江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第二层次)专题11-圆锥曲线及基本问题
江苏省南京市高三数学二轮专题复习(第一层次)专题12圆锥曲线的综合问题 Word版含答案
专题12：圆锥曲线的综合问题(两课时)班级 姓名．一、前测训练1．(1)点A 是椭圆x 236＋y 220＝1的左顶点，点F 是右焦点，若点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，满足PA ⊥PF ，则点P 的坐标为．(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为．答案：(1)(32，523)．(2)6．2．(1)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P在椭圆C 上，且OP ⊥AF ，延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，则椭圆C 的离心率为．(2)已知椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，与右焦点F 相应的准线l 与x 轴相交于点A ，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点．设→AP ＝λ→AQ (λ＞1)，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ， 证明：→FM ＝λ→QF ．(3)过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 答案：(1)22；(2)略；(3)22．3．(1)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是．(2)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4，O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，则线段AB 长度的最小值为． 答案：（1）62；（2）22．二、方法联想1．椭圆上一个点问题方法1：设点. ①设点(x 0,y 0)代入方程、列式、消元；②设点(a cos θ,b sin θ) 方法2：求点. 代入方程、列式、求解． 注意考虑x 0(或y 0)的取值范围．变式：如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF .求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP .答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明) 2．直线与椭圆相交于两点问题①已知其中一点坐标(x 0,y 0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；②两点均未知方法1 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)． 注意：(1)设直线方程时讨论垂直于x 轴情况；(2)通过△判断交点个数；(3)根据需要也可消去x 得关于y 的方程．结论：弦长公式 ｜AB ｜＝｜x 1－x 2｜＝k 2))｜y 1－y 2｜． 方法2 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，通过已知条件建立x 1、y 1与x 2、y 2的关系，消去x 2、y 2解关于x 1、y 1的方程组（或方程）．方法3 点差法设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－×x 1＋x 2y 1＋y 2， 即k AB ＝－×x 0y 0，其中AB 中点M 为(x 0，y 0)．注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题．变式：(1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，长轴长为4.过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q .①若直线l 的斜率为12，求APAQ的值；②若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．答案：①56；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)(2)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．答案：863. (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系，求直线斜率)3.圆锥曲线的最值与范围问题(1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．(2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．变式：已知椭圆C ：x 26＋y 22＝1设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．答案： T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)． (求取最值时的条件) 4.定值问题方法1 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．方法2 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．定点问题方法1假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；方法2从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．三、例题分析例1：椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，P 为椭圆C 上任意一点．已知PF 1→•PF 2→的最大值为3，最小值为2． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于点M ，N 两点（M ，N 不是左、右顶点），且AM→•AN →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．答案：（1）椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． （2）直线l 过定点（27，0）．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．与椭圆上动点有关的最值问题，动点的坐标满足方程，且该点的横、纵坐标有范围． 2．建立目标函数，研究给定定义域的二次函数的值域． 3．解二元二次方程组，二次函数的零点式．4．以已知两点为直径的圆的方程（渗透求圆方程的另一种方法）． 5．向量数量积的应用，定义法、坐标法和基底法．6．研究动直线过定点的方法，待定系数法探求和特殊化探究证明． 二、方法选择与优化建议：1．直角坐标系下研究向量问题，往往坐标形式比较简单．2．由于直接求M ，N 两点的坐标比较困难（求也可以，由于方程中字母较多，运算较为复杂），所以将条件AM →•AN →＝0理解成点A 在以MN 为直径的圆上，从而找到m 与k 的关系．例2：在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，右准线l ：x ＝m ＋1与x 轴的交点为B ，BF 2＝m .(1) 已知点⎝⎛⎭⎫62，1在椭圆C 上，求实数m 的值；(2) 已知定点A (－2，0)．①若椭圆C 上存在点T ，使得TATF 1＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围；②当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM 、BM 分别与椭圆C 交于另一点P 、Q ，若AM →＝λAP →，BM →＝μBQ →，求证：λ＋μ为定值．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．求椭圆方程，椭圆的几何性质．2．轨迹方程，圆的第二定义(阿波罗尼斯圆)． 3．离心率取值范围． 4．向量的运算．5．直线与椭圆的位置关系． 6．定值问题．二、方法选择与优化建议：①根据第(1)问可知 c ＝1，且椭圆方程为x 2m ＋1＋y 2m ＝1，为此，求离心率的取值范围只要求出m 的范围则可．由A ，F 1是两个定点，且TATF 1＝2，可知点T 是圆上的点，再根据点T 在椭圆上，可求出点T 的坐标，根据椭圆中x ，y 的范围，可得到m 的范围，进而求出离心率的取值范围．②分析1：由向量条件AM →＝λAP →，BM →＝μBQ →，联想到向量的坐标表示，将点M ，P ，Q 的坐标设出来，利用点M ，P ，Q 在椭圆上，可得到点M ，P ，Q 的坐标与λ，μ的关系，通过点M 来联系点P ，Q ，就可得到λ＋μ的值．分析2：设点M 的坐标，以此作为“已知量”，由直线AM 与椭圆方程联立成方程组，解出点P 的坐标，再根据AM →＝λAP →，将λ表示为点M 的坐标形式，同理，将μ表示为点M 的坐标形式，这样λ＋μ就可表示为M 的坐标形式，利用点M 在椭圆上来化简得到答案．例3：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率e ＝32，A 1，A 2分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆A 2的半径为a ，过点A 1作圆A 2的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． (1)求直线OP 的方程； (2)求PQQA 1的值；(3)设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于E 点B ，C ，分别交圆A 2于点M ，N ，记△OBC 和△OMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1·S 2的最大值． 答案：(1)直线OP 的方程为y ＝3x ．(2)PQ QA 1＝34．(3)S 1·S 2的最大值为a45． 一、主要问题归类与方法：1．椭圆的基本量及基本概念．2．圆的切线的平面几何性质，解直角三角形．3．求两直线的交点，直线与椭圆的交点，直线与圆的交点，已知一个交点的情况下求另一个交点．4．同一直线上的两条线段之比转化为相关点的某一坐标之比． 5．基本不等式求最值的函数类型，并会用基本不等式求最值． 二、方法选择与优化建议：1．解析几何特别是与圆有关的研究结合平面几何的相关性质，往往可以简化运算过程． 2．将同一直线上的两条线段之比转化为相关点的某一坐标之比． 3．理性思考计算中的一些技巧，避免重复计算． 4．掌握基本不等式求最值的函数类型的本质特征．四、反馈练习1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为．答案：43(考查抛物线的方程及其几何性质，直线与抛物线相切问题)2．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为． 答案：x ±2y ＝0 (考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线方程)3．由椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点作倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点．则OA →·OB →． 答案：－13(考查直线与椭圆的交点问题，向量的数量积)4．已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点． 答案：(1，0)(考查抛物线的定义，直线与圆相切，定点问题)5．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为．答案：(1，2)(考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)6．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围为[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是．答案：[38，34] (考查椭圆的几何性质，定值问题，函数的值域)7．已知点A (0，2)，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 做l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝_________． 答案：2(考查平面图形的几何性质，抛物线的定义、方程)8．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba ＝______答案：1＋2(考查抛物线的几何性质，抛物线的定义、方程)9．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x ＞0)图象上一动点,若点PA之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为答案：－1或10(考查两点距离，函数的最值问题)10．如图，双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2．若以A 1A 2为直径 的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ． 则菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝．答案：2＋52(考查双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算)11．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交l 于点A ，交⊙M 于另一点B ，且AO ＝OB ＝2． （1）求⊙M 和抛物线C 的方程；（2）若P 为抛物线C 上的动点，求PM →·PF →的最小值； （3）过l 上的动点Q 向⊙M 作切线，切点为S ，T ．求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．答案：(1)⊙M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，抛物线C 的方程为y 2＝4x ； (2)PM →·PF →的最小值为2；(3)定点坐标为(23，0)．(考查求圆与抛物线的方程，最值与曲线过定点问题)12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，直线l ：y＝12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝25，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ，连结MN .(1) 求a ，b 的值；(2) 求证：直线MN 的斜率为定值．答案：(1) 6，3;(2)－1(考查求直线与椭圆的位置关系，定值问题)13．设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1OA ＋1OF ＝3eFA ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围.答案：（1）x 24＋y 23＝1 ; （2）(－∞,－64]∪ [64,＋∞) (考查) (考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，取值范围问题)14．如图，在平面直角坐标系xOy 中椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c ，已知点(1,e )和(e ,32)都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率。
江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第二层次)专题4_导数及其应用
