初二数学(秋季)讲义第23讲 证明
第23讲-植树问题(讲义)-小升初数学精讲精练专题汇编讲义
小升初数学植树问题专项训练班级：姓名：一、填空题1．有一根木料，用0.4小时截成5段，如果每截一次所用的时间相同，那么要截7次，一共需要( )小时。
2．把一根木头锯成相等的5段，如果每锯一次的时间都相等，那么锯第一段所用的时间与全部锯完所用的时间之比是( )。
3．一根木料把它截成3段需要120小时，如果每截一次用的时间相同，把这根木料截成5段需要( )时。
4．把一根34米长的木料锯成相等的小段，一共锯了3次。
每段长( )米，每段占这根木料全长的( )。
3段占这根木料全长的( )。
5．把一根长1213米的钢管锯成长度相等的若干段，一共锯了5次，平均每段长( )米。
6．一栋住宅楼，淘气从一楼走到三楼用6分钟。
按同样的速度，他继续往上走到六楼，还要走( )分钟。
7．小兰发现公路边等距地立着一排电线杆，她用均匀的速度从第1根电线杆走到第15根电线杆用了7分钟时间，接着她继续往前走，又走了若干根电线杆后就往回走，当她走回到第5根电线杆时一共用了30分钟，那么小兰是走到第________根电线杆是开始往回走的。
二、判断题1．小明排在一个正方形方阵中，无论从队伍的哪一面看，他的位置都用（7，7）表示，这个队伍共有169人。
( )2．52个小朋友手拉手围成一个正方形，四个角上都站一个人，则正方形的每一边上站14人。
( )3．把一根木头锯成4段，每锯一次的时间都相等，锯一段所用的时间与锯完所用的时间的比是1:4。
( )4．圆形滑冰场的一周全长是200米，如果沿着这一圈每隔10米安装一盏灯，一共需要装20盏灯。
( )5．把一根木料锯成5段，锯一次用的时间是总时间的20%。
( )6．如果一根木头锯成3段需要6分钟，那么锯成6段需要12分钟。
( )三、选择题1．小林从一楼走到五楼需要45分钟，照这样算，他从五楼走到八楼需要（）分钟。
A．35B．45C．1225D．16252．在半径是4米的圆喷水池边上每隔0.628米放一盆花，可以放（）盆花。
八年级数学《4.2.3证明(3)》课件 浙教版
A
E C
B F
D
练一练
2、如图，任意画一个∠A=60°的△ABC，再分别作
△ABC的两条角平分线BE和CD，记BE和CD的交点为P，
量出∠BPC的度数，以及BD，CE，BC的长度.类似地，
再画几个三角形试一试，你发现了什么？你能证明你
的发现吗？
A
D 5P
1
2
B
F
E
4 3
C
A
D
E
B
C
例2
已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB∥CD.
求证:△ABD≌△CDB. D
分析:
AD∥BC,AB∥CD(已知) A
C B
要证明一个结论,也可以从已知出发,推出可能 的∠∠结BC果DBCD,==并∠∠与DABD证AB 明的结论△A比B较D,≌直△至CD推B出要证明的 结论.
片沿直线EF折叠,使点A和点D重合.
求证:EF∥BC.
A
思路分析?
E
F
要证EF∥BC
BC⊥AD(已知)
还需证 EF⊥AD
由因索果、由果索 因常同时进行．
B
D
C
EF是AD的对称轴
点A与点D重合(已知)
练一练
1、已知:如图,AB∥CD,AB=CD,BF=CE,点B,E,C,F 同在一直线上. 求证:AE∥DF
1、已知:如图,在△ABC中,D,E分别是AB、 AC上的点, ∠1=∠2.
求证:∠B=∠ADE.
由果索因
要证∠B=∠ADE 只要证 DE∥BC 这可从∠1=∠2得到.
说一说
思路分析
A
D1 E
B
2
C
由∠1=∠2得到
初二数学(秋季)讲义第24讲 证明综合
初二数学（秋季）讲义 第二十四讲 证明综合［知识要点］知识点（1）命题是对事物进行判断的句子，它包含了两层含义，其一，命题必须是一个完整的句子，其二，这个句子必须对某件事情作出肯定或否定的判断，如“对顶角相等”，“任何一个三角形中至少有两个锐角”等都是命题，而“你喜欢数学吗”，“明天可能会下雨”等不是命题． (2)六个公理① “两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．” ②“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．” ③“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”， ④“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”， ⑤“三边对应相等的两个三角形全等”，⑥“全等三角形的对应边相等，对应角相等．”证明：其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，这种推理的过程称证明．定理：经过证明的真命题称为定理，如，利用“同位角相等，两直线平行”这一公理可以证明“同旁内角互补，两直线平行”和“内错角相等，两直线平行”等定理．知识点2：证明命题（定理）的一般步骤： （1）根据题意刻画图形，（2）根据题设、结论，结合图形写出已知、求证． （3）分析找出由已知推出求证的途径，写出证明过程． （4）检查证明过程是否正确、完整，做到步步有据． 【典型例题】例1、某校举行数学竞赛，五名同学A ，B ，C ，D ，E 获得了前五名，他们对获奖的名次分别向老师做了如下推理： A 认为：B 第三名，C 第五名 B 认为：E 第四名，D 第五名 C 认为：A 第一名，E 第四名 D 认为：C 第一名，B 第二名 E 认为：A 第三名，D 第四名 老师说：每个名次都有人猜对，请你据此对五人的获奖名次做出判断． 例2、写出下列名称和术语的定义． （1）矩形 （2）梯形例3、下列语句中是真命题的是（ ）A 、今天天气是好的B 、星期天你去新华书店买书吗C 、连接A ，B 两点D 、小明今天可能生病了 例4、把下列命题写成“如果……那么……”的形式． （1）两直线平行，同位角相等．（2）平面内垂直同一直线的两直线平行． （3）经过两点有且只有一条直线．例5、已知，如图，直线123,,l l l 被直线l 所截，172,2108,372∠=︒∠=︒∠=︒，求证：l 1//l 2// l 3例6、如图，已知60,160,2120A ∠=︒∠=︒∠=︒，猜想图中哪些直线平行， 解：例7、如图，,,160AB MN CD MN ⊥⊥∠=︒，求2∠的度数．解：【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一、选择题1. 下列语句中，是命题的是（ ） A. 两点确定一条直线吗？ B. 在线段AB 上任取一点 C. 作∠A 的平分线AM D. 两个锐角的和大于直角2. 下列命题中，属于定义的是（ ）A. 两点确定一条直线B. 同角或等角的余角相等C. 两直线平行，内错角相等D. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度3. 下列命题中，是真命题的是（ ）A. 内错角相等B. 同位角相等，两直线平行C. 互补的两角必有一条公共边D. 一个角的补角大于这个角 4. 下列命题中，假命题是（ ）A. 垂直于同一条直线的两直线平行B. 已知直线a 、b 、c ，若a ⊥b ，a ∥c ，则b ⊥cC. 互补的角是邻补角D. 邻补角是互补的角 5. 命题“对顶角相等”是（ ） A. 角的定义 B. 假命题 C. 公理 D. 定理 6. 下列命题中，不正确的是（ ）A. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C. 两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 7. 如图（1），可以得到DE ∥BC 的条件是（ ）A. ∠ACB =∠BACB. ∠ABC +∠BAE =180°C. ∠ACB +∠BAD =180°D. ∠ACB =∠BAD8. 如图（2），直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件:（1）∠1=∠2，（2）∠3=∠6，（3）∠4+∠7=180°，（4）∠5+∠8=180°，其中能判定a∥b的条件是（）A. （1）（3）B. （2）（4）C. （1）（3）（4）D. （1）（2）（3）（4）9. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A. 第一次向右拐40°，第二次向左拐40°B. 第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C. 第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D. 第一次向左拐50°，第二次向左拐130°10. 