具有收获率和2个功能反应的捕食系统的多个正周期解

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具有收获率和Michaelis-Menten功能性反应的捕食系统的稳定性和Hopf分支

２２其中ｎ＝旦，ｍｒ
曲阜师范大学学报（自然科学版）
２１０１正
ｄ，孚ｇｑ０ｇ＜０ｑ＜＝６，，＝，，ｌ＜Ｅ１＝：＜Ｅ，．：
另外，在种群动力学中，当前的状态变化及动力学行为不仅依赖于现在的动力学行为，而且与过去的行为也密切相关．因此，在种群问相互作用的过程中，时滞是不可避免的，有时时滞还会破坏正平衡点的稳定性］为了更接近现实，系统（．）引入时滞参量，系统（．）化为．在１２中则１２转
Ａ＋ＰＥＡ＋ｇＥ）＝０（）（，（．）２１
其中
ｐＥ）＝（（ａ—ｂｑＥ）２＋［ｑｂ（２一ｑ）＋２ｑ（】ａ２ａ一６］＋（）Ｅｂ—ｄ（ｄ—ａ）ｂｄ一口）＋ｂ６
）＝
．
当ＰＥ＞，（）０时，（）０ｑＥ＞特征多项式（．）２１只有负实部的特征根，由定性理论知识… 知，平衡点Ｅ局部渐
ｄ（）ｘｔ … （１－－ｇｌ
ｌ＝＋
，
（）１．３
其中丁表示捕食者的滞后效应．０初始条件＝，）在Ｂｎｃ空间｛ ∈ （一，］））（，，ａａｈ：Ｃ［丁０，（ｌ（）＝（０，（）｝中考虑，中。０，（）＞．０（）０）其（）００本文的主要内容安排如下：在第２节中，讨论系统（．）１２的平衡点的存在性及其稳定性；在第３节中，讨论系统（．）１２的边界平衡点和正平衡点的全局渐近稳定性；在第４节中，讨论时滞系统（．）１３的平衡点的Ｈｐ分支情况．ｏｆ

具有Holling Ⅳ功能性反应的捕食系统的多重周期正解

具有Holling Ⅳ功能性反应的捕食系统的多重周期正解佟玉强;李卫东【摘要】利用重合度理论中的延拓定理,研究了一类食饵具有Smith增长和捕食者具有HollingⅣ型功能性反应的捕食者-食饵系统正周期解的存在性问题.运用分析技巧得到了两个有界开集和至少存在两个周期正解的充分条件.获得了一些新结果.【期刊名称】《辽宁大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(041)002【总页数】7页(P110-116)【关键词】捕食者-食饵系统;Holling Ⅳ型功能性反应;多周期解;重合度理论【作者】佟玉强;李卫东【作者单位】朝阳师范高等专科学校,辽宁朝阳122000;大连交通大学电气信息学院,辽宁大连116028【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言对于具有时滞的Logistic微分方程，许多学者[1～8］深入地研究了其动力学性质.然而，在食物有限情况下的科学实验表明[9］，单种群的相对增长率并不满足线性规律，更符合实际的却是非线性增长阻滞模型(即Smith模型或食物有限模型).对于如下具有Smith增长模型:其中，r(t)，k(t)，a(t)是具有周期ω ＞0 的恒正连续有界函数，bj(t)，dj(t)(j=1，2，…，m)是具有周期ω＞0的非负连续有界函数，状态依赖时滞τj，ηj是连续非负有界的ω周期函数，文献[10］给出了至少存在一个正周期解的充分性条件.本文中我们考虑食饵具有Smith增长和捕食者具有Holling IV型功能性反应的非自治捕食者－食饵两种群系统:其中，y1(t)，y2(t)分别表示 t时刻食饵和捕食者的种群密度，r(t)，a(t)，bj(t)，k(t)，c(t)，dj(t)，d(t)，D(t)，τj(t)，ηj(t)，σ(t)(j=1，2，3，…，m)和h(t)≠const都是周期ω ＞0 的恒正连续有界函数.关于系统(1)各参数的详细生态意义可参见文献[10，11］.记表示由[－τ，0］到的连续向量函数的全体.本文考虑初值问题其中近年来，重合度理论作为一种强有力工具，广泛应用于研究非自治系统的周期解问题[11～15］，但对存在两个以上周期解却不多见.本文利用延拓定理研究系统(1)周期解的存在性，给出了至少存在两个周期正解的代数判据.因此，本文改进和推广了文献[10］的研究成果.1 主要结果引理1是系统(1)的正向不变集.证明积分系统(1)即得，从略.为了证明系统(1)正周期解的存在性，现引入重合度理论中的延拓定理[16］如下: 设X，Z是赋范向量空间，L:DomL⊂X→Z为线性映射，N:X→Z为连续映射.如果dim KerL=dim)(Z/lm L)＜+∞且lm L为Z中的闭子集，称L为指标为零Fredholm算子.如果L为指标为零Fredholm算子，又存在连续投影P:X→X和Q:Z→Z满足lm P=KerL和lm L=DerQ=lm(I－Q)，那么可逆的，记其逆为KP.设Ω是X的有界开集，若)有界且是紧的，则称N在Ω¯是L－紧的.由于lm Q与KerL同构，因此存在同构映射J:lm Q→KerL.引理2设L是指标为零Fredholm算子，N在¯Ω上是L－紧的.假设则方程Lx=Nx在DomL∩¯Ω内至少存在一个解.对连续的ω周期函数g(t)本文采用记号:且令定理2 如果除正初值条件(2)外还满足则系统(1)至少存在两个ω周期正解.证明作变换yi(t)=exj(t)，i=1，2将系统(1)化为对λ∈(0，1)现考察系统我们取是系统(4)的ω周期解，对系统(4)各式两端从0到ω积分有由式(4)～(6)，我们得由于x∈X 所以存在ξi，ti∈[0，ω］，使得一方面，由式(6)和(9)得到结合式(7)，∀t∈[0，ω］有这显然蕴含着即据此，在定理所给定的条件下，可知存在q±＞0，使得另一方面，由式(6)和(9)得到，结合式(7)，∀t∈[0，ω］有这同样有即于是，在定理所给定的条件下，可知存在p±＞0使得由h(t)≠con st是恒正的ω周期函数，可以验证p－＜p+＜q+，且由hL=q－q+＜hu=p－p+有这样，由式(7)和(12)，∀t∈[0，ω］有类似地，我们利用式(9)和(13)，由式(5)得到即结合式(8)，∀t∈[0，ω］有再利用式(9)，(12)和(13)，由式(5)可得即则结合式(8)，∀t∈[0，ω］有取}定义范数，则在范数· 下X是Banach空间.令DomL⊂X，其中，再令N:X→X，即定义两个连续投影为易知KerL=lm P=R2，lm L=KerQ={x(t)∈X:¯x1=¯x2=0}是X的闭子集，dim KerL=dim(Z/lm L)=2.因此，L是指标为零Fredholm算子.定义L的广义逆为KP:lm L→DomL∩KerP如下:易于验证QN和KP(I－Q)N连续.由前面讨论可知ln q－＜ln p－＜ln p+＜ln q+＜ρ.我们取，显然M与λ的选取无关.令则Ω1，Ω2均为X的有界开集.下面我们根据Arzela-Ascoli定理，证明N在)上是L－紧的.对于，由Ω1定义可得因此)是R2上的有界集.易知，且由KP的定义知这表明集合{KP(I－Q)Nx:x∈Ω1}是一致有界且等度连续的，因此N在¯Ω1上是L －紧的.同理可证，N在上是L－紧的.综上讨论，根据及)，均有Lx≠λNx，于是引理 3的条件(a)满足.当 x是常值向量时，由积分中值定理知存在，使得由于代数方程组在定理理所给定的条件下存在正解:u=u±，v=v±，其中由于，且及所以可见，当时，x是 R2中的常值向量且QNx≠0，从而引理2 的条件(b)满足.注意到，直接计算得这里同构J可取恒同映射，因为lm Q=KerL.至此，Ω1，Ω2均满足引理3的所有条件.由引理3，系统(4)分别在Ω1和Ω2内均至少存在一个ω周期解.又Ω1∩Ω2=φ故系统(1)至少存在两个ω周期正解.证毕注:系统(1)至少有两个ω周期正解是无法用本文所列文献[11～14］的方法来判定的.易见，如果将系统(1)中时滞改为常时滞，那么定理的结论仍然成立.参考文献:【相关文献】[1]Gopalsamy K.Stability and Oscillations in Delay Differential Equations of Population Dynamics[M］.Kluwer Academic Publishers，Boston，1992.[2]Gyori I and Ladas G.Oscillation Theory of Delay Differential Equations[M］.Oxford Science Publications，Oxford，1991.[3]Lenhart SM and Travis C C.Global Stability of a Biological Model with TimeDelay[J］.Proc.Amer.Math.Soc.，1986，96:75 －78.[4]Kuang Y.Differential Equations with Applications in Population Dynamics[M］.Academic Press，Boston，1993.[5]Yu JS.Global Attrativity of Zero Solution for a Class of Functional Equtions and its Applications[J］.CIENCE IN CHINA(Series)(in Chinese)，1996，26:23 －33.[6]Li Y K.On a Periodic Logistic Equation with Several Delays[J］.Advances in Mathematics，1999，28(2):135 －142.[7]范猛，王克.具有遗传效应单种群模型的正周期解[J］.应用数学，2000，13(2):58－61.[8]Chen F D，Shi J L.Periodicity in a Logistic Type System with SeveralDelays[J］.Computers and Mathematics with Applications，2004，48:35 －44.[9]Smith F E.Population Dynamics in Daphnia Magna and a new Model for Population Grow th [J］.Ecdagy，1963，44:651－663.[10]Chen R D，Sun D X，Shi J L.Periodicity in a food-limited Population Model with Toxicants and State Dependent Delays[J］.Mathematical Analysis and Applications，2003，288:136 －146.[11]叶丹，范猛，张伟鹏.一类捕食者－食饵系统正周期解的存在性[J］.生物数学学报，2004，19(2):161－168.[12]张正球，王志成.基于比率的三种群捕食者－食饵扩散系统的周期解[J］.数学学报，2004，47(3):531－540.[13]高建国.具有时滞和基于比率的一类捕食者－食饵系统全局周期解的存在性[J］.生物数学学报，2005，20(3):315－329.[14]程荣福.一类具生物控制的多滞量捕食模型正周期解的存在性[J］.北华大学学报，自然科学版，2010，11(1).1－6.[15]田德生，朱长青，朱永松.HollingⅣ 捕食－食饵时滞系统的多个周期解[J］.纯粹数学与应用数学，2009，25(2):339－345.[16]Gaines R E，Mawhin J L.Coincidence Degree and Nonlinear DifferentialEquations[M］.Berlin:Springer-Verlag，1977:40－45.。

