【分析】计算得到AF AK =，FK AF =，故AKF ∆为正三角形，4AK =，计算面积得到答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线为l ：1x =-，由抛物线的定义可得AF AK =， 由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得FK AF =， 即有AKF ∆为正三角形，由F 到l 的距离为2d =，则4AK =，AKF ∆16=.故答案为：【点睛】本题考查了抛物线中的面积问题，确定AKF ∆为正三角形是解题的关键.三、解答题21．(1) 22142x y += (2) 47【分析】（1）由条件得出当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △为直角三角形，则b c =，当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △的的内切圆半径的最大值，则22cbR a c==-+22222c a b a c =-=-，可求出椭圆方程. （2）由条件()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my n =+ ,与椭圆方程联立得出韦达定理，由1212122BM BN y yk k x x ⋅=⋅=---，结合韦达定理可得n 的值，从而得出点Q 的坐标，进而求出直线BQ 的方程，由点到直线的距离公式可得出答案 【详解】点P 为椭圆C 上的动点，当1PF x ⊥或2PF x ⊥时，12PF F △为直角三角形. 此时满足条件的点P 有4个，根据满足条件的点P 有6个. 则满足条件的点P 的另2个位置位于椭圆C 的上下顶点处.当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △为等腰直角三角形，即b c =12PF F △的内切圆半径我为R ，则()12121211222PF F P Sc y F F PF PF R ==++ 即()P c y a c R =+，所以Pc y R a c=+ 当点P 位于椭圆C 的上下顶点处时，12PF F △的的内切圆半径的最大值.所以2cb R a c ==+，即22c a c=+22222c a b a c =-=-，即a =解得2,a b =，所以椭圆C 的标准方程为：22142x y +=（2）由条件()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为x my n =+由22142x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222240m y mny n +++-=所以212122224,,22mn n y y y y m m --+=⋅=++据条件直线BM ，BN 的斜率存在，由条件可得1212122BM BN y yk k x x ⋅=⋅=--- 即1212122y y my n my n ⋅=-+-+-，即()()()2212121222y y m y y m n y y n -=+-++-所以()()()()2212121220m y y m n y y n ++-++-=则()()()2222242122022n mn m m n n m m --++-+-=++化简可得()()2320n n --=，即23n =或2n = 当2n =时，直线MN 过点B ，不满足条件.所以 23n =，则()12222243232m m y y m m -⨯-+==++ 由MN 的中点为Q ，则()2232Q my m -=+所以()()2222433232Q m x m m m -=⨯+=++所以()()222232434232BQm m m k m m -+==+-+所以直线BQ 的方程为()2234m y x m =-+，即()23420m y mx m +-+= 所以点()2,0A -到直线BQ 的距离为d ==47=≤=当且仅当22169mm=,即243m=时取等号.所以点()2,0A-到直线BQ的距离的最大值为47【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的几何性质和椭圆中的定点问题以及点到直线的距离的最值问题，解答本题的关键是由1212122BM BNy yk kx x⋅=⋅=---结合韦达定理得出n的值，进一步得出点Q的坐标()2232Qmym-=+，234BQmkm=+，得出直线BQ的方程为()2234my xm=-+，属于难题.22．（1）2214xy+=；（2）是定值，定值为2.【分析】（1）由题意可得==,a b的值，进而可得椭圆的方程；（2）设()()0000,0,0,P x y x y<<从而可表示出直线PA的方程，然后求出点M的坐标，得到BM的值，同理可得到AN的值，进而可求得四边形ABNM的面积，得到结论【详解】（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab+=，所以⎧=⎪=2a=，1b=，所以椭圆C的方程为2214xy+=，（2）证明：设()()22000000,0,0,44P x y x y x y<<+=.因为()()2,0,0,1A B，所以直线PA的方程为()22yy xx=--，令x=，得022M y y x =--， 从而002112M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=+令0y =，得001N xx y =--，从而00221N x AN x y =-=+-. 所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭‖ ()22000000000000000000444842244222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积.23．（1）222x y +=；（2）[)10-，；（3）平行，理由见解析． 【分析】(1)根据圆心距与圆M 半径的大小，判断两圆的位置关系为内切，进而根据MN R r =-求得圆N 的半径，最后写出圆N 的方程；(2)设动点()D x y ，，根据,DE DO DF ，成等比数列求得动点D 的轨迹方程，又结合动点是在圆内的，求出D 点纵坐标y 的取值范围，再将DF DE →→⋅表示为221y -，最后求得DF DE →→⋅的取值范围.(3) 因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -．接着联立直线MA 方程和圆的方程得到A 点的横坐标，同理得到B 点的横坐标，最后求得直线AB 和MN 的斜率相等，所以直线MN 和AB 是平行的. 【详解】解：1（）圆M 的方程可化为()()22118x y -+-=， 故圆心()11M ，，半径R = 圆N 的圆心坐标为()00，，因为MN =<所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M ，设其半径为r ，因为圆N 内切于圆M ，所以有MN R r =-r =，解得r =所以圆N 的方程为222x y +=；2（）由题意可知：()E，)F ，设()D x y ，，由,DE DO DF ，成等比数列，得2DO DE DF =⋅，22x y =+，整理得221x y -=，而())DE DF x y x y →→⋅=-⋅-，，())()2222x x y x y =⋅+-=+-()2221221y y y =++-=-，由于点D 在圆N 内，故有222221x y x y ⎧+<⎨-=⎩， 由此得2102y ≤<， 所以[)10DE DF →→⋅∈-，；3（）因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补， 故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数， 设直线MA 的斜率为k ，则直线MB 的斜率为k -． 故直线MA 的方程为()11y k x -=-， 直线MB 的方程为()11y k x -=--， 由()22112y k x x y ⎧-=-⎨+=⎩，得()()()222121120k x k k x k ++-+--=，因为点M 在圆N 上，故其横坐标1x =一定是该方程的解，222211A k kx k -∴+=+ 可得22211A k k x k --=+， 同理可得：22211B k k x k +-=+， 所以B AAB B Ay y k x x -=-()()3232222222222421111114212111B A MNB Ak k k k k k kk k x k x k k k k k k k k k x x k k --+-++++----+++=====+--++-++， 所以直线AB 和MN 一定平行． 【点睛】直线与圆，圆与圆的位置关系是圆锥曲线中比较常考的内容之一，需要注意一下几点： (1)圆与圆的位置关系的判断就是根据圆心距和半径和差之间的大小关系进行判断； (2)求动点的轨迹方程通常采用“建设限代化”五步骤来求动点的轨迹，切记求出方程之后，看有没有不满足题意的解，需要排除掉；(3)一般联立方程组之后，方程的两个解是直线与曲线交点的横坐标或者纵坐标，在已知一个坐标的情况下，另一个坐标可以通过韦达定理求得.24．（1）22143x y +=；（2）1)y x -或1)y x =-.【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，可得b =.（2）先验证直线斜率不存在时的可求，然后当直线斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，由12122OM ON x x y y ⋅=+=-，将韦达定理代入可得答案. 【详解】解：（1）由题意得，抛物线2:C x =的焦点为 ∴椭圆的一个顶点为，∴b =又∵12c e a ==, 222231114b e a a =-=-=， 所以2a =∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）由题意可知，直线l 与椭圆必相交，①当直线斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =，则331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则9124OM ON ⋅=-≠-，所以不合题意， ②当直线斜率存在时，设直线l 为(1)y k x =-且1122(,),(,)M x y N x y .由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ∴221222228412,3434k k x x x x k k-+=⋅=++. ∴[]21212121212()1OM ON x x y y x x kx x x x ⋅=+=+-++2222222224124128512(1)234343434k k k k k k k k k----=+-+==-++++. ∴22k =∴k =0∆>∴直线l的方程为1)y x =-或1)y x =-. 【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆与直线的位置关系，解得本题的关键是联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理得到221222228412,3434k k x x x x k k -+=⋅=++，由[]21212121212()1OM ON x x y y x x k x x x x ⋅=+=+-++，然后将韦达定理代入，属于中档题.25．（1）2212x y +=；（2）1y x =+或1y x =-.【分析】（1）由离心率求出a ，再求出b ，可得椭圆方程；（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后代入弦长公式12AB x =-可求得参数m 值得直线方程．【详解】（1）由题意知，1c =，c e a ==，∴a = 1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 化简，得2234220x mx m ++-=.由已知得，()2221612228240m m m ∆=--=-+>，即23m <，∴m <<1243m x x +=-，212223m x x -=.∴213AB x =-==， 解得1m =±，符合题意，∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交弦长问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交。
选择性必修第三章圆锥曲线的方程测试题(含答案)
选择性必修第三章圆锥曲线的方程测试题时间:120 分钟 满分:145 分 命卷人:卢焕邓 审核人:6、已知椭圆的焦距为 , 为右焦点,直线一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题 50 分)为 1、中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率为( )A.B.A.D.C.与椭圆 相交于 , 两点,是等腰直角三角形,点 的坐标,若记椭圆 上任一点 到点 的距离的最大值为 ,则 的值为( ) B. D. C.2、已知 为抛物线的焦点,过点 的直线 交抛物线 于 ,两点,若 A.,则线段 B.的中点 到直线 C.的距离为( ) D.7、若双曲线取值范围是( )A.B.与直线有交点,则其离心率的C.D.3、已知双曲线(,)的焦距为,且双曲线的一条渐近 8、已知椭圆 ：，双曲线 ：，若以线与直线平行,则双曲线的方程为( )的长轴为直径的圆与 的一条渐近线交于两点，且椭圆 与该渐近线A.B.C.D.的两交点将线段 三等分，则 的离心率是（ ）4、若直线交抛物线于 ， 两点，且线段 中点到A.B.C.D.轴的距离为 3，则（）A.12B.10C.8D.65、到两定点的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.双曲线D.两条射线9、已知 ， ， ， 为正实数，，是常数，且的最小值是 ，满足条件的点一弦的中点，则此弦所在的直线 的方程为（ ）A.B.C.10、已知直线与直线，其中 ， 是双曲线D. 的交点为 ,椭圆椭圆 于 、 两点,若线段 的长度为,则椭圆 的方程为__________.13、已知椭圆的左右两个焦点分别为 ， ，以为斜边的等腰直角三角形与椭圆有两个不同的交点 ， ，且，则该椭圆的离心率为__________.的焦点为 , ,则的取值范围是( )14、已知椭圆,其上一点到两个焦点的距离分A.C.B.D.二、填空题(每小题 5 分,共 7 小题 35 分)11、已知直线 过抛物线的焦点 ,交抛物线于,两点,若,则等于__________.别为 和 ,则该椭圆的离心率为__________,方程为__________.15、设双曲线 经过点，且与具有相同渐近线，则 的方程为__________；渐近线方程为__________.16、抛物线上一点__________， __________．到焦点的距离等于 ，则17、已知抛物线的焦点为 ,过点 且斜率为 的直线与抛物线相交于 , 两点,直线 与抛物线相切且,则直线 的方程为__________;为 上的动点,则的最小值是__________.12、已知椭圆的左、右焦点分别是 、 ,椭圆三、解答题(每小题 12 分,共 5 小题 60 分)上任意一点到 、 的距离之和为 ,过焦点 且垂直于 轴的直线交18、在平面直角坐标系 中,已知椭圆(1)求椭圆 的方程; 的焦距为 ,离 (2)若直线 与椭圆 交于 , 两点(点 , 均在第一象限),且直线 , ,的斜率成等比数列,证明:直线 的斜率为定值.心率为 ,椭圆的右顶点为 .21、已知动直线 垂直于 轴,与椭圆交于两点,点 在直(1)求该椭圆的方程;(2)过点作直线的斜率之和为定值.交椭圆于两个不同点 , ,求证:直线线 上,.,(1)求点 的轨迹 的方程;(2)直线 与椭圆 相交于,与曲线 相切于点 , 为坐标原点,求的取值范围.19、已知抛物线过点.(1)求抛物线 的方程;(2)求过点的直线与抛物线 交于 , 两个不同的点(均与点 不重合).设直线 , 的斜率分别为 , ,求证:为定值.22、已知圆 :和点, 是圆 上任意一点,线段 的垂直平分线交 (1)求 的方程;于点 ,设点 的轨迹为 .(2)若直线与曲线 相交于 , 两点,试问:在 轴上是否存在定点,使当 变化时,总有 说明理由.?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请20、已知椭圆的离心率为 ,且 过点.选择性必修第三章圆锥曲线的方程答案解析第 1 题答案 D 第 1 题解析 因为双曲线两条渐近线互相垂直,所以可得所以.,即为等轴双曲线,第 2 题答案 B 第 2 题解析如图,抛物线的焦点为,准线为为 , ,则有,则为直角梯形距离为 .中位线,则第 3 题答案B第 3 题解析,即,分别过 , 作准线的垂线,垂足∵双曲线(,过 的中点 作准线的垂线,垂足为,即 到准线的∴,,∵,)的焦距为 ,且双曲线的一条渐近线与直线,∴,,∴双曲线的方程为.第 4 题答案 C 第 4 题解析 直线 抛物线 设恒过点，点的准线方程为，，恰好是抛物线 ，的焦点 ，平行,线段 中点到 轴的距离为 3，则，.第 7 题解析 双曲线的焦点在 轴,一条渐近线方程为,只需这条渐近线比直线的斜率大,即第 5 题答案 D 第 5 题解析 因为,正好为定值,所以轨迹为以第 6 题答案 C 第 6 题解析,、为端点的两条射线. 第 8 题答案A第 8 题解析由已知得. ，设 的方程为， 可设，进一步可由题意可得,所以不妨设点 的坐标为,代入椭圆方程有得,又，得，∴ 的一个三分点坐标为,所以 圆 的方程可化为,解得或,设点 的坐标为,则(舍去),所以 ,所以,所以椭，该点在椭圆上，∴，即，解得，从而有，解得,所以,.，故选 A.第 7 题答案 C第 9 题答案 D第 9 题解析，当且仅当,所以时等号成立，由题意，所以，又.设双曲线一弦的两端点为线 的斜率一定存在，且，，，则线段 的中点是.设直线 的斜率为 ，则，，两式相减得，故 时,，直取得最小值 ,当的取值范围是.，所以第 11 题答案，所以直线 得方程为第 11 题解析 ，即.故选 D.由题知,.第 10 题答案 C 第 10 题解析第 12 题答案由椭圆的方程 ,且两直线,可得其焦点为,,又由直线第 12 题解析与直线由题知 的交点为 ,可知两直线经过分别经过定点,得 ,,所以两直线的交点 满足,设设 ,其中,代入椭圆, ,即，则,同理可得 所以,得,时, ,解得,当 取得最小值 ,所以,所以椭圆 的方程为.第 13 题答案故答案为:.第 14 题答案第 13 题解析∵以 为斜边的等腰直角三角形与椭圆有两个不同的交点,且∴,∵,第 14 题解析 设椭圆的左焦点为, ,,右焦点,由椭圆定义可得,又有,同理可得到,,.第 15 题答案, 椭圆方程为∴., ,于是得到,联立两式可得到 .第 15 题解析 待定系数法求双曲线方程.设双曲线 的方程为，将点代入上式，得的方程为，其渐近线方程为.第 16 题答案由 ，,化简得 ,解得,代入得值为 .第 16 题解析 由题意得,代入抛物线方程得第 18 题答案 见解析 第 18 题解析. (1)由题意可知,椭圆第 17 题答案,则,,由于直线和抛物线相切,判别式,故直线 的方程为.设直线 上任意一点的坐标,当时取得最小的焦点在 轴上,, ,椭圆的离心率,则椭圆的标准方程;第 17 题解析 依题意可知,抛物线的焦点坐标为,由于直线的斜率为 ,故直线方程为,由,解得(2)证明:设,,,当斜率,即不存在时,与椭圆只有一个交点,不合题意,由题意 的方程, .设直线 的,则联立方程方程为,,整理得,由韦达定理可知 由,,则,则,,∴直线 , 的斜率之和为定值 .第 19 题答案 见解析 第 19 题解析(1)由题意得,所以抛物线方程为.(2)设,,直线 的方程为,所以,,代入抛物线方程得,,故, 所以为定值 .第 20 题答案(1);(2)见解析,. 第 20 题解析(1)由题意可得解得故椭圆 的方程为.(2)由题意可知直线 的斜率存在且不为 ,设直线 的方程为,由消去 整理得∵直线 与椭圆 交于两点, ∴设点 , 的坐标分别为,,则,,∴ ∵直线 , , 的斜率成等比数列, ∴,整理得∴,又,∴结合图形可知, ,故直线 的斜率为定值.第 21 题答案 见解析 第 21 题解析, .(1)设 ∴ ∴,,则由题知,,,,,由在椭圆上,得,所以故点 的轨迹 的方程为..(2)当直线 的斜率不存在时,.当直线 的斜率存在时,设其方程为 ,,,,联立,,所以;联立,, , ,令,所以,当时,即时,小值;综上:的取值范围为第 22 题答案 见解答 第 22 题解析(1)圆 :,圆心又,所以,所以由椭圆的定义知点 的轨迹是以 ,为焦点的椭圆,设其标准方程 :,则,,所以,.,∴曲线 :.,(2)设存在点,满足题设,联立直线与椭圆,消去 ,取最大值 ,当时,即时, 得取最,设,,则由韦达定理得,①.,②,由已知得由题设知 平分直线 与直线 的倾斜角互补,,即直线 与直线 的斜率之和为零,即,即,③把①、②代入③并化简得,④所以当 变化时④成立,只要即可,所以存在定点满足题设.。
