【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练10(含解析)北师大版必修4
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 解三角形双基限时练3(含解析)新人教A版必修5
双基限时练(三)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6，或5π6D.π3，或2π3解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又0<B <π，∴B ＝π6.答案 A2．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝( ) A ．3－ 3 B. 2 C ．2D ．3＋ 3解析 由正弦定理，知BC sin A ＝AB sin C ，∴BC ＝AB sin Asin C ＝3×226＋24＝3－ 3.答案 A3．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B 等于( ) A ．105° B ．60°C ．15°D ．105°，或15°解析 先用正弦定理求角C ，由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝10×1252＝22.又c >a ，∴C ＝45°，或135°，故B ＝105°，或15°. 答案 D4．已知三角形的三边之比为a ：b ：c ＝2：3：4，则此三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 设三边长为2a,3a,4a (a >0)，它们所对的三角形内角依次为A ，B ，C . 则cos C ＝ 2a 2＋ 3a 2－ 4a 22×2a ×3a ＝－14<0，∴C 为钝角．故该三角形为钝角三角形． 答案 B5．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( )A ．a >b sin AB ．a ＝b sin AC ．a <b sin AD ．a ≥b sin A解析 在△ABC 中，由正弦定理，知a ＝b sin A sin B，∵0<sin B ≤1，∴a ≥b sin A .答案 D6．△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且a 2＝bc ，则△ABC 的形状是( ) A ．两直角边不等的直角三角形B ．顶角不等于90°，或60°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析 解法1：由2A ＝B ＋C ，知A ＝60°.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝b 2＋c 2－bc2bc∴b 2＋c 2－2bc ＝0.即(b －c )2＝0，∴b ＝c . 故△ABC 为等边三角形． 解法2：验证四个选项知C 成立． 答案 C7．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC 的长为____________． 解析 由A ＋B ＋C ＝180°，求得B ＝60°.∴BCsin A ＝AC sin B ⇒BC ＝AC sin A sin B＝3×2232＝ 2.答案 28．△ABC 中，已知a ＝2，c ＝3，B ＝45°，则b ＝________. 解析 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝2＋9－2×2×3×22＝5，∴b ＝ 5. 答案59．在△ABC 中，a ＝23，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ，∴43＝12×23×b ×223，∴b ＝3 2.答案 3 210．在△ABC 中，a ＋b ＝10，而cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根，求△ABC 周长的最小值．解 解方程2x 2－3x －2＝0，得x 1＝－12，x 2＝2，而cos C 为方程2x 2－3x －2＝0的一个根，∴cos C ＝－12.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝a 2＋b 2＋ab .∴c 2＝(a ＋b )2－ab＝100－ab ＝100－a (10－a )＝a 2－10a ＋100＝(a －5)2＋75≥75，∴当a ＝b ＝5时，c min ＝5 3.从而三角形周长的最小值为10＋5 3.11．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，试判断此三角形的形状．解 ∵lgsin B ＝－lg 2，∴sin B ＝22.又∵B 为锐角，∴B ＝45°.∵lg a －lg c ＝－lg 2，∴a c ＝22. 由正弦定理，得sin A sin C ＝22.即2sin(135°－C )＝2sin C .∴2(sin135°cos C －cos135°sin C )＝2sin C . ∴cos C ＝0，∴C ＝90°，∴A ＝B ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．12．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．解 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，由正弦定理，得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理，得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4，∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴a＝3.(3)∵a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练2(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(二)1．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ) A ．{α|α＝k π，k ∈Z }B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z C ．{α|α＝2k π，k ∈Z }D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π2，k ∈Z 解析 A 选项表示的角的终边在x 轴上；B 选项表示的角的终边在y 轴上；C 选项表示的角的终边在x 轴非负半轴上；D 选项表示的角的终边在y 轴非负半轴上，故选D.答案 D2．在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3cm B.20π3cm C.10π3cm D.50π3cm 解析 记r ＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3，∴l ＝|α|r ＝203π.答案 B3．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8πB.74π－8π C.π4－10π D.7π4－10π 解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°， 又2π＝360°，315°＝74π，∴－1485°＝－5×2π＋74π＝7π4－10π.答案 D4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( )A ．－34πB.π4C.34π D ．－π4解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－34π.又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4.∴使|θ|最小的θ＝－3π4.答案 A5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2解析 设所在圆的半径为r ，圆内接正三角形的边长为2r sin60°＝3r ，所以弧长3r 的圆心角的弧度数为3rr＝ 3.答案 C6．用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4≤α≤π3 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4≤α≤5π3 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋π3，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z解析 由图可知在[0,2π)内角的终边落在阴影部分时π4≤α≤5π3， ∴满足条件的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z. 答案 D7．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的________倍．解析 由公式θ＝l r 知，半径r 变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的2倍．答案 28．将下列弧度转化为角度： (1)π12＝________； (2)－7π8＝________；(3)13π6＝________；(4)－512π＝________.答案 (1)15° (2)－157°30′ (3)390° (4)－75°9．将下列角度化为弧度： (1)36°＝________rad ； (2)－105°＝________rad ； (3)37°30′＝________rad ； (4)－75°＝________rad. 解析 利用1°＝π180rad 计算．答案 (1)π5(2)－7π12(3)5π24(4)－5π1210．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为________． 解析 150°＝150×π180＝5π6，∴l ＝5π6×10＝25π3(cm)．答案 25π3cm11．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线OM 上； (2)终边落在直线OM 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6.∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ，又5π6＜53π45＜3π2. ∴2012°＝503π45∈S .12.如图所示，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇所用的时间及P 、Q 各自走过的弧长． 解 设P 、Q 第一次相遇时所用的时间为t 秒，则：t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，即第一次相遇时所用的时间为4秒．P 点走过的弧长为：43π×4＝163π， Q 点走过的弧长为：8π－16π3＝8π3. 13．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋R θ＝8，12θ·R 2＝3，解得θ＝23或6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为 x cm ，则扇形的圆心角θ＝8－2xx，于是扇形的面积是S ＝12x 2·8－2x x＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4.故当x ＝2 cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2弧度，弦长AB ＝2 ·2sin 1＝4sin1 (cm)．即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB 等于4sin1 cm.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练3(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(三)1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C.32D.12解析 利用三角函数的定义可得sin α＝－12，故选B.答案 B2．若角α的终边经过M (0,2)，则下列各式中，无意义的是( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan αD ．sin α＋cos α解析 因为M (0,2)在y 轴上，所以α＝π2＋2k π，k ∈Z ，此时tan α无意义．答案 C3．下列命题正确的是( )A ．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角B ．若α>β，则cos α<cos βC ．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角D ．若α是第三象限角，则sin αcos α>0且cos αtan α<0解析 当θ＝π时，cos θ＝－1，此时π既不是第二象限的角，也不是第三象限的角，故A 错误；当α＝390°，β＝30°时，cos α＝cos β，故B 错误；当α＝30°，β＝150°时，sin α＝sin β，但α与β终边并不相同，故C 错误，只有D 正确．答案 D4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析 ∵α，β为三角形的内角，且sin αcos β<0， 又sin α>0，∴cos β<0，∴β为钝角． ∴三角形为钝角三角形． 答案 B5．设角α的终边过点P (3a,4a )(a ≠0)，则下列式子中正确的是( ) A ．