具有无限时滞和脉冲的捕食收获系统的多重周期解

ＰＡＮＧＸｉｎ，ＣＨＥＮＧＲｏｎｇ－ｆｕ（ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｃｉｓＳｃｈｏｏｌｏｆＢｅｉｈｕａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｌｉｎ１３２０３３，Ｃｈｉｎａ）
第１４卷第１期
２０１３年２月
北华大学学报（自然科学版）ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＢＥＩＨＵＡＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
Ｖｏｌ＿ｌ４Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２０１３
逢欣，程荣福
１３２０３３）
（北华大学数学与统计学院，吉林吉林
摘要：利用重合度理论中的延拓定理，研究了具有无限时滞和脉冲的捕食者－食饵收获系统正周期解的存在性问题，运用分析技巧获得了两个有界开集和至少存在两个周期正解的充分条件，揭示了当食饵种群和捕食者种群的增长率均足够大时，系统将产生生物性多周期振荡现象．关键词：捕食者一食饵系统；脉冲效应；非单调功能性反应；多周期解
文章编号：１００９－４８２２（２０１３）０１－０００９－０８
ＤＯＩ：１０．１１７１３／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９－４８２２．２０１３．０１．００２
具有无限时滞和脉冲的捕食收获系统的多重周期解

具有收获率的非自治多种群Lotka-Volterra竞争系统的周期正解

Ｘ＝Ｚ＝｛（）＝（（）２ｔ，，（） ∈ ｔｔ，（）… ｔ）
ｔＩ（＋）＝（）＝１２ …，｝ｔ，，，ｎ，
定义ｌＪ＝
］（Ｊ）Ｊ，Ｊｊ其中ＩＪ．为任意欧氏范数，则在范数ｌＪＪＩ．下和ｚ均为Ｂｎｃ空间・ａａｈ作两个
， … ２＇
，。、
可见，如果系统（）在周期解（（）（） … ，（），么（， “，，就是系统（）的周３存，ｔ，ｔ）那ｅｅ … ｅｎ） “ １期正解．此，为我们只需讨论系统（）的周期解的存在性．３令
摘要：研究了一类具有收获率的非自治ｎ种群ＬｔａＶｌｒｏ — ｏｅａ竞争系统，用重合度理论中的延拓定理，ｋｔｒ利得到了保
证系统周期正解存在的充分条件，揭示了非自治ｎ种群ＬｔａＶｈｒ竞争系统在内禀增长率足够大且竞争率和ｏｋ— ｏｅｒａ
争系统：
：
Ｉ（）（一），（，一一）｝（１）口Ｊ ≠ （Ｄ（ｉ（）））６ｙｙ
其中：ｔ（１２ … ，Ｙ（）ｉ＝，，）代表时刻ｔ的第ｉ种群密度；个系数（）＞０，ｔ＞０分别表示第ｉｔＰ（）个种群
ＺＨＡＯｎ — ｉＨｏｇｗｅ
（ｔｅａｉｏｅｅｏｅｕｎｖｒｔ，ｉｎ１２３，ｈｎ）ＭａｈｍｔｓＣｌｇＢｉａＵｉｓｙＪｌ３０３Ｃｉａｃｌｆｈｅｉｉ
Ａｂｓｒｃ：ＡｌｓＬｔａＶｏｅｒｏｅｉｉｎｙｔｍｗｉｈａｖｓｉｇｒｔｆｒｎｏａｔｎｍｏｐｌｔｎｗａｔａｔｃａｓｏｋ — ｈｒａｃｍｐｔｔｏｓｓｅｔｈｒｅｔｎａｅｏｔｎｕｏｏｕｓｐｏｕａｉｓｏｓｕｉｄ．Ｂｙｕｉｇｔｏｔｎａｉｎｔｅｒｍｆｔｅｏｎｉｎｅｄｇｅｈｏｙ，ｓｆｃｅｔｏｄｔｏｆｐｏｉｉｅｔｄｅｓｎｈｅｃｎｉｕｔｏｈｏｅｏｈｃｉｃｄｅｃｅｒｅｔｅｒａｕｉｎｃｎｉｉｎｏｓｔｖｉｐｒｏｉｏｕｉｎｓｅｉｔｎｃｆｇｒｎｅｙｔｍｓｏｔｉｅ．ｅｒｖａｏｋ－ｈｅｒｏｅｉｏｙｔｍｆｎｅｄｃｓｌｔｏｘｓｅｅｏｕａａｔｅｓｓｅｗａｂａｎｄＷｅｅｌａＬｔａＶｏｒａｃｍｐｔｉｎｓｓｅｏｉｔｎｎｕｏｏｕｏｌｔｏａｄｉｗｉｒｄｃｈｏｏｉａｅｏｉｓｉａｉｎｗｈｎｔｅｉｔｎｉｒｗｔａｅｉｏａｔｎｍｏｓｐｐｕａｉｎ，ｎｔｌｐｏｕｅｔｅｂｉｌｇｃｌｐｒｄｃｏｃｌｔｅｈｎｒｓｃｇｏｈｒｔｓｌｉｌｏｉｓｆｃｅｔａｇｎｏｅｉｉｅｒｔｓａｄｙｅｄｒｕｃｅｔｍａ１ｕｉｎｌｌｒｅａｄｃｍｐｔｖａｅｎｉｌｓａｅｓｆｉｎｌｓｌ．ｉｙｔｉｙＫｅｒｓ：ＬｔａＶｏｒａｃｍｐｅｉｉｎｓｓｅ；ａｅｔｒｔｐｒｏｓｔｖｏｕｉｎｙｗｏｄｏｋ — ｈｅｒｏｔｔｏｙｔｍｈｒｓａｅ；ｅｄｐｏｉｉｅｓｌｔｏｖｉ