专题4：导数及其应用班级 姓名一、前测训练1． (1)曲线x x y ln =在点(1，0)的切线方程为 ．(2)曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 过点(0，0)的切线方程为 ． 答案：(1) 1-=x y ． (2)y ＝2x 或y ＝－14x ．2．（1）函数f (x )＝2x 2－ln x 的减区间为 ． （2）函数321()4(3,)3f x x ax =--+∞在上是增函数，则实数a 的取值范围为 ． 答案：(1)(0,12)．(2)a ≤32．3．求下列函数极值(或最值)：(1) f (x )＝x ln x (2)f (x )＝sin x －12x ，x ∈[－π2，π2]答案：(1)当x ＝1e 时，f (x )取极小值－1e．(2) 当x ＝－π3时，f (x )取最小值π6－32．当x ＝π3时，f (x )取最大值32－π6．4．已知函数f (x )＝ax 2－ln x －1(a ∈R )，求f (x )在[1，e ]上的最小值． 答案：当a ≤12e 2时，f (x )在[1，e ]上的最小值为f (e)＝a e 2－2．当12e 2＜a ＜12时，f (x )在[1，e ]上的最小值为f (12a )＝12(ln2a －1)． 当a ≥12时，f (x )在[1，e ]上的最小值为f (1)＝a －1．5．若不等式ax 2＞ln x ＋1对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 答案：a ＞e26．已知f (x )＝ax 2，g (x )＝ln x ＋1，若y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有两个交点，求实数a 的取值范围． 答案：(0, e2)二、方法联想1．切线方程涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则另设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件．注意 (1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点．(2)用导数求解切线问题：①切点处的导数等于切线斜率；②切点既在切线上；③切点也在曲线上．变式1函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，求,a b 的值答案：a ＝2，b ＝1（已知切线方程求参数） 变式2题目：在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线)0(2>=x x y 和)0(3>=x x y 均相切， 切点分别为),(11y x A 和),(22y x B ,则21x x 的值是 答案 43．解析：由题设函数y ＝x 2在A (x 1，y 1)处的切线方程为：y ＝2x 1 x －x 12， 函数y ＝x 3在B (x 2，y 2)处的切线方程为y ＝3 x 22 x －2x 23．所以⎩⎨⎧2x 1＝3x 22x 12＝2x 23，解之得：x 1＝3227，x 2＝89． 所以x 1x 2＝43． （已知两曲线的公共切线，求切点） 变式3 曲线)0(1<-=x xy 与曲线x y ln =公切线（切线相同）的条数为 . 答案：1（求两曲线的公切线条数） 变式4已知函数()323f x x x =-，若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围答案：()3,1t ∈--解：设切点坐标()00,x y ，切线斜率为k ，则有()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 切线方程为：()()()3200002363y x x x x x --=-- 因为切线过()1,P t ，所以将()1,P t 代入直线方程可得：()()()32000023631t x x x x --=--()()()23000063123t x x x x ⇒=--+-233320000000636323463x x x x x x x =--++-=-+-所以问题等价于方程3200463t x x =-+-，令()32463g x x x =-+-即直线y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点()()'21212121g x x x x x =-+=--令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞单调递减，在()0,1单调递增()()()()11,03g x g g x g ==-==-极大值极小值所以若有三个交点，则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时，过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切 （已知公切线条数，研究参数的范围） 2．函数单调性(1)如果在某个区间上f ′(x )＞0，那么f (x )为该区间上的增函数； 如果在某个区间上f ′(x )＜0，那么f (x )为该区间上的减函数．(2)如果f (x )在某个区间为增函数，那么在该区间f ′(x )≥0；(f ′(x )不恒为0) 如果f (x )在某个区间为减函数，那么在该区间f ′(x )≤0．(f ′(x )不恒为0) 注意 求单调区间前优先求定义域；单调区间不能用“∪”，用“，”或“和”． 变式1、已知f (x )＝2ax －1x－(2＋a )ln x (a ≥0)．当a ＞0时，讨论f (x )的单调性．答案：f ′(x )＝2a ＋1x 2－(2＋a )1x ＝2ax 2－(2＋a )x ＋1x 2＝(2x －1)(ax －1)x 2.①当0＜a ＜2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1a 上是减函数；②当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；③当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，12上是减函数．（已知导数等于0的两个根，求单调性） 变式2、若函数()21ln 12f x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围_______________ 答案：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭（不单调，求参数的范围）变式3、定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 ．),0(+∞(确定函数单调性)3．函数极值(或最值)求解步骤：①求函数的定义域；②求f ′(x )＝0在区间内的根；③讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值．④将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值．变式1、已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是_____． 答案：(－1,0)解答：因为f (x )在x ＝a 处取到极大值，所以x ＝a 为f ′(x )的一个零点，且在x ＝a 的左边f ′(x )＞0，右边f ′(x )＜0，所以导函数f ′(x )的开口向下，且a ＞－1，即a 的取值范围是(－1,0)． （已知极大（小）值点，求参数范围）变式2、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是______． 答案 (3，2)解答：由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a2－4×3×1>0，－1<－2a 6<1，f －1＝3－2a ＋1>0，f ＝3＋2a ＋1>0，又a >0，解得3<a <2.（已知极值点范围求参数范围）变式3、 已知函数23221)(,ln )(2-+-==x x x g x a x f ，对任意的[)+∞∈,1x ,都有)()(x g x f ≥恒成立,则实数a 的最小值是______．答案：1(要注意到)1()1(g f =)4．极值(或最值)的分类讨论（1）分类讨论根据f ′(x )＝0解（判断为极值点）的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、中、右”，对四种分类标准进行取舍(或合并)；（2）注意数形结合．变式1、设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋a －1x －3（a ∈R ）．求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的单调增区间。
江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习第一层次专题10直线与圆、圆与圆 含答案 精品
专题10：直线与圆、圆与圆（两课时）班级 姓名一、课前测试1．(1)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 ．(2) 已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线y ＝2x ＋1上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是 ______.答案：(1) (x ±32) 2＋y 2＝254;(2) ⎝⎛⎭⎫x ＋132＋⎝⎛⎭⎫y －132＝19 2．(1)过点P (1，0)作圆C ： (x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A 、B ，则切线方程为 ；切线长PA 为 ；直线AB 的方程为 ．(2)经过点A (4，－1)，且与圆：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0相切于点B (1，2)的圆的方程为 ．(3)圆C 1:x 2＋y 2＝16与C 2:(x －4)2+(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直,则r＝ ．答案：(1) x ＝1或5x ＋12y －5＝0；2；3x ＋2y －7＝0． (2)(x －3)2＋(y －1)2＝5．(3)33．(1)已知过定点P (1，2)的直线l 交圆O ：x 2＋y 2＝9于A ，B 两点，若AB ＝42，则直线l 的方程为 ；当P 为线段AB 的中点时，则直线l 的方程为 ．(2) 已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(－1，4)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ．(3)圆C ：x 2＋(y －2)2＝R 2(R ＞0)上恰好存在2个点，它到直线y ＝3x －2上的距离为1，则R 的取值范围为 ．答案：(1)x ＝1或3x －4y ＋5＝0；x ＋2y －5＝0．(2)30; (3)1＜R ＜3．4．(1)已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若两圆相交，实数m 的取值范围为 ．(2)已知圆O 1：x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，圆O 2：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋6＝0，则两圆的公共弦长度为 ．答案：(1)－5＜m ＜－2或－1＜m ＜2;(2)4．5．(1)在平面直角坐标系xOy 中,点A (1,0),B (4,0)．若直线x －y ＋m ＝0上存在点P 使得P A ＝12PB ,则实数m 的取值范围是________． （2）满足条件AB ＝2, AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是 ．答案：(1) [－22,22]；（2) 2 2二、方法联想1． 圆的方程方法1：三点代入圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，求解D 、E 、F ．方法2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心．方法3：直角三角形外接圆的直径为斜边．优先判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，用方法3；若只涉及圆心，可用方法2；方法1可直接求出圆心和半径．变式：(1)平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ，则C 的方程是________．答案： x 2＋y 2＋2x －( b ＋1) y ＋b ＝0 (设而不求法求外接圆方程)(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点M (4,0)，过原点的直线(不与 x 轴重合)与圆O 交于A ，B 两点，则△ABM 的外接圆的面积的最小值为________．答案：254π(求外接圆半径的最值)2．相切问题(1)位置判断：方法1：利用d ＝r ；方法2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直．(2)如图，在Rt △PAC 中，切线长PA ＝PC 2－R 2；当圆外一点引两条切线时， (1)P 、A 、B 、C 四点共圆(或A 、B 、C 三点共圆)，其中PC 为直径；(2)两圆的方程相减可得切点弦的直线方程．(3)PC 为∠APB 的平分线，且垂直平分线段AB ．变式：(1)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案：(x －1)2＋y 2＝2．(已知直线与圆相切，圆心到直线的距离即为半径，求半径的最值)(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的长的取值范围是________．答案：[2314,22)(直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化)(3) 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围是__________．答案：[1，5] (∠BAC 最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题)3．相交弦问题直线与圆的位置关系判断方法： 代数法和几何法(1) 圆心角θ、弦长L 、半径R 和弦心距d 中三个量可以建立关系式．如：(L 2)2＋d 2＝R 2，d ＝R cos θ2，L 2＝R sin θ2．(2)相交弦的垂直平分线过圆心．(3)过圆内一定点，最长的弦为直径，最短的弦与过定点的直径垂直．变式：(1)直线l 1：y ＝kx ＋3与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的的取值范围是________．答案： [－33,33] (已知弦长范围，求参数取值范围) (2)过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ,B 两点,若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为________．答案：x ±3y ＋4＝0 (已知弦的性质，求直线方程)(3)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线交x 轴于C ，D 两点，若AB ＝23，则CD ＝ ．答案：4(已知弦长，求直线方程及有关量的取值)(4)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －6)2＝25，圆C 2：(x －17)2＋(y －30)2＝r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A ，B ，满足P A ＝2AB ，则半径r 的取值范围是________．答案：[5，55] (弦长的最值问题)两圆相交问题(1)两圆的方程相减可得相交弦的直线方程．(2)两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦．两圆相切问题两圆相切时，两圆圆心的连线过两圆的切点．变式：(1)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为________．答案：[－34,＋∞) (已知两圆位置关系，求参数取值范围)(2)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．答案： (－203,4) (已知两圆切线长的关系，求参数取值范围)5．阿波罗尼斯圆定义：已知平面上两点A 、B ，则所有满足PA PB ＝k (k ＞0且k ≠1)的点P 的轨迹是一个圆．(1)等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，腰AC 上的中线BD ＝2，则△ABC 面积的最大值为________．答案：83 (利用等腰三角形的性质得到AB ＝2AD ，则点A 是圆上动点，即求圆上动点到直线距离的最值)(2)点P 是圆C ：x 2＋y 2＝1上动点，已知A (－1,2)，B (2,0)，则PA ＋12PB 的最小值为________．答案：52(已知动点轨迹为圆，将12PB 转化为P 到一个定点的距离，即求动点到两个定点距离之和）(3) 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12,一个焦点到相应的准线的距离为3,圆N 的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2＋c 2(c 为半焦距),直线l ：y ＝kx ＋m (k >0)与椭圆M 和圆N 均只有一个公共点,分别设为A ,B ．点P 在圆N 上,且PB PA ＝22，则点P 的坐标为 ．答案：(－1,1)或(－913,1913)(已知动点到到两个定点距离之比为定值，求定点坐标)6．圆上点到直线距离问题(1)当直线与圆相离时，圆上点到直线距离，在点A 处取到最大值d ＋R ，在点B 取到最小值d －R ．(2)当直线与圆相交时，如图：优弧上点到直线距离，在点A 取到最大值d ＋R ，劣弧上点到直线距离，在点B 取到最大值R －d ．三、例题分析例1 已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，设点B ，C 是直线l ：x －2y ＝0上的两点，它们的横坐标分别是t ，t ＋4，点P 在线段BC 上，过P 作圆M 的切线PA ，切点为A ．