2012理辽宁高考数学真题及答案WORD版(教师版)
2012年辽宁高考试题(理数,word解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集{}=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U ，集合{}=0,1,3,5,8A ，集合{}=2,4,5,6,8B ，则()()=U U C A C BA ．{}5,8B ．{}7,9C ．{}0,1,3D ．{}2,4,6【命题意图】本题主要考查集合的补集、交集运算，是容易题. 【解析】()()(){}=C =7,9U U U C A C B A B ,故选B.2.复数2-=2+i i A ．34-55iB ．34+55i C ．41-5i D ．31+5i 【命题意图】本题主要考查复数的除法运算，是容易题.【解析】()()()22-2-3-434===-2+2+2-555i i i i i i i ，故选A. 3. 已知两个非零向量,a b满足+=-a b a b ，则下面结论正确A ．//a bB ．a b ⊥C ．=a bD ．+=-a b a b【命题意图】本题主要考查平面向量运算，是简单题.【解析1】+=-a b a b ，可以从几何角度理解，以非零向量,a b为邻边做平行四边形，对角线长分别为+,-a b a b ，若+=-a b a b，则说明四边形为矩形，所以a b ⊥ ，故选B.【解析2】已知得22+=-a b a b ，即2222-2+=+2+=0a ab b a ab b ab a b ∴∴⊥，故选B.4. 已知命题()()()()122121:,,--0p x x R f x f x x x ∀∈≥，则p ⌝是A ．()()()()122121,,--0x x R f x f x x x ∃∈≤B ．()()()()122121,,--0x x R f x f x x x ∀∈≤C ．()()()()122121,,--<0x x R f x f x x x ∃∈D ．()()()()122121,,--<0x x R f x f x x x ∀∈【命题意图】本题主要考查全称命题的否定，是容易题.【解析】全称命题的否定形式为将“∀”改为“∃”，后面的加以否定，即将“()()()()2121--0f x f x x x ≥”改为“()()()()2121--<0f x f x x x ”，故选C.5. 一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 A ．33!⨯ B ．()333!⨯ C ．()43!D ．9!【命题意图】本题主要考查相邻的排列问题，是简单题.【命题意图】每家3口人坐在一起，捆绑在一起3!，共3个3!，又3家3个整体继续排列有3!种方法，总共有()43!，故选C.6. 在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S A ．58 B ．88 C ．143 D ．176【命题意图】本题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式，是简单题.【解析】4866+=2=16=8a a a a ∴，而()11111611+==11=882a a S a ，故选B. 7.已知()sin -cos 0,αααπ∈，则tan α=A ．1- B．2-C．2D ．1【命题意图】本题主要考查同角三角函数基本关系式、特殊角的的三角函数，是中档题. 【解析1】()sin -cos 0,αααπ∈，两边平方得1-sin 2=2,α()sin 2=-1,20,2,ααπ∈332=,=,24ππααtan =-1α∴，故选A. 【解析2】由于形势比较特殊，可以两边取导数得cos +sin =0,tan =-1ααα∴8. 设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20B ．35C ．45D ．55【命题意图】本题主要考查简单线性规划，是中档题. 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点()5,15A 时，2+3x y 的最大值为55，故选D. 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是A ．-1B ．23 C ．32D ．4 【命题意图】本题主要考查程序框图知识，是中档题.【解析】当=1i 时，经运算得2==-12-4S ； 当=2i 时，经运算得()22==2--13S ；当=3i 时，经运算得23==222-3S ； 当=4i 时，经运算得2==432-2S ；当=5i 时，经运算得2==-12-4S ；故选D. 从此开始重复，每隔4一循环，所以当=8i 时，经运算得=4S ；接着=9i 满足输出条件，输出=4S10. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于322cm 的概率为 A ．16B ．13 C ．23 D ．45【命题意图】本题主要考查几何概型及应用意识.是中档题.【解析】如图所示，令=,=AC x CB y ，则()+=12>0,y>0x y x ，矩形面积设为S ，则()==12-32S xy x x ≤，解得0<48<12x x ≤≤或，该矩形面积小于322cm 的概率为82=123，故选C.11. 设函数)(x f ()x R ∈满足()()()(),=2-f x f x f x f x -=，且当[]0,1x ∈时，()3=f x x .又函数()()=cos g x x x π，则函数()()()=-h x g x f x 在13-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点个数为A ．5B ．6C ．7D ．8【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性、函数图像、函数零点等基础知识，是难题.【解析】由()()f x f x -=知,所以函数)(x f 为偶函数，所以()()()=2-=-2f x f x f x ，所以函数)(x f 为周期为2的周期函数，且()()0=0,1=1f f ，而()()=c o s g x x x π为偶函数，且()1130==-==0222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在同一坐标系下作出两函数在13-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像，发现在13-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内图像共有6个公共点，则函数()()()=-h x g x f x 在13-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点个数为6，故选B.12. 若[)0,+x ∈∞，则下列不等式恒成立的是A ．21++xe x x ≤ B2111-+24x x ≤C ．21cos 1-2x x ≥ D ．()21ln 1+-8x x x ≥【命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题，是难题.【解析】验证A ，当332=3>2.7=19.68>1+3+3=13x e 时，，故排除A ；验证B ，当1=2x 时，，3，而111113391-+===<22441648484848⨯⨯，故排除B ； 验证C ，令()()()21=cos -1+,'=-sin +,''=1-cos 2g x x x g x x x g x x ，显然()''>0g x 恒成立 所以当[)0,+x ∈∞，()()''0=0g x g ≥，所以[)0,+x ∈∞，()21=cos -1+2g x x x 为增函数，所以()()0=0g x g ≥，恒成立，故选C ；验证D ，令()()()()()2-311=ln 1+-+,'=-1+=8+144+1x x x h x x x x h x x x ，令()'<0h x ，解得0<<3x ，所以当0<<3x 时，()()<0=0h x h ，显然不恒成立，故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及其体积计算，是简单题.【命题意图】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为()243+41+31+2-2=38ππ⨯⨯⨯⨯14.已知等比数列{}n a 为递增数列，且()2510+2+1=,2+=5n n n a a a a a ，则数列{}n a 的通项公式=n a ____________．【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题. 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则由()+2+12+=5n nn a a a 得，222+2=5,2-5+2=0q q q q ，解得1==2q 或q 2，又由2510=a a 知，()24911=a q a q ，所以1=a q ，因为{}n a 为递增数列，所以1==2a q ，=2n n a15. 已知,P Q 为抛物线2=2x y 上两点，点,P Q 的横坐标分别为4,-2，过,P Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 ．【命题意图】本题主要考查抛物线的切线与两直线的交点，是中档题.【解析】21=,'=2y x y x ，所以以点P 为切点的切线方程为=4-8y x ，以点Q 为切点的切线方程为=-2-2y x ，联立两方程的1-4x y =⎧⎨=⎩16. 已知正三棱锥-P ABC ，点,,,P A B C ,,PA PB PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为 ．【命题意图】本题主要考查球与正三棱锥的切接问题，是难题. 【解析】如图所示，O 为球心，'O 为截面ABC 所在圆的圆心，设===PA PB PC a ，,,PA PB PC 两两相互垂直，==AB BC CA ，所以'=3CO a ，'=3PO a ， 22+=3⎫⎪⎪⎝⎝⎭，解得=2a ，所以PO ，'=3OO 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，角,,A B C 成等差数列。
2012高考辽宁理科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1，3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(U A )∩(U B )＝()A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}2．复数2i2i -=+( ) A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5- D ．31i 5+3．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b 4．已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则p 是( ) A ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0D ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜05．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3！ B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9！6．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 7．已知sin α－cos α2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．2C 2D ．1 8．设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．559．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A ．－1B ．23 C ．32D ．4 10．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A ．16 B ．13 C ．23 D ．4511．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈［0,1］时，f (x )＝x 3．又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在［12-，32］上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．812．若x ∈［0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )A ．e x ≤1＋x ＋x 2B 211124x x ≤-+C ．cos x ≥1－12x 2D ．ln(1＋x )≥x －18x 2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．14．已知等比数列{a n }为递增数列，且2510a a ＝，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________．15．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．16．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值． 18．如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．附：2211221221121()n n n n n n n n n χ+++-=，20．如图，椭圆C 0：2221x y a b+=(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 12，b ＜t 1＜a ．点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2．若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 12＋t 22为定值．21．设f (x )＝ln(x ＋1)ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线32y x =在(0,0)点相切．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当0＜x ＜2时，9()6xf x x <+．22．选修4－1：几何证明选讲如图，O 和O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交O 于点E ．证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE ．23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4．(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 24．选修4—5：不等式选讲已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若()2()2x f x f k -≤恒成立，求k 的取值范围．1． B 由已知条件可得U A ＝{2,4,6,7,9}，U B ＝{0,1,3,7,9}，所以(U A )∩(U B )＝{7,9}，故选B ．2． A222i (2i)44i i 34i 2i (2i)(2i)555---+===-++-，故选A ． 3． B |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， 即2a ·b ＝－2a ·b ， 所以a ·b ＝0，a ⊥b ．故选B ． 4． C 命题p 是一个全称命题，其否定为存在性命题，p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0，故选C ．5． C 完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有33A 种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有333333A A A 种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有33333333A A A A ，故选C ．6． B 因为数列{a n }为等差数列， 所以1111111()2a a S +=，根据等差数列的性质，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n 得，a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，所以111116882S ⨯==，故选B ． 7． A 将sin α－cos α2两边平方得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝2，即sin αcos α＝12-，则222sin cos tan 1sin cos tan 12αααααα==-++， 整理得2tan α＋tan 2α＋1＝0， 即(tan α＋1)2＝0，所以tan α＝－1．故选A ．8． D 不等式组表示的平面区域如图所示，则2x ＋3y 在A (5,15)处取得最大值，故选D ． 9． D 当i ＝1时，2124S ==--； i ＝2时，22213S ==+； i ＝3时，232223S==-；i ＝4时，24322S==-；i ＝5时，2124S ==--； i ＝6时，23S =； i ＝7时，32S=； i ＝8时，S ＝4；i ＝9时，输出S ，故选D ． 10． C 设AC ＝x cm(0＜x ＜12)， 则CB ＝12－x (cm)，则矩形面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2＜32，即(x －8)(x －4)＞0，解得0＜x ＜4或8＜x ＜12，在数轴上表示为由几何概型概率公式得，概率为82123=，故选C ．11． B 由f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )可知，f (x )是偶函数，且关于直线x ＝1对称， 又由f (2－x )＝f (x )＝f (－x )可知，f (x )是以2为周期的周期函数． 在同一坐标系中作出f (x )和g (x )在［12-，32］上的图象如图，可知f(x)与g(x)的图象在［12-，32］上有6个交点，即h (x )的零点个数为6．12．