高中数学 第三章 推理与证明 3.3.1 综合法学案 北师大版选修1-2

§3综合法与分析法3．1 综合法1．了解综合法的思考过程、特点．(重点)2．会用综合法证明数学问题．(难点)[基础·初探]教材整理综合法阅读教材P60～P61“练习”以上部分，完成下列问题．1．综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图3­3­1表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q图3­3­1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法．( )(2)综合法证明的依据是三段论．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( )【解析】(1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．【答案】(1)√(2)√(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________[小组合作型]用综合法证明三角问题在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B＋(2c －b )sin C .(1)求证：A 的大小为60°；(2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．【精彩点拨】 (1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A . (2)结合(1)中A 的大小利用三角恒等变形证明A ＝B ＝C ＝60°. 【自主解答】 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )·sin C ， 得2a 2＝(2b －c )·b ＋(2c －b )c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.(2)由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＋C ＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， sin B ＋(sin 120°cos B －cos 120°sin B )＝3， 32sin B ＋32cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1. 因为0°<B <120°， 所以30°<B ＋30°<150°， 所以B ＋30°＝90°，即B ＝60°， 所以A ＝B ＝C ＝60°， 即△ABC 为等边三角形．证明三角等式的主要依据：(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． (2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理． (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．[再练一题]1．求证：3－2cos 2α＝3tan 2α＋1tan 2α＋1. 【证明】 原式右边＝3tan 2α＋1tan 2α＋1＝1＋2sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＋1＝1＋2sin 2α＝1＋2(1－cos 2α) ＝3－2cos 2α＝左边． 所以原式成立．用综合法证明几何问题如图3­3­2，在四面体B ­ACD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证： 【导学号：67720017】(1)直线EF ∥平面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD.图3­3­2【精彩点拨】 (1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF ∥平面ACD ，只需在平面ACD 内找出一条直线和直线EF 平行即可；(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC ⊥平面BCD ，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．【自主解答】 (1)因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点，所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF ∥AD ，又EF 平面ACD ，AD 平面ACD ，所以直线EF ∥平面ACD .(2)因为AD ⊥BD ，EF ∥AD ，所以EF ⊥BD .因为CB ＝CD ，F 是BD 的中点，所以CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，所以BD ⊥平面EFC .因为BD平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用．在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言．这也是证明空间位置关系问题的一般模式．[再练一题]2．如图3­3­3，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝a，AB＝2a，E，F分别为C1D1，A1D1的中点．图3­3­3(1)求证：DE⊥平面BCE；(2)求证：AF∥平面BDE.【证明】(1)∵BC⊥侧面CDD1C1，DE侧面CDD1C1，∴DE⊥BC.在△CDE中，CD＝2a，CE＝DE＝2a，则有CD2＝DE2＋CE2，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC，又∵BC∩EC＝C，∴DE⊥平面BCE.(2)连接EF，A1C1，设AC交BD于O，连接EO，∵EF 12A1C1，AO12A1C1，∴EF AO，∴四边形AOEF是平行四边形，∴AF∥OE.又∵OE平面BDE，AF平面BDE，∴AF∥平面BDE.[探究共研型]用综合法证明不等式问题探究 综合法证明不等式的主要依据有哪些？ 【提示】 (1)a 2≥0(a ∈R )．(2)a 2＋b 2≥2ab ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥a ＋b22.(3)a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b2≥ab ，特别地，b a ＋ab≥2.(4)a －b ≥0⇔a ≥b ；a －b ≤0⇔a ≤b . (5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .已知x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.【精彩点拨】 解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明． 【自主解答】 法一：因为x >0，y >0,1＝x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝1＋1x ＋1y ＋1xy＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy≥1＋8＝9. 法二：因为1＝x ＋y ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝5＋2⎝⎛⎭⎪⎫x y ＋yx .又因为x >0，y >0，所以x y ＋yx≥2，当且仅当x ＝y 时，取“＝”．所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥5＋2×2＝9.综合法的证明步骤：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等． (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．[再练一题]3．将上例条件不变，求证：1x ＋1y≥4.【证明】 法一：因为x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝1， 所以x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 所以xy ≤12，即xy ≤14，所以1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy≥4.法二：因为x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≥2xy >0，当且仅当x ＝y 时，取“＝”， 1x ＋1y≥21xy >0，当且仅当1x ＝1y时，取“＝”，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥4.又x ＋y ＝1，所以1x ＋1y≥4.法三：因为x ，y ∈(0，＋∞)，所以1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋yy＝1＋y x ＋xy ＋1≥2＋2x y ·yx＝4， 当且仅当x ＝y 时，取“＝”．[构建·体系]1．已知等差数列{a n }中，a 5＋a 11＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31D ．64【解析】 ∵{a n }为等差数列， ∴a 5＋a 11＝a 4＋a 12.又∵a 5＋a 11＝16，a 4＝1，∴a 12＝15. 【答案】 A2．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确的命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β，又m β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m β，α⊥β，l 与m 可能平行，③不正确； 若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α，又m β，所以α⊥β，④正确． 