(1)若t ＝0，MP ＝5，求直线PA 的方程；(2)经过A ，P ，M 三点的圆的圆心是D ，求线段DO 长的最小值L （t ）．答案：（1）直线PA 的方程是y ＝1或4x ＋3y －11＝0；（2）L (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 145t 2＋8t ＋16，t ＞－45255，－245≤t ≤－45145t 2＋48t ＋128，t ＜－245． 〖教学建议〗（1）主要问题归类与方法：1．直线与圆相切问题：①d ＝r ；②因为已知切点坐标，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直．2．三点外接圆问题：①三点代入圆的一般方程，求解D 、E 、F ；②三角形两边的垂直平分线交点过圆心；③直角三角形外接圆的直径为直角三角形斜边．3．二次函数最值问题：分类讨论对称轴与区间四种位置关系，并进行取舍和合并．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，因为不知道切点坐标，所以选择方法①．对于问题2，学生一般选择方法①或②，因为三角形为直角三角形，所以选择方法③更合理．CA CB A例2 已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，直线l ：x －2y ＝0．(1)求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2)在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PB P A为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标． 答案：(1) y ＝－2x ±35；(2) 存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任一点P ，都有PB P A 为常数35．〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．求直线方程问题：①待定系数法；②根据条件，找到直线上两点或一点及直线的斜率(或倾斜角)．2．直线与圆相切问题：①d ＝r ，②已知切点坐标时，所以利用圆心和切点的连线与切线垂直．3．定值问题：①根据特例，求出该定值，再进行证明；②设变量转化为方程(或不等式) 恒成立问题，再根据恒成立的条件求出该定值．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，用方法①，本题求解中需用到所求直线的方程．对于问题2，用方法①，本题中切点的坐标没有确定．对于问题3，用方法①，方法②均可．例3 已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .（1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线l :y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.答案：（1）（3,0）；（2）⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94( 53＜x ≤3);；（3）{－34,34}∪[－257,257]． 〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．确定圆：①利用圆的定义和几何性质确定圆心和半径；②设圆的方程，利用待定系数法确定圆的方程．2．求动点轨迹方程：①定义法②直接法③代入法④相关点法⑤参数法3. 直线与圆的位置关系4. 求参数取值范围①函数法②基本不等式③数形结合(2)方法选择与优化建议：对于问题1,由于圆的方程已知，直接化标准方程得圆心；对于问题2,与圆有关的问题，充分利用圆的几何性质，根据垂径定理得C 1M ⊥OM ，所以选择法①，根据定义可知点M 在以OC 1为直径的圆上，且点在圆C 1内，注意限制条件；对于问题3, 4,直线与圆的位置关系可通过代数法和几何法判定，但点M 的轨迹是圆的一部分。
江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习第一层次专题
专题1：基本初等函数（两课时）班级 姓名一、前测训练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥1，－x 2＋4，x ＜1，①若f (x )≥2，则x 的取值范围为 ．②f (x )在区间[－1，3]的值域为 ． 答案：①[－2，＋∞)；②[2，4]. 2．①若f (x 2＋1)＝x 2，则f (x )＝ ．②已知f [f (x )]＝9＋4x ，且f (x )是一次函数，则f (x )＝ ． 答案：①x －1(x ≥1)；②2x ＋3或－2x －9．3．①若二次不等式f (x )＜0的解集为(1，2)，且函数y ＝f (x )的图象过点(－1，2)，则f (x )＝ ．②已知f (x )＝－x 2＋2x －2，x ∈[t ，t ＋1]，若f (x )的最小值为h (t )，则h (t )＝ ．答案：①13x 2－x ＋23；②⎩⎨⎧－t 2＋2t －2，t ＜12－t 2－1， t ≥12．4．①已知2x 2＋x ≤(14)x －2，则函数y ＝(3)x 2＋2x 的值域为 ．②设log a 13＜2，则实数a 的取值范围为 ．③已知函数y ＝log 0.5(x 2－2x ＋2)，则它的值域为 ． 答案：①[33，81]；②(0，33)∪(1，＋∞)；③(－∞，0]． 5．①函数f (x )＝lg x －sin x 零点的个数为 ．②函数f (x )＝2x ＋x －4零点所在区间为(k ，k ＋1 )，k ∈N ，则k ＝ ． 答案：①3；②1.二、方法联想1．分段函数(与分段函数有关的解不等式与值域问题)．方法1：分类讨论，按分段区间进行分类讨论，最后汇总(求并集)；方法2：图象法，画出分段函数的图象，根据图象探讨不等式解集及值域问题．变式:已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，log 2x ＋1，x ＞1，则f [f (－1)]＝ ．答案：0．(考查分段函数求值问题)2．求函数解析式问题． 方法1：换元法、拼凑法； 方法2：待定系数法； 方法3：函数方程法．变式：已知f (x )－2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )．（答案:f (x )＝－x 2＋23x ，考查利用函数方程法求函数解析式） 3．与二次函数有关问题．(1) 求二次函数解析式问题: 方法:待定系数法:一般设为三种形式：①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．(2) 二次函数在给定区间内的值域与最值问题: 方法: 结合图象，分区间讨论．步骤: ①配方求对称轴（也可以用公式），画出草图(关注：对称轴，开口方向及给定区间)；②结合图象，由函数的单调性，求出最值．若对称轴在给定区间内，则考虑顶点及端点的函数值，若对称轴不在给定区间内，则最值为端点的函数值．4．与指(对)数、指(对)数函数有关问题: （1）指(对)数方程与不等式问题：方法1：转化为同底的指(对)数，利用指(对)数函数的单调性化简方程或不等式，与对数有关问题要注意定义域及转化过程中的等价性．方法2：利用换元法，转化为代数方程或不等式． 变式：解不等式lg 2x －lg x 2－3≥0．(答案：0＜x ≤110或x ≥1000，考查利用换元法解指(对)不等式)． （2）与指(对)数函数有关的值域问题，方法1：复合函数法，转化为利用指(对)数函数的单调性； 方法2：换元法，转化为基本初等函数的复合函数来求．5．函数零点的有关问题 (1)求函数的零点．方法：解方程f (x )=0，方程的根即为对应函数的零点．变式1: 若一次函数f (x )=ax ＋b 有一个零点为2，那么函数g (x )=bx 2－ax 的零点是 ．(答案：0和－12，考查求函数的零点)．(2)判断零点的个数问题方法1：解方程f (x )=0求出函数的零点，有几个解就有几个零点．方法2: 零点的存在定理．方法3：数形结合，函数零点与方程的根的关系进行转化，化为两个“恰当的函数”，根据函数图象的交点个数来判断函数零点个数． 注意 作函数图象的相对准确性和考虑特殊情况．(3)确定函数f (x )的零点所在区间问题 方法1：零点的存在定理； 方法2：图象法．变式2：函数f (x )＝2x ＋x －4零点所在区间为(k ，k ＋1 )，k ∈N ，则k ＝ ． (答案：1，考查确定零点所在区间) (4)零点是否存在问题：方法1：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，求不等式确定参数的范围，即解出x ＝x 0且满足x 0∈A （定义域）；方法2：分离参数转化为求值域；方法3：数形结合法，先对解析式变形，在同一坐标系中，画出函数图象，再数形结合求解．可能要用到一个结论：连续函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有f (a )f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上至少存在一个零点．反之不一定成立．推广：二次函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有f (a )f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上存在唯一一个零点．变式3：已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x ，x ＞0则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是 ．（答案：m ≤0或m ＞1，考查零点存在问题)三、例题分析例1.已知函数f (x )＝log a (8－2x )(a ＞0，且a ≠1).（1）当a ＝2时，求满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值范围； （2）当a ＞1时，求函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值. 答案：（1）实数x 的取值范围为[2，3).（2）函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值为log a 49. 〖教学建议〗（1）主要问题归类与方法： 1．解指(对)数不等式问题：方法：①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解． ②换元法：转化为整式不等式，指（对）数必须先注意值（定义）域． 2．与指(对)数有关的函数值域：方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理．②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题． （2）方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化为代数不等式，所以选择方法①．对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方便，所以选择方法①．指数函数、对数函数的单调性受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x ＞0”的定义域部分；二是第二问中函数y ＝f (x )＋f (－x )的定义域.例2.已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋30(a ∈R )的定义域为R ，求关于x 的方程x a ＋3＝|a －1|＋1的根的取值范围. 答案：取值范围为[94，18].〖教学建议〗（1）主要问题归类与方法：1．已知函数的定义域，求参数的范围：方法：与求函数的定义域的处理方法一致，将问题转化为已知不等式的解集，再利用对应方程的根已知，求参数的范围．2．分段函数的值域：方法：①利用函数的图象，求值域．②分别求每个区间的值域，再求并集．（2）方法选择与优化建议：对于问题2，学生一般会选择方法②，在解答题中，需要解题过程，所以选择方法②．本题的易错点是最后求得的x的取值范围应该两段函数的值域的并集.例3.已知函数f(x)＝a－1 |x|.（1）求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；（2）若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数y＝f(x)在[m，n]上的值域是[m，n](m≠n)，求实数a的取值范围．解：（1）f(x)在(0，＋∞)上为增函数．（2）a的取值范围为(－∞，3]．（3）a的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．〖教学建议〗（1）主要问题归类与方法：1．讨论函数的单调性问题：方法：①利用函数的图象；②复合函数的单调性；③利用函数单调性的定义．④利用导函数来求函数的单调区间．2．不等式恒成立问题：方法：①分离变量转化为求函数的最值．②直接求函数的最值，再解不等式；③利用函数的图象，观察临界情况，再进行相应的计算．3．已知函数的值域，求参数的取值：方法：借助函数的图象了解函数单调性，再根据函数的单调性找最值来处理． （2）方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题是证明函数的单调性，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，所以选择方法①．例4. 已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设h (x )＝f (f (x ))－c ，其中c ∈[－2，2]，求函数y ＝h (x )的零点个数． 解：（1）a ＝0，b ＝－3； （2）有9 个零点． 〖教学建议〗（1）主要问题归类与方法： 1．求函数的解析式问题:方法：待定系数法，换元法，函数方程法 2．讨论函数的零点个数问题：方法：解方程，图象法，零点的存在定理与单调性 （2）方法选择与优化建议：对于第1小题，是常规问题，方法也非常清楚——待定系数法。
江苏省13市2017届高三上学期考试数学试题分类汇编：圆锥曲线
江苏省13市2017高三上学期考试数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（南京市、盐城市2017届高三第一次模拟）设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒，则该双曲线的离心率为 ▲ .2、（南通、泰州市2017届高三第一次调研测）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 3、（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）2017届高三上学期期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，1B ，2B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若21B F AB ⊥，则椭圆C 的离心率是 ▲4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）若抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则实数a 的值为 ．5、（苏州市2017届高三上学期期末调研）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线16322=-y x 的离心率为6、（苏州市2017届高三上期末调研测试）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点),(11M 的直线l 与圆52122=-++)()(y x 相切，且与直线01=-+y ax 垂直，则实数=a ．7、（无锡市2017届高三上学期期末）设P 为有公共焦点12,F F 的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且12PF PF ⊥，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，若123e e =，则1e = . 8、（扬州市2017届高三上学期期中）抛物线)0(22>=p py x 的准线方程为21-=y ，则抛物线方程为9、（扬州市2017届高三上学期期中）双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，直线xy 34=与双曲线相交于A 、B 两点。
专题11 圆锥曲线基础检测2(解析版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练
椭圆 E 的焦点在 y 轴上，得 a 4 ， b 2 ， c a2 b2 2 3 ，故椭圆 E 的离心率 e c 3 . a2
（2）由（1）得椭圆 E 的标准方程为 y2 x2 1，设与直线 MN 平行且与椭圆相切的直线 l 方程为： y 2x m ， 16 4
）
9
A．6
B．3
C．1
D．2
【答案】D 因为椭圆 x2 y2 1 ，所以 b2 1，即 b 1，所以椭圆的短轴长为 2b 2 ， 9
4．抛物线 x2 1 y 的焦点坐标是（ ） 2
A．
0,
1 4
B．
0,
1 8
C．
0,
1 8
D．
0,
1 4
【答案】B 解：由题意，抛物线的焦点在 y 上，开口向下，且 2 p 1 ， p 1 . 2 28
.
