(新)湘教版九年级数学下册第1章《二次函数》复习课件
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九年级数学下册第1章二次函数小结与复习课件(新版)湘教版
和开口方向.【教材P37页】
y
3
1 y 1 x2
3
2
y 1 x 22
4
1
2 y 1 x 22
4
–4 –3 –2 –1 –1
x
1 23 4 5
–2
–3
y 1 x2
–4
3
2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标
y
和开口方向.【教材P37页】
5
3 y2x32 2
4
小结与复习
知识结构
二次函数
二次函数的概念 二次函数的图象与性质 不共线三点确定二次函数的表达式 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的应用
y
y = ax2（a>0）的图象与性质
沿 x 轴翻折
y = -ax2（a>0）的图象与性质
x O
y
y = ax2（a>0）的图象与性质
当h < 0时， 向左平移 |h| 个单位
3
3
y
x
7 2
2
2
4
y
x
7 2
2
2
2 1
–1 –1
–2
x
123456
y 2 x 32 2
3
2. 画出下列二次函数的图象， 并指出图象的对称轴、顶点坐标
和开口方向.【教材P37页】
y
3
y x2 10x 21
5yx27x11 2
1
6yx210x21
x
1 23 4 5 6 78
3
yax2x1
2
将点（0，-1）代入，得 a 1 2
y 1x2x1
2
顶点坐标
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章二次函数 第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质
外，还具有哪些性质？ 1. y＝x2 的图象是一条曲线; 2. 开口向上;
y y=x2
3. 图象与对称轴的交点为原点(0，0);
4. x<0 时，y 随 x 的增大而减小，简
称“左降”； 5. 当 x=0时，函数值最小，且为0．
o
x
典例精析 例1 已知点(-1，y1)，(-3，y2)都在函数 y=x2 的图象上， 则____y_1_＜__y_2___.
例1变式 已知点(－3，y1)，(1，y2)，( 2，y3)都在函 数 y＝x2 的图象上，试写出 y1、y2、y3 的大小关系．
解：方法一：把 x ＝ －3，2 ，1，分别代入 y＝x2 中， 得 y1＝9，y2＝1，y3＝2，则 y1＞y3＞y2；
方法二：如图，作出函数 y ＝ x2 的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知 y1 ＞ y3 ＞ y2 .
1.列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数.让 x 取 0 一些互为相反数的数，并算出相应的函数值.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点(x，y)
y 9 6 3
-4 -2 o 2 4 x
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数 y = ax2(a>0) 的图象与性质
复习引入 你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？
1. 一次函数 y = kx+b (k ≠ 0)
y
y
b>0
b=0
o
x
b<0
b>0
b=0
o
x
湘教版九年级数学下册第1章二次函数课件
求m的值.
解：依题意得 m 1 0 且 m2 m 2 ，解得m 2 .
注意:二次函数的二次项系数不能为零
例2：写出下列各函数关系，并判断它们是什么类
型的函数.
（1）写出正方体的表面积S与正方体棱长a之间的
函数关系；
（2）写出圆的面积y与它的周长x之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26，求菱形的面积S
(k≠0)
首页
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？
合作探究
问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆 墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为
100m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m）， 求矩形植物园的面积S（ m2 ）与x之间函数关系式.
s x(100 2x),0 x 50
首页
1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2(a>0)
的图象与性质
情景 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
返回
情景引入
请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函 数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状 呢?
首页
合作探究
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
描点法
（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为 任意值.
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍.
5.函数 y=（m-2）x2+mx-3 （m 为常数）． （1）当 m __≠_2___时，这个函数为二次函数； （2）当 m __=_2___时，这个函数为一次函数．
课堂小结
1.本堂课学习了二次函数的概念; 2.二次函数的解析式、自变量的取值范围和自变 量与函数值的对应关系.
解：依题意得 m 1 0 且 m2 m 2 ，解得m 2 .
注意:二次函数的二次项系数不能为零
例2：写出下列各函数关系，并判断它们是什么类
型的函数.
（1）写出正方体的表面积S与正方体棱长a之间的
函数关系；
（2）写出圆的面积y与它的周长x之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26，求菱形的面积S
(k≠0)
首页
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？
合作探究
问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆 墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为
100m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m）， 求矩形植物园的面积S（ m2 ）与x之间函数关系式.
s x(100 2x),0 x 50
首页
1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2(a>0)
的图象与性质
情景 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
返回
情景引入
请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函 数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状 呢?
首页
合作探究
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
描点法
（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为 任意值.
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍.
5.函数 y=（m-2）x2+mx-3 （m 为常数）． （1）当 m __≠_2___时，这个函数为二次函数； （2）当 m __=_2___时，这个函数为一次函数．
课堂小结
1.本堂课学习了二次函数的概念; 2.二次函数的解析式、自变量的取值范围和自变 量与函数值的对应关系.