C对于e x与1＋x＋x2，当x＝5时，e x＞32，而1＋x＋x2＝31，所以A项不正确；211124x x-+，当14x==，21157124645x x-+=<，所以B项不正确；令f(x)＝cos x＋12x2－1，则f′(x)＝x－sin x≥0对x∈［0，＋∞)恒成立，f(x)在［0，＋∞)上为增函数，所以f(x)的最小值为f(0)＝0，所以f(x)≥0，cos x≥1－12x2，故C 项正确；令g(x)＝ln(1＋x)－x＋18x2，则11()114g x xx'=+-+，令g′(x)＝0，得x＝0或x ＝3．当x∈(0,3)时，g′(x)＜0，当x∈(3，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在x＝3时取得最小值g(3)＝ln 4－3＋98＜0，所以D项不正确．13．答案：38解析：由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38．14．答案：2n解析：设数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a12·q8＝a1·q9，a1＝q，由2(a n＋a n＋2)＝5a n ＋1，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或12q=，因为数列{a n}为递增数列，所以q＝2，a1＝2，a n＝2n．15．答案：－4解析：由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)，∵点P，Q在抛物线x2＝2y上，∴()212242,22,yy⎧=⎪⎨-=⎪⎩①②∴128,2,yy=⎧⎨=⎩∴P(4,8)，Q(－2,2)．又∵抛物线可化为212y x=，∴y′＝x，∴过点P的切线斜率为44xy='=．∴过点P的切线为y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8．又∵过点Q 的切线斜率为22x y =-'=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2． 联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩解得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4． 16．答案：3 解析：正三棱锥P －ABC 可看作由正方体P ADC －BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P －ABC 的外接球的直径，且PF ⊥平面ABC ．设正方体棱长为a ，则3a 2＝12，a ＝2，AB ＝AC ＝BC ＝22．1322222322ABC S ∆=⨯⨯⨯=．由V P －ABC ＝V B －P AC ，得111222332ABC h S ∆⋅⋅=⨯⨯⨯⨯，所以23h =，因此球心到平面ABC 的距离为3．17．解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°， 所以1cos 2B =． (2)解法一：由已知b 2＝ac ，及1cos 2B =， 根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ， 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34． 解法二：由已知b 2＝ac ，及1cos 2B =， 根据余弦定理得22cos 2a c acB ac+-=，解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34．18．解：(1)证法一：连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′．又MN 平面A ′ACC ′，AC ′平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．证法二：取A ′B ′中点P ，连结MP ，NP ， 而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点， 所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′， PN ∥平面A ′ACC ′． 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′． 而MN 平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O －xyz ，如图所示．设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)， 所以M (2λ，0，12)，N (2λ，2λ，1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由0,0A M MN ⎧⋅'=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u rm m 得111110,2210,22x z y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，由0,0NC MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u rn n 得222220,2210,22x y z y z λλλ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可取n ＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得=2λ． 19．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100将2×2222112212211212()100(30104515)100 3.0307525455533n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯．因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14．由题意X ～B (3，14)，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝13344⨯＝， D (X )＝np (1－p )＝13934416⨯⨯=． 20．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为11()y y x a x a=++，① 直线A 2B 的方程为11()y y x a x a-=--．② 由①②得22221221()y y x a x a-=--．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故2211221x y a b +=．从而y 12＝b 2(1－212x a )，代入③得22221x y a b-=(x ＜－a ，y ＜0)．(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得 4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|， 故x 12y 12＝x 22y 22．因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 12(1－212x a )＝b 2x 22(1－222x a)．由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 12＋x 22＝a 2． 从而y 12＋y 22＝b 2，因此t 12＋t 22＝a 2＋b 2为定值．21．解：(1)由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1．由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32， 又y ′|x ＝0＝(11x +＋a )|x ＝0＝32＋a ，得a ＝0． (2)证法一：由均值不等式，当x ＞0时，x ＋1＋1＝x ＋2，12x<+． 记h (x )＝f (x )－96xx +，则2154()1(6)h x x x '=+-++2254654(6)4(1)(6)x x x x +-<-+++＝32(6)216(1)4(1)(6)x x x x +-+++． 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0＜x ＜2时，g ′(x )＝3(x ＋6)2－216＜0． 因此g (x )在(0,2)内是递减函数， 又由g (0)＝0，得g (x )＜0， 所以h ′(x )＜0．因此h (x )在(0,2)内是递减函数， 又h (0)＝0，得h (x )＜0．于是当0＜x ＜2时，9()6xf x x <+． 证法二：由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋1x +－1．由均值不等式，当x ＞0时，2(1)1x +⋅＜x ＋1＋1＝x ＋2， 故112xx +<+．① 令k (x )＝ln(x ＋1)－x ， 则k (0)＝0，1()1011x k'x x x -=-=<++， 故k (x )＜0，即ln(x ＋1)＜x ．② 由①②得，当x ＞0时，3()2f x x <． 记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0＜x ＜2时， h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9＜32x ＋(x ＋6)(11121x x +++)－9 ＝12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(2＋1x +)－18(x ＋1)］ ＜12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(3＋2x )－18(x ＋1)］ ＝4(1)x x +(7x －18)＜0． 因此h (x )在(0,2)内单调递减， 又h (0)＝0，所以h (x )＜0，即9()6xf x x <+． 22．证明：(1)由AC 与O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB ． 从而AC ABAD BD=，即AC ·BD ＝AD ·AB ． (2)由AD 与O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD ． 从而AE ADAB BD=，即AE ·BD ＝AD ·AB ． 结合(1)的结论，AC ＝AE ．23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．解2,4cos ρρθ=⎧⎨=⎩得ρ＝2，π3θ=±， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，π3-)． 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一：由cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，(1，)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,,x t y t =⎧≤⎨=⎩ (或参数方程写成1,,x y y y =⎧≤≤⎨=⎩解法二：将x ＝1代入cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得ρcos θ＝1，从而1cos ρθ=． 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,ππtan ,33x y θθ=⎧-≤≤⎨=⎩． 24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2．又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，42x a a-≤≤，得a ＝2． (2)记h (x )＝f (x )－2()2x f ， 则()1,1,143,1,211,,2x h x x x x ⎧⎪≤-⎪⎪---<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩＝ 所以|h (x )|≤1，因此k ≥1．。
2012年新课标数学高考试题(理科数学理科数学高考试题,word教师版【免费下载】)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标） 理科数学第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种()B 10种 ()C 9种()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种 （3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)iz i ii i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【解析】选C ∆21F P F 是底角为30的等腰三角形221332()224c P F F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7()B 5 ()C -5()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012年高考理科数学辽宁卷有答案
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集0,1,2,3,4,5,6,7,{}8,9U =,集合0,1,3,8{}5,A =,集合2,4,5,8{}6,B =,则()()U U A B =（ ）A .{5,8}B .{7,9}C .{0,1,3}D .{2,4,6} 2.复数2i2i -=+（ ）A .34i 55-B .34i 55+C .41i 5-D .31i 5+3.已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ）A .a ∥bB .a ⊥bC .|a |=|b |D .a +b =a -b4.已知命题p ：12,x x ∀∈R ,2121(()())()0f x f x x x --≥,则p ⌝是（ ）A .12,x x ∃∈R ,2121(()())()0f x f x x x --≤；B .12,x x ∀∈R ,2121(()())()0f x f x x x --≤；C .12,x x ∃∈R ,2121(()())()0f x f x x x --＜；D .12,x x ∀∈R ,2121(()())()0f x f x x x --＜；5.一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 （ ） A .33!⨯B .33(3!)⨯C .4(3!)D .9!6.在等差数列{}n a 中,已知4816a a +=,则该数列前11项和11S =（ ）A .58B .88C .143D .176 7.已知sin cos 2αα-=,(0,π)α∈,则tan α=（ ）A .1-B .22-C .22D .18.设变量x ,y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩则23x y +的最大值为（ ）A .20B .35C .45D .559.执行如图所示的程序框图,则输出的S 值是（ ） A .1-B .23C .32D .410.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形,邻边长分别等于线段AC ,CB 的长,则该矩形面积小于322cm 的概率为（ ） A .16 B .13 C .23D .4511.设函数()f x ()x ∈R 满足()()f x f x -=,()(2)f x f x =-,且当[0,1]x ∈时,3()f x x =.又函数()|cos(π)|g x x x =,则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为（ ） A .5B .6C .7D .8 12.若[0,)x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是（ ）A .2e 1x x x ++≤B .21111241x x x-++≤ C .21cos 12x x -D .21ln(1)8x x x +-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .14.已知等比数列{}n a 为递增数列,且2510a a =,212()5n n n a a a +++=,则数列{}n a 的通项公式n a = .15.已知P ,Q 为抛物线22x y =上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,2-,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为 .16.已知正三棱锥P ABC -,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若PA ,PB ,PC 两两相互垂直,则球心到截面ABC 的距离为 . 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________18.（本小题满分12分）如图,直三棱柱ABC A B C'''-,90BAC∠=,AB=AC AAλ'=,点M,N分别为A B'和B C''的中点.（Ⅰ）证明：MN∥平面A ACC''；（Ⅱ）若二面角A MN C'--为直二面角,求λ的值.19.（本小题满分12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（Ⅰ）根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望()E X和方差()D X.附：22112212211212()n n n n nn n n nχ++++-=,2()P kχ≥0.050.01k 3.841 6.63520.（本小题满分12分）如图,椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>,a,b为常数）,动圆1C：2221x y t+=,1b t a<<.点1A,2A分别为C的左,右顶点,1C与C相交于A,B,C,D四点.（Ⅰ）求直线1AA与直线2A B交点M的轨迹方程；（Ⅱ）设动圆2C：2222x y t+=与C相交于A',B',C',D'四点,其中2b t a<<,12t t≠.若矩形ABCD与矩形A B C D''''的面积相等,证明：2212t t+为定值.21.（本小题满分12分）设()ln(1)1f x x x ax b=+++++（a,b∈R,a,b为常数）,曲线()y f x=与直线32y x=在(0,0)点相切.