故 y1 y2 y1 y2 2 4 y1 y2 16 4 16 4 5 .
所以 SAOB
1 2
OF
y1 y2
1 24 2
54
5 .则 AOB 的面积为 4
5.
11．已知双曲线
x2 a2
y2 3
1(a
0) 的离心率为 2，则 a （
）
小姚数学
A．2
B． 6 2
C． 5 2
D．1
（1）这组直线何时与椭圆有公共点？ （2）当它们与椭圆相交时，求这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程.
【答案】（1）截距在[ 13, 13] 范围内；（2） 9x 4 y 0 . （1）设平行直线的方程为 y x b ，若直线与椭圆有公共点，则：
将 y x b 代入 x2 y2 1，整理得：13x2 8bx 4b2 36 0 ， 49
江苏省南京市2017届高三综合复习数学试题+Word版含解析
．
－(n2－n)2＝4n3． 【说明】考查等差数列前 n 项和． 7．已知椭圆 C：mx2＋y2＝1 (0＜m＜1)，直线 l：y＝x＋1，若椭圆 C 上总存在不同的两点 A 与 B 关于直线 l 对称，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围 6 【答案】( 3 ，1)． 【提示】设 AB 中点 P，由中点弦问题可知 kAB•kOP＝－m，kAB＝－1，kOP＝m，联立直线 l 与 1 m 1 2 m 2 直线 OP 可得 P( ， )，由点 P 在椭圆内 m( ) ＋( ) ＜1 ， m－1 m－1 m－1 m－1 1 6 得 m∈(0，3)．离心率 e＝ 1－m∈( 3 ，1)． ．
【说明】考查点关于直线对称问题的处理方法及椭圆中点弦问题、点与椭圆位置关系．
11
*8．已知函数 f(x)＝(x－2)3，数列{an}是公差不为 0 的等差数列，若∑ f(ai)＝0，则数列{an}的
i=1
前 11 项和 S11 为 【答案】22
．
【提示】f(x)＝(x－2)3 为增函数，且关于点(2，0)中心对称，则 f(2＋x)＋f(2－x)＝0．设数列 {an}公差为 d，若 a6＞2，则 f(a6)＞0，f(a5)＋f(a7)＝f(a6－d)＋f(a6＋d)＞f(2－d)＋f(2
1－x2， －1＜x≤1， 10． 已知函数 f(x)是以 4 为周期的函数， 且当－1＜x≤3 时， f(x)＝ 若 1－|x－2|，1＜x≤3． N D M
．
C
t (x －2)， 1－2 0
A
B
函数 y＝f(x)－m|x|恰有 10 个不同零点，则实数 m 的取值范围为
．
1 【答案】(6，8－2 15) 【提示】作出函数 f(x)与 y＝m|x|的图象． 【说明】考查函数的零点，利用分段函数的性质与图象数形结合，分析两个函数图象的位置 关系．
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。
江苏省南京市高三数学二轮专题复习 解析几何
解析几何二轮复习建议引入坐标系，使点与坐标，曲线与方程联系起来的坐标方法对于数学发展起了巨大的作用。
用坐标法研究曲线（几何图形），实际上要解决两个问题：第一是由曲线（几何图形）求方程；第二是利用方程讨论曲线（几何图形）的性质。
由曲线求方程，要解决如何将曲线上的点所满足的条件转化为曲线上点的坐标所适合的方程；在解析几何里，所讨论的曲线的性质通常包括：曲线的范围，曲线的对称性，曲线的截距，以及不同曲线所具有的一些特殊性质，例如过定点，过定线，最值等一些不变（量）性。
用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。
坐标法是借助坐标系，以代数中数与式、方程的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法。
因此，要有一定的代数知识基础，特别是代数式变形和解方程组的能力要求较高。
以下解析几何二轮复习建议，仅供参考。
基本题型一：求基本量1．直线的几何量主要是斜率、倾斜角、截距；圆的几何量主要是圆心、半径。
这些量主要通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点出现．2．圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率。
在已知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a ，b ，c ，p 的值，二是记准相应量的计算公式．在已知图形中求有关量时，要明确各个量的几何意义和图形中的特征求方程或不等式求几何量．例1．直线l ：3x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则直线l 在x 轴上的截距_____． 解：因为⊙C 方程可化为(x －1)2＋y 2＝(3)2，所以圆心C (1，0)，半径r ＝3，因为直线l 与圆C 相切，直线C 到l 的距离等于r ，即∣3⋅1－1⋅0＋m ∣2＝3，解得m ＝－33或3．当m ＝3时，直线l 方程为3x －y ＋3＝0，在x 轴上的截距为－1； 当m ＝－33，直线l 方程为3x －y ＋－33＝0，在x 轴上的截距为3．例2．(2008天津）设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m ＞1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为___________解：根据椭圆定义得2a ＝1＋3，a ＝2，即m ＝2，b ＝m 2－1＝3，c ＝1，e ＝c a ＝12，根据第二定义得P 到右准线距离为2．例3．（2007安徽）如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为___________．解法一：不妨设OF 2＝1，因为OF 1＝OF 2＝OA ， 所以△AF 1F 2为直角三角形．所以AF 1＝1．所以2a ＝AF 2－AF 1＝3－1,又2c ＝2，所以e ＝ca＝3＋解法二：连接OA ，由△ABF 2为等边三角形，可得A 点的坐标为(－12c ，32c )． 因为A 在双曲线上，所以(－12c )2a 2－(32c )2b 2＝1，即14e 2－34e 2e 2－1＝1，去分母整理得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，e ＝3±1．因为e ＞1，所以e ＝3＋1．例4．（2008四川）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为____________．解：如图，过A 作AH ⊥l ，垂足为H ，由抛物线的定义可知，AF ＝AH ，又AK ＝2AF ，所以AK ＝2AH ，因为∠AHK ＝90︒，所以∠AKH ＝45︒，所以KH ＝AH ＝y A ．所以AF ＝y A ．即AF ⊥x 轴． 所以AF ＝FK ＝4，S △AFK ＝8．例5．（2010四川）椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．分析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等，FA PF =。
2017年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)
2017年高考数学—圆锥曲线（解答+答案）1.（17全国1理20.（12分））已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1，C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。
若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.2.（17全国1文20．（12分））设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.3.（17全国2理20. （12分））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4.（17全国3理20．（12分））已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线l 与圆M 的方程．5.（17全国3文20．（12分））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.6.（17北京理（18）（本小题14分））已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)P ,过点1(0,)2作直线l 与抛物线C 交于不同的两点,M N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.7.（17北京文（19）（本小题14分））已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B(2,0)，焦点在x ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点,M N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．8.17山东理（21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M e 的半径为MC ，,OS OT 是M e 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.9.（17天津理（19）（本小题满分14分））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程.10.（17天津文（20）（本小题满分14分））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .（ⅰ）求直线FP 的斜率； （ⅱ）求椭圆的方程.11.（17浙江21．（本题满分15分））如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13()()22P x y x -<<，.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求AP PQ ⋅的最大值.12.（17江苏17.（本小题满分14分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线12,l l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.参考答案：1.解：（1）由于34,P P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过34,P P 两点又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上 因此22211,1314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y += （2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k如果l 与x 轴垂直，设:l x t =，由题设知0t ≠，且||2t <，可得,A B的坐标分别为(,t t则1222122k k t t+=-=-，得2t =，不符合题设从而可设:(1)l y kx m m =+≠，将y kx m =+代入2214x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++而 12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=即222448(21)(1)04141m kmk m k k --++-=++ 解得12m k +=-当且仅当1m >-时，0∆>，于是1:2m l y x m +=-+， 所以l 过定点(2,1)-3.解：（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则000(,0),(,),(0,)N x NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r由NP =u u u r u u u r得00,x x y y ==因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y += 因此点P 的轨迹方程为222x y += （2）由题意知(1,0)F -设(3,),(,)Q t P m n -，则(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---=+-u u u r u u u r u u u r u u u rg ， (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r由1OQ PQ =u u u r u u u r g 得2231m m tn n --+-=又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=所以0OQ PF =u u u r u u u r g ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .4．解：（1）设1122(,),(,),:2A x y B x y l x my =+由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩可得2240y my --=，则124y y =- 又221212,22y y x x ==，故21212()44y y x x ==因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -==-g ，所以OA OB ⊥ 故坐标原点O 在圆M 上（2）由（1）可得21212122,()424y y m x x m y y m +=+=++=+故圆心M 的坐标为2(+2,)m m ，圆M的半径r =由于圆M 过点(4,2)P -，因此0AP BP ⋅=u u u r u u u r， 故1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=， 即121212224()2()200x x x x y y y y -+++++= 由（1）可得12124,4y y x x =-= 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-当1m =时，直线l 的方程为10x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M的半径为M 的方程为22(3)(1)10x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=5．解：（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设12(,0),(,0)A x B x ，则12,x x 满足220x mx +-=，所以122x x =- 又C 的坐标为（0,1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-，所以不能出现AC BC ⊥的情况 （2）BC 的中点坐标为21(,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=- 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-联立22,21()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩又22220x mx +-=，可得,212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以过A,B,C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --，半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A,B,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。
高考二轮复习圆锥曲线专题(共88张PPT)
F(1,0)，
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题型分类·深度剖析
题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → ＝λAQ →. 于 P、Q 两点，设AP (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； 1 1 (2)若 λ∈3，2，求|PQ|的最 大值．
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难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
基础知识·自主学习
要点梳理
2
难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
a．Δ > 0 时，直线和圆锥曲线相 交于不同两点； b．Δ ＝ 0 时，直线和圆锥曲线相 切于一点； c．Δ < 0 时，直线和圆锥曲线没 有公共点．
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2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|
1 10 1 当 λ＋ λ ＝ 3 ，即 λ＝3时，|PQ|2 有最大值 4 7 . 3 112 ，|PQ|的最大值为 9
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江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第三层次)专题1-基本初等函数
． ．
1 ②已知 f(x)=( )|x| , 则函数 f(x) 的值域为 2 答案：①[ 3 ，81]；②(0,1] 3
2 2
1 解析：①2x ＋x≤( )x－2即 2x ＋x≤2－2（x－2），则 x2＋x≤－2（x－2） ，－4≤x≤1，所以 x2＋2x∈[－1，8] 4 1 ②令|x|=t,t≥0,即考察 y=( )t（t≥0）的值域。或者考察 f(x)的图像。 2 5． ①lg25＋lg2lg50＝
南京市 2017 届高三二轮专题复习（第三层次）
专题 1：基本初等函数（两课时） 班级
一、前测训练
x＋1， x≥1， 1．已知函数 f(x)＝ 2 ，①若 f(x)≥2，则 x 的取值范围为 －x ＋4， x＜1
姓名
．②f(x)在区间[－1，3]的值域
为
．
答案：①[－ 2，＋∞)；②[2，4]. 解析：方法一:作出图像；方法二：分段讨论 2．①若 f(x2＋1)＝x2，则 f(x)＝ ．②已知 f[f(x)]＝9＋4x，且 f(x)是一次函数，则 f(x)＝ ；f(x)＝ ． ． 1 ③已知函数满足 2f(x)＋f( )＝x，则 f(2)＝ x
2
2 x
4 6 3 x ,则 f ( x ) 2 x x
.