sin α＝45B ．cos α＝35C ．tan α＝43D ．tan α＝－43解析 ∵a ≠0，∴tan α＝4a 3a ＝43.答案 C6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，则θ所在的象限为( )A ．第一或第三象限B ．第二或第四象限C ．第二或第三象限D ．第一或第四象限解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2θ<1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上递减，∴sin2θ>0，∴2k π<2θ<π＋2k π，k ∈Z ， ∴k π<θ<π2＋k π，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π<θ<π2＋2n π，此时θ在第一象限内．当k ＝2n ＋1，n ∈Z时，π＋2n π<θ<3π2＋2n π，n ∈Z ，此时θ在第三象限内．综上可得θ所在的象限为第一象限或第三象限，故选A. 答案 A7．角α终边上有一点P (x ，x )(x ∈R ，且x ≠0)，则sin α的值为________． 解析 由题意知，角α终边在直线y ＝x 上，当点P 在第一象限时，x >0，r ＝x 2＋x 2＝2x ，∴sin α＝x2x＝22.当点P 在第三象限时，同理，sin α＝－22. 答案 ±228．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角．解析 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．答案 一或二9．点P (tan2 012°，cos2 012°)位于第____________象限． 解析 ∵2 012°＝5×360°＋212°，212°是第三象限角， ∴tan2 012°＞0，cos2 012°＜0，故点P 位于第四象限． 答案 四10．若角α的终边经过P (－3，b )，且cos α＝－35，则b ＝________，sin α＝________.解析 ∵cos α＝－39＋b2，∴－39＋b 2＝－35，∴b ＝4或b ＝－4.当b ＝4时，sin α＝b9＋b2＝45，当b ＝－4时，sin α＝b 9＋b2＝－45. 答案 4或－4 45或－4511．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.解 原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0° ＝1＋1＋1＋1＝4.12．一只蚂蚁从坐标原点沿北偏西30°方向爬行6 cm 至点P 的位置．试问蚂蚁离x 轴的距离是多少？解 如下图所示，蚂蚁离开x 轴的距离是PA .在△OPA 中，OP ＝6，∠AOP ＝60°， ∴PA ＝OP sin60° ＝6×32＝3 3. 即蚂蚁离x 轴的距离是3 3 cm.13．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，试求α的三个三角函数值． 解 当角α的终边在第一象限时，在y ＝2x 上任取一点P (1,2)，则有r ＝5，∴sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2.当角α的终边在第三象限时，同理可求得： sin α＝－255，cos α＝－55，tan α＝2.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 数列双基限时练10(含解析)北师大版必修5
双基限时练(十)一、选择题1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12 B.5＋12 C.1－52D.5±12解析 由题意得，a 3＝a 1＋a 2， ∴q 2＝1＋q ，得q ＝1±52，又a n >0，∴q >0，故q ＝1＋52.即a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52. 答案 B2．公差不为0的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析 2a 3－a 27＋2a 11＝0得4a 7－a 27＝0，∴a 7＝4，或a 7＝0(舍)．∵b 7＝a 7，∴b 6b 8＝b 27＝16.答案 D3．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90解析 设公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ，a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d ，由已知得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，得2a 1＝－3d ，又S 8＝ a 1＋a 8 ×82＝32，得d ＝2.∴S 10＝ a 1＋a 10 ×102＝5(2a 1＋9d )＝5×6d ＝60.答案 C4．数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }的相邻三项，若b 2＝5，则b n ＝( )A ．5·⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1B ．5·⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1C ．3·⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1D ．3·⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1解析 由题意得a 28＝a 5·a 13.即(a 1＋7d )2＝(a 1＋4d )(a 1＋12d )，得d ＝2a 1. ∴a 8＝15a 1，a 5＝a 1＋4d ＝9a 1，q ＝15a 19a 1＝53.∴b n ＝b 2·q n －2＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －2＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫53n －1.答案 D5．数列9,99,999,9999，…的前n 项和等于( ) A ．10n－1 B.109(10n－1)－n C.109(10n－1) D.109(10n－1)＋n 解析 a n ＝10n－1，∴S n ＝10 1－10n1－10－n ＝10 10n－1 9－n .答案 B6．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，易得a 1＝－8，a 10＝1，从而a 1＋a 10＝－7；当a 4＝－2，a 7＝4时，易得a 10＝－8，a 1＝1，从而a 1＋a 10＝－7.答案 D 二、填空题7．一个等比数列，它与一个首项为0，公差不为零的等差数列相应项相加后得到新的数列1,1,2，…，则相加以后新数列的前10项和为________．解析 设{a n }为等比数列，公比为q ，数列{b n }为等差数列，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋a 1＝1，q ＋d ＝1，q 2＋2d ＝2，a 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，a 1＝0，q ＝2，d ＝－1.∴新数列的前10项的和S 10＝1－2101－2＋10×92×(－1)＝978.答案 9788．1，12，2，14，4，18，…的前2n 项的和是________．解析 S 2n ＝(1＋2＋4＋…＋2n －1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝1－2n1－2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2n－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .答案 2n－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n9．首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和为S n ，则1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝________.解析 由已知可知S n ＝2n ＋n n －12×2＝n 2＋n∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 答案nn ＋1三、解答题10．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列． 求a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值．解 ∵{a n }为等差数列，且a 1，a 3，a 9成等比数列，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1d ＝d 2，又d ≠0，∴a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.11．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n .求数列{S n }的通项公式． 解 (1)∵{a n }为等比数列，a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25.又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4.而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1. ∴q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n.(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴{b n }的前n 项和S n ＝ 4＋5－n n 2＝n 9－n2.12．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，并且满足a 3·a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)如果数列{a n }和数列{b n }都满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋…＋b n2n (n 为正整数)，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由{a n }为等差数列，知a 2＋a 7＝a 3＋a 6＝16，由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 6＝55，a 3＋a 6＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝11，a 6＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11.又公差d >0，∴a 3＝5，a 6＝11. 由a 6＝a 3＋3d ，得d ＝2. ∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1. (2)当n ＝1时，a 1＝b 12，得b 1＝2.当n ≥2时，由a n ＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1＋b n2n ，得a n －1＝b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1.∴a n －a n －1＝b n2n . ∴b n ＝2n ＋1.又n ＝1时，2n ＋1＝4≠2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝1 ，2n ＋1n ≥2 .当n ＝1时，S 1＝b 1＝2，当n ≥2时，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2＋b 2 1－2n －11－2＝2n ＋2－6，又n ＝1时，上式也成立， ∴S n ＝2n ＋2－6.思 维 探 究13．已知数列{a n }为等差数列且公差d ≠0，{a n }的部分项组成下列数列：ak 1，ak 2，…，ak n 恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k n .解 由题设有a 2k 2＝ak 1ak 3，即a 25＝a 1a 17，∴(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，∴a 1＝2d 或d ＝0(舍去)，∴a 5＝a 1＋4d ＝6d ，∴等比数列的公比q ＝ak 2ak 1＝a 5a 1＝3. 由于ak n 是等差数列的第k n 项，又是等比数列的第n 项， 故ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝ak 1q n －1，∴k n ＝2·3n －1－1.。
【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修1双基限时练20