如图（3），如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是（）A. AD∥BCB. AB∥CDC. ∠3=∠4D. ∠A=∠C二、填空题1. ___________________叫做命题，每个命题都是由________和________两部分组成．2. 命题“两直线平行，内错角相等”中，“两直线平行”是命题的________，“内错角相等”是命题的________．3. 命题“直角都相等”的条件是________________，结论是________________.4. “互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是_____命题，若是假命题请举出反例：______．5. 如图（4），由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据．（1）∠1=∠2，_________．（2）∠A=∠3，_________．（3）∠ABC+∠C=180°，________．6. 如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________．7. 同垂直于一条直线的两条直线________.8. 如图（5），直线EF分别交AB、CD于G、H，∠1=60°，∠2=120°，那么直线AB与CD的关系是________，理由是：_______________________．三、解答题1. 指出下列命题的题设和结论：（1）若a∥b，b∥c，则a∥C．（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．（3）同一个角的补角相等．2. 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）平行于同一直线的两条直线平行．（2）同角的余角相等．（3）绝对值相等的两个数一定相等．3. 判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例.（1）若a2＞b2，则a＞b．（2）同位角相等，两直线平行．（3）一个角的余角小于这个角．4. 已知：如图（6），∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求证：AB∥CD．5. 已知：如图（7），AD是一条直线，∠1=65°，∠2=115°．求证：BE∥CF．6. 已知：如图（8），∠1=∠2，∠3=100°，∠B =80°．求证：EF ∥C D ．7. 已知：如图，F A ⊥AC ，EB ⊥AC ，垂足分别为A 、B ，且∠BED +∠D =180°．求证：AF ∥C D ．知识点1.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.△ABC 中,∠A+∠B+∠C=1800. 2.推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 3.推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 4.推论3: 直角三角形的两锐角互余. [练习] 一、 填空题：1、△ABC 中，∠B=45º，∠C=72º，那么与∠A 相邻的一个外角等于 .2、在△ABC 中，∠A ＋∠B=110º，∠C ＝2∠A ，则∠A= ，∠B= .3、直角三角形中两个锐角的差为20º，则两个锐角的度数分别为 .4、如下图左，AD 、AE 分别是△ABC 的角平分线和高，∠B=50º，∠C=70º，则∠EAD= .5、如上图右，已知∠BDC=142º，∠B =34º，∠C=28º，则∠A= .6、把下列命题“对顶角相等”改写成：如果 ，那么 .7、如下图左，已知DB 平分∠ADE ，DE ∥AB ，∠CDE=82º，则∠EDB= ，∠A= .8、如上图右，CD ⊥AB 于D ，EF ⊥AB 于F ，∠DGC=111º，∠BCG=69º，∠1=42º，则∠2= .E D CB A DC BA E DCB AG F ED CB A 219、如下图左，DH ∥GE ∥BC ，AC ∥EF ，那么与∠HDC 相等的角有 .10、如上图右：△ABC 中，∠B=∠C ，E 是AC 上一点，ED ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别为D 、F ，若∠AED=140º，则∠C= ∠A= ∠BDF= .11、△ABC 中，BP 平分∠B ，CP 平分∠C ，若∠A=60º，则∠BPC= . 二、 选择题12、满足下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ） A 、∠B+∠A=∠C B 、∠A ：∠B ：∠C=2：3：5C 、∠A=2∠B=3∠CD 、一个外角等于和它相邻的一个内角13、如图，∠ACB=90º，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列结论错误的是（ ） A 、 图中有三个直角三角形 B 、 B 、∠1=∠2C 、∠1和∠B 都是∠A 的余角D 、∠2=∠A14、三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、无法确定 15、如下图左：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 等于（ ）A 、180ºB 、360ºC 、540ºD 、720º16、锐角三角形中，最大角α的取值范围是（ ）A 、0º＜α＜90ºB 、60º＜α＜90ºC 、60º＜α＜180ºD 、60º≤α＜90º 17、下列命题中的真命题是（ ）A 、锐角大于它的余角B 、锐角大于它的补角C 、钝角大于它的补角D 、锐角与钝角之和等于平角18、已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直.其中，正确命题的个数为（ ） A 、0 B 、1个 C 、2个 D 、3个19、如上图右：AB ∥CD ，直线HE ⊥MN 交MN 于E ，∠1=130º，则∠2等于（ ）21DC BAMH GF E D CB A FED C B AF E C B AA 、50ºB 、40ºC 、30ºD 、60º 20、如图，如果AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系式为（ ） A 、 α＋β＋γ=360º B 、 α－β＋γ=180ºC 、 α＋β＋γ=180ºD 、 α＋β－γ=180º 三解答题21、如图，BC ⊥ED ，垂足为O ， ∠A=27º，∠D=20º，求∠ACB 与∠B 的度数.22、如图：∠A=65º ，∠ABD=∠DCE=30º，且CE 平分∠ACB,求∠BEC.23、如图：（1） 画△ABC 的外角∠BCD ，再画∠BCD 的平分线CE. （2） 若∠A=∠B ，请完成下面的证明：已知：△ABC 中，∠A=∠B ，CE 是外角∠BCD 的平分线 求证：CE ∥AB24、看图填空：如下图左，∠A ＋∠D ＝180º（已知）∴ ∥ （ ） ∴∠1＝ （ ） ∵∠1＝65º（已知）∴∠C ＝65º（ ）αγβEDC BA E O DCBA EDCBACB A1DCB A（1） 如上图右，已知，∠ADC ＝∠ABC ，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，且∠1=∠2，求证：∠A=∠C.证明：∵BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC （已知）∴ ∠1＝21∠ABC ，∠3＝21∠ADC （ ） ∵∠ABC ＝∠ADC （已知） ∴21∠ABC ＝21∠ADC （ ） ∴∠1＝∠3（ ） ∵∠1＝∠2（已知）∴∠2＝∠3（ ） ∴（ ）∥（ ）（ ）∴∠A ＋∠ ＝180º ，∠C ＋∠ ＝180º（ ） ∴∠A ＝∠C （ ）25、如图：已知CB ⊥AB ，CE 平分∠BCD ，DE 平分∠ADC ，∠1＋∠2＝90º 求证：AB ∥CD26、如图，已知：AC ∥DE ，DC ∥EF ，CD 平分∠BCA求证：EF 平分∠BED.54321ADFCEB21ED CBA27、如图，已知：CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求证：FG∥BCA。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆
第二十三讲圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有文档设计者：设计时间：文档类型：文库精品文档，欢迎下载使用。