答案： x 3x 4
2
(整体换元) 变式 2、若 2 f ( x) f ( x) x ,则 f ( x) 答案： f ( x) .
x 3
(函数代换) 3．二次函数 二次函数解析式求法 一般设为三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 二次函数最值求法 要求二次函数最值，必考察给定区间的单调性。即考虑两点：1.开口方向：开口向上或向下；2.对称 轴与给定区间的相对位置关系：分对称轴在给定区间的左边，在给定区间内，在给定区间右边三种情形。 变式1、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c图象的顶点为(-1，10)，且方程ax2+bx+c=0的两根的平方和为12， 求二次函数f(x)的解析式. 答案：f(x)=－2x2－4x+8 （求二次函数解析式） 变式2、函数f(x)=2x2－2ax+3在区间[-1，1]上的最小值记为g(a)，求g(a)的函数表达式及g(a)的最大值.
江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第二层次)专题12-圆锥曲线的综合问题
专题12：圆锥曲线的综合问题(两课时) 班级 姓名一、前测训练1．（1）点A 是椭圆x 236＋y 220＝1的左顶点，点F 是右焦点，若点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，满足P A⊥PF ，则点P 的坐标为 ．（2）若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为 ．答案：(1)(32，523)．(2)6．2．如果椭圆x 240＋y 210＝1的弦被点A (4，－1)平分，则这条弦所在的直线方程是 ．答案：y ＝x －5．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .(1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.答案：（1）x 22＋y 2＝1；（2）e ＝12． 二、方法联想1．椭圆上一个点问题 （1）设点的坐标，寻找第二个方程联立方程组，通过解方程组获得解． （2）设点的坐标，利用点在曲线上可以消去一个未知数，从而转化为函数问题，消元后要注意曲线上点的坐标的范围．变式：如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上,且OP ⊥AF .求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP .答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明)2．直线与椭圆相交于两点问题方法1 已知直线与椭圆两交点中的一个，直接求出另一个点坐标；方法2 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－B A ，x 1x 2＝CA ，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)．注意：(1)设直线方程时要注意直线垂直于x 轴情况；(2)通过△判断交点个数；(3)根据需要也可消去x 得关于y 的方程．结论：弦长公式 AB ＝1＋k 2｜x 1－x 2｜＝1＋1k2｜y 1－y 2｜． F 1 F 2O xyBC A方法3 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，通过已知条件建立x 1、y 1与x 2、y 2的关系，消去x 2、y 2解关于x 1、y 1的方程组（或方程）．方法4 点差法设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2，即k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0，其中AB 中点M 为(x 0，y 0)．注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题．变式：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，长轴长为4.过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q .①若直线l 的斜率为12，求APAQ的值；②若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．答案：①56；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)三、例题分析例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P (0，1)，Q (0，2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上． 答案：（1）椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1．（2）略．〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法：1．椭圆标准方程，椭圆中的离心率及椭圆的短半轴长等椭圆中的基本概念． 2．直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径． 3．两直线的交点．4．点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程． 二、方法选择与优化建议：解法一：很自然地设出点M ，N 的坐标，利用两直线相交求出交点T 的坐标，看它是否满足椭圆方程．解法二：可先设出点T 的坐标（x ，y ），利用两条直线方程，把M 或N 点的坐标表示出来，x y OTMP QN再代入椭圆方程，得出关于x ，y 的方程．本题解法二的计算量相对小一点．例2 如图，A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左右顶点，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，若椭圆C 的离心率为12，且右准线l 的方程为x ＝4．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 交l 于点P ，以MP 为直径的圆交直线MB 于点Q ，试证明：直线PQ 与x 轴的交点R 为定点，并求出R 点的坐标． 答案：（1）椭圆C 方程为x 24＋y 23＝1．（2）R 点的坐标为（－12，0）．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．椭圆标准方程，椭圆的右准线方程和离心率．2．k MA k MB ＝－b 2a2．3．两点式直线方程，两直线的交点，点斜式直线方程．4．直径所对的圆周角是直角，互相垂直的两条直线斜率之间的关系． 二、方法选择与优化建议：解析几何的解题要关注平面几何性质的运用，以简化运算．例3 如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)相切于点M (0，1)．⑴求椭圆T 与圆O 的方程;⑵过点M 引两条互相垂直的两直线l 1，l 2与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合).①若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，求d 21＋d 22的最大值； ②若3MA →·MC →＝4MB →·MD →，求l 1与l 2的方程． 解: (1)x 24＋y 2＝1，x 2＋y 2＝1．(2)①163，此时P (±423，－13)．②l 1：y ＝2x ＋1，l 2：y ＝－22x ＋1 或l 1：y ＝－2x ＋1，l 2：y ＝22x ＋1 〖教学建议〗1．主要问题归类与方法：（1）椭圆的基本量计算．（2）椭圆上点的坐标的设法及范围，直线与圆锥曲线相交，已知其中一个交点，求另一交点的坐标，利用相似比减少解析几何中的运算量 2．方法选择与优化建议：（1）问题2中，d 21＋d 22实际上就是矩形的对角线的平方，即PM 2．（2）问题3中，求出A ，C 点坐标后，直接用－1k 替换k ，得到B ，D 点坐标．或将3MA →·MC →＝4MB →·MD →转化为3(k 2＋1)x A x C ＝4(1k2＋1)x B x D ．四、反馈练习1．过椭x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则弦AB ＝________. 答案：553（考查：直线被椭圆截得的弦长）2．已知点A (2，0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝ ________. 答案：1∶5（考查：抛物线定义，直线与抛物线的交点）3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为________．答案：57（考查：椭圆离心率，椭圆的定义，解三角形）4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________. 答案：2（考查：双曲线的渐近线，双曲线与抛物线的关系）5．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则双曲线C 的方程是 ________.答案：x 24－y 25＝1（考查：双曲线中的基本量的计算） 6．抛物线y 2＝4x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是 ________. 答案：32 （考查内容：双曲线、抛物线中的基本量的计算）7．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为 ________. 答案：33（考查内容：椭圆离心率，椭圆的定义）8． O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为 ________. 答案：23（考查：圆与抛物线的交点，待定系数法）9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，B 是它的下顶点，F 是其右焦点，BF 的延长线与椭圆及其右准线分别交于P ，Q 两点，若点P 恰好是BQ 的中点，则此椭圆的离心率是___. 答案：33(考查：椭圆中基本量计算，椭圆的离心率) 10．已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________． 答案：x 2－y 23＝1 （考查内容：双曲线与抛物线中基本量之间的关系）11．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程． 答案：(1) y 216＋x 24＝1.(2) y ＝x 或y ＝－x .（考查：椭圆基本量的计算，待定系数法）12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； （3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程． 答案：（1）x 24＋3y 24＝1．（2）2．（3）x ＋y ＝0或x ＝－12．（考查：椭圆中的基本量计算，直线与椭圆的交点） 13．已知椭圆x 24＋y 29＝1上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，设点M 在PQ 上，且PM →＝2MQ →，点M 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点D (0，－2)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若OA ⊥OB ，求直线l 的方程． 答案： (1)曲线C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)直线l 的方程为y ＝±2x －2.（考查：点的轨迹，直线与椭圆的交点，根与系数的关系．）14．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点(m3，m )，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。
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专题1：基本初等函数班级 姓名一、前测训练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥1，－x 2＋4，x ＜1，①若f (x )≥2，则x 的取值范围为 ．②f (x )在区间[－1，3]的值域为 ． 答案：①[－2，＋∞)；②[2，4].2．①若f (x 2＋1)＝x 2，则f (x )＝ ．②已知f [f (x )]＝9＋4x ，且f (x )是一次函数，则f (x )＝ ．③已知函数满足2f (x )＋f (1x )＝x ，则f (2)＝ ；f (x )＝ ． 答案：①x －1(x ≥1)；②2x ＋3或－2x －9；③76，23x －13x ．3．①若二次不等式f (x )＜0的解集为(1，2)，且函数y ＝f (x )的图象过点(－1，2)，则f (x )＝ ．②已知f (x )＝－x 2＋2x －2，x ∈[t ，t ＋1]，若f (x )的最小值为h (t )，则h (t )＝ ．答案：①13x 2－x ＋23；②⎩⎨⎧－t 2＋2t －2，t ＜12－t 2－1， t ≥12．4．①已知2x 2＋x ≤(14)x －2，则函数y ＝(3)x 2＋2x 的值域为 ．②设log a 13＜2，则实数a 的取值范围为 ． 答案：①[33，81]；②(0，33)∪(1，＋∞).5． ①lg 25＋lg2lg50＝ ．②已知函数y ＝log 12(x 2－2x ＋2)，则它的值域为 ．③已知函数y ＝log 12(2－ax )在区间[)1,0上单调递增，则实数a 的取值范围为 ．答案：①1；②(－∞，0]；③(]2,0.6．①函数f (x )＝lg x －sin x 零点的个数为 ．②函数f (x )＝2x ＋x －4零点所在区间为(k ，k ＋1 )，k ∈N ，则k ＝ ． 答案：①3；②1.二、方法联想1．分段函数方法：分段函数，分段处理．变式1. 设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+= .答案：9（分段函数求值）变式2.设函数f (x )=⎩⎨⎧2x3－1，x ≥0，1x ，x ＜0，若f (f (b ))=-2，求实数b 的值.答案：b=34或-2.（已知函数值，求自变量的值） 变式3.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 答案：4（分段函数与方程）变式4.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-=01ln 022x x x x x x f ，若()f x a x ≥，则a 的取值范围是 .答案：[－2，0] （分段函数与不等式） 变式5、已知函数()2|ln |,041,0x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩，若关于x 的方程()()()20,f x bf x c b c R -+=∈有8个 不同的实数根，则b c +的取值范围是 ．答案：(0，3) （分段函数与零点）变式6、设函数,2)(2a x x x f -+=若2>a ,则函数)(x f 的最小值为 .(去掉绝对值转化为分段函数问题,分段函数的最小值是每段函数的最小值的较小值) 2．解析式求法方法1 换元法、整体代换法；方法2 待定系数法；方法3 方程组法． 变式1、若xx x x xx f 634)2(22+-+=-,则=)(x f .答案： 432+-x x (整体换元)变式2、若x x f x f =--)()(2,则=)(x f .答案：3)(x x f =(函数代换) 3．二次函数二次函数解析式求法一般设为三种形式：(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；(3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．二次函数最值求法求二次函数最值，根据其图像开口方向考虑对称轴与区间的相对位置关系，即左、中偏左、中偏右、右，再根据具体问题对四种情况进行合并(或取舍),本质是确定函数在相应区间上的单调性．