【最新】湘教版九年级数学下册第一章《二次函数性质》精品课件.ppt
A．直线 y＝x 上 B．直线 y＝－x 上 C．x 轴上 D．y 轴上
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 14．抛物线 y＝2(x－2)2－6 的顶点为 C，已知 y＝ －kx＋3 的图象经过点 C，这个一次函数图象与两坐标 轴所围成的三角形的面积为__1__．
15．如图，小华在某次投篮中，球的运动路线是 抛物线 y＝－15x2＋3.5 的一部分．若命中篮圈中心，则 他与篮底的距离是__4__m.
函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质
1．(4 分)抛物线 y＝2(x－3)2＋1 的顶点坐标是( A ) A．(3，1) B．(3，－1) C．(－3，1) D．(－3，－1) 2．(4 分)抛物线 y＝－2x2＋1 的对称轴是( C ) A．直线 x＝12 B．直线 x＝－12 C．y 轴 D．直线 x＝2
解：(1)抛物线开口向上，对称轴是 x＝3，顶点坐 标是(3，－8) (2)当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小 (3)当 x＝3 时，y 有 最小值，最小值是－8 (4)该函数图象可由 y＝2x2 的 图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 8 个单位得到
三、解答题(共 30 分) 16．(10 分)已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－ 1)，且经过原点(0，0)，求该函数的解析式． 解：y＝(x－1)2－1
17．(10 分)(2015·衡阳)如图，顶点 M 在 y 轴上的 抛物线与直线 y＝x＋1 相交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连接 AM，BM.
(1)求抛物线的函数关系式； (2)判断△ ABM 的形状，并说明理由．
解：(1)y＝x2－1 (2)△ABM 为直角三角形
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 14．抛物线 y＝2(x－2)2－6 的顶点为 C，已知 y＝ －kx＋3 的图象经过点 C，这个一次函数图象与两坐标 轴所围成的三角形的面积为__1__．
15．如图，小华在某次投篮中，球的运动路线是 抛物线 y＝－15x2＋3.5 的一部分．若命中篮圈中心，则 他与篮底的距离是__4__m.
函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质
1．(4 分)抛物线 y＝2(x－3)2＋1 的顶点坐标是( A ) A．(3，1) B．(3，－1) C．(－3，1) D．(－3，－1) 2．(4 分)抛物线 y＝－2x2＋1 的对称轴是( C ) A．直线 x＝12 B．直线 x＝－12 C．y 轴 D．直线 x＝2
解：(1)抛物线开口向上，对称轴是 x＝3，顶点坐 标是(3，－8) (2)当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小 (3)当 x＝3 时，y 有 最小值，最小值是－8 (4)该函数图象可由 y＝2x2 的 图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 8 个单位得到
三、解答题(共 30 分) 16．(10 分)已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－ 1)，且经过原点(0，0)，求该函数的解析式． 解：y＝(x－1)2－1
17．(10 分)(2015·衡阳)如图，顶点 M 在 y 轴上的 抛物线与直线 y＝x＋1 相交于 A，B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连接 AM，BM.
(1)求抛物线的函数关系式； (2)判断△ ABM 的形状，并说明理由．
解：(1)y＝x2－1 (2)△ABM 为直角三角形
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d=r
点P在圆上； 的距离与半径之间的关
系；反过来，也可以通
d＞r
点P在圆外. 过这种数量关系判断点
与圆的位置关系．
2.直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
直线与圆的 位置关系
相离
相切
图形
相交
d与r的关系 d＞r 公共点个数 0个 公共点名称
直线名称
d=r 1个 切点 切线
d＜r 2个 交点 割线
(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆 的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆 的半径r比较得到． 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r
[注意]点与圆的位置关 点P在圆内； 系可以转化为点到圆心
y＝ax2＋bx＋c
开口
a＞0 开口向上
方向
a ＜ 0 开口向下
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0
x=h (h , k) y最小=k y最大=k
x b
2a
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
y最小=44aacc4a
b2 b2
y最大= 4a
增 a＞0 在对称轴左边,x↗ y↘;在对称轴右边, x↗ y↗
第2章 圆
要点梳理
一.与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦:连接圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆周的圆弧. 5.优弧:大于半圆周的圆弧.
·
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交. 8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交. [注意] (1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定 大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
九年级数学下册 第1章 二次函数1.1 二次函数习题课件(新版)湘教版
S1r2 5r r0
2
课堂小结
1. 说一说本节课的收获。 2. 你还存在哪些疑惑？
九年级数学下册 第1章 二次函数1.1 二 次函数习题课件（新版）湘教版
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
y
看看远处，要保护好眼睛哦~8 站起来 6 动一动，久坐对身体不好24 哦~ –3 –2 –1 O 1 2 3 x
解 底面一边长为 x，另一边为 4-x.
底面的面积为 x(4-x) 水池容积 y = x(4 - x)×2 = -2x2 现计划在田地中修 2 条 互相垂直且宽度为 x（m）的小路， 剩余面积种植庄稼， 设剩余面积为 y（m2），求 y 关于 x 的函数表达 式，并写出自变量的取值范围.
