振动信号处理

1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此
离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周 期的
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数
频率函数
连续和非周期
非周期和连续
连续和周期(T0) 离散(T)和非周期
非周期和离散(Ω0=2π/T0) 周期(Ωs=2π/T)和连续
N 1
j 2 nk
x(n)e N

N 1
x(n)WNnk
n0
n0
x(n)

IDFS[X (k)]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k)e N
k 0

1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
离散傅里叶变换（DFT）
长度为N的有限长序列x(n) 周期为N的周期序列x(n)
频谱图
工程上习惯将频域描述用图形方式表示。 ——以ω为横坐标，bn、an (或cn的实部或虚
部）为纵坐标画图，称为实频－虚频谱图； ——以ω为横坐标，An、(或|cn|、)为纵坐标
画图，则称为幅值－相位谱； ——以ω为横坐标，为纵坐标画图，则称为功 率谱
频谱图例
【例1】求如图示周期性方波的频谱，其在一个 周期内可表达为
确定性 的的
周期的
非周期 的
随机的
平稳的
非平稳 的
简谐振 动
复杂周期 振动
准周期 振动
瞬态和冲 击
各态历经 非各态历
的
经
振动信号分类
振动信号按时间历程的分类如图所示，即将振动 分为确定性振动和随机振动两大类。 确定性振动可分为周期性振动和非周期性振动。周期性
振动包括简谐振动和复杂周期振动。 非周期性振动包括准周期振动和瞬态振动。 。
频率图例如：振动信号波形和频谱
信号的时频域描述
描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度，是非 平稳随机信号分析的有效工具。
可以同时反映其时间和频率信息，常用于图像处理、 语音处理、医学、故障诊断等信号分析中。
典型的时频分析方法有：小波变换、短时傅立叶变换 等。
信号的各种描述方法提供了从不同角度观察和分析信 号的手段，可以通过一定的数学关系相互转换。

X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
时域的离散化造成频域的周期延拓，而时 域的非周期对应于频域的连续
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
第一部分 频域信号处理
1.1 傅里叶级数 频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变
换为频域信号X(f)。
周期信号的频谱分析
傅立叶级数——周期信号分析的理论基础——任何周 期信号都可以利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多 个不同频率的谐波信号的线性叠加。
Dirichlet条件（在一个周期内满足） ——函数或者为连续的，或者具有有限个第一类间断
0
0 n N 1 n 0, n N
其图形如图
(4) 正弦序列
正弦序列的定义为：
x(n)=sinnω0
其图形如图
2. 傅利叶变换的几种可能形式
时间函数
频率函数
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
不过，这两个要求往往相互矛屑，要适 当兼顾。
各种窗函数的特点
矩形窗的特点是容易获得主瓣窄，但旁瓣大，尤其第一旁瓣太高，为主瓣的 21%，所以泄露很大。
汉宁窗（Hanning），旁瓣很小，且衰减很快，主瓣比矩形窗的主瓣宽，泄 露比矩形窗小很多。
汉明窗（Hamming），它由矩形窗和汉宁窗拼接而成，第一旁瓣很小，其它 旁瓣衰减比汗宁窗慢，主瓣宽介于矩形窗和汉宁窗之间。 高斯钟形窗只有主瓣没有旁瓣，主瓣宽太大，其形状可调，为减少泄露，应 使高斯窗变瘦。 余弦窗主瓣成三角形，旁瓣很小。
x(n) x(n)RN (n)
x(n)的主值序列

x(n) x(n rN ) x((n))N x(n)的周期延拓
r
同样：X(k)也是一个N点的有限长序列
X (k) X ((k))N X (k) X (k)RN (k)
有限长序列的DFT正变换和反变换
N 1
X (k ) DFT [x(n)] x(n)WNnk
n0
0 k N 1
x(n)

IDFT [ X
(k )]

1 N
N 1 k 0
X
(k )WNnk
0 n N 1
其中：
WN
j 2
e N
DFT
(1)
如果有两个有限时宽序列x1(n)和x2(n)的线性组合，
x3(n)=ax1(n)+bx2(n) 则x3(n)的DFT
T0 / 2

x(t) X ( jk0 )e jk0t k
时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域 的离散对应时域是周期函数。
对称方波的频谱变化规律
x(t)
-T/4
T/4
an 1
T
31 51
n

0
0
0
31
71
an
奇次谐波
1
31
51
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
N T0 fs T F0
信号频谱分析中的若干问题
1。采样定理: 为了保证信号经采样后不失真，采样频率ωs必须大于 原信号的截止频率Ω的2倍 即：ωs〉=2Ω
混叠误差与采样频率
离散序列是否包含了全部信息 离散后的频谱和原来频谱的关系 工程中如何保证信号分析的质量
泄漏误差
实际分析测试过程是将实际信号与高度为l、 长度为Ndt的矩形时间窗函数乘以原函数x(t)、 其结果是将时间窗函数之外的信息丢失了，在 时域的这种截断必然导致赖域内附加一些频率 分量，使分析的结果产生畸变，这种现象称之 为“泄漏”；
振动信号分类
随机振动是一种非确定性振动，它只服从一定的 统计规律性。可分为平稳随机振动和非平稳随 机振动。平稳随机振动又包括各态历经的平稳 随机振动和非各态历经的平稳随机振动。
一般来说，仪器设备的振动信号中既包含有确定 性的振动，又包含有随机振动，但对于一个线 性振动系统来说，振动信号可用谱分析技术化 作许多谐振动的叠加。因此简谐振动是最基本 也是最简单的振动
解：由图可知，该信号为奇函数，因此a0＝0，an＝0
周期性方波可写成
周期信号频谱的特点
离散性：周期信号的频谱是离散谱； 谐波性：每个谱线只出现在基波频率的整数倍
上，基波频率是诸分量频率的公约数； 收敛性：一般周期信号展开成傅立叶级数后，
在频域上是无限的，但从总体上看，其谐波幅 值随谐波次数的增高而减小。因此，在频谱分 析中没有必要取次数过高的谐波分量。
离散(T)和周期(T0) 周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)
3。用DFT对模拟信号作频谱分析
信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换
离散傅立叶级数（DFS）
周期序列：x(n) x(n rN )
r为任意整数 N为周期
连续周期函数：
xa (t) xa (t kT0 ) T0为周期