（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）证明：当02x<<时,9()6xf xx<+.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,O和O'相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连结DB并延长交O于点E.证明：（Ⅰ）AC BD AD AB=；（Ⅱ）AC AE=.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆1C：224x y+=,圆2C：22(2)4x y-+=.（Ⅰ）在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆1C,2C的极坐标方程,并求出圆1C,2C的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆1C与2C的公共弦的参数方程.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知()|1|f x ax=+()a∈R,不等式()3f x≤的解集为{|21}x x-.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若|()2()|2xf x f k-恒成立,求k的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)答案解析第Ⅰ卷【解析】()()UU A B 即为在全集集合，由此可快速得到答案，()()(){}7,9UUUA B A B ==．由题已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{0,1,3,5,8A =可先求出两集合A ，B 的补集，再由交的运算求出()()U U A B【考点】集合． 【答案】Ba b a b +=-，可以从几何角度理解，以非零向量a ，b 为邻边做平行四边形，对角线长分别为a b +，a b -，若a b a b +=-，则说明四边形为矩形，所以a b ⊥；也可由已知得22=a b a b +-，即22222+=+2+a ab b a ab b -，a b ⊥【提示】由于a b +和a b -表示以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，再由a b a b +=-可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，从而得出结论．【考点】向量的线性运算． 4.【答案】C【解析】全称命题的否定形式为将“∀”改“212(()())(f x f x x x --【解析】如图所示过点(5,15)A ，2+3x y 的最大值为5512322⎣⎦【提示】对于A ，取x=3，32e 123>++；对于B ，令1x =，12，计算可得结论；对于C ，构造函数()21=cos 1+2g x x x -，()=sin +g x x x '-，()=1cos g x x ''-，从而可得函数()21=cos 1+g x x x -在[)0,+∞上单调增，故成立；第Ⅱ卷333【提示】（1）在中，由角，，成等差数列可知，从而可得的值；（2）（解法一），由2=b ac ，1cosB =，结合正弦定理可求得sin sin A C 的值； =90，AB 中点．又因为设11=(,,m x y '=0,=0m A M m MN ⎧⎪⎨⎪⎩得可取=(1,1,m -（步骤四）22=(,,n x y z ，由=0,=0nNC n MN ⎧⎪⎨⎪⎩得2=0，可=(3,1,)n λ--因为'A MN -为直二面角，所以=0m n ，即()(3+1--⨯-六）第18题图【提示】（1）法一，连接'AB ，'AC ，说明三棱柱-'''ABC ABC 为直三棱柱，推出'MN AC ∥，然后证明MN ∥平面''AACC法二，取A B ''的中点P ，连接MP 、NP ，推出MP ∥平面A ACC ''，PN ∥平面A ACC ''，然后通过平面与平面平行，证MN ∥平面''AACC（2）以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA '为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系-O xyz ，设1AA '=，推出A ，B ，C ，A '，B '，C '坐标求出M ，N ，设()111=,,m x y z 是'AMN 的法向量，'=0,=0m A M m MN ⎧⎪⎨⎪⎩，取=(1,1,m -设22=(,,n x y z =0,=0n NC n MN ⎧⎪⎨⎪⎩，取=(3,1,)n λ--，利用'A MN -为直二面角，所以=0m n ，解λ【考点】线面平行的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量．19.【答案】（1）表格见解析，没有理由认为“体育迷”与性别有关．2）3()4E X =913,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而0276413=3=44np ⨯【提示】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出2χ，与3.841比较即可得出结论．13,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可．【考点】频率分布直方图，用样本估计总体，离散型随机变量的期望，方差．【答案】（2）2212t t +=【提示】（1）设出线1A A 的方程、直线2A B 的方程，求得交点满足的方程，利用A 在椭圆0C 上，化简即可得到M 点的轨迹方程；（2）根据矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，可得A ，A '坐标之间的关系，利用A ，+1)1<+1+1=x x 254(+6)+1x -时，()=3(g x '【提示】（1）由()y f x =过(0,0)，可求b 的值，根据曲线()y f x =与直线2y x =在(0,0)点相切，利用导函数，可求a 的值；与O 相切于=ABBD，即=AC BD AD AB （步骤二）与O 相切于=AED BAD ∠∠，又=ADE BDA ∠∠，即=AE BD AD AB ，（步骤四） ）的结论，=AC AE （步骤五）【提示】（1）利用圆的切线的性质得=CAB ADB ∠∠，=ACB DAB ∠∠，从而有ACB DAB △∽△，=AC ABAD BD，由此得到所证． ）利用圆的切线的性质得=AED BAD ∠∠=AE BD AD AB ，再结合（=AC BD AD AB 可得，AC 【考点】圆的性质的应用．）π2,3⎛⎫⎪⎝⎭ππθ≤≤【提示】（1）利用=sin y ρθ⎧⎨⎩，以及222x y ρ+=，直接写出圆1C 与圆2C 的极坐标方程，求出圆1C 与圆2C 的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）．（2）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C 与圆C 的公共弦的参数方程． 【提示】（1）先解不等式+13ax ≤，再根据不等式()3f x ≤的解集为21x x -≤≤，分类讨论，即可得到结论．的取值范围．【考点】不等式恒成立问题．。
2012年辽宁高考理科数学(高清版含答案)
2012年辽宁高考理科数学（高清版含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}(2)复数(A) (B) (C) (D)(3)已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a b|，则下面结论正确的是(A) a∥b (B) a⊥b(C){0,1,3} (D)a+b=a b(4)已知命题p：x 1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≥0，则p是(A)x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≤0(B)x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)≤0(C)x 1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)<0(D)x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)<0(5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(A)3×3！(B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！(6)在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=(A)58 (B)88 (C)143 (D)176(7)已知，(0，π)，则=(A) 1 (B) (C) (D) 1(8)设变量x，y满足则2x+3y的最大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55(9)执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是(A) 1 (B)(C) (D) 4(10)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，领边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm3的概率为(A) (B) (C) (D)(11)设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|x cos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为(A)5 (B)6 (C)7 (D)8(12)若，则下列不等式恒成立的是(A) (B)(C) (D)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2012年全国高考理科数学试题及答案-辽宁卷
【解析二】∵ sin α − cos α =
∵α ∈ (0,π ),∴ 2α ∈ (0, 2π ),∴ 2α =
【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算 求解能力，难度适中。
⎧ x − y ≤ 10 ⎪ (8) 设变量 x，y 满足 ⎨0 ≤ x + y ≤ 20, 则 2 x + 3 y 的最大值为 ⎪0 ≤ y ≤ 15 ⎩
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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(理)
注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷( 选择题)和第Ⅱ卷(非选择题 )两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
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【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有 3!种排法，三个家庭共有
3!× 3!× 3! = (3!)3 种排法；再把三个家庭进行全排列有 3! 种排法。因此不同的坐法种数为 (3!) 4 ，
−1
(B ) −
2 2
(C )
2 2
(D ) 1
【答案】A 【解析一】∵ sin α − cos α =
2,∴ 2 sin(α −
π π ) = 2,∴ sin(α − ) = 1 4 4
∵α ∈ (0，π ),∴α =
2012年理数高考试题答案及解析-辽宁
全国理数高考试题答案及解析2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U 为{7,9}。
故选B【解析二】 集合)()(B C A C U U 为即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。
采用解析二能够更快地得到答案。
(2)复数22ii -=+ (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i + 【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-，故选A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。
复数的运算要做到细心准确。
2012年辽宁高考数学试题及答案 - 副本
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U 为{7,9}。
故选B【解析二】 集合)()(B C A C U U 为即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。
采用解析二能够更快地得到答案。
(2)复数22i i-=+ (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i + 【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ----===-++-，故选A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。
复数的运算要做到细心准确。
(3)已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是(A) a ∥b (B) a ⊥b(C){0,1,3} (D)a +b =a -b【答案】B【解析一】由|a +b |=|a -b |，平方可得a ⋅b =0, 所以a ⊥b ，故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a +b |=|a -b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b ，故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。
2012年辽宁高考数学文科试卷(带答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（1）已知向量a = (1,-1)，b = (2,x ).若a b = 1,则x = ( )A. -1 B .-12 C. 12D.1 【测量目标】平面向量的数量积与向量的坐标运算.【考查方式】给出含未知数向量的坐标表示和数量积，求未知数的值. 【参考答案】 D 【试题解析】21,1x x =-=∴=a b .（2）已知全集U =｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A =｛0,1,3,5,8｝，集合B =｛2,4,5,6,8｝，则()()UUA B =痧 ( )A. {5，8}B.{7,9}C. {0,1,3}D.{2,4,6} 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出集合，根据补集与交集的运算求解. 【参考答案】B【试题解析】因为全集U =｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A =｛0,1,3,5,8｝，集合B =｛2,4,5,6,8｝(步骤1)所以{}{}2,4,6,7,9,0,1,3,7,9U UA B ==痧.(步骤2)所以()()U U A B 痧={7,9}.（步骤3）（3）复数11i =+ （ ） A. 11i 22- B.11i 22+ C. 1i - D. 1i +【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的代数形式，通过复数的四则运算化简求解. 【参考答案】A【试题解析】11i 1i 1i 1i (1i)(1i)222--===-++-. （4）在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则210a a += ( )A .12 B. 16 C. 20 D.24 【测量目标】等差数列的通项公式，等差数列的性质. 【考查方式】通过给出数列中两项之和，运用等差中项求解. 【参考答案】B 【试题解析】48111(3)(7)210,a a a d a d a d +=+++=+21011121048()(9)210,16a a a d a d a d a a a a +=+++=+∴+=+=.（5）已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是 ( )A. ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B. ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C. ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D. ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))+(x 2-x 1)<0 【测量目标】命题的否定以及全称命题和特称命题.【考查方式】给出一个命题，通过判断命题类型，得出命题的否定. 【参考答案】C【试题解析】命题p 为全称命题，所以其否定⌝p 应是特称命题，又(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)… 0否定为(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0.（6）已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则s i n 2α= ( )A. -1B.C.D. 1 【测量目标】三角函数的二倍角公式，同角三角函数的基本关系式.【考查方式】给出一个三角函数式，根据同角三角函数的基本关系式求解二倍角. 【参考答案】A【试题解析】2sin cos (sin cos )2,sin 2 1.ααααα-=∴-=∴=-（7）将圆x 2+y 2 -2x -4y +1=0平分的直线是 ( ) A. x +y -1=0 B. x +y +3=0 C. x -y +1=0 D.x -y +3=0【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出圆的一般方程，转化成圆的标准形式,求通过圆心的直线方程. 【参考答案】C【试题解析】圆心坐标为（1，2），将圆平分的直线必经过圆心. （8）函数y =12x 2-ln x 的单调递减区间为 ( ) A.（-1,1] B.（0,1] C. [1，+∞） D.（0，+∞） 【测量目标】利用导数判断函数的单调区间.