【答案】 B3．若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“ax 2＋bx ＋c >0对任意x ∈R 恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 因为a >0且b 2－4ac <0⇒ax 2＋bx ＋c >0对任意x ∈R 恒成立．反之，ax 2＋bx ＋c >0对任意x ∈R 恒成立不能推出a >0且b 2－4ac <0，反例为：当a ＝b ＝0且c >0时也有ax 2＋bx ＋c >0对任意x ∈R 恒成立，所以“a >0且b 2－4ac <0”是“ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x ∈R 恒成立”的充分不必要条件．【答案】 A 4．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 与q 的大小关系是________． 【解析】 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2a －1a －2＋2＝4， －a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q <22＝4≤p . 【答案】 p >q5．(2016·济南高二检测)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3，…)．求证：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等比数列；(2)S n ＋1＝4a n . 【证明】 (1)∵a n ＋1＝n ＋2nS n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n ， ∴n ＋2nS n ＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1＝n ＋nS n ，∴S n ＋1n ＋1S n n＝2，又∵a 1＝1， ∴S 1＝1，∴S 11＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公比为2，而a n ＝n ＋1n －1S n －1(n ≥2)，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n n －n ＋1，∴S n ＋1＝4a n.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________学业分层测评(九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a ，b 为非零实数，则使不等式a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a ·b >0 B ．a ·b <0 C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0【解析】 ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab≤－2.∵a 2＋b 2>0，∴ab <0，则a ，b 异号，故选C. 【答案】 C2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形D ．平行四边形【解析】 ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形． 【答案】 D3．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a【解析】 ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ， ∴2ab <12.而a 2＋b 2>a ＋b22＝12. 又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1， ∴a <12，∴a 2＋b 2最大，故选B.【答案】 B4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 若A >B ，则a >b ， 又a sin A ＝bsin B，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ， ∴A >B . 【答案】 C5．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A ．若m β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解析】 对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．【答案】 C 二、填空题6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝________.【解析】 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，3λ＝k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝6.【答案】 67．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 【解析】 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c . 又∵cb＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b . 【答案】 a >c >b8．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题．【解析】 对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －adab>0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －adab>0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．【答案】 3 三、解答题9．如图3­3­4，四棱锥P ­ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：AF ∥平面PEC .图3­3­4【证明】 ∵四棱锥P ­ABCD 的底面是平行四边形， ∴AB CD .又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴CF AE ，∴四边形AECF 为平行四边形， ∴AF ∥EC .又AF 平面PEC ，EC 平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .10．(2016·临沂高二检测)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形. 【导学号：67720018】【证明】 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c2，代入上式得a ＋c24＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ， 而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．[能力提升]1．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1D ．12【解析】 ∵a x＝b y＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3， ∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1.故选C. 【答案】 C2．(2016·西安高二检测)在△ABC 中，tan A ·tan B >1，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 因为tan A ·tan B >1， 所以A ，B 只能都是锐角，所以tan A >0，tan B >0,1－tan A ·tan B <0， 所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，所以A ＋B 是钝角，即C 为锐角． 【答案】 A3．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________． 【解析】 由0<a <1,0<b <1， 且a ≠b ，得a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab . 又a >a 2，b >b 2，知a ＋b >a 2＋b 2，从而a ＋b 最大． 【答案】 a ＋b4．(2016·泰安高二检测)如图3­3­5所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值．图3­3­5【证明】 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)， ∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ， ∴直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －y 20，y 2＝x ，消去x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0， 解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝－ky 02k 2.同理可得y F ＝1＋ky 0－k，∴x F ＝＋ky 02k 2.∴k EF ＝y E －y Fx E －x F＝1－ky 0k －1＋ky 0－k －ky 02k 2－＋ky 02k 2＝2k－4ky 0k 2＝－12y 0(定值)．∴直线EF 的斜率为定值．。