复习课件
九年级数学下册 第1章 二次函数1.1 二次函数习题课件（新版）湘教版
【选自教材P4】
一次函数 二次函数 反比例函数
二次函数 二次函数 二次函数
2. 一长方体水池深 2 m， 底面矩形的周长为 8 m， 设底面一边长为 x（m），水池的容积为 y（m3）， 求 y 关于 x 的函数表达式.【选自教材P4】
【选自教材P4】
y ＝ x2 - 180x ＋ 8 000，0 < x < 80
4. 如图为一隧道的截面示意图， 它的上部是一个半圆， 下部是一个矩形， 且矩形的竖直的边长为 2.5 m. 设 隧道截面积为 S（m2）， 截面半圆的半径为 r（m）， 试写出 S 关于 r 的函数表达式．【选自教材P4】
结束语
九年级数学下册 第1章 二次函数1.1 二次函数习 题课件（新版）湘教版
2
课堂小结
1. 说一说本节课的收获。 2. 你还存在哪些疑惑？
九年级数学下册 第1章 二次函数1.1 二 次函数习题课件（新版）湘教版
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
y
看看远处，要保护好眼睛哦~8 站起来 6 动一动，久坐对身体不好24 哦~ –3 –2 –1 O 1 2 3 x
解 底面一边长为 x，另一边为 4-x.
底面的面积为 x(4-x) 水池容积 y = x(4 - x)×2 = -2x2 现计划在田地中修 2 条 互相垂直且宽度为 x（m）的小路， 剩余面积种植庄稼， 设剩余面积为 y（m2），求 y 关于 x 的函数表达 式，并写出自变量的取值范围.
复习课件
九年级数学下册 第1章 二次函数1.1 二次函数习题课件（新版）湘教版
【选自教材P4】
一次函数 二次函数 反比例函数
二次函数 二次函数 二次函数
2. 一长方体水池深 2 m， 底面矩形的周长为 8 m， 设底面一边长为 x（m），水池的容积为 y（m3）， 求 y 关于 x 的函数表达式.【选自教材P4】
【选自教材P4】
y ＝ x2 - 180x ＋ 8 000，0 < x < 80
4. 如图为一隧道的截面示意图， 它的上部是一个半圆， 下部是一个矩形， 且矩形的竖直的边长为 2.5 m. 设 隧道截面积为 S（m2）， 截面半圆的半径为 r（m）， 试写出 S 关于 r 的函数表达式．【选自教材P4】
结束语
九年级数学下册 第1章 二次函数1.1 二次函数习 题课件（新版）湘教版
【最新】湘教版九年级数学下册第一章《二次函数的图像和性质》公开课课件.ppt
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
2、函数 ya(xh)2k的图象与系数的关系
a>0
a>0h<0来自h<0K>0
K<0
a>0
a>0
h>0
h>0
K>0
K<0
2、函数 ya(xh)2k的图象与系数的关系
a<0
a<0
h<0
h<0
K>0
K<0
a<0 a<0
h>0 h>0
K<0 K>0
由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2+k的 图象的性质，因此画y=a(x-h)2+k的图象的步 骤如下：
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
新湘教版九年级数学下册第一章《二次函数图像与性质》公开课课件
0 4.当x=__________ 时，函数值最_____________. 大
【总结】
当a<0时，y ax 2
的图象也具有上述性质，于是
今后在画 y ax 2 (a 0) 的图象时，可以直接先画
出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出
图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要 “列表、描点、连线”三个步骤就可以了.
根据上述分析，我 连线： 们可以用一条光滑曲线把 原点和y轴右边各点顺次连 接起来；然后利用对称性 ，画出图象在y轴左边的部 分（把y轴左边的对应点和 原点用一条光滑曲线顺次 连接起来），这样就得到 1 2 y x 的图象．如图 了 2 B′
5
4 3 B
1 y x2 2 A
2
1
－4 －3 －2－1
例1：
1 2 画二次函数 y 2 x
的图象．
解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列表时 ，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。
x
1 2 y x 2
0 0
1 0.5
2 2
3 4.5
... ...
描点：在平面直角坐标
系内，以x取的值为横坐 标，相应的函数值为纵坐 标，描出相应的点，如右 图 A′
O（0，0） 图象的开口向___________ 下 ____________; ； 2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的
减小 增大而____________ ，简称为右______________; 降
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的 升 增大 增大而____________ ，简称为左______________;
B′
y=x2
-5-4-3-2-1 o 1 2 3 4 5
【总结】
当a<0时，y ax 2
的图象也具有上述性质，于是
今后在画 y ax 2 (a 0) 的图象时，可以直接先画
出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出
图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要 “列表、描点、连线”三个步骤就可以了.
根据上述分析，我 连线： 们可以用一条光滑曲线把 原点和y轴右边各点顺次连 接起来；然后利用对称性 ，画出图象在y轴左边的部 分（把y轴左边的对应点和 原点用一条光滑曲线顺次 连接起来），这样就得到 1 2 y x 的图象．如图 了 2 B′
5
4 3 B
1 y x2 2 A
2
1
－4 －3 －2－1
例1：
1 2 画二次函数 y 2 x
的图象．
解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列表时 ，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。
x
1 2 y x 2
0 0
1 0.5
2 2
3 4.5
... ...