【考查方式】给出函数运用求导公式得出导函数，再根据导函数的性质求解单调区间. 【参考答案】B 【试题解析】211ln ,,02y x x y x y x''=-∴=-由≤，.解得0,01x x x >∴<…-1≤≤1,又 （9）设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩…剟剟则2x +3y 的最大值为 ( )A. 20B. 35 C .45 D. 55 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出不等式组，根据目标函数找到最优解求出最值. 【参考答案】D【试题解析】画出可行域，根据图形可知当x =5,y =15时2x +3y 最大，最大值为55.（10）执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 ( )第九题图A. 4B.32C.23D. -1【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序图，根据程序的算法求S . 【参考答案】D【试题解析】根据程序框图可计算得24,1;1,2;,3;3S i S i S i ===-=== 3,4;4,5;1, 6.2S i S i S i =====-=（11）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C . 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 ( ) A.16 B. 13 C. 23 D. 45【测量目标】函数模型的应用，几何概型.【考查方式】建立函数模型，利用矩形面积得到不等式，最后通过几何概型的运算得出概率. 【参考答案】C【试题解析】设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2.（步骤1）由(12)20x x ->，解得210x <<.又012x <<.(步骤2) 所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23.（步骤3） （12）已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P ,Q 的横坐标分别为4，-2，过P ,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 ( ) A. 1 B. 3 C. -4 D. -8【测量目标】导数在实际问题中的应用.【考查方式】通过给出抛物线方程，代入得到两点的纵坐标，通过求导公式得出切线方程的斜率，联立方程组求交点. 【参考答案】C【试题解析】因为点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，代人抛物线方程得P ，Q 的纵坐标分别为8,2（步骤1）.由22,x y =则21,,2y x y x '=∴=所以过点P ，Q 的抛物线的切线的斜率分别为4，-2，所以过点P ，Q 的抛物线的切线方程分别为48,2 2.y x y x =-=--（步骤2） 联立方程组解得1,4,x y ==-故点A 的纵坐标为-4.(步骤3)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】观察给出三视图，直接利用相应几何体的体积公式求出体积. 【参考答案】12+π【试题解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高为1，所以该几何体的体积为341π11112π⨯⨯+⨯⨯⨯=+.（14）已知等比数列｛a n ｝为递增数列.若a 1>0,且2（a n +a n +2）=5a n +1 ,则数列｛a n ｝的公比q = _____________________. 【测量目标】等比数列的通项公式.【考查方式】给出等比数列递推关系式，运用通项公式进行转化，求解q . 【参考答案】2【试题解析】22212()5,2(1)5,2(1)5,n n n n n a a a a q a q q q +++=∴+=∴+=,解得2q =或12q = 因为数列为递增数列，且10,a >所以1, 2.q q >∴= （15）已知双曲线x 2- y 2 =1,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F 1⊥P F 2,则∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为___________________. 【测量目标】直线与双曲线的位置关系.【考查方式】给出双曲线的标准方程，利用双曲线的定义得到线段之间的关系式，通过运算求解动点到两定点的距离之和.【参考答案】【试题解析】由双曲线的方程可知121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=（步骤1）222121212,(2)8,24PF PF PF PF c PF PF ⊥∴+==∴=（步骤2）21212()8412,PF PF PF PF ∴+=+=∴+=（步骤3）（16）已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为.若PA 则△OAB 的面积为_____________ 【测量目标】柱、锥、台、球的表面积.【考查方式】利用空间想象建立模型，将问题带到模型中去求面积.【参考答案】【试题解析】点P A B C D 、、、、为O 内接长方体的顶点， 球心O 为该长方体对角线的中点，OAB ∴△的面积是该长方体对角面面积的14,26AB PA PB ==∴=，OAB ∴△的面积164=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）(本小题满分12分)在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列. (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值.【测量目标】三角形的正弦定理、余弦定理、及等差、等比数列的性质. 【考查方式】给出三角形的内角之间的关系，求解B ∠的余弦值. 【试题解析】解:(Ⅰ)有已知2,180B A C A B C =+++=，解得60B =,所以1c o s2B =.（步骤1） ……6分(Ⅱ)(解法一)由已知2,b a c =以及1cos ,2B =根据正弦定理得到223sin sin sin ,sin sin =1cos .4B AC A C B =-=（步骤2） ……12分（解法二）由已知2,b ac =及1cos ,2B =根据余弦定理得 22cos ,2a c acB ac+-=解得a c =，所以B =A =C =60，故3sin sin =.4A C （步骤3） ……12分 （18）(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC A B C '''-，90BAC ∠=，2,AB AC ==AA '=1，点M ，N 分别为A B '和B C ''的中点.(Ⅰ)证明：MN ∥平面A ACC '';(Ⅱ)求三棱锥A MNC '-的体积. （锥体体积公式V =13Sh,其中S 为地面面积，h 为高） 【测量目标】空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算. 【考查方式】以三棱柱为载体，考查线面平行和锥体的体积.【试题解析】(Ⅰ)解：(证法一)连结AB ',AC ' ,由已知90,BAC ∠= AB =AC ,三棱柱ABC A B C '''-为直三棱柱. 所以MN A C ''∥, MN ⊄平面A ACC ''A C ''⊂平面,A ACC ''因此MN ∥平面A ACC ''.（步骤1）……6分（证法二）取A B ''中点P ，连结MP 、NP .由于M 、N 分别为AB B C '''与的中点，所以,MP AA PN A C '''∥、∥所以MP ∥平面A ACC '',PN ∥平面A ACC '',又,MP NP P =因此平面MPN ∥平面A ACC ''.由于MN ⊂平面MPN 因此MN ∥平面A ACC ''.……6分 (Ⅱ)（解法一）连结BN ，由题意,A N B C '''⊥平面A B C '''平面B BCC B C ''''=所以A 'N ⊥平面NBC .又112A NBC '''==，故 111.226A MNCN A MC N A BC A NBC V V V V ''''----==== （步骤3）……12分（解法二）11.26A MNC A NBC M NBC A NBC V V V V '''----=-==（步骤4）……12分（19）(本小题满分12分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.附22112212211212(),n n n n n n n n n χ++++-=【测量目标】统计中的频率分布直方图、独立性检验、古典概型.【考查方式】给出频率分布直方图，运用其特点，并利用独立性检验与实际问题的联系，考查古典概型求概率.【试题解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：（步骤1）……3分 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得22211222221121()10030104515)100= 3.030.7525455533n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯（≈因为 3.030<3.841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关. （步骤2） ……6分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为()()()()()1213231112={,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b Ω()()()()()2122313112,,,,,,,,,}.a b a b a b a b b b 其中i a 表示男性，i =1,2,3.j b 表示女性，j =1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现时等可能的.用表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A =()()()()()()()11122122313212={,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b b b Ω， 事件A 由7个基本事件组成，因而()7.10P A =（步骤3） ……12分 （20）(本小题满分12分)如图，动圆2221:C x y t +=,1<t <3,与椭圆2C ：2219x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点. (Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；(Ⅱ)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.【测量目标】圆锥曲线的轨迹问题，圆锥曲线中的探索性问题..【考查方式】给出动圆方程及椭圆方程，将几何问题转化为函数的最值问题，并根据待定系数法求解直线方程，再利用圆锥曲线与动直线的关系求解轨迹方程. 【试题解析】解（Ⅰ）设()00,,A x y 则矩形ABCD 的面积S =400x y .由22001,9x y +=得220019x y =-，从而 222222000001991.9924x x y x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2200max 91,=6.22x y S ==，从而t =ABCD 的面积最大，最大面积为6.（步骤1）……6分（Ⅱ）由00(,)A x y ，()0,012(),(3,0),3,0B x y A A --知直线1AA 的方程为00(3).3y y x x =++ ① 直线2A B 的方程为 200(3).3y y x x -=-- ② 由①②得 222020(9)9y y x x -=-- ③ 又点()00,A x y 在椭圆C 上，故220019x y =- ④ 将④代入③得2219x y -= ()3,0.x y <-< 因此点M 的轨迹方程为2219x y -=()3,0.x y <-<（步骤2） ……12分 （21）(本小题满分12分)设()ln 1f x x =，证明：(Ⅰ)当x ﹥1时，()f x ﹤32（1x -） (Ⅱ)当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+ 【测量目标】利用导数解决不等式问题，利用导数求函数的单调区间.【考查方式】给出不等式，考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力.【试题解析】(Ⅰ)(证法一)记()3()ln 11,2g x x x =--则当x >1时()132g x x '=+<.又g (x )<0.有()0,g x <即f （x ）<3(1)2x -（步骤1 ）……4分 （证法二）由均值不等式，当x >1时，1,x + 故1.22x<+ ①令k （x ）=ln 1.x x -+则1(1)0,()10.k k x x '==-<故()0,k x <即ln 1.x x <- ②由①②得，当1x >时，3()(1).2f x x <-（步骤2）……4分 (Ⅱ)(证法一) 记9(1)()().5x h x f x x -=-+由（Ⅰ）得2154()(5)h x x x '=++22542(5)x x =-+ 25544(5)x x x +<-+ 32(5)216.4(5)x xx x +-=+令3()(5)216,g x x x =+-则当13x <<时2()3(5)2160.g x x '=+-<因此g （x ）在（1,3）内是递减函数，又由(1)0,g <得g （x ）<0,所以()h x '<0.（步骤3）……10分因此h （x ）在（1,3）内是递减函数，又(1)0,h =得()0.h x <于是当13x <<时，9(1)().5x f x x -<+（步骤4） ……12分 （证法二）记()(5)()9(1).h x x f x x =+--则当1<x <3时，由(Ⅰ)得 ()()(5)()9h x f x x f x ''=++-()()311592x x x ⎛<-++- ⎝13(1)(5))182x x x x x ⎡⎤=-+++-⎣⎦ 11[3(1)(5)(2)18]222x x x x x x ⎡⎤<-++++-⎢⎥⎣⎦21(73225)0.4x x x =-+<（步骤5） ……10分 因此h （x ）在（1,3）内单调递减，又h （1）=0，所以h （x ）<0,记9(1)().5x f x x -<+ （步骤6） ……12分 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙O '相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明(Ⅰ)AC BD AD AB =；(Ⅱ) AC AE =.【测量目标】直线与圆，圆与圆的位置关系.【考查方式】考查了平面几何的基础知识，通过数形结合考查了学生的转化能力，而且体现了相似三角形的相关概念.【试题解析】证明：（Ⅰ）由AC 与⊙O '相切于A ，得,CAB ADB ∠=∠同理,ACB DAB ∠=∠所以ACB DAB △∽△,从而,AC AB AD BD= 即AC BD AD AB =.（步骤1）……4分（Ⅱ）由AD 与⊙O 相切于A ，得,AED BAD ∠=∠又,ADE BDA ∠=∠得,EAD ABD △∽△从而,AE AD AB BD= 即.AE BD AD AB =（步骤2） ……8分 结合（Ⅰ）的结论，AC =AE . （步骤3） ……10分(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=.(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示)；(Ⅱ)求圆12C C 与圆的公共弦的参数方程.【测量目标】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化.【考查方式】通过圆的标准方程来获得圆的极坐标方程，考查了参数方程的求法.【试题解析】（Ⅰ）解：圆1C 的极坐标方程为ρ=2，圆2C 的极坐标方程ρ=4cos θ.解24cos ρρθ=⎧⎨=⎩ 得ρ=2，π,3θ=± 故圆1C 与圆2C 交点的坐标为（2，π3）,(2,π3-).（步骤1） ……6分 注：极坐标系下点的表示不唯一.（Ⅱ）（解法一）由cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得圆1C 与圆2C 交点的直角坐标分别为（11，.故圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为1x y t=⎧⎨=⎩，t（步骤2） ……10分（或参数方程写成1x y y =⎧⎨=⎩t （解法二）将x =1代入cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos 1,ρθ=从而1cos ρθ=. 于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为1tan x y θ=⎧⎨=⎩ ，ππ.33θ-剟（步骤3）……10分 (24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|1|()f x ax a =+∈R ，不等式()3f x …的解集为{|2x -剎1x …｝.(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若|()2()|2x f x f k -…恒成立，求k 的取值范围.【测量目标】分段函数、不等式的基本性质、含有绝对值不等式的求解.【考查方式】给出了带未知系数的绝对值函数，考查绝对值不等式的应用，用恒成立问题考查分段函数的运用,也考查分类讨论思想在解题中的灵活运用. 【试题解析】解：（Ⅰ）由13ax +…得4 2.ax -剟又()3f x …的解集为{}21,x x -剟(步骤1)所以当0a …时，不合题意.当0a >时，42,x a a-剟得 a =2. （步骤2） ……5分(Ⅱ)记()()2(),2x h x f x f =-则1,1,1()43,1,21,1,2x h x x x x -⎧⎪=---<<-⎨⎪-⎩-…… 所以()1h x …因此1.k …（步骤3）……10分。
2012年辽宁高考理数学试题及答案3篇
2012年辽宁高考理数学试题及答案第一篇：辽宁高考理数学试题解析2012年辽宁高考理数学试题难度适中，整体考察的知识点比较全面，且注重应用能力的考察。
下面就具体来分析试卷中的各道题型。
一、选择题部分选择题部分偏重于计算题和基础知识的考察，如二次函数、三角函数、平面向量等，难度不大。
其中第10题为较为典型的计算题，需要考生掌握函数的运算规律和图像的变换关系。