圆锥曲线与方程测试题(带答案)
圆锥曲线与方程测试题(带答案) 圆锥曲线与方程单元测试本次测试时长为90分钟，总分为120分。
一、选择题（每小题5分，共60分）1.椭圆 $x+my=1$ 的焦点在 $y$ 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 $m$ 的值为（）。
A。
2.B。
1/2.C。
4.D。
-1/22.过抛物线 $y=4x$ 的焦点作直线 $l$ 交抛物线于 $A$、$B$ 两点，若线段 $AB$ 中点的横坐标为 $3$，则 $|AB|$ 等于（）。
A。
10.B。
8.C。
6.D。
43.若直线 $y=kx+2$ 与双曲线 $x-y=6$ 的右支交于不同的两点，则 $k$ 的取值范围是（）。
A。
$(-15/3,-5/3)$。
B。
$(5/3,15/3)$。
C。
$(-\infty,-1)$。
D。
$(-1,\infty)$4.（理）已知抛物线 $y=4x$ 上两个动点 $B$、$C$ 和点$A(1,2)$，且 $\angle BAC=90^\circ$，则动直线 $BC$ 必过定点（）。
A。
$(2,5)$。
B。
$(-2,5)$。
C。
$(5,-2)$。
D。
$(5,2)$5.过抛物线 $y=2px(p>0)$ 的焦点作直线交抛物线于$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$ 两点，若 $x_1+x_2=3p$，则$|PQ|$ 等于（）。
A。
$4p$。
B。
$5p$。
C。
$6p$。
D。
$8p$6.已知两点 $M(1,5)$，$N(-4,-4)$，给出下列曲线方程：①$4x+2y-1=0$；②$x+y=3$；③$2x^2+y^2=1$；④$-y^2=1$。
在曲线上存在点 $P$ 满足 $|MP|=|NP|$ 的所有曲线方程是（）。
A。
①③。
B。
②④。
C。
①②③。
D。
②③④7.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的两个焦点为 $F_1$、$F_2$，点 $A$ 在双曲线第一象限的图象上，若 $\triangle AF_1F_2$ 的面积为 $1$，且 $\tan\angleAF_1F_2=1$，$\tan\angle AF_2F_1=-2$，则双曲线方程为（）。
圆锥曲线与方程练习题7套(含答案)
圆锥曲线与方程练习题7套(含答案)双基限时练(九)1．命题“曲线上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下面命题中正确的是( )A．方程f(x，y)＝0的曲线是B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是．f(x，y)＝0是曲线的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上解析由题设知曲线与方程f(x，y)＝0不是对应关系，所以答案B正确．答案 B2．下列各对方程中，表示相同曲线的一组是( )A．y＝x与y＝x2B．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0．y＝1x与xy＝1D．y＝lgx2与y＝2lgx解析易知A，B，D中两方程不是同一曲线，中两方程表示的是同一曲线，故应选.答案3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( ) A．两个点B．四个点．两条直线 D．四条直线解析由方程⇔x2－4＝0且y2－4＝0，即x＝±2且y＝±2，因此方程表示四个点(2,2)，(2，－2)，(－2,2)，(－2，－2)．答案 B4．已知0≤α≤2π，点P(sα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )A.π3B.5π3.π3或5π3 D.π3或π6解析依题意有(sα－2)2＋sin2α＝3，化简得sα＝12，又0≤α≤2π，∴α＝π3或5π3，故选.答案5．直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是( )A．(1,1) B．(－1，－1)．(1,1)和(－1，－1) D．(0,0)解析x－y＝0，xy＝1⇒x＝1，y＝1或x＝－1，y＝－1.∴直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是(1,1)和(－1，－1)．答案6．方程y＝|x|x2表示的曲线是( )解析y＝|x|x2＝1x x>0，－1xx<0，且y>0，还是偶函数，故应选D.答案 D7．若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)(a∈R)，则k 的取值范围是________．解析依题意，知a2＝a(－a)＋2a＋k，∴k＝2a2－2a＝2(a－12)2－12.∵a∈R，∴k≥－12.答案[－12，＋∞)8.如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，P⊥y 轴，垂足为，点N与点P关于x轴对称，且P→•N→＝4，则动点P的轨迹方程为________．解析依题意可知(0，y)，N(x，－y)，∴P→＝(x，y)，N→＝(x，－2y)．由P→•N→＝4，得x2－2y2＝4，这就是点P的轨迹方程．答案x2－2y2＝49．若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程是________________．解析设PQ的中点(x，y)，P(x0，y0)，则x＝x0＋02，y＝y0－12，又∵点P在y＝2x2＋1上，∴y0＝2x20＋1，即2y＋1＝2(2x)2＋1，∴y＝4x2.即y＝4x2为所求的轨迹方程．答案y＝4x210．已知定点A，B，且AB＝2a(a>0)，如果动点P 到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程．解以AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(－a,0)，B(a,0)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得|PA||PB|＝2，即x＋a2＋y2x－a2＋y2＝2.化简整理得3x2－10ax＋3y2＋3a2＝0.即(x－53a)2＋y2＝169a2(a>0)为所求的轨迹方程．11．如图所示，从曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l：x ＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．解设P点的坐标为(x，y)，曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，因为点P是线段QN的中点，所以N的坐标为(2x－x0,2y －y0)．又点N在直线l上，即x0＋y0＝2x＋2y－2.①又QN⊥l，∴kQN＝2y－y0－y02x－x0－x0＝1即x0－y0＝x－y.②由①②得x0＝12(3x＋y－2)，y0＝12(x＋3y－2)．又因为点Q在曲线上，∴14(3x＋y－2)2－14(x＋3y－2)2＝1.化简整理得(x－12)2－(y－12)2＝12.故线段QN的中点P的轨迹方程为(x－12)2－(y－12)2＝12.12．已知两点A(0,1)，B(1,0)，且|A|＝2|B|，求证：点的轨迹方程为x－432＋y＋132＝89.证明设点的坐标为(x，y)，由两点间距离公式，得|A|＝x－02＋y－12，|B|＝x－12＋y－02.∵|A|＝2|B|，∴x－02＋y－12＝2x－12＋y－02.两边平方，并整理得3x2＋3y2＋2y－8x＋3＝0.即x－432＋y＋132＝89.①∴轨迹上每一点的坐标都是方程①的解．设1(x1，y1)是方程①的解，则x1－432＋y1＋132＝89，即3x21＋3y21－8x1＋2y1＋3＝0.|1A|＝x1－02＋y1－12＝x21＋y21－2y1＋1＝x21＋y21＋3x21＋3y21－8x1＋3＋1＝2x1－12＋y1－02＝2|1B|.即1(x1，y1)在符合条件的曲线上．综上可知，点的轨迹方程为x－432＋y＋132＝89.。
圆锥曲线求方程真题练习(解析版)
圆锥曲线求方程真题练习（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =．(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．2．已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭两点． (1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；①PQ AB ∥；①||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.4．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ，（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求①AMN 的面积的最大值.9．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．10．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析11．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.12．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.13．已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．14．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.15．已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ①x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.（1C 上. （①）求C 的方程；（①）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.17．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.18．已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆的焦点，直线AFO 为坐标原点． (1)求E 的方程； (2)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程．19．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 M ：22221x y a b +=（ 0a b >>）右焦点的直线0x y +交 M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且 OP 的斜率为12.（①）求椭圆M 的方程； （①）C ， D 为M 上的两点，若四边形ACBD的对角线 CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，长轴长为4，离心率为12．过点(4,0)Q 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线,AF BF 的斜率分别为()122,0k k k ≠，求证：12k k 为定值．。
(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线C 的右支上，点N 在线段12F F 上（不与12,F F 重合），且1230F MN F MN ︒∠=∠=，若2132MN MF MF -=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±2．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．34yx C ．35y x =±D ．53y x =±3．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的一条弦（与x 轴不垂直），其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||AB m FG =，则m =（ ） A ．23B ．2C ．34D ．34．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．C ．)+∞D ．5．已知点F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点且点P 不在x 轴上，点M 是线段PF 的中点，点O 为坐标原点.连接OM 并延长交圆222x y a +=于点N ，则PFN 的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由点P 位置决定6．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（ ）A B ．15C ．14D ．47．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为 （ ）A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，P 是双曲线C 右支上一点，且212PF F F =.若直线1PF与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．43B ．53C ．2D ．39．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．45π B ．34π C．(6π-D ．54π 10．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（ ） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-11．双曲线2214x y -=的离心率为（ ）ABCD12．已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在xM 在C 上，且12MF MF ⊥，MC 的方程为（ ）A ．22148x y -=B ．22148y x -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，且3FB AF =，则该双曲线的离心率为_______．15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为_____________．16．已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，13PF =，123F PF π∠=，则b =______． 17．已知抛物线C ：24y x =，点N 在C 上，点()(),00M a a ->，若点M ，N 关于直线()31y x =-对称，则a =_____.18．设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=，则12F PF △的面积等于________．19．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，已知两个顶点A 、D 为双曲线W 的两个焦点，其余四个顶点都在双曲线上，则双曲线W 的离心率为________________；20．已知为()0,1A -，当B 在曲线221y x =+上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是___________________.三、解答题21．