Word精品文档，可以编辑修改，放心下载如下三种方法：1．通过两圆交点的个数确定；2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3．通过两圆的公切线的条数确定．为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC 交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数．注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( )A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．思路点拨(1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=24，大、小两圆半径差为2．(1)求大圆半径长；(2)求线段BF的长；(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．思路点拨(1)设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；(2)证明△EBC∽△ECF；(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′，必在BF上，连OˊC，证明∠O′CE=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．【例5】 如图，AOB 是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O 1的圆心O 1在OA 上，并与弧AB 内切于点A ，半圆O 2的圆心O 2在OB 上，并与弧AB 内切于点B ，半圆O 1与半圆O 2相切，设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y ． (1)试建立以x 为自变量的函数y 的解析式； (2)求函数y 的最小值．思路点拨 设两圆半径分别为R 、r ，对于(1)，)(2122r R y +=π，通过变形把R 2+r 2用“x =R+r ”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因x =R+r ，故是在约束条件下求y 的最小值，解题的关键是求出R+r 的取值范围．注：如图，半径分别为r 、R 的⊙O l 、⊙O 2外切于C ，AB ，CM 分别为两圆的公切线，O l O 2与AB 交于P 点，则： (1)AB=2r R ；(2) ∠ACB=∠O l M O 2=90°； (3)PC 2=PA ·PB ； (4)sinP=rR rR +-； (5)设C 到AB 的距离为d ，则dR r 211=+．学力训练1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是 ．2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围 ． (2003年上海市中考题)3．如图；⊙O l 、⊙O 2相交于点A 、B ，现给出4个命题：(1)若AC 是⊙O 2的切线且交⊙O l 于点C ，AD 是⊙O l 的切线且交⊙O 2于点D ，则AB 2=BC ·BD ；(2)连结AB 、O l O 2，若O l A=15cm ，O 2A=20cm ，AB=24cm ，则O l O 2=25cm ；(3)若CA 是⊙O l 的直径，DA 是⊙O 2 的一条非直径的弦，且点D 、B 不重合，则C 、B 、D 三点不在同一条直线上，(4)若过点A 作⊙O l 的切线交⊙O 2于点D ，直线DB 交⊙O l 于点C ，直线CA 交⊙O 2于点E ，连结DE ，则DE 2=DB ·DC ，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) ．4．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是 ，自变量x 的取值范围是 ．5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( )A ．2B ．221+C ．231+D ．231+ 6．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l l 的切线AC交B O l 的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( )A ．5B ．52C ．52+D ．537．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ． 上述结论，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d ，若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )A．一定内切B．一定外切C．相交D．内切或外切9．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O l于点D，交⊙O2于点E，DA与⊙O2相切，切点为C．（1）求证：PC平分∠APD；(2)求证：PD·PA=PC2+AC·DC；(3)若PE=3，PA=6，求PC的长．10．如图，已知⊙O l和⊙O2外切于A，BC是⊙O l和⊙O2的公切线，切点为B、C，连结BA并延长交⊙O l于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F，求证：(1)CD是⊙O l的直径；(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．11．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．(1)求证：AB=AC；(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．14．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O l的圆心O l，交⊙O l于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O l与⊙O2的直径之比为( )A．2：7 B．2：5 C．2：3 D．1：315．如图，⊙O l与⊙O2相交，P是⊙O l上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，416．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( )A．有内切圆无外接圆B有外接圆无内切圆C．既有内切圆，也有外接圆D．以上情况都不对17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P P于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．（1）求证：BC是⊙P的切线；(2)若CD=2，CB=22，求EF的长；(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．(1)若PC=PD，求PB的长；(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD 具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) ．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．参考答案温馨提示After writing the test paper, you must remember to check Oh, I wish you all can achieve good results!可以编辑的试卷（可以删除）。
八年级数学下册 第二十三章分式方程复习课件 冀教版
五、课内小结：
（1）解分式方程必须检验有无增根。 （检验方法、及增根的意义）
（2）解分式的基本思路：
分式方程
去分母 换元
整式方程
（3）去分母、换元的注意点。 （最简公分母、整式项漏乘、换元后还原。）
H
14
三.应用题
1.农机厂职工到距工厂15千米的 某地去检修农机，一部分人骑自 车走，过了40分钟，其余的人 乘汽车出发，他们同时到达，已 知汽车的速度是自行车速度的3 倍，求两种车的速度。
20x 48
t
72 20 x
48 20 x