一类具有HollingⅡ功能反应时滞的捕食系统的Hopf分支

（）２
Ａ＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ一＝０．Ａｅ
的系数，中其
Ａ＝一。＋２。＋ｃｂ。＋。＝６＋ ‰
巾０
＋
＞ｏ
Ｂ【。ｒ］ｏｃＹｉ。＝６＋￣ｙｏ＋ｘ — ＞Ｙｌｆｏ
。
ｃ一＜。收稿日期：Ｏ９１一ｌ２ｏ— ２３
ｒ（）＝（ｘ￡ａ一２ｘｂ０～ｃ０（）一ｃＹｔ，）ｔｙ０（）＋ｒ（）ｙｔ一
ｉ＝【ＹｏＹ ‘ 。
（）＋Ａｗ＋Ｂ＋Ｃｉｅ
…一Ｙ㈤一ｏ）（￣Ｙ
＝０
假设（＞０ ∞ ）是（）式的根，有２则
∞ ＋（一２＋ＡＢ）一Ｃ＝０
（）６（）７
记：＝∞ ，６（）变为
＋ｆ一２ｚ＋ＢＡＢ）一Ｃ＝０
假设Ａ＞４Ｂ，
Ａ＝（。一２一４ＢＡＢ）（一Ｃ）＝Ａ４２＋４一４２＋４２＝Ａ（２—４ＡＢＢＢＣ２ＡＢ）＋４＞０Ｃ
一
即：）（有两个正实根，７分别记为ｚ，，６有两正实根：＝：则（）ｚ ∞
由（）式可得：。蚴：５。ｒ
丁
，：／． ∞ ＝，７；２
，因而，用下列记法：采
去ａｏ）｛ｃ！＋ｒｓｃ（
时的纯虚根．
（）８ｒ，。＝∞ 。 ∞
第３０卷
湖北师范学院学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｕｅＮｒａＵｉｒｔＮｔｒｃｎｅｏｒａｏｂｉｏｍｌｎｅｓｙ（ａａＳｉｃ）Ｈｖｉｕｌｅ

具有捕获项的四种群周期捕食系统的多个正周期解存在性

收稿日期：００—０２２１６～１
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０２０２；１７６６）福建省自然科学基金资助项目（０７０８）福州大学科技发展基金资助２０Ｊ１０；
项目（０７一Ｑ一１）２０Ｘ８
作者简介：许婷瑜（９７一）女，１８，福州大学硕士研究生，主要从事生物数学的研究．通讯作者：魏凤英（９６一）女，１７，吉林四平人，福州大学副教授，博士，硕士生导师，主要从事生物数学的研究．
０引言
捕食者一食饵关系是自然界中普遍存在的物种间相互作用的基本关系之一，是生态学、物数学的也生研究热点．在自然界中存在着大量的捕食系统，捕食现象无处不在．因而研究捕食者一食饵相互作用的关
ｓｓｅｓｗｉｈｈａｖｓｎｇｔｒｓｙｔｍｔｒｅｔｅｍｉＸＵｎｙＴｉｇｕ，ＷＥＩＦｎｙｎｅｇｉｇ
（ｏｅｅｏａｈｍｔｓｎｏｕｅｃｅｃ，ｕｈｕＵｉｒｔ，ｕｈｕ３００，ＣｉａＣｌｇｆｔｅａｉｄＣｍｐｔｒｉｅＦｚｏｎｖｓｙＦｚｏ５１８ｈｎ）ｌＭｃａＳｎｅｉ
许婷瑜，魏凤英
（州大学数学与计算机科学学院，建福州３００）福福５１８
摘
要：讨论了一类具有捕获功能的４种群周期捕食系统周期解的存在性，用重合度理论，利我们得到了４种

具HollingII功能反应的捕食系统的稳定性与最优收获策略问题

ｂ＋ｘ
和
表示捕食者的ＨｏｌｇＩ型功能反应函数，。ｌｎｉｌｑ
～
１＋Ｂｘ
和ｑ分别表示食饵种群Ｘ及捕食者种群Ｚ的捕获能力，２Ｅ表示对捕食者种群及食饵种群的捕获努
力程度．
１系统的有界性
定理１系统（）的所有解在Ｒ上是有界的．２
ｄ：麒（一１）一
ｔｋ１ｂ１Ｂｘ＋ｘ＋
一
一
（２）
ｄｔ பைடு நூலகம்
ｌ
＋ｘｂ
）
ｄｔ＝ｚ、。一ＧＺＢ）：（一＋１一ｇ
＋ｘ
收稿日期：２１—５００００ —９基金项目：国家自然科学基金（０７０８１７１４）作者简介：丁建华（９６，女，甘肃天水人，硕士研究生，研究方向：生物数学，最优控制理论１８一）
证明：定义函数Ｘ（）＋一ｙ＋Ａ＝ａｚ，然后对Ｘ（）ｆ沿系统轨线进行微分．对Ｖ￡＞０，有：
ｄＸ
一
ｄｘ
Ａｚｄ
＋ｘ：。ｆｄ
＋￡：一＋Ｘ＋ｄｔｄｅｄｔｆ
胧（一一１）
ｋ１＋
策略．
关键词：捕食系统；ＨｏｌｇＩ功能反应；．平衡点；稳定性；最优收获策略ｌｎｉＩＬＥ
中图分类号：Ｏ１５１７．４文献标志码：Ａ文章编号：１７ —５３２１）１００・８６４３６（０１０ —０１０

具有Holing-Ⅱ反应函数的一类捕食系统的动态分析

具有Holing-Ⅱ反应函数的一类捕食系统的动态分析张翼;赵飞【摘要】In order to study the interference between inter-specific andintra-specific of prey and feasibil-ity of prey-predator model with Holling-II response function under prey refuge, Jacobi determinant is used.The analysis results show that the solution of the model is positive and uniformly bounded.By dis-cussing system in the balance of nature,if the equilibrium point is locally asymptotically stable,the model achieved is globally asymptotically stable.If the equilibrium point is unstable,a limit cycle of the model can be achieved.At last,the effectiveness of the conclusion is shown using the matlab numerical simula-tion results and an application example is given..%研究食饵在种间、种内具有干扰且食饵在庇护所保护下具有Holling-Ⅱ反应函数的食饵-捕食者模型，运用雅克比行列式和微分代数系统方法进行分析，分析结果表明：模型解在正定的条件下一致有界。

通过讨论系统模型在平衡点的性质得出：如果系统在平衡点附近局部渐近稳定，则所给模型是全局稳定的；如果系统在平衡点附近不稳定，则所给模型会产生一个极限环。

食饵有补充具功能Ⅱ类二维捕食-食饵模型的正周期解与概周期解

维普资讯
唐小平，李靖云，高文杰：食饵有补充具功能 Ⅱ类二维捕食一食饵模型的正周期解与概周期解
取，，・：．ｅａｌ０则＋ｌ＞，
，）＝ ≤ （＋一垒０，≥ ｝；）一＜（警＃２ｚｚ・
所以存在． ≥．，ｔ￣，Ｙｔ≤￡．ｒｒ使＞－有（）２２Ｉｉ２
由此，１又得由（）
旦芝
ｄ
（）５
ｔ－坚一Ｉ－Ｉ１＝（一
）＋＝一Ｉ＋（ｌ￣２＋Ｉ坚 —ｅＬ）・
记
（ｌ～
）／－）４ｎ＋￣（Ｉ－ｅ＋ａ
关键词：捕食一食饵模型；周期解；概周期解；动下的稳定性壳扰
中圈分类号：７．４文献标识码：文章编号：０３— ００２０）ｌ１２－６Ｏ１５１Ａ１７２（０７Ｏ —Ｏ１０
文献［］１讨论了二维变系数具有食饵补充的捕食一食饵模型
ｆ＿㈤一） ∽ ，
（）１
軎ｙ２＝口［（
＋
］ｃ（，
一
其中一切系数（）（）（＝，）ｄｔ，（）ｅｔ，（）ｔ，ｔｉ１２，（）ｂｔ，）ｔ都是其定义域上的连续函数，（）ｂｔｅｔ，（）ｉ，）（ｔ，（），（）ｄｔ（＝１２为
食饵有补充具功能Ｉ类二维捕食一食饵模型Ｉ的正周期解与概周期解
唐小平李靖云高文杰。。
（．１柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系，广西柳州５５０；吉林大学数学研究所，４０４２．吉林长春１０１．３２）摘要：对于食饵有补充具有功能反应１Ｉ类的非定常的捕食一食饵模型，利用微分不等式讨论了周期解的存在性及其全局吸引性、概周期解的存在性及其在壳扰动下的稳定，．｝生

一类具无穷时滞和收获率捕食-食饵系统的多重周期正解

中图分类号：Ｏ７．１５６文献标识码：Ａ
生物种群系统的持续生存和正周期解的存在性都是重要的研究课题，来受到学术界关注，历许多学者已经进行了深入研究，取得了许多结并
果阻５－。本文研究具无穷时滞、］收获率和非单调功能性反应函数的比率依赖捕食一食饵系统．
Ｊ： — ｚ如下：７、ｒＮｕ＝（ｌｔｔ）Ａ（，（）），Ａ（，），２ｔＭｔ）（
（＝（，２）又定义投影算子Ｐ — Ｖ） ∈ ；：及Ｑ：＋ｚ＿Ｚ如下：
－
】
Ｉｕ厂）ｌ（Ｉ寺Ｉ厂ｓＩ（－ｉ厂）ｊ’（ｓ］ｓＥｓ－ｐ［ｎ。ｆ＜）
若ｔ是一连续的一周期函数，）就记
，村ａｔｍ（）ｘｆｍｉｔ（）ｎｆｔｄ）
＋∞
即有：Ｉ
（）ｓ＝１ｓｄ．
第３Ｏ卷第４期
２１年０月０２７
佳木斯大学学报（自然科学版）ＪｕａｏａｕｉｎｖｒｔＮｔｒｌｃｎｅＥｉｏ）ｏｒｌｆｉｓＵｉｓｙ（ａａｉｃｄｔｎｎＪｍｅｉｕＳｅｉ
Ｖ０．ＯＮｏ４１３．
本文利用重合度理论研究系统（）的多重周１期正解存在性，得出了对系统（）的多重周期正１解存在性是与食饵种群的收获率有关的新结果．
为了方便叙述，引入下面记号：再
，一
：：（）：！！＝（）：：圭：三：：！！＝：＝