已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a +=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.22．如图，直线:l x ty n =+与抛物线2:C y x =交于A ，B 两点，且l 与圆22:1O x y +=相切于点()00,P x y ．（Ⅰ）证明：00ny t +=； （Ⅱ）求||||PA PB ⋅（用n 表示）23．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F 32a b =，其中A 为左顶点，O 为坐标原点．（1）求椭圆离心率e 的值；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线相切，圆心C 在直线1x =上，且//OC AP ，求椭圆方程．24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B 3AB 与圆224:5O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.25．已知P 是椭圆22:18x C y +=上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线PA 的斜率； （2）若Q 是圆221:(1)49D x y ++=上的动点，求PQ 的最小值. 26．已知抛物线：()()()222:2,2,0,2,00C y x M a N a a =->，过点M 垂直于x 轴的垂线与抛物线C 交于,B C ，点,D E 满足(),01CE CN ND NB λλλ==<<（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点Q ，记BCQ △与DEN 的面积分别为12,S S ，求12S S 的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据2132MN MF MF -=可得122F N F N =，所以112MF NMF NS S=，然后用面积公式将两个三角形面积表示出来，可得122MF MF =，再结合122MF MF a -=，余弦定理，可得a 、c 的关系，再利用222c a b =+ ，即可求出ba的值，进而可得渐近线方程. 【详解】∵2132MN MF MF -=，∴2122MN MF MF MN -=-，∴212F N NF =， ∴122F N F N =，∴122MF NMF NS S=．∵111||sin 302MF NSMF MN ︒=⋅⋅⋅，221||sin 302MF NS MF MN ︒=⋅⋅⋅， ∴122MF MF =，又122MF MF a -=，∴ 则124,2MF a MF a ==．在12MF F △中，由余弦定理得，222224164812c a a a a =+-=，故223c a =，∴222b a =，∴ba=，故所求渐近线方程为y =， 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，涉及了三角形面积公式、向量的线性运算、余弦定理，属于中档题.2．A解析：A 【分析】结合直线和圆的位置关系以及双曲线的定义求得,a b 的关系式，由此求得双曲线的渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222x y a +=相切于点M ，则2,OM a OM PF =⊥， 取线段2PF 的中点N ，连接1NF ， 由于1122PF F F c ==， 则122,NF PF NP NF ⊥=，由于O 是12F F 的中点，所以122NF OM a ==，则2NP b ==，即有24PF b =，由双曲线的定义可得212PF PF a -=， 即422b c a -=， 即2,2b c a c b a =+=-，所以()2222b a a b -=+，化简得2434,34,3b b ab b a a ===， 所以双曲线的渐近线方程为43y x =±. 故选：A【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于中档题.3．B解析：B 【分析】联立直线AB 与抛物线方程，求出E 点坐标以及直线EG 的方程，可得||FG ，利用定义求出弦长||AB ，可得m 的值． 【详解】设:1AB x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ，联立方程组214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty --=，所以124y y t +=，12022y y y t +==，2021x t =+，即()221,2E t t +，所以EG 的方程为()2221y t t x t -=---.令0y =，得223x t =+，因此()2||21FG t =+.又12||2AB x x =++=()()2122241t y y t +++=+，所以1||||2FG AB =，从而2m =. 故选：B 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．4．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=， 点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，2a =，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得e >故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5．B解析：B 【分析】根据定义可得12PF PF a +=，进而得出OM PM a +=，根据MN ON OM =-求出MN PM MF ==，得出90PNF ∠=，即可判断. 【详解】设F 是右焦点，左焦点为1F ，12PF PF a ∴+=，在1PFF 中，,O M 分别是1,FF PF 中点，12,2PF OM PF PM ∴==，1222PF PF OM PM a ∴+=+=，即OM PM a +=，()MN ON OM a a PM PM ∴=-=--=，MN PM MF ∴==，∴N 在以线段PF 为直径的圆上，90PNF ∴∠=,故PFN 的形状是直角三角形. 故选：B.【点睛】本题考查椭圆定义的应用，解题的关键是应用椭圆的定义得出MN PM MF ==，从而判断90PNF ∠=.6．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得115b a =，从而求得其离心率. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b =∠==，所以115b a =，所以22411515c b e a a ==+=， 故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.7．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y 由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．8．B解析：B 【分析】设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，根据三角形中位线性质可求得2AF ；结合双曲线定义可求得1AF ，在12Rt AF F △中利用勾股定理可构造关于,a c 的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果. 【详解】设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，连接2,OB AF ，212PF FF =，A 为1PF中点，21AF PF ∴⊥， 圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，1OB PF ∴⊥且OB a =，2//OB AF ∴，又O 为12F F 中点，222AF OB a ∴==；由双曲线定义知：122PF PF a -=，即112122PFF F PF c a -=-=， 1112AF PF a c ∴==+，又122F F c =，21AF PF ⊥， 2222112AF AF F F ∴+=，即()22244a a c c ++=，整理可得：223250c ac a --=，即23250e e --=，解得：53e =或1e =-（舍去）， ∴双曲线的离心率为53.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解问题，解题关键是能够在直角三角形中，利用勾股定理构造出关于,a c 的齐次方程，进而配凑出关于离心率的方程.9．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为1125225O l d -==，圆C 面积的最小值为22545ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.10．A解析：A 【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12， 所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==， 所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=， 两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ， 即143OD AB k k =-， 同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-， 又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-， 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．C解析：C 【解析】双曲线2214x y -=中，222224,1,5,a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.12．C解析：C 【解析】12,MF MF ⊥∴由直角三角形的性质可得1MO FO c ==，又3,c a =21,312a b ∴==-=，C ∴的方程为2212y x -=，故选C. 二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB方程为3)34y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．【分析】由题意得解方程即可求解【详解】由题意得由题得∴整理得即∴即故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法考查了直线与双曲线的简单几何性质属于中档题【分析】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =，tan tan b BOF AOF a∠=∠=，4tan tan 2bBOA BOF a∠=∠=，解方程即可求解. 【详解】由题意得FA b =，3FB b =，OA a =， 由题得tan tan b BOF AOF a∠=∠=， ∴24tan tan 21()b b b a a BOA BOF b a a+∠==∠=-， 整理得222a b =，即2222()a c a =-， ∴2232a c =，232e =，即e =．故答案为：2【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，考查了直线与双曲线的简单几何性质，属于中档题.15．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF和2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．【详解】由题意可得2c =，则2124F F c ==．因为直线l 的斜率是3，则12sin 10PF F ∠=，12cos 10PF F ∠=． 因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，所以11212cos 5PF F F PF F =∠=，21212sin 5PF F F PF F =∠=，则2125PF PF a -==，故双曲线C 的离心率为c a =【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．16．【分析】作出图形利用椭圆的定义可求得利用余弦定理可求得的值进而可求得的值【详解】根据椭圆的定义：在焦点中由余弦定理可得：则所以故答案为：【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数考查解析：32【分析】作出图形，利用椭圆的定义可求得2PF ，利用余弦定理可求得c 的值，进而可求得b 的值. 【详解】根据椭圆的定义：2231PF a =-=，在焦点12PF F △中，由余弦定理可得：222212121242cos 73c F F PF PF PF PF π==+-⋅=，274c ∴=，则22279444b a c =-=-=，所以，32b =. 故答案为：32.【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数，考查计算能力，属于中等题.17．3【分析】设MN 关于直线对称等价于MN 中点在直线上且MN 与直线斜率相乘为联立方程可用表示再利用在抛物线上将点代入抛物线方程即可求出【详解】设因为点MN 关于直线对称所以中点在直线上且与直线垂直则中点为解析：3 【分析】设()00,N x y ，M ，N 关于直线)31y x =-对称等价于MN 中点在直线上，且MN 与直线斜率相乘为1-，联立方程，可用a 表示00,x y ，再利用()00,N x y 在抛物线上，将点代入抛物线方程，即可求出a . 【详解】设()00,N x y ，因为点M ，N 关于直线)31y x =-对称， 所以MN 中点在直线上，且MN 与直线垂直，则MN 中点为00,22x a y ， 003122y x a， 且MN 与直线垂直，0031y x a， 联立方程可得00333,22a a x y ，点N 在抛物线上，2333422a a ，解得3a =或73a =-（舍去）， 3a ∴=.故答案为：3 【点睛】本题考查点与点关于直线的对称问题，知道中点在直线上且两点间连线与直线垂直是解决问题的关键.18．1【分析】利用椭圆的定义与勾股定理可得再由三角形面积公式可得结果【详解】因为是椭圆的两个焦点点在椭圆上且满足所以所以则的面积等于故答案为：1【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质意在考查学生灵活应解析：1 【分析】利用椭圆的定义与勾股定理可得122PF PF ⋅=，再由三角形面积公式可得结果. 【详解】因为1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足122F PF π∠=， 所以122221224412PF PF a PF PF c +==⎧⎨+==⎩ ()()222121212216124PF PF PF PF PF PF ⇒⋅=+-+=-=，所以122PF PF ⋅=， 则12F PF △的面积等于12112PF PF ⋅=， 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，意在考查学生灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.19．【分析】利用余弦定理求得由双曲线的定义可得的值由此求出的值【详解】解：设正六边形的边长为1中心为以所在直线为轴以为原点建立直角坐标系则在中由余弦定理得故答案为：【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的 1【分析】利用余弦定理求得AE ，由双曲线的定义可得2a AE DE =- 的值，由此求出e 的值． 【详解】解：设正六边形ABCDEF 的边长为1，中心为O ，以AD 所在直线为x 轴，以O 为原点，建立直角坐标系，则1c =，在AEF ∆中，由余弦定理得22212cos120112()32AE AF EF AF EF =+-︒=+--=，3AE ∴=，231a AE DE =-=-，312a -∴=， 131312c e a∴===+-， 故答案为：31+．【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，计算2a AE DE =- 的值是解题的关键．20．【分析】设出的坐标求出的坐标动点在抛物线上运动点满足抛物线方程代入求解即可得到的轨迹方程【详解】解：设的坐标由题意点与点所连线段的中点可知动点在抛物线上运动所以所以所以点与点所连线段的中的轨迹方程是 解析：24y x =【分析】设出M 的坐标，求出P 的坐标，动点P 在抛物线221y x =+上运动，点P 满足抛物线方程，代入求解，即可得到M 的轨迹方程． 【详解】解：设M 的坐标(,)x y ，由题意点B 与点(0,1)A -所连线段的中点M ，可知(2,21)B x y +，动点B 在抛物线221y x =+上运动，所以2212(2)1y x +=+，所以24y x =． 所以点B 与点(0,1)A -所连线段的中M 的轨迹方程是：24y x =． 故答案为：24y x =． 【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，相关点法，是常见的求轨迹方程的方法，注意中点坐标的应用，属于中档题．三、解答题21．（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求解即可得结果；（2）设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y yx x +=--，通过计算化简即可求得定点. 【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a = 所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩， 得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，∴1212066y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=， 即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点．