双基限时练(二十)1．若函数f (x )＝x 3(x ∈R )，则函数y ＝f (－x )在其定义域上( ) A ．单调递减的偶函数 B ．单调递减的奇函数 C ．单调递增的偶函数 D ．单调递增的奇函数解析 ∵f (x )＝x 3为奇函数． ∴y ＝f (－x )＝－f (x )＝－x 3.∴y ＝f (－x )在其定义域上单调递减且为奇函数，故选B. 答案 B2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 仅有α＝－1时，f (x )＝x －1满足题意，因此选A. 答案 A3．已知幂函数y ＝x m 在第一象限内的图象，如图所示．已知m 取2，－2，12，－12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的m 依次是( )A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析 由图象知，相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的幂依次从大到小排列，∴选B.答案 B4．函数y ＝x 53的图象大致是( )解析 由于53>1，故可排除选项A ，D.根据幂函数的性质可知，当a >1时，幂函数的图象在第一象限内下凸，故排除选项C ，只有选项B 正确．答案 B5．函数y ＝log a (2x －3)＋22的图象恒过定点P ，P 在幂函数f (x )的图象上，则f (9)＝( )A.13B. 3 C ．3D ．9解析 由log a 1＝0，对任意a >0且a ≠1都成立知，函数y ＝log a (2x－3)＋22的图象恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，设f (x )＝x α，则22＝2α，故α＝－12，所以f (x )＝x －12，所以f (9)＝9－12＝3－1＝13.答案 A6．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1234，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1534，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析 构造幂函数y ＝x 34(x ∈R )，则该函数在定义域内单调递增，知a >b ；构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由该函数在定义域内单调递减，所以a <c ，故c >a >b .答案 D7．函数y ＝(m －1)xm 2－m为幂函数，则该函数为________(填序号)．①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数． 解析 由y ＝(m －1)xm 2－m为幂函数，得m －1＝1，即m ＝2，则该函数为y ＝x 2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．答案 ②8．给出以下列结论：①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝a α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．答案 ④9．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，则n ＝________.解析 ∵－12<－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数． 又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1，或n ＝2. 答案 －1或2已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x ) (1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数． 解 (1)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数， 则－5m －3＝1，解得m ＝－45. 此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25. (4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.11．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．12．已知幂函数y ＝x 3－p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求满足条件(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p 2的实数a 的取值范围．解 ∵幂函数y ＝x 3－p (p ∈N *)的图象关于y 轴对称，∴函数y ＝x 3－p是偶函数．又y ＝x 3－p 在(0，＋∞)上为增函数， ∴3－p 是偶数且3－p >0， ∵p ∈N *，∴p ＝1，∴不等式(a ＋1) p 2 <(3－2a ) p2化为：(a ＋1) 12<(3－2a ) 12.∵函数y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<3－2a ，a ＋1≥0，3－2a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <23，a ≥－1，a ≤32⇒－1≤a <23，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 数列双基限时练2(含解析)北师大版必修5
双基限时练(二)一、选择题1．若数列{a n }的通项公式a n ＝3n ＋2，则数列{a n }的图像是( ) A ．一条直线 B ．一条抛物线 C ．一群孤立的点D ．一个圆解析 ∵n ∈N ＋，∴数列{a n }的图像是一群孤立的点，且这些点都在直线y ＝3x ＋2上． 答案 C2．在数列{a n }中，a n ＝3－2n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列解析 ∵a n ＋1－a n ＝3－2(n ＋1)－3＋2n ＝－2<0，∴数列{a n }为递减数列． 答案 B3．已知数列{a n }为递减数列，且a n ＝(3－2a )n ＋1，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <32B ．a >32C ．a ≤32D ．a ≥32解析 由{a n }为递减数列，知3－2a <0，即a >32.答案 B4．数列{3n 2－28n }中，各项中最小的项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析 对称轴n ＝286＝143＝423，∴当n ＝5时，a n 取得最小值．答案 B5．数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a 、b 都为正实数，则a n 与a n ＋1的大小关系是( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 有关解析 a n ＋1－a n ＝a n ＋1b n ＋1 ＋1－anbn ＋1＝abn 2＋abn ＋an ＋a －abn 2－abn －an bn ＋1 [b n ＋1 ＋1]＝abn ＋1 [b n ＋1 ＋1].∵a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0. 答案 B6．已知数列{－2n 2＋4an ＋3}中的数值最大的项为第6项，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫112，6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫6，132C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤112，132D ．{6}解析 由题意得，对称轴a ∈[5.5,6.5]． 答案 C 二、填空题7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n，则a 5＝________. 解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n，得a 2＝12，a 3＝121＋12＝13，a 4＝1343＝14，a 5＝1454＝15.答案 158．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＝_______________. 解析 由a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝1，知a 2＝3，a 3＝5，a 4＝7，…，a n ＝2n －1. 答案 2n －1 9．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N ＋)，则f (n ＋1)－f (n )＝________. 解析 由f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，得f (n ＋1)＝1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12 n ＋1， ∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 答案12n ＋1－12n ＋2三、解答题10．已知a n ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(a ≠0且为常数)，试判断{a n }的单调性．解 ∵a n －a n －1＝－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(n ≥2，且n ∈N ＋)，∴当a >0时，a n －a n －1<0.即a n <a n －1，数列{a n }为递减数列． 当a <0时，a n －a n －1>0，即a n >a n －1，数列{a n }是递增数列． 11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？求出最小值． 解 (1)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94当n ＝2时，a n ＝－2， 当n ＝3时，a 3＝－2， 当n ＝1时，a 1＝0， 同理，当n ＝4时，a 4＝0， 由函数的单调性可知， 当n ≥5时，a n >0，∴数列中只有a 2，a 3这两项为负数． (2)由a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94，知对称轴为n ＝52＝2.5，又n ∈N ＋，∴当n ＝2，或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.12．已知数列{a n }满足a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N ＋，求实数λ的取值范围． 解 ∵a n ≤a n ＋1，∴n 2＋λn －(n ＋1)2－λ(n ＋1)≤0，即λ≥－(2n ＋1)，n ∈N ＋.∴λ≥－3.∴实数λ的取值范围是[－3，＋∞)．思 维 探 究13．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n 2＋5n ＋4.(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？ 解 (1)对任意n ∈N ＋， ∵a n＋1－a n ＝1n ＋1 2＋5 n ＋1 ＋4－1n 2＋5n ＋4＝－2 n ＋3[ n ＋1 2＋5 n ＋1 ＋4] n 2＋5n ＋4<0，∴数列{a n}是递减数列．(2)令a n<0，即1n＋5n＋4<0，∴n2＋5n＋4<0得(n＋4)(n＋1)<0，∴－4<n<－1. 而n∈N＋，故数列{a n}没有负数项．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 导数及其应用双基限时练3(含解析)新人教A版选修2-2
双基限时练(三)1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴垂直 C ．与x 轴平行 D ．与x 轴平行或重合答案 D2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A. 2 B. 1 C.12D.14解析 s ′＝lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δt →018t ＋Δt2－18t 2Δt＝lim Δt →014t Δt ＋18Δt 2Δt＝lim Δt →0(14t ＋18Δt )＝14t .∴当t ＝2时，s ′＝12.答案 C3．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．h ′(a )<0 B ．h ′(a )>0 C ．h ′(a )＝0D ．h ′(a )的符号不定解析 由2x ＋y ＋1＝0，得h ′(a )＝－2<0. ∴h ′(a )<0. 答案 A4．曲线y ＝9x在点(3,3)处的切线方程的倾斜角α等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析 k ＝y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →09x ＋Δx －9x Δx＝lim Δx →0－9x x ＋Δx ＝－9x2.∴当x ＝3时，tan α＝－1.∴α＝135°. 答案 C5．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)解析 y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx＝lim Δx →02x Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .令2x ＝tan π4＝1，∴x ＝12，y ＝14.故所求的点是(12，14)．答案 D6．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________． 解析 k ＝f ′(2)＝lim Δx →0＋Δx 2－2×22Δx＝lim Δx →08Δx ＋Δx 2Δx＝lim Δx →0(8＋2Δx )＝8.