一类具有单调功能反应和收获率的离散Leslie模型的多个正周期解

ｃｉｃｄｎｅｄｇｅｏｎｉｅｃｅｒｅ
近年来，于具有Ｈｏｌｇ型功能反应的捕食系统周期解的研究出现了许多结果关ｌｎｉ
，对Ｌｓｅ型但ｅｌ模ｉ
正周期解存在性的研究还是较少．献［］究了一类具有无穷时滞和收获率的Ｌｓｅ型一文９研ｅｌ模ｉ
ＭｕｔｐｅｐｓｔｖｒｏｃｓｌｔｏｓｆｒａｃａｓｏｓｒｔｄＬｅｌｅｓｓｅｌｉｌｏｉｉｅｐｅｉｄｉｏｕｉｎｏｌｓｆｄｉｃｅｅｓｉｙｔｍｗｉｈｍｏｏｏｃｆｎｔｏｌｒｓｏｓｎａｅｐｎｅａｄｈａｖｓｉｇ
（．１广西柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系，广西柳州５５０；２Ｎｉ大学数学学院，成都６０６）４０４．ｌＩ１０４
摘要：研究一类具有单调功能反应和收获率的离散Ｌｓｉ模型正周期解的存在性问题．用重合度理论中的延ｅｌｅ利
２ＭａｈｅｔｃｌＣｏｌｇ．ｔｍａｉａｌｅｅ，ＳｉｈａｉｅｓｔｃｕｎＵｎｖｒｉｙ，Ｃｈｎｄ０４，Ｃｈｎ）ｅｇｕ６１０６ｉａ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：ＴｈｘｉｔｎｃｏｓｔｖｅｐｒｏｃｓｌｉｎｉｔｄｉｄｆｒａｃａｓｏｆｄｉｃｅｅｓｉｙｓｅｔｏｅｅｓｅｅｏｆｐｉｉｅｉｄｉｏｕｔｏｓｓｕｅｏｌｓｓｒｔｄＬｅｌｅｓｔｍｗｉｈｍｎｏｔｃｏｎｉｆｃｉａｌｒｓｎｓｎａｒｅｓｉｇ．Ｂｙｕｓｎｇａｃｔｎｔｏｎｔｏｅａｓｄｏｃｎｃｄｎｃｅｅｈｅｙ，ｓｆｃｅｕｎｔｏｎｅｐｏｅａｄｈｖｔｎｉｏｎｉｕａｉｈｅｒｍｂｅｎｏｉｉｅｅｄｇｒｅｔｏｒｕｆｉｉｎｔ

36657080

第ｌ２期
许婷瑜，：等具有捕获项的四种群周期捕食系统的多个正周期解存在性
９
［］张正球，５王志成．一个具有收获率的广义时滞人口模型的多个正周期解［］Ｊ．中国科学，０６，６１）２９—１８．２０３Ａ（１：１７２７［］高建国．具有时滞和基于比率的一类捕食者一６食饵系统全局周期解的存在性［］Ｊ．生物数学学报，０５２（）３５— ２０，０３：１
【责任编辑：王军】
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学术动态・
信阳师范学院刘彦明教授应邀来我校讲学
２１００年１月１号上午，１１武汉大学博士生导师、阳师范学院教务处处长刘彦明教授应邀在我校文化信
路校区为化学系师生作了关于“ 细管电泳化学发电化学发光检测及研究应用 ” 毛的精彩学术报告．报告由化学系主任徐茂田主持，学系部分师生聆听了此次报告．化
３２０．
［］吴新民，７李经文．一个具有时滞的广义的捕食者一饵系统正周期解的存在性［］食Ｊ．黑龙江大学学报，０６２（）５２２０，３４：１
—
５１８．
［］向绍红．一类食物链条系统的正周期解［］８Ｊ．江西师范大学学报（自然科学版）２０，５４：４，０１２（）３２—３７４．
的感谢．
徐茂田主任代表化学系全体师生对刘彦明教授表示热烈欢迎，简要介绍了刘教授的基本情况．并接着，

两种群分别有常投放率和常收获率的Holling-Ⅳ类捕食系统

Ｐｒｙ－ｅａｏｏｌｗｉｈＣｏｓａｔＩｖｓｍｅｔＲａｅｆｒｅＰｒｄｔｒＭｄｅｔｎｔｎｎｅｔｎｔｏＰｒｙａｄＣｏｓａｒｅｔｎｔｒＰｒｄｔｒｕｄｒｅｎｎｔｎｔＨａｖｓｉｇＲａｅｆｅａｏｎｅｏ
ｅｕｌｂｕｐｉｔｗａｉｃｓｅｙｕｉｓｃｉｅｈｐｑｉｉｒｍｏｎｓｄｓｕｓｄｂｓｎｇｉｏｌｓｓａｅ，ａｄｔｅｃｎｉｉｎｆｒｔｘｓｅｃｎｈｔｂｉｔｉｎｎｈｏｄｔｏｈｅｅｉｔｎｅａｄｔｅｓａｌｙｏｉｏｈｑｌｂｕｐｏｎｒｎｌｓｄ．Ｆｎｌｆｔｅｅｕｉｒｍｉｔｗｅｅａａｙｅｉｉｉａｌｙ，ｔｅｎｎｘｓｅｃｆｔｅｌｓｄｏｂｔｗａｒｖｎｂＤｕａｈｏｅｉｔｎｅｏｈｃｏｅｒｉｓｐｏｅｙｌｃ
Ａｂｓｒｔｔａｃ：Ａｒｙｐｅａｏｄｌｗｉｏｓａｔｉｖｓｍｅｔｒｔｎｄｎｅｒｓｒｃｉｎｆｒｐｅｎｃｎｔｎｐｅ — ｒｄｔｒｍｏｅｔｃｎｔｎｎｅｔｎａｅａｄｅｓｅｔｔｏｏｒｙａｄｏｓａｔｈｉ
张敬高文杰周莉，，
（．齐齐哈尔大学理学院，黑龙江齐齐哈尔１１０２１６０６；．吉林大学数学研究所，长春１０１）３０２
摘要：虑一类食饵种群具有密度制约项且具有常投放率而捕食者种群具有常收获率的考

两种群都有收获率的微分生态系统的定性分析

数、定性作出了分析，出了该系统不存在极限环及存在唯一的极限环的条件．真结果说明了理论的正确性．稳得仿关键词：Ｈｏｌｇ１类功能反应；获率；衡点；焦点；限环ｌｎ１ｉＩ收平细极
Ｋｅｒｓｙｗｏｄ：ＨｏｌｇＨｕｃｉｎｌｅｐｎｅａｖｓｉｇｒｔ￣ｅｕｌｒｕｐｉｔｌｎｆｎｔａｓｏｓ；ｈｒｅｔａｅｑｉｂｉｍｏｎ；ｗｅｋｆｃｓｉｔｃｃｅｉＩｏｒｎｉａｏｕ；ｌｙｌｍｉ
ｏｈｔｏｈｅｒｔｃｌ．Ｉｂａｎｄｔａｈｅｓｔｅｆｐｅｓａｄｐｅａｏｓａｅｓａｌｎｅｏｏｄｔｏｓｆｔｅｍｅｈｄｔｏｅｉａｌｙｔｉｏｔｉｅｈｔｅｄｎｉｓｏｒｙｎｒｄｔｒｒｔｂｅｕｄｒｓｍｅｃｎｉｉｎ．ｓｔｉ
中图分类号：７．２０１５１文献标识码：Ａ文章编号：１０ —５３２１）２０３—４０７６７（０１０ —０２０
Ａａｉａｉｅａｌｓｓｏｉｆｒｎｉｌｅｏｙｔｍｔｒｅｔｎｇｒｔｓｑｕｌｔｔｖｎａｙｉｆｄｆｅｅｔａｃｓｓｅｗｉｈｈａｖｓｉａｅｆｒｐｒｙｎｅｔｒｏｅｓａｄｐｒｄａｏｓ
ＬｕＪａｉｍｉｉｕｎ．ＬＹｉｎ
（．ｐｒｍｅｔｏｃｅｃＢｅｇｌｅｅ，ｎｂ３００，ｈｕ，ｉａ；１ＤｅａｔｎｆＳｉｎｅ，ｎｂｕＣｏｌｇＢｅｇｕ２３３ＡｎｉＣｈｎ

