八年级数学上册第5章一次函数自我评价练习新版浙教版2

第5章自我评价一、选择题(每小题2分，共20分)1．有下列函数表达式：①y＝kx(k 是常数，且k≠0)；②y＝23x ；③y＝2x 2－(x －1)(x＋3)；④y＝52－x.其中是一次函数的有(B )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 2．关于直线y ＝－2x ，下列结论正确的是(C ) A. 图象必过点(1，2) B. 图象经过第一、三象限 C. 与y ＝－2x ＋1平行 D. y 随x 的增大而增大3．若一个正比例函数的图象经过点(2，－3)，则这个图象一定也经过点(C )A. (－3，2)B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－1D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，14．用图象法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所得的二元一次方程组是(D )(第4题)A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x －2y －1＝0B.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，3x －2y －1＝0C.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，3x ＋2y －5＝0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，2x －y －1＝0 5．若式子k －1＋(k －1)0有意义，则一次函数y ＝(k －1)x ＋1－k 的图象可能是(A )【解】 ∵式子k －1＋(k －1)0有意义， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1≠0，解得k ＞1，∴k －1＞0，1－k ＜0，∴一次函数y ＝(k －1)x ＋1－k 的图象经过第一、三、四象限． 6．已知关于直线l ：y ＝kx ＋k(k≠0)，下列说法错误的是(D ) A. 点(0，k )在l 上 B. 直线l 过定点(－1，0) C. 当k >0时，y 随x 的增大而增大 D. 直线l 经过第一、二、三象限【解】 当x ＝0时，y ＝k ，即点(0，k )在直线l 上，故A 正确． 当x ＝－1时，y ＝－k ＋k ＝0，故B 正确． 当k >0时，y 随x 的增大而增大，故C 正确．当k <0时，直线l 经过第二、三、四象限，故D 错误．(第7题)7．将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内．现用一注水管沿大容器内壁匀速注水(如图所示)，则小玻璃杯内水面的高度h(cm )与注水时间t(min )的函数图象大致为(B )【解】 将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A ，D 错误；用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间内h 不变；当大杯中的水面与小杯杯口一致时，开始向小杯中流水，h 随t 的增大而增大．当水注满小杯后，小杯内水面的高度h 不再变化，故排除C ，选B.8．(a ，b)为一次函数y ＝ax ＋b(a≠0，a ，b 为实数)的“关联数”．若“关联数”(1，m －2)的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程x ＋1m＝2的解为(C )A. 2B. － 2C.22 D. －22【解】 由题意，得m －2＝0， ∴m ＝ 2. 解方程x ＋12＝2，得x ＝22.(第9题)9．如图，购买一种苹果所付金额y(元)与购买量x(kg)之间的函数图象由线段OA 和射线AB 组成，则一次购买3 kg 这种苹果比分三次每次购买1 kg 这种苹果可节省(B )A. 1元B. 2元C. 3元D. 4元 【解】 观察图象可知，当0＜x ＜2时，y ＝10x ， 即当x ＝1时，y ＝10.设射线AB 的函数表达式为y ＝kx ＋b (x ≥2，b ≠0)．把点(2，20)，(4，36)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝20，4k ＋b ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8，b ＝4.∴y ＝8x ＋4，∴当x ＝3时，y ＝8×3＋4＝28. 当购买3 kg 这种苹果分三次分别购买1 kg 时， 所付金额为10×3＝30(元)，故一次购买3 kg 这种苹果比分三次每次购买1 kg 这种苹果可节省30－28＝2(元)． 10．当－1≤x≤2时，函数y ＝ax ＋6满足y<10，则常数a 的取值范围是(D ) A ．－4<a <0 B ．0<a <2C ．－4<a <2且a ≠0D ．－4<a <2 导学号：91354034【解】 当a>0时，y 随x 的增大而增大． ∵y ＝ax ＋6<10，－1≤x≤2， ∴2a ＋6<10，∴a<2.