拉普拉斯变换及其曲面图
拉普拉斯变换及反变换.ppt
机械工程控制基础
一、拉普拉斯变换 1. 定义 Laplace 正变换 F (s)
拉普拉斯变换及反变换
1 j st F ( s ) e ds Laplace 反变换 f (t ) j 2j ( t 0)
0
0
— —
表示为：
f (t )e dt
st
F(s)=ℒ[f(t)] f(t)=ℒ -1[F(s)]
df ( t ) 则 ℒ[ ] sF ( s ) f (0 ) dt 2 d f (t ) 2 ] s F ( s ) sf ( 0 ) f ( 0 ) ℒ [ 2 dt
机械工程控制基础
•例3 某动态电路的输入—输出方程为
拉普拉斯变换及反变换
d2 d d r ( t ) a r ( t ) a r ( t ) b e (t ) b0 e (t ) 1 0 1 2 dt dt dt
0
1 sa
机械工程控制基础
3. f (t ) (t ) （单位脉冲函数）
0 (t 0) (t ) (t 0)
δ(t)
拉普拉斯变换及反变换
(t )dt 1
0
t
ℒ [ ( t )]
0
( t )e st dt 0 (t )dt
u(t) t
F(s)=
1 st 0 e dt e 0 s
st
0
1 s
机械工程控制基础
2. f (t ) eat u(t ) (指数函数)
0 （t 0） f (t ) t e （t 0）
拉普拉斯变换PPT课件
9.2 拉普拉斯变换的性质
9.2.1 线性性质 设 ℒ f1(t) F1(s) ℒ f2 (t) F2 (s) , 为常数则
ℒ f1(t) f2 (t) F1(s) F2 (s)
ℒ 1 F1(s) F2 (s) f1(t) f2 (t)
9.2.2 相似性质
tn
n! s n 1
例6 求正弦函数 f (t) sin k t (k R) 的拉氏变换
解 ℒ f (t) sin k t estdt 1 sin k t dest
0
s0
1 s
e s t
sin
k
t
0
k
0
est
cos
k
tdt
1 s2
0
est
cos
k
tdt
则
0
第9章 拉普拉斯变换
9.1 拉普拉斯变换的概念 9.2 拉普拉斯变换的性质 9.3 拉普拉斯逆变换 9.4 拉氏变换的应用及综合举例
§9.1 拉普拉斯变换
§9.1.1 拉普拉斯变换的概念
定义1 设函数 f (t)当 t 0 有定义,而且积分
f (t) estdt (s是一个复参量） 0
f (n1) (0)
特别地,当 f (0) f (0) f (0)
ℒ f (n) (t) snF (s)
可以证明
ℒ (n) (t) sn
f (n1) (0) 0 时,
（2）象函数的微分性质
若 ℒ f (t) F (s), 则
F(s) ℒ tf (t)
从而 ℒ tf (t) F(s)
例7
求函数
u(t
b)
0 1
t b (b 0) 的拉氏变换
8种常见的拉普拉斯变换，想搞不懂都难！
8种常见的拉普拉斯变换，想搞不懂都难！拉普拉斯变换（拉⽒变换）是⼀种解线性微分⽅程的简便运算⽅法，是分析研究线性动态系统的有⼒数学⼯具。
简单点说，我们可以使⽤它去解线性微分⽅程，⽽控制⼯程中的⼤多数动态系统可由线性微分⽅程去描述，因此拉⽒变换是控制⼯程领域必不可少的基础。
什么是拉⽒变换呢？⾸先，我们来看⼀下拉⽒变换的定义——设时间函数为f(t),t>0,则f(t)的拉普拉斯变换定义为:其中，f(t)称为原函数，F(s)称为象函数。
⼀个函数可以进⾏拉⽒变换的充要条件为：(1)在t<0时，f(t)=0;(2)在t≥0的任⼀有限区间内,f(t)是分段连续的；(3)当t→﹢∞时,f(t)的增长速度不超过某⼀指数函数，即：接下来为⼤家介绍⼏种常见的时间常数拉⽒变换，⼤家在看下⾯⼏种时间常数拉⽒变换的时候可将⼏个时间常数与这三个条件⼀⼀对应，有助于理解记忆。
1、单位脉冲函数单位脉冲函数数学表达式为：其对应的图像为：我们来看⼀个脉冲信号:从图中可看出，脉冲函数就像脉冲信号⼀样，在时间的⼀个微段dt内，信号强度快速增长，可达到⽆穷⼤，⽽单位脉冲函数指的是其微段dt与增长的⾼度的乘积为1，即h(dt)=1。
其拉⽒变换为:该函数有⼀个重要性质：f(t)为任意连续函数，当f(t)=e^(-st)时，该性质即可看为单位脉冲函数的拉⽒变换。
2、单位阶跃函数单位阶跃函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：3、单位斜坡函数单位斜坡函数的数学表达式为：函数图像为：其拉⽒变换为：其被积函数为幂函数与指数函数乘积，使⽤分部积分法求解（反对幂三指），这只是推到过程，我们使⽤的时候只需记住t的拉⽒变换为1/s^2即可。
4、单位加速度函数单位加速度函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：求解过程与单位斜坡函数的拉⽒变换求解过程相同，这⾥只需记住1/2T^2的拉⽒变换为1/s^3。
5、指数函数指数函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：求解过程为凑微分法。
《拉普拉斯变换 》课件
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换分析其极点和零点，可以判断系 统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系统稳定；否则系统 不稳定。