具有收获和避难所效应的捕食——食饵系统Hopf分支分析

DOI ：10.14182/ki.1001-2443.2022.06.002具有收获和避难所效应的捕食—食饵系统Hopf 分支分析张道祥，李梦婷，闫晴，周文（安徽师范大学数学与统计学院，安徽芜湖241002）摘要：研究了具有收获和避难所效应的捕食-食饵系统的动力学。

首先研究了系统解的正性，有界性以及正平衡点的存在性。

其次，对系统正平衡点的局部稳定性和全局稳定性进行分析。

接着分别给出了ODE 系统以及PDE 系统产生Hopf 分支的条件。

最后通过一系列数值模拟来展示理论的正确性。

结果表明收获效应会提高食饵的密度，降低捕食者密度，避难所效应会提高食饵的密度且在一定范围内会提高捕食者密度。

关键词：捕食-食饵系统；收获；避难所；Hopf 分支中图分类号：O175.2；O193文献标志码：A文章编号：1001-2443（2022）06-0522-12引言多年来，捕食-食饵系统动力学一直是生态学和生物数学的重要研究问题。

在数学中，使用微分方程组来刻画捕食者与食饵之间的关系是一种主要的研究方法。

20世纪50年代，Leslie 首先提出了如下捕食-食饵模型［1-2］：ìíîïïïïdu dt =u (a -su )-muvdv dt =v (b -v γu )（1）其中u ,v 分别表示食饵和捕食者的密度，m 是捕食者的攻击率，a 是食饵的内禀增长率，b 是捕食者的内禀增长率，a s代表食饵的环境容纳量，1γu 代表捕食者依赖食饵的承载能力。

1960年，Leslie 和Gower 对系统（1）进行了改进，引入了功能反应函数［3］：ìíîïïïïdu dt =u (a -su )-p (u )vdv dt=v (b -v γu )（2）其中p (u )表示捕食者对食饵的功能反应函数。

