江苏省常州一中2018-2019学年高二上学期10月月考数学(文)试卷Word版含答案

常州市第一中学2018-2019学年第一学期阶段测试高二数学试题(文科)（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上)1．“点A 在直线l 上，l 在平面α外”， 用符号语言可以表示为 ．2．命题“x N ∀∈，20x ≥”的否定是 ．3．下列三个命题在“ ”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中m l , 为直线，βα,为平面），则此条件是 ．①αα//____////l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫；②αα//____//l m l m ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂；③//____l m m l αα⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⎭4．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于 ．5，则其外接球的体积是 ．6．在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝1，∠ASB ＝∠ASC ＝∠BSC ＝30°，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬过的最短路程为 ．7．已知四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，l 为空间一直线，则“l 垂直于两腰,AD BC ”是“l 垂直于两底,AB CD ”的 条件．(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).8．如图，在高为h ，底面半径为r 的圆柱体中截取一个圆锥，其中圆锥的底面是圆柱的下底面，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心．若得到的圆锥的侧面积与圆柱的侧面积相等，则:r h ＝ ．9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1．6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．10．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是 ．11．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新圆柱的侧面积为 ．12．下面四个命题，其中是真命题的序号是 ．①“x R ∃∈，210x x -+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题；③在△ABC 中，“30A >︒”是“1sin 2A >”的充分不必要条件； ④“1x ≠或2y ≠”是“3x y +≠”的必要不充分条件； 13．如图所示，已知三棱锥P ABC -的所有侧棱长都为2，底面边长都为1，平行四边形EFGH的四个顶点分别在棱AB BC CP PA 、、、上，则11EF FG+的最小值为 ． 14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x ⋅<．则实数m 的取值范围是 ．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．已知命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0；命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8＞0． （1）若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．16．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1 的中点．求证：（1）MN ∥平面ABB 1A 1； （2）AN ⊥A 1B ．17．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝2AP＝2，PD＝3．（1）求证：P A⊥平面PCD；（2）求点C到平面PBD的距离；18．已知命题p：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2＋(a－1)x＋1＝0，一根在(0，1)上，另一根在(1，2)上．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．将1张边长为1m 的正方形纸片按下列方式剪裁并废弃阴影部分．剩余部分恰好能完全覆盖一个长方体的表面，设长方体的长为x m ，长方体表面积为S ．（1）写出S 关于x 的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）当S=278m 时，求此时长方体体积．20．如图甲，在直角梯形PBCD 中，PB ∥CD ，CD ⊥BC ，BC ＝PB ＝2CD ，A 是PB 的中点． 现沿AD 把平面PAD 折起，使得PA ⊥AB （如图乙所示），E 、F 分别为BC 、AB 边的中点．（1）求证：平面PAE ⊥平面PDE ；（2）在PE 上找一点Q ，使得平面BDQ ⊥平面ABCD ．（3）在PA 上找一点G ，使得FG ∥平面PDE ．常州市第一中学2018--2019学年10月自主检测考试高二数学试题（文科）答案（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上)1．“点A 在直线l 上，l 在平面α外”， 用符号语言可以表示为 ．A ,l l α∈⊄2．命题“x N ∀∈，20x ≥”的否定是 ．x N ∃∈，20x <3．下列三个命题在“_____”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中m l , 为直线，βα,为平面），则此条件是 ．l α⊄①αα//____////l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫；②αα//____//l m l m ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂；③//____l m m l αα⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⎭4．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC 等于 ．3π 5，则其外接球的体积是 ．5π6．在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝1，∠ASB ＝∠ASC ＝∠BSC ＝30°，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬过的最短路程为．7．已知四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，l 为空间一直线，则“l 垂直于两腰,AD BC ”是“l 垂直于两底,AB CD ”的 条件．(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).充分不必要8．如图，在高为h ，底面半径为r 的圆柱体中截取一个圆锥，其中圆锥的底面是圆柱的下底面，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心．若得到的圆锥的侧面积与圆柱的侧面积相等，则:r h ＝．9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1．6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛．12．510．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6．若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A —A 1EF 的体积是 ．8311．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新圆柱的侧面积为 ．12．下面四个命题，其中是真命题的序号是 ．