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SUMMAR Y
05
总结与展望
拉普拉斯变换的重要性和应用前景
拉普拉斯变换在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决线性常微分方程 、积分方程、偏微分方程等数学问题的有力工具。
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03
拉普拉斯变换的运算技 巧
积分性质的运用
积分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么对于任意常数a，函数f(at)的拉普 拉斯变换为aF(as)。
应用场景
在求解某些物理问题时，可能需要将 时间变量乘以常数，此时可以利用积 分性质简化拉普拉斯变换的运算。
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《拉普拉斯变换》 PPT课件
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SUMMARY
目录
CONTENTS
• 拉普拉斯变换的基本概念 • 拉普拉斯变换的应用 • 拉普拉斯变换的运算技巧 • 拉普拉斯变换的实例分析 • 总结与展望
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SUMMAR Y
随着科学技术的发展，拉普拉斯变换的应用 领域也在不断拓展，例如在人工智能、机器 学习、数据科学等领域中的应用前景值得关 注。
未来需要进一步加强拉普拉斯变换 的理论研究，提高其在实际问题中 的应用效果，同时探索新的应用领 域，推动科学技术的发展。
拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表.ppt
2.2.2 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变 换存在的条件： ① 当t≥0时，f(t) 分段连续，只有有限个间断点； ② 当t →∞时，f(t) 的增长速度不超过某一指数函数，即
f (t ) Meat
式中：M、a为实常数。
在复平面上，对于Res >a的所有复数s (Res表示s的实部)都 使积分式绝对收敛，故Res >a是拉普拉斯变换的定义域， a称 为收敛坐标。
1 jt -jt st Lsin t sin t e dt e e e dt 0 2j 0 1 - ( s-j ) t -( s j ) t 1 1 1 e e dt 2 2j 0 2 j s-j s j s 2
st
0
1 2 s
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(4) 指数函数
指数函数表达式：
f (t ) e at
式中：a是常数。 其拉普拉斯变换为：
Le
at
0
e e dt e
at st 0
( s a ) t
1 dt sa
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
若：函数 f(t) 各重积分的初始值均为零，则有
(n)
1 f (t )dt n F ( s) s
注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利 用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。
2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质 (5) 终值定理 若： L f (t ) F (s)
df (t ) L sF ( s) f (0) dt df (t ) 证明： df (t ) st st L e d t e df (t ) 0 dt 0 dt
第3章 拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版
6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、 线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉 氏变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质，收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则 即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换
拉普拉斯变换-PPT
1
i
s2
2
(Re s 0)
ℒ
[cost] 1 ℒ [eit ] ℒ
2
[eit ]
s
s2 2
(Res 0)
二 原函数导数定理:
ℒ [ f '(t)] sF (s) f (0)
ℒ [ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f '(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