变式1、已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c 图象的顶点为(-1，10)，且方程ax 2+bx+c=0的两根的平方和为12，求二次函数f (x )的解析式. 答案：f (x )=－2x 2－4x+8 （求二次函数解析式）变式2、函数f (x )=2x 2－2ax+3在区间[-1，1]上的最小值记为g (a )，求g (a )的函数表达式及g (a )的最大值.答案：，g (a )=225-23--2225-2 2.a a aa a a +<⎧⎪⎪≤≤⎨⎪>⎪⎩，，，，，（分段讨论，求二次函数的最值） 4．指数函数(1)指数方程与不等式问题关键是两边化同底．(2)与指数函数有关的值域问题，方法一：复合函数法，转化为利用指数函数的单调性；方法二：换元法． 变式1、222)(-+=x x ax f 的定义域为R ,则实数a 的取值范围是 . 答案：1≥a (关于x2的函数)变式2：若不等式3ax 2－2ax >13对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.答案：[0，1).(解简单的指数不等式） 5．对数函数(1)对数式化简可利用公式log a m b n ＝nm log a b 将底数和真数均化成最简形式． (2) 对数方程与不等式问题关键是两边化同底． 注意:定义域的限定(真数大于零).变式1、 已知函数x x f ln )(=,若)2()(a f a f =,则=a .答案：22 (利用图像确定范围)变式2、若函数y=lg(x 2+2x+m )的值域是R ，则实数m 的取值范围是 .答案：m ≤1.（对数函数的定义域与值域）6．零点问题方法1 数形结合法； 方法2连续函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有f (a )f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上至少存在一个零点．反之不一定成立．二次函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有f (a )f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上存在唯一一个零点． 变式1、判断函数f (x )=log 2(x+2)-x 在区间[1，3上是否存在零点.答案：存在解答：方法一：因为f (1)=log 23-1>log 22-1=0，f (3)=log 25-3<log 28-3=0，所以f (1)·f (3)<0， 故f (x )=log 2(x+2)-x 在[1，3]上存在零点.方法二：设y=log 2(x+2)，y=x ，在同一直角坐标系中画出它们的图象如图所示，从图象中可以看出，当1≤x ≤3时，两图象有1个交点，因此f (x )=log 2(x+2)-x 在[1，3]上存在零点.（判断是否存在零点）变式2、已知函数()()2,0ln ,0kx x f x k R x x +≤⎧=∈⎨>⎩，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是 .答案：k ≤－2(给定零点个数，确定参数的范围）变式3、已知函数a e x f x+=)(在[]n m ,上的值域为[]n m 2,2,则a 的取值范围是 .答案：)22ln 2,(--∞ (转化为函数零点问题)三、例题分析例1.已知函数f (x )＝log a (8－2x )(a ＞0，且a ≠1).（1）当a ＝2时，求满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值范围； （2）当a ＞1时，求函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值. 解：（1）实数x 的取值范围为[2，3).（2）函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值为log a 49.〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法： 1．解指(对)数不等式问题： 2．与指(对)数有关的函数值域： (2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化为代数不等式，所以选择方法①．对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方便，所以选择方法①．指数函数、对数函数的单调性受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x ＞0”的定义域部分；二是第二问中函数y ＝f (x )＋f (－x )的定义域.例2.设命题p ：函数f (x )＝1ax 2－ax ＋1的定义域为R ；命题q ：不等式3x －9x ＜a －1对一切正实数x 均成立.（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围； （2）如果命题p 且q 为真命题，求实数a 的取值范围. 解：（1）实数a 的取值范围为[0，4).（2）实数a的取值范围为[1，4).〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．已知函数的定义域，求参数的范围：2．不等式恒成立问题：方法：①分离变量转化为求函数的最值．②直接求函数的最值，再解不等式；③利用函数的图象，观察临界情况，再进行相应的计算(主要用于解填空题)．3．复合命题的真假判断：(2)方法选择与优化建议：对于问题1，因为它是二次不等式对于任意实数恒成立，只需研究判定式及二次项系数的符号即可；对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，所以选择方法①．在考查命题p是真命题时，容易漏掉a＝0的情况，另外容易出现因为忽视“ax2－ax＋1”出现的位置，在限制条件中将“△＞0”错写为“△≥0”.例3.已知函数f(x)＝a－1|x|.（1）求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；（2）若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数y＝f(x)在[m，n]上的值域是[m，n](m≠n)，求实数a的取值范围．解：（1）f(x)在(0，＋∞)上为增函数．（2）a的取值范围为(－∞，3]．（3）a的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．讨论函数的单调性问题：方法:①利用函数的图象；②复合函数的单调性；③利用函数单调性的定义．④利用导函数来求函数的单调区间．2．不等式恒成立问题：3．已知函数的值域，求参数的取值：(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题是证明函数的单调性，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，所以选择方法①．四、反馈练习(专题1：基本初等函数)1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (a )＝4，则实数a ＝________；答案 －4或2 (考查分段函数的问题，分类讨论的思想).2. 已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 答案 0, 322- (考查分段函数的问题).3.函数x x x f -+=1ln )(的定义域为 ；答案 (]1,0(考查函数的定义域问题). 4.若1log 112<-a a，则a 的取值范围是 ；答案 ()+∞,4(考查函数的单调性)5. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=.2,12,2,2)(2x x ax x x f x 若23))1((a f f >，则a 的取值范围是 ；答案 ()3,1-(考查分段函数，函数的单调性)6. 设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则f （5a ）的值是 . 答案25- (考查分段函数的问题).7. 已知函数.322)(2-+=x ax x f 如果函数)(x f y =在区间[]1,1-上有零点，则实数a 的取值范围是 ；答案 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21(考查函数的零点)8.已知函数12)(+-=x x f ，kx x g =)(.若方程)()(x g x f =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 ；答案 ⎪⎭⎫⎝⎛1,21(考查方程解的问题)9.已知0,2,0=++-<<->c b a a b a a ,则223aacb -的取值范围是 ；答案⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,43 (考查函数思想) 10.函数11ln 2)(-+=x x x f 的零点所在的区间是()Z n n n ∈+,1,，则=n ；答案 2(考查函数的零点)11.已知函数⎩⎨⎧>+-≤+=.0,12,0,1)(2x x x x x x f 若关于x 的方程0)()(2=-x af x f 恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 ；答案 ()1,0(考查函数的零点)12.线段EF 的长度为1，端点F E 、在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当F E 、沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则l S -的最大值是 ；答案 π45(考查函数的应用)13.若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．(考查二次函数的解析式,不等式恒成立)解 (1)由f (0)＝1得，c ＝1， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ， ∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1. (2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．14.已知函数f (x )＝2a ＋1a －1a 2x ，常数a ＞0.(1)设m ·n ＞0，证明：函数f (x )在[m ，n ]上单调递增；(2)设0＜m ＜n 且f (x )的定义域和值域都是[m ，n ]，求常数a 的取值范围．(考查函数的单调性,方程解的分布)(1)证明 任取x 1，x 2∈[m ，n ]，且x 1＜x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝1a 2·x 1－x 2x 1x 2.因为x 1＜x 2，x 1，x 2∈[m ，n ]，所以x 1x 2＞0， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在[m ，n ]上单调递增． (2)解 因为f (x )在[m ，n ]上单调递增，f (x )的定义域、值域都是[m ，n ]⇔f (m )＝m ，f (n )＝n ， 即m ，n 是方程2a ＋1a －1a 2x ＝x 的两个不等的正根⇔a 2x 2－(2a 2＋a )x ＋1＝0有两个不等的正根．所以Δ＝(2a 2＋a )2－4a 2＞0，2a 2＋a a 2＞0⇒a ＞12.即常数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 15.已知函数)0(1)(2>++=a bx ax x f ， ⎩⎨⎧<->=.0),(,0),()(x x f x x f x F 若0)1(=-f ，且对任意实数x 均有0)(≥x f 成立. (1)求)(x F 的表达式；（2）当[]2,2-∈x 时，kx x f x g -=)()(是单调函数，求k 的取值范围. (考查分段函数解析式，函数的单调性)(1)⎪⎩⎪⎨⎧<+->+=.0,)1(,0,)1()(22x x x x x F (2) ,2-≤k 或6≥k 16.设函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c (a >0，a ，c ∈R )．(1)设a >c >0.若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围； (2)函数f (x )在区间(0,1)内是否有零点，有几个零点？为什么？(考查不等式恒成立,函数零点)解 (1)因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴为x ＝a ＋c3a ，由条件a >c >0，得2a >a ＋c ， 故a ＋c 3a <2a 3a ＝23<1，即二次函数f (x )的对称轴在区间[1，＋∞)的左边， 且抛物线开口向上，故f (x )在[1，＋∞)内是增函数． 若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立， 则f (x )min ＝f (1)>c 2－2c ＋a ，即a －c >c 2－2c ＋a ，得c 2－c <0，所以0<c <1. (2)①若f (0)·f (1)＝c ·(a －c )<0，则c <0，或a <c ，二次函数f (x )在(0,1)内只有一个零点． ②若f (0)＝c >0，f (1)＝a －c >0，则a >c >0.因为二次函数f (x )＝3ax 2－2(a ＋c )x ＋c 的图象的对称轴是x ＝a ＋c 3a .而f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ＝－a 2＋c 2－ac3a<0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋c 3a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 3a ，1内各有一个零点，故函数f (x )在区间(0,1)内有两个零点．。
江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习第一层次专题
