2013-2014学年高三理科数学附加题：训练21

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2013-2014年高考理科数学陕西卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，理1)设全集为R ，函数f (x )的定义域为M ，则R M 为( )．A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 1)∪(1，＋∞)．2．(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )．A ．25B ．30C ．31D ．613．(2013陕西，理3)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )．A ．11B ．12C ．13D ．145．(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )． A ．π14-B ．π12- C ．π22-D ．π4 6．(2013陕西，理6)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( )． A ．若|z1－z2|＝0，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若|z1|＝|z2|，则1122z z z z⋅=⋅ D ．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22 7．(2013陕西，理7)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 8．(2013陕西，理8)设函数f (x )＝6100,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≥⎩,,则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为 A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15 9．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )．A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有( )．A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，理11)双曲线22116x ym-=的离心率为54，则m等于__________．12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．13．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．14．(2013陕西，理14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为__________．15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17．(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．19．(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．20．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．21．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x，x ∈R . (1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数； (3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)． 1．答案：D解析：要使函数f (x )1－x 2≥0，解得－1≤x ≤1，则M ＝[－1,1]，RM ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 2．答案：C解析：由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ≤⎧=⎨+(-)>⎩所以当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.3．答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件；若a 与b 都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∥b .若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件． 4．答案：B解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋120l -≤k ≤37－20l.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个． 5．答案：A解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P ＝π2π2124FABCD ADE CB ABCDS S S S ---==-矩形扇形扇形矩形. 6．答案：D解析：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故12z z =，正确；对于选项B ，若12z z =，则122z z z ==，正确；对于选项C ，z 1·1z ＝|z 1|2，z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅，正确；对于选项D ，如令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22＝－2i ，故不正确． 7．答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形． 8．答案：A解析：当x ＞0时，f (x )＝0，则f [f (x )]＝66⎛= ⎝.663221666C (1)C (1)C rr rr r r r r r r r T x x x ----+⎛=⋅=-⋅=- ⎝.令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.9．答案：C解析：设矩形另一边长为y ，如图所示.404040x y -=，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C ．10．答案：D解析：对于选项A ，取x ＝－1.1，则[－x ]＝[1.1]＝1，而－[x ]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B ，令x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C ，令x ＝－1.5，y ＝－2.5，则[x ＋y ]＝[－4]＝－4，[x ]＝－2，[y ]＝－3，[x ]＋[y ]＝－5，故不正确；对于选项D ，由题意可设x ＝[x ]＋β1,0≤β1＜1，y ＝[y ]＋β2,0≤β2＜1，则x －y ＝[x ]－[y ]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[x ]－[y ]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[[x ]－[y ]－1＋1＋β1－β2]＝[x ]－[y ]－1＜[x ]－[y ]，故选项D 正确．第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．答案：9解析：由双曲线方程知a ＝4.又54c e a ==，解得c ＝5，故16＋m ＝25，m ＝9. 12．答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r ＝1，高SO ＝2，则V 几何体＝1π2π323⨯⨯=.13．答案：－4解析：由y ＝|x －1|＝1,1,1,1x x x x -≥⎧⎨-+<⎩及y ＝2画出可行域如图阴影部分所示．令2x －y ＝z ，则y ＝2x －z ，画直线l 0：y ＝2x 并平移到过点A (－1,2)的直线l ，此时－z 最大，即z 最小＝2×(－1)－2＝－4. 14．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·12n n (+)解析：第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋112n n (+). 15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．答案：2解析：(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n )．B ．解析：∠C 与∠A 在同一个O 中，所对的弧都是BD ，则∠C ＝∠A ．又PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△PAE ，则PE PD PA PE=，∴PE 2＝PA ·PD ．又PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE C ．答案：2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)解析：由三角函数定义知y x＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．解：f (x )＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，cos 2x )x sin x －12cos 2xx －12cos 2x＝ππcos sin 2sin cos 266x x -＝πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1.当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴f (x )的最小值为12-.因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1，最小值是12-.17．(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．18．(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．由11A B ＝AB ，易得B 1(－1,1,1)．∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB ＝(－1,0,1)，∴1AC ·BD ＝0，1AC ·1BB ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1CAC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ． (2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC ＝(－1,0,0)，1OB ＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12=.又∵0≤θ≤π2，∴π3θ=.19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫⋅()== ⎪⋅⎝⎭或(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=，P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++ ＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，∴X 的分布列为∴X 的数学期望40123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝. 20．(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M|，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴1||O M =1||O A =，=化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64＞0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝282bkk -，① x 1x 2＝22b k，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以121211y yx x =-++，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ，解得x 0＝e 2，21ek =. (2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e xy x=与y ＝m 的公共点个数．令()2e x x xϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=， ∴φ′(2)＝0.当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=.当0＜m ＜2e 4时，曲线2e xy x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x =与y ＝m 恰有一个公共点；当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =，使得φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点．(3)解法一：可以证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.事实上，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b ab a+->-⇔e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e eab a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1xx x ψ=+-+(x ≥0)，则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ψ(+)-(-)'=-==≥(+)(+)(+)(仅当x ＝0时等号成立)，∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ψ(x )＞ψ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=---＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)＝e 2a b a (-)[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2]，设函数u (x )＝x e x＋x －2e x＋2(x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0， ∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2＞0，∴e e e e >02b a b ab a+---，因此，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

高三数学复习附加题专项训练15套有答案

ABC •••2013届高三数学复习附加题专项训练（一）烟雾满山飘制作上传选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换为点(1,1)--与(0,2)-，设直线l 在变换M 作用下得到了直线:24m x y -=，求直线l 的方程答案：直线l 的方程为40x +=选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．答案：解得4a =+【必做题】22．如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求APB ∆的重心G 的轨迹方程.答案：重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42)3x y x y x x --+-==-+即．23. 如图所示，某城市有南北街道和东西街道各2n +条，一邮递员从该城市西北角的邮局A 出发，送信到东南角B 地，要求所走路程最短.求该邮递员途径C 地的概率()f n 答案：概率[]2212222(1)!(2)!1()2(!)(22)!21n n n n C n n n f n C n n n ++++==⋅=++。

（第4题）BACA 1B 1C 12013届高三数学一轮复习附加题专项训练（二）1设A=1212⎤⎥⎢⎢⎢⎣，则6A的逆矩阵是。

答案：逆矩阵为 1 00 -1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

选修4-4：坐标系与参数方程已知点),(y x P 在椭圆1121622=+y x 上，试求y x z 32-=的最大值. 答案： 10z 的最大值是【必做题】22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且12AB AC A B ===．（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使AP =1P AB A --的平面角的余弦值．答案（1）1AA 与棱BC 所成的角是π3．（2）二面角1P ABA --．23. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M .（1）若点F 到直线l l 的斜率；（4分）（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.（6分）答案：（1）直线l 的斜率为（2）线段AB 中点的横坐标为定值2.2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（三）选修4-2：矩阵与变换若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵答案： 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，2π)，B (4π)的圆的极坐标方程．解答： )4ρθπ=-．【必做题】第22题口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X ．（I ）若取到红球再放回，求X 不大于2的概率；（II ）若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望．解答：（Ⅰ） ∴33(1)(2)49P P X P X ==+==；∴32631()12345277353535E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 第23题已知1()ln(1)(1)nf x a x x =+--,其中*n N ∈,a 为常数, (1)当2n =时,求函数()f x 的极值；(2)当1a =时,证明:对任意的正整数n ,当2x ≥时,()1f x x ≤-.答案:(1) 2n =时,当0a >时,()f x 在1x =+处取得极小值2(1(1ln )2a f a+=+；当0a ≤时, ()f x 无极值. (2)略2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（四）选修4-2：矩阵与变换.已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.答案：直线l '的方程为480x y +-=选修4-4：坐标系与参数方程求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）截得的弦长．答案：弦长为【必做题】第22题假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X . （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变.记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y ，求Y 的分布列.答案：（Ⅰ）X 的分布列为（Ⅱ）Y 的分布列为第23题已知2()1f x x x =+-,()ln g x =若对任意12x >,都有()()f x g x ≤,试求a 的取值范围.答案: a 的取值范围是[,)e +∞.2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（五）1选修4-2：矩阵与变换设A=，则A 6= 答案：66cos -sin 0 14466-1 0sin cos 44ππππ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦选修4-4：坐标系与参数方程椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值. 答案：当 53πθ=时，min d =，此时所求点为(2,3)-【必做题】第22题已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=o，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥．（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ；（II ）求1CC 到平面1A AB 的距离；答案：（I ）略（II ）1||||AC n d n ⋅==u u u u r rr 7．第23题设数列{}n a 满足*1112,().n n na a a n N a +==+∈ （1）证明：n a 对*n N ∈恒成立；（2）令*)n b n N =∈，判断n b 与1n b +的大小，并说明理由．23题提供答案证明：（1）111111(0)(0,1)12,22,{}(2,)12111k k n n kk kk k y x x x xa a a a a n a a nn k nk a a a ++=+>∈∈∞==+≥≥+∞===>>==>=+=+>=是减函数,x (1,+)为增函数。

江苏高考理科附加题套

江苏高考理科附加题套 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】2014江苏省数学高考附加题强化试题1班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.D.选修4－5：不等式选讲已知函数2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+（,,a b c 为实数）的最小值为m ，若23a b c -+=，求m 的最小值．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22、如图，正四棱锥P ABCD -中，2,3AB PA ==AC 、BD 相交于点O ，求：（1）直线BD 与直线PC 所成的角；（2）平面PAC 与平面PBC 所成的角23、设数列{}n a 满足2111,n n a a a a a +==+，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤．（1）当(,2)a ∈-∞-时，求证：a ∉M ；（2）当1(0,]4a ∈时，求证：a M ∈；（3）当1(,)4a ∈+∞时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．江苏省数学高考附加题强化试题2班级姓名得分21.[选做题]在B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B．选修4—2：矩阵与变换二阶矩阵M对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-．求矩阵M；C．选修4—4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为=l与=2cos(θ+π3)，它们相交于A，B两点，求线段AB的长．D．选修4—5：不等式选讲[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题10分）口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望．23．（本小题10分）已知曲线1:(0)C y x x=>，过1(1,0)P 作y 轴的平行线交曲线C 于1Q ，过1Q 作曲线C 的切线与x 轴交于2P ，过2P 作与y 轴平行的直线交曲线C 于2Q ，照此下去，得到点列12,,P P ⋅⋅⋅，和12,,Q Q ⋅⋅⋅，设||n n n PQ a =*1|()n n n Q Q b n N +=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：1222n n n b b b -++⋅⋅⋅+>-；江苏省数学高考附加题强化试题3班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长D．（选修4－5：不等式选讲）设zx,,为正数，证明：()()()()y333222≥．2x y z x y z y x z z x y+++++++[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率；(Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE．Array23．（本小题满分10分）设函数(,)1(0,0)xm f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭. （1）当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）若31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求40i i a =∑；（3）设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)n f n m f n t =，求证：7(2010,)f f t >-．江苏省数学高考附加题强化试题4班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -， (1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）{(,),,A x y x y m ααα===+为参数}，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数}，且A B ≠∅，求实数m 的取值范围．D ．（选修4－5：不等式选讲）已知,,a b c R ∈，证明不等式：（1）66622218227a b c a b c ++≥；（2）22249236a b c ab ac bc ++≥++．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．A PB C DM 第22题图23．（本小题满分10分）已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ． ⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省数学高考附加题强化试题5班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）求圆心为36C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为3的圆的极坐标方程.D ．（选修4－5：不等式选讲）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