t0
s
十二 终值定理
设L[ f (t)] F (s),且 lim f (t)存在，或 t0
sF (s)的奇点位于 Re s 0的平面上，则
F () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
例1（P205例10.3.4）
求积分正弦函数Si (t)
t sin d的拉氏变换。 0
例2（P206例10.3.5）
二 Laplace变换的存在条件 1 Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上， 除了有限个第一类间断点外，函数f(t)
及其导数是处处连续的。
（2） 存在常数 M > 0 和 0，使对 于任何t (0 t < ), 有
f (t) Met即 f (t)et M
绝对可积的条件
| f (x) | dx
3）在整个数轴上有定义
实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多 函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃， 线性函数等；另外，在无线电技术中，函数 往往以t作为自变量，t<0无意义。
2 拉普拉斯变换研究的对象函数
1）函数满足这样的条件:
a) t<0时，f(t)=0
数学基础-拉普拉斯变换PPT课件
es F (s)
f (t )
t
拉氏变换性质
(d)微分定理
L[df (t)] L[ f '(t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
L[
f
''(t )]
s2F(s)
sf
(0)
f
'(0)
f (0)
其中：
f (t)
t 0
f '(0) f '(t) t0
1
(t)dt 1(t 0)
f(t)
0 L[ (t)]
(t )estdt
lim 1estdt (t)0(t 0)
0
0 0
t
eL[e ] lim 1 (1 S) lijmt(1
0 S
0
(2)单位阶跃函数u(t)
e( S)'
S
)'
s
11 j
f(t)
L[u(t)]
0
10
21 [
e
0
[
( s j
e(s
)t dt
j )t dt
2 j 0
e ( s j )t dt ]
0
e( s j )t dt ]
21j[ 01
1
0
]
21 s j1 s j1
L[cost]
2 j [ss
s2 2
j
s
]
j
L[sint]
s2
2
拉普拉斯变换
（5）et sint，et sint，et cost，et cost
欧拉 e jt cost j sint
公式
拉普拉斯变换及其曲面图
>> x1=-0.2:0.01:0.2;>> y1=-0.2:0.01:0.2;>> [x,y]=meshgrid(x1,y1);>> s=x+i*y;>> fs=abs(1./s);Warning: Divide by zero.(Type "warning off MATLAB:divideByZero" to suppress this warning.) >> mesh(x,y,fs);拉普拉斯变换及其曲面图：>> x1=-0.2:0.01:0.2;>> y1=-0.2:0.01:0.2;>> [x,y]=meshgrid(x1,y1);>> s=x+i*y;>> fs=abs(1./s);>> mesh(x,y,fs);>> title('单位阶跃信号拉普拉斯变换曲面图');>> colormap(hsv);>> axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0,60]);>>绘制连续系统零、极点图：>> A=[1 3 4];>> p=roots(A)p =-1.5000 + 1.3229i-1.5000 - 1.3229i>> B=[1,2,5];>> q=roots(B)q =-1.0000 + 2.0000i-1.0000 - 2.0000i>> p=roots(A);>> q=roots(B);>> p=p';>> q=q';>> x=max(abs([p q]));>> x=x+0.1;>> y=x;>> clf>> hold on>> axis([-x x -y y]);>> axis('square')>> plot([-x x],[0 0])>> plot([0 0],[-y y])>> plot(real(p),imag(p),'x')>> plot(real(q),imag(q),'o')>> title('连续系统零极点图')>> text(0.2,x-0.2,'虚轴')>> text(y-0.2,0.2,'实轴')>>连续系统零、极点分析：>>>> p=p';q=q';f=1:2:3;w=f*(2*pi);y=i*w;n=length(p);m=length(q);if n==0yq=ones(m,1)*y;vq=yq-q*ones(1,lenght(w));bj=abs(vq);ai=1;elseif m==0yp=ones(n,1)*y;vp=yp-p*ones(1,length(w));ai=abs(vp);bj=1;elseyp=ones(n,1)*y;yq=ones(m,1)*y;vp=yp-p*ones(1,length(w));vq=yq-q*ones(1,length(w));ai=abs(vp);bj=abs(vq);endHw=prod(bj,1)./prod(ai,1);plot(f,Hw);title('连续系统幅频响应曲线') xlabel('频率w(单位:赫兹)')ylabel('F(jw)')>>。