22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）||||PA PB ⋅21n n =--，1n ≤-或1n ≥.【分析】（Ⅰ）利用圆心到直线的距离为半径可得221n t =+，结合00x ty n =+以及点P 在圆上可得01nx =，在00x nt y -=消去n 后可得所求证的关系式. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则||||PA PB ⋅可用前者的纵坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简||||PA PB ⋅，则可得其表达式. 【详解】解：（Ⅰ）若00y =，则直线l 垂直于x 轴，此时0t =，故00ny t +=成立， 若00y ≠，因为直线:l x ty n =+1=，整理得到：221n t =+，又00x ty n =+，故()222022121x n nx n n y y --+=+=， 整理得到2200120nx n x -+=即01nx =，而20000000000011x x x n x x y t ny y y y x ---====-=-即00ny t +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ． 联立2x ty ny x=+⎧⎨=⎩，得20y ty n --=，∴12y y t +=，12y y n =-． 由（Ⅰ）可得221n t =+，故1n ≤-或1n ≥，而240t n ∆=+>，故2410n n +->即2n <-2n >- 故1n ≤-或1n ≥.而1020||||PA PB y y ⋅=--()()221201201t y y y y y y =+-++()22222220021t t t t t n ty y n n t n n n n n n--⎛⎫=+--+=--⨯+=-++ ⎪⎝⎭222211n n n n n n--=-++21n n =--，其中1n ≤-或1n ≥. 【点睛】思路点睛：对于直线与抛物线、圆的位置关系的问题，前者可设而不求（即韦达定理）来处理，后者利用几何方法来处理，计算过程中注意判别式的隐含要求以及代数式非负对应范围的影响.23．（1）12；（2）22413y x +=．【分析】（1）由已知等式结合222a b c =+可得离心率ca； （2）由（1）可得椭圆方程为2222143x y c c+=，写出直线l 方程，与椭圆方程联立可求得交点P 坐标，由//OC AP ，求得C 点坐标，这样由圆与x 轴相切得半径，再由圆与直线l 相切，可求得c ，从而得椭圆方程． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c由2222b a b c ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得12c e a == （2）由（1）知2,a c b ==故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意(),0F c -，则直线l 的方程为()34y x c =+ 点P 的坐标满足()222214334x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简得到2276130x cx c +-=解得1=x c 或2137cx =-(舍) 代入到l 的方程解得132y c =，所以3,2P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭由圆心C 在直线1x =上，可设()1,C t因为(),2,0OC AP A c -∥，故3212ct c c=+，可得12t=因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为12R = 又由圆C 与l相切，圆心到直线的距离12d =，可得12c =所以，1,a b ==椭圆的方程为22413y x +=．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，求椭圆方程，只要知道关于,,a b c 的齐次等式即可求得离心率，用参数c 写出椭圆方程和直线方程，求出交点P 的坐标，从而可得圆心坐标，利用直线与圆相切是解题关键．24．（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为2.【分析】（1）由题意可得==,a b 的值，进而可得椭圆的方程；（2）设()()0000,0,0,P x y x y <<从而可表示出直线PA 的方程，然后求出点M 的坐标，得到BM 的值，同理可得到AN 的值，进而可求得四边形ABNM 的面积，得到结论 【详解】（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab +=，所以⎧=⎪⎪=2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，（2）证明：设()()22000000,0,0,44P x y x y x y <<+=.因为()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0022y y x x =--，令0x =，得0022M y y x =--， 从而002112M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=+令0y =，得001N xx y =--，从而00221N x AN x y =-=+-.所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭‖ ()22000000000000000000444842244222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积. 25．（1）14-；（2）17. 【分析】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，代入椭圆方程，利用点差法即可求得直线PA 的斜率；（2）设(,)(P x y x -≤≤，圆心(1,0)D -，可得PD 的表达式，利用二次函数性质，即可求得PD 的最小值，进而可得答案. 【详解】（1）设A ，P 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，因为A ，P 两点都在C 上，所以221122221818x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得()()()()2121212180x x x x y y y y -++-+=， 因为21122x x +=⨯=，211212y y +=⨯=， 所以212114PA y y k x x -==--. （2）设(,)(P x y x -≤≤，则2218x y +=，圆心(1,0)D -，则222222786||(1)(1)18877x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++ ⎪⎝⎭，当87x时，PD7=. 因为圆D17=.所以PD的最小值为11777-=. 【点睛】解题的关键是熟练掌握点差法的步骤，点差法常见的结论有，设以00(,)P x y 为中点的弦所在斜率为k ，则（1）椭圆22221x y a b +=中，2020y b k x a ⋅=-；（2）双曲线22221x y a b -=中，2020y b k x a⋅=；（3）抛物线22y px =中0p k y =，熟记结论可简化计算，提高正确率，属中档题.26．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）由已知先求出,B C ，设(),D x y ，结合题干得ND NB λ=，NE NC λ=，结合向量关系求得,D E 点坐标，利用点斜式得DE l 方程，联立DE l 与抛物线即可求证； （2）结合三角形面积公式得112BCQ S S BC h ==⋅△，212DEN D E S S NG y y ==⋅-△，由（1）的结论可得h ，由直线DE l 方程可求得直线DE 与x 轴交点坐标G ,从而得到NG ,12,S S 作比即可求解. 【详解】()1易知()()222,2,2,2B a a C a a -，设(),D x y ，由ND NB λ=，可得()()222,4,2x a y a a λ+=，故有()()242,2D a a λλ-，同理()()224,(1)2E a a λλ--，于是直线DE 的方程是()()()2124242y a x a aλλλ-=---， 即()224288)2(x ay a λλλ=-+--①与抛物线方程联立， 得到()()22210y a λ--=，此方程有两个相等的根：221()y a λ=-代入①，得()22221x a λ=-，故直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点()()()22221,221Q aa λλ--()()()2321112421622BCQ Q S S BC h a a x a λλ==⋅=⋅-=-△ 设直线DE 与x 轴交于()()22282,0G a a λλ--，于是()()223221182822DEN D E S S NG y y a a a λλλλ==⋅-=⋅-=-⋅△故有122S S = 【点睛】方法点睛：本题考查由直线与抛物线的位置关系求证公共点问题，抛物线中三角形的面积问题，考查了数学运算的核心素养，常用以下方法：（1）涉及交点问题常采用直线与曲线联立方程求解法，有且仅有一个公共点可直接求解，若是关于()x y 的一元二次方程，即证0∆=；（2）对于三角形面积问题,较为规则的可直接用公式法求解，对于三角形不规则的，常采用切割法，如本题中的DEN S △.。
高中数学-圆锥曲线练习题含答案[1]
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圆锥曲线专题练习一、选择题1。
已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．72．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ）A ．116922=+y xB ．1162522=+y xC ．1162522=+y x 或1251622=+y x D ．以上都不对 3．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于( ）A ．2B ．3C ．2D ．34．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（ ）A ．25B ．5C ．215 D ．10 5．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9,则点P 的坐标为 （ )A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-±6．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,0二. 填空题7．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。
8．设AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦,M 为AB 的中点,O 为坐标原点， 则AB OM k k ⋅=____________.三。
高二数学《圆锥曲线与方程》测试题与参考答案
高二数学《圆锥曲线与方程》测试题与参考答案一、选择题 (每小题5分，共40分)1．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|＝5，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝7，则M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆2．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±5xB ．y ＝±55x C ．y ＝±3xD ．y ＝±33x3．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．41 B ．21C ．2D ．4 4．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7D.56或75．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a ＞0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段6．．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．47．与圆122=+y x 及圆012822=+-+x y x 都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上C ．一条抛物线上 D ．一个圆上8．已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.263C. 3D ．2二、填空题（每小题5分，共20分）9.双曲线4922=-y x 的渐近线方程为 .10.抛物线x y 82=上到焦点的距离等于4的点的坐标为 . 11．已知正方形ABCD ，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的离心率为__________．12．以抛物线y 2＝83x 的焦点F 为右焦点，且两条渐近线是x ±3y ＝0的双曲线方程为__________．三、解答题（每小题12分，共24分）13．斜率为2的直线l 与双曲线12322=-y x 交于A 、B 两点，且4=AB ，求直线l 的方程. 14.（1）已知直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，求斜率k 的取值范围. （2）在抛物线 x y 42=上求一点P ，使得点P 到直线3+=x y 的距离最短.高二数学《圆锥曲线与方程》测试题与参考答案1.A2.解析：∵y2＝8x焦点是(2,0)，∴双曲线x2a2－y2＝1的半焦距c＝2，又∵虚半轴长b＝1且a＞0，∴a＝22－12＝3，∴双曲线的渐近线方程是y＝±33x. 答案：D3.A4.解析：因4，m,9成等比数列，则m2＝36，∴m＝±6.当m＝6时圆锥曲线为椭圆x26＋y2＝1，其离心率为306；当m＝－6时圆锥曲线为双曲线y2－x26＝1，其离心率为7，故选C.5.解析：由|PF1|＋|PF2|＝a＋9a≥29＝6，当|PF1|＋|PF2|＝6时轨迹为线段，当|PF1|＋|PF2|＞6时轨迹为椭圆．答案：D6.B7.B8.解析：如图所示，双曲线的渐近线方程为：y＝±2a x，若∠AOB＝π3，则θ＝π6，tanθ＝2a＝33，∴a＝6＞ 2.又∵c＝6＋2＝22，∴e＝ca＝226＝233. 答案：A9.x y 3±= 10.()4,2±11.解析：设正方形边长为1，则|AB |＝2c ＝1，∴c ＝12，|AC |＋|BC |＝1＋2＝2a ，∴a ＝2＋12，∴e ＝c a ＝122＋12＝2－1. 答案：2－112.解析：抛物线y 2＝83x 的焦点F 为(23，0)，设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ，4λ3＝(23)2，∴λ＝9，双曲线方程为x 29－y 23＝1. 答案：x 29－y 23＝1。
第三章 圆锥曲线与方程单元测试(解析版)