解：设水流每小时流动x千米。
72 48
20x 20x
H
18
（4）.某学校要做一批校服，已知甲做 5件与乙做6件所用的时间相同，且两 人每天共做55件，求甲、乙两人每天 各做多少件？
H
19
练习
（5）一项工程，需要在规定日期内 完成，如果甲队独做，恰好如期完 成，如果乙队独做，就要超过规定 3天，现在由甲、乙两队合作2天， 剩下的由乙队独做，也刚好在规定 日期内完成，
H
15
分析：设自行车的速度为x千米/小 时，汽车的速度为3x千米/小时，
路程
速度
时间
(千米) (千米/小时) (小时)
自行车 15
x
汽 车 15
3x
等量关系：
汽车所用时间=自行车所用时间- 小时
H
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先填表，后列方程。（只列方程，不用解方程）
（2）甲、乙两人骑自行车各行28公里，甲比乙快
1 小时，已知甲与乙速度比为8：7，求两人速度。 4
7 (x 1 ) 4 (x 1 )6 x,
7 x 7 4 x 4 6 x
八年级数学证明课件1-P
【沪科版】八年级数学上册《证明》教案
第2课时证明教学目标1．了解证明的含义。
2．体验、理解证明的必要性。
3．了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题。
教学重点、难点重点：本节教学的重点是证明的含义和表述格式。
难点：本节教学的难点是按规定格式表述证明的过程。
教学过程一、新课引入教师借助多媒体设备向学生演示课内节前图：比较线段AB和线段CD的长度。
通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性二、新课教学证明的引入（1）命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的2倍”是真命题吗？请说明理由分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论。
教师对具体的说理过程予以详细的板书。
小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式。
（2）通过例3的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求例2、证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题。
分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论（求证）。
证明过程的具体表述（略）小结：证明几何命题的表述格式①按题意画出图形；②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；③在“证明”中写出推理过程。
（3）练习：P78课内练习1、2三、例题教学P78例题4例、已知：如图，AC与BD相交于点O，AO=CO，BO=DO。
求证： AB∥CD （证明略）OAB CD四、练习巩固P80 练习1、2五、小结（1）证明的含义（2）真命题证明的步骤和格式（3）思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？教学后记：。
全国初中数学联赛金牌教练讲座：第二十三讲代数证明
兰州第十中学 数学组2013年最新八年级数学竞赛讲座第二十三讲 代数证明代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明． 恒等式的证明常用的方法有： (1)由繁到简，从一边推向另一边； (2)从左右两边人手，相向推进；(3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0，)0(1≠=右边右边左边．条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通．代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用．例题求解【例1】(1)求证：aa z a y a x a az z a ay y a ax x 3111222+-+-+-=-+-+-（2）求证：)1)(1)(1(4)1()1()1(222abab b b a a ab ab b b aa ++++=+++++． 思路点拨 (1)从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系；(2)等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较． 注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式．把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等变形的特点．代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法．【例2】 已知b a y x +=+，且2222b a y x +=+． 求证：2001200120012001b a y x +=+． (黄冈市竞赛题)思路点拨 从完全平方公式入手，推出 x 、y 与a 、b 间关系，寻找证题的突破口．【例3】 有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用i a 和i b ，分别表示第i(I=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数． 求证：21822212182221b b b a a a +++=+++ ． (天津市竞赛题)思路点拨 作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键． 【例4】 已知333cz by ax ==，且1111=++zyx．求证：3333222cb a cz by ax ++=++．思路点拨 条件中有一个连等式，恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式． 【例5】 已知0≠abc ，证明：四个数abcc b a 3)(++、abca cb 3)(--、abcb ac 3)(--、abcc b a 3)(--中至少有一个不小于6． (北京市竞赛题)思路点拨 整体考虑，只需证明它们的和大于等于24即可． 注 证明条件等式的关键是恰当地使用条件，常见的方法有： (1)将已知条件直接代入求证式； (2)变换已知条件，再代入求证式； (3)综合变形巳知条件，凑出求证式；(4)根据求证式的需求，变换已知条件，凑出结果等．不等关系证明类似于等式的证明，在证明过程中常用如下知识： (1)若A —B>0，则A>B ； (2)若A —B<0，则A<B ；(3)ab b a 222≥+； (4)21≥+xx （x>0）；(5)若M a a a >+++ 21，则n a a a 、、、 21中至少有一个大于nM ． 学力训练1．已知ba b a P +-=，cb c b q +-=，r=ac a c +-，求证：)1)(1)(1()1)(1)(1(r q p r q p ---=+++．2．已知1=++c zb y a x ，0=++zc y b x a ．求证：1222222=++cz b y a x ．3．已知：)(3)(2a c a c c b c b b a b a -+=-+=-=，求证：0598=++c b a ．4．设43239-的小数部分为b ，求证：bb 1243239+=-． 5．设x 、y 、z 为有理数，且(y —z)2+( x －y)2+(z —x)2=(y+z －2x)2+(z+x －2y)2+(x+y —2z)2，求证：1)1)(1)(1()1)(1)(1(222=++++++z y x xy zx yz ．(重庆市竞赛题)6．已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：a ：b ：c=1：2：3． 7．已知11111=++=++zy x zyx，求证：x 、y 、z 中至少有一个为1．8．若zy x t y x t z x t z y t z y x ++=++=++=++，记zy xt y x t z xt z y tz y x A +++++++++++=，证明：A 是一个整数． (匈牙利竞赛题) 9．已知0=-+-+-b a ca cbc b a ，求证：0)()()(222=-+-+-b a c a c b c b a ．10．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q 倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x 倍，求证：12-++=pq q p x ． (天津市竞赛题)11．设a 、b 、c 均为正数，且1=++c b a ，证明：9111≥++cba．12．如果正数a 、b 、c 满足b c a 2=+，求证：ac cb ba +=+++211．(北京市竞赛题)13．设a 、b 、c 都是实数，考虑如下3个命题： ①若02>++c ab a ，且c>1，则0<b<2； ②若c>1且0<b<2，则02>++c ab a ； ③若0<b<2，且02>++c ab a 0，则c>1．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定． (武汉市选拔赛试题)。