描点：在平面直角坐标
系内，以x取的值为横坐 标，相应的函数值为纵坐 标，描出相应的点，如右 图 A′
O（0，0） 图象的开口向___________ 下 ____________; ； 2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的
减小 增大而____________ ，简称为右______________; 降
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的 升 增大 增大而____________ ，简称为左______________;
B′
y=x2
-5-4-3-2-1 o 1 2 3 4 5
新湘教版九年级数学下册第一章《二次函数图像与性质》精品课件1
1 从而点Q的坐标为 b, b 12 2
对称轴是过点O'（1，0）且平行与y轴的直线l ' ，直
线l'是有横坐标为1的所有点组成的，我们把直线l '记
1 2 y x 1 做直线x =1，抛物线 的开口向上. 2
类似地，我们可以证明下述结论：
二次函数 y ax - h 2 的图像是抛物线，它的对称 轴是直线 x h 它的顶点坐标是（h，0）抛物线的开 口向上；当a>0时抛物线开口向上；当 a 0 时抛物 线开口向下。 由于我们已经知道了函数 y ax - h 2 的图象的性质，
1 从此表看出：对于每个给定x值函数 y x - 12 3 的 2 1 1 2 值都要比函数 y x - 1 都要大3由此可见 函数y x - 1 2 2 1 的图象向上平移3个单位，就得到函数 y x - 12 3 2 1 的图象.因此，二次函数 y x - 12 3 的图象也是抛物 2 1 线，它的对称轴为直线 x=1 （与抛物线 y x - 12 2 的对称 轴一样），顶点坐标为（1，3）（它是由抛物 1 线 y x - 12 的顶点（1，0）向上平移3个单位得到）， 2 它的开口向上. 函数 y a x - h 2 k 的图象是抛物线，它的对称轴是 直线x=h它的顶点坐标是(h, k)当a ＞0时，抛物线的 开口向上；当a＜0时，开口向下。 .
x y ( x 2)2
2 0
2.5 0.25
3 1
4 4
5 9
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.
利用对称性画出图象在对称轴左边的部分:
8
6
这样我们得到了函数 的图象 .
y ( x 2)
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y
O
x
画函数y=x2的图像 解:(1)列表
x
…
(2) 描点
y…
(3) 连线
我们可以用一条光滑曲线把
原点和y轴右边各点顺次连接起 来；然后利用对称性，画出图
象在y轴左边的部分（把y轴左 边的对应点和原点用一条光滑
曲线顺次连接起来），这样就
得到了 y=x2 的图象．如右图
0 1 23…
0 1 49…
A′ B′
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的 增大而___减__小_______，简称为右___降___________;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的 增大而__增__大________，简称为左__升____________;
4.当x=__0________时，函数值最___大__________.
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
A
y=x2
B
-5-4-3-2-1 o 1 2 3 4 5 x
从图（1）看出，点A和点A′，点B和点B′，……， 它们有什么关系？
点A和点A ′关于y轴 对称，点B和点B ′
也是…… 由此你能作出什么猜测？
我猜测 y=x2 的图象关于
y轴对称．
从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增
【总结】
当a<0时，y ax2 的图象也具有上述性质，于是 今后在画 y ax2 (a 0) 的图象时，可以直接先画
出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出 图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要 “列表、描点、连线”三个步骤就可以了.
讲例:
例2.画二次函数
y
1 4
x2
O
x
画函数y=x2的图像 解:(1)列表
x
…
(2) 描点
y…
(3) 连线
我们可以用一条光滑曲线把
原点和y轴右边各点顺次连接起 来；然后利用对称性，画出图
象在y轴左边的部分（把y轴左 边的对应点和原点用一条光滑
曲线顺次连接起来），这样就
得到了 y=x2 的图象．如右图
0 1 23…
0 1 49…
A′ B′
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的 增大而___减__小_______，简称为右___降___________;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的 增大而__增__大________，简称为左__升____________;
4.当x=__0________时，函数值最___大__________.
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
A
y=x2
B
-5-4-3-2-1 o 1 2 3 4 5 x
从图（1）看出，点A和点A′，点B和点B′，……， 它们有什么关系？
点A和点A ′关于y轴 对称，点B和点B ′
也是…… 由此你能作出什么猜测？
我猜测 y=x2 的图象关于
y轴对称．
从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增
【总结】
当a<0时，y ax2 的图象也具有上述性质，于是 今后在画 y ax2 (a 0) 的图象时，可以直接先画
出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出 图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要 “列表、描点、连线”三个步骤就可以了.