2021-2022学年高二数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019选择性必修第一册）第三章圆锥曲线与方程一、单选题1．不垂直于坐标轴的直线l 与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M ，AB 和OM 的斜率满足2AB OM k k ⋅=，则顶点在坐标原点O ，焦点在x轴上，且经过点(P a 的抛物线方程是（）A ．24y x =B ．22y x=C．2y =D．22y x =【答案】C【分析】运用点差法得到222AB OM b k k a⋅==得解【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112222222200x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，相减得，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=，所以2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+，即12212212120202y y y y b x x x x a +--⋅=+--，所以222AB OM b k k a⋅==，b a =22(0)y px p =>，则22,pa p ==．于是所求抛物线方程是2y =．故选：C ．2．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为2F ，过点2F 且倾斜角为3π的直线与双曲线右支交于A ，B两点，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．()1,2B．(C．)+∞D ．()2,+∞【答案】A【分析】根据题意，直线l 的斜率为k 进而作出图形，数形结合得b a <故2c e a ==<=，进而得12e <<.【详解】因为过2F 的直线l 的倾斜角为3π，所以直线l 的斜率为tan3k π==因为直线l 与双曲线右支交于A ，B 两点，如图所示：由图象知：ba<，所以2c e a ==<=，又1e >，所以12e <<，故选：A ．3．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-->>的左右焦点分别为1F ､2F ，过点2F 的直线与圆222x y a +=相切于点A ，与双曲线左支交于点P ，且112||PF F F =，则双曲线的离心率为（）A B ．2C ．73D ．53【答案】D【分析】根据题意，作出图形，结合定义可得222PF a c =+，由21cos 2a c PF F c +∠=与21cos bPF F c∠=，化简求值即可【详解】在12PF F △中，112PF F F =，222PF a c =+，由余弦定理可知，21cos 2a cPF F c+∠=，在2Rt F O A △中，21cos b PF F c ∠=，2a c bc c+∴=，化简可得：223250c ac a --=，53e ∴=.故选：D.4．已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12 ∠F PF 的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F F M △的中位线，||5OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项.【详解】P 是焦点为1F 、2F 的椭圆2212516x y +=上一点，PQ 12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1FQ 的延长线交2F P 的延长线于点M ，1∴=PM PF ，12210+== PF PF a ，22||210∴=+==MF PM PF a ，由题意知OQ 是12F F M △的中位线，||5∴==OQ a ，Q ∴点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，∴当点Q 与y 轴重合时，Q 与短轴端点取最近距离541=-=-=d a b，故选：D ．5．已知直线AB 过抛物线24y x =的焦点F ，点B 关于x 轴的对称点为1B ，直线1AB 与x 轴相交于(),0C m 点，则实数m 的值为（）A ．1-B ．2-C ．32-D ．12-【答案】A【分析】设抛物线的准线与x 轴交于1C ，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足为M ，N ，可证得11~AMC BNC ，有11AC F BC F ∠=∠，所以点1C 与点C 重合，故得解.【详解】设抛物线的准线与x 轴的交点为1C ，过点,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,M N .因为1////AM FC BN ，所以11MC AF AM NC BF BN==，又因为01190AMC BNC ∠=∠=，所以11~AMC BNC ，所以11MAC NBC ∠=∠，即11AC F BC F ∠=∠，因为点B 关于x 轴的对称点为1B ，所以点1C 与点C 重合，所以1m =-.故选：A6．已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，则222AF BF +的最小值是（）A ．36B ．48C ．72D ．96【答案】D【分析】求得2AF BF a +=，结合a c BF a c -<<+，利用二次函数的基本性质可求得222AF BF +的最小值.【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，在椭圆C 中，6a =，b =4c ==，由题意可知，点A 、B 关于原点对称，且O 为FF '的中点，所以，四边形AFBF '为平行四边形，所以，BF AF '=，由椭圆的定义可得212AF BF AF AF a '+=+==，0k ≠ ，a c BF a c ∴-<<+，即210BF <<，()()2222222122324144349696AF BF BFBF BF BF BF ∴+=-+=-+=-+≥，当且仅当4BF =时，等号成立，因此，222AF BF +的最小值为96.故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出AF BF +；（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.7．已知圆22(2)9x y ++=的圆心为C ，过点(2,0)M 且与x 轴不重合的直线l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间，过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分【答案】C 【分析】根据题意找出几何关系CAB CBA ∠=∠，得到CAB AMP ∠=∠，所以PM PB =，即可得到--3PM PC PB PC BC ===，可求点P 的轨迹.【详解】由已知条件可知AC BC =,所以三角形是等腰三角形，CAB CBA ∠=∠,因为//MP AC 所以CAB AMP∠=∠则三角形BMP 是等腰三角形，PM PB =所以--3||4PM PC PB PC BC MC ===<=所以点P 的轨迹是双曲线的左支．故选：C【点睛】考查数形结合解集动点轨迹问题，本题的关键是根据图形，确定PM PM =.8．平面直角坐标系xOy 中，直线:(2)(0)l y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于AB 、两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到y 轴的距离为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据题意画出图形，抛物线的准线为':2l x =-，直线:(2)(0)l y k x k =+>恒过定点(2,0)P -，过,A B分别作'AM l ⊥于M ，'BN l ⊥于N ，根据抛物线的定义和已知条件可得点B 为AP 的中点，进而可得点B 的横坐标为1，则26AM BN ==从而可求出答案【详解】解：设抛物线2:8C y x =的准线为':2l x =-，直线:(2)(0)l y k x k =+>恒过定点(2,0)P -，如图过,A B 分别作'AM l ⊥于M ，'BN l ⊥于N ，因为2FA FB =，所以2AM BN =，所以点B 为AP 的中点，连接OB ，则12OB AF =，所以OB BF =，所以点B 的横坐标为1，所以26AM BN ==，所以点A 到y 轴的距离为4，故选：B【点睛】考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是根据题意画出图形，灵活运用抛物线的定义9．如图，O 是坐标原点，P 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则E 的离心率为（）A 174B 173C 214D 213【答案】B【分析】令双曲线E 的左焦点为F '，连线即得PFQF ' ，设FR m =，借助双曲线定义及直角F PR ' 用a 表示出|PF|，||PF '，再借助Rt F PF ' 即可得解.【详解】如图，令双曲线E 的左焦点为F '，连接,,PF QF RF '''，由对称性可知，点O 是线段PQ 中点，则四边形PFQF '是平行四边形，而QF ⊥FR ，于是有PFQF ' 是矩形，设FR m =，则|||2∣PF FQ m '==，||22PF m a =-，||2,||32RF m a PR m a '=+=-，在Rt F PR ' 中，222(2)(32)(2)m m a m a +-=+，解得43am =或m ＝0（舍去），从而有82,||33a a PF PF ='=，Rt F PF ' 中，22282433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22179c a =，173c e a ==所以双曲线E 的离心率为173．故选：B10．已知椭圆E :2212x y +=的左焦点为F ，过点P (2，t )作椭圆E 的切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，则三角形ABF 面积最大值为（）A 2B ．1C ．2D ．43【答案】A【分析】设11(,)A x y ,22(,)B x y ，并求出切线PA 、PB 的方程，进而求出直线AB 方程，并确定其过定点(1,0)，且定点为椭圆的右焦点2F ，再联立方程求得12222t y y t +=+，12212y y t -=+，再表示出ABF S = 本不等式求出范围即可.【详解】由椭圆方程2212x y +=，知222,1a b ==，21c ∴=(1,0)F ∴-，设右焦点为2(1,0)F ，即22FF =设11(,)A x y ,22(,)B x y ，由椭圆的切线方程可知切线PA 的方程为1112x x y y +=，切线PB 的方程为2212x xy y +=由于点P 在切线PA 、PB 上，则112211x ty x ty +=⎧⎨+=⎩，故直线AB 方程为1x ty +=，所以直线AB 过定点(1,0)，且定点为椭圆的右焦点2F ，联立方程22112x ty x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(2)210t y ty +--=由韦达定理得12222ty y t +=+，12212y y t -=+，21211||222ABF S FF y y ∴=⨯⨯-=⨯V =1m =≥，则221t m =-，12m m+≥，则11012m m<≤+(ABFS m m===+，当且仅当1m =，即0t =时，等号成立，故三角形ABF 故选：A【点睛】考查椭圆的切线方程，直线与椭圆的位置关系，考查利用基本不等式求三角形的面积得最值，解题的关键是清楚椭圆方程22221x y a b+=在椭圆上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y x a b +=.二、多选题11．已知抛物线E ：2y x =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点41,116P ⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过E 上的点()11,A x y 反射后，再经E 上的另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A ．12116x x =B ．54AB =C ．ABP QBP ∠=∠D ．延长AO 交E 的准线于点C 则存在实数λ使得CB CQλ=uur uuu r【答案】ACD【分析】根据抛物线的光学性质可知，直线AB 经过抛物线的焦点，直线2l 平行于x 轴，由此可求出点,A B 的坐标，判断各选项的真假．【详解】如图所示：因为141,1,16P l ⎛⎫ ⎪⎝⎭过点P 且1//l x 轴,故(1,1)A ,故直线101:1414AF y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-化简得4133y x =-,由24133y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 并化简得231044y y --=,即1214y y =-,()21212116x x y y ==，故A 正确；又11y =,故214y =-,B 11,164⎛⎫- ⎪⎝⎭,故1211251216216p AB x x =++=++=,故B 错误；因为412511616AP AB =-==，故APB △为等腰三角形，所以ABP APB ∠=∠,而12l l //,故PBQ APB ∠=∠,即ABP PBQ ∠=∠，故C 正确；直线:AO y x =,由14y xx =⎧⎪⎨=-⎪⎩得11,,44C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故C B y y =,所以C ,B,Q 三点共线,故D 正确．故选：ACD ．12．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（）A ．与()222210,0x y a b a b -=>>共轭的双曲线是()222210,0y x a b a b-=>>B ．互为共轭的双曲线渐近线不相同C ．互为共轭的双曲线的离心率为1e 、2e 则122e e ≥D ．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上【答案】CD【分析】由共轭双曲线的定义可判断A 选项的正误；利用双曲线的渐近线方程可判断B 选项的正误；利用双曲线的离心率公式以及基本不等式可判断C 选项的正误；求出两双曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由共轭双曲线的定义可知，与()222210,0x y a b a b -=>>共轭的双曲线是()222210,0y x a b b a-=>>，A 错；对于B 选项，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，双曲线()222210,0y x a b b a-=>>的渐近线方程为b y x a =±，B 错；对于C 选项，设c ，双曲线22221x y a b -=的离心率为1c e a =，双曲线22221y x b a-=的离心率为2c e b =，所以，222122c b a b a e e ab ab a b +===+≥=，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，设c 22221x y a b-=的焦点坐标为(),0c ±，双曲线22221y x b a-=的焦点坐标为()0,c ±，这四个焦点都在圆222x y c +=上，D 对.故选：CD.13．已知焦点在y 轴，顶点在原点的抛物线1C ，经过点()2,2P ，以1C 上一点2C 为圆心的圆过定点()0,1A ，记M ，N 为圆2C 与x 轴的两个交点（）A ．抛物线1C 的方程为22x y=B ．当圆心2C 在抛物线上运动时，MN 随2C 的变化而变化C ．当圆心2C 在抛物线上运动时，记||AM m =，||AN n =，m nn m+有最大值D ．当且仅当2C 为坐标原点时，AM AN ⊥【答案】ACD【分析】由已知，设抛物线方程为22x py =，将点()2,2P 代入即可判断A 选项；设圆心22,2a C a ⎛⎫⎪⎝⎭，求出圆的半径，写出圆的方程，令0y =，可求得M 、N ，由此可判断B 选项；设(1,0)M a -，(1,0)N a +，根据条件可求得m nn m+，利用基本不等式讨论即可判断C 选项；再根据222||||||AM AN MN +≥可判断D 选项．【详解】解：由已知，设抛物线方程为22x py =，2222p =⨯，解得1p =．所求抛物线C 的方程为22x y =，故A 正确；设圆心22,2a C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆的半径r =圆2C 的方程为222222()122a a x a y a ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0y =，得22210x ax a -+-=，得11x a =-，21x a =+，12||2MN x x =-=（定值），故B 不正确；设(1,0)M a -，(1,0)N a +，m =n ==，222m n m n n m mn ++===当0a =时，2m nn m+=，当0a ≠时，m n n m +=≤，故当且仅当a =m nn m+取得最大值为，故C 正确；由前分析，2222||||24||4AM AN a MN +=+≥=，即2222224a a a a -++++=，当且仅当0a =时，222||||||AM AN MN +=，故D 正确；故选：ACD ．14．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右端点分别为1A ，2A ，点P ，Q 是椭圆C 上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且1212PA PA k k ⋅=-，则下列说法正确的有（）A ．椭圆C 2B ．椭圆C 的离心率不确定C ．11PA QA k k ⋅的值受点P ，Q 的位置影响D ．12cos A PA ∠的最小值为13-【答案】AD 【分析】设(,)P x y ，则2222(1x y b a =-，从而可得1222A P A P b k k a ⋅=-，再结合已知条件可得2212b a =，进而可求出椭圆的离心率，可对A ，B 选项判断；由已知条件可得四边形12A PA Q 为平行四边形，则有12A Q PA k k =，结合已知条件可得1112PA QA k k ⋅=-，从而可知11PA QA k k ⋅的值不受点P ，Q 的位置影响，设1221,PA A PA A αβ∠=∠=，由题意得1tan tan 2αβ⋅=，则结合基本不等式可得12tan A PA ∠≤-P 为短轴的端点时12A PA ∠最大，进而可求出12cos A PA ∠的最小值【详解】解：设(,)P x y ，则2222(1)xy b a=-，因为12(,0),(,0)A a A a -，所以1222222A P A P y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==-+--，因为1212PA PA k k ⋅=-，所以2212b a -=-，所以2212b a =，所以离心率2e ===，所以A 正确，B 错误；因为点P ，Q 是椭圆C 上关于原点对称的两点，所以四边形12A PA Q 为平行四边形，所以12A Q PA k k =，因为1212PA PA k k ⋅=-，所以1112PA QA k k ⋅=-，不受P ，Q 位置影响，所以C 错误；设1221,PA A PA A αβ∠=∠=，由题意得1tan tan 2αβ⋅=，则有12A PA παβ∠=--，所以12tan tan tan tan()tan()1tan tan A PA αβπαβαβαβ+∠=--=-+=-≤--当且仅当tan tan αβ=时取等号，即当αβ=时，即当点P 为短轴的端点时12A PA ∠最大，此时12cos A PA ∠最小，1212A PA A PO ∠=∠，111sin AO A PO A P ∠===，所以2121121cos cos 212sin 1233A PA A PO A PO ∠=∠=-∠=-⨯=-，所以D 正确，故选：AD.【点睛】考查椭圆的性质的应用，考查计算能力和转化思想，解题的关键是由1212PA PA k k ⋅=-可得2212b a =，从而可求出椭圆的离心率，设1221,PA A PA A αβ∠=∠=，则有1tan tan 2αβ⋅=，再结合基本不等式可得12tan tan tan tan()tan()1tan tan A PA αβπαβαβαβ+∠=--=-+=-≤--，从而可知当点P 为短轴的端点时12A PA ∠最大，进而可得答案，属于中档题三、填空题15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过右焦点FC 相交于A ,B 两点，若12AF FB =，则椭圆C 的离心率为____.