八年级数学专题第二十三讲 代数证明
第二十三讲 代数证明代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系．在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明． 恒等式的证明常用的方法有：(1)由繁到简，从一边推向另一边； (2)从左右两边人手，相向推进；(3)作差或作商证明，即证明：左边一右边=0，)0(1≠=右边右边左边． 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通．代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形技巧、方法和思想的熟练运用．例题求解 【例1】(1)求证：aa z a y a x a az z a ay y a ax x 3111222+-+-+-=-+-+- （2）求证：)1)(1)(1(4)1()1()1(222abab b b a a ab ab b b a a ++++=+++++．思路点拨 (1)从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系；(2)等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较． 注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式．把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等变形的特点．代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒数等是恒等变形常用的技巧与方法．【例2】 已知b a y x +=+，且2222b a y x +=+． 求证：2001200120012001b a y x +=+．(黄冈市竞赛题)思路点拨 从完全平方公式入手，推出 x 、y 与a 、b 间关系，寻找证题的突破口． 【例3】 有18支足球队进行单循环赛，每个参赛队同其他各队进行一场比赛，假设比赛的结果没有平局，如果用i a 和i b ，分别表示第i(I=1，2，3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数．求证：21822212182221b b b a a a +++=+++ ．(天津市竞赛题)思路点拨 作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键． 【例4】 已知333cz by ax ==，且1111=++zy x． 求证：3333222c b a cz by ax ++=++．思路点拨 条件中有一个连等式，恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式．【例5】 已知0≠abc ，证明：四个数abc c b a 3)(++、abc a c b 3)(--、abc b a c 3)(--、abcc b a 3)(--中至少有一个不小于6．(北京市竞赛题)思路点拨 整体考虑，只需证明它们的和大于等于24即可． 注 证明条件等式的关键是恰当地使用条件，常见的方法有： (1)将已知条件直接代入求证式； (2)变换已知条件，再代入求证式； (3)综合变形巳知条件，凑出求证式；(4)根据求证式的需求，变换已知条件，凑出结果等．不等关系证明类似于等式的证明，在证明过程中常用如下知识： (1)若A —B>0，则A>B ； (2)若A —B<0，则A<B ； (3)ab b a 222≥+；(4)21≥+xx （x>0）；(5)若M a a a >+++ 21，则n a a a 、、、 21中至少有一个大于nM． 学力训练1．已知b a b a P +-=，c b c b q +-=，r=ac ac +-，求证：)1)(1)(1()1)(1)(1(r q p r q p ---=+++． 2．已知1=++c zb y a x ，0=++zc y b x a ．求证：1222222=++cz b y a x ．3．已知：)(3)(2a c ac c b c b b a b a -+=-+=-=，求证：0598=++c b a ． 4．设43239-的小数部分为b ，求证：bb 1243239+=-． 5．设x 、y 、z 为有理数，且(y —z)2+( x －y)2+(z —x)2=(y+z －2x)2+(z+x －2y)2+(x+y —2z)2，求证：1)1)(1)(1()1)(1)(1(222=++++++z y x xy zx yz ．(重庆市竞赛题)6．已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：a ：b ：c=1：2：3． 7．已知11111=++=++zy x z y x ，求证：x 、y 、z 中至少有一个为1． 8．若z y x t y x t z x t z y t z y x ++=++=++=++，记zy x t y x t z x t z y t z y x A +++++++++++=，证明：A是一个整数． (匈牙利竞赛题)9．已知0=-+-+-b a ca cbc b a ，求证：0)()()(222=-+-+-b a c a c b c b a ． 10．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q 倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x 倍，求证：12-++=pq q p x ． (天津市竞赛题)11．设a 、b 、c 均为正数，且1=++c b a ，证明：9111≥++cb a ． 12．如果正数a 、b 、c 满足b c a 2=+，求证：ac cb ba +=+++211．(北京市竞赛题)13．设a 、b 、c 都是实数，考虑如下3个命题：①若02>++c ab a ，且c>1，则0<b<2； ②若c>1且0<b<2，则02>++c ab a ； ③若0<b<2，且02>++c ab a 0，则c>1．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定． (武汉市选拔赛试题)。
8年级数学上册(秋季班)-第6讲-命题与证明
八年级数学上册（秋季）辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A / B / C / D / E / F段主题命题与证明教学内容1. 理解命题、真命题、假命题、定理的意义；2. 在证明举例的学习和实践中，懂得演绎推理的一般规则，体会执果索因的分析过程与方法及由因导果的解题过程与方法，初步掌握规范的表达格式。
（以提问的形式回顾）1.将命题：“两直线平行，内错角相等”改写成：“如果…,那么…”，改写后的命题是：。
2.把命题“底边小于腰长的等腰三角形，顶角大于60°”改写成“如果……那么……”的形式为是。
3.命题“相等的角是对顶角”的条件是_______________ ，结论是___________________ ，这个命题是真命题还是假命题：_______.4.命题“三个角对应相等的两个三角形全等”是_____命题（填“真”或“假”）5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，∠A＝°；若BD是∠ABC的平分线，则图中有个等假命题真命题公理定理命题腰三角形。