具有HollingⅡ型功能反应和Allee效应的捕食系统模型

具有HollingⅡ型功能反应和Allee效应的捕食系统模型蒋芮; 刘华; 谢梅; 魏玉梅; 赵仕凤【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2016(031)004【总页数】10页(P441-450)【关键词】Allee效应; HollingⅡ型; 混沌; 计算机模拟【作者】蒋芮; 刘华; 谢梅; 魏玉梅; 赵仕凤【作者单位】西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃兰州730030; 西北民族大学实验中心，甘肃兰州730030【正文语种】中文【中图分类】O1751931年Allee在研究过程中发现群聚的生活状态有利于种群的增长,但是密度太大又会抑制种群的生长甚至会因为资源争夺而走向灭绝.对于每一个种群来说,必定存在着它独立的最适合自身生长繁殖的最佳密度,这就是Allee效应[1-2].Allee效应一直是生态学者研究的重要现象,它描述的是种群的功能效应因种群密度低于某一阈值而出现紊乱所导致的交配功率下降,社会性功能异常或者近交衰退等使种群出现负增长的状态[3-7],严重情况可能导致种群灭绝.生态学家对该效应进行了广泛研究,讨论提出了种群密度与个体生殖和幸存者的正相关关系.2011年Wan-xiong Wang等人对离散的捕食-食饵系统就Allee效应进行了研究,结果表明Allee效应会影响系统的稳定性[8].__________G.W.Harriso在1979年研究一类具有HollingⅡ型功能反应的捕食者系统模型,利用稳定性的理论得到其奇点的存在性与稳定性[9-10].张娟,马知恩在1996年研究一类具有HollingⅡ型功能反应和两种群均有密度制约的捕食系统模型,得到一个存在唯一稳定极限环的充分条件.1997年朴仲铉和薛春艳在食饵种群具有收获率的模型中,讨论了HollingⅡ型功能反应下的系统生长状态.2003年生物学家Turchin P 根据实际情况建立并研究该模型平衡点的存在性,稳定性和极限环不存在性等,作为理论研究的补充.对于HollingⅡ型功能反应的研究主要用于讨论的模型形式[11]如下：本文以此为基础,为了更进一步的讨论一类离散种群的相互作用系统的动态行为,建立具有Allee效应和HollingⅡ型功能反应的自治捕食系统模型[11-13]：系统中Allee效应的形式是其中c为阈值,m为辅助参数,t为种群的世代数,a为捕食者的搜寻效率常数,r为食饵的内禀增长率,K为食饵的环境容纳量,T为有效搜寻的总时间,Th为处理时间,搜寻效率与食饵密度负相关(受Th限制),Ht为食饵的第t 代种群密度,Pt为捕食者的第t代种群密度.分析具有Allee效应和HollingⅡ型功能反应的捕食系统的非负平衡点的局部稳定性.系统(2)具有两个非负的平衡点：平衡点E0=(0,0)对应两种群全部灭绝,正平衡点E∗=(H∗,P∗)对应两种群共存.定理对于系统(2)的两个非负平衡点,其局部稳定性具有以下结论：(1)当c＞0时,平衡点E0=(0,0)是稳定的;(2)当满足条件-1-C＜B＜1+C且C＜1时,平衡点证为讨论平衡点的稳定性,将模型写成如下形式：也就是：Q(λ)=λ2-Bλ+C=0.其中：B=G11+G12,C=G11G22-G21G12.Q(λ)是一条抛物线,当满足如下条件时,方程的根|λ|＜ 1,则平衡点稳定：Q(-1)＞0且Q(+1)＜0且C＜1.解得正平衡点E∗=(H∗,P∗)稳定的条件是3.1 处理时间对模型的影响在食饵-捕食者系统中,捕食者处理食饵的处理时间Th的取值不同,将会直接影响到食饵种群的数量,继而影响捕食者搜寻效率的变化.故在实际的生态环境中需要就捕食者对食饵的处理时间进行讨论分析,该参数取值要符合生态学背景具有一定的取值范围.在对生态系统进行计算机模拟时发现当有效搜寻总时间T=1时,处理时间Th取值在(0.3,0.8)区间内时模拟的生态系统更符合实际情况.故在后面对捕食系统进行模拟时,将捕食者对食饵的捕食过程进行分类讨论,其分岔图如图1所示：图1以搜寻效率a为分岔图横坐标,捕食者种群数量大小P为纵坐标,其余参数取值为：K=5,T=1,c=0.1,m=0.0002,系统初值为H0=5,P0=2.5.由于捕食者的处理时间给定有效区间,所以在计算机模拟的过程中主要选取了三种具有代表意义的处理时间Th的取值进行分析.图1的(a)中为Th=0.3时,即处理时间占比较少的一段时间,动态性非常复杂,在参数a取值为(0.502,1.352)内种群出现稳定共存的生存状态,接着出现混沌状态,在1.37到1.385出现一个比较窄的周期窗,短暂周期后种群再次进入混沌状态,中间有周期窗出现,直到a=1.9648时种群突然灭绝.图1(b)当Th即处理时间占搜寻总时间的二分之一时,该点为讨论处理时间的种群状态的分界点.通过分岔图观察可以发现,与(a)比较当Th增大了两种群稳定共存的参数域扩大了,稳定共存的区间变为了(0.811,5.523),种群依然会出现混沌状态,不过种群灭绝的参数域也扩大了,即在a=5.9492时种群突然灭绝.在图1(c)Th=0.8即处理食饵的时间比较长时,种群出现混沌状态后,该处的混沌状态比较复杂,接着经历倒转的倍周期32周期、12周期、8周期、4周期、2周期,最后经历了一段很长的参数域区间的稳定共存.上述不同的处理时间取值表明当捕食者对食饵进行处理的时间增加会扩大两种群稳定共存的参数域.3.2 Allee效应常数对模型的影响通过在捕食者搜寻过程中对食饵的处理时间的分析,我们选择一个相对合适的处理时间参数进行模拟,讨论Allee效应常数在具有Allee效应及HollingⅡ型功能反应模型的动态行为的影响.图2为具有Allee效应和HollingⅡ型功能反应模型系统的分岔图.以捕食者的搜寻效率a为分岔图参数,即分岔图的横坐标,其余参数取值为：K=5,r=3,T=1,Th=0.4,系统初值为H0=5,P0=2.5.图2(a)为捕食者对食饵不存在Allee效应时的动态系统：当搜寻效率a∈(0.619,2.172)时,两种群出现稳定共存,紧接着显示混沌状态,混沌状态呈现比较复杂的动态行为,比如草叉分支、切叉分支、吸引子危机,有稳定的6周期变化并有明显的周期窗,直到参数变为3.005时种群灭绝.图2(b)为捕食者对食饵具有Allee效应时的动态系统,即参数c=0.1,m=0.5时,从分岔图中可以发现,参数a∈(0.342,0.506)时种群就开始出现混沌状态,在较短的参数变化内出现倒转倍周期分岔,而稳定共存的参数域变为了a∈(0.506,1.705),经历稳定共存后再次出现混沌状态并伴随着周期变化,直到1.985时种群突然灭绝.图3为同样为具有Allee效应和HollingⅡ型功能反应模型的分岔图.以捕食者的內禀增长率r为分岔图参数,即內禀增长率作为分岔图横坐标,其余参数取值为：K=5,a=2,T=1,Th=0.4,系统初值为：H0=5,P0=2.5.图3(a)为c=0,m=0时,捕食者种群的生长状态,从图中我们可以知道,在內禀增长率r取值为0.263时出现混沌状态,直到参数增长到2.251时种群出现稳定共存状态,并在(1.6,1.8)及(2.0,2.1)之间出现周期窗,周期变化形态颇为复杂.接着出现稳定共存的生长状态.图3(b)表现的是c=0.1,m=0.5时的捕食者种群的生长状态,相对于没有Allee效应的情况下来说生长状态较为复杂,在3.029之后出现混沌状态,参数在3.592之后一段参数区间内保持稳定共存,短暂共存状态后再次出现混沌状态,后种群突然灭绝.3.3 Allee效应辅助参数对模型的影响同样根据前面的探索选择一个相对合适的处理时间参数进行模拟讨论Allee辅助参数在具有Allee效应及HollingⅡ型功能反应模型的动态行为的影响.图4为具有Allee效应和HollingⅡ型功能反应模型系统的分岔图.以捕食者的搜寻效率a为分岔图参数,其余参数取值为：K=5,r=3,m=0.5,T=1,Th=0.4,系统初值为：H0=5,P0=2.5.图4(a)为系统中参数取值c=0.1,即具有Allee效应的动态系统,该处的分岔图同图2中(b)部分.图4(b)为系统参数c=-0.02时的动态系统,稳定参数域扩大为(0.532,1.819),接着呈现混沌状态,混沌比较复杂,具有草叉分支、切叉分支、吸引子危机、拟周期变化,参数增大到3.321种群突然灭绝.3.4 最大Lyapunov指数判断混沌动态对于混沌状态[14]的判断只有直接的分岔图结论远远不够,本节采用求解最大Lyapunov指数的方法来从理论上支撑混沌状态的判断[15].最大Lyapunov指数计算即在相平面空间计算附近的轨道发散或者收敛的平均指数.下面完整叙述其计算过程：第一步,找到一个吸引子上的一个已知点x0,这个点对于任意的初始条件都可以迭代几百次,并有邻点y0使得d0=||x0-y0||,且d0=10-12.第二步,每两个轨道通过一次迭代可得xk,yk,由公式dk=||xk-yk||可计算出dk,其中k=1,2,···,n,dk6=d0.将上述两步进行n次迭代计算平均对数率.最后得到最大Lyapunov指数的计算式为对系统的最大Lyapunov指数的计算结果进行判断,若指数为正则为混沌状态,若为负则系统是稳定状态或者出现周期吸引子现象.图5为系统(2)的Lyapunov指数的计算结果,该图所对应的为图3,图4的局部参数域上的指数图像.对其余系统动态演化的分岔图均通过类似的方式对混沌状态进行理论验证,对每个参数作为讨论对象分别进行了混沌状态的Lyapunov指数的计算.考虑捕食者对食饵攻击的攻击过程,通过计算机模拟参数内禀增长率r,搜寻效率a,Allee效应宿主阈值c,Allee效应常数m变化时种群的动态变化趋势.该动态变化过程以分岔图进行呈现,在分岔图中种群动态系统随参数变化会出现Hopf分支,混沌状态[16-20].对分岔图进行详细分析得到如下结论：结论一,当处理时间在有效区间内变化时,处理时间越大种群的稳定共存参数域越大.如图1所示,当捕食者对猎物的处理时间在有效情况下：处理时间小于捕食过程的总时间的二分之一时,系统的种群大小的变化会随着参数的增加而处于特殊的变化,种群动态的整体变化趋势是类似的;而当处理时间增大至超过捕食总时间的二分之一时,种群的整体动态变化趋势发生变化,该部分种群生长状态中会出现倒转的倍周期增长.由图中我们可以得到结论,处理时间的增加在增大了种群存活参数域的同时也增大了两种群稳定共存的参数域.结论二,在具有HollingⅡ功能反应的离散的食饵-捕食者系统中由于Allee效应的引入,增加了捕食者种群的灭绝风险.模拟结果显示去掉Allee效应能增加捕食者种群的续存.在图2和图3的软件模拟的结果中,可以很清楚的看到以a和r为参数,增加Allee效应参数m,模拟有Allee效应和没有Allee效应的情况下种群的生长动态.从图中我们可以通过对比分析当Allee效应参数c=0，m=0时和c=0.1，m=0.5时,种群生长状态的情况：当m=0.5时,种群稳定共存的参数域均发生了变化,搜寻参数的参数取值范围由a∈(0.619,2.172)变为了a∈(0.506,1.705),內禀增长率r稳定共存的参数域也由(2.251,4.249)缩小了.通过对分岔图进行具体分析,可知Allee效应增加了种群的动态复杂性加速了种群的灭绝.结论三,当系统受强Allee效应影响时,将推迟出现混沌现象,也就是说强Allee更容易使种群产生分叉,即强Allee会使种群提前出现分叉现象,继续增强Allee效应,导致种群灭绝[21-22].而系统Allee参数取c＜0,系统还是会出现混沌现象.对于参数域中系统出现的混沌现象通过计算Lyapunov指数来对分岔图的混沌现象进行了理论支撑,就每个参数进行了对应的指数计算,文中第三部分的第四小节只就部分参数域进行了诠释.当Lyapunov指数大于0时出现混沌状态,小于0时则是稳定状态或者是一个周期吸引子.当Allee参数c＞0时为强Allee效应,如图4所示可以清楚的观察到当c=0.1时种群的混沌状态后出现分叉比c=-0.02时容易.从图中我们还可以看到当c=0.1时,考虑Allee效应的作用力度,继续增强Allee效应参数c将会导致种群存活的参数域缩短.相对于强Allee效应来说,参数c＜0时加强了种群的稳定性,两种群的稳定共存的参数域也因稳定性的加强而增大.【相关文献】[1] 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ect[J].J Qufu Normal Univ,2012,38(3)：7-12.[18]付晓阅,张玉娟,刘超,等.具有效应的食饵一捕食者模型的稳定性分析[J].生物数学学报,2012,27(4)：639-644.[19]王静,薛亚奎.一类具有Allee影响的捕食与被捕食模型[J].数学的实践与认识,2008,38(10)：136-140.[20]王万雄,赵灿省,张艳波.一类具有Allee效应的捕食系统的稳定性分析及模拟[J].数学的实践与认识,2013,43(20)：245-249.[21] 高玉景.一类带有强Allee效应捕食-食饵系统的Hopf分支[J].兰州大学学报：自然科学版,2014,50(4)：564-568.[22]臧辉,聂华.一类具有强Allee效应的捕食－食饵模型正平衡态解的存在性[J].陕西师范大学学报：自然科学版,2013,41(5)：5-10.。