理科数学高考真题2013年2014年

2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2014·新课标Ⅰ卷第1页1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2)2.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i3．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B ．3 C.3m D ．3m5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.786．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )7．执行下面的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1,2,3，则输出的M ＝( )A.203B.165C.72D.1588．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π29．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题： p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2；p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2；p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3；p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 32014·新课标Ⅰ卷第2页10.已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52C ．3D ．2 11．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．4 2C ．6D ．4第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．15．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________． 16．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；2014·新课标Ⅰ卷第3页(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．18．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求EX . 附：150≈12.2.2014·新课标Ⅰ卷第4页若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C .(1)证明：AC ＝AB 1；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值．20．(本小题满分12分)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． 2014·新课标Ⅰ卷第5页(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f(x)>1.2014·新课标Ⅰ卷第6页请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程2014·新课标Ⅰ卷第7页已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．2014·新课标Ⅰ卷第8页2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)2014·新课标Ⅱ卷第1页一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( )A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}2．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i3．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．54．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( ) A ．5 B. 5 C ．2 D ．15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.456．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.137．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．78．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．39．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．210．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.9411．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.222014·新课标Ⅱ卷第2页12.设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)14．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．15．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．16．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.2014·新课标Ⅱ卷第3页18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．19．(本小题满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：2014·新课标Ⅱ卷第4页(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑n i ＝1 (t i －t －)(y i －y －)∑n i ＝1(t i －t －)2，a ^＝y －－b ^t －.20.(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；2014·新课标Ⅱ卷第5页(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －e －x －2x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x >0时，g (x )>0，求b 的最大值；(3)已知1.414 2<2<1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．2014·新课标Ⅱ卷第6页请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD ·DE ＝2PB 2.23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；2014·新课标Ⅱ卷第7页(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；2014·新课标Ⅱ卷第8页(2)若f(3)<5，求a的取值范围．2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．参考公式如果事件A ，B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；如果事件A ，B 独立，那么P (AB )＝P (A )·P (B )．第Ⅰ卷(选择题共50分)2014·山东卷第1页一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i2．设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝( )A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[1,3)D ．(1,4)3．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 4．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根5．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 36．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．47．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．188．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)9．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．22014·山东卷第2页10.已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为________．12．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________． 13．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 14．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 15．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. 2014·山东卷第3页(1)求m ，n 的值；(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．17．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．(1)求证：C1M∥平面A1ADD1；2014·山东卷第4页(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．18．(本小题满分12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分，对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响，求：2014·山东卷第5页(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．19.(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；2014·山东卷第6页(2)令b n＝(－1)n－14na n a n＋1，求数列{b n}的前n项和T n.20.(本小题满分13分)设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28……是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．2014·山东卷第7页21.(本小题满分14分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|F A|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程．2014·山东卷第8页(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．参考公式如果事件A 与B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；如果事件A 与B 相互独立，那么P (AB )＝P (A )P (B )．第Ⅰ卷(选择题共50分)2014·安徽卷第1页一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i＋i·z －＝( ) A ．－2 B ．－2iC ．2D ．2i2．“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．34B ．55C ．78D ．894．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214C. 2 D ．2 2 5．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 6．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32C ．0D ．－127．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．188．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对2014·安徽卷第2页9.若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．5或8B ．－1或5C ．－1或－4D ．－4或810．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1<r <R <3B ．1<r <3≤RC ．r ≤1<R <3D ．1<r <3<R第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．12．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.13．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )，(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.14．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．15．已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成，记S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4＋x 5·y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①S 有5个不同的值；②若a ⊥b ，则S min 与|a |无关；③若a ∥b ，则S min 与|b |无关；④若|b |>4|a |，则S min >0；⑤若|b |＝2|a |，S min ＝8|a |2，则a 与b 的夹角为π4. 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .2014·安徽卷第3页(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．17.(本小题满分12分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率2014·安徽卷第4页为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．18.(本小题满分12分)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；2014·安徽卷第5页(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．19.(本小题满分13分)如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．2014·安徽卷第6页(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2.(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．20.(本小题满分13分)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.2014·安徽卷第7页(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．21.(本小题满分13分)设实数c >0，整数p >1，n ∈N *.(1)证明：当x >－1且x ≠0时，(1＋x )p >1＋px .2014·安徽卷第8页(2)数列{a n }满足a 1>c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n . 证明：a n >a n ＋1>c 1p .2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共40分)2014·北京卷第1页一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2}2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)3．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上4．当m ＝7，n ＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．7B ．42C ．210D ．8405．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C.12 D ．－127．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (1,1，2)，若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D -ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2D ．S 3＝S 2且S 3≠S 18．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 2014·北京卷第2页10.已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.11．设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．12．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．13．把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．14．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17. (1)求sin ∠BAD ；(2)求BD，AC的长．2014·北京卷第3页16.(本小题满分13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下((1)的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；2014·北京卷第4页(3)记x为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数．比较EX与x的大小．(只需写出结论)17.(本小题满分14分)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：AB∥FG；2014·北京卷第5页(2)若P A⊥底面ABCDE，且P A＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．18.(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 2014·北京卷第6页(1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin x x<b 对x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．19.(本小题满分14分)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；2014·北京卷第7页(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA ⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．20.(本小题满分13分)对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2,5)，(4,1)，求T1(P)，T2(P)的值；2014·北京卷第8页(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)。

高三数学附加题练习(5套)

当轴时，，，此时，与矛盾，……………2分
所以设直线的方程为，代入，得，
则，，①所以，所以，②…4分
因为，所以，将①②代入并整理得，，
所以 .………………………………………………………………………………6分
⑵因为，所以，当且仅当，即时，取等，所以，所以的最大值为 .……………………10分
⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为，，，该参加者有资格闯第三关为事件．
则．…………………………………………………4分
(2)由题意可知，的可能取值为，，，，，
，，
，
，，
所以的分布列为
……………………………………………………………8分
所以的数学期望 .……………………………10分
已知矩阵M=对应的变换将点A(1,1)变为A'(0,2),将曲线C:xy=1变为曲线C'.
(1)求实数a,b的值;(2)求曲线C'的方程.
2（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知直线被圆截得的弦长为 ,求的值.
【答案】直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 ,
则，
，
因为，
所以是平面法向量，………2分
又因为，
所以，
故直线与平面所成角正弦值为．…………………5分
（2）设．
因为，所以．
解得，故存在满足条件的点P为AC的中点．……………10分
4已知动圆过点且与直线相切.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.

2013高三数学理科模拟试题附加答案

2013高三数学理科模拟试题附加答案以下是xx为大家整理的关于《2013高三数学理科模拟试题附加答案》的文章，供大家学习参考！第一部分选择题（共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合≤ ≤ , ≤ ≤ ，则（）2. 计算：（）A． B．- C. 2 D. -23. 已知是奇函数，当时，，则（）A. 2B. 1C.D.4. 已知向量 ,则的充要条件是（）A． B． C． D．5. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（）6. 已知函数，则下列结论正确的是（）A. 此函数的图象关于直线对称B. 此函数的值为1C. 此函数在区间上是增函数D. 此函数的最小正周期为7. 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为31，则等于（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知、满足约束条件，若，则的取值范围为（）A. [0，1]B. [1，10]C. [1，3]D. [2，3]第二部分非选择题（共100分）二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9. 已知等比数列的公比为正数，且，则 = .10. 计算 .11. 已知双曲线的一个焦点是（），则其渐近线方程为 .12. 若 n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .13. 已知依此类推，第个等式为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。

14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C上的点到直线3 -4 +4=0的距离的值为15.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA＝30°，PC＝_____________三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20套数学附加题答案