∴0<a<2. 当a ＝0时，y ＝6<10，满足题意． 当a<0时，y 随x 的增大而减小， 同理可得－a ＋6<10，∴a>－4. ∴－4<a<0.综上所述，常数a 的取值范围是－4<a<2. 二、填空题(每小题3分，共30分) 11．函数y ＝1－2x x 的自变量x 的取值范围是x ≤12且x≠0．(第12题)12．已知函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象如图所示，则不等式kx ＋b ＜0的解为__x ＜1__． 13．已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y ＝－2x ＋1的图象上的两点，则a 与b的大小关系是a>b ．14．已知一次函数y ＝kx ＋3和y ＝－x ＋b 的图象相交于点P(2，4)，则关于x 的方程kx ＋3＝－x ＋b 的解是x ＝2．(第15题)15．如图，直线AB 与x 轴相交于点A(1，0)，与y 轴相交于点B(0，－2)．若直线l ：y ＝x ＋1与直线AB 相交于点C ，连结OC ，则△BOC 的面积为__3__．【解】 设直线AB 的函数表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2. ∴直线AB 的函数表达式为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，∴点C(3，4)，∴S △BOC ＝12OB·x C ＝12×2×3＝3.16．如图，把Rt△ABC 放在平面直角坐标系内，其中∠CAB ＝90°，BC ＝5，点A (1，0)，B (4，0)．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 扫过的面积为__16__cm 2.(第16题)(第16题解)【解】 如解图．∵点A(1，0)，B(4，0)，∴AB＝3.∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴AC＝52－32＝4，∴A′C′＝4.∵点C′在直线y＝2x－6上，∴2x－6＝4，解得x＝5，即OA′＝5，∴CC′＝5－1＝4，∴S四边形BCC′B′＝4×4＝16(cm2)，即线段BC扫过的面积为16 cm2.(第17题)17．如图，一次函数y＝x＋5的图象经过点P(a，b)和点Q(c，d)，则ac－ad－bc＋bd 的值为__25__．【解】∵y＝x＋5的图象过点P(a，b)，Q(c，d)，∴b＝a＋5，d＝c＋5，∴a－b＝－5，c－d＝－5，∴ac－ad－bc＋bd＝a(c－d)－b(c－d)＝(a－b)(c－d)＝(－5)×(－5)＝25.(第18题)18．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形ABC的顶点A在直线l：y＝－x＋4上滑动，边BC始终保持水平状态．当点C在坐标轴上时，点B【解】设点A的坐标为(x0，y0)，则点C的坐标为(x0＋1，y0－3)，点B的坐标为(x0－1，y0－3)．当点C落在y轴上时，则x0＋1＝0，∴x0＝－1，∴y0＝－x0＋4＝5，∴点B(－2，5－3)．当点C落在x轴上时，则y0－3＝0，∴y0＝3.∵y0＝－x0＋4，∴x0＝4－y0＝4－3，∴点B(3－3，0)．综上所述，点B 的坐标为(3－3，0)或(－2，5－3)．19．在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋1与y 轴相交于点A 1，与x 轴相交于点D ，按如图所示的方式作正方形A 1B 1C 1O ，正方形A 2B 2C 2C 1，正方形A 3B 3C 3C 2，…，点A 1，A 2，A 3，…都在直线y ＝x ＋1上，点C 1，C 2，C 3，…都在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S n 的值为__22n －3__(用含n 的代数式表示，n 为正整数)．(第19题)【解】 由题意，得OA 1＝1，OD ＝1， ∴∠ODA 1＝45°， ∴∠A 2A 1B 1＝45°， ∴A 2B 1＝A 1B 1＝1， ∴S 1＝12×1×1＝12.同理，S 2＝12×(21)2＝21，S 3＝12×(22)2＝23，……∴S n ＝12×(2n －1)2＝22n －3.20．已知整数x 满足－3≤x≤3，y 1＝x ＋1，y 2＝－2x ＋4对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较小值，则m 的最大值为__2__．导学号：91354035【解】 画出直线y 1＝x ＋1，y 2＝－2x ＋4的图象如解图所示．(第20题解)根据图象可得在点B 的左侧，y 1<y 2， 因此m 取y 1的值，即AB 上的点的纵坐标； 在点B 的右侧，y 2<y 1，因此m 取y 2的值，即BC 上的点的纵坐标． ∴m 的取值为折线A －B －C 上的点的纵坐标． ∴m 的最大值为点B 的纵坐标．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝x ＋1，y 2＝－2x ＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∴m 的最大值为2. 