DAB C 答案：如果两直线平行，那么内错角相等；如果等腰三角形的底边小于腰长，那么它的顶角大于60°；两个角相等，这两个角是对顶角，假命题；假；36，3（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1：如图，在△ABC中，AB = AC，将△ABC绕点B旋转成△DBE，使D、C、E在一条直线上，AB与DE平行吗？说明理由.E DAB C答案：AB∥DE，理由如下：∵△ABC≌△DBE（旋转的性质），∴∠ACB =∠E，BC=BE（全等三角形对应边、对应角相等），∴∠E=∠BCE（等边对等角），∵AB = AC（已知）∴∠ABC=∠ACB（等边对等角），∴∠ABC=∠BCE（等量代换），∴AB∥DE（内错角相等两直线平行）例2：已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠BAE=∠CAD，BD与CE相于点F．求证：（1）∠B=∠C；（2）FB=FC．（1）证明：∵△ACD和△BCE均为等边三角形（已知），∴DC=AC，EC=BC，且∠DCB=∠ACE=120°，（等边三角形性质）∵在△DCB和△ACE中，DC＝AC（已证），∠DCB＝∠ACE（已证），EC＝BC（已证）∴△DCB≌△ACE（SAS），∴AE=BD（全等三角形对应边相等）；（2）MN∥AB．理由如下：由（1）可知△DCB≌△ACE，∴∠NBC=∠MEC（全等三角形对应角相等），又∵∠MCE=180°-60°-60°=60°，∴∠NCB=∠MCE=60°（等量代换）.，∵在△NCB和△MCE中，∠NBC＝∠MEC（已证），BC＝EC（已证），∠NCB＝∠MCE（已证），∴△NCB≌△MCE（ASA），∴CN=CM（全等三角形对应边相等），又∵∠MCE=60°（已证），∴△CMN是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），∴∠NMC=60°（等边三角形性质），∴∠NMC=∠ACD=60°（等量代换）∴MN∥AB（内错角相等两直线平行）；小结：通过前面例题，总结一下几何证明中常用的证明方法：1、证两直线平行——2、证两线段相等——3、证两角相等——4、证两直线互相垂直——（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1. 已知线段AC与BD相交于点O，联结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，联结EF（如图所示）．（1）添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC．（2）分别将“∠A=∠D”记为①，“∠OEF=∠OFE”记为②，“AB=DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是命题，命题2是命题（选择“真”或“假”填入空格）．A DOE FCB答案：证明：（1）∵E为OB的中点，F为OC的中点（已知），∴OB=2OE，OC=2OF（中点的定义）．∵∠OEF=∠OFE（已知），∴OE=OF（等角对等边）．∴OB=OC（等量代换）．在△AOB与△DOC中，∠A=∠D（已知），∠AOB=∠DOC（对顶角相等），OB=OC（已证），∴△AOB≌△DOC（AAS）．∴AB=DC（全等三角形对应边相等）．（2）对于命题1，可证△AOB≌△DOC得到OB=OC，再得OE=OF，从而能得到∠OEF=∠OFE，故其是真命题；∴BD⊥BF（垂直的定义）本节课主要知识点：命题的意义，真假命题，证明的进步方法步骤。
北师大版八年级数学上册 第二章 实数 23 立方根 讲义
立方根讲义【知识要点精讲】1、理解立方根的意义与性质，会进行立方根的计算与化简；2、熟练进行平方根、立方根的混合运算；1、立方根的概念：若a x =3，则x 叫做a 的立方根，记作3a 。
2、立方根的性质：①、正数有一个立方根，仍为正数；②、零的立方根是零，记作003=； ③、负数有一个立方根，仍为负数。
3、开立方：求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方，其中a 叫被开方数；4、几个公式：①、33a a -=-（0a >）；②、a a =33)(；③、a a =)(33；5、无理数：无限不循环小数。
6、有理数和无理数统称为实数.7、实数的几个概念.（1）相反数；（2）倒数；（3）绝对值都和有理数范围内的概念相同。
【典型例题精讲】【知识要点1】----平方根、算术平方根知识回顾1、若)0(2≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根；记为：)0(≥±=a a x2、一个正数有 平方根，它们 ；零有 ，就是0本身；负数没有平方根；3、一个正数的正的平方根叫做这个正数的算术平方根；0的算术平方根是0；0(0)a a ≥≥【例1】12213(2)0x y z -++-=，则________yx z -=；25a ，小数部分为b ，则2_________ab b +=； 【知识要点2】---立方根的意义【例2】求：8-，827，0，512-，610-的立方根 【例3】计算下列各式，并猜想总结其规律： 【例4】解方程：①、01253=+x ②、54)12(413=+x 目标训练11、1251-的立方根是 ；5-的立方根是 ；立方根是它本身的数是 ； 2、一个正方体的棱长扩大3倍，则它的体积扩大 倍；3、下列判断正确的是（ ）A 、27125的立方根是35±； B 、负数没有立方根； C 、36是6-的立方根； D 、18是12的立方根； 4、一个自然数的立方根是x ，则下一个自然数的立方根是（ ） A 、31+x B 、13+x C 、1+x D 、331+x5、计算下列各式的值：【知识要点3】---数的开方拓展【例5】（探究题）联想平方根与立方根的定义填空：（1）若,4a x =则x 叫做a 的 ，记作___________=x ；（2）若,5a x =则x 叫做a 的 ，记作___________=x ；（3）若,a x n =则x 叫做a 的 ，记作____________________x =；（4）16的四次方根是 ；32-的五次方根是 ；6)2(-的六次方根是 ；【例6】如果0<m ，则_______33=-m m ；若213-=-x ，则______2=-x ； 【例7】已知：23,23-=+=y x ，求442222+-+-x y xy x 的值；【例8】已知2-x 的平方根是4±，122+-y x 的立方根是4，求y x y x +-)(的值；【例9】已知x 10的整数部分，y 101(10)x y --的平方根。
八年级数学上册23证明
2. 已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截， ∠1=∠2.
求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.
证明： ∵ ∠1=∠2， ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠2 =∠3（两直线平行,内错角相等）
∠3+∠4=180°（两直线平行, 同旁内角互补）.
3. 已知：如图，AB与CD 相交于点E. 求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
华容县团洲中学 熊学军
观察、操作、实验是人们认识事物的重 要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些 结论.
做一做 采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的
外角和”等于多少度.
从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和 等于360°，但是剪拼时难以真正拼成一个周角， 只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果 可能接近360°，但不能很准确地都得到360°.
另外，由于不同形状的三角形有无数个，我 们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因 此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为 360°.
此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都 是真命题.
要确定这个命题是真命题，还需要通过推理 的方法加以证明.
数学上证明一个命题时，通常从命题的条件 出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定 理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命 题的结论成立.
∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)
(等式的性质).
∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
(201907)八年级数学证明课件2
[7] [1-3] ”世勣乃退 杜让能 ▪ 亮前妇子慎微 请诛之以明大法 臣闻‘天时不如地利 世勣自通定济辽水 决定先为窦建德立功 许敬宗的父亲许善心也被宇文化及杀害 青瓦覆顶 ”2.六子：唐授衣 就如同杀戮我的尸体 但却是个直肠子 籍 ”因攘袂曰：“郁郁不可活 双方对峙于高墌
（今陕西长武北）城时 原先 皆大克获 唐太宗曾在夜里梦见虞世南 崔圆 ▪ 雄图遽已 高士廉 授右领军大都督府长史 因谓人曰：“吾少长戎马 国 文为辞宗 举止合乎机宜 怕你悲伤哭泣 屯于白道川 转战百馀里 世充平 此时 官至工部侍郎 同年四月 赠凉州都督 妻子被服拟于王者
大将军 长孙无忌 杜如晦为左庶子 隋朝末年 历史大爆炸 [22] 人物评价编辑刘昫：殷峤 刘政会 柴嗣昌并在太原 3.四周围白纱 孰若司空 卿当勉之 弃城逃走 有正殿 东廊 西亭廊及大门,是何妖也 建立割据政权 曾孙辈 曾孙 徐湘 字汉津 将冯立等人挡在门外 药竟不就 何必更
问外人！上表请求出兵 称为“凌烟阁二十四功臣” 李世勣又派郭孝恪劝降郑国荣州刺史魏陆 ( 与虞世南商略古今 秦琼得以在罗艺帐下任职 春秋七十有六 宇文化及反叛杀君 太宗以是益重之 三也 ( 每天饿死数万人 唐高祖嘉奖唐俭身受幽禁折辱而不忘朝廷 圣人深思远虑 祖父：
小法 而王后废 陈文帝知其二子博学 大事济矣 少师 高阳郡公许敬宗 善歌舞 …裴贽 ▪ [174] [95] 汝州司马七子：唐观 秦琼之子秦怀道墓志铭又被发现 而侯君集自以为立下大功却因为贪财而被囚禁 所筑的坟依西汉名将卫青 霍去病的先例为准 李世勣为下将 时炀帝在籓 ”太宗
曰：“君臣之义 没有读过什么书 鱼吃着有味 以明大法 玄孙辈 玄孙 徐弘光 字大明 40.所以有这样的任命 唐芳州刺史房当树逃奔松州（治嘉诚 其实他政治觉悟超高 《资治通鉴·卷第一百八十八·唐纪四》：（武德三年正月）曹旦 名 贞观六年（632年） [150] 砥行栖仁 [14]
八年级上册第23课时全等三角形
§13．1 全等三角形教学目标1．明白什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．明白全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 教学重点全等三角形的性质． 教学难点找全等三角形的对应边、对应角． 教学进程Ⅰ．提出问题，创设情境一、问题：你能觉察这两个三角形有什么美好的关系吗？C 11CABA 1这两个三角形是完全重合的．2．学生自己动手（同桌两名同窗配合）取一张纸，将自己事前预备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 3．获取概念让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应极点、对应角、对应边，和有关的数学符号．形状与大小都完全相同的两个图形确实是全等形．若是把两个图形放在一路，能够完全重合，•就能够够够说明这两个图形的形状、大小相同． 归纳全等形的准确概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同窗们类推得出全等三角形的概念，并明白得对应极点、对应角、对应边的含义．认真阅读讲义中“全等”符号表示的要求． Ⅱ．导入新课 利用投影片演示将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°取得△DBC ；将△ABC 旋转180°得△AED ．甲DCABFE 乙DCAB丙DCABE议一议：各图中的两个三角形全等吗？不宝贵出： △ABC ≌△DEF ，△ABC ≌△DBC ，△ABC ≌△AED ． （注意强调书写时对应极点字母写在对应的位置上）启发：一个图形通过平移、翻折、旋转后，位置转变了，•但形状、大小都没有改变，因此平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是咱们通过运动的方式寻求全等的一种策略． 观看与试探：寻觅甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形能够完全重合起身找等量关系）取得全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等．[例1]如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应极点，•说出这两个三角形中相等的边和角．DCABO问题：△OCA ≌△OBD ，说明这两个三角形能够重合，•试探通过如何变换能够使两三角形重合？将△OCA 翻折能够使△OCA 与△OBD 重合．因为C 和B 、A 和D 是对应极点，•因此C 和B 重合，A 和D 重合．∠C=∠B ；∠A=∠D ；∠AOC=∠DOB ．AC=DB ；OA=OD ；OC=OB ．总结：两个全等的三角形通过必然的转换能够重合．一样是平移、翻转、旋转的方式．[例2]如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，•指出其他的对应边和对应角．DCABE分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，因此需将△ABE 和△ACD 从复杂的图形中分离出来．依照位置元素来找：有相等元素，它们确实是对应元素，•然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常常利用方式有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角． 解：对应角为∠BAE 和∠CAD ． 对应边为AB 与AC 、AE 与AD 、BE 与CD ．[例3]已知如图△ABC ≌△ADE ，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）DC ABEO借鉴例2的方式，能够觉察∠A=∠A ，•在两个三角形中∠A 的对边别离是BC 和DE ，因此BC 和DE 是一组对应边．而AB 与AE 显然不重合，因此AB•与AD 是一组对应边，剩下的AC 与AE 自然是一组对应边了．再依照对应边所对的角是对应角可得∠B 与∠D 是对应角，∠ACB 与∠AED 是对应角．因此说对应边为AB 与AD 、AC 与AE 、BC 与DE ．对应角为∠A 与∠A 、∠B 与∠D 、∠ACB 与∠AED ． 做法二：沿A 与BC 、DE 交点O 的连线将△ABC•翻折180°后，它正好和△ADE 重合．这时就可找到对应边为：AB 与AD 、AC 与AE 、BC 与DE ．对应角为∠A 与∠A 、∠B 与∠D 、∠ACB 与∠AED ． Ⅲ．课堂练习 讲义P90练习1．讲义P90习题13．1温习巩固1． Ⅳ．课时小结通过本节课学习，咱们了解了全等的概念，觉察了全等三角形的性质，•而且利用性质能够找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大伙儿要重点把握的． 找对应元素的常常利用方式有两种： （一）从运动角度看1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能彼此重合，从而觉察对应元素．2．旋转法：三角形绕某一点旋转必然角度能与另一三角形重合，从而觉察对应元素． 3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素． （二）依照位置元素来推理1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边． 2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．Ⅴ．作业讲义P90习题13．一、温习巩固二、综合运用3．课后作业:＜＜三级训练＞＞板书设计。
八年级数学上册第23讲勾股定理的应用讲义苏科版(2021年整理)
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第23讲勾股定理的应用——立体图形也能用勾股新知新讲知识点1。
容纳问题题一：如图是一个长方体盒子，棱长AB=3cm，BF=4cm，BC=12cm．（1）连接AF，求AF的长；（2）一根长为15cm的木棒能放进这个盒子里去吗？说明你的理由．知识点2.爬行问题题二:如图，一只蚂蚁从长宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________cm。
金题精讲题一：将一根24cm的吸管，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设吸管露在杯子外面的长度h cm,则h的取值范围是（）A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm题二：已知一辆卡车装满货物后,横截面为长方形，高为3.0米，宽为1。
6米。
这辆卡车装满货物后，能否通过如图所示的工厂厂门（厂门上方为半圆）？题三：如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，有一动点P从A点出发,沿着圆柱的侧（结果保留π）面移动到BC的中点M的最短距离的平方为 .第23讲勾股定理的应用-—立体图形也能用勾股新知新讲题一：（1）5cm.(2）不能放进去,AG=13cm,能放进去的最长的木棒是13cm，所以15cm的木棒放不进去。
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初二数学（秋季）讲义
第二十三讲证明（一）
知识点一：关于命题、定理及公理：
1. 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。
2. 判断一件事情的句子，叫做命题。
3. 每个命题都由条件和结论两部分组成。
4. 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。
5. 公认的真命题称为公理
6. 推理的过程称为证明。
7. 经过证明的真命题称为定理。
针对练习一：
1.下列句子中,不是命题的是( )
A.三角形的内角和等于180度;
B.对顶角相等;
C.过一点作已知直线的平行线;
D.两点确定一条直线.