二、填空题部分填空题部分考察了一些应用能力较强的题目，主要集中在集合运算、概率与统计等方面。
其中第16题考查了乘法原理和排列组合问题，第20题考察了直线方程的综合应用。
三、解答题部分解答题部分的难度较大，考查了一些较复杂的问题和思维题。
其中第22题考查了向量的叉乘和平面的交点，需要考生综合运用几何知识和向量运算技巧；第25题考查了随机变量的概率分布和期望值，需要考生具有较强的概率计算能力和推理能力。
综合来看，2012年辽宁高考理数学试题难度较为适中，基础知识和应用能力的考查相对均衡，考查了学生综合运用知识解决问题的能力，对于提高学生的综合素质和思维能力有一定的促进作用。
第二篇：辽宁高考理数学试题详解一、选择题部分1.本题考查数列的通项公式及求和公式，根据等差数列的通项公式和求和公式，可知该数列的通项公式为an=4+(n-1)2，将n=101代入可求得a101=202；再根据求和公式Sn=n(a1+an)/2，将a1=4，an=202，n=101代入可求得S101=10203。
2.本题考查幂函数的图像变化规律，根据幂函数的图像变化规律可知，当a>1时，函数图像上移，当0<a<1时，函数图像下移，当a<0时，函数图像关于x轴对称。
故D选项正确。
3.本题考查对数函数的基本概念和性质，根据对数函数的定义，当x在(0,1)之间时，log3x<0，当x在(1,∞)之间时，log3x>0，故B选项正确。
4.本题考查函数的复合运算，首先求出f(x)=log3(x+1)-1的定义域为[-1,∞)；然后将x=2y+1代入，得到g(y)=f(2y+1)=log3(2y+3)-1；最后求出g(y+1)-g(y)=log32-(y+2)，故C选项正确。
2012年高考理科数学辽宁卷-答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供理科考生使用)答案解析第Ⅰ卷【解析】如图所示过点(5,15)A ，2+3x y 的最大值为5512322⎣⎦【提示】对于A，取x=3，32e123>++；对于B，令1x=，12，计算可得结论；对于C，构造函数()21=cos1+2g x x x-，()=sin+g x x x'-，()=1cosg x x''-，从而可得函数()21=cos1+2g x x x-在[)0,+∞上单调增，故成立；第Ⅱ卷333【提示】（1）在中，由角A ，B ，C 成等差数列可知60B =︒，从而可得cos B 的值；（2）（解法一），由2=b ac ，1cos B =，结合正弦定理可求得sin sin A C 的值；角形，从而可求得sin sin A C 的值． 【考点】正余弦定理18.【答案】（1）连结'AB ，'AC ，由已知=90BAC ∠o ，AB AC =三棱柱-'''ABC ABC为直三棱柱，所以M 为'AB 中点．又因为N 为''BC 中点（步骤一） 所以MN AC '∥，又MN ⊄平面'AACC ' 'AC ⊂平面''AACC ，因此MN ∥平面''AACC （步骤二）（2）以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA '为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O xyz -，如图所【提示】（1）法一，连接'AB ，'AC ，说明三棱柱-'''ABC ABC 为直三棱柱，推出'MN AC ∥，然后证明MN ∥平面''AACC法二，取A B ''的中点P ，连接MP 、NP ，推出MP ∥平面A ACC ''，PN ∥平面A ACC ''，然后通过平面与平面平行，证MN ∥平面''AACC（2）以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA '为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系-O xyz ，设1AA '=，【提示】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出2χ，与3.841比较即【提示】（1）设出线1A A 的方程、直线2A B 的方程，求得交点满足的方程，利用A 在椭圆0C 上，化简即可得到M 点的轨迹方程；（2）根据矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，可得A ，A '坐标之间的关系，利用A ，A '均在椭圆上，【提示】（1）由()y f x =过(0,0)，可求b 的值，根据曲线()y f x =与直线32y x =在(0,0)点相切，利用导函数，可求a 的值；【提示】（1）利用圆的切线的性质得=CAB ADB ∠∠，=ACB DAB ∠∠，从而有ACB DAB △∽△，=AC AB，由此得到所证．【提示】（1）利用=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，以及222x y ρ+=，直接写出圆1C 与圆2C 的极坐标方程，求出圆1C 与圆2C 的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）． （2）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C 与圆C 的公共弦的参数方程．【提示】（1）先解不等式+13ax ≤，再根据不等式()3f x ≤的解集为{}21x x -≤≤，分类讨论，即可得到结论．【考点】不等式恒成立问题．。
2012年辽宁省高考理科数学试题word版含答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝， 则)()(B C A C U U 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U 为{7,9}。
故选B【解析二】 集合)()(B C A C U U 为即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B 【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。
采用解析二能够更快地得到答案。
(2)复数22ii -=+ (A)3455i - (B)3455i +(C) 415i-(D) 315i+【答案】A 【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555ii i i iii i ----===-++-，故选A【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。
复数的运算要做到细心准确。
(3)已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是 (A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a +b =a -b 【答案】B【解析一】由|a +b |=|a -b |，平方可得a ⋅b =0, 所a ⊥b ，故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a +b |=|a -b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b ，故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。
2012高考辽宁理科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(辽宁卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1，3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(U A )∩(U B )＝()A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}2．复数2i2i -=+( ) A ．34i 55- B ．34i 55+ C ．41i 5- D ．31i 5+3．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b | D ．a ＋b ＝a －b 4．已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则p 是( ) A ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0D ．x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜05．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3！ B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9！6．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 7．已知sin α－cosα＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．22-C ．22D ．1 8．设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．559．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A ．－1B ．23 C ．32D ．4 10．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A ．16 B ．13 C ．23 D ．4511．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈［0,1］时，f (x )＝x 3．又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在［12-，32］上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．812．若x ∈［0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )A ．e x ≤1＋x ＋x 2B ．21111241x x x≤-++C ．cos x ≥1－12x 2 D ．ln(1＋x )≥x －18x 2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________．14．已知等比数列{a n }为递增数列，且2510a a ＝，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________．15．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__________．16．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值． 18．如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．附：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=，P (χ2≥k )0.05 0.01 k 3.841 6.63520．如图，椭圆C 0：22221x y a b+=(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 12，b ＜t 1＜a ．点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2．若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 12＋t 22为定值．21．设f (x )＝ln(x ＋1)＋1x +＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线32y x =在(0,0)点相切．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当0＜x ＜2时，9()6xf x x <+．22．选修4－1：几何证明选讲如图，O 和O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交O 于点E ．证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE ．23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4．(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 24．选修4—5：不等式选讲已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若()2()2x f x f k -≤恒成立，求k 的取值范围．1． B 由已知条件可得U A ＝{2,4,6,7,9}，U B ＝{0,1,3,7,9}，所以(U A )∩(U B )＝{7,9}，故选B ．2． A 222i (2i)44i i 34i 2i (2i)(2i)555---+===-++-，故选A ．3． B |a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， 即2a ·b ＝－2a ·b ， 所以a ·b ＝0，a ⊥b ．故选B ． 4． C 命题p 是一个全称命题，其否定为存在性命题，p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0，故选C ．5． C 完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有33A 种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有333333A A A 种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有33333333A A A A ，故选C ．6． B 因为数列{a n }为等差数列， 所以1111111()2a a S +=，根据等差数列的性质，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n 得，a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，所以111116882S ⨯==，故选B ． 7． A 将sin α－cos α＝2两边平方得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝2，即sin αcos α＝12-，则222sin cos tan 1sin cos tan 12αααααα==-++，整理得2tan α＋tan 2α＋1＝0， 即(tan α＋1)2＝0，所以tan α＝－1．故选A ．8． D 不等式组表示的平面区域如图所示，则2x ＋3y 在A (5,15)处取得最大值，故选D ． 9． D 当i ＝1时，2124S ==--； i ＝2时，22213S ==+； i ＝3时，232223S ==-；i ＝4时，24322S ==-；i ＝5时，2124S ==--； i ＝6时，23S =；i ＝7时，32S =；i ＝8时，S ＝4；i ＝9时，输出S ，故选D ． 10． C 设AC ＝x cm(0＜x ＜12)， 则CB ＝12－x (cm)，则矩形面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2＜32，即(x －8)(x －4)＞0，解得0＜x ＜4或8＜x ＜12，在数轴上表示为由几何概型概率公式得，概率为82123=，故选C ．11． B 由f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )可知，f (x )是偶函数，且关于直线x ＝1对称， 又由f (2－x )＝f (x )＝f (－x )可知，f (x )是以2为周期的周期函数． 在同一坐标系中作出f (x )和g (x )在［12-，32］上的图象如图，可知f(x)与g(x)的图象在［12-，32］上有6个交点，即h (x )的零点个数为6．12． C 对于e x与1＋x ＋x 2，当x ＝5时，e x＞32，而1＋x ＋x 2＝31，所以A 项不正确；对于11x +与211124x x -+，当14x =时，12551x =+，2115725124645x x -+=<，所以B 项不正确；令f (x )＝cos x ＋12x 2－1，则f ′(x )＝x －sin x ≥0对x ∈［0，＋∞)恒成立，f (x )在［0，＋∞)上为增函数，所以f (x )的最小值为f (0)＝0，所以f (x )≥0，cos x ≥1－12x 2，故C项正确；令g (x )＝ln(1＋x )－x ＋18x 2，则11()114g x x x '=+-+，令g ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3．当x ∈(0,3)时，g ′(x )＜0，当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在x ＝3时取得最小值g (3)＝ln 4－3＋98＜0，所以D 项不正确． 13．答案：38 解析：由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2×(4×3＋3×1＋4×1)＝38，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38．14．答案：2n解析：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则a 12·q 8＝a 1·q 9，a 1＝q ，由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12q =，因为数列{a n }为递增数列，所以q ＝2，a 1＝2，a n ＝2n ．15．答案：－4解析：由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴()212242, 22, y y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩①② ∴128,2,y y =⎧⎨=⎩ ∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为212y x =，∴y ′＝x ， ∴过点P 的切线斜率为44x y ='=．∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8．又∵过点Q 的切线斜率为22x y =-'=-，∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －2． 联立48,22,y x y x =-⎧⎨=--⎩解得x ＝1，y ＝－4，∴点A 的纵坐标为－4． 16．