专题11：圆锥曲线的基本问题(两课时)班级 姓名 ．一、课前测试1．(1)椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是 ． (2)若a ≠0，则抛物线y ＝4ax 2 的焦点坐标为 ． 答案：(1)3或5；(2) (0，116a )．2．(1) 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2．若△PF 1F 2的面积为9，则b 的值为__________．(2)已知定点A (3，2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上的动点，当PA ＋PF 最小时，点P 的坐标为 ． (3) 点F 为椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点，过点F 且倾斜角为π3的直线交椭圆于A ,B 两点(AF <BF )，则AFBF ＝ ．答案： (1)3；(2)(2，2); (3)35．3．(1) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 到过顶点A (－a ， 0)， B (0， b )的直线的距离等于b 7， 则椭圆的离心率为 ．(2) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1、F 2，连接点F 1，F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 ．(3) 已知椭圆E :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ,B 两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是 ．(4)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，在椭圆上存在一点M 满足MF 1→·MF 2→＝0，则椭圆离心率的取值范围是 ．(5)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为 ．答案：(1)12； (2)3－1；(3) (0，32]；(4)[22，1)；(5)(1，3]．二、方法联想1．方程的标准形式涉及方程标准形式时，必须先设(或化)为方程的标准形式，注意椭圆和双曲线区分(或讨论)焦点在哪轴上，抛物线的开口方向． 变式：(1)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线的离心率是 ．答案：3或62 (已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系)(2)以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以y ＝±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 ．答案：x 212－y 212＝1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系)2．定义及几何性质的应用涉及焦半径问题时，优先用定义(第一、二定义)，注意焦半径范围． 焦点三角形问题从椭圆的性质和三角形的性质两个方面考虑， 变式：(1)已知椭圆C ：x 25＋y 9＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别是A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN ＋BN ＝________．答案：16(利用中位线性质，转化成椭圆的定义)(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．答案：2(几何图形与圆锥曲线联系，利用几何性质求解)(3)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．答案：22(利用双曲线与渐近线的几何性质求解)3．离心率或范围的计算椭圆离心率范围为(0，1)．双曲线离心率范围为(1，＋∞)．求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a ，b ，c 的一个齐次关系，从而求出离心率；求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系；②题中给出的是关于基本量a ，b ，c 与某一变化的量之间的一个等量关系，即f (P )＝g (a ，b ，c )，根据g (a ，b ，c )在f (P )的值域内，可得关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系．变式：(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．答案：π4（已知离心率，求渐近线的倾斜角）(2)双曲线x 24－y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是 ．答案： (0，12)；(已知离心率的范围，求参数取值范围)(3)已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左右焦点分别是F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若PF 1＝10，椭圆和双曲线的离心率分别是e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是 ．答案：(13,＋∞)(已知有联系的两个圆锥曲线，求离心率的取值范围) (4)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________．答案：3＋12(三角形与圆锥曲线相结合，求离心率的取值范围)三、例题分析例1、设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，AF 1＝3F 1B .(1)若AB ＝4，△ABF 2的周长为16，求AF 2； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．答案：(1) AF 2＝5. (2)22〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：(1)椭圆的定义(2) 焦点三角形问题从椭圆的性质和三角形的性质两个方面考虑(3) 角的范围或取值问题可转化为直线的倾斜角，利用斜率求解；若角所在的三角形边角关系明显，如焦点三角形，则转化为余弦定理，也可以用向量的数量积解决．二、方法选择与优化建议：(1)在第1小问中，先由条件分别求出|AF 1|与|F 1B |的值，再由椭圆定义得出|AF 2|的值；(2)在第2小问中，先设|F 1B |＝k ，由椭圆定义知AF 2＝2a －3k ，BF 2＝2a －k ，然后在△ABF 2中，由余弦定理得出a 与k 的关系式，进而得出BF 22＝F 2A 2＋AB 2，即F 1A ⊥F 2A ，从而得出△AF 1F 2为等腰直角三角形，从而求出离心率．例2、如图，已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，M 在PF 1上，且满足F 1M →＝λMP →(λ∈R )，PO ⊥F 2M ，O 为坐标原点．(1) 若椭圆方程为x 28＋y 24＝1，且P (2，2)，求点M 的横坐标；(2) 若λ＝2，求椭圆离心率e 的取值范围．答案：(1)65；(2) (12,1)〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．求点的坐标：利用直线相交，求两直线的交点．2．求离心率的取值范围：①设点M 的坐标，用向量关系求出点P 的坐标，利用点P 坐标的范围求解；②利用方程有解求离心率取值范围．二、方法选择与优化建议：1．直接利用直线PO ⊥F 2M ，从而得出点P 的坐标．2．求离心率的范围，本质就是要建立一个关于a ，b ，c 的不等量关系，注意到点P是椭圆上的点，所以考虑建立a ，b ，c 与点P 的横坐标或纵坐标的关系，利用点P 的坐标的取值范围来得到不等式．例3、已知椭圆C ：x 225＋y 29＝1的右焦点为F ，过F作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中垂线l ′交x 轴于点M ． （1）若BF ＝2，求B 点坐标； （2）问：ABFM 是否为定值． 答案：（1）（154，±374）．（2）AB FM 是定值为52．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．焦半径的问题，可以看成线段长度，利用两点间的距离公式，也可与准线联系，利用第二定义．2．弦长和过焦点弦长，利用弦长公式和第二定义． 3．“点差法”的运用． 二、方法选择与优化建议：1．求B 点坐标可以利用点B 在椭圆上以及BF ＝2，通过解方程组进行求解；也可以利用圆锥曲线的统一定义求解．本题可以提醒学生回顾如何求点B 与左焦点之间的距离． 2．涉及弦所在直线的斜率和中点时可利用“点差法”．3．由于弦AB 是过焦点的弦，所以求AB 长的时候用到了圆锥曲线的统一定义，利用圆锥曲线的统一定义求解显然简化运算过程．4．灵活运用了平面几何性质，利用圆锥曲线的统一定义结合梯形中位线定理求AB 的长．四、反馈练习1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为 ． 答案：x 23＋y 22＝1 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ,C 两点，且∠BFC ＝90°,则该椭圆的离心率是 .答案:63(考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)3．已知方程x 2m 2+n －y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 .答案：(–1,3) (考查双曲线的标准方程及几何性质)4．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ． 答案：13 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)5．过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 答案：22(考查离心率的计算，点差法，中点坐标公式) 6．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AF 1＝3F 1B ，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案：x 2＋32y 2＝1 (考查用待定系数法求椭圆方程，利用向量法研究点坐标之间的关系)7．点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若ΔPQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 ． 答案：(0，6－22) (考查直线与圆相切，圆的几何性质，椭圆的方程及离心率的计算) 8．如图，点A 是椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的下顶点． 过A 作斜率为1的直线交椭圆于另一点P ，点B 在y 轴上， 且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9，若B 点坐标为(0，1)，则椭圆 方程是 ．答案：x 212＋y 24＝1 (9．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 212则这样的点P 有________个．答案：6 (考查椭圆的几何性质，焦点三角形)10．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ． 答案：(13，12)∪(12，1) (考查椭圆的定义，焦点三角形，标准方程和简单几何性质)11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C ．(1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．答案：(1) x 22＋y 2＝1；(2)55．(考查求椭圆的标准方程，离心率问题)12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P 、C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．答案：(1) x 22＋y 2＝1； (2) y ＝x －1或y ＝－x ＋1．(考察椭圆的方程，直线与椭圆位置关系) 13．设椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1).（1）求直线y ＝kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（2）若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.答案：(1)2a 2|k |1＋a 2k21＋k 2；(2) (0，22] (考查直线被椭圆截得弦长，圆与椭圆位置关系)14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1、F 2分别作倾斜角都为α(α≠0)的两条直线AB 、DC ，分别交椭圆E 于点A 、B 和D 、C .当α＝π4时，点B 坐标为(0，1)．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 当α变化时，讨论线段AD 与BC 长度之间的关系，并给出证明； (3) 当α变化时，求四边形ABCD 面积的最大值及对应的α值． 答案：(1) x 22＋y 2＝1；(2) AD ＝BC ；(3)α＝π2.(考查椭圆方程，直线被椭圆截得弦长及四边形面积的范围、最值)y B。
江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第三层次)专题11_圆锥曲线的基本问题
专题11：圆锥曲线的基本问题(两课时)班级 姓名一、课前测试1．(1)椭圆m x 2＋42y ＝1的焦距是2，则m 的值是 ．(2)双曲线1422=+ky x 的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是 ．(3)若a ≠0，则抛物线y ＝4ax 2 的焦点坐标为 ． 答案：(1)3或5．(2)(－12,0)．(3)(0,116a)．2．(1) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。
(2)实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的系数a 、b 、c 恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距，且此二次方程无实根，则双曲线离心率e 的范围为 ． 答案：(1)(2)(1,2＋5)． 3． (1) 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的两焦点为F 1、F 2，连接点F 1，F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 ．(2)已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C (a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2．若21F PF ∆的面积为9，则b 的值为______ ______．(3)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，在椭圆上存在一点M 满足120MF MF ⋅=，则椭圆离心率的取值范围是 ．(4)双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为 ．(5)已知定点A (3，2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上的动点，当|PA |＋|PF |最小时，点P 的坐标为 ．答案：(1)3－1．(2)3．(3)[22,1)．(4)(1,3]．(5)(2,2)．二、方法联想1．方程的标准形式涉及方程标准形式时，必须先设(或化)为方程的标准形式，注意椭圆和双曲线区分(或讨论)焦点在哪轴上，抛物线的开口方向． 变式：(1)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线的离心率是 ．答案：3或62(已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系) (2)以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以y ＝±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 ． 答案：x 212－y 212＝1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系)2．基本量运算涉及a 、b 、c 的关系式时，椭圆利用a 2－b 2＝c 2消元，注意离心率范围为(0，1)．双曲线利用a 2＋b 2＝c 2消元，注意离心率范围为(1，＋∞)． 3．定义的应用涉及焦半径问题时，优先用定义(第一、二定义)，注意焦半径范围．变式：(1)已知椭圆C ：x 225＋y 29＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别是A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN ＋BN ＝________．答案：16(利用中位线性质，转化成椭圆的定义)(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．答案：2(几何图形与圆锥曲线联系，利用几何性质求解)(3)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．答案：22(利用双曲线与渐近线的几何性质求解)三、例题分析例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，右焦点为F ．若C 的右准线l 的方程为x ＝4，离心率e ＝22． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 为直线l 上一动点，且在x 轴上方．圆M 经过O 、F 、P 三点，求当圆心M 到x 轴的距离最小时圆M 的方程． 答案：（1）椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1．（2）设()4,,0,P t t >线段OF 的中垂线为1x =，线段PF 的中点3,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，斜率2t ， 线段PF 的中垂线为()232t y x t -=--，由()1232x t y x t =⎧⎪⎨-=--⎪⎩得41,2t M t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由42t t +≥当且仅当t =M 到x 轴的距离最小。