答案 87．若函数f (x )在x 0处的切线的斜率为k ，则极限lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝________.解析 lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0f x 0－Δx －f x 0－Δx＝－k .答案 －k8．已知函数f (x )在区间[0,3]上图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f ′(3)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)解析 由f (x )的图象及导数的几何意义知，k 1>k 2>k 3. 答案 k 1>k 2>k 39．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程． 解 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f＋Δx －fΔx＝4，∴过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，k ＝－14.∴所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0. 10．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12.求： (1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程． 解 将P (2，－1)代入y ＝1t －x 得t ＝1，∴y ＝11－x. ∴y ′＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx＝lim Δx →011－x ＋Δx －11－xΔx＝lim Δx →01[1－x ＋Δx－x＝1－x2.(1)曲线在点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝1－2＝1； 曲线在点Q 处的切线的斜率为y ′|x ＝－1＝1[1－－2＝14. (2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14(x ＋1)，即x －4y ＋3＝0.11．已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)∵f ′(2)＝lim Δx →013＋Δx3－＋Δx ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－4×2＋4Δx＝0，∴直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)∵抛物线以点F (0,1)为焦点，y ＝－1为准线，∴设抛物线的方程为x 2＝2py ，则－p2＝－1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .12．已知曲线y ＝x 2＋1，问是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 存在． 理由如下： ∵y ＝x 2＋1，∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0x ＋Δx2＋1－x 2＋Δx＝lim Δx →02x Δx ＋Δx 2Δx＝2x .设切点坐标为(t ，t 2＋1)，∵y ′＝2x ，∴切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t . 于是可得切线方程为y －(t 2＋1)＝2t (x －t )． 将(1，a )代入，得a －(t 2＋1)＝2t (1－t )， 即t 2－2t ＋a －1＝0.∵切线有两条，∴方程有两个不同的解．故Δ＝4－4(a －1)>0.∴a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练11(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(十一)1．把函数f (x )的图象向右平移π12个单位后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，则f (x )为( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋712πB ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋34π C ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －512π 解析 用x －π12代换选项中的x ，化简得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的就是f (x )，代入选项C ，有f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋5π12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.答案 C2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π，②图象关于x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(x 2＋π6)B ．y ＝sin(2x ＋π6)C ．y ＝sin(2x －π3)D ．y ＝sin(2x －π6)解析 当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象关于x ＝π3对称，且周期T ＝2π2＝π. 答案 D3．要将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象转化为某一个偶函数图象，只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位解析 把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向左平移π8个单位即得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象．因为y ＝cos2x 为偶函数，所以符合题意．答案 C4．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是( )A ．－x ＋π6，π6B ．x －π6，－π6C ．x ＋5π6，5π6D ．x ＋5π6，π6解析 因为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，所以相位和初相分别是x ＋5π6，5π6.答案 C5．如下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6－1 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 C ．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1 D ．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1 解析 由图象知A ＝2－－2＝3，b ＝－1，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π. ∴ω＝2πT＝2，故可设解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)－1，代入点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－4，得－4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ－1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，∴φ＋7π6＝2k π－π2(k ∈Z )．令k ＝1，解得φ＝π3，所以y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1.答案 C6．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析 由题意可得，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2ω，则π2ω＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝4k ，k ∈Z ，因为6不是4的整数倍，所以ω的值不可能是6，故选B.答案 B7．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________． 解析 ∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)，∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)，∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )，即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π10(k ∈Z )． 答案k π5＋π10，k ∈Z 8．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________， φ＝________.解析 由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)．又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案 2π39．函数y ＝－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3的图象与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是__________．解析 令－52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3＝0.则4x ＋2π3＝k π，∴x ＝k π4－π6，k ∈Z .故取k ＝1时，x ＝π12.∴离原点最近的一点是⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π12，010．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0) 的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________． 解析 把f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.又所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0. ∴sin ωπ2＝0.∴ωπ2＝k π(k ∈Z )． ∴ω＝2k (k ∈Z )．∵ω>0，∴ω的最小值为2. 答案 211．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0，且以π2为最小正周期． (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6时，求f (x )的最值．解 (1)∵f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6，得4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝－12，即x ＝－π12时，f (x )有最小值－32，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝1，即x ＝π12时，f (x )有最大值3.12．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π4.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)∵x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π4＋φ＝±1. ∴π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<φ<π2，∴φ＝3π8.(2)由(1)知φ＝3π8，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π8.由题意得2k π－π2≤12x ＋3π8≤2k π＋π2，k ∈Z ，即4k π－74π≤x ≤4k π＋π4，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－74π，4k π＋π4(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )，在一个周期内的图象如下图所示，求直线y ＝3与函数f (x )图象的所有交点的坐标．解 由图象得A ＝2，T ＝72π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4π.则ω＝2πT ＝12，故y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ. 又12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝0，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4.由条件知3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4，得12x ＋π4＝2k π＋π3(k ∈Z )， 或12x ＋π4＝2k π＋23π(k ∈Z )． ∴x ＝4k π＋π6(k ∈Z )，或x ＝4k π＋56π(k ∈Z )．则所有交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋π6，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋5π6，3(k ∈Z )．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练12(含解析)北师大版必修4