答案：33解析：正三棱锥P －ABC 可看作由正方体P ADC －BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P －ABC 的外接球的直径，且PF ⊥平面ABC ．设正方体棱长为a ，则3a 2＝12，a ＝2，AB ＝AC ＝BC ＝22．1322222322ABC S ∆=⨯⨯⨯=．由V P －ABC ＝V B －P AC ，得111222332ABC h S ∆⋅⋅=⨯⨯⨯⨯，所以233h =，因此球心到平面ABC 的距离为33．17．解：(1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°， 所以1cos 2B =． (2)解法一：由已知b 2＝ac ，及1cos 2B =， 根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ， 所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34． 解法二：由已知b 2＝ac ，及1cos 2B =， 根据余弦定理得22cos 2a c acB ac+-=，解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34．18．解：(1)证法一：连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′．又MN 平面A ′ACC ′，AC ′平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．证法二：取A ′B ′中点P ，连结MP ，NP ， 而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点， 所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′， PN ∥平面A ′ACC ′． 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′． 而MN 平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′．(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O －xyz ，如图所示．设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)， 所以M (2λ，0，12)，N (2λ，2λ，1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由0,0A M MN ⎧⋅'=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得111110,2210,22x z y z λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，由0,0NC MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得222220,2210,22x y z y z λλλ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可取n ＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得=2λ． 19．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得222112212211212()100(30104515)100 3.0307525455533n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯．因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14．由题意X ～B (3，14)，从而X 的分布列为 X 0123P2764 2764 964 164E (X )＝np ＝13344⨯＝， D (X )＝np (1－p )＝13934416⨯⨯=． 20．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为11()y y x a x a=++，① 直线A 2B 的方程为11()y y x a x a-=--．② 由①②得22221221()y y x a x a-=--．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故2211221x y a b +=．从而y 12＝b 2(1－212x a )，代入③得22221x y a b-=(x ＜－a ，y ＜0)．(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得 4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|， 故x 12y 12＝x 22y 22．因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 12(1－212x a )＝b 2x 22(1－222x a)．由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 12＋x 22＝a 2． 从而y 12＋y 22＝b 2，因此t 12＋t 22＝a 2＋b 2为定值．21．解：(1)由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1．由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32， 又y ′|x ＝0＝(11121x x +++＋a )|x ＝0＝32＋a ，得a ＝0．(2)证法一：由均值不等式，当x ＞0时，2(1)1x +⋅＜x ＋1＋1＝x ＋2，故112xx +<+． 记h (x )＝f (x )－96xx +，则21154()1(6)21h x x x x '=+-+++ ＝2221546542(1)(6)4(1)(6)x x x x x x +++-<-++++＝32(6)216(1)4(1)(6)x x x x +-+++． 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0＜x ＜2时，g ′(x )＝3(x ＋6)2－216＜0． 因此g (x )在(0,2)内是递减函数， 又由g (0)＝0，得g (x )＜0， 所以h ′(x )＜0．因此h (x )在(0,2)内是递减函数， 又h (0)＝0，得h (x )＜0．于是当0＜x ＜2时，9()6xf x x <+． 证法二：由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋1x +－1．由均值不等式，当x ＞0时，2(1)1x +⋅＜x ＋1＋1＝x ＋2， 故112xx +<+．① 令k (x )＝ln(x ＋1)－x ， 则k (0)＝0，1()1011x k'x x x -=-=<++， 故k (x )＜0，即ln(x ＋1)＜x ．② 由①②得，当x ＞0时，3()2f x x <． 记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0＜x ＜2时， h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9＜32x ＋(x ＋6)(11121x x +++)－9＝12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(2＋1x +)－18(x ＋1)］ ＜12(1)x +［3x (x ＋1)＋(x ＋6)(3＋2x )－18(x ＋1)］＝4(1)x x +(7x －18)＜0． 因此h (x )在(0,2)内单调递减， 又h (0)＝0，所以h (x )＜0，即9()6xf x x <+． 22．证明：(1)由AC 与O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB ． 从而AC ABAD BD=，即AC ·BD ＝AD ·AB ． (2)由AD 与O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD ． 从而AE ADAB BD=，即AE ·BD ＝AD ·AB ． 结合(1)的结论，AC ＝AE ．23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．精品文档11 / 11 解2,4cos ρρθ=⎧⎨=⎩得ρ＝2，π3θ=±， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，π3-)． 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一：由cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，3-)． 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,3 3.,x t y t =⎧-≤≤⎨=⎩ (或参数方程写成1,33,x y y y =⎧-≤≤⎨=⎩) 解法二：将x ＝1代入cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得ρcos θ＝1，从而1cos ρθ=． 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1,ππtan ,33x y θθ=⎧-≤≤⎨=⎩． 24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2．又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，42x a a-≤≤，得a ＝2． (2)记h (x )＝f (x )－2()2x f ， 则()1,1,143,1,211,,2x h x x x x ⎧⎪≤-⎪⎪---<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩＝ 所以|h (x )|≤1，因此k ≥1．。
2012年高考真题——理科数学(全国卷)Word版含答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题 （1）复数131ii-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A =U ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为 （A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ⋅=r r ，||1a =r ，||2b =r ，则AD =u u u r（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455a b -r r（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（A ） （B ） （C （D （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。
2012年理数高考试题答案及解析-辽宁
2012 年一般高等学校招生全国一致考试(辽宁卷 )数学 ( 供理科考生使用 )注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分。
答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标涂黑。
如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ｝，会合 A=｛ 0,1,3,5,8 ｝，会合 B=｛ 2,4,5,6,8 ｝，则 (C U A)(C U B) 为(A){5,8}(B){7,9}(C){0,1,3}(D){2,4,6}【答案】 B【解析一】因为全集U=｛ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ｝，集合A=｛0,1,3,5,8 ｝，集合B=｛ 2,4,5,6,8 ｝，所以C U A2,4,6,7,9 ,C U B0,1,3,7,9 ，所以 (C U A)(C U B) 为{7,9}。
应选B【分析二】会合 (C U A) (C U B) 为即为在全集U 中去掉会合 A 和会合 B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可迅速获得答案，选B【评论】此题主要考察会合的交集、补集运算，属于简单题。
采纳分析二能够更快地获得答案。
(2)复数2i 2i(A)34 i(B)3 4 i(C) 1 4 i(D) 1 3 i555555【答案】 A【分析】2i(2i )(2i ) 3 4i34i ，应选A2i(2i )(2i )555【评论】此题主要考察复数代数形式的运算，属于简单题。
复数的运算要做到仔细正确。
(3)已知两个非零向量a， b 知足 | a+b|=| a b| ，则下边结论正确的选项是(A) a∥ b(B) a⊥ b(C){0,1,3}(D)a+b=a b【答案】 B【分析一】由 | a+b|=| a b| ，平方可得 a b=0,所以a⊥ b，应选B【分析二】依据向量加法、减法的几何意义可知| a+b| 与 | a b| 分别为以向量 a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，由于| a+b|=| a b| ，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥ b，应选B【评论】此题主要考察平面向量的运算、几何意义以及向量的地点关系，属于简单题。
2012年全国高考理科数学试题及答案-辽宁卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(理)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以 9,7,3,1,0,9,7,6,4,2 B C A C U U ，所以)()(B C A C U U 为{7,9}。
故选B【解析二】 集合)()(B C A C U U 为即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。
采用解析二能够更快地得到答案。
(2)复数22i i(A)3455i (B)3455i (C) 415i (D) 315i 【答案】A【解析】2(2)(2)34342(2)(2)555i i i i i i i i ，故选A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。
复数的运算要做到细心准确。
(3)已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a b |，则下面结论正确的是(A) a ∥b (B) a ⊥b(C){0,1,3} (D)a +b =a b【答案】B【解析一】由|a +b |=|a b |，平方可得a b =0, 所以a ⊥b ，故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a +b |=|a b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b ，故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。
2012年辽宁高考试题(文数,word解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（文科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
（1）已知向量a = (1,—1)，b = (2,x ).若a b ∙ = 1,则x = (A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 【命题意图】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。
【解析】21,1a b x x ⋅=-=∴=，故选D（2）已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则 ()()U U C A C B ⋂=(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U {7,9}。
故选B 【解析二】 集合)()(B C A C U U 即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。
采用解析二能够更快地得到答案。
（3）复数11i=+(A)1122i - (B)1122i + (C) 1i - (D) 1i + 【答案】A 【解析】11111(1)(1)222i i ii i i --===-++-，故选A 【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。
2012年辽宁省高考数学试卷(理科)教师版