讲例:
例2.画二次函数
y
1 4
x2
1新湘教版九年级下册1.1二次函数教学课件(共12张PPT)
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
第9页，共12页。
例：
一块矩形木板，长为120CM、宽为80CM，在木板4个角上 各截去边长为X（cm)的正方形，求余下面积S(cm)与X之
间的函数表达式。
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2
ax +bx+c=0(a
≠0)
2.我们学习过哪些函数？它们的一般解析式怎么表示？
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函
(正比例函数) y=kx (k≠0)
数
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
第1页，共12页。
1.1 二次函数的基本概念
第2页，共12页。
学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一 个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为100m，设与 围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m），求矩形植物
(7) y＝ x2 5x 6 (否) (8)y=mx²+nx+p (m,n,p为常数）
(否)
(否)
(9) y=3(x－1)²-3
(是)
(10)y=(x+3)²－x²
第6页，共12页。
(否)
y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
(1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 整式
(2) a,b,c为常数，且
a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 ，可2以没有一次项和 常数项，但 不能没有二次项.
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
第9页，共12页。
例：
一块矩形木板，长为120CM、宽为80CM，在木板4个角上 各截去边长为X（cm)的正方形，求余下面积S(cm)与X之
间的函数表达式。
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2
ax +bx+c=0(a
≠0)
2.我们学习过哪些函数？它们的一般解析式怎么表示？
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函
(正比例函数) y=kx (k≠0)
数
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
第1页，共12页。
1.1 二次函数的基本概念
第2页，共12页。
学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一 个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为100m，设与 围墙相邻的一篱笆墙的长度都为x（m），求矩形植物
(7) y＝ x2 5x 6 (否) (8)y=mx²+nx+p (m,n,p为常数）
(否)
(否)
(9) y=3(x－1)²-3
(是)
(10)y=(x+3)²－x²
第6页，共12页。
(否)
y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
(1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 整式
(2) a,b,c为常数，且
a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 ，可2以没有一次项和 常数项，但 不能没有二次项.
二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c
当c＝0时， y＝ax2＋bx
【最新】湘教版九年级数学下册第一章《二次函数应用(2)》公开课课件.ppt
价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下
表： x(元) 15
20
30
…
y(件) 25
20
10
…
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函 数关系式；（6分） （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价 应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（6分）
解：设每件商品的单价上涨x元，一个月内获取的 商品总利润为y元；每月减少的销售量为10x件， 实际销售量为（180-10x）件，单价利润为 （30+x-20）元则：
y=（10+x）（180-10x） 即y=-10x2+80x+1800（x 18） 将上式进行配方得：y=-10（x-4）2+1960 当x=4时，即销售单价为34元时，该店在一个月内能获 得最大利润为1960元。
（1）设此一次函数解析式为 ykxb。
1分
15k b 25
则
20k
b
20
解得：k=－1，b＝40。
5分
所以一次函数解析为 yx40。
6分
（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润
为 w 元。则
7分
wx10 x40 x25x0400
x25 2225
10分
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利
注意：有此求得的最
大值或最小值对应的字 变量的值必须在自变量
的取值范围内。
例3 某网络玩具引进一批进价为20元/件的玩具如果
以单价30元销售，那么一个月内可售出180件，根据
销售经验提高销售单价会导致销售量下降，即销售单
价每上涨1元，月销售量终相应减少10件当销售单价
湘教版九年级数学下册第一章《二次函数》优质优质课课件
•
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
试一试:
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
知识运用
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x 2 ;
(2 ) y
1 x2
;
(3 ) y x (1 x );
(4) y (x 1)2 x 2.
先化简后判断
２.下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y3x2 2 (2)y x2 1
x
(3)y(x2)x (3)
(4)y x22x3
二次项系数: 3 一次项系数: -6
常数项: 4
(5)y= _1_ -x x²
不是二次函数.
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
(6) v=10π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数. 二次项系数: 10π
二次项系数: -2
一次项系数: 0
一次项系数: 0 常数项: 3
常数项: 0
1.1 二次函数
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一次函数、正比例函数的定义是什 么？
合作学习 探索新知
请用适当的函数关系式表示下列问题情 境中的两个变量y与x之间的关系：
（1）圆的面积y(cm 2 )与圆的半径x(cm);
（2）某商店1月的利润是2万元，2、3月利 润逐月增长，这两个月利润的月平均增长 率为x，3月份的利润为y;
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的 面积S（ cm 2 ）与一对角线长x（cm）之间的函数关系 式．
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
试一试:
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
知识运用
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x 2 ;
(2 ) y
1 x2
;
(3 ) y x (1 x );
(4) y (x 1)2 x 2.
先化简后判断
２.下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y3x2 2 (2)y x2 1
x
(3)y(x2)x (3)
(4)y x22x3
二次项系数: 3 一次项系数: -6
常数项: 4
(5)y= _1_ -x x²
不是二次函数.