2_拉普拉斯变换曲面图
2( s 3)(s 3) L( s ) 2 ( s 5)(s 10)
该信号的零点± 3，极点±j3.1623，5
Matlab拉普拉斯变换零极点对曲面图影响程 序
Matlab得到的图形
从图中可以 明显地看到 曲面图在s= ±j3.1623， 5有三个峰 点，对应着 极点的位 置；而在s= ± 3有两个 谷点
利用Matlab绘制信号f(t)=u(t)-u(t-2)的Laplace变 换的曲面图，观察曲面图在虚轴剖面上的曲线， 并将其与Fourier变换绘制的振幅频谱进行比较。 易得该信号的Laplace变换和Fourier变换：
用前面介绍的方法来绘制该信号的Laplace变换 的曲面图。为了更好的观察曲面图在虚轴剖面上 的，定义S平面实轴范围从0开始，并用view函 数来调整观察视角。
1 e 2 s L( s ) s
F () 2Sa()e j
Matlab绘制矩形信号Laplace变换曲面图程序
Matlab绘制矩形信号Fourier变换曲线程序
Matlab得到的图形：
可以直观的观察到Laplace和Fourier两个变换 的对应关系
拉普拉斯变换零极点分布对曲面图 的影响
1 L[u (t )] 我们知道， s 首先，用两个向量来确定S平面的横、纵坐标 的范围。例如： x1=-0.2:0.03:0.2 y1=-0.2:0.03:0.2 然后调用meshgrid()函数产生矩阵S，用该矩 阵表示绘制曲面图的复平面区域。 [x,y]=meshgird(x1,y1); s=x+i*y; 最后计算出信号的Laplace变换在这些样点的 值，用Mesh函数绘出其曲面。
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>> x1=-0.2:0.01:0.2;
>> y1=-0.2:0.01:0.2;
>> [x,y]=meshgrid(x1,y1);
>> s=x+i*y;
>> fs=abs(1./s);
Warning: Divide by zero.
(Type "warning off MATLAB:divideByZero" to suppress this warning.) >> mesh(x,y,fs);
拉普拉斯变换及其曲面图：
>> x1=-0.2:0.01:0.2;
>> y1=-0.2:0.01:0.2;
>> [x,y]=meshgrid(x1,y1);
>> s=x+i*y;
>> fs=abs(1./s);
>> mesh(x,y,fs);
>> title('单位阶跃信号拉普拉斯变换曲面图');
>> colormap(hsv);
>> axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0,60]);
>>
绘制连续系统零、极点图：
>> A=[1 3 4];
>> p=roots(A)
p =
-1.5000 + 1.3229i
-1.5000 - 1.3229i
>> B=[1,2,5];
>> q=roots(B)
q =
-1.0000 + 2.0000i
-1.0000 - 2.0000i
>> p=roots(A);
>> q=roots(B);
>> p=p';
>> q=q';
>> x=max(abs([p q]));
>> x=x+0.1;
>> y=x;
>> clf
>> hold on
>> axis([-x x -y y]);
>> axis('square')
>> plot([-x x],[0 0])
>> plot([0 0],[-y y])
>> plot(real(p),imag(p),'x')
>> plot(real(q),imag(q),'o')
>> title('连续系统零极点图')
>> text(0.2,x-0.2,'虚轴')
>> text(y-0.2,0.2,'实轴')
>>
连续系统零、极点分析：
>>>> p=p';
q=q';
f=1:2:3;
w=f*(2*pi);
y=i*w;
n=length(p);
m=length(q);
if n==0
yq=ones(m,1)*y;
vq=yq-q*ones(1,lenght(w));
bj=abs(vq);
ai=1;
elseif m==0
yp=ones(n,1)*y;
vp=yp-p*ones(1,length(w));
ai=abs(vp);
bj=1;
else
yp=ones(n,1)*y;
yq=ones(m,1)*y;
vp=yp-p*ones(1,length(w));
vq=yq-q*ones(1,length(w));
ai=abs(vp);
bj=abs(vq);
end
Hw=prod(bj,1)./prod(ai,1);
plot(f,Hw);
title('连续系统幅频响应曲线') xlabel('频率w(单位:赫兹)')
ylabel('F(jw)')
>>。