双基限时练(十二) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二)一、选择题1．已知函数f (x )＝sin(πx ＋θ)，(0<θ<2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时取最大值，那么( )A. T ＝2，θ＝π2B. T ＝1，θ＝πC. T ＝2，θ＝πD. T ＝1，θ＝π2解析 T ＝2ππ＝2，∴f (2)＝sin(2π＋θ)＝sin θ，显然当θ＝π2时f (x )取得最大值．答案 A2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋34π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π2，k ∈Z 解析 由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )解得．答案 A3．若f (x )＝sin(2x ＋φ)为偶函数，则φ值可能是( ) A. π4B. π2C. π3D. π解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x ，而y ＝cos2x 为偶函数，∴φ＝π2.4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称解析 f (π3)＝0.答案 A5．①最小正周期π；②图像关于⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称，则下列函数同时具有以上两个性质的是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6D ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3解析 用排除法． 答案 B6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析 由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π－π6，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选A.7．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度所得到的函数为偶函数，则φ的最小值是( )A. 4π3B. 2π3C. π3D. 5π3解析 向左平移φ个单位长度后的解析式为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3＋φ，∴4π3＋φ＝k π，∴φ＝k π－4π3>0(k ∈Z )．∴k >43，∴k ＝2，∴φ＝2π3.答案 B二、填空题8．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的值域是____________．解析 ∵－π2≤x ≤π2，∴－π3≤x ＋π6≤23π.∴－3≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤2.答案 [－3，2]9．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调减区间为________． 解析 ∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋512π，k ∈Z ，∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )10．给出下列命题：①函数y ＝sin x 在第一象限是增函数；②函数y ＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2πω；③函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋72π是偶函数；④函数y ＝cos2x 的图像向左平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像．其中正确的命题是__________．解析 ①第一象限有正角或负角，无单调性可言，故①不正确；②中的最小正周期T ＝2π|ω|，故②不对；③函数y ＝sin(23x ＋72π)＝－cos 23x ，故其为偶函数；④将函数y ＝cos2x 的图像向左平移π4个单位，得到y ＝cos2(x ＋π4)＝－sin2x 的图像，故④不正确，只有③正确．答案 ③ 三、解答题11．设函数f (x )＝sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π4.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)由题意得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即sin φ＝cos φ，即tan φ＝1，又0<φ<π2，∴φ＝π4.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－34π≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z )．12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图像上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6. 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．13．若函数f (x )＝5sin(2x ＋φ)，对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求φ的最小正值；(3)当φ取最小正值时，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，求f (x )的最大值和最小值； (4)写出函数f (x )的单调增区间．解 (1) 解法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，知f (x )的图像关于直线x ＝π3对称． 又∵这个图像的对称轴一定经过图像的最高点或最低点，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝± 5.解法二：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ， ∴f (x )关于x ＝π3对称，∴2×π3＋φ＝k π＋π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝± 5.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝±5，得2·π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝－π6＋k π(k ∈Z )．令k ＝1，得φ＝5π6，即为φ的最小正值．(3)由(2)知f (x )＝5sin(2x ＋5π6)， 当－π6≤x ≤π6时，π2≤2x ＋5π6≤7π6，∴当2x ＋5π6＝π2，即x ＝－π6时，f (x )取最大值5；当2x ＋5π6＝7π6，即x ＝π6时，f (x )取最小值－52.(4)由2k π－π2≤2x ＋5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－23π≤x ≤k π－π6(k ∈Z )，∴函数f (x )＝5sin(2x ＋φ)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－23π，k π－π6(k ∈Z )．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 数列双基限时练1(含解析)北师大版必修5
双基限时练(一)一、选择题1．数列3,7,13,21,31，…的通项公式是( ) A ．a n ＝4n －1 B ．a n ＝n 2＋n －2 C ．a n ＝n 2＋n ＋1 D ．不存在解析 逐个检验． 答案 C2．数列12，13，14，15，…，中的第9项为( )A.19B.110C.18D.111答案 B3．已知数列3，9，15，21，…，那么9是这个数列的第( ) A ．12项 B ．13项 C ．14项D ．15项 解析 a n 中根号内的每个数比它相邻的前一个数多6，故a n ＝3＋ n －1 6＝6n －3，令6n －3＝81，得n ＝14.答案 C4．已知数列12，23，34，45，…，n n ＋1，…，那么0.98,0.96,0.94中属于该数列中某一项值的应当有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 令0.98＝n n ＋1，得n ＝49，∴0.98是这个数列的第49项．令nn ＋1＝0.96，得n＝24，∴0.96是这个数列的第24项．令nn ＋1＝0.94，解得n ＝473∉N ＋， ∴0.94不是这个数列中的项． 答案 C5．数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一个通项公式a n 等于( ) A.19(10n－1) B.13(10n－1) C.13⎝⎛⎭⎪⎫1－110nD.310(10－n－1)解析 ∵0.3＝310＝13×10－110＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，0．33＝33100＝13×100－1100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，0．333＝3331000＝13×9991000＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，0．3333＝333310000＝13×999910000＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1104，…∴a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .答案 C6．已知数列1,2,4,7,11,16，x,29,37，…，则x 等于( ) A ．20 B ．21 C ．22D ．23解析 ∵该数列有如下特点：2－1＝1,4－2＝2,7－4＝3,11－7＝4,16－11＝5，x －16＝6，∴x ＝22.答案 C 二、填空题7．数列1，22，34，48，…的通项公式为________；数列2，32，1，12，0，…的通项公式为________．解析 对于数列2，32，1，12，0，…可写成42，32，22，12，02，…答案 a n ＝n2n －1a n ＝5－n 28．已知数列{a n }对于任意p 、q ∈N ＋，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.解析 由a 1＝19，得a 2＝a 1＋a 1＝29，a 4＝a 2＋a 2＝49，a 8＝a 4＋a 4＝89， a 16＝2a 8＝169，a 32＝2a 16＝329， a 36＝a 32＋a 4＝329＋49＝369＝4.答案 49．数列－1，12，－13，14，…的通项公式为________；数列32，83，154，245，…的通项公式为________；数列7,77,777，…的通项公式为________．答案 a n ＝ －1 nn a n ＝ n ＋1 2－1n ＋1 a n ＝79×(10n－1)三、解答题10．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)12，16，112，120，130，…； (4)3,5,9,17,33，….解 (1)a 1＝2×1－1，a 2＝－(2×2－1)，a 3＝2×3－1，a 4＝－(2×4－1)，a 5＝2×5－1，…，∴a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)∵a 1＝12，a 2＝2＝42＝222，a 3＝92＝322，a 4＝8＝162＝422，a 5＝252＝522，…，∴a n ＝n22.(3)∵a 1＝12＝11×2，a 2＝16＝12×3，a 3＝112＝13×4，a 4＝120＝14×5，a 5＝130＝15×6，…，∴a n ＝1n n ＋1.(4)∵3＝21＋1,5＝4＋1＝22＋1,9＝8＋1＝23＋1,17＝16＋1＝24＋1,33＝32＋1＝25＋1，…，∴a n ＝2n＋1.11．已知数列{n (n ＋2)}．(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解 (1)a 8＝8×(8＋2)＝80，a 20＝20×(20＋2)＝440. (2)由n (n ＋2)＝323，得(n －17)(n ＋19)＝0， 得n ＝17，或n ＝－19(舍)．∴323是这个数列中的项，是第17项．12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n (项数)的一次函数． (1)求这个数列{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？ 解 (1)设a n ＝an ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，17a ＋b ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2.(2)设88为{a n }的第n 项， 则88＝4n －2，n ＝904＝452，而n ＝452∉N ＋，故88不是数列{a n }中的项．思 维 探 究13．已知数列{a n }中，a 1＝67，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n≤1，(1)求a 2，a 3，a 4； (2)求a 2015的值．解 (1)∵a 1＝67，∴a 2＝2a 1－1＝2×67－1＝57，又12<57<1，∴a 3＝2a 2－1＝107－1＝37，又0≤37<12，∴a 4＝2a 3＝67. (2)由(1)知{a n }为周期数列，且周期为3，又2015＝671×3＋2，∴a 2015＝a 2＝57.。