【答案】23【分析】数形结合，使用椭圆的第二定义进行计算，得到,BE AB ，然后利用cos BE ABE AB∠=计算即可.【详解】如图，作AD 垂直右准线交右准线于点D ，作BC 垂直右准线交右准线于点C 作AE 垂直BC 于点E由12AF FB =，设,2AF m FB m == ，则3AB m =由2,AF FB m mAD AD e e e e====所以mBE BC AD e=-=，又直线AB 360ABE AFx ∠=∠= 所以112cos 323BE ABE e ABe ∠===⇒=故答案为：2316．双曲线22221x y a b-=的离心率为2，过其左支上一点M 作平行于x 轴的直线交渐近线于P 、Q 两点，若4PM MQ ⋅=，则该双曲线的焦距为________.【答案】8【分析】设()00,M x y ，写出渐近线方程，即可得00,a P y y b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，00,a Q y y b ⎛⎫⎪⎝⎭，结合4PM MQ ⋅=可得222024a x y b=-，由()00,M x y 在双曲线上可求出24a =，结合离心率可求出4c =，即可求出焦距.【详解】解：设()00,M x y ，则2200221x y a b-=，双曲线渐近线方程为b y x a =±，所以当0y y =时，0a x y b =±，即00,a P y y b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，00,a Q y y b ⎛⎫⎪⎝⎭，因为//PQ x 轴，所以00a MP y x b =--，00a MQ y x b =-，则2220024P x M a M bQ y =-⋅=，又2200221x y a b-=，即2222002a y x a b -=，所以24a =，即2a =，则离心率22c c e a ===，所以4c =，所以焦距为28c =，故答案为:8.【点睛】考查了双曲线的离心率,双曲线的渐近线方程.本题的关键是求出a 的值.17．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点A 在E 上，且2AF OF =，若OA ，则p =______.【答案】【分析】设()00,A x y ，进而结合抛物线的定义与已知条件得,2p A p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，进而由OA =解得答案.【详解】解：设()00,A x y ，由题知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，2p OF =，因为2AF OF =，所以2AF p OF ==因为点A 在E 上，所以02F x p A p +==，解得02px =，所以,2p A p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，所以2OA =，解得p =故答案为：18．已知椭圆G ：22216x y b+=（0b <<1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是__．【答案】①③【分析】运用椭圆的定义和对称性进行分析即可判断①②；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，OP 的值取得最小，即可判断③；点P 靠近坐标轴时，OP 越大，点P 远离坐标轴时，OP 越小，易得2 3m =2=，可得OP 的最小值为2，即可判断③；椭圆上的点到中心的距离小于等于a ，由于点P 不在坐标轴上，可得OP <.【详解】由椭圆的对称性及1212PF PF PB PB +=+，所以可得以1B ，2B 为焦点的椭圆为椭圆222166y xm +=-，则点P 为椭圆22216x y m +=与椭圆222166y x m+=-的交点，因为椭圆G 的长轴顶点()椭圆222166y x m+=-的长轴顶点(0,所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确，点P 靠近坐标轴时（0m →或m →，OP 越大，点P 远离坐标轴时，OP 越小，易得2 3m =时，取得最小值，此时两椭圆方程为：22163x y +=，22163y x +=，两方程相加得222222x y +=⇒=，即OP 的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a ，由于点P 不在坐标轴上，∴OP <故答案为：①③．【点睛】考查椭圆的对称性和到定点距离的最值的判断，解题关键是由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆．四、解答题19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，依次连结E的四个顶点构成的四边形面积为（1）求E 的方程；（2）设E 的左，右焦点分别为1F ，2F ，经过点(2,0)M -的直线l 与E 交于A ，B 两点，且12//F A F B ，求l 的斜率.【答案】（1）2212x y +=；（2）12或12-.【分析】（1）由题意可得：22ab ==⎪⎩，解方程组即可求解；（2）设直线l 的方程为2x ty =-，联立222,1,2x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩利用根与系数的关系，再结合1//2F A F B 的坐标关系，建立等式即可求解【详解】（1）依题意可得：22ab ==⎪⎩解得a =1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）由题可知：直线l 的斜率存在且不为零，故设直线l 的方程为2x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）可知：1(1,0)F -，2(1,0)F ，则()1111,F A x y =+ ，()2221,F B x y =-，因为1//2F A F B，所以()()122111x y x y +=-，10y ≠，20y ≠，化简得213y y =，所以1214y y y +=，21213y y y ⋅=，得()()21212163y y y y ⋅+=.联立222,1,2x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()222420t y ty +-+=，由0∆>得22t >，12242t y y t +=+，12222y y t =+，则()222216162322t t t=++，解得2t =或2t =-，故l 的斜率为12或12-.20．已知点()4,0M -，()4,0N ，动点P满足条件PM PN -=P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）过曲线C 的一个焦点作倾斜角为45°的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB ．【答案】（1）221124x y -=；（2）AB =．【分析】（1）先判断出轨迹为双曲线，然后根据焦点坐标和实轴长度求解出双曲线的方程；（2）写出直线l 的方程，联立直线方程与双曲线的方程，利用弦长公式求解出AB .【详解】解：（1）因为8PM PN MN -=<=，所以点P 的轨迹是以,M N为焦点，实轴长为所以24a c ==，所以222212,16124a b c a ==-=-=，所以C 的方程为：221124x y -=；（2）不妨设焦点()4,0F ，则直线l ：4y x =-由2241124y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得：212300x x -+=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212x x +=，1230x x =，所以AB ===21．平面直角坐标系中，点()1,0F ，直线l ：3x =-．动点P 到l 的距离比线段PF 的长度大2，记P 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）设点()()1,0A t t >在E 上，C ，D 为E 上异于A 的两个动点，且直线AC ，AD 的斜率互为相反数，求证：直线CD 的斜率为定值，并求出该定值．【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析，1-.【分析】（1）依题意，线段PF 的长度等于P 到l '：1x =-的距离，由抛物线定义可得其方程；（2）设直线CD 方程为y kx b =+（0k ≠），与E 联立得()222240k x bk x b +-+=，由“直线AC ，AD 的斜率互为相反数”结合韦达定理得()2120k b k b +-+-=，进而可证得结果.【详解】（1）由已知，线段PF 的长度等于P 到l '：1x =-的距离，则点P 的轨迹是以()1,0F 为焦点，l '：1x =-为准线的抛物线，所以，E 的方程为24y x =．（2）将1x =代入24y x =得2t =．则()1,2A 易知直线CD 斜率存在，设为k ，知0k ≠，直线CD 方程为y kx b =+．由24,y x y kx b⎧=⎨=+⎩得()222240k x bk x b +-+=．则242C D bk x x k -+=，22C D b x x k=．①则2211D D AD D D y kx b k x x -+-==--，2211C C AC C C y kx b k x x -+-==--，因为直线AC ，AD 的斜率互为相反数，所以，()()()()()22222201111C D C D C D AC AD C D C D kx x b k x x b kx b kx b k k x x x x +--+--+-+-+=+==----，则()()()22220C D C D kx x b k x x b +--+--=．②联立①②，得()2120k b k b +-+-=，所以1k =-或2k b =-．若2k b =-，则CD 的方程为()212y kx k k x =+-=-+，恒过点()1,2A ，不合题意；所以1k =-，即直线CD 的斜率为定值1-．22．已知椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，点A 为椭圆C 的上顶点，过点F 与x 轴垂直的直线与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且3PQ =．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 的倾斜角为30°，且与椭圆C 交于M ，N 两点，问是否存在这样的直线l 使得0FA FM FN ++= ？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据题给条件，建立关于a ，b ，c 的方程即可求出结果.（2）这是典型的解析几何存在性问题，先假设满足条件的直线存在，由题给条件设直线的方程，根据题中的向量等式，求解出直线方程，从而得出结论.【详解】（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，根据题意可得2222123c b a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得123c a b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．(2）由题及（1）知，(03),(1,0)A F ，，假设存在直线l 满足题意，并设直线l 的方程为:33y x t =+，()11,M x y ，()22,N x y ．由223143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()2213831230x tx t ++-=，由()22Δ)4131230t =-⨯⨯->，得12,3313t x x -<<+=-．由题意知:点F 为AMN 的重心，所以123A F x x x x ++=，即03+=，解得t =当t =t <所以不存在直线l ，使得0FA FM FN ++= ．。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.求直线与双曲线的两个交点和原点构成的三角形的面积．【答案】．【解析】解：由得．设这两个交点为，则．．【考点】本题主要考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系。
点评：常见题型，首先分析三角形构成，探求知道关键求出，利用代数方法，应用韦达定理得解。
2.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线的条件是（要求填写合适条件的序号）．【答案】，【解析】，表示焦点在x轴正半轴的抛物线，且焦点为（，0），准线方程为x=-,抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离是1+6，所以①③不符合条件；对于④，设焦点（，0），则由题意满足，解得p=5，此时y2=10x，所以②④能使抛物线方程为y2=10x．故答案为：②④【考点】本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质。
点评：应用题，注意抛物线标准方程及其几何性质。
3.到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线【答案】Ｄ【解析】因为两定点的距离等于6，所以到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是两条射线，选D。
【考点】本题主要考查双曲线的定义。
点评：理解双曲线的定义要全面，特别要注意“差的绝对值”与“两定点间距离”三种关系。
4.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点所到的时间比其他两个观测点晚期4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上）．【答案】巨响发生在接报中心的西偏北，距中心m处．【解析】解：以接报中心为原点，正东、正北方向分别为轴、轴的正向建立平面直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则．设为巨响发生点，由同时听到巨响，得，故在的垂直平分线上，的方程为．因点比点晚4s听到爆炸声，故．由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线上，依题意得，，，故双曲线方程为．用代入上式，得，由，得，，即，所以．故巨响发生在接报中心的西偏北，距中心m处．【考点】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.方程所表示的曲线是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线【答案】Ｄ【解析】表示点(x，y)到点(-3，1)的距离|x-y+3|可以看做，其中表示点(x，y)到直线x-y+3=0的距离.=表示到焦点距离是到准线的距离的倍e=∈(1,+∞)，是双曲线，选D。
【考点】本题主要考查曲线与方程的概念。
点评：易错题，研究方程表示的曲线，一般有两种思路，一是从方程出发，化成“标准方程”，二是从点满足的几何条件入手，利用曲线的定义。
2.直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围．【答案】．【解析】解：将直线的方程代入双曲线的方程后，整理得．依题意，直线与双曲线的右支交于不同两点，故解得的取值范围是．【考点】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，一元二次方程根的分布。
点评：常见题型，通过联立方程组，转化成一元二次方程根的分布问题，求得k的范围。
3.对于曲线，给出下面四个命题：①曲线不可能表示椭圆；②当时，曲线表示椭圆；③若曲线表示双曲线，则或；④若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则．其中所有正确命题的序号为．【答案】③④【解析】通过讨论的正负、大小，明确真命题有③④。
【考点】本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质。
点评：基础题，理解椭圆、双曲线的几何性质，注意发现a,b,c,e的关系。
4.若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其离心率为．【答案】【解析】由已知，所以e= = 。
【考点】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，直线的概念，三角同角公式。
点评：基础题，注意离心率的表现形式。
5.椭圆的左焦点是分别是左顶点和上顶点，若到直线AB的距离是，则椭圆的离心率是．【答案】【解析】设F1到AB的垂足为D，△ADF1∽△AOB∴∴，∴，化简得到5a2-14ac+8c2=0解得a=2c 或a=4c/5舍去，∴e=。
【考点】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。
点评：应用三角形相似，确定了a,b,c,e的关系。
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析
高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质。
解：椭圆焦点在x轴，排除A,B。
将分别代入C,D方程中知选D。
2.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（）A．B．2C．D．1【答案】A【解析】主要考查椭圆的定义。
解：由椭圆的定义=4a,所以的周长是，故选A。
3.椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系。
利用“点差法”求弦的斜率，由点斜式写出方程。
故选B。
4.过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【答案】C【解析】因为点M（2，4）在抛物线y 2=8x上，所以应考虑两种情况，一是过点M与抛物线相切的直线；二是过点M平行于轴的直线，共有两条，故选C。