实战演练·高三数学附加分参考答案与解析南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试(一)21. A ．解：因为P 为AB 中点，所以OP ⊥AB ，所以PB ＝r 2－OP 2＝32.(5分) 因为PC·PD ＝PA·PB ＝PB 2＝34，由PC ＝98，得PD ＝23.(10分)B. 解：设曲线C 上一点(x′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以22x ′－22y ′＝x ，22x ′＋22y ′＝y.(5分) 所以x′＝x ＋y 2，y ′＝y －x 2，所以x′y′＝x ＋y 2·y －x2＝1，所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2.(10分)C. 解：直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a)2＋y 2＝a 2，(5分)依题意，得|4a －2|42＋（－3）2＝|a|，解得a ＝－2或29.(10分)D. 证明：因为x 1、x 2、x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取等号．所以x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.(10分)22. 解：(1) 由点A(1，2)在抛物线上，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x.(3分) 设B ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1、C ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，所以 1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1.(7分) (2) 另设D ⎝⎛⎭⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.(10分) 23. 解：(1) 因为对任意的1≤k ≤m ，都有a 2k －1a 2k＝－1，则(a 2k －1，a 2k )＝(2，－2)或(a 2k －1，a 2k )＝(－2，2)，共有2种情况，所以(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )共有2m 种不同的选择，所以A ＝2m .(5分)(2) 当存在一个k 时，那么这一组有2C 1m 种，其余的由(1)知有2m －1，所以共有2C 1m 2m －1种；当存在两个k 时，因为条件对任意的1≤k ≤l ≤m ，都有| i ＝2k －12la i |≤4成立得这两组共有2C 2m种，其余的由(1)知有2m －2种，所有共有2C 2m 2m －2种；…，依次类推得B ＝2C 1m 2m －1＋2C 2m 2m －2＋…＋2C m m ＝2(3m －2m)．(10分)南通市2014届高三第一次调研测试(二)21. A. 证明：如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACB 的平分线，所以AC BC ＝AMBM.①(3分)因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线，所以BM·BA ＝BN·BC ，即BA BC ＝BNBM .(6分)又BN ＝2AM ，所以BA BC ＝2AMBM .②(8分)由①②，得AB ＝2AC.(10分)B. 解：设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，因为(BA )－1＝A －1B －1，(2分)所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，(6分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.(10分) C. 解：设直线l 的方程为θ＝θ0(ρ∈R )， A(0，0)、B(ρ1，θ0)，(2分) 则AB ＝|ρ1－0|＝|2sin θ0|.(5分) 又AB ＝3，故sin θ0＝±32.(7分)解得θ0＝π3＋2k π或θ0＝－π3＋2k π，k ∈Z .所以直线l 的方程为θ＝π3或θ＝2π3(ρ∈R )．(10分)D. 证明：因为x 、y 、z 均为正数，所以x yz ＋y zx ≥1z ⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥2z .(4分) 同理可得z xy ＋y zx ≥2x ，x yz ＋z xy ≥2y.(7分)当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式左、右两边分别相加，并除以2，得 x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.(10分) 22. 解：(1) 从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C 36种不同选法，其中S ＝32的为有一个角是30°的直角三角形(如△P 1P 4P 5)，共6×2＝12种，所以P ⎝⎛⎭⎫S ＝32＝12C 36＝35.(3分) (2) S 的所有可能取值为34，32，334. S ＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P 1P 2P 3)，共6种，所以P ⎝⎛⎭⎫S ＝34＝6C 36＝310.(5分) S ＝334的为等边三角形(如△P 1P 3P 5)，共2种，所以P ⎝⎛⎭⎫S ＝334＝2C 36＝110.(7分)又由(1)知P ⎝⎛⎭⎫S ＝32＝12C 36＝35，故S 的分布列为所以E(S)＝34×310＋32×35＋334×110＝9320.(10分) 23. 解：(1) 当n ＝3时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得a i >a i ＋1的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以f(3)＝4.(3分)(2) 在1，2，…，n 的所有排列(a 1，a 2，…，a n )中，若a i ＝n(1≤i ≤n －1)，从n －1个数1，2，3，…，n －1中选i －1个数按从小到大的顺序排列为a 1，a 2，…，a i －1，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为C i －1n －1.(6分)若a n ＝n ，则满足题意的排列个数为f(n －1)．(8分)综上所述，f(n)＝f(n －1)＋i ＝1n －1C i －1n －1＝f(n －1)＋2n －1－1. 从而f(n)＝23（1－2n －3）1－2－(n －3)＋f(3)＝2n －n －1.(10分)苏州市2014届高三调研测试(三)21. A. 证明：由相交弦定理，得 AC ·CD ＝MC·NC ， BC ·CE ＝MC·NC ， ∴ AC ·CD ＝BC·CE.(3分) 即(AB ＋BC)·CD ＝BC·(CD ＋DE)，(6分) 即AB·CD ＋BC·CD ＝BC·CD ＋BC·DE ， ∴ AB ·CD ＝BC·DE.(10分)B. 解：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，则⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y.(3分) ∵ 2x ′－y′＝3，∴ 2(－x ＋ay)－(bx ＋3y)＝3. 即(－2－b)x ＋(2a －3)y ＝3.(6分) 此直线即为2x －y ＝3， ∴ －2－b ＝2，2a －3＝－1. 则a ＝1，b ＝－4.(10分)C. 解：M ⎝⎛⎭⎫2，π6关于直线θ＝π4的对称点为N ⎝⎛⎭⎫2，π3.(3分)故MN ＝2OMsin π12(6分)＝4×6－24＝6－ 2.(10分) D. 证明：∵ x 、y 、z 都是为正数， ∴x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥2z.(3分) 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y.(6分)将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得 x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.(10分) 22. (1) 证明：∵ 正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32， ∴ OA ＝3，OP ＝3.(2分)则A(3，0，0)，B(0，3，0)，D(0，－3，0)，P(0，0，3)， ∴ M(1，0，2)，N(0，1，0)．则MN →＝(－1，1，－2)，AD →＝(－3，－3，0)．(4分) ∵ MN →·AD →＝(－1)×(－3)＋1×(－3)＋(－2)×0＝0， ∴ MN ⊥AD.(5分)(2) 解：设平面PAD 的法向量n ＝(x ，y ，z)， ∵ AD →＝(－3，－3，0)，AP →＝(－3，0，3)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x －3y ＝0，－3x ＋3z ＝0.取z ＝1，得x ＝1，y ＝－1.∴ n ＝(1，－1，1)．(7分)则cos 〈n ，MN →〉＝n ·MN →|n |·|MN →|＝（－1）×1＋1×（－1）＋（－2）×13×6＝－223.(9分)设MN 与平面PAD 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，MN →〉|＝223.∴ MN 与平面PAD 所成角的正弦值为223.(10分)23. 解：(1) 从正方体的八个顶点中任取四个点，共有C 48＝70种不同取法．其中共面的情况共有12种(6个侧面，6个对角面)，则 P(ξ＝0)＝1270＝635.(3分)(2) 任取四个点，当四点不共面时，四面体的体积只有以下两种情况： ① 四点在相对面且异面的对角线上，体积为1－4×16＝13，这样的取法共有2种．(5分)② 四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上，体积为16.这样的取法共有70－12－2＝56种．(7分) ∴ ξ的分布列为(8分)数学期望E(ξ)＝13×135＋16×2835＝17.(10分)无锡市2013年秋学期普通高中期末考试试卷(四)21. A. 解：连结BE ，由AD 是∠BAC 的平分线， ∴ ∠BAE ＝∠CAE.由圆周角结论，得∠AEB ＝∠ACB ， ∴ △ABE ∽△ADC ， ∴ AD ·AE ＝AB·AC.(5分) ∴ S △ABC ＝12AB ·ACsin ∠BAC＝34AD ·AE ， ∴ sin ∠BAC ＝32. ∵ ∠BAC ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ ∠BAC ＝π3.(10分)B. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ，(3分) ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c －2d .(6分)∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c －2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ，2＝－b ，3＝2c ，4＝－2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝32，d ＝－2.∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－232－2.(10分)C. 解：设M(ρ，θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则OP ＝2cos θ，PB ＝2sin θ.∴ ρ＝OP ＋PB ＝2cos θ＋2sin θ，(4分) ∴ ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ.转化为普通方程：x 2＋y 2＝2x ＋2y ，(8分)∴ M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2(x>0，y>0)．(9分) ∴ 点M 的轨迹长度为2π.(10分) D. 解：∵ a ＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10.(3分) ∵ a 、b 、c 为正数，∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·(1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1)≥(1＋2＋2)2.当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2，等号成立．(6分) 1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210，∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，∴ c ＝8－527，b ＝152－177，a ＝23－1027.(10分)22. 解：(1) 凸四边形的对角线条数为2条；凸五边形的对角线条数为5条；凸六边形的对角线条数为9条．(3分)(2) 猜想f(n)＝n （n －3）2(n ≥3，n ∈N *)．(4分)证明：当n ＝3时，f(3)＝0成立；(5分) 设当n ＝k(k ≥3)时猜想成立，即f(k)＝k （k －3）2，则当n ＝k ＋1时，考察k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1，① k 边形A 1A 2…A k 中原来的对角线也都是k ＋1边形中的对角线，且边A 1A k 也成为k ＋1边形中的对角线；② 在A k ＋1与A 1，A 2，…，A k 连结的k 条线段中，除A k ＋1A 1、A k ＋1A k 外，都是k ＋1边形中的对角线，共计有f(k ＋1)＝f(k)＋1＋(k －2)＝k （k －3）2＋1＋(k －2) ＝k 2－3k ＋2k －22＝k 2－k －22＝（k ＋1）（k －2）2＝（k ＋1）（k ＋1－3）2，即猜想对n ＝k ＋1时也成立．(9分)综上，得f(n)＝n （n －3）2对任何n ≥3，n ∈N *都成立．(10分)23. 解：(1) 从9个不同的元素中任取3个不同元素，为古典概型．记“a 、b 、c 中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A ，其基本事件总数为n ＝C 39.(2分)由题意，a 、b 、c 均不相邻，利用插空法得，事件A 包含基本事件数m ＝C 37.(4分) 故P(A)＝C 37C 39＝512.∴ a 、b 、c 中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为512.(6分)(2)(9分)∴E(ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.(10分)常州市2014届高三上学期期末考试(五)21. A. 证明：∵ ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， ∴ AD ＝BC.从而AD ︵＝BC ︵.∴ ∠ACD ＝∠BAC.(4分)∵ AE 为圆的切线，∴ ∠EAD ＝∠ACD.(8分) ∴ ∠DAE ＝∠BAC.(10分) B. 解：设P(x ，y)为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l′上的点P ′(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x′＋y′，y ＝x′.(4分)代入ax －y ＝0，整理，得－(2a ＋1)x′＋ay′＝0.(8分)将点(1，1)代入上述方程，解得a ＝－1.(10分) C. 解：点P 的直角坐标为(3，3)，(4分) 直线l 的普通方程为x －y －4＝0，(8分) 从而点P 到直线l 的距离为|3－3－4|2＝2＋62.(10分)D. 证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1 ＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1](4分) ＝(1－y)(xy －1)(x －1)，(6分) ∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y ≤0，xy －1≥0，x －1≥0.(8分) 从而左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.(10分) 22. 解：连结OC.∵ 平面PAB ⊥平面ABC ，PO ⊥AB ， ∴ PO ⊥平面ABC.从而PO ⊥AB ，PO ⊥OC.∵ AC ＝BC ，点O 是AB 的中点， ∴ OC ⊥AB ，且OA ＝OB ＝OC ＝2a.(2分) 如图，建立空间直角坐标系Oxyz.(1) PA ＝2a ，PO ＝2a.A(0，－2a ，0)，B(0，2a ，0)，C(2a ，0，0)，P(0，0，2a)，D ⎝⎛⎭⎫0，2a 2，2a 2.(4分) 从而PA →＝(0，－2a ，－2a)，CD →＝⎝⎛⎭⎫－2a ，22a ，22a .∵ cos 〈PA →，CD →〉＝PA →·CD →|PA →||CD →|＝－2a 22a ·3a ＝－33，∴ 异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小为33.(6分) (2) 设PO ＝h ，则P(0，0，h)．∵ PO ⊥OC ，OC ⊥AB ，∴ OC ⊥平面PAB. 从而OC →＝(2a ，0，0)是平面PAB 的一个法向量．不妨设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，∵ PB →＝(0，2a ，－h)，BC →＝(2a ，－2a ，0)，⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0，n ·BC →＝0， ∴ ⎩⎨⎧2ay ＝hz ，x ＝y.不妨令x ＝1，则y ＝1，z ＝2ah，则n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，2a h .(8分) 由已知，得 55＝OC →·n |OC →||n |＝2a 2a 2＋2a 2h2，化简，得h 2＝23a 2.∴ PA ＝PO 2＋OA 2＝23a 2＋2a 2＝263 a.(10分) 23. 解：(1) 110.(3分)(2) 集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A ，B)有2n (2n －1)个．若A ÍB ，并设B 中含有k(1≤k ≤n ，k ∈N *)个元素，则满足A B 的有序集合对(A ，B)有1(21)2nn nkkk kk nnn k k k CC C ===-=-邋?＝3n －2n 个．(6分)同理，满足B A 的有序集合对(A ，B)有3n －2n 个．(8分)故满足条件的有序集合对(A ，B)的个数为 2n (2n －1)－2(3n －2n )＝4n ＋2n －2×3n .(10分)镇江市2014届高三上学期期末考试(六)21. A. 证明：∵ DE 是圆O 的切线， ∴ OD ⊥DE.又DE ⊥AC ，∴ OD ∥AC.(4分) ∵ O 是AB 的中点，∴ OD 是△ABC 的中位线，(7分) ∴ OD ＝12AC ，即AC ＝2OD.(10分)B. 解：矩阵的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－3 λ－x ＝(λ－1)(λ－x)－6，(2分)因为λ1＝4是方程f(λ)＝0的一个根，所以x ＝2.(4分) 由(λ－1)(λ－2)－6＝0得λ2＝－1.(6分)设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3y ＝0，2x ＋2y ＝0，得x ＝－y ，(8分) 令x ＝1，则y ＝－1，(9分)则矩阵的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)C. 解：将点的极坐标化为直角坐标，点O 、A 、B 的直角坐标分别为(0，0)、(0，6)、(6，6)；(3分)∴ △OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，(5分)∴ 经过O 、A 、B 三点的圆的圆心为(3，3)，半径为32，(7分) ∴ 圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0.(10分)D. 解：∵ (a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1)(3分) ≥3·3a ·3·3b ·3·3c(6分) ＝27·3abc ＝27，(7分)当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．