2012 年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（5 分）（2012?辽宁）已知全集U={ 0， 1， 2， 3， 4， 5，6，7，8，9} ，会合A={ 0，1，3，5，8} ，会合B={ 2，4，5，6，8} ，则（?U A）∩（?U B）=（）A．{ 5，8}B．{ 7，9}C．{ 0，1，3}D．{ 2，4，6}【剖析】由题已知全集 U={ 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} ，会合 A={ 0，1，3，5，8} ，会合 B={ 2， 4， 5， 6， 8} ，可先求出两会合 A，B 的补集，再由交的运算求出（ ?U A）∩（ ?U B）【解答】解：由题义知，全集 U={ 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} ，会合 A={ 0，1，3，5，8} ，会合 B={ 2，4，5，6，8} ，所以 C U A={ 2， 4， 6，7，9} ，C U B={ 0，1，3，7，9} ，所以（ C U A）∩（ C U B）={ 7， 9}应选： B．2．（5 分）（2012?辽宁）复数=（）A．B．C．D．【剖析】进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，再进行复数的乘法运算，化成最简形式，获得结果．【解答】解：===，应选： A．3．（5 分）（ 2012?辽宁）已知两个非零向量，知足|+ |=| ﹣ |，则下边结论正确的选项是（）．∥．⊥．||=| |D． +=﹣A B C【剖析】因为 || 和 ||表示以、为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，再由 | + | =|﹣| 可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，进而得出结论．【解答】解：由两个两个向量的加减法的法例，以及其几何意义可得，||和|| 表示以、为邻边的平行四边形的两条对角线的长度．再由 |+ |=|﹣ | 可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，故有⊥．应选： B．4．（5 分）（2012?辽宁）已知命题p：? x1，x2∈R，（f（ x2）﹣ f （x1））（ x2﹣x1）≥0，则￢ p 是（）A．? x1， x2∈R，（ f（x2）﹣ f（ x1））（x2﹣ x1）≤ 0B．? x1， x2∈R，（ f（x2）﹣ f（ x1））（x2﹣ x1）≤ 0C．? x1， x2∈R，（ f（x2）﹣ f（ x1））（x2﹣ x1）＜ 0D．? x1， x2∈R，（ f（x2）﹣ f （x1））（x2﹣ x1）＜ 0【剖析】由题意，命题 p 是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可获得它的否定，由此规则写出其否定，比较选项即可得出正确选项【解答】解：命题 p：? x1， x2∈R，（ f（x2）﹣ f（ x1））（x2﹣ x1）≥ 0 是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故 ?p：? x1，x2∈R，（f（ x2）﹣ f（x1））（ x2﹣x1）＜ 0．应选： C．5．（5 分）（2012?辽宁）一排 9 个座位坐了 3 个三口之家．若每家人坐在一同，则不一样的坐法种数为（）A．3×3!B．3×（3!）3C．（3!）4D．9!【剖析】达成任务可分为两步，第一步，三口之家内部排序，第二步，三家排序，由分步计数原理计数公式，将两步结果相乘即可【解答】解：第一步，分别将三口之家“捆绑”起来，共有 3！× 3！× 3！种排法；第二步，将三个整体摆列次序，共有 3！种排法故不一样的作法种数为3！× 3！× 3！× 3！=3!4应选： C．6．（ 5 分）（2012?辽宁）在等差数列 { a n} 中，已知 a4+a8=16，则该数列前 11 项和S11=（）A．58B．88C．143D．176【剖析】依据等差数列的定义和性质得a1+a11=a4+a8=16，再由 S11=运算求得结果．【解答】解：∵在等差数列 { a n } 中，已知 a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴ S11==88，应选： B．7．（ 5 分）（2012?辽宁）已知sinα﹣cos α=，α∈（0，π），则tan α的值是（）A．﹣ 1【剖析】由条件可得B．C．1﹣ 2sin αcosα，=2求得 sin2 α=﹣1，可得D．12α的值，进而求得 tan α的值．【解答】解：∵已知，，，∴1﹣2sin αcosα，=2即sin2 α=﹣1，故 2α=，∴α= ，tan α=﹣1．应选： A．8．（ 5 分）（2012?辽宁）设变量 x，y 知足，则2x+3y的最大值为（）A．20B．35C．45D．55【剖析】先画出知足拘束条件的平面地区，联合几何意义，而后求出目标函数z=2x+3y 取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【解答】解：知足拘束条件的平面地区以以下图所示：令 z=2x+3y 可得 y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线 l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点 D 时 2x+3y 最大，z=55由可得x=5，y=15，此时应选：D．9．（5 分）（2012?辽宁）履行以下图的程序框图，则输出的S 值是（）A．﹣1B．C．D．4【剖析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当i=9＜9，不知足判断框的条件，退出循环输出结果即可．【解答】解：第 1 次判断后循环， S=﹣ 1，i=2，第 2 次判断后循环， S= ，i=3，第 3 次判断后循环， S= ，i=4，第 4 次判断后循环， S=4，i=5，第 5 次判断后循环， S=﹣ 1， i=6，第 6 次判断后循环， S= ，i=7，第 7 次判断后循环， S= ，i=8，第 8 次判断后循环， S=4，i=9，第 9 次判断不知足 9＜8，推出循环，输出 4．应选： D．10．（ 5 分）（2012?辽宁）在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于A．B．C．32cm2的概率为（D．）【剖析】设AC=x，则0＜x＜ 12，若矩形面积为小于32，则x＞8或 x＜4，进而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比【解答】解：设AC=x，则BC=12﹣x，0＜x＜12若矩形面积S=x（12﹣x）＜ 32，则x＞8 或x＜4马上线段AB 三平分，当 C 位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P==应选： C．11．（ 5 分）（2012?辽宁）设函数 f（ x）（x∈ R）知足 f （﹣ x）=f（x），f（ x）=f （2﹣x），且当 x∈ [ 0，1] 时，f （x） =x3．又函数 g（ x） =| xcos（πx）| ，则函数 h（ x） =g（x）﹣ f （x）在，上的零点个数为（）A．5B．6C．7D．8【剖析】利用函数的奇偶性与函数的分析式，求出x∈ [ 0，] ，x∈[，]时，g（x）的分析式，推出 f （0）=g（ 0），f （1）=g（ 1），g（）=g（） =0，画出函数的草图，判断零点的个数即可．【解答】解：因为当x∈[ 0，1] 时， f（ x）=x3．所以当x∈[ 1，2] 时2﹣x∈[ 0， 1] ，f（x）=f（2﹣x）=（2﹣x）3，当 x∈[ 0， ] 时， g（x）=xcos（πx），g′（ x）=cos（πx）﹣π xsin（πx）；当 x∈[ ， ] 时， g（x）=﹣xcosπx，g′（ x）=π xsin（πx）﹣ cos（πx）．注意到函数 f （x）、g（x）都是偶函数，且 f（ 0） =g（0），f（ 1） =g（1）=1，f（﹣）=f（） = ，f （）=（2﹣）3= ，g（﹣） =g（）=g（）=0，g（1）=1，g′（ 1）=1＞0，依据上述特色作出函数f（x）、g（x）的草图，函数 h（x）除了 0、1 这两个零点以外，分别在区间 [ ﹣，0] ，[ 0， ] ，[，1]，[ 1，]上各有一个零点．共有 6 个零点，应选： B．12．（ 5 分）（2012?辽宁）若 x∈ [ 0，+∞），则以下不等式恒成立的是（）A．e x≤1+x+x2B．C．D．【剖析】关于 A，取 x=3，e3＞ 1+3+32，；关于 C，结构函数进而可得函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（ x）=cosx+1≥0，在[ 0，+∞）上单一增，故成立；关于 D，取 x=3，＜．【解答】解：关于 A，取 x=3，e3＞1+3+32，所以不等式不恒成立；关于 B，x=1 时，左侧 =，右侧=0.75，不等式成立；x=时，左侧=，右侧=，左侧大于右侧，所以 x∈[ 0，+∞），不等式不恒成立；关于 C，结构函数，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=﹣cosx+1≥0，∴ h′（x）在 [ 0， +∞）上单一增∴ h′（x）≥ h′（0）=0，∴函数在[ 0，+∞）上单一增，∴h（x）≥ 0，∴；关于 D，取x=3，＜，所以不等式不恒成立；应选： C．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分．13．（ 5 分）（2012?辽宁）一个几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为38．【剖析】经过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是底面边长为 4 和 3 高为 1 的长方体，中间挖去半径为 1 的圆柱，几何体的表面积为：长方体的表面积+圆柱的侧面积﹣圆柱的两个底面面积．即 S=2×（ 3×4+1× 3+1×4）+2π×1﹣2×12π =38．故答案为： 38．14．（5 分）（ 2012?辽宁）已知等比数列 { a n} 为递加数列，且 a52=a10，2（ a n+a n+2）=5a n+1，则数列{ a n} 的通项公式a n=2n．2（a n+a n+2）=5a n+1【剖析】经过，求出等比数列的首项与公比的关系，经过求出公比，推出数列的通项公式即可．【解答】解：∵，∴，∴ a1=q，∴，∵2（ a n +a n+2）=5a n+1，∴，∴2（ 1+q2）=5q，解得 q=2 或 q= （等比数列 { a n} 为递加数列，舍去）∴．故答案为： 2n．15．（ 5 分）（2012?辽宁）已知 P，Q 为抛物线 x2=2y 上两点，点 P， Q 的横坐标为 4，﹣ 2，过 P， Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点 A 的纵坐标为﹣4．【剖析】经过 P，Q 的横坐标求出纵坐标，经过二次函数的导数，推出切线方程，求出交点的坐标，即可获得点 A 的纵坐标．【解答】解：因为点 P，Q 的横坐标分别为4，﹣ 2，代入抛物线方程得P，Q 的纵坐标分别为8， 2．由 x2，则y=，所以 y′=x，=2y过点 P，Q 的抛物线的切线的斜率分别为4，﹣ 2，所以过点 P，Q 的抛物线的切线方程分别为y=4x﹣8，y=﹣2x﹣2联立方程组解得 x=1，y=﹣ 4故点 A 的纵坐标为﹣ 4．故答案为：﹣ 4．16．（5 分）（ 2012?辽宁）已知正三棱锥 P﹣ ABC，点 P，A，B，C 都在半径为的球面上，若 PA， PB，PC两两垂直，则球心到截面 ABC的距离为．【剖析】先利用正三棱锥的特色，将球的内接三棱锥问题转变为球的内接正方体问题，进而将所求距离转变为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算【解答】解：∵正三棱锥 P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB， PC为三边的正方体的外接球O，∵球 O 的半径为，∴正方体的边长为2，即 PA=PB=PC=2球心到截面 ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设 P 到截面 ABC的距离为 h，则正三棱锥 P﹣ ABC的体积 V= S△ABC× h= S△PAB× PC= × ×2×2×2=△ABC为边长为 2 的正三角形， S△ABC= ×∴ h==∴正方体中心 O 到截面 ABC的距离为﹣=故答案三、解答：解答写文字明，明程或演算步．17．（ 12 分）（ 2012?宁）在△ ABC中，角 A、B、C 的分a， b，c．角A，B，C 成等差数列．（Ⅰ）求 cosB的；（Ⅱ） a，b， c 成等比数列，求sinAsinC的．【剖析】（Ⅰ）在△ ABC中，由角 A，B，C 成等差数列可知 B=60°，进而可得 cosB 的；（Ⅱ）（解法一），由 b2，cosB=，合正弦定理可求得sinAsinC的；=ac（解法二），由 b2，，依据余弦定理 cosB=可求得 a=c，进而=ac cosB=可得△ ABC等三角形，进而可求得sinAsinC的．【解答】解：（Ⅰ）由 2B=A+C， A+B+C=180°，解得 B=60°，∴cosB= ；⋯6分（Ⅱ）（解法一）由已知 b2=ac，依据正弦定理得sin2B=sinAsinC，又 cosB= ，∴sinAsinC=1 cos2B= ⋯ 12分（解法二）由已知 b2=ac及 cosB= ，依据余弦定理 cosB=解得a=c，∴B=A=C=60°，∴sinAsinC= ⋯ 12分18．（12 分）（ 2012?宁）如，直三棱柱 ABC A′ B′，∠C′BAC=90°，AB=AC=λ AA，′点 M ，N 分 A′B和 B′C的′中点．（Ⅰ）明： MN∥平面 A′ACC；′（Ⅱ）若二面角A′﹣MN ﹣C 为直二面角，求λ的值．【剖析】（I）法一，连结AB′、AC′，说明三棱柱 ABC﹣A′B′为C直′三棱柱，推出MN∥AC′，而后证明 MN∥平面 A′ ACC；′法二，取 A′B的′中点 P，连结 MP、NP，推出 MP∥平面 A′ACC，′PN∥平面 A′ACC，′而后经过平面与平面平行证MN ∥平面 A′ACC．′（II）以 A 为坐标原点，分别以直线 AB、AC、AA′为 x，y，z 轴，成立直角坐标系，设 AA′=1，推出 A，B，C，A′，B′，C′坐标求出 M ，N，设 =（x1，y1，z1）是平面 A′MN的法向量，经过，取，，，设=（x2，y2，z2）是平面 MNC 的法向量，由，取，，，利用二面角 A'﹣ MN﹣C 为直二面角，所以，解λ．【解答】（I）证明：连结 AB′、 AC′，由已知∠ BAC=90°，AB=AC，三棱柱 ABC﹣A′B′为C直′三棱柱，所以 M 为 AB′中点，又因为 N 为 B′C的′中点，所以 MN∥ AC′，又 MN?平面 A′ACC，′所以 MN∥平面 A′ACC；′法二：取 A′B的′中点 P，连结 MP、NP，M、 N 分别为 A′B、B′的C′中点，所以 MP∥AA′， NP∥A′C，′所以 MP∥平面 A′ACC，′PN∥平面 A′ACC，′又 MP∩NP=P，所以平面 MPN∥平面A′ACC，′而 MN? 平面 MPN，所以 MN∥平面 A′ACC．′（ II）以 A 为坐标原点，分别以直线 AB、AC、AA′为 x，y，z 轴，成立直角坐标系，如图，设AA′=1，则AB=AC=λ，于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（ 0，0，1）， B′（λ，0， 1），C′（ 0，λ， 1）．所以M（，，），N（，，），设 =（ x1，y1，z1）是平面 A′MN的法向量，由，得，可取，，，设 =（x2， y2，z2）是平面 MNC 的法向量，由，得，可取，，，因为二面角 A'﹣ MN ﹣C 为直二面角，所以，2即﹣ 3+（﹣ 1）×（﹣ 1） +λ=0，解得λ= ．19．（ 12 分）（2012?辽宁）电视传媒企业为了认识某地域电视观众对某体育节目的收视状况，随机抽取了 100 名观众进行检查，下边是依据检查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频次散布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”．（Ⅰ）依据已知条件达成下边2×2列联表，并据此资料你能否定为“体育迷”与性别相关？非体育迷体育迷共计男女1055共计（Ⅱ）将上述检查所获得的频次视为概率．此刻从该地域大批电视观众中，采纳随机抽样方法每次抽取 1 名观众，抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X，若每次抽取的结果是互相独立的，求 X 的散布列，希望 E（X）和方差D（X）P（ K2≥k）0.050.01k 3.841 6.635．【剖析】（I）依据所给的频次散布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出 K2，与 3.841 比较即可得出结论；（ II）由题意，用频次取代概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，因为 X∽B（3，），进而给出散布列，再由公式计算出希望与方差即可25【解答】解：（I）由频次散布直方图可知，在抽取的100 人中，“体育迷”有人，进而 2× 2 列联表以下：非体育迷体育迷共计男301545女45105525100共计75将 2×2 列联表中的数据代入公式计算，得：K2==≈3.03，因为 3.03＜3.841，所以没有原因以为“体育迷”与性别相关．（II）由频次散布直方图知抽到“体育迷”的频次是 0.25，将频次视为概率，即从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是，由题意 X∽ B（ 3，），进而散布列为X0123P所以E（X）=np=3×= ．D（X）=npq=3× ×=．20．（12 分）（2012?辽宁）如图，已知椭圆C0：＞＞，，为常数，动圆C1：，＜＜．点A1，A2分别为C0的左右极点，C1与C0订交于 A，B，C，D 四点．（Ⅰ）求直线 AA1与直线 A2交点M 的轨迹方程；B（Ⅱ）设动圆 C2：与 C0订交于 A′， B′，C′，D′四点，此中 b＜t 2＜a，t1≠t 2．若矩形 ABCD与矩形 A′B′C的′面D′积相等，证明：为定值．【剖析】（Ⅰ）设出线 A1A 的方程、直线A2B 的方程，求得交点知足的方程，利用 A 在椭圆 C0上，化简即可获得M 轭轨迹方程；（Ⅱ）依据矩形ABCD与矩形 A'B'C'D'的面积相等，可得A， A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得=a2+b2为定值．【解答】（Ⅰ）解：设A（x1，y1），B（x1，﹣ y1），∵ A1（﹣ a，0），A2（ a，0），则直线A1A 的方程为①直线A2B 的方程为y=﹣（x﹣a）②由①×②可得：③∵A（ x1，y1）在椭圆 C0上，∴∴代入③可得：∴＜，＜；（Ⅱ）证明：设A′（x3，y3），∵矩形 ABCD与矩形 A'B'C'D'的面积相等∴ 4| x1 || y1| =4| x3|| y3|∴=∵ A， A′均在椭圆上，∴=∴=∴∵t1≠t2，∴ x1≠ x3．∴∵，∴∴=a2+b2为定值．21．（ 12 分）（ 2012?辽宁）设 f （x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线 y=f（ x）与直线 y=x 在（，）点相切．0 0（ I）求 a， b 的值；（ II）证明：当 0＜x＜2 时， f（x）＜．【剖析】（ I）由 y=f（x）过（ 0，0），可求 b 的值，依据曲线 y=f（ x）与直线在（0，0）点相切，利用导函数，可求 a 的值；（ II）由（I）知（f x）=ln（x+1）+，由均值不等式，可得＜，结构函数 k（ x）=ln（x+1）﹣ x，可得 ln（x+1）＜ x，进而当 x＞ 0 时， f（x）＜记 h（x） =（ x+6）f（ x）﹣ 9x，可证 h（ x）在（ 0，2）内单一递减，进而（x）＜ 0，故问题得证．【解答】（I）解：由 y=f（x）过（ 0， 0），∴ f （0）=0，∴ b=﹣ 1，h∵曲线 y=f（ x）与直线在（，）点相切．00∴y′|x=0=∴a=0；（II）证明：由（ I）知 f（x）=ln（x+1）+由均值不等式，当 x＞ 0 时，＜，∴＜①令 k（x）=ln（x+1）﹣ x，则 k（0）=0， k′（ x） =＜，∴ k（x）＜0∴ ln（x+1）＜ x，②由①②得，当 x＞0 时， f（ x）＜记 h（x） =（ x+6）f（ x）﹣ 9x，则当 0＜x＜2 时， h′（x）=f（x）+（x+6）f ′（x）﹣9＜＜=＜∴ h（ x）在（ 0，2）内单一递减，又h（ 0） =0，∴ h（x）＜ 0∴当 0＜x＜2 时， f（x）＜．