①②④①“x R ∃∈，210x x -+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题；③在△ABC 中，“30A >︒”是“1sin 2A >”的充分不必要条件； ④“1x ≠或2y ≠”是“3x y +≠”的必要不充分条件； 13．如图所示，已知三棱锥P ABC -的所有侧棱长都为2，底面边长都为1，平行四边形EFGH的四个顶点分别在棱AB BC CP PA 、、、上，则11EF FG+的最小值为 ．3214．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x R ∀∈，()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x ⋅<．则实数m 的取值范围是 ．(4,2)--二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．已知命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0；命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8＞0． (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －3a )(x －a )＜0，当a ＝1时，解得1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是(1，3)，由⎩⎨⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，得2＜x ≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是(2，3]．因p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2，3)．(2)p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 且p ⇒ q ，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B 为A 的真子集，又B ＝(2，3]，有a ＞0得，A ＝(a ，3a )，有⎩⎨⎧a ≤2，3＜3a ，解得1＜a ≤2；综上所述，实数a 的取值范围是(1，2]．16．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1 的中点．求证：(1) MN ∥平面ABB 1A 1； (2) AN ⊥A 1B ．证明：(1) 取AB 的中点P ，连结PM ，PB 1．因为M ，P 分别是AB ，AC 的中点，所以PM ∥BC ，且PM ＝12BC ． 在直三棱柱ABC - A1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1，BC ＝B 1C 1，因为N 是B 1C 1 的中点，所以PM ∥B 1N ，且PM ＝B 1N ．(2分)所以四边形PMNB 1是平行四边形，所以MN ∥PB 1，(4分)而MN ⊄平面ABB 1A 1，PB 1⊂平面ABB 1A 1，所以MN ∥平面ABB 1A 1．(6分)(2) 因为三棱柱ABC - A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1．因为BB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1B 1C 1．(8分)因为∠ABC ＝90°，所以B 1C 1⊥B 1A 1．因为平面ABB 1A 1∩平面A 1B 1C 1＝B 1A 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1．(10分)因为A 1B ⊂平面ABB 1A 1，所以B 1C 1⊥A 1B ，即NB 1⊥A 1B ．连结AB 1，因为在平行四边形ABB 1A 1中，AB ＝AA 1，所以AB 1⊥A 1B ．又NB 1∩AB 1＝B 1，且AB 1，NB 1⊂平面AB 1N ，所以A 1B ⊥平面AB 1N ．(12分)而AN ⊂平面AB 1N ，所以A 1B ⊥AN ．(14分)17．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝2AP ＝2，PD ＝ 3．（1）求证：P A ⊥平面PCD ；（2）求点C 到平面PBD 的距离；解：（1）证明：因为底面ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ．又平面P AD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面P AD ．又AP ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AP ．因为底面ABCD 为正方形，AB ＝2，所以AD ＝2．因为AP ＝1，PD ＝ 3，所以AP 2＋PD 2＝AD 2，因此AP ⊥PD ．又CD ⊥AP ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以P A ⊥平面PCD ．（2） 解：设点C 到平面PBD 的距离为h ．由（1）知CD ⊥平面P AD ，因为PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD ．V 三棱锥B －PCD ＝13S △PCD ·P A ＝13×(12×2×3)×1＝33．因为AB ∥CD ，所以PD ⊥AB ． 由（1）知AP ⊥PD ，又AP ∩AB ＝A ，AP ，AB ⊂平面APB ，所以PD ⊥平面APB ．又PB ⊂平面APB ，所以PD ⊥PB ．因为底面ABCD 为正方形，且边长为2，所以BD ＝2 2，又PD ＝ 3，所以PB ＝ 5．于是V 三棱锥C －PBD ＝13S △BPD ·h ＝13×(12×3×5)h ＝156h ． 因为V 三棱锥B －PCD ＝V 三棱锥C －PBD ，所以156h ＝33，解得h ＝2 55． 即点C 到平面PBD 的距离为2 55．18．已知命题p ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0，对∀x ∈R 恒成立；命题q ：关于x 的方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0，一根在(0，1)上，另一根在(1，2)上．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．解 命题p ：当a ＝2时，－4＜0恒成立，符合题意，当a ≠2时，须满足⎩⎨⎧a －2＜0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）＜0，解得－2＜a ＜2. 所以当命题p 为真命题时，a 的取值范围是(－2，2]．命题q ：令f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1，由题意有⎩⎨⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，∴⎩⎨⎧a ＋1＜0，2a ＋3＞0，解得－32＜a ＜－1. ∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p ，q 一真一假，当p 真q 假时有⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ≤2，a ≤－32或a ≥－1，解得－2＜a ≤－32或－1≤a ≤2. 当p 假q 真时有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ＞2，－32＜a ＜－1，此不等式组解集为空集． 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－32∪[－1，2]．19．将1张边长为1m 的正方形纸片按下列方式剪裁并废弃阴影部分．剩余部分恰好能完全覆盖一个长方体的表面，设长方体的长为x m ，长方体表面积为S ．（1）写出S 关于x 的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）当S=278m 时，求此时长方体体积．解（1）设被完全覆盖的长方体底面边长为x ，宽为y ，高为z ，则1221x z y z +=⎧⎨+=⎩，， 解得11.2z x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， …… 8分 所以：22()241S xy yz zx x x =++=-+- 1(1)2x << （2）272418S x x =-+-=得134x =，254x =(舍) 所以：364v xyz ==答：体积为3643m 。