具有脉冲收获的Hassell-Varley型功能性反应捕食系统的周期解存在性

具有脉冲收获的Hassell-Varley型功能性反应捕食系统的周期解存在性郭微，高云柱，战英杰【摘要】摘要：研究了一类具有脉冲收获和Hassell-Varley型功能性反应的时滞捕食者-食饵系统的周期性问题，利用重合度理论中的Gaines和Mawhin’s延拓定理，建立了该系统至少存在一个正周期解的一组易于验证的充分条件.【期刊名称】北华大学学报（自然科学版）【年(卷),期】2015(016)005【总页数】7【关键词】捕食系统；脉冲；时滞；收获率；Hassell-Varley型功能性反应；正周期解1 引言近年来，许多学者深入研究了具有HollingI-IV型[1-4]，Beddington-DeAngelis型[5]，Ratio-Dependent型[6-7]和Hassell-Varley型[8]等功能性反应的非自治生物动力系统. 文献[9]考虑了具有Hassell-Varley功能性反应捕食系统：(1)其中：x(t)，y(t)分别表示在时刻t的食饵和捕食者的种群密度，0<γ≤1为Hasscll-Varlcy系数，利用重合度理论中的延拓定理，给出了在时标下的对应系统存在正周期解的充分条件.在自然界的生态系统中，人类对生物资源的捕获一般具有季节性和不连续性，可以看作是特定时刻对系统的一种脉冲作用.同时，在生物种群相互作用中时滞是不可避免的，尤其是遗传效应等已成为种群增长的一种阻滞.据此，本文考虑如下具有脉冲收获和Hassell-Varley功能性反应的时滞捕食系统：(2)其中：N1(t)，N2(t)分别表示在时刻t的食饵-捕食者的种群密度；hik分别表示tk时刻对两种群的收获率；cj(t)分别表示在过去的一段时间内食饵种群受自身遗传和有毒物以及环境污染等多因素影响的比例系数；和分别代表Ni(t)在tk 时刻的右极限和左极限即Ni(t)在tk时刻都是左连续的；代表自然数集；常数γ为Hasscll-Varlcy系数且0<γ≤1.i=1，2，j=1，2，…，n.关于系统(2)其他参数的详细生态意义可参见文献[9-10].对于脉冲捕获系统(2)，我们作如下假设：(H1)Ni(s)=φi(s)≥0，s∈[-τ，0]是连续函数且满足φi(0)>0，i=1，2，这里τ=max{τj(t)，σ(t)：t∈， j=1，2，…，n}；(H2)ai(t)，bi(t)，cj(t)，d(t)，m(t)，τj(t)，σ(t)∈C([0，+)，(0，+))都是t≠tk 上的周期为ω>0的连续函数(i=1，2， j=1，2，…，n)；(H3)tk，k∈，满足t0=0<t1<t2<…<tk<…；(H4)-1<hik≤0(i=1，2，k∈)，存在正整数q，使得tk+q=tk+ω，pi(k+q)=pik，且tk-τ1≠tm，tk-τ2≠tm，还假设tk≠0，ω以及[0，ω]∩{tk}={t1，t2，…，tm}，那么q=m.在假设-1<hik≤0(i=1，2，k∈)和正初值Ni(0)>0(i=1，2)条件下，易于证明系统(2)的解皆为正解. 据此，作变换Ni(t)=exi(t)(i=1，2)，将系统(2)化为(3)记x(t)=(x1(t)，x2(t))T是系统(3)的任意周期解. 为便于对系统(3)的研究，我们引入函数空间：在t≠tk处连续存在且}.对于ω-周期函数g(t)，本文采用记号：(t)}.令).本文主要讨论脉冲捕获系统(2)正周期解的存在性.易见，当系统(2)无时滞、无脉冲和遗传效应时可化为系统(1)，因此，本文改进了文献[9]的相关结果.2 预备知识为方便起见，我们引入重合度理论中Gaines和Mawhin’s的延拓定理等作为预备知识.定义1[11] 若(ⅰ) x(t)是分段连续的，[0，ω]∩{tk}是x(t)的第一类间断点且左连续；(ⅱ)x(t)在[0，ω]上满足系统(3)，则映射x：[0，ω]→2是系统(3)在[0，ω]上的解.定义2[11] 若(ⅰ)x(t)是系统(3)的解；(ⅱ)x(t)满足x(t+ω-0)=x(t-0)，t∈，则映射x：→2是系统(3)的ω-周期解.引理1[12] (Mawhin’s延拓定理) 设X，Z是Banach空间，L是指标为零的Fredholm映射在上是L-紧的，其中Ω是X中的有界开集，如果满足：(a)∀x∈∂Ω∩DomL，λ∈(0，1)，Lx≠λNx；(b)∀x∈∂Ω∩KerL，QNx≠0；(c)deg{JQN，Ω∩KerL，0}≠0，那么方程Lx=Nx在内至少存在一个解.考察如下代数方程组(4)其中：(x1，x2)T∈2，t0，t1∈[0，ω]，μ∈[0，1]是参数.引理2 若方程组(4)满足条件则存在一个与参数μ无关的常数B0，使得方程组(4)每一个解x=(x1，x2)T满足x≤B0，其范数为x=x1+x2.证明：由方程组(4)易得令ρi=max{li，Li}，B0=ρ1+ρ2，则ρi(i=1，2)与μ无关，xi≤ρi且x≤B0.证毕.3 主要结果定理1 如果除正初值条件和假设(H1)～(H4)外，还满足条件：(ⅰ) pi>0，i=1，2；(ⅱ)那么脉冲捕获系统(2)至少存在一个ω-周期正解.证明：只须证明系统(3)的ω-周期解存在性.令X={x(t)=(x1(t)，x2(t))T∈PC(，2)：x(t+ω)=x(t)}，Z=X×2q，定义x(t)， zZ=xC+y， z=(x，y)T∈Z，x∈X，y∈2q.其中·表示Euclid范数，·分别表示2和2q中的任意范数.能够证明X和Z在上述范数下构成Banach空间.令DomL⊂X， L：DomL→Z，Lx=(x′，Δx(t1)，…，Δx(tq))，N：X→Z，).可知KerL={x∈X：x=h∈2，t∈[0，ω]}，以及dim KerL=2=co dim ImL，ImL是Z中的闭子空间，L是指标为零的Fredholm算子.对于x∈X，z=(f，E1，E2，…，Eq)T∈Z，定义两个连续投影算子且满足ImP=KerL，ImL=KerQ=Im(I-Q).于是，LDomL∩KerP：(I-P)X→ImL 存在逆映射，即L的广义逆KP：ImL→KerP∩DomL存在，表达式为].据此，结合Nx和Qz定义得以及易知，QN和KP(I-Q)N是连续的.利用Arzela-Ascoli定理，对于X中的任意有界开集Ω，易证和都是紧致的，因此N为中是L-紧的.对应于方程Lx=λNx，λ∈(0，1)有(5)设x∈X是系统(5)对于某一个λ∈(0，1)的解，对系统(5)各式两端从0到ω积分得(6)(7)由式(5)～(7)有(8)(9)因为x∈X，所以存在ξi，ηi∈[0，ω]，使得(10)一方面，由式(6)和(10)有由此可得(11)注意-1<hik≤0，ln(1+hik)<0，在连续点处(s)ds，对系统(5)有则由式(8)和(11)，对∀t∈[0，ω]有(12)利用式(10)和(12)，由式(7)有进而得到(13)则由式(9)和(13)，对∀t∈[0，ω]有(14)另一方面，利用式(10)和(14)，由式(6)有于是得到(15)同样地，在连续点处(s)ds，对系统(5)有结合式(8)和(15)，对∀t∈[0，ω]有(16)类似地，利用式(10)和(16)，由式(7)有进一步整理，得因此，对∀t∈[0，ω]有(17)综上，由式(12)，(14)，(16)和(17)，我们获得xi(t)≤max{Ri，ri}Bi，i=1，2.结合引理2，可知B0，B1，B2与参数μ，λ的选取无关.令B=(B1，B2)T+B0，其中B0取足够大使得方程组(4)的每一个解x=(x1，x2)T满足x≤B0且x(tk+0)<B，k=1，2，…，q，于是x<B.令对于λ∈(0，1)，x∈∂Ω有Lx≠λNx，Ω满足引理1条件(a).当x∈∂Ω∩KerL时，x是2中常值向量且x=B，由引理2知QNx≠0，则Ω满足引理1条件(b).当x∈∂Ω∩KerL时，定义映射J：ImQ→X，(d，0，…，0)→d，使得构造映射Hμ(x)=μJQNx+(1-μ)Gx，μ∈[0，1]，其中[0，ω].由引理2知，对于μ∈[0，1]，x∈∂Ω∩KerL，Hμ(x)≠0，故Hμ(x)是一个同伦映射.根据同伦不变性，取恒同映射J=I，于是由于代数方程组在定理条件下存在唯一解所以直接计算得进而Ω满足引理1的条件(c).根据引理1，方程Lx=Nx在至少有一个解则由所使用变换知(e，e)T为脉冲捕获系统(2)的ω-周期正解. 证毕.如果两种群的有界偏差变元改为常数时滞，或者食饵种群的有界偏差变元改为有限分布时滞，乃至无限分布时滞，半饱和系数m(t)=m为常数，且满足(ⅰ)pi>0，i=1，2；(ⅱ)那么脉冲捕获系统(2)至少存在一个ω-周期正解.推论2 如果γ=1/2，且满足(ⅰ)pi>0，i=1，2；(ⅱ)(ⅲ)那么捕获系统(3)至少存在一个ω-周期正解.参考文献：[1] 杨帆，卜昭红，王克.食饵有补充具有III类功能反应捕食系统的周期解与概周期解[J].东北师大学报(自然科学版)，2001，33(4)：1-7.[2] 范猛，王克.一类具Holling II型功能性反应的捕食者-食饵系统全局周期解的存在性[J].数学物理学报，2001，21A(4)：492-497.[3] 田德生，朱长青，朱永松.Holling IV 捕食者-食饵时滞系统的多个周期解[J].纯粹数学与应用数学，2009，25(2)：339-345.[4] 程荣福，常亮. 具无限时滞和非单调功能性反应捕食系统的多周期解[J].吉林大学学报(理学版)，2010，48(5)：761-765.[5] Fan M，Kuang Y.Dynamics of non-autonomous predator-prey system with the Beddington-DeAngelis functional response[J].J Math Anal Appl，2004，295：15-39.[6] 张正球，王志成.基于比率的三种群捕食者-食饵扩散系统的周期解[J].数学学报，2004，47(3)：531-540.[7] 赵明，程荣福.一类具生物控制和比率型功能性反应的食物链系统周期解的存在性[J].吉林大学学报(理学版)，2009，47(4)：730-736.[8] Wang K.Periodic solutions to a delayed predator-prey model withHassell-Varley type functional response[J].Nonlinear Analysis，Real World Application，2011，12：137-145.[9] 温绍雄，范猛. 具有Hasscll-Varlcy型功能性反应的捕食者-食饵系统周期解的存在性[J].东北师大学报(自然科学版)，2011，43(1)：10-15.[10] 程荣福.具有脉冲的非自治多种群Lotka-Volterra竞争系统的周期性[J].北华大学学报(自然科学版)，2012，13(1)：1-8.[11] 叶丹，范猛.具有脉冲的三种群捕食者-食饵链系统正周期解的存在性[J].东北师大学报(自然科学版)，2004，36(4)：1-10.[12] Gaines R E，Mawhin J L.Coincidence degree and nonlinear differential equations[M].Berlin：Springer-Verlag，1977：40-45.【责任编辑：伍林】基金项目：吉林省教育厅科学技术研究项目(104114029).【引用格式】郭微，高云柱，战英杰.具有脉冲收获的Hassell-Varley型功能性反应捕食系统的周期解存在性[J].北华大学学报(自然科学版)，2015，16(5)：567-573.。