(9分) ∴ (a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.(10分) 22. 解：(1) ∵ 当y>0时y ＝f(x)＝2x －4，∴ y ′＝222x －4＝12x －4，(3分)∴ k ＝f′(3)＝22，(4分) ∴ 切线为y －2＝22(x －3)，即x －2y －1＝0.(5分) (2) 设l ：y ＝kx ，线段AB 的中点M(x ，y)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x －4，得k 2x 2－2x ＋4＝0，(6分) ∴ Δ＝4－16k 2>0，∴ 16k 2<4，即k 2<142k 2<1212k 2>2.(7分) 设直线l 与曲线C 的交点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－－22k 2＝1k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＝1k，由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝12k 2，y ＝12k ，(9分)消去k ，得y 2＝12x ，即所求轨迹方程为y 2＝12x(x>2)．(10分)23. 解：(1) 由已知计算得a 2＝35，a 3＝58，a 4＝813，a 5＝1321.(2分)(2) 由(1)得|a 2－a 1|＝115，|a 3－a 2|＝140，|a 4－a 3|＝1104，|a 5－a 4|＝1273，而n 分别取1，2，3，4时，115⎝⎛⎭⎫25n －1分别为115，275，4375，81 875，故猜想|a n ＋1－a n |≤115⎝⎛⎭⎫25n －1.(4分)下面用数学归纳法证明以上猜想： ① 当n ＝1时，已证；(5分) ② 当n ＝k ≥1时，假设|a k ＋1－a k |≤115⎝⎛⎭⎫25k －1，对n ∈N *：由a 1＝23，a n ＋1＝11＋a n ，得a n >0，∴ 0<a n ＋1＝11＋a n<1，且0<a 1＝23<1，∴ 0<a n <1，∴ 12<a n ＋1＝11＋a n <1，且12<a 1＝23<1，∴ 12<a n <1.(6分)则当n ＝k ＋1时，∵ (1＋a k ＋1)(1＋a k )＝⎝⎛⎭⎫1＋11＋a k (1＋a k )＝2＋a k >2＋12＝52，(7分)∴ |a k ＋2－a k ＋1|＝⎪⎪⎪⎪11＋ak ＋1－11＋a k＝|a k＋1－a k|（1＋a k＋1）（1＋a k）≤115⎝⎛⎭⎫25k－1（1＋a k＋1）（1＋a k）≤115⎝⎛⎭⎫25k－125＝115⎝⎛⎭⎫25k.(9分)∴当n＝k≥1时，结论成立．由①和②知，以上猜想成立．(10分)泰州市2013～2014学年度第一学期期末考试(七)21. A. 证明：(1) ∵ AB 是圆O 的直径， ∴ ∠ADB ＝90°.而BN ＝BM △BNM 为等腰三角形BD 为∠NBM 的角平分线∠DBN ＝∠DBM.(5分)(2) BM 是圆O 的切线，⎭⎪⎬⎪⎫∠DBM ＝∠DAB ∠CBD ＝∠CAD ∠DBC ＝∠DBM ∠DAB ＝∠DAC AM 是∠CAB 的角平分线．(10分)B. 解：(1) 由题意得：A α＝λα⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎩⎪⎨⎪⎧2＋2n ＝2m ＋2＝4⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝2.(5分) (2) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2021⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12b ＝02a ＋c ＝02b ＋d ＝1⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，即A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 120－11.(10分) C. 解：(1) 圆M ：⎝⎛⎭⎫x －5322＋(y －72)2＝4，⎝⎛⎭⎫3，π3对应直角坐标系下的点为⎝⎛⎭⎫32，32，⎝⎛⎭⎫2，π2对应直角坐标系下的点为(0，2)，∴ 圆N ：⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝1.(5分)(2) PQ ＝MN －3＝4－3＝1.(10分)D. 证明：(1) a ＋b ＋c ≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1，abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．(5分)(2) 柯西不等式a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”．(10分)22. (1) 证明：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x A(4，4)、B(1，－2)，设A 1⎝⎛⎭⎫m 24，m 、B 1⎝⎛⎭⎫n 24，n ，k AT ＝kA 1T 44－t ＝mm24－t m 2－4t ＝4m －tmm(m －4)＝t(4－m)m ＝－tA 1⎝⎛⎭⎫t 24，－t ，同理：B 1(t 2，2t)k ＝3t t 2－t 24＝4t kt ＝4为定值．(5分)(2) 解：A 1B 1：y －2t ＝4t (x －t 2)，令y ＝0得N ⎝⎛⎭⎫t 22，0，而M(2，0)，S 1S 2＝⎪⎪⎪⎪y A y B ＝2S 2＝12S 1，S 4S 1＝⎪⎪⎪⎪TN·yA 1TM ·y A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 22－t t －2·t 4＝t 28S 4＝t 28S 1，S 3S 1＝⎪⎪⎪⎪TN·yB 1TM ·y A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（t －2）t －2·2t 4＝t 24S 3＝t 24S 1，S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，∴ t 2＝1而t>0t ＝1.(10分)23. 解：如图以CB 、CA 分别为x 、y 轴，过C 作直线Cz ∥BC 1，以Cz 为z 轴， ∴ B(3，0，0)，C(0，0，0)，A(0，3，0)，C 1(3，0，3)， CB 1→＝CC 1→＋CB →＝(6，0，3)B 1(6，0，3)， CA 1→＝CC 1→＋CA →＝(3，3，3)A 1(3，3，3)．(1) T 是△ABC 1重心T(2，1，1)TA 1→＝(1，2，2)，设平面ABC 1的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，AB →＝(3，－3，0)，AC 1→＝(3，－3，3)，⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－3y 1＝03x 1－3y 1＋3z 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0x 1＝y 1n 1＝(1，1，0)，∴ cos 〈TA 1→，n 1〉＝33·2＝22〈TA 1→，n 1〉＝π4.设TA 1与平面ABC 1所成的角为 αα＝π2－〈TA 1→，n 1〉＝π4.(5分)(2) T 在平面ABC 1内，CT →＝CB →＋BT →＝CB →＋mBC 1→＋nBA →＝(3－3n ，3n ，3m)，即T(3－3n ，3n ，3m)．由TB 1＝TC ，得(3－3n)2＋(3n)2＋(3m)2＝(3n ＋3)2＋(3n)2＋(3m －3)2－2m ＋4n ＝－1， ①设平面CAA 1C 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，CA →＝(0，3，0)，CC 1→＝(3，0，3)，⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＝03x 2＋3z 2＝0取n 2＝(1，0，－1)．设平面TA 1C 1法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)，C 1A 1→＝(0，3，0)，C 1T →＝(－3n ，3n ，3m －3)，⎩⎪⎨⎪⎧y 3＝0－3nx 3＋（3m －3）z 3＝0取n 3＝(m －1，0，n)．由平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1，得cos 〈n 2，n 3〉＝m －1－n2·（m －1）2＋n 2＝0m ＝n ＋1. ②由①②解得n ＝12，m ＝32，∴ 存在点T ⎝⎛⎭⎫32，32，92，TC ＝3112.(10分)扬州市2013～2014学年度第一学期期末检测试题(八)21. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，依题意⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，(4分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，c ＋d ＝5，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，(7分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，c ＝2，d ＝3，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4123.(10分) 22. 解：(1) 由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42，得22ρcos θ－22ρsin θ＝42，即x －y －8＝0.(4分) (2) 由⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ，消去参数θ，得(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，故圆的圆心为M(1，－1)，半径为2，(6分)所以圆心M 到直线l 的距离为d ＝|1－（－1）－8|2＝32，(8分)所以圆上的点到直线l 上点的距离的最小值是32－2＝2 2.(10分)23. 解：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B 1(1，1，2)，D 1(0，0，2)．(2分)所以BD 1→＝(－1，－1，2)，AP →＝(－1，1，1)．cos 〈BD 1→，AP →〉＝BD 1→·AP →|BD 1→|×|AP →|＝26·3＝23，即异面直线AP 与BD 1所成角的余弦是23.(5分)(2) 假设存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成的角的正弦值等于13，则D 1B 1→＝(1，1，0)，AD 1→＝(－1，0，2)，AP →＝(－1，1，m)．设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥D 1B 1→，n ⊥AD 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋2z ＝0，取x ＝2，得平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2，1)．(7分)由直线AP 与平面AB 1D 1所成的角的正弦值等于13，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－2＋m 3·m 2＋2＝13，解得m ＝74. 因为0≤m ≤2，所以m ＝74满足条件，所以当m ＝74时，直线AP 与平面AB 1D 1所成的角的正弦值等于13.(10分)24. 解：(1) 设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A 、B 相互独立，且p ＝0.25，P(A －)＝0.75 ，P(B)＝q ，P(B －)＝1－q.P(X ＝0)＝P(A －B －B －)＝P(A －)P(B －)P(B －)＝0.75(1－q)2＝0.03，所以q ＝0.8，(2分)P(X ＝5)＝P(AB －B ＋AB) ＝P(AB －B)＋P(AB)＝P(A)P(B －)P(B)＋P(A)P(B) ＝0.25q(1－q)＋0.25q ＝0.24.(4分) (2) 依题意，随机变量X 的分布列为数学期望为E(X)＝4(1－p)(1－q)q ＋3p(1－q)2＋4(1－p)q 2＋5[pq ＋pq(1－q)]＝3p ＋4q －2pq 2，(6分) 随机变量Y 的分布列为数学期望为E(Y)＝6(1－q)2q ＋4(3q 2－3q 3)＋6q 3＝6q.(8分) E(X)－E(Y)＝－2pq 2＋3p －2q ＝p(3－2q 2)－2q. 因为p<23q 且3－2q 2>0，所以E(X)－E(Y)<2q 3(3－2q 2)－2q ＝－4q 33<0，所以，p<23q 时，该同学选择三次都在B 处投篮的数学期望较大．(10分)苏北三市2013～2014学年度高三第一次质量检测(九)21. A. 解：由圆D 与边AC 相切于点E ，得∠AED ＝90°. 因为DF ⊥AF ，得∠AFD ＝90°，所以A 、D 、F 、E 四点共圆，所以∠DEF ＝∠DAF.(5分)又∠ADF ＝∠ABD ＋∠BAD ＝12(∠ABC ＋∠BAC)＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C ，所以∠DEF ＝∠DAF ＝90°－∠ADF ＝12∠C.由∠C ＝50°，得∠DEF ＝25°.(10分)B. 解：设曲线C ：x 2＋y 2＝1上任意一点P(x ，y)在矩阵M 所对应的变换作用下得到点P 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x 1，by ＝y 1.(5分) 又点P 1(x 1，y 1)在曲线C′：x 24＋y 2＝1上，所以x 214＋y 21＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故a 2＝4，b 2＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＝3.(10分)C. 解：∵ ρ＝2cos θ－2sin θ， ∴ ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1， ∴ 圆心直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，－22.(4分) 直线l 上的点向圆C 引切线长是⎝⎛⎭⎫22t －222＋⎝⎛⎭⎫22t ＋22＋422－1＝t 2＋8t ＋40＝（t ＋4）2＋24≥26，所以直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是2 6.(10分) D. 证明：(证法1)因为a 、b 、c 均为正数，由均值不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc)23，(2分) 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc)－13，所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc)－23.(5分)故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc)23＋9(abc)－23. 又3(abc)23＋9(abc)－23≥227＝63，所以原不等式成立．(10分)(证法2)因为a 、b 、c 均为正数，由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca. 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.(2分) 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ca，(5分)故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ca ＋3ab ＋3bc ＋3ca≥6 3. 所以原不等式成立．(10分)22. 解：(1) 设该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车为事件M ，则 P(M)＝C 34C 312＝155.所以该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率为155.(4分)(2) 随机变量X 的所有可能取值为1，2，3.P(X ＝1)＝C 35＋C 34＋C 33C 312＝344， P(X ＝3)＝C 15C 14C 13C 312＝311，P(X ＝2)＝1－P(X ＝1)－P(X ＝3)＝2944.所以X 的分布列为(8分)数学期望E(X)＝1×344＋2×2944＋3×311＝9744.(10分)23. 解：(1) 设P(x ，y)，则AP →＝(x ＋1，y)，FP →＝(x －1，y)，AF →＝(2，0)，由AP →·AF →＝2|FP →|，得2(x ＋1)＝2（x －1）2＋y 2，化简得y 2＝4x.故动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x.(5分) (2) 直线l 的方程为y ＝2(x ＋1)，设Q(x 0，y 0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．过点M 的切线方程设为x －x 1＝m(y －y 1)，代入y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4my 1－y 21＝0，由Δ＝16m 2－16my 1＋4y 21＝0，得m ＝y 12，所以过点M 的切线方程为 y 1y ＝2(x ＋x 1)，(7分) 同理过点N 的切线方程为 y 2y ＝2(x ＋x 2)．所以直线MN 的方程为y 0y ＝2(x 0＋x)．(9分) 又MN ∥l ，所以2y 0＝2，即y 0＝1，而y 0＝2(x 0＋1)，故点Q 的坐标为(－12，1)．(10分)如皋市2014届高三年级第一学期期末考试(十) 21. 解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ321－λ＝(λ－2)(λ－1)－6＝0，(2分)即λ2－3λ－4＝0，∴ λ＝4或－1.(5分)当λ＝4时，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3y ＝0，2x －3y ＝0，令x ＝3，则y ＝2，∴ α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(9分)(或当λ＝－1时，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3y ＝0，2x ＋2y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，∴ β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.)(9分) ∴ M 的特征值为4，－1，对应的特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分) 22. 解：任取圆C 上一点M(ρ，θ)，由于OC ＝2，R ＝2， ∴ 圆C 通过极点O.(4分)连结OC 并延长交圆C 于点D ，连DM ，在△ODM 中，OM ⊥DM ， ∴ OM ＝OD·cos ∠DOM ，(8分) ∴ ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ，即圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫π3－θ.(10分)23. 解：(1) 由题意知：E(－1，3，0)，D(－2，－1，0)，P(－1，32，32)，S(0，0，3)．∴ DP →＝⎝⎛⎭⎫1，52，32，DE →＝(1，4，0)．(2分) 设n ＝(x ，y ，z)是平面PDE 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DP →＝x ＋52y ＋32z ＝0，n ·DE →＝x ＋4y ＝0，令x ＝－4，则y ＝z ＝1，∴ n ＝(－4，1，1)．(5分) (2) 设点Q(x ，y ，z)，AQ →＝λAS →(x －2，y ＋1，z)＝λ(－2，1，3)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2λ，y ＝－1＋λ，z ＝3λ，点Q 的坐标为(2－2λ，－1＋λ，3λ)， ∴ BQ →＝(－2λ，λ－4，3λ)．(8分) 要使BQ ∥平面PDE ，则BQ →⊥n ， ∴ (－4)×(－2λ)＋1×(λ－4)＋1×3λ＝0λ＝13.