三、解答题(共50分)21．(6分)已知直线y ＝kx ＋b 经过点(－1，4)和(2，1)． (1)求该直线的函数表达式．(2)求该直线与x 轴，y 轴的交点坐标．【解】 (1)将点(－1，4)，(2，1)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝4，2k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3. ∴所求直线的函数表达式为y ＝－x ＋3. (2)当y ＝0时，x ＝3；当x ＝0时，y ＝3.∴直线与x 轴的交点坐标为(3，0)，与y 轴的交点坐标为(0，3)．22．(6分)如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A(－2，－1)，B(1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D.(第22题)(1)求该一次函数的表达式． (2)求△AOB 的面积．【解】 (1)把A(－2，－1)，B(1，3)的坐标代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－1，k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝53. ∴一次函数的表达式为y ＝43x ＋53.(2)把x ＝0代入y ＝43x ＋53，得y ＝53，∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53， ∴S △AOB ＝S △AOD ＋S △BOD ＝12×53×2＋12×53×1＝52. 23．(6分)如图，在平面直角坐标系中，点A(0，4)，B(3，0)，连结AB ，将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A′处，折痕所在的直线交y 轴正半轴于点C ，求直线BC 的函数表达式．(第23题)【解】 ∵点A(0，4)，B(3，0)，∴OA ＝4，OB ＝3. ∴AB ＝OA 2＋OB 2＝5.由折叠可得A′B＝AB ＝5，A ′C ＝AC ， ∴OA ′＝A′B－OB ＝5－3＝2. 设OC ＝t ，则A′C＝AC ＝4－t.在Rt △OA ′C 中，∵OC 2＋OA′2＝A′C 2， ∴t 2＋22＝(4－t)2，解得t ＝32.∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b.把点B(3，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32的坐标分别代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，b ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝32.∴直线BC 的函数表达式为y ＝－12x ＋32.(第24题)24．(6分)课间休息时，同学们依次到一个容量为10 L 的饮水机旁接水0.25 L ，他们先打开了一个饮水管，后来又打开了第二个饮水管．假设接水的过程中每个饮水管出水的速度是匀速的，在不关闭饮水管的情况下，饮水机水桶内的存水量y (L)与接水时间x (min)的函数图象如图所示．请结合图象回答下列问题：(1)求存水量y (L)关于接水时间x (min)的函数表达式． (2)如果接水的同学有30名，那么他们都接完水需要几分钟？【解】 (1)设第一段函数表达式为y 1＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，第二段函数表达式为y 2＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，由图象知y 1的图象经过点(0，10)，(2，8.5)，y 2的图象经过点(2，8.5)，(5，4)．则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝10，2k 1＋b 1＝8.5，⎩⎪⎨⎪⎧2k 2＋b 2＝8.5，5k 2＋b 2＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－0.75，b 1＝10，⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－1.5，b 2＝11.5.∴y 1＝－0.75x ＋10，y 2＝－1.5x ＋11.5.∵当y 2＝0时，x ＝233， ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.75x ＋10（0≤x <2），－1.5x ＋11.5⎝ ⎛⎭⎪⎫2≤x ≤233. (2)30名同学总需水量为30×0.25＝7.5(L)，则饮水机桶内的存水量为10－7.5＝2.5(L)．当y ＝2.5时，－1.5x ＋11.5＝2.5，解得x ＝6.∴30名同学都接完水需6 min.(第25题)25．