请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分．做答是用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题下方的方框涂黑．22．（ 10 分）（ 2012?辽宁）选修 4﹣ 1：几何证明选讲C、D 两如图，⊙ O 和⊙ O′订交于 A，B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于点，连结 DB 并延伸交⊙ O 于点 E．证明：（Ⅰ） AC?BD=AD?AB；（Ⅱ） AC=AE．【剖析】（I）利用圆的切线的性质得∠CAB=∠ADB，∠ ACB=∠DAB，进而有△ ACB ∽△ DAB，=，由此获得所证．（ II）利用圆的切线的性质得∠AED=∠ BAD，又∠ ADE=∠ BDA，可得△ EAD∽△ ABD，=， AE?BD=AD?AB，再联合（ I）的结论 AC?BD=AD?AB可得， AC=AE．【解答】证明：（I）∵ AC与⊙ O'相切于点 A，故∠ CAB=∠ADB，同理可得∠ ACB=∠DAB，∴△ ACB∽△ DAB，∴=，∴AC?BD=AD?AB．（II）∵ AD 与⊙ O 相切于点 A，∴∠ AED=∠BAD，又∠ ADE=∠BDA，∴△ EAD∽△ ABD，∴= ，∴ AE?BD=AD?AB．再由（ I）的结论 AC?BD=AD?AB可得， AC=AE．23．（ 2012?辽宁）选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程在直角坐标 xOy 中，圆 C1：x2+y2=4，圆 C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1， C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆 C1与 C2的公共弦的参数方程．【剖析】（I）利用222的极坐标方程，，以及 x +yρ，直接写出圆 C1，C2=求出圆 C1， C2的交点极坐标，而后求出直角坐标（用坐标表示）；（ II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆 C1与 C2的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，而后求出圆 C1与 C2的公共弦的参数方程．【解答】解：（I）由2+y22，xρ，=可知圆：，的极坐标方程为ρ =2，圆：，即：的极坐标方程为ρ =4cos，θ解得：ρ=2，，故圆C1， C2的交点坐标（2，），（2，）．（ II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆 C1， C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1 代入得ρcosθ=1进而于是圆C1， C2的公共弦的参数方程为．24．（ 2012?辽宁）选修 4﹣ 5：不等式选讲已知 f （x） =| ax+1| （ a∈ R），不等式 f（x）≤ 3 的解集为 { x| ﹣ 2≤x≤ 1} ．（Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）若恒成立，求 k 的取值范围．【剖析】（Ⅰ）先解不等式 | ax+1| ≤3，再依据不等式f（x）≤ 3 的解集为 { x| ﹣2≤x≤1} ，分类议论，即可获得结论．（Ⅱ）记，进而h（x）=，，，＜＜，求得 | h（x）| ≤1，即可求得 k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由 | ax+1| ≤3 得﹣ 4≤ax≤2∵不等式 f（ x）≤ 3 的解集为 { x| ﹣2≤x≤1} ．∴当 a≤0 时，不合题意；当 a＞0 时，，∴ a=2；（Ⅱ）记，，∴ h（ x）=，＜＜，∴| h（x）| ≤1∵恒成立，∴k≥ 1．。
2012年辽宁卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科数学本试卷共24题，共150分。
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4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题）一、单选题1．已知向量(1,1)a =−，(2,)b x =..若•1a b =,则x = A ．—1B ．—12C ．12D ．12．已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}0,1,3,5,8A =，集合{}2,4,5,6,8B =，则()()U U C A C B ⋂=（ ） A ．{}5,8B ．{}7,9C ．{}0,1,3D ．{}2,4,63．复数11i =+ A ．1122i −B ．1122i + C ．1i − D ．1i + 4．在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则a 2+a 10=( ) A ．12 B ．16 C ．20D ．245．已知命题p ：∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)≥0,则⌝p 是 A ．∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)≤0 B ．∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)≤0 C ．∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)<0 D ．∀x 1,x 2∈R,(f(x 2)−f(x 1))(x 2−x 1)<06．已知sin cos αα−=， α∈ (0，π)，则sin2α=A ．−1B ．2−C ．2D ．17．将圆x 2+y 2 -2x-4y+1=0平分的直线是（ ）A ．x+y-1=0B ．x+y+3=0C ．x-y+1=0D ．x-y+3=0 8．函数y=12x 2−㏑x 的单调递减区间为 A ．（−1,1]B ．（0,1]C ．[1，+∞）D ．（0，+∞）9．设变量x，y满足则2x+3y的最大值为A．20B．35C．45D．55 10．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是A．4B．3 2C．23D．−111．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为A．16B．13C．23D．4512．已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，−2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为A．1B．3C．−4D．−8第II卷（非选择题）二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.14．已知等比数列｛a n｝为递增数列．若a1>0，且2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列｛a n｝的公比q =_____________________.15．已知双曲线x2−y2 =1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥PF2，则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.16．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为，则△OAB 的面积为______________.三、解答题17．在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ,角A ，B ，C 成等差数列． ⑴求cosB 的值；⑵边a ，b ，c 成等比数列，求sinAsinC 的值．18．如图，直三棱柱///ABC A B C −，90BAC ∠=，AB AC ==AA′=1，点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷理）1.错误！未找到引用源。
B2.A3. B4.C 错误！未找到引用源。
5.C6.B7.A8.D9.A 错误！未找到引用源。
10.C 11.B 12.C第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知全集}9,8,7,6,5,4,3,2,1,0{=U ，集合}8,5,3,1,0{=A ，集合}8,6,5,4,2{=B ，则=)()(B C A C U U （A ）}8,5{ （B ）}9,7{（C ）}3,1,0{（D ）}6,4,2{（2）复数=+-i i22 （A ）i 5453- （B ）i 5453+（C ）i 541-（D ）i 531+（3）已知两个非零向量a ，b 满足b a b a -=+，则下面结论正确的是 （A ）b a //（B ）b a ⊥（C ）b a =（D ）b a b a -=+（4）已知命题p ：0)))(()((,,121221≥--∈∀x x x f x f R x x ，则p ⌝是 （A ）0)))(()((,,121221≤--∈∃x x x f x f R x x （B ）0)))(()((,,121221≤--∈∀x x x f x f R x x （C ）0)))(()((,,121221<--∈∃x x x f x f R x x （D ）0)))(()((,,121221<--∈∀x x x f x f R x x（5）一排9个座位坐了3（A ）!33⨯（B ）3)!3(3⨯（C ）4)!3(（D ）!9（6）在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该数列前11（A ）58（B ）88（C ）143（D ）176（7）已知),0(,2cos sin πααα∈=-，则=αtan（A ）1-（B ）22-（C ）22（D ）1（8）设变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-.150,200,10y y x y x 则y x 32+的最大值为（A ）20 （B ）35 （C ）45 （D ）55（9）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是 （A ）1-（B ）32（C ）23 （D ）4 （10）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C 。
现做一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为 （A ）61 （B ）31 （C ）32 （D ）54 （11）设函数))((R x x f ∈满足)()(x f x f =-，)2()(x f x f -=，且当[]1,0∈x 时，3)(x x f =。
又函数)cos()(x x x g π=，则函数)()()(x f x g x h -=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21上的零点个数为（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8【解析】因为当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3. 所以当[1,2]-)[0,1]x x ∈∈时，(2，f (x )=f (2-x )=(2-x )3，当1[0,]2x ∈时，g (x )=x cos ()x π；当13[,]22x ∈时，g (x )= -x cos ()x π，注意到函数f (x )、 g (x )都是偶函数，且f (0)= g (0)， f (1)= g (1)，13()()022g g ==，作出函数f (x )、 g (x )的大致图象，函数h (x )除了0、1这两个零点之外，分别在区间1113[,0][][][1]2222-、0,、,1、,上各有一个零点，共有6个零点，故选B （12）若),0[+∞∈x ，则下列不等式恒成立的是（A ）21x x e x++≤（B ）24121111x x x+-≤+（C ）2211cos x x -≥（D ）281)1ln(x x x -≥+ 【解析】设2211()cos (1)cos 122f x x x x x =--=-+，则()()s i ng x f x x x '==-+所以()c o s 1g x x '=-+≥，所以当[0,)x ∈+∞时，()()()(0)g x g x f x g '==为增函数，所以≥同理21()(0)0c o s(1)02f x f x x =∴--≥，≥，即21cos 12x x -…，故选C第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为38（14）已知等比数列}{n a 为递增数列，且1210255)(2,++=+=n n n a a a a a ，则数列n a 的通项公式=n a 错误！未找到引用源。
2n（15）已知P ，Q 为抛物线y x 22=上两点，点P ，Q 的横坐标为4，2-，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 -4（16）已知正三棱锥P-ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为 错误！未找到引用源。
33三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列。
（I ）求B cos 的值；（II ）边a ，b ，c 成等比数列。
求B A sin sin 的值。
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解:(1)由已知2B =A +C ,A +B +C =180°,解得B =60°,所以cos B =12.(2)(解法一)由已知b 2=ac ,及cos B =12,根据正弦定理得sin 2B =sin A sin C , 所以sin A sin C =1-cos 2B =34.(解法二)由已知b 2=ac ,及cos B =12,根据余弦定理得cos B =a 2＋c 2－ac2ac,解得a =c ,所以A =C =B =60°,故sin A sin C =34.（18）（本小题满分12分）如图，直三棱柱'''C B A ABC -，90=∠BAC ，'AA AC AB λ==,点M ，N 分别为'''C B B A 和的中心。
（I ）证明：''//ACC A MN 平面；（II ）若二面角C MN A --'为直二面角，求λ的值。
(1)(证法一)连结AB ′,AC ′,由已知∠BAC =90°,AB =AC ,三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱. 所以M 为AB ′中点.又因为N 为B ′C ′的中点.NM'A CBA 'B'C所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′, AC ′⊂平面A ′ACC ′, 因此MN ∥平面A ′ACC ′.(证法二) 取A ′B ′中点P ,连结MP ,NP ,M ,N 分别为AB ′与B ′C ′的中点,所以MP ∥AA ′,PN ∥A ′C ′, 所以MP ∥平面A ′ACC ′,PN ∥平面A ′ACC ′,又MP ∩NP =P ,因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′,而MN ⊂平面MPN , 因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)以A 为坐标原点,分别以直线AB ,AC ,AA ′为x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系O -xyz ,如图1-5所示.图1-5设AA ′=1,则AB =AC =λ,于是A (0,0,0),B (λ,0,0),C (0,λ,0),A ′(0,0,1),B ′(λ,0,1),C ′(0,λ,1). 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2，0，12,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2，λ2，1. 设=(x 1,y 1,z 1)是平面A ′MN 的法向量, 由⎩⎪⎨⎪⎧²A ′M →＝0，m ²MN →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，可取=(1,-1,λ).设=(x 2,y 2,z 2)是平面MNC 的法向量, 由⎩⎪⎨⎪⎧²NC →＝0，n ²MN →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0.可取=(-3,-1,λ).因为A ′-MN -C 为直二面角,所以²=0. 即-3+(-1)³(-1)+λ2=0,解得λ=2.（19）（本小题满分12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”。
（I ）根据已知条件完成下面2组距频率1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E(X)和方差D(X)附：21212211222112)(++++-=K n n n n n n n n n ，错误！未找到引用源。
解:(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2³2列联表如下:将2³2χ2=n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2=100³30³10－45³15275³25³45³55=10033≈3.030. 因为3.030<3.841,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14. 由题意X ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14,从而X 的分布列为 E (X )=np =3³14=34.D (X )=np (1-p )=3³14³34=916.（20）（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 0：),,0(12222为常数b a b a by a x >>=+ ，动圆C 1：a t b t y x <<=+12122,。
点A 1，A 2分别为C 0的左右顶点，C 1与C 0相交于D CB A ,,,四点。
（I ）求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；（II ）设动圆C2：2222t y x =+与C0相交于,'A ABCD与矩形''''D C B A 的面积相等，证明：2221t t +错误！未找到引用源。