【考点】本题主要考查直线与抛物线的位置关系。
点评：解答此题，关键是注意分类讨论。
5.抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是．【答案】（）【解析】设弦方程为，代入抛物线方程整理得，判别式。
由韦达定理得弦中点为（），所以为常数，由知。
【考点】本题主要考查直线与抛物线的位置关系。
点评：解法中巧妙地利用根与系数的关系，确定得到中点坐标，明确了弦中点的轨迹方程，本题易错漏掉这一限制条件。
6.已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程．(12分)【答案】【解析】设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为．【考点】本题主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系及抛物线的定义、标准方程、几何性质。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)(4)
一、选择题1．已知P 为抛物线24y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点(2,1)A 是平面内一点，则||||PA PF +的最小值为（ ）A ．1B C ．2D ．32．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线C 的右支上，点N 在线段12F F 上（不与12,F F 重合），且1230F MN F MN ︒∠=∠=，若2132MN MF MF -=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．24．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（ ）A ．16B ．8C ．4D ．25．(),0F c 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B 1C D 6．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．27．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切； 则以上说法中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||3||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（ ） A ．61⎛- ⎝⎦B ．62]C ．231⎤⎥⎝⎦D ．31]9．以下关于圆锥曲线的命题中是真命题为（ ）A ．设,AB 是两定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；B ．过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；C ．方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；D ．双曲线221925x y -=与椭圆22135y x +=有相同的焦点.10．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．25[B ．5[C ．2[31] D ．[31,1)11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =.则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C D12．已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在xM 在C 上，且12MF MF ⊥，M C 的方程为（ ）A ．22148x y -=B ．22148y x -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=二、填空题13．12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，且1260F PF ︒∠=，则12F PF ∆的内切圆半径等于___________14．设12,F F 为双曲线22212x y a -=的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且123F PF π∠=，若此双曲线的离心率等于2，则点P 到y 轴的距离等于__________． 15．若抛物线28y x =的准线和圆2260x y x m +++=相切，则实数m 的值是__________．16．已知P 是双曲线221168x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点,M N 满足()21220,,0PF PM F P PM PN PN F N PM PF λλμ⎛⎫⎪=>=+= ⎪⎝⎭⋅，若24PF =.则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为________.17．曲线C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数()21aa >的点的轨.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则122PF PF a +<；④若点P 在曲线C 上，则12FPF △的面积212S a ≤.其中，所有正确的序号是______.18．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.19．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为 ________. 20．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．三、解答题21．已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a +=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.22．已知圆M 的方程为222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．（1）求圆N 的方程；（2）圆N 与x 轴交于E F ，两点，圆N 内的动点D 使得,DE DO DF ，成等比数列，求DF DE →→⋅的取值范围；（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A B ，两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行，并说明理由．23．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别是(2,0)-，(2,0)，直线AQ ，BQ 相交于点Q ，且它们的斜率之积是34-. （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）过点(4,0)P -的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，且4PAM PON S S =△△. ①求直线l 的方程；②求直线l 被轨迹C 截得的弦长.24．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>2，焦距为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆C 的上顶点，过点P 作两条相互垂直的直线1l ，2l 分别与椭圆相交于M 、N 两点，若4tan 3∠=PNM ，求直线1l 的方程． 附：多项式因式分解公式()()32238642322-+-=--+t t t t t t ．25．已知抛物线：()()()222:2,2,0,2,00C y x M a N a a =->，过点M 垂直于x 轴的垂线与抛物线C 交于,B C ，点,D E 满足(),01CE CN ND NB λλλ==<<（1）求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；（2）设直线DE 与此抛物线的公共点Q ，记BCQ △与DEN 的面积分别为12,S S ，求12S S 的值 26．已知椭圆E ：22154x y +=.（1）求与方程E 焦点相同，且过62,Q ⎭的椭圆方程C . （2）若直线12y x m =+交椭圆C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且1212340x x y y +=，试求AOB 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，∴要求PA PF+取得最小值，即求PA PD +取得最小，当,,D P A 三点共线时PA PD +最小，为213--=（），故选D. 2．B解析：B 【分析】根据2132MN MF MF -=可得122F N F N =，所以112MF NMF NS S=，然后用面积公式将两个三角形面积表示出来，可得122MF MF =，再结合122MF MF a -=，余弦定理，可得a 、c 的关系，再利用222c a b =+ ，即可求出ba的值，进而可得渐近线方程. 【详解】∵2132MN MF MF -=，∴2122MN MF MF MN -=-，∴212F N NF =， ∴122F N F N =，∴122MF NMF NS S=．∵111||sin 302MF NSMF MN ︒=⋅⋅⋅，221||sin 302MF NS MF MN ︒=⋅⋅⋅， ∴122MF MF =，又122MF MF a -=，∴ 则124,2MF a MF a ==．在12MF F △中，由余弦定理得，222224164812c a a a a =+-=，故223c a =，∴222b a =， ∴2ba=， 故所求渐近线方程为2y x =±， 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，涉及了三角形面积公式、向量的线性运算、余弦定理，属于中档题.3．B解析：B【分析】设直线l 的方程为()by x c a=--，求得点A 的坐标，由2BF AB =，可得出23FB FA =，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标，将点B 的坐标代入双曲线的标准方程，可得出a 、c 齐次等式，由此可解得该双曲线的离心率. 【详解】 如下图所示：设直线l 的方程为()b y x c a=--，则直线OA 的方程为by x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bcy a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =， 即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =3 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，利用平面向量的坐标运算求出点B 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2c =. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±， ∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =，∴24c ==当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．B解析：B 【分析】设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，由题 可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形，表示出1,PF PF ，利用勾股定理建立关系即可求出. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，2PQ c =，则PO c =，则1PF PF ⊥，又60POF ∠=，则POF 是等边三角形，即PF c =，12PF PF a +=，12PF a c ∴=-，又22211PF PFF F +=，即()()22222a c c c -+=，整理可得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得1e =. 故选：B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．C解析：C 【分析】可设出直线方程与抛物线方程联立，得出12x x ，再由焦半径公式表示出3AF FB =，得到1232x x =+，结合这两个关系式可求解13x = 【详解】已知焦点F 到准线的距离为2，得2p =， 可得24y x =设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB x my =+ 与抛物线方程24y x =联立可得：2440y my --=124y y ∴=-，()21212116y y x x ∴==①又3AF FB =，()12131x x ∴+=+，1232x x ∴=+② 根据①②解得13x = 点A 到y 轴的距离为3 故选：C 【点睛】抛物线中焦半径公式如下：抛物线()220y px p =>的焦点为F ，()11,A x y 为抛物线上的一点，则12pAF x =+，解题时可灵活运用，减少计算难度.7．D解析：D【分析】由抛物线的性质可判断①；连接11,A F B F ，结合抛物线的性质可得1190A FB ∠=，即可判断②；设直线:2pAB x my =+，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】对于①，设,AF a BF b ==，则11,AA a BB b ，所以线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b， 所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确； 对于②，连接11,A F B F ，如图，因为11,AA AF BB BF ==，11180BAA ABB ，所以11180********AFA BFB ，所以()112180AFA BFB ∠+∠=，所以1190AFA BFB 即1190A FB ∠=，所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确； 对于③，设直线:2pAB x my =+，()()1122,,,A x y B x y ， 将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0∆>，则212y y p =-， 又2111112,,,,22y pOAx y y OB y p ， 因为2211222y y p pp，221112121222y y y y y y p y p p p ，所以2112y OAOB p ，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确；对于④，不妨设(0A x，则0AT k =，则直线0:AT x x =-，代入抛物线方程化简得02220px y +=-，则02028px ⎛∆=- -=⎝，所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确.故选：D. 【点睛】关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.8．C解析：C 【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m =+的取值范围， 进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==， 所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；由11QF PF ≥1mn≤<， 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①； 平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦，即()2224232c a c <≤-，所以，()22222a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e-<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率， 即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①； 平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解 属于中档题9．C解析：C 【分析】①根据双曲线定义可得出判断；②不妨在单位圆x 2+y 2=1中，用代入法求得P 的轨迹方程可得判断；③求出方程22520x x -+=根，利用椭圆与双曲线的离心率的范围可得出判断； ④求出双曲线和椭圆的焦点坐标可得答案； 【详解】①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，当||||||PA PB k AB -==时，则动点P 的轨迹是以A 为端点的一条射线线，因此不正确； ②∵()12OP OA OB =+，∴P 为弦AB 的中点，不妨在单位圆x 2+y 2=1中，定点A （1，0），动点11(,)B x y ，设P （x ，y ），用代入法求得P 的轨迹方程是212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+y 2=14，∴点P 的轨迹为圆，错误；③解方程22520x x -+=可得两根12，2．因此12可以作为椭圆的离心率，2可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；④由双曲线221925x y -=可得c ，其焦点(，同理可得椭圆22135y x +=焦点为(0,34)±，因此没有相同的焦点，错误； 综上可知：其中真命题的序号为 ③． 