【高中数学】【名师一号】高中数学 131 函数的单调性与导数双基限时训练 新人
【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-3-1 函数的单调性与导数双基限时训练 新人教版选修2-21．若f (x )＝ln xx(0<a <b <e)，则有( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )·f (b )>1解析 ∵f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx2， 当x ∈(0，e)时，ln x ∈(0,1)，∴1－ln x >0，即f ′(x )>0. ∴f (x )在(0，e)上为增函数，又0<a <b <e ， ∴f (a )<f (b )． 答案 C2．若在区间(a ，b )内有f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0D ．f (x )≥0解析 由题意知f (x )在(a ，b )上为增函数，又f (a )≥0，∴在(a ，b )内恒有f (x )>0. 答案 A3．设f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )<0是f (x ) 在(a ，b )内单调递减的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 f (x )在(a ，b )内有f ′(x )<0，则f (x )在(a ，b )内单调递减；反过来，f (x )在(a ，b )内单调递减，则f ′(x )≤0.∴f′(x)<0是f(x)在(a，b)内单调递减的充分不必要条件．答案 A4．设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图象如右图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )解析分析导函数y＝f′(x)的图象可知，x<－1时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在(－∞，－1)上为减函数；当－1<x<1时，f′(x)>0，∴y＝f(x)在(－1,1)内为增函数；当x>1时，f′(x)<0，∴y＝f(x)在(1，＋∞)上为减函数，只有B符合条件．答案 B5．设函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0解析∵f′(x)＝e x＋1>0，∴f(x)＝e x＋x－2在其定义域内是增函数．又f(a)＝0，f(1)＝e－1>0，f(0)＝－1<0，∴0<a<1.∵x>0，∴g′(x)＝1x＋2x>0，∴g(x)＝ln x＋x2－3在(0，＋∞)上为增函数，而g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，∴g(b)＝0⇒1<b<2.∴g(a)<0，f(b)>0.故g(a)<0<f(b)．答案 A6．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于________．解析∵f(x)＝x2＋2xf′(1)，∴f′(x)＝2x＋2f′(1)．∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.答案 －47．已知导函数y ＝f ′(x )的图象如下图所示，请根据图象写出原函数y ＝f (x )的递增区间是________．解析 由图象可知，当－1<x <2，或x >5时，f ′(x )>0， ∴f (x )的递增区间为(－1,2)和(5，＋∞)． 答案 (－1,2)，(5，＋∞)8．下列命题中，正确的是________．①若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对于任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0；②若在(a ，b )内f ′(x )存在，则f (x )必为单调函数；③若在(a ，b )内的任意x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )内是增函数；④若x ∈(a ，b )，总有f ′(x )<0，则在(a ，b )内f (x )<0.答案 ③9．已知R 上的可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )<0的解集为________．解析 由f (x )的图象可知，f ′(x )<0⇒－1<x <1；f ′(x )>0⇒x <－1或x >1. 因此(x 2－2x －3)f ′(x )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3>0，f ′x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3<0，f ′x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >3，－1<x <1，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，x <－1或x >1，即1<x <3.答案 {x |1<x <3}10．已知f (x )＝e x－ax ，求f (x )的单调区间． 解 ∵f (x )＝e x－ax .∴f ′(x )＝e x－a . 令f ′(x )≥0，得e x≥a .当a ≤0时，有f ′(x )>0在R 上恒成立； 当a >0时，有x ≥ln a . 令f ′(x )≤0，得e x≤a ， 当a >0时，x ≤ln a .综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的增区间为[ln a ，＋∞)，减区间为(－∞，ln a ]．11．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．解 函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1，或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．依题意应有当x ∈(1,4)时，f ′(x )<0， 当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以4≤a －1≤6，解得5≤a ≤7. 所以a 的取值范围是[5,7]． 12．设函数f (x )＝x e kx(k ≠0)．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)若函数f (x )在区间(－1,1)内单调递增，求k 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx，f ′(0)＝1，f (0)＝0， 曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x . (2)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx＝0，得x ＝－1k(k ≠0)．若k >0，则当x ∈(－∞，－1k)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(－1k，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．若k <0，则当x ∈(－∞，－1k)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(－1k，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．(3)由(2)知，若k >0，则当且仅当－1k≤－1，即k ≤1时，函数f (x )在(－1,1)内单调递增； 若k <0，则当且仅当－1k≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1,1)内单调递增．综上可知，函数f (x )在区间(－1,1)内单调递增时，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数单元同步测试(含解析)北师大版必修4
阶段性检测卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第一象限的角都是锐角B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．－831°是第二象限角D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 解析 对于A 项来说，如390°是第一象限角，但它不是锐角；对于B 项来说，－170°是第三象限角，120°是第二象限角，但120°>－170°； 对于C 项来说，－831°＝－2³360°－111°，因为－111°是第三象限角，所以－831°是第三象限角；对于D 项来说，984°40′＝3³360°－95°20′，264°40′＝360°－95°20′. 所以角984°40′，264°40′都与－95°20′角的终边相同． 答案 D2．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的最小正周期是( )A.π6 B.π3C.π2D.23π 解析 T ＝π3.答案 B3．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4解析 sin 34π＝cos 74π，cos 34π＝sin 74π.答案 D4．把y ＝sin x 的图像向右平移π8后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π8 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π8C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π8D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 答案 A5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是( )解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π6－π3＝0，故C ，D 不正确，又f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3＝－32<0. ∴B 不正确． 答案 A 6．函数y ＝sin x ＋lgcos xlg x 2＋2的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x <2k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x <2k π＋π2，k ∈ZC.{}x |2k π<x < 2k ＋1 π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，2k π≤x ＜2k π＋π2或2k π＋3π2＜x ≤2k π＋2π，k ∈Z ，即2k π≤x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，所以选A. 答案 A7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，显然f (x )为偶函数，不是奇函数． 答案 D8．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在( )A ．[－π，0]上是增加的B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4上是增加的C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上是增加的解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，当2k π－π≤x －π4≤2k π(k ∈Z )时，函数是增加的，解得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．当k ＝0时，－3π4≤x ≤π4，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4时，函数是增加的．答案 B9．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <bD ．a <c <b解析 a ＝－sin1，b ＝cos1，c ＝－tan1， ∵a <0，c <0，b >0，又sin1<tan1，∴－sin1>－tan1，故选C. 答案 C10．已知函数f (x )＝3sin πxk的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2＋y 2＝k 2上，则f (x )的最小正周期是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 由题意可知点⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，3在圆x 2＋y 2＝k 2上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫k22＋(3)2＝k 2，解得k ＝±2.