一类具无穷时滞和收获率捕食-食饵系统的多重周期正解

一类具无穷时滞和收获率捕食-食饵系统的多重周期正解谢东【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(000)004【摘要】研究了一类具有无穷时滞、收获率和非单调功能性反应函数的比率依赖捕食-食饵系统。

利用一些分析技巧和重合度理论，得到该系统存在多重周期正解的新结果% In this paper, a ratio -dependent predator -prey system with non -monotone functional re-sponse, harvesting and infinite delays was investigated .By means of coincidence degree theory and some analysis techniques, a new result on the existence of multiple positive periodic solutions to the system was obtained .【总页数】4页(P598-601)【作者】谢东【作者单位】亳州师范高等专科学校理化系,安徽亳州236800【正文语种】中文【中图分类】O175.6【相关文献】1.一类具收获率的食饵-捕食系统的定性分析 [J], 何德明;何万生;谢保利2.具有收获率和基于比率的两种群时滞捕食者-食饵系统的多重正周期解 [J], 肖永峰;房辉3.具收获率的一类食饵捕食系统的定性分析 [J], 何德明; 窦霁虹; 彭书新4.具有多开发(收获)项的周期Lotka-Volterra捕食者-食饵时标系统多重周期正解[J], 汪东树5.具避难所和Rosenzweig功能性反应的两种群捕食-食饵系统的周期正解 [J], 吴玉敏;李福坤因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

时间尺度上带有收获项的一类捕食-食饵系统多个正周期解的存在性

时间尺度上带有收获项的一类捕食-食饵系统多个正周期解的存在性李周红;杨成莲【期刊名称】《玉溪师范学院学报》【年(卷),期】2016(0)8【摘要】应用重合度延拓定理和一些不等式技巧，研究了一类时间尺度上带有收获项的三种群捕食-食饵系统，得到其至少存在八个正周期解的充分条件，并用一个例子验证了所得结果的有效性。

%In this paper,a general class of predator-prey system with harvesting terms on time scales is studied by u-sing Mawhin′s continuation theorem of coincidence degree theory and some skills of inequalities.The sufficient condition is established for the existence of at least eight positive periodic solutions.An example is given to illustrate the effectiveness of the result.【总页数】10页(P1-10)【作者】李周红;杨成莲【作者单位】玉溪师范学院数学系，云南玉溪 653100;腾冲市明光中学，云南腾冲 679103【正文语种】中文【中图分类】O175.13【相关文献】1.带有脉冲、时滞和广义扩散函数的捕食者-食饵系统正周期解的存在性 [J], 王烈;陈斯养;石茂2.一类带有回馈控制的捕食-食饵模型正周期解的存在性 [J], 王彩丽;张建勋3.研究带有收获项和脉冲的时滞食饵捕食系统八个正概周期解的存在性 [J], 吕小俊;谢海平;赵凯宏4.带有脉冲和收获项的时滞Crowly-Martin型食饵-捕食系统的四个正周期解 [J], 吕小俊;谢海平;吕鹏辉5.带有收获项的时滞Holling-Ⅱ型食饵-捕食系统4个正周期解 [J], 吕小俊;谢海平;李睿因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

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ｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｒｆｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆａｔｌｅａｓｔｅｉｇｈｔｐｏｓｉｔｉｖｅｐｅｒｉｏｄｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｉｓｓｙｓｔｅｍａｒｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈａｒｖｅｓｔｉｎｇｔｅｒｍ；ｔｗｏｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｅｓｐｏｎｓｅｓ；ｐｒｅｄａｔｏｒ — ｐｒｅｙｓｙｓｔｅｍ；ｐｏｓｉｔｉｖｅｐｅｒｉｏｄｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｃｏｉｎｃｉ —
中图分类号：０１７５．７文献标志码：Ａ文章编号：１０００— ５４６３（２０１５）０６— ０１０５— ０６
ＭｕｌｔｉｐｌｅＰｏｓｉｔｉｖｅＰｅｒｉｏｄｉｃＳｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒＰｒｅｄａｔｏｒ — ＰｒｅｙＳｙｓｔｅｍｗｉｔｈＨａｒｖｅｓｔｉｎｇ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍｕｌｔｉｐｌｅｐｏｓｉｔｉｖｅｐｅｒｉｏｄｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒａｋｉｎｄｏｆｐｒｅｄａｔｏｒ — ｐｒｅｙｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｔｗｏｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｅｓｐｏｎｓｅｓａｎｄｈａｒｖｅｓｔｉｎｇｔｅｒｍｓａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ｉｎｗｈｉｃｈｔｗｏｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｅｓｐｏｎｓｅｓａｒｅＢｅｄｄｉｎｇｔｏｎ・ＤｅＡｎｇｅｌｉｓｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｒａｔｉｏ－ｄｅ－ｐｅｎｄｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｂｙｕｓｉｎｇａｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍｂａｓｅｄｏｎｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅｄｅｇｒｅｅｔｈｅｏｒｙａｎｄｓｏｍｅｉｎｅｑｕａｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓ
ＴｅｒｍｓａｎｄＴｗｏＦｕｎｃｔｉｏｎａｌＲｅｓｐｏｎｓｅｓ
ＹａｏＸｉａｏｊｉｅ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＧｕａｎｇｘｉＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ，Ｌａｉｂｉｎ５４６１００，Ｃｈｉｎａ）
ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ，ｔｈｅｂｏｕｎｄｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｉｓｓｙｓｔｅｍａｒｅａｎａｌｙｚｅｄ，ｉｎｗｈｉｃｈｔｈｅｒｅａｒｅｅｉｇｈｔｐｏｓｓｉｂｌｅｃａｓｅｓ，ｔｈｅｓｕｆｉｆ－
华南师范大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｕｔｈＣｈｉｎａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ｄｅｎｃｅｄｅｇｒｅｅ
在捕食系统中功能函数起着非常重要的作用，因为功能函数不仅与食饵有关，而且反映了捕食者的捕食能力．１９６５年，ＨｏｌｌｉｎｇｌＩＩ对不同类型的生物
（广西科技师范学院数学与计算机科学系，来宾５４６１００）
摘要：研究了一类具有２个功能反应和收获率的捕食系统的正周期解问题，其中２个功能反应函数分别是Ｂｅｄｄｉｎｇ — ｔｏｎ—ＤｅＡｎｇｅｌｉｓ功能函数和比率功能函数．通过利用重合度理论中的延拓定理和一些不等式分析技巧，细致分析系统的解的界，给出了８种可能情形，建立了该系统至少存在８个正周期解的充分条件．关键词：收获率；２个功能反应；捕食系统；正周期解；重合度
２０１５，４７（６）：１０５—１１０
ｄｏｉ：１０．６０５４／ｊ．ｊｓｃｎｕｎ．２０１５．０４能反应的捕食系统的多个正周期解
姚晓洁