(8分)如图，直线y ＝－12x ＋3与坐标轴分别交于点A ，B ，与直线y ＝x 交于点C ，线段OA 上的点Q 以每秒1个单位的速度从点O 出发向点A 作匀速运动，设运动时间为t(s)，连结CQ .(1)求点C 的坐标．(2)若△OQC 是等腰直角三角形，则t 的值为2或4．(3)若CQ 平分△OAC 的面积，求直线CQ 的函数表达式．【解】 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋3，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. ∴点C (2，2)．(2)当∠CQO ＝90°，CQ ＝OQ 时，∵点C (2，2)，∴OQ ＝CQ ＝2，∴t ＝2.(第25题解)当∠OCQ＝90°，OC ＝CQ 时，如解图，过点C 作CM ⊥OA 于点M .∵点C (2，2)，∴CM ＝OM ＝2，∴QM ＝OM ＝2，∴t ＝2＋2＝4.综上所述，当t 的值为2或4时，△OQC 是等腰直角三角形．(3)对于直线y ＝－12x ＋3，令y ＝0，得x ＝6， ∴点A (6，0)，∵CQ 平分△OAC 的面积，∴Q 为OA 的中点，∴点Q (3，0)．设直线CQ 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．把点C (2，2)，Q (3，0)的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝2，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝6. ∴直线CQ 的函数表达式为y ＝－2x ＋6.(第26题)26．(8分)如图，已知点A(3，0)，B(0，1)，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°，且P (2，a )为平面直角坐标系中的一个动点．(1)请说明不论当a 取何值时，△BOP 的面积始终是一个常数．(2)要使得△ABC 的面积和△ABP 的面积相等，求a 的值．【解】 (1)∵点P (2，a )，∴点P 到y 轴的距离为2.∵点B (0，1)，∴OB ＝1.∴S △BOP ＝12×1×2＝1，为常数． (2)当点P 在直线AB 上方时，a >0.过点P ′作P ′E ⊥x 轴于点E ，连结BP ′，AP ′.∵S 梯形OBP ′E ＋S △P ′AE ＝S △AOB ＋S △ABP ′，∴S △ABP ′＝12(1＋a )×2＋12(3－2)a －12×1×3＝32a －12. 易得AB ＝12＋32＝10，∴S △ABP ′＝S △ABC ＝12×10×10＝5. ∴32a －12＝5， 解得a ＝113. 当点P 在直线AB 下方时，a <0.同理可得S △ABP ＋S △BOP ＝S △AOB ＋S △AOP ，∴S △ABP ＝12×1×3＋12×3(－a )－12×2×1. ∴32－32a －1＝5，解得a ＝－3. 综上所述，当a ＝113或a ＝－3时，S △ABC ＝S △ABP . 27．(10分)快、慢两车分别从相距180 km 的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早12h ，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y (km)与所用时间x (h)的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：(1)请直接写出快、慢两车的速度．(2)求快车返回过程中y (km)与x (h)的函数关系式．(3)两车出发后经过多长时间相距90 km 的路程？(第27题)导学号：91354036【解】 (1)慢车的速度为180÷⎝ ⎛⎭⎪⎫72－12＝60(km/h)，快车的速度为2×60＝120(km/h)． (2)快车停留的时间为72－180120×2＝12(h)，12＋180120＝2(h)，即点C (2，180)．设CD 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．把点C (2，180)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧180＝2k ＋b ，0＝72k ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－120，b ＝420， ∴快车返回过程中y (km)与x (h)的函数表达式为y ＝－120x ＋420⎝⎛⎭⎪⎫2≤x ≤72. (3)相遇之前：120x ＋60x ＋90＝180，解得x ＝12. 相遇之后：120x ＋60x －90＝180，解得x ＝32. 易知当t ＝32 h 时，快车刚到达乙地，在快车在乙地停留的那段时间，即32≤t ≤2时，两车相距超过90 km 且距离越来越大．快车从甲地到乙地需要180÷120＝32(h)，快车返回之后：60x ＝90＋120⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12－32， 解得x ＝52. 综上所述，两车出发后经过12 h 或32 h 或52h 相距90 km 的路程．。