由于上述过程可逆，故当AQ AS ＝13时，BQ ∥平面PDE.(10分)24. (1) 证明：设A ⎝⎛⎭⎫a ，a 24、B ⎝⎛⎭⎫b ，b24， ∵ y ＝x 24，∴ y ′＝x2，∴ k AM ＝a 2，k BM ＝b2，(2分)AM ：y ＝a 2x －a 24，BM ：y ＝b 2x －b 24.由⎩⎨⎧y ＝a 2x －a 24，y ＝b 2x －b 24，解得⎩⎨⎧x ＝a ＋b2，y ＝ab 4，∴ab4＝－1ab ＝－4.(4分)k AB ＝a 24－b 24a －b ＝14(a ＋b)，∴ AB ：y －a 24＝a ＋b4(x －a)，即y ＝a ＋b4x ＋1，直线AB 过抛物线C 的焦点(0，1)．(6分) (2) 解：由(1)可知：k AM ·k BM ＝a 2·b 2＝－44＝－1，∴ AM ⊥BM.∴ △ABM 的外接圆的方程为(x －a)(x －b)＋(y －a 24)(y －b 24)＝0，(8分)即x 2＋y 2－(a ＋b)x －14(a 2＋b 2)y －3＝0，由条件知：12⎝⎛⎭⎫a 24＋b 24＝2a 2＋b 2＝16，而ab ＝－4，∴ (a ＋b)2＝a 2＋b 2＋2ab ＝16＋2×(－4)＝8a ＋b ＝±22，∴ △ABM 的外接圆的方程为 x 2＋y 2±22x －4y －3＝0.(10分)南京市2014届高三第二次模拟考试(十一)21. A. (1) 证明：因为AE 与圆相切于点A ，所以∠BAE ＝∠ACB.因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB. 所以∠ABC ＝∠BAE. 所以AE ∥BC. 因为BD ∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形．(4分)(2) 解：因为AE 与圆相切于点A ，所以AE 2＝EB·(EB ＋BD)，即62＝EB·(EB ＋5)，解得BE ＝4.根据(1)有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6.设CF ＝x ，由BD ∥AC ，得AC BD ＝CF BF ，即45＝x 6－x，解得x ＝83，即CF ＝83.(10分)B. 解：(1) 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得a ＝2，b ＝4. 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－14.(5分)(2) (解法1)A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，－x ＋4y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.(10分)(解法2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－14，所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －1316 16.(7分)因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －1316 16⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.(10分)C. 解：(解法1)以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，且圆心C 为(1，0)．(4分)直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心C(1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，所以圆C 关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.(8分)所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(10分)(解法2)设曲线ρ＝2cos θ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝π4对称点为(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρ′＝ρ，θ′＝2k π＋π2－θ.(6分) 将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，即ρ＝2sin θ. 所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(10分)D. 证明：因为|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|.(5分) 由绝对值不等式性质，得|x ＋5y|＝|3(x ＋y)－2(x －y)|≤|3(x ＋y)|＋|2(x －y)| ＝3|x ＋y|＋2|x －y|≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y|≤1.(10分)22. 解：(1) 记“恰有2人申请A 大学”为事件A ，P(A)＝C 24×2234＝2481＝827.答：恰有2人申请A 大学的概率为827.(4分)(2) X 的所有可能值为1，2，3. P(X ＝1)＝334＝127，P(X ＝2)＝C 34×A 23＋3×A 2334＝4281＝1427， P(X ＝3)＝C 24×A 3334＝3681＝49. X 的概率分布列为所以X 的数学期望E(X)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527.(10分)23．解：(1) 因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5f(1)＝10，则f(1)＝2.(1分)因为f(n)是单调增函数，所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5.因为f(n)∈Z ，所以f(2)＝3，f(3)＝4.(3分) (2) 由(1)可猜想f(n)＝n ＋1.因为f(n)单调递增，所以f(n＋1)＞f(n)．又f(n)∈Z，所以f(n＋1)≥f(n)＋1.首先证明：f(n)≥n＋1.因为f(1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n＝k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k＋1.则f(k＋1)≥f(k)＋1≥k＋2，即n＝k＋1时，命题也成立．综上，f(n)≥n＋1.(5分)由已知可得f(2)f(n)＝f(2n)＋f(n＋1)，而f(2)＝3，f(2n)≥2n＋1，所以3f(n)≥f(n＋1)＋2n ＋1，即f(n＋1)≤3f(n)－2n－1.下面证明：f(n)＝n＋1.因为f(1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n＝k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k＋1，则f(k＋1)≤3f(k)－2k－1＝3(k＋1)－2k－1＝k＋2，即n＝k＋1时，命题也成立．所以f(n)＝n＋1.(10分)苏锡常镇四市2013～2014学年度高三教学情况调研(一)(十二)21. A. 证明：连结AC. ∵ EA 是圆O 的切线， ∴ ∠EAB ＝∠ACB.(2分) ∵ AB ＝AD ，∴ ∠ACD ＝∠ACB.∴ ∠ACD ＝∠EAB.(4分)∵ 圆O 是四边形ABCD 的外接圆， ∴ ∠D ＝∠ABE.(6分) ∴ △CDA ∽△ABE.(8分) ∴CD AB ＝DA BE . ∵ AB ＝AD ， ∴CD AB ＝ABBE.(10分) B. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(5分)令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3.M 6β＝M 6(4α1－3α2) ＝4(M 6α1)－3(M 6α2)＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919.(10分)C. 解：(1) 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(5分)(2) 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(10分)D. 解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，(5分)由题设，得|a 2－2a|<3，解得a ∈(－1，3)．(10分) 22. 解：(1) 设甲同学在5次投篮中，恰有x 次投中，“至少有4次投中”的概率为P ，则P ＝P(x ＝4)＋P(x ＝5)(2分) ＝C 45⎝⎛⎭⎫234⎝⎛⎭⎫1－231＋C 55(23)5(1－23)0＝112243.(4分) (2) 由题意ξ＝1，2，3，4，5. P(ξ＝1)＝23，P(ξ＝2)＝13×23＝29，P(ξ＝3)＝13×13×23＝227，P(ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫133×23＝281， P(ξ＝5)＝⎝⎛⎭⎫134＝181. ξ的分布列为ξ的数学期望Eξ＝1×23＋2×29＋3×227＋4×281＋5×181＝12181.(10分)23. (1) 证明：当n 为奇数时，n ＋1为偶数，n －1为偶数，∵S n ＋1＝C 0n ＋1－C 1n ＋…＋(－1)n ＋12Cn ＋12n ＋12，S n ＝C 0n －C 1n －1＋…＋(－1)n －12Cn －12n ＋12，S n －1＝C 0n －1－C 1n －2＋…＋(－1)n －12Cn －12n －12，∴S n ＋1－S n ＝(C 0n ＋1－C 0n )－(C 1n －C 1n －1)＋…＋(－1)n －12(C n ＋12－1n ＋12＋1－C n －12n ＋12)＋(－1)n ＋12Cn ＋12n ＋12(2分)＝－[C 0n －1－C 1n －2＋…＋(－1)n －12Cn －12n －12]＝－S n －1.∴ 当n 为奇数时，S n ＋1＝S n －S n －1成立．(5分)同理可证，当n 为偶数时，S n ＋1＝S n －S n －1也成立．(6分)(2) 解：由S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，得 2 014S ＝C 02 014－2 0142 013C 12 013＋2 0142 012C 22 012－2 0142 011C 32 011＋…－2 0141 007C 1 0071 007＝C 02 014－⎝⎛⎭⎫C 12 013＋12 013C 12 013＋(C 22 012＋22 012C 22 012)－(C 32 011＋32 011C 32 011)＋…－⎝⎛⎭⎫C 1 0071 007＋1 0071 007C1 0071 007 ＝(C 02 014－C 12 013＋C 22 012－…－C 1 0071 007)－(C 02 012－C 12 011＋C 22 010－…＋C 1 0061 006) ＝S 2 014－S 2 012.(9分)又由S n＋1＝S n－S n－1，得S n＋6＝S n，所以S2 014－S2 012＝S4－S2＝－1，S＝－12 014.(10分)南通市2014届高三第二次调研测试(十三)21. A. 证明：因为PA 是圆O 在点A 处的切线，所以∠PAB ＝∠ACB.因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ，所以∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE.又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE.(10分)B. 解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，c －d ＝－1. 再由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝1. 联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1.(10分) C. 解：由题设可知P(1＋2cos α，2sin α)，Q(1＋2cos2α，2sin2α)，(2分) 于是PQ 的中点M(1＋cos α＋cos2α，sin α＋sin2α)．(4分)从而d 2＝MA 2＝(cos α＋cos2α)2＋(sin α＋sin2α)2＝2＋2cos α.(6分) 因为0＜α＜2π，所以－1≤cos α≤1，(8分)于是0≤d 2＜4，故d 的取值范围是[0，2)．(10分) D. 证明：因为|m|＋|n|≥|m －n|，所以|x －1＋a|＋|x －a|≥|x －1＋a －(x －a)|＝|2a －1|.(8分) 又a ≥2，故|2a －1|≥3.所以|x －1＋a|＋|x －a|≥3.(10分)22. (1) 证明：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系．不妨设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)，D 1(0，0，1)．因为AE EB ＝λ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，0，于是D 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，－1，A 1D →＝(－1，0，－1)．所以D 1E →·A 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，－1·(－1，0，－1)＝0.故D 1E ⊥A 1D.(5分)(2) 解：因为D 1D ⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的法向量为n 1＝(0，0，1)．又CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ－2，0，CD 1→＝(0，－2，1)．设平面D 1CE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z)，则n 2·CE →＝x ＋y ⎝⎛⎭⎫2λ1＋λ－2＝0，n 2·CD 1→＝－2y ＋z ＝0，所以向量n 2的一个解为⎝⎛⎭⎫2－2λ1＋λ，1，2.因为二面角D 1ECD 的大小为π4，则n 1·n 2|n 1||n 2|＝22.解得λ＝±233－1.又E 是棱AB 上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为233－1.(10分)23. 解：(1) 当n ＝3时，a 1＝a 3＝1. 因为a 2a 1∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，a 3a 2∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，即a 2∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，1a 2∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，所以a 2＝12或a 2＝1或a 2＝2.故此时满足条件的数列{a n }共有3个：1，12，1；1，1，1；1，2，1.(3分)(2) 令b i ＝a i ＋1a i(1≤i ≤7)，则对每个符合条件的数列{a n }，满足条件： b 1·b 2·b 3·…·b i ＝a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a i ＋1a i ＝a 8a 1＝1，且b i ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2(1≤i ≤7)．反之，由符合上述条件的7项数列{b n }可唯一确定一个符合条件的8项数列{a n }．(7分) 记符合条件的数列{b n }的个数为N.显然，b i (1≤i ≤7)中有k 个2；从而有k 个12，7－2k 个1.当k 给定时，{b n }的取法有C k 7C k7－k 种，易得k 的可能值只有0，1，2，3，故N ＝1＋C 17C 16＋C 27C 25＋C 37C 34＝393.因此，符合条件的数列{a n }的个数为393.(10分)南京市2014届高三第三次模拟考试(十四)21. A. 证明：因为AE 为圆O 的切线，所以∠ABD ＝∠CAE.(2分) 因为△ACD 为等边三角形，所以∠ADC ＝∠ACD ，所以∠ADB ＝∠ECA ，所以△ABD ∽△EAC.(6分)所以AD BD ＝ECCA，即AD·CA ＝BD·EC.(8分)因为△ACD 为等边三角形，所以AD ＝AC ＝CD ，所以CD 2＝BD·EC.(10分)B. 解：设特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －1，对应的特征值为λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，即⎩⎪⎨⎪⎧ak －k ＝λk ，λ＝1. 因为k ≠0，所以a ＝2.(5分) 因为A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以2＋k ＝3，解得k ＝1. 综上，a ＝2，k ＝1.(10分)C. 解：设M(2cos θ，23sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.由题知OA ＝2，OB ＝23，(2分)所以四边形OAMB 的面积S ＝12×OA ×23sin θ＋12×OB ×2cos θ＝23sin θ＋23cos θ＝26sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.(8分)所以当θ＝π4时，四边形OAMB 的面积的最大值为2 6.(10分)D. 解：由柯西不等式，得[a 2＋(2b)2＋(3c)2]⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫132≥(a ＋b ＋c)2.(8分)因为a 2＋2b 2＋3c 2＝6，所以(a ＋b ＋c)2≤11，－11≤a ＋b ＋c ≤11.故a ＋b ＋c 的最大值为11，当且仅当a ＝2b ＝3c ＝61111.(10分)22. 证明：连结AC 、BD 交于点O ，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴建立空间直角坐标系．因为PA ＝AB ＝2，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．(1) 由BN →＝13BD →，得N ⎝⎛⎭⎫0，13，0，由PM →＝13PA →，得M ⎝⎛⎭⎫13，0，23，所以MN →＝⎝⎛⎭⎫－13，13，－23，AD →＝(－1，－1，0)．因为MN →·AD →＝0，所以MN ⊥AD.(4分)(2) 因为M 在PA 上，可设PM →＝λPA →，得M(λ，0，1－λ)．所以BM →＝(λ，－1，1－λ)，BD →＝(0，－2，0)．设平面MBD 的法向量n ＝(x ，y ，z)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·BM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＝0，λx －y ＋（1－λ）z ＝0，其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ，所以可取n ＝(λ－1，0，λ)．(8分) 因为平面ABD 的法向量为OP →＝(0，0，1)，所以cos π4＝|n ·OP →||n ||OP →|，即22＝λ（λ－1）2＋λ2，解得λ＝12，从而M ⎝⎛⎭⎫12，0，12，N ⎝⎛⎭⎫0，13，0，所以MN ＝⎝⎛⎭⎫12－02＋⎝⎛⎭⎫0－132＋⎝⎛⎭⎫12－02＝226.(10分) 23. 解：(1) S ＝{1，2}的所有非空子集为：{1}，{2}，{1，2}，所以数组T 为：1，2，32.因此m(T)＝1＋2＋323＝32.(3分)(2) 因为S ＝{a 1，a 2，…，a n }，n ∈N *，n ≥2，所以m(T)＝1211111111123111()()()23n n n n n n n n i i i i nn n n nai C ai C ai C ai n C C C C ----====轾犏++++犏臌+++邋邋L L ＝1＋12C 1n －1＋13C 2n －1＋…＋1n C n －1n －1C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn ∑i ＝1na i .(6分) 因为1k C k －1n －1＝1k ·（n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝（n －1）！k ！（n －k ）！＝1n ·n ！（n －k ）！k ！＝1n C k n，(8分)。