此时，函数的最小正周期是T ＝2ππ|k |＝2|k |＝4.答案 D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知角α的终边过点P (－4m,3m )，(m ≠0)，则2sin α＋cos α＝________. 解析 当m >0时，|OP |＝5m,2sin α＋cos α＝6m 5m ＋－4m 5m ＝25；当m <0时，|OP |＝－5m,2sin α＋cos α＝6m －5m ＋－4m －5m ＝－25. 答案 25或－2512．sin4π＋cos 32π＋tan3π－sin 52π＋cos5π＝________.解析 sin4π＋cos 32π＋tan3π－sin 52π＋cos5π＝sin0＋cos π2＋tan π－sin π2＋cos π＝0＋0＋0－1－1＝－2. 答案 －213．已知半径为2的扇形的面积为4，则这个扇形的圆心角为________．解析 设这个扇形的弧长为l ，则4＝12³2³l ，∴l ＝4，∴这个扇形的圆心角θ＝lr ＝42＝2. 答案 214．若函数f (x )＝sin x ＋m cos x 图像的一条对称轴方程为x ＝π6，则实数m 的值为________．解析 由题意得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即m ＝32＋m 2，得m ＝ 3. 答案315．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －34π，有下列命题：①其最小正周期为23π；②其图像由y＝2sin3x 向左平移π4个单位得到；③其表达式可写成f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋34π；④在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π为单调增函数．则其中真命题为________．解析 由T ＝2π3，故①正确；将y ＝2sin3x 的图像向左平移π4个单位得到y ＝2sin3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋34π，故②不正确；y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋34π＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫－3x －34π＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －34π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋54π ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋54π－2π＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －34π，故③正确； 当π12<x <5π12时，－π2<3x －34π<π2，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π上单调递增，故④正确．答案 ①③④三、解答题(本大题共6道题，共75分) 16．(12分)化简：(1)sin420°cos330°＋sin(－690°)²cos(－660°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋α＋sin π－α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α.解 (1)sin420°cos330°＋sin(－690°)²cos(－660°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝1.(2)原式＝cos αsin α－cos α＋sin α －sin α－sin α＝－sin α＋sin α ＝0.17．(12分)已知扇形的圆心角θ＝π3，它所对的弦长为2，求扇形的弧长和面积．解 ∵扇形的圆心角θ＝π3(如图)，∴△AOB 为等边三角形，∴R ＝AB ＝2，∴扇形的弧长l ＝R θ＝2³π3＝23π.S 扇＝12Rl ＝12³2³23π＝23π.18．(12分)如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做匀速圆周运动，求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式，并求点P 的运动周期和频率．解 当质点P 从位置P 0开始转动t s 时，点P 转过的角度为ωt .设此时点P 所在的位置为P ′，则∠P ′Ox ＝ωt ＋φ.由任意角的三角函数得点P 的纵坐标为y ＝r sin(ωt ＋φ)，此即为所求的函数关系式．点P 的运动周期为T ＝2πω，频率为f ＝1T ＝ω2π.19．(13分)如图所示，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图像． (1)求此函数解析式；(2)分析该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ 解 (1)由图像知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2³⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT＝2. ∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2³π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图像．20．(13分)如果关于x 的方程sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有两个实数根，求实数a 的取值范围．解 sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0， 即(sin x －2)(sin x －a )＝0.∵sin x －2≠0，∴sin x ＝a ，即求在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上sin x ＝a 有两根时a 的范围．由y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6与y ＝a 的图像知12≤a ＜1.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 21．(13分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8， (1) 求φ；(2) 求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3) 画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像． 解 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，(k ∈Z )，φ＝k π＋π4，(k ∈Z )． ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，(k ∈Z )．即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，(k ∈Z )．(3)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4知，故函数y＝。
高中数学 第一章 三角函数双基限时练10(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(十)1．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，函数y ＝tan|x |的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于x 轴对称 D ．没有对称轴答案 B2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋3π8，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋3π4，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z解析 由2x －π4≠k π＋π2，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z .答案 A3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得的线段长为π4.则ω的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 由题意可得f (x )的周期为π4，则πω＝π4，∴ω＝4.答案 C4．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )＝sin x ＋tan x . ∵y ＝sin x ，y ＝tan x 均为奇函数，∴原函数为奇函数． 答案 A5．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos25°，则有( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b解析 ∵tan70°>tan45°＝1，∴a ＝log 12tan70°<0.又0<sin25°<sin30°＝12，∴b ＝log 12sin25°>log 1212＝1，而c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos25°∈(0,1)，∴b >c >a .答案 D6．下列图形分别是①y ＝|tan x |；②y ＝tan x ；③y ＝tan(－x )；④y ＝tan|x |在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内的大致图象，那么由a 到d 对应的函数关系式应是( )abcdA ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③解析 y ＝tan(－x )＝－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是减函数，只有图象d 符合，即d 对应③.答案 D7．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为2π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 解析 由已知πω＝2π，∴ω＝12，∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝tan π4＝1.答案 18．函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________．解析 ∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2，⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4上都是增函数，∴y ≥tan π4＝1或y ≤tan 3π4＝－1.答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)9．满足tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是________．解析 把x ＋π3看作一个整体，利用正切函数图象可得k π－π3≤x ＋π3<k π＋π2，所以k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z . 故满足tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z10．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析 由图象可知，此正切函数的半周期等于38π－18π＝28π＝14π，即周期为12π，所以，ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×38π＋φ，即34π＋φ＝k π(k∈Z )，所以，φ＝k π－34π(k ∈Z )，又|φ|<12π，所以，φ＝14π.再由图象过定点(0,1)，所以，A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋14π.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫124π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×124π＋14π＝tan 13π＝3. 答案311．已知函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1<T <32，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．解 ∵1<T <32，∴1<πk <32，即2π3<k <π.∵k ∈N *，∴k ＝3，则f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3，由3x －π3≠π2＋k π得x ≠5π18＋k π3，k ∈Z ，定义域不关于原点对称，∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数．由－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π得－π18＋k π3<x <5π18＋k π3，k ∈Z .∴f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z .12．函数f (x )＝tan(3x ＋φ)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π4，0，其中0<φ<π2，试求函数f (x )的单调区间．解 由于函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，其中k ∈Z . 故令3x ＋φ＝k π2，其中x ＝π4，即φ＝k π2－3π4. 由于0<φ<π2，所以当k ＝2时，φ＝π4.故函数解析式为f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. 由于正切函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数．则令k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，解得k π3－π4<x <k π3＋π12，k ∈Z ，故函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3 ＋π12，k ∈Z .13．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3的最值及相应的x 的值．解 y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24. ∵π4≤x ≤π3，∴1≤tan x ≤ 3. ∴当tan x ＝3时，y 有最大值103－4，此时x ＝π3.当tan x ＝1时，y 有最小值8，此时x ＝π4.。