江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第二层次)专题7平面向量含答案
专题7：平面向量班级 姓名一、前测训练1． （1）已知向量a ＝（0,2），｜b ｜＝2,则|a －b ｜的取值范围是 ．（2)若a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·（a －b )＝0，则b 的取值范围是．答案：(1)[0,4］．（2)［0,1]．2．（1)在△ABC 中，∠BAC ＝120,AB ＝2，AC ＝1,点D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，E 为BC 边上的点,且错误!·错误!＝0．则错误!·错误!＝ ；错误!·错误!＝ ．（2）如图，在边长为2的菱形ABCD 中,BAD ＝60，E 为CD 中点，则错误!错误!＝ ．（3）已知OA ＝OB ＝2，错误!·错误!＝0，点C 在线段AB 上，且∠AOC ＝60，则错误!·错误!＝________________．答案：（1）－错误!,错误!．(2）1．(3)8－4错误!． 二、方法联想 1．向量的运算方法1 用向量的代数运算．方法2 结合向量表示的几何图形．变式1、已知平面向量错误!，错误!满足｜错误!｜＝1，且错误!与错误!－错误!的ABCDE夹角为120°，则错误!的模的取值范围是答案：(0,错误!]（结合向量的几何图形求解）变式2、△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则错误!·错误!＝________.5答案：2（外心隐含着垂直关系）2．向量的应用方法1 基底法,即合理选择一组基底（一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量）,将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算．方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决变式1、如图，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点，错误!·错误!＝4，错误!·错误!＝－1,则错误!·错误!的值是。
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专题11：圆锥曲线的基本问题(两课时)班级 姓名一、课前测试1．(1)椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是 ． (2)双曲线x 24－y 2k＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是 ． (3)若a ≠0，则抛物线y ＝4ax 2的焦点坐标为 ．答案：(1)3或5．(2)(－12，0)．(3)(0，116a)． 2．(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2．若△PF 1F 2的面积为9，则b 的值为 ．(2)已知定点A (3，2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上的动点，当P A ＋PF 最小时，点P 的坐标为 ．答案：(1)3．(2)(2，2)．3．(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 到过顶点A (－a ，0)，B (0，b )的直线的距离等于b 7，则椭圆的离心率为 ．(2) 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 ．(3)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，在椭圆上存在一点M 满足MF 1→·MF 2→＝0，则椭圆离心率的取值范围是 ．(4)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，在双曲线上存在点P ，使PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为 ．答案：(1)12．(2)3－1． (3)[22，1)．(4)(1，3]．二、方法联想1．方程的标准形式在进行圆锥曲线的基本量的计算时，首先要是标准方程，对椭圆、双曲线来说要分清焦点在哪轴上，对抛物线来说，首先要确定抛物线的开口方向．变式：(1)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线的离心率是 ．答案：3或62(已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系) (2)以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以y ＝±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 ． 答案：x 212－y 212＝1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系)2．圆锥曲线定义的应用涉及到圆锥曲线上的点与焦点的连线，应联系到圆锥曲线的第一定义和第二定义．在运算时，可以设点的坐标，也可以设焦半径，解焦点三角形．变式：(1)已知椭圆C ：x 225＋y 29＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别是A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN ＋BN ＝________．答案：16(利用中位线性质，转化成椭圆的定义)(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．答案：2(几何图形与圆锥曲线联系，利用几何性质求解)(3)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________． 答案：22(利用双曲线与渐近线的几何性质求解)3．离心率或范围的计算椭圆离心率范围为(0，1)．双曲线离心率范围为(1，＋∞)．求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a ，b ，c 的一个齐次关系，从而求出离心率； 求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系；②题中给出的是关于基本量a ，b ，c 与某一变化的量之间的一个等量关系，即f (P )＝g (a ，b ，c )，根据g (a ，b ，c )在f (P )的值域内，可得关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系．变式：(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．答案：π4（已知离心率，求渐近线的倾斜角） (2)双曲线x 24－y 2k＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是 ． 答案： (0，12)；(已知离心率的范围，求参数取值范围)(3)已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左右焦点分别是F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若PF 1＝10，椭圆和双曲线的离心率分别是e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是 ． 答案：(13,＋∞)(已知有联系的两个圆锥曲线，求离心率的取值范围) (4)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________． 答案：3＋12(三角形与圆锥曲线相结合，求离心率的取值范围)三、例题分析例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为12，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，若椭圆C 的焦距为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，MF 1为半径作圆M ．当圆M 与椭圆的右准线l 有公共点时，求△MF 1F 2面积的最大值．答案：（1）椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． （2）△MF 1F 2面积的最大值为153． 〖教学建议〗主要问题归类与方法：1．椭圆的焦距是2c ，长轴长是2a ，短轴长是2b ．2．椭圆右准线方程为x ＝a 2c，直线与圆有公共点的条件是：圆心到直线距离小于等于圆的半径． 3．点M 在椭圆上，则点M 的坐标满足椭圆方程，同时，横、纵坐标都有范围．例2 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1．（1）若PF 1＝2＋2，PF 2＝2－2，求椭圆的标准方程；（2）若PF 1＝PQ ，求椭圆的离心率e ．答案：（1）x 24＋y 2＝1；（2）6－3． 〖教学建议〗1．主要问题归类与方法：椭圆的定义．根据垂直条件及椭圆定义求出PF 1，PF 2．2．方法选择与优化建议：第（2）问中有两种方法选择，方法一：设P 点坐标，利用PQ ⊥PF 1及点P 在椭圆上求出P 点坐标，再计算出PF 1＝a ＋a 2－2b 2，再根据等腰直角三角形PQF 1的周长为4a ，列出方程，得到答案；方法二：根据等腰直角三角形PQF 1的周长为4a 及椭圆定义，求出PF 1，PF 2，再根据直角三角形PF 1F 2列出方程，得到答案．例3 椭圆的中心为原点，离心率e ＝22，一条准线的方程是x ＝22． （1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P 满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在定点F ，使得PF 与点P 到直线l ：x ＝210的距离之比为定值；若存在，求F 的坐标，若不存在，说明理由。
答案：（1）x 24＋y 22＝1. （2）存在定点F （10，0），使得PF 与点P 到直线l ：x ＝210的距离之比为定值．〖教学建议〗1．主要问题归类与方法：1．椭圆中的基本量的计算，准线方程、离心率．2．利用设点法研究动点P 的轨迹方程．3．椭圆的第二定义．2．方法选择与优化建议：设点消元是关键．由条件“直线OM 与ON 的斜率之积为－12”可得：x 1x 2＋2y 1y 2＝0．合理使用这个结论，求出动点P 的轨迹方程．四、反馈练习1．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是________． 答案：3或253（考查：椭圆的标准方程及基本量计算）2．双曲线2x 2－y 2＋6＝0上的点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________． 答案：26＋4（考查：双曲线的定义）3．若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________． 答案：32(考查：待定系数法)4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________．答案：x 23＋y 22＝1. （考查：椭圆的定义）5．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________．答案：y ＝±22x . （考查内容：离心率、渐近线方程）6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为__________．答案：x 29－y 227＝1 (考查：双曲线的渐近线，双曲线、抛物线中的基本量计算)7．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D 点，且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________．答案： 33(考查：椭圆的第二定义，离心率的计算)8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该椭圆离心率e 的取值范围是________． 答案：[2－1，1)(考查：椭圆的定义，椭圆上的点到焦点的距离的范围)9．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．答案： x 25＋y 24＝1 (考查：圆的切线，椭圆的基本量)10．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为__________． 答案：33(考查：椭圆中的基本量的计算)11. 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于A ，B 两点，若△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积为ab ，则椭圆的离心率为 ．答案： 22(考查：椭圆中的基本量的计算)12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，右焦点为F ．若C 的右准线l 的方程为x ＝4，离心率e ＝22． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 为直线l 上一动点，且在x 轴上方．圆M 经过O ，F ，P 三点，求当圆心M 到x 轴的距离最小时圆M 的方程．答案：（1）椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1． （2）圆心M 到x 轴的距离最小时圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －42y ＝0．（考查：椭圆中的基本量的计算，利用待定系数法求圆的方程，在运算上有三种选择：①选择一般方程，②选择标准方程，③利用圆的几何性质设圆心．）13． 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2，0)，点P (2e ，12)在椭圆上(e 为离心率)． （1）求椭圆M 的标准方程；（2）若点B ，C (C 在第一象限）都在椭圆上，满足OC →＝λBA →，OC →·OB →＝0，求实数λ的值．答案：（1）椭圆M 的标准方程为x 24＋y 2＝1；（2）32． (考查：（1）利用待定系数法求椭圆方程，（2）直线与椭圆相交，重点是字母的选择，有两种选择①直线OC 的斜率，②点C 的坐标．本题中条件OC →＝λBA →，OC →·OB →＝0给出的平行关系和垂直关系)14．已知椭圆的方程x 2m ＋y 28－m＝1． （1）若椭圆的焦点在x 轴上，求实数m 的取值范围；（2）若m＝6．①点M的坐标为（1，0），P是椭圆上的动点，求PM的最小值；②过椭圆右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N．试问ABFN是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．答案：（1）4＜m＜8．（2）①PM的最小值为62，此时对应点P坐标为（32，±52）．②ABFN为定值，且ABFN＝6．（考查：利用“点差法”解决有关弦的中点问题，利用椭圆第二定义解决过焦点的弦长问题，利用平面几何性质简化运算）．。