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
(6) v=10π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数. 二次项系数: 10π
二次项系数: -2
一次项系数: 0
一次项系数: 0 常数项: 3
常数项: 0
1.1 二次函数
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一次函数、正比例函数的定义是什 么？
合作学习 探索新知
请用适当的函数关系式表示下列问题情 境中的两个变量y与x之间的关系：
（1）圆的面积y(cm 2 )与圆的半径x(cm);
（2）某商店1月的利润是2万元，2、3月利 润逐月增长，这两个月利润的月平均增长 率为x，3月份的利润为y;
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的 面积S（ cm 2 ）与一对角线长x（cm）之间的函数关系 式．
湘教版义务教育教科书《数学》九年级(下)第1章二次函数复习课(共19张PPT)
二次函数复习课
考点分析
二次函数的知识主要有以下五点：
考点一：二次函数解析式的确定； 考点二：二次函数的图象及其性质（开口方向、
顶点、对称轴、增减性、最值等）；
考点三：图象的平移； 考点四：二次函数与一元二次方程、
不等式的关系； 考点五：二次函数与几何图形的综合运用.
本节课的学习目标
1. 了解二次函数解析式的三种表示方式； 2. 掌握二次函数图象的画法； 3.巩固二次函数的图象及其性质； 4.理解二次函数与一元二次方程的关系
b同号；对称轴在y轴右侧 a、b异号；对称轴是y 轴 b=0 C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定： 交点在x轴上方 C>0;交点在x轴下方C<0； 经过坐 标原点C=0 增减性：分上升型和下降型两类 b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定 与x轴有两个交点b2-4ac>0 ；与x轴有一个交点b24ac =0 ；与x轴无交点b2-4ac<0
跟踪训练：
已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,用＞ 、＜、＝填空
(1) a_＜__0, b_＜___0, c__＞___0, abc_＞___0 (2) b_＞__2a, 2a-b__＜___0, 2a+b__＜_____0 (3) b2-4ac__＞___0 (4) a+b+c__＜___0, a-b+c_＞___0
的图象，如右图
4
2.画二次函数 y (x 1)2
x
1 1.5
y (x 1)2 0 －0.25
y 1 x 12 的图象
2
2 3 3.5 －1 －4 －6.25
-4 -2 -2 -4
24
跟踪训练：某二次函数满足下列表格的值
考点分析
二次函数的知识主要有以下五点：
考点一：二次函数解析式的确定； 考点二：二次函数的图象及其性质（开口方向、
顶点、对称轴、增减性、最值等）；
考点三：图象的平移； 考点四：二次函数与一元二次方程、
不等式的关系； 考点五：二次函数与几何图形的综合运用.
本节课的学习目标
1. 了解二次函数解析式的三种表示方式； 2. 掌握二次函数图象的画法； 3.巩固二次函数的图象及其性质； 4.理解二次函数与一元二次方程的关系
b同号；对称轴在y轴右侧 a、b异号；对称轴是y 轴 b=0 C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定： 交点在x轴上方 C>0;交点在x轴下方C<0； 经过坐 标原点C=0 增减性：分上升型和下降型两类 b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定 与x轴有两个交点b2-4ac>0 ；与x轴有一个交点b24ac =0 ；与x轴无交点b2-4ac<0
跟踪训练：
已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,用＞ 、＜、＝填空
(1) a_＜__0, b_＜___0, c__＞___0, abc_＞___0 (2) b_＞__2a, 2a-b__＜___0, 2a+b__＜_____0 (3) b2-4ac__＞___0 (4) a+b+c__＜___0, a-b+c_＞___0
的图象，如右图
4
2.画二次函数 y (x 1)2
x
1 1.5
y (x 1)2 0 －0.25
y 1 x 12 的图象
2
2 3 3.5 －1 －4 －6.25
-4 -2 -2 -4
24
跟踪训练：某二次函数满足下列表格的值
九年级数学下册 第1章 二次函数 1.1 二次函数教学课件
2021/12/11
第十六页，共二十五页。
练一练
1.函 数 yax2bxc(其 中 a,b,c为 常 数 )， 当 a,b,c满 足 什 么 条 件 时 ，
(1)它是二次函数(hánshù)? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数(hánshù)？
第十七页，共二十五页。
2.请举一个符合(fúhé)以下条件的y关于x的二次函数的例子.
二次项系数: -2
一次项系数: 0
一次项系数: 0 2常021数/12项/11: 3
常数项: 0
第十一页，共二十五页。
用20米长的篱笆围一个矩形的花圃(huāpǔ)（如图），设连墙的一边长 为x m,矩形的面积为y m2。求：
(1) 写出y关于x的函数关系式.
(2) 当x=3时,矩形的面积为多少?