2013高考新课标数学理科 21题答案(首发)

双硕教育 2013高考新课标数学理科 21 答案年月日1 21.已知函数()ln()x f x e x m =-+。

（Ⅰ）0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >。

解：（Ⅰ）1'()x f x e x m =-+，因为0x =是()f x 的极值点，所以'(0)0f =即110m-=，解得1m =。

又因为0x m +>，显然'()f x 为增函数，因此'()f x 只有一个零点为0，又因为当1m =时，1x >-，因此当10x -<<时，'()0f x <，()f x 为减函数，0x >时，'()0f x >，()f x 为增函数。

综上，1m =，()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上为单调递增。

（Ⅱ）由（Ⅰ）1'()x f x e x m=-+，'()f x 为增函数，()f x 定义域为(,)m -+∞，当x m →-时，'()f x →-∞，而当x →+∞时，()f x →+∞，因此'()f x 必然存在一个零点，而且只有一个零点，设为0x ，于是有0001'()0x f x e x m=-=+，因此当0m x x -<<时，'()0f x <，()f x 单调递减，而当0x x >时，'()0f x >，()f x 单调递增，因此0x 是()f x 的极小值点，也就是最小值点，且()f x 的最小值为000()ln()x f x e x m =-+，又因为0001'()0x f x e x m =-=+，得到001x e x m =+及00x x m e -+=，代入0()f x 表达式得到0000000111()()2()2f x x x m m x m m m x m x m x m=+=++-≥+-=-+++，（注意到00x m +>），又因为2m ≤，所以0()0f x ≥，而当上述不等式等号成立时必须2m =并且001x m x m =++，于是得到01x =-，而此时00011'()10x f x e x m e=-=-≠+，与0x 是0'()f x 的零点矛盾，因此01x ≠-，综上必有0()0f x >，证毕。

江苏省如东县2013-2014学年度第一学期高三期末考试四校联考数学试卷(理科)附加题

2013 2014学年度第一学期期末高三联考试卷数学附加题21．在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P 的方程为24c o s 30ρρθ-+=. (1)求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程;(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ,求||AB .22．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO ．（1）若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成的角的余弦值；（2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．AA 1 BC D OE B 1 C 1 D 1 （第22题图）23．已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。

（1）求曲线C 的方程；（2）过点P （2，2）的直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，且AP PB =, 求直线m 的方程24．记)21()21)(21(2n x x x +⋅⋅⋅++的展开式中，x 的系数为n a ，2x 的系数为n b ,其中*N n ∈。

(1)求n a ；（2）是否存在常数p,q(p<q),使)21)(21(31n n n qp b ++=，对*N n ∈，2≥n 恒成立？证明你的结论2013 2014学年度第一学期高三联考试卷数学附加题21．在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=.(1)求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程;(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ,求||AB .解:(1)曲线C 的普通方程为01=--y x , ………………………3分曲线P 的直角坐标方程为03422=+-+x y x ………………………6分 (2)曲线P 可化为1)2(22=+-y x ,表示圆心在)0,2(,半径=r 1的圆, 则圆心到直线C 的距离为2221==d , ………………………8分所以2222=-=dr AB ………………………10分22．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO ．（1）若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成的角的余弦值；（2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．22．【解】(1)以1,,DA DC DD为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)，E ()111442，，，于是()111DE = ，，，()1011CD =- ，，. ………………………3分 A A 1 BC D O EB 1C 1D 1 （第22题图）由cos 1DE CD 〈〉 ，＝11||||DE CD DE CD ⋅⋅.所以异面直线AE 与CD 1. ………………………5分（写负数扣1分）（2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，，取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . ………………………7分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，. 又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE＝0.得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，，取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) .……9分因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以·m n＝0，得λ＝2． ………………10分23．已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。

2013-2014学年高三理科数学附加题：训练21

高三数学理科附加题训练21
1．选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）
求使等式成立的矩阵M。

2．（本小题满分10分）
已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线。

（I）分别求出凸四边形，凸五边形，凸六边形的对角线的条数；
（II）猜想凸n边的对角线条数f（n），并用数学归纳法证明。

3．选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程
为2cos ρθ=，如图，曲线C 与x 轴交于O ，B 两点，P 是曲线C 在x 轴上方图象上任意一点，连结OP 并延长至M ，使PM ＝PB ，当P 变化时，求动点M 的轨迹的长度。

4．（本小题满分10分）
集合中任取三个元素构成子集
（1）求a ，b ，c 中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；
（2）记a ，b ，c 三个数中相邻自然数的组数为ξ（如集合{3，4，5}中3和4相邻，ξ＝2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望E （ξ）。