xa (t) A(k )e jk0t
k
N为周期的周期序列：

x(n) A(k )e jk0n
k
基频：0 2 / T0
k次谐波分量：e jk0t
基频：0 2 / N
k次谐波分量：e jk0n
周期序列的DFS正变换和反变换
X (k)

DFS[x(n)]
数字信号 处理器
D/A 变换器
ADC
DSP
DAC
模拟 滤波器
PoF
常用序列
(1)
单位取样序列的定义为：

(n)

1 0
n0 n0
其图形如图所示。
(2)
单位阶跃序列的定义为：
U
n

1 0
n0 n0
其图形如图所示。
(3)
矩形序列的定义为
RN
n

1

X3(k)=aX1(k)+bX2(k) 式中a、b为任意常数
(2)对称性
设x(n) 是一长度为 N 的实序列，且 DFT x(n) X (k ) ，则有
X (k) X (N k)
这意味着 或
ReX (k) ReX (N k) ImX (k) ImX (N k)
傅里叶级数的复指数函数表达形式： 欧拉公式
傅里叶级数的复指数函数表达形式：
傅立叶级数的复指数函数表达式表明：
周期信号x(t) 可分解成无穷多个指数分量之和； 而且傅立叶系数Cn完全由原信号x(t) 确定，因 此包含原信号x(t)的全部信息。
Cn称为 x(t) 的复振幅，Cn是关于nw 0 t 的复 变函。它的模和相角表示n次谐波的幅值和相 位信息
点； ——函数的极值点有限； ——函数是绝对可积的；
傅里叶级数的三角函数表达形式：
傅立叶级数的三角函数表达式表明：
——周期信号可以用一个常值分量a0和无限多 个谐波分量之和表示；
——A1cos(ω0t-ϕ1)为一次谐波分量（或称基 波），基波的频率与信号的频率相同，高次谐 波的频率为基频的整倍数。
振动信号处理
课程主要内容
0. 信号的分类与描述 一、离散傅立叶变换与频谱分析 二、细化选带频谱分析、功率谱及其应用 三、包络分析及其应用 四、短时傅利叶变换 五、Wigner-Ville 分布及其应用 六、小波变换及其应用 七、Hilbert-Huang 变换及其应用 八、时间序列分析
波形图：时间为横坐标的幅值变化图，可计算信号的 均值、均方值、方差等统计参数。
信号的频域描述
应用傅里叶变换，对信号进行变换（分解），以频率
为独立变量，建立信号幅值、相位与频率的关系 频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图幅值谱： 幅值—频率图功率谱：功率—频率图相位谱：相位—
教学目的
了解各种信号处理方法的特点 能够根据实际情况正确使用信号处理方法
一、信号的分类及描述
信号: 定义为一个或多个独立变量的函数, 该函 数含有物理系统的信息或表示物理系统状态或 行为
信号表示：数学解析式、图形 信息: 表示对一个物理系统状态或特性的描述。
振动信号分类
机械振动
1）周期信号：按一定时间间隔重复出现的信 号x(t)=x(t+nT)
2）非周期信号：不会重复出现的信号
准周期信号:由多个周期信号合成，但各信号周期没有最小公倍数。 如：x(t) = sin(t)+sin(√2.t)
3)随机信号：不能用数学式描述，其幅值、相 位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机 过程。
以一个正弦函数为例
取时间窗函数u(t)为矩形截断函数，即：
实际得到的时间和频谱函数为：
消除泄漏的方法
加主瓣宽度窄、衰减快的窗函数： 例一：海宁窗函数：
用于减小泄漏的时间窗函数很多，可根据 需要选用不同的时间窗函数。 (1) 主辨宽度尽可能小。 (2) 旁瓣高度与主瓣的高度之比 尽可能小，旁瓣衰减快。
连续时间信号与离散时间信号
1) 连续时间信号:在所有时间点上有定义,幅值可连续或 离散（模拟信号、量化信号）
2）离散时间信号：在若干时间点上有定义,幅值可连续 或离散（采样信号、数字信号）
信号的描述
信号的时域描述：
以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征，反 映信号幅值随时间变化的关系
X (k) X (N k)
argX (k) argX (N k)
离散傅里叶变换与频谱分析
T 时域采样间隔 fs 时域采样频率 T0 信号记录长度 F0 （频率分辨率）频域采样间隔 N 采样点数 fh 信号最高频率
wenku.baidu.com
信号采样参数的关系
fs 2 fh T0 1/ F0 fs 1/ T fs NF0 T0 NT
连续时间、连续频率—傅里叶变换
X ( j) x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而时域的非周期造成频域是连续的谱 密度函数。
连续时间、离散频率—傅里叶级数
X
(
jk
0
)

1 T0
T0 / 2 x(t)e jk0tdt
1.2离散富里叶变换
1。信号的离散化 取样： 将连续信号变成离散信号有各种取样方法，其
中最常用的是等间隔周期取样，即每隔固定时 间T取一个信号值，如图2-1所示。其中T称为 取样周期，T的倒数称为取样频率或取样率。 记为
fS=1/T
前置预 滤波器
PrF
x(n)
y(n)
A/D 变换器