(2) y=x+ _1_ x
(4) y=(x+3)²-x²
(5)y= _1_ - x x²
(6) v=10π r²
2021/12/11
第十页，共二十五页。
解: (1)y=3(x-1)²+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2 即 y=6x+9
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x
(6)y=x2-x(1+x)
2021/12/11
第十五页，共二十五页。
做一做
（1）正方形边长为x（cm），它的面积 y（ ？ (duōshǎo)
）c 是m 多2 少
《二次函数》湘教版九年级下册ppt课件
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但 不能没有二. 次项
(4) 自变量x的取值范围是 任意实数
驶向胜利的 彼岸
思考：1.你认为判断二次函数的关 键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键 是：未知数的最高指数是否为2次
驶向胜利的 彼岸
y=ax2+bx中，得：
a-b=7
解得：
4a+2b=10
a=4 b=-3
所以a的值为4，b的值为-3
小结 拓展
回味无穷
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
即y=200x2+400x+200(X>0)
3、有一个矩形，它的长与宽的和为30cm，设 长为L，矩形面积为S，则S与L的函数关系是 _S_=_-L_2_+_3_0_L (0<L<30)
概念引入
在y=6x2、y=200x2+400x+200、s=-L2 +30L 这三 个式子中，虽然含有一项的、二项的、三项的，但它们都 是用自变量的二次多项式来表示的,且自变量的最高次都 是二次。
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
(3)等式右边的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但 不能没有二. 次项
(4) 自变量x的取值范围是 任意实数
驶向胜利的 彼岸
思考：1.你认为判断二次函数的关 键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键 是：未知数的最高指数是否为2次
驶向胜利的 彼岸
y=ax2+bx中，得：
a-b=7
解得：
4a+2b=10
a=4 b=-3
所以a的值为4，b的值为-3
小结 拓展
回味无穷
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
即y=200x2+400x+200(X>0)
3、有一个矩形，它的长与宽的和为30cm，设 长为L，矩形面积为S，则S与L的函数关系是 _S_=_-L_2_+_3_0_L (0<L<30)
概念引入
在y=6x2、y=200x2+400x+200、s=-L2 +30L 这三 个式子中，虽然含有一项的、二项的、三项的，但它们都 是用自变量的二次多项式来表示的,且自变量的最高次都 是二次。
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
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第1章 二次函数
小结与复习
一、知识结构 归纳 抽象 二次函数 y=ax2+bx+c 图象
实际问题
性质
目标 利用二次函数 的图象和性质 求解
实际问题 的答案
二、知识梳理 1、二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数，叫做二次函数.特别地，当b=0,c=0时， y=ax2；当b=0时，y=ax2+c. 2、各种形式的二次函数的关系 y = a ( x – h )2 + k 左右 平移 y = ax2 + k 上下
当x<h时，y随着x 增大而增大；…
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0) 向上
b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
开口
对称轴
向下
b 直线 x 2a
b 4acb2 2a , 4a
顶点
最值
b 4acb2 2a , 4a
-2
1 2 3 例2 已知二次函数 y 2 x x2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标; （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点 求C，A，B的坐标; （3）x为何值时，y随x的增大而减少，x为何值时,y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
例3根据下列条件，求出二次函数的解析式． (1)图象经过（-1，1）,（1，3）,（0，1）三点；
y x x 1
2
(2)图象的顶点为（-1，-8），且过点（0，-6）； y= 2 （x + 1） 2-8
例4：某商场购进一批单价为16元的日用品,经实 验发现若按每件20元的价格销售时,每月能卖360 件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假 设每月销售件数为y(件)是价格x(元/件)的一次函数. (1)试求y与x之间的函数关系式.
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,
问:销售价格定为每件多少时,才能使每月获得最大
利润?每月的最大利润是多少?
解: (1)y=kx+b 把x=20时,y=360;x=25时,y=210分别代入上式 得 ： 360=20k+b 210=25k+b 解得： k=30,b=960 2x(-30) （2）设每月利润为P元, P=y(x-16)=(30x+960)(x-16)=-30x² +1440x-15360 P为最大值：（-30×24+960）（24-16）=1920（元）
例题学习
例1 用配方法求出函数 y = -2x 2 - 4x + 6 的图象的 对称轴、顶点坐标，画出函数图象，并说明图象是 由抛物线y = -2x 2 经过怎样的平移得到的．
y 8 6 4 2 -2 O
2 +8 y = -2 （x + 1）
（ -1， 8）
-4
x
2
Байду номын сангаас
4
对称轴是 x = -1. 是由抛物线 y = -2x 2 向左 平移 1 个单位，向上平移 8 个单位得到的．
所以y与x之间的函数关系式为y=-30x+960(x≥16,且x为整数)
答：当销售价格为每件24元时，每月利润最大，最大 利润为1920元。
课后作业
有两个相等的 实数根 没有实数根
b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
5、求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的解析式 a，b，c 的值． (1)关键是求出待定系数____________
(2)设解析式的三种形式： y＝ax2＋bx＋c ，当已知抛物线上三个 ①一般式：______________ 点时，用一般式比较简便； y＝a(x－h)2＋k ，当已知抛物线的顶 ②顶点式：________________ 点时，用顶点式较方便； y＝a(x－x1)(x－x2) ，当已知 ③交点式(两根式)：__________________ 抛物线与 x 轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，用交 点式较方便．
平移 上下 平移 y = a(x – h )2
y=
ax2
左右
平移
3、二次函数的图象和性质
y=a(x-h)2 +k (a≠0) a>0 a<0
图象
开口 对称轴 顶点 最值 增减性 向上 直线x=h 向下 直线x=h
(h,k) 当x=h时, y最小值=k
当x<h时，y随着x 增大而减小；…
(h,k) 当x=h时, y最大值=k
4、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情 况与一元二次方程根的关系： 二次函数y=ax2 一元二次方程ax2 一元二次方程ax +bx+c的图象和 2 +bx+c= 0根的判 +bx+c= 0的根 x轴交点 别式Δ=b2-4ac
有两个交点
只有一个交点 （顶点） 没有交点
有两个不等的 实数根
2 2 b 4 ac b b 4 ac b 当 x 时 , y 最小 值 当 x 时 , y 最大值 2 a 4 a 2 a 4 a
在对称轴的左侧,y随 着x的增大而减小. 增减性 在对称轴的右侧, y 随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随 着x的增大而增大. 在 对称轴的右侧, y随着x 的增大而减小.