故选：C ． 【点睛】本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力，属于中档题．10．A解析：A 【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由221c b e a a==-求解. 【详解】 如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形， 又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥， 所以平行四边形'AFBF 为矩形， 所以'2AB FF c ==， 设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b +=，令m t n =，得2212t c t b+=， 又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2mt n=∈，所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22251,23c b e a a ⎡⎤==-∈⎢⎥⎣⎦，所以离心率的取值范围是25,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.11．D解析：D 【分析】本题首先可以通过题意画出图象并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果. 【详解】根据题意可画出以上图象，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ， 因为123MF MF =，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a -=，即2232MF MF a -=，2MF a =， 因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =， 因为OM b =，2MF a =，2OF c =，222+=a b c ， 所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ⨯=⨯，abMH c=，即M 点纵坐标为ab c， 将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b x b c +=，解得2b x c =，2,b ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c-=，化简得4422baa c ，222422caa a c ，223c a =，==ce a， 故选：D . 【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆与双曲线的相关性质及其综合应用，体现了了数形结合思想，提高了学生的逻辑思维能力，是难题.12．C解析：C 【解析】12,MF MF ⊥∴由直角三角形的性质可得1MO FO c ==，又3,c a =21,312a b ∴==-=，C ∴的方程为2212y x -=，故选C. 二、填空题13．【分析】由题意知由余弦定理可得由面积公式即可求解【详解】因为分别为椭圆的左右焦点为该椭圆上一点所以则由余弦定理得即所以故的面积设的内切圆半径为则解得故答案为：【点睛】本题主要考查了椭圆的定义椭圆的简解析：13- 【分析】由题意知12124,F P PF F F +==1243F PPF =‖，由面积公式12121211sin |)2602(S F P PF F P PF F F r ︒=⋅+⋅=‖+|即可求解.【详解】因为12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 为该椭圆上一点，所以12124,F P PF F F +==则由余弦定理得，2221212122cos 60F F F P PF F P PF ︒=+-‖，()2121212122cos602F P PF F P PF F P PF ︒=+--，即1212163F PPF =-‖， 所以1243F PPF =‖， 故12PF F ∆的面积121sin 602S F P PF ︒=⋅‖=设12F PF ∆的内切圆半径为r ，则12121|)(4122(F P PF F F r r S +⋅=+⋅==+|，解得1r =-故答案为：13- 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，余弦定理，面积公式，属于中档题.14．【解析】依题意由解得根据双曲线焦点三角形面积公式有解得代入双曲线方程解得解析：【解析】依题意，由222{b c a c a b ===+，解得2,a c =，根据双曲线焦点三角形面积公式有212F F 21b cotπ22tan6P S y∠===⋅，解得y =，代入双曲线方程解得x =15．8【解析】的圆心为半径为抛物线的准线是直线所以得解析：8 【解析】2260x y x m +++=的圆心为(3,0)-28y x =的准线是直线2,x =-所以23-+=8.m =16．【分析】延长交于点由向量数量积和线性运算可知为线段的垂直平分线结合双曲线定义可求得利用中位线性质可求得进而得到结果【详解】延长交于点如下图所示：为的角平分线又为线段的垂直平分线由双曲线定义知：分别为 解析：64π【分析】延长2F N 交PM 于点Q ，由向量数量积和线性运算可知PN 为线段2F Q 的垂直平分线，结合双曲线定义可求得1FQ ，利用中位线性质可求得ON ，进而得到结果. 【详解】延长2F N ，交PM 于点Q ，如下图所示：22PF PM PN PM PF μ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，PN ∴为2QPF ∠的角平分线，又20PN F N ⋅=，2PN NF ∴⊥，PN ∴为线段2F Q 的垂直平分线，24PQ PF ∴==.由双曲线定义知：12248PF PF -=⨯=，18412PF ∴=+=，141216FQ ∴=+=， ,O N 分别为122,F F QF 中点，1182ON F Q ∴==， ∴以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积64S π=.故答案为：64π. 【点睛】本题考查双曲线性质和定义的综合应用，涉及到平面向量数量积和线性运算的应用；解题关键是能够通过平面向量的线性运算和数量积运算确定垂直和平分关系.17．②④【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数利用直接法设动点坐标为及可得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】解：对于①由题意设动点坐标为则利用题意及两点间的距离公式的得解析：②④ 【分析】由题意曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >，利用直接法，设动点坐标为(,)x y ，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断． 【详解】解：对于①，由题意设动点坐标为(,)x y ，则利用题意及两点间的距离公式的得：22224[(1)][(1)]x y x y a ++-+=，将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错； 对于②，把方程中的x 被x -代换，y 被y - 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，故②正确；对于③，221y x =--，224211y x a ∴+=--，P ∴到原点的距离不，当P 在y 轴时取等号，此时12PF PF a ==，122PF PF a +=故③错误；对于④，由题意知点P 在曲线C 上，则△12F PF 的面积12122F PF Sy y =⨯⨯=，由①知221y x =--或221y x =--t ，则2424t a x -=，24442211(2)4444t a a a y t t -∴=--+=--+，1222212F PF S y a ∴=，故④正确．故答案为：②④． 【点睛】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．18．【分析】由已知可得而由可求出点的坐标再将点的坐标代入椭圆方程中再结合可求出的值【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为因为为椭圆的左焦点所以因为所以设点的坐标为则解得则所以点的坐标为因为为椭圆上一点所以解析：2213616x y +=【分析】由已知可得 c =||||OP OF ==，||4PF =，可求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入椭圆方程中，再结合222a b c =+，可求出22a b ，的值.【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为(F -为椭圆C 的左焦点，所以c =，因为||||OP OF =，所以||||OP OF ==，设点P 的坐标为(,)P m n ，则11422OF n ⋅=⨯解得n =m =，所以点P 的坐标为⎛ ⎝， 因为P 为椭圆C 上一点， 所以223664155a b+= 因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，所以椭圆的标准方程为2213616x y +=，故答案为：2213616x y +=【点睛】此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.19．【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PMPAM PA=∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。
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高三数学章节训练题34《圆锥曲线与方程》
时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分：
个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．若椭圆经过原点,且焦点为12(1,0),(3,0)F F ,则其离心率为 （ ）
A ．
34 B ．23 C ．12 D ．1
4
2．设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与
点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2=，且1=⋅AB OQ ，则P 点的轨迹方程是（ ）
A ．()0,012
332
2>>=+
y x y x B ．()0,012
332
2>>=-
y x y x C ．
()0,0132322>>=-y x y x
D ．()0,0132
3
22>>=+y x y x 3．已知双曲线932
2=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距
离之比等于（ ）
A ．2
B ．
33
2 C ． 2 D ．4 4．与y 轴相切且和半圆22
4(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是
（ ）
A ．2
4(1)(01)y x x =--<≤ B ．2
4(1)(01)y x x =-<≤ C ．24(1)(01)y x x =+<≤
D ． 2
2(1)(01)y x x =--<≤
5．直线2y k =与曲线2
2
2
2
918k x y k
x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为
（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
6．曲线22
1(6)106x y m m m
+=<--与曲线
221(59)59x y m m m +=<<--的 （ ） A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
7．椭圆
22
1123
x y +=的两个焦点为12,F F ,点P 在椭圆上.如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么1||PF 是2||PF 的______________倍.
8．如图把椭圆22
12516
x y +=的长轴AB 分成8等 分,过每个分点
作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1,P 2,…,P 7七个点,F 是
椭圆的焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|= . 9．已知两点(5,0),(5,0)M N -,给出下列直线方程:①530x y -=;②53520x y --=;③
40x y --=.则在直线上存在点P 满足||||6M P P N =+的所有直线方程是_______.(只填序号)
10.以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =+||||，则动点P 的轨迹为椭圆；
②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2
OP OA OB =+
则动
点P 的轨迹为椭圆；
③到定直线c a x 2-=和定点)0,(c F -的距离之比为)0(>>a c c
a
的点的轨迹是双曲线
的左半支；
④方程02722=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的 三、解答题：（本大题共2小题，满分30分）
11．（本小题满分14分）已知抛物线2
8y x =,是否存在过点(1,1)Q 的弦AB ,使AB 恰被Q
平分.若存在,请求AB 所在直线的方程;若不存在,请说明理由.
12．（本小题满分16分）设,x y R ∈,,i j
为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量,
若向量(2)a xi y j =++ ,(2)b xi y j =+- ,且||||8a b +=
. （1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程;
（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于,A B 两点,设OP OA OB =+
,是否存在这样的直
线l ,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,试说明理由.
高三数学章节训练题34《圆锥曲线与方程》答案
一、 选择题
1、C
2、D
3、C
4、A
5、D
6、A 2．D ．由
PA
BP 2=及
,A B
分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上知，
3(,0),2A x (0,3)B y ，3
(,3)2
AB x y =- ，由点Q 与点P 关于y 轴对称知，(,)Q x y -，OQ =(,)x y -，则22
33(,3)(,)31(0,0)22
OQ AB x y x y x y x y ⋅=-⋅-=+=>>
二、填空题
7．7倍.
由已知椭圆的方程得123,(3,0),(3,0)a b c F F ===-.由于焦点
12F F 和
关于y 轴对称,所以2PF 必垂直于x 轴.所以
21||P PF PF ===,所以21||7||PF PF =. 8．35. 设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),…,P 7(x 7,y 7),所以根据对称关系x 1+x 2+…+x 7=0,于是 |P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=a+ex 1+a+ex 2+…+a+ex 7=7a+e(x 1+x 2+…+x 7)= 7a=35,所以应填35.
9．②③. 由||||6MP PN -=可知点P 在双曲线22
1916
x y -=的右支上,故只要判断直线
与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为4
3
y x =±,直线①过原点且斜率5433>,所以直线①与双曲线无交点;直线②与直线①平行,且在y 轴上的截距为523
-故与双曲线的右支有两个交点;直线③的斜率4
13
<,故与双曲线的右支有一个交点.
10.④
三、解答题
11．假设存在这样的直线,则直线的斜率一定存在,设为k ,点1122(,),(,)A x y B x y 在抛物线上,
所以2
11
222
88y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,两式作差得,121212()()8()y y y y x x +-=-,即1
21212()()8y y y y x x -+=-,解得4k =,故直线方程为14(1)y x -=-,即43y x =-.经验证,直线符合条件.
12．（1）由||||8a b
+=
,
84=>,设12(0,2),(0,2)F F -则动点M 满足1212||||84||M F M F F F +=>=,所
以点M 在椭圆上,且椭圆的
4,2,a c b ===所以轨迹C 的方程为22
11612
y x +=.
（2）设直线的斜率为k ,则直线方程为3y kx =+,联立方程组22311612
y kx y x =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩消去y
得:2
2
(43)18210k x kx ++-=,2
2
(18)84(43)0k k ∆=++>恒成立,设
1122(,),(,)A x y B x y ,则121222
1821
,4343k x x x x k k
+=-=++.由AP OB = ,所以四边形OAPB 为平行四边形.若存在直线l ,使四边形OAPB 为矩形,则OA OB ⊥,即212121212(1)3()90OA OB x x y y k x x k x x ⋅=+=++++= ,
解得k =,所以直
线l
的方程为3y x =+,此时四边形OAPB 为矩形.。