2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数双基限时练10(含解析)北师大版必修4
双基限时练(十) 正切函数的诱导公式一、选择题1．若f (x )＝tan x ，则f (600°)的值为( ) A.33B ．－33C. 3D ．－ 3解析 f (600°)＝tan600°＝tan60°＝ 3. 答案 C2．tan 476π＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－316π的值为( ) A ．－33B ．0 C.233D ．－233解析 tan 476π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－316π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π＋56π －tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝tan 56π－tan π6＝－2tan π6＝－233.答案 D3．若sin(π＋α)＝－15，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋αtan(π－α)的值为( ) A. 15 B. －15C. 45D. －45解析 由sin(π＋α)＝－15，知sin α＝15.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·tan(π－α)＝cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin αcos α ＝－sin α＝－15.答案 B4．若sin α＋2cos α2sin α－cos α＝2，则tan(α＋π)的值为( )A.43 B ．－43C.34D ．－34解析 由已知得tan α＋22tan α－1＝2，得tan α＝43，∴tan(α＋π)＝tan α＝43.答案 A5.sin θ－5πtan 3π－θ·cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ的值为( ) A ．0 B ．sin θ C ．－1D ．1解析 原式＝－sin θ－tan θ·tan θsin θ＝1.答案 D6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x 在(－∞，0)上f (x )的单调递增，若α、β为锐角三角形的两个内角，则( )A ．f (tan α)＞f (tan β)B ．f (tan α)＜f (tan β)C ．f (tan α)＞f (cot β)D ．f (tan α)＞f (cot β)解析 ∵α、β为锐角三角形的两个内角， ∴α＋β＞π2，∴α＞π2－β，又α、β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2∴tan α＞tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，即tan α＞cot β，又f (x )为奇函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 故f (tan α)＞f (cot β)． 答案 C 二、填空题7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝m (m ≠0)，则cot ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋34π的值为________．解析 ∵(π4－2α)＋(2α＋34π)＝π，∴cot(2α＋34π)＝－cot(π4－2α)＝－1m .答案 －1m8．tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)＝________. 解析 ∵(27°－α)＋(63°＋α)＝90°， ∴tan(27°－α)·tan(63°＋α)＝1。
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双基限时练(十) 正切函数的诱导公式
一、选择题
1．若f (x )＝tan x ，则f (600°)的值为( ) A.
3
3
B ．－
33
C. 3
D ．－ 3
解析 f (600°)＝tan600°＝tan60°＝ 3. 答案 C
2．tan 476π＋tan ⎝
⎛⎭⎪⎫－316π的值为( ) A ．－
33
B ．0 C.
23
3
D ．－233
解析 tan 476π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－316π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π＋56π －tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝tan 56π－tan π6＝－2tan π6
＝－23
3.
答案 D
3．若sin(π＋α)＝－15，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋αtan(π－α)的值为( ) A. 1
5 B. －1
5
C. 45
D. －45
解析 由sin(π＋α)＝－15，知sin α＝1
5
.
又sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52π＋α·tan(π－α)＝cos α⎝
⎛⎭
⎪⎫－sin αcos α ＝－sin α＝－15.
答案 B
4．若sin α＋2cos α2sin α－cos α
＝2，则tan(α＋π)的值为( )
A.43 B ．－4
3
C.34
D ．－34
解析 由已知得tan α＋2
2tan α－1
＝2，
得tan α＝43，∴tan(α＋π)＝tan α＝4
3.
答案 A
5.sin θ－5π tan 3π－θ ·cot ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π2－θcos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫32π＋θ的值为( ) A ．0 B ．sin θ C ．－1
D ．1
解析 原式＝－sin θ－tan θ·tan θ
sin θ＝1.
答案 D
6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x 在(－∞，0)上f (x )的单调递增，若α、β为锐角三角形的两个内角，则( )
A ．f (tan α)＞f (tan β)
B ．f (tan α)＜f (tan β)
C ．f (tan α)＞f (cot β)
D ．f (tan α)＞f (cot β)
解析 ∵α、β为锐角三角形的两个内角， ∴α＋β＞π2，∴α＞π2－β，又α、β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2
∴tan α＞tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－β，即tan α＞cot β，
又f (x )为奇函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 故f (tan α)＞f (cot β)． 答案 C 二、填空题
7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4－2α
＝m (m ≠0)，则cot ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2α＋34π的值为________．
解析 ∵(π4－2α)＋(2α＋3
4π)＝π，
∴cot(2α＋34π)＝－cot(π4－2α)＝－1
m .
答案 －1
m
8．tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)＝________. 解析 ∵(27°－α)＋(63°＋α)＝90°， ∴tan(27°－α)·tan(63°＋α)＝1。
又(139°－β)－(49°－β)＝90°，
∴tan(139°－β)·tan(49°－β)＝－1，故原式＝－1. 答案 －1 9.
tan 2π＋α tan π＋α
tan －π＋α tan π－α tan －α－π
＝________.
解析 原式＝tan α·tan α
[－tan π－α ] －tan α [－tan π＋α ]
＝
tan α·tan αtan α －tan α －tan α ＝1
tan α
.
答案
1tan α
三、解答题
10．已知sin(π＋α)＝－13，0＜α＜π
3，求：
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3π2＋α·tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－52π的值．
解：∵sin(π＋α)＝－13，∴－sin α＝－1
3，
即sin α＝1
3
.
即cos α＝223，tan α＝122＝2
4
，cot α＝2 2.
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－52π＝－cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝cos α·cot α＝223·22
＝8
3
. 11．已知α为第二象限角，且tan α－1tan α＝15
4
，
求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin π＋α sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α－sin π－α 的值．
解 由tan α－
1tan α＝154
，得4tan 2
α－15tan α－4＝0， 得tan α＝－1
4
或tan α＝4.
又α为第二象限的角，∴tan α＝－1
4
.
故
sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2＋α－sin π＋α sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
－α－sin π－α
＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α ＝35. 12．求tan 2
⎝
⎛⎭⎪⎫2n ＋12π＋α－tan 2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2n ＋12π－α(n ∈Z )的值．
解 ∵tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2＋α
，
tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α， ∴原式＝tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π2＋α－tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π2－α
＝tan 2
⎝
⎛⎭⎪⎫π2＋α－tan 2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2－α＝ cot 2α－cot 2α＝0. 13．已知角α的终边经过点P (4，－3)， (1)求sin α，cos α，tan α的值；
(2)求
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
－αsin π＋α
·tan π－α cos α＋π
的值． 解 (1)∵r ＝42
＋ －3 2
＝5，
∴sin α＝y r ＝－3
5
，
cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－3
4
.
(2)sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫
π2－αsin π＋α ·tan π－α
cos α＋π
＝
cos α－sin α·－tan α－cos α＝－tan α
sin α
＝－－34－35＝－54.。