2014实战演练·高三数学附加分参考答案与解析

2014实战演练·高三数学附加分参考答案与解析南京市、盐城市2013届高三第一次模拟考试21. A.解：连结OC ，BE.因为AB 是圆O 的直径，所以BE ⊥AE.因为AB ＝8，BC ＝4，所以OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形．所以∠BOC ＝60°.(4分) 又直线l 切圆O 与于点C ，所以OC ⊥l.因为AD ⊥l ，所以AD ∥OC.所以∠BAD ＝∠BOC ＝60°.(8分)在Rt △BAE 中，因为∠EBA ＝90°－∠BAE ＝30°，所以AE ＝12AB ＝4.(10分)B. 解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x)－4.(2分)因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x ＝1.(4分)由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1.(6分)设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，从而y ＝－x.(8分) 取x ＝1，得y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(10分)C. 解：圆的极坐标方程化为直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，所以圆心的直角坐标为(－1，0)，半径为2.(4分) 又直线方程可化为x ＋y －7＝0，(6分)所以圆心到直线的距离d ＝|－1－7|2＝42，所以AB 的最小值为42－2.(10分) D. 证明：因为a 1是正数，所以1＋a 1≥2a 1＞0.(5分)同理1＋a k ≥2a k ＞0(k ＝2，3，4，…，n)．因此(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )≥2n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时等号成立．因为a 1·a 2·…·a n ＝1，所以(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )≥2n .(10分)22. 解：(1) 记该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为P ，则P ＝⎝⎛⎭⎫C 12·23·13⎝⎛⎭⎫C 12·12·12＋⎝⎛⎭⎫23·23(12·12)＝13. 故该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为13.(4分)(2) 该小组在一次检测中荣获“和谐组”的概率为 P ＝⎝⎛⎭⎫C 12·23·13[C 12·P 2·(1－P 2)]＋⎝⎛⎭⎫23·23P 22＝89P 2－49P 22. 因为该小组在这12次检测中获得“和谐组”的次数X ～B(12，P)，所以EX ＝12P.(7分) 由EX ≥5，得12⎝⎛⎭⎫89P 2－49P 22≥5，解得34≤P 2≤54. 因为P 2≤1，所以P 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤34，1.(10分) 23. (1) 解：因为T r ＋1＝C r n ·2n －r x r2. 令r2＝3，得r ＝6，故x 3的系数为C 6n ·2n －6＝14，解得n ＝7.(4分) (2) 证明：由二项式定理可知(2＋3)n ＝C 0n 2n ＋C 1n 2n －1(3)＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C r n 2n －r (3)r ＋…＋C n n (3)n＝[C 0n 2n ＋C 2n 2n －2(3)2＋…]＋3(C 1n 2n －1＋C 3n ·2n －3·3＋…)．(6分) 令x ＝C 0n 2n ＋C 2n 2n －2(3)2＋…， y ＝C 1n 2n －1＋C 3n ·2n －3·3＋…，显然x ∈N *，y ∈N *.则(2＋3)n ＝x ＋3y ，(2－3)n ＝x －3y ，所以(2＋3)n ·(2－3)n ＝x 2－3y 2＝1. 令s ＝x 2，则必有s －1＝x 2－1＝3y 2.从而(2＋3)n 必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.(10分)南通市2013届高三第一次调研测试21. A. 证明：(1) 连BE ，则∠E ＝∠C. 又∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴ △ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC. ∴ AB ·AC ＝AE·AD.(5分)(2) 连结OF ，∵ F 是BC ︵的中点，∴ ∠BAF ＝∠CAF.由(1) 得∠BAE ＝∠CAD ，∴ ∠FAE ＝∠FAD.(10分)B. 解：设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，(3分)设P(x′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上的对应的点为P(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y′ x′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y′，y ＝x′， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝－12x.(7分)又点P(x′，y ′)在曲线C ：y 2＝2x 上， ∴ ⎝⎛⎭⎫－12x 2＝2y ，即y ＝18x 2.(10分) C. 解：曲线C 的普通方程是x 23＋y 2＝1.(2分)直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.(4分)设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是 d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3|2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1|2.(7分)因为－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，即θ＋π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 综上所述，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大．(10分) 注：凡给出点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－62，－22，不扣分． D. 解：∵ a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，∴ 4a 2＋b 2＝(2a ＋b)2－4ab ＝1－4ab ，(2分) 且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18，(5分) ∴ S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab)＝2ab ＋4ab －1≤2－12，当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立．(10分)22. (1) 解：解法1：设M(x ，y)，P(x 1，0)，Q(0，y 2)，则由PR →·PM →＝0，PQ →＝12QM →及R(0，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1（x －x 1）＋（－3）y ＝0，－x 1＝12x ，y 2＝12y －12y 2，化简，得x 2＝4y.(4分)所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(5分) 解法2：设M(x ，y)．由PQ →＝12QM →，得P ⎝⎛⎭⎫－x 2，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，y 3. 所以，PR →＝⎝⎛⎭⎫x 2，－3，PM →＝⎝⎛⎭⎫3x 2，y . 由PR →·PM →＝0，得⎝⎛⎭⎫x 2，－3·⎝⎛⎭⎫32x ，y ＝0，即34x 2－3y ＝0，化简得x 2＝4y.(4分) 所以，动点M 的轨迹C 1是顶点在原点，开口向上的抛物线．(5分)(2) 证明：由题意，得AB →·CD →＝AB·CD ，圆C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F. 设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则AB ＝FA －FB ＝y 1＋1－1＝y 1.(7分) 同理CD ＝y 2.设直线l 的方程为x ＝k(y －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k （y －1），y ＝14x 2，得y ＝14k 2(y －1)2，即k 2y 2－(2k 2－4)y ＋k 2＝0.所以，AB →·CD →＝AB·CD ＝y 1y 2＝1.(10分)23. 解：(1) 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1. 令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .因为b 1＝－5为奇数，b n 也是奇数且只能为－1，所以，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，n ＝1，－1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，n ＝1，0，n ≥2.(3分) (2) 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.(4分)下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k(k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，故a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 14（t －1）·44t －5＋…＋(－1)r C r 4（t －1）·44t －4－r＋…－C 4t －34（t －1）·4，即m ∈Z ，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．所以由数学归纳法原理知命题对 n ∈N *成立．(10分)苏州市2013届高三调研测试21. A. 证明：连结OP ，∵ 直线l 切圆O 于点P ， ∴ OP ⊥l.(2分)∵ AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴ OP ∥AC ∥BD.又OA ＝OB ，∴ PC ＝PD.(5分) ∵ OP ∥AC ，∴ ∠OPA ＝∠CAP.(8分) ∵ OP ＝OA.∴ ∠OPA ＝∠OAP. 则∠CAP ＝∠OAP.∴ AP 平分∠CAB.(10分)B. 解：设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 21属于特征值－1的一个非零特征向量．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 x 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，(2分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋xb ＝－a ，2a ＋b ＝－b ，解得b ＝－a(由条件知a ≠0)，x ＝2.(5分) 因此M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221.特征方程为λ2－2λ－3＝0.(8分) ∵ λ≠－1，∴ λ＝3.(10分)C. 解：A(4，0)，B(0，2)，AB ＝2 5. 则直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.(2分) 设P(4cos θ，2sin θ)，θ为锐角．则点P 到直线AB 的距离为d ＝|4cos θ＋4sin θ－4|5＝|42sin （θ＋45°）－4|5.(5分)∵ θ为锐角，∴ 45°＜θ＋45°＜135°. ∴22＜sin (θ＋45°)≤1，0＜42sin (θ＋45°)－4≤42－4. 则当θ＝45°时，d 取得最大值为42－45.(8分)此时，△PAB 面积S 取得最大值为12×25×42－45＝42－4.(10分) D. 证明：∵ a 、b 、x 、y 都是正数，∴ (ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)(2分) ≥ab(2xy)＋xy(a 2＋b 2)(5分) ＝(a ＋b)2xy.(8分)∵ a ＋b ＝1，∴ (a ＋b)2xy ＝xy.则(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy 成立．(10分)22. 解：(1) “第一次取得正品且第二次取得次品”的概率为 8×210×9＝845.(2分) (2) X 的取值为0、1、2，则 P(X ＝0)＝8×7×610×9×8＝715；(4分)P(X ＝1)＝8×7×2×310×9×8＝715；(6分)P(X ＝2)＝8×2×1×310×9×8＝115.(8分)故X 的分布列为：数学期望E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.(10分)23. 解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A 1(0，0，3)，B 1(2，0，3)，C 1(0，4，3).A 1D →＝(1，2，－3)，A 1C 1→＝(0，4，0)．(2分)设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)． ∵ n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0.∴ x ＝3z ，y ＝0.令z ＝1，得x ＝3.n ＝(3，0，1)．(4分) 设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ， ∵ DB 1→＝(1，－2，3)，∴ sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝3×1＋0×（－2）＋1×310×14＝33535.(6分)(2) 设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c)． A 1B 1→＝(2，0，0)，∵ m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0，∴ a ＝0，2b ＝3c.令c ＝2，得b ＝3.故m ＝(0，3，2)．(8分) 设二面角B 1A 1DC 1的大小为α，∴ |cos α|＝cos|〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|m |＝|0×3＋3×0＋2×1|13×10＝265，则sin α＝3765＝345565.∴ 二面角B 1A 1DC 1的正弦值为345565.(10分)无锡市2012年秋学期普通高中期末考试试卷21. A. 证明：连结OD ，∵ OD ＝OA ，∴ ∠OAD ＝∠ODA. ∵ AD 平分∠BAE ，∴ ∠OAD ＝∠EAD ，(3分) ∴ ∠EAD ＝∠ODA ，∴ OD ∥AE.(5分) 又AE ⊥DE ，∴ DE ⊥OD ，(8分)又OD 为半径，∴ DE 是圆O 的切线．(10分)B. 解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2.(4分)设A(a ，b)，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋2b ＝4.(8分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，即A(－2，3)．(10分)C. 解：圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2，即ρ＝－2sin θ，ρ2＝－2ρsin θ，(2分)∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，∴ 圆心C(0，－1)．(4分) 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，∴ 直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2.(7分)∵ 圆心C 到直线l 的距离为d ＝|－1－2|2＝322，(9分)∴ 动点M 到直线l 距离的最大值为322＋1.(10分)D. 证明：∵ |x ＋1|＋|x －1|＜4，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－2x ＜4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，2x ＜4，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，2＜4，(2分) 解得－2＜x ＜－1或－1≤x ≤1或1＜x ＜2，(4分)∴ 4(a ＋b)2－(4＋ab)2＝－a 2b 2＋4a 2－16＋4b 2＝(a 2－4)(4－b 2)． ∵ a 、b ∈M ，即－2＜a ＜2，－2＜b ＜2， ∴ (a 2－4)(4－b 2)＜0，(8分) ∴ 4(a ＋b)2＜(4＋ab)2， ∴ 2|a ＋b|＜|4＋ab|.(10分)22. 解：(1) 设Y Y 的分布列如下：A 表示事件“银行工作人员在第6分钟开始办理第三位顾客的业务”，则事件A 对应两种情形： ① 办理第一位业务所需的时间为2 min ，且办理第二位业务所需的时间为3 min ； ② 办理第一位业务所需的时间为3 min ，且办理第二位业务所需的时间为2 min ； ∴ P(A)＝P(Y ＝2)P(Y ＝3)＋P(Y ＝3)P(Y ＝2)＝15×310＋310×15＝325.(3分)(2) X 的取值为0、1、2，X ＝0对应办理第一位业务所需的时间超过4 min ， ∴ P(X ＝0)＝P(Y ＞4)＝110，(5分)X ＝1对应办理第一位业务所需的时间为2 min 且办理第二位业务所需的时间超过2 min ，或办理第一位业务所需的时间为3 min 或办理第一位业务所需的时间为4 min ，∴ P(X ＝1)＝P(Y ＝2)P(Y ＞2)＋P(Y ＝3)＋(Y ＝4)＝15×45＋310＋25＝4350.(6分)X ＝2对应办理两位顾客业务时间均为2 min ， ∴ P(X ＝2)＝P(Y ＝2)P(Y ＝2)＝15×15＝125.(7分)∴ X 的分布列为：(9分)E(X)＝0×110＋1×4350＋2×125＝4750.(10分)23. (1) 解：由已知，得f ′(x)＝x ＋1x.当x ∈[1，e]时，f ′(x)＞0，所以函数f(x)在区间[1，e]上单调递增，(2分) 所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值分别为f(e)、f(1)．因为f(1)＝12，f(e)＝e 22＋1，所以函数f(x)在区间[1，e]上的最大值为e 22＋1、最小值为12.(4分)(2) 证明：当n ＝1时，不等式成立，(5分) 当n ≥2时，[g(x)]n－g(x n)＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x n－⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n ＝C 1n xn－11x ＋C 2n x n －21x 2＋…＋C n －1n x 1x n －1＝C 1n x n －2＋C 2n x n －4＋…＋C n －1n1xn －2＝12[C 1n ⎝⎛⎭⎫x n －2＋1x n －2＋C 2n⎝⎛⎭⎫x n －4＋1x n－4＋…＋ C n －1n ⎝⎛⎭⎫1x n －2＋xn －2]．(9分)由已知x ＞0，所以[g(x)]n －g(x n )≥C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＝ 2n －2.(10分)常州市2013届高三上学期期末考试21. A. 证明：连结OF. 因为OC ＝OF ，所以∠OCF ＝∠OFC. 因为DF 切圆O 于F ，所以∠OFD ＝90°.所以∠OFC ＋∠CFD ＝90°.(4分)因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF ＋∠CEO ＝90°. 所以∠CFD ＝∠CEO ＝∠DEF ，所以DF ＝DE.(8分) 因为DF 是圆O 的切线，所以DF 2＝DB·DA. 所以DE 2＝DB·DA.(10分)B. 解：因为矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，化简，得c ＋d ＝6.(4分)因为矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，化简，得3c －2d ＝－2.(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，故A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12.(10分)C. 解：将曲线C 1、C 2化为直角坐标方程，得 C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2，(4分) ∵ 圆心C 2到直线C 1的距离 d ＝|1＋3＋2|12＋（3）2＝3＋32＞2，(8分) ∴ 曲线C 1与C 2相离．(10分)D. 证明：x 、y 、z 均为正实数，由柯西不等式，得[(y ＋z)＋(x ＋z)＋(x ＋y)]⎝⎛⎭⎫x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z2x ＋y ≥(x ＋y ＋z)2，(6分)∵ x ＋y ＋z ＝1，∴ x 2y ＋z ＋y 2x ＋z ＋z 2x ＋y ≥12.(10分) 22. 解：(1) 设口袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为C 2nC 29，由题意知C 2nC 29＝512，化简得n 2－n －30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，故口袋中原有白球的个数为6.(4分)(2) 由题意，X 的可能取值为1，2，3，4. P(X ＝1)＝69＝23；P(X ＝2)＝3×69×8＝14；P(X ＝3)＝3×2×69×8×7＝114；P(X ＝4)＝3×2×1×69×8×7×6＝184.(8分)所以取球次数X 的概率分布列为：所求数学期望为：E(X)＝1×23＋2×14＋3×114＋4×184＝107.(10分)23. 解：(1) a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，a 4＝15.(2分) (2) a n ＝16(n 3＋5n ＋6)．(4分)证明如下：当n ＝1时显然成立；设n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＝16(k 3＋5k ＋6)．(5分)则当n ＝k ＋1时，再添上第k ＋1个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线可以把第k ＋1个平面最多划分成12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]个，(7分)从而a k ＋1＝a k ＋12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2]＝16(k 3＋5k ＋6)＋12[(k ＋1)2－(k ＋1)＋2] ＝16[(k ＋1)3＋5(k ＋1)＋6]，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．综上所述，对 n ∈N *，a n ＝16(n 3＋5n ＋6)．(10分)镇江市2013届高三上学期期末考试21. A. 证明：∵ AE ＝AC ，∠CDE ＝∠AOC ，(2分)又 ∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ，(6分)从而∠PFD ＝∠OCP.(7分)在△PDF 与△POC 中，∠P ＝∠P ，∠PFD ＝∠OCP ，故△PDF ∽△POC.(10分)B. 解：设P(x 0，y 0)为曲线xy ＝1上的任意一点，在矩阵A 变换下得到另一点P′(x′0，y ′0)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 22 22－22 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，(4分) 即⎩⎨⎧x′0＝22（x 0＋y 0），y ′0＝22（y 0－x 0），(6分) 所以⎩⎨⎧x 0＝22（x′0－y′0），y 0＝22（x′0＋y′0），(8分) 又点P 在曲线xy ＝1上，所以x 0y 0＝1，故有x′20－y′20＝2，即所得曲线方程为x 2－y 2＝2.(10分)C. 解：将极坐标方程转化成直角坐标方程：ρ＝3cos θ，即x 2＋y 2＝3x ，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94；(4分) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝1＋4t ，即2x －y ＝3，(6分) d ＝|2×32－0－3|22＋（－1）2＝0，(8分)即直线经过圆心，所以直线截得的弦长为3.(10分)D. 解：(1) 由题设知：|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象(如图所示)，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(5分)(2) 由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a.由图知|x ＋1|＋|x －2|≥3，∴ －a ≤3，∴ a ≥－3.(10分)22. 解：设直线方程为y ＝x ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x ，y)，将y ＝x ＋m 代入y 2＝2x ，得x 2＋(2m －2)x ＋m 2＝0，(2分)∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －2）2－4m 2＞0，x 1＋x 2＝2－2m ，x 1x 2＝m 2，(6分) ∴ m ＜12，x ＝x 1＋x 22＝1－m ＞12，y ＝x ＋m ＝1，(9分) 线段AB 中点M 的轨迹方程为y ＝1⎝⎛⎭⎫x ＞12.(10分) 23. (1) 解：∵ 函数f(x)＝ln(2－x)＋ax 在区间(0，1)上是增函数，∴ f ′(x)＝－12－x＋a ≥0在区间(0，1)上恒成立，(2分) ∴ a ≥12－x. 又g(x)＝12－x 在区间(0，1)上是增函数， ∴ a ≥g(1)＝1，即实数a 的取值范围为a ≥1.(3分)(2) 证明：先用数学归纳法证明0＜a n ＜1.当n ＝1时，a 1∈(0，1)成立，(4分)假设n ＝k 时，0＜a k ＜1成立，(5分)当n ＝k ＋1时，由(1)知a ＝1时，函数f(x)＝ln(2－x)＋x 在区间(0，1)上是增函数， ∴ a k ＋1＝f(a k )＝ln(2－a k )＋a k ，∴ 0＜ln2＝f(0)＜f(a k )＜f(1)＝1，(7分)即0＜a k ＋1＜1成立，∴ 当n ∈N *时，0＜a n ＜1成立．(8分)下证a n ＜a n ＋1.∵ 0＜a n ＜1，∴ a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )＞ln1＝0.(9分)∴ a n ＜a n ＋1.综上所述，0＜a n ＜a n ＋1＜1.(10分)。