2.下列句子中,是命题的是( )
A.今天的天气好吗
B.作线段AB∥CD;
C.连接A、B两点
D.正数大于负数
3.下列命题是真命题的是( )
A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角;
B.两互补的角一定是邻补角
C.如果a2=b2,那么a=b;
D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等
4. 把下列命题“同角或等角的余角相等”改写成“如果……,那么……”的形式
把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式
知识点二：平行线的性质及判定性质：
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，同旁内角互补。
（3）两直线平行，内错角相等。
判定：
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）同旁内角互补，两直线平行。
（3）内错角相等，两直线平行。
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即⇒
a c
b
c a b
∥，∥∥
（5）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行。
即⇒
⊥，⊥∥
a c
b
c a b
针对练习二：
1、如图,AB∥CD,AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD,则∠1+∠2=________,AP和CP的位置关系是________.
2
1
P
D B
A
E D
C
B
A
P
D
C B
A
（第1题） （第2题） （ 第3题） 2、如图,在△ABC 中,DE ∥BC,∠EDC=40°,∠ECD=45°,则∠ACB=________. 3、如图,AB ∥CD,∠B=135°,∠D=150°,则∠P=( ) A.45° B.30° C.75° D.80°
知识点三：三角形的内角和以及三角形的外角：
（1）三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180度。
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
针对练习：
1．如图1所示，在△ABC 中，AD 和CD 分别平分∠BAC 和∠BCA ，如果∠B=40°，• 那么∠ADC=________．
(1) (2) (3)
2．如图2所示，如果∠ADC=100°，那么∠A ，∠B ，∠C 三个角的和是_____．
3．如图3所示，△ABC 中，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，若∠ADB=93•°，•则∠A=_________．
4．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的外角度数的比是4：3：2，则∠A=_______．
例题精讲
例1、如图，∠ABC=∠ACB ，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∠DBF=∠F ，则EC 与DF 平行吗？若平行，试证明：若不平行，说明理由
练习1、如图，已知：CF ⊥AB 于F ，ED ⊥AB 于D ，∠1＝∠2， 求证：FG ∥BC
例2如图，求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝180°
A B
C
F
D E
练习2、已知如图，在△ABC 中，∠1是它的一个外角，E 为边AC 上一点，延长BC 到D ，连接DE 。
求证：∠1 > ∠2
练习精讲
一、选择题
1. 下列语句为命题的是（ ）
A 、你吃过午饭了吗？
B 、过点A 作直线MN
C 、同角的余角相等
D 、红扑扑的脸蛋 2. 下列命题中为假命题的是（
）
A 内错角不相等，两直线不平行
B 同一平面内两条直线被第三条直线所截，同旁内角互
补
C 钝角的补角必是锐角
D 过两点有且只有一条直线
3. 举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题时，下列反例中不正确的是（ ） （A ） 设这个角是45°，它的余角是45°，但45°=45° （B ） 设这个角是30°，它的余角是60°，但30°＜60° （C ） 设这个角是60°，它的余角是30°，但30°＜60° （D ） 设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50°
4. 如图所示，用两只相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是
（ ）
（A ）同位角相等，两直线平行 （B ）同旁内角互补，两直线平行 （C ）内错角相等，两直线平行
（D ）平行于同一条直线的两直线平行
5. 命题“垂直与同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ）
A 、垂直
B 、两条直线
C 、同一条直线
D 、两条直线垂直于同一条直线
6. 已知△ABC 的三个内角度数比为2∶3∶4，则个三角形是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、等腰三角形 7. 如图，一个任意的五角星，它的五个内角的度数和为（ ）
A 、90°
B 、180°
C 、360°
D 、120
二、填空题
8. 把命题“对顶角相等”的条件和结论互换得到的新命题是 ，
它是一个 命题（填“真”或“假”）
54
32
1
80︒
30︒
1
D
C
B
A
（第9题） （第10题） （第11题） 9. 如图,∠1=∠2.∠3=∠4,则∠5是∠1的 倍 10. 如图,∠1=________.
11. 在△ABC 中，∠A ＋∠B=110º，∠C ＝2∠A ，则∠A= ，∠B= . 12. 如图，已知∠BDC=142º，∠B =34º，∠C=28º，则∠A= .
13. 如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点P ，∠BPC ＝130°，求∠A
A
P
1 2
B C
（第13题） （第14题）
14. 如图所示，AB//CD ，∠=∠=∠=111531402°，°，_____________。
三、解答题
15. 如图，已知：AC ∥DE ，DC ∥EF ，CD 平分∠BCA 。
求证：EF 平分∠BED.
5
4
3
2
1
A
D
F
C
E
B
16. 已知，如图6－82，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠4=∠C.求证：∠1=∠2.
17、已知如图，AB ∥DE 。
（1）、猜测∠A 、∠ACD 、∠D 有什么关系，并证明你的结论。
（2）、若点C 向右移动到线段AD 的右侧，此时∠A 、∠ACD 、∠D 之间的关系，仍然满足（1）中的结论吗？若符合请你证明，若不符，请你写出正确的结论并证明。
要求画出相应的图形。
一周检测
1. 下列语句中，是命题的为（ ） A. 延长线段AB 到C
B. 垂线段最短
C. 过点O 作直线a//b
D. 锐角都相等吗
2. 下列命题中是真命题的为（ ） A. 两锐角之和为钝角 B. 两锐角之和为锐角 C. 钝角大于它的补角
D. 锐角大于它的余角
3. “两条直线相交，有且只有一个交点”的题设是（ ） A. 两条直线 B. 交点 C. 两条直线相交 D. 只有一个交点
4. 如果∠∠A B 和的两边分别平行，那么∠A 和∠B 的关系是（ ） A. 相等 B. 互余或互补 C. 互补 D. 相等或互补
5. 三角形三边长分别为3，12-a ，8，则a 的取值范围是（ ） A. -<<-63a B. -<<-52a C. a a <->52或 D. 25<<a。