小结与复习
一、知识结构 归纳 抽象 二次函数 y=ax2+bx+c 图象
实际问题
性质
目标 利用二次函数 的图象和性质 求解
实际问题 的答案
二、知识梳理 1、二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数，叫做二次函数.特别地，当b=0,c=0时， y=ax2；当b=0时，y=ax2+c. 2、各种形式的二次函数的关系 y = a ( x – h )2 + k 左右 平移 y = ax2 + k 上下
当x<h时，y随着x 增大而增大；…
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0) 向上
b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
开口
对称轴
向下
b 直线 x 2a
b 4acb2 2a , 4a
顶点
最值
b 4acb2 2a , 4a
-2
1 2 3 例2 已知二次函数 y 2 x x2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标; （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点 求C，A，B的坐标; （3）x为何值时，y随x的增大而减少，x为何值时,y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
例3根据下列条件，求出二次函数的解析式． (1)图象经过（-1，1）,（1，3）,（0，1）三点；
y x x 1
2
(2)图象的顶点为（-1，-8），且过点（0，-6）； y= 2 （x + 1） 2-8
例4：某商场购进一批单价为16元的日用品,经实 验发现若按每件20元的价格销售时,每月能卖360 件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假 设每月销售件数为y(件)是价格x(元/件)的一次函数. (1)试求y与x之间的函数关系式.
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,
问:销售价格定为每件多少时,才能使每月获得最大
利润?每月的最大利润是多少?
解: (1)y=kx+b 把x=20时,y=360;x=25时,y=210分别代入上式 得 ： 360=20k+b 210=25k+b 解得： k=30,b=960 2x(-30) （2）设每月利润为P元, P=y(x-16)=(30x+960)(x-16)=-30x² +1440x-15360 P为最大值：（-30×24+960）（24-16）=1920（元）
例题学习
例1 用配方法求出函数 y = -2x 2 - 4x + 6 的图象的 对称轴、顶点坐标，画出函数图象，并说明图象是 由抛物线y = -2x 2 经过怎样的平移得到的．
y 8 6 4 2 -2 O
2 +8 y = -2 （x + 1）
（ -1， 8）
-4
x
2
Байду номын сангаас
4
对称轴是 x = -1. 是由抛物线 y = -2x 2 向左 平移 1 个单位，向上平移 8 个单位得到的．
所以y与x之间的函数关系式为y=-30x+960(x≥16,且x为整数)
答：当销售价格为每件24元时，每月利润最大，最大 利润为1920元。
课后作业
有两个相等的 实数根 没有实数根
b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
5、求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的解析式 a，b，c 的值． (1)关键是求出待定系数____________
(2)设解析式的三种形式： y＝ax2＋bx＋c ，当已知抛物线上三个 ①一般式：______________ 点时，用一般式比较简便； y＝a(x－h)2＋k ，当已知抛物线的顶 ②顶点式：________________ 点时，用顶点式较方便； y＝a(x－x1)(x－x2) ，当已知 ③交点式(两根式)：__________________ 抛物线与 x 轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，用交 点式较方便．
平移 上下 平移 y = a(x – h )2
y=
ax2
左右
平移
3、二次函数的图象和性质
y=a(x-h)2 +k (a≠0) a>0 a<0
图象
开口 对称轴 顶点 最值 增减性 向上 直线x=h 向下 直线x=h
(h,k) 当x=h时, y最小值=k
当x<h时，y随着x 增大而减小；…
(h,k) 当x=h时, y最大值=k
4、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情 况与一元二次方程根的关系： 二次函数y=ax2 一元二次方程ax2 一元二次方程ax +bx+c的图象和 2 +bx+c= 0根的判 +bx+c= 0的根 x轴交点 别式Δ=b2-4ac
有两个交点
只有一个交点 （顶点） 没有交点
有两个不等的 实数根
2 2 b 4 ac b b 4 ac b 当 x 时 , y 最小 值 当 x 时 , y 最大值 2 a 4 a 2 a 4 a
在对称轴的左侧,y随 着x的增大而减小. 增减性 在对称轴的右侧, y 随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随 着x的增大而增大. 在 对称轴的右侧, y随着x 的增大而减小.