2014年江苏高考理科附加题(10套)

2014江苏省数学高考附加题强化试题1班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.D.选修4－5：不等式选讲已知函数2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+（,,a b c 为实数）的最小值为m ，若23a b c -+=，求m 的最小值．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22、如图，正四棱锥P ABCD -中，2,AB PA ==AC 、BD 相交于点O ，求：（1）直线BD 与直线PC 所成的角；（2）平面PAC 与平面PBC 所成的角23、设数列{}n a 满足2111,n n a a a a a +==+，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤．（1）当(,2)a ∈-∞-时，求证：a ∉M ；（2）当1(0,]4a ∈时，求证：a M ∈；（3）当1(,)4a ∈+∞时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．江苏省数学高考附加题强化试题2班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-．求矩阵M ；C ．选修4—4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为ρ =l 与ρ =2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲求函数()f x =[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题10分）口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望．23．（本小题10分）已知曲线1:(0)C y x x=>，过1(1,0)P 作y 轴的平行线交曲线C 于1Q ，过1Q 作曲线C 的切线与x 轴交于2P ，过2P 作与y 轴平行的直线交曲线C 于2Q ，照此下去，得到点列12,,P P ⋅⋅⋅，和12,,Q Q ⋅⋅⋅，设||n n n PQ a =*1|()n n n Q Q b n N +=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：1222n n n b b b -++⋅⋅⋅+>-；江苏省数学高考附加题强化试题3班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.D ．（选修4－5：不等式选讲）设z y x ,,为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率； (Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．23．（本小题满分10分）设函数(,)1(0,0)xm f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.（1）当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）若31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求4i i a =∑；（3）设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)n f n m f n t =，求证：7(2010,)f f t >-．江苏省数学高考附加题强化试题4班级姓名得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -，(1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）{(,),,A x y x y m ααα===+为参数}，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数}，且A B ≠∅，求实数m 的取值范围．D ．（选修4－5：不等式选讲）已知,,a b c R ∈，证明不等式：（1）66622218227a b c a b c ++≥；（2）22249236a b c ab ac bc ++≥++．[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.22．（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．23．（本小题满分10分）已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省数学高考附加题强化试题5班级姓名得分A PB C D M 第22题图21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.B ．（选修4—2：矩阵与变换）求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）求圆心为36C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为3的圆的极坐标方程.D ．（选修4－5：不等式选讲）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

2014年江苏高考理科附加题(10套)

2014省数学高考附加题强化试题1班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换假设点A 〔2，2〕在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B 〔－2，2〕，求矩阵M 的逆矩阵．C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y 〔α为参数〕，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.D.选修4－5：不等式选讲函数2222()()()()()3a b c f x x a x b x c ++=-+-+-+〔,,a b c 为实数〕的最小值为m ，假设23a b c -+=，求m 的最小值．[必做题] 第22、23题,每题10分,计20分.22、如图，正四棱锥P ABCD -中，2,AB PA =，AC 、BD 相交于点O ，求：〔1〕直线BD 与直线PC 所成的角；〔2〕平面PAC 与平面PBC 所成的角23、设数列{}n a 满足2111,n n a a a a a +==+，{}* | |2R N n M a n a =∈∈，≤．〔1〕当(,2)a ∈-∞-时，求证：a ∉M ；〔2〕当1(0,]4a ∈时，求证：a M ∈；〔3〕当1(,)4a ∈+∞时，判断元素a 与集合M 的关系，并证明你的结论．省数学高考附加题强化试题2班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．选修4—2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-．求矩阵M ；C ．选修4—4：坐标系与参数方程假设两条曲线的极坐标方程分别为=l 与=2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．选修4—5：不等式选讲求函数()212f x x x =+-[必做题] 第22、23题,每题10分,计20分.22．〔本小题10分〕口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．假设307)2(==X P ，求〔1〕n 的值；〔2〕X 的概率分布与数学期望．23．〔本小题10分〕曲线1:(0)C y x x=>，过1(1,0)P 作y 轴的平行线交曲线C 于1Q ，过1Q 作曲线C 的切线与x 轴交于2P ，过2P 作与y 轴平行的直线交曲线C 于2Q ，照此下去，得到点列12,,P P ⋅⋅⋅，和12,,Q Q ⋅⋅⋅，设||n n n P Q a =*1|()n n n Q Q b n N +=∈．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕求证：1222n nn b b b -++⋅⋅⋅+>-；省数学高考附加题强化试题3班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．〔选修4—2：矩阵与变换〕矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3cd ，假设矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．C ．〔选修4—4：坐标系与参数方程〕曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，求直线l 被曲线C 截得的线段长度.D ．〔选修4－5：不等式选讲〕设z y x ,,为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥．[必做题] 第22、23题,每题10分,计20分.22．〔本小题总分值10分〕某中学选派40名同学参加世博会青年志愿者效劳队〔简称“青志队〞〕，他们参加活动的次数统计如表所示．(Ⅰ)从“青志队〞中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率； (Ⅱ)从“青志队〞中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．23．〔本小题总分值10分〕设函数(,)1(0,0)x m f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭. 〔1〕当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；〔2〕假设31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求40i i a =∑；〔3〕设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)nf n m f n t =，求证：7(2010,)f f t >-．省数学高考附加题强化试题4班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．〔选修4—2：矩阵与变换〕在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -，(1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．〔1〕求出矩阵M ；〔2〕确定点D 及点'C 的坐标．C ．〔选修4—4：坐标系与参数方程〕{(,),,A x y x y m ααα===+为参数}，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数}，且A B ≠∅，数m 的取值围．D ．〔选修4－5：不等式选讲〕,,a b c R ∈，证明不等式：〔1〕66622218227a b c a b c ++≥；〔2〕22249236a b c ab ac bc ++≥++．[必做题] 第22、23题,每题10分,计20分.22．〔本小题总分值10分〕如下图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且垂直于底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，M 为PC 上一点，且PA ∥平面BDM ．⑴求证：M 为PC 中点；⑵求平面ABCD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小．23．〔本小题总分值10分〕抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ．⑴求p 的值；⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有一样的切线．假设存在，求出点C 的坐标；假设不存在，请说明理由．AP B C D M第22题图省数学高考附加题强化试题5班级得分21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每题10分,计20分.B ．〔选修4—2：矩阵与变换〕求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程．C ．〔选修4—4：坐标系与参数方程〕求圆心为36C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为3的圆的极坐标方程.D ．〔选修4－5：不等式选讲〕c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cb ac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

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