高等代数课件ppt1.2
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5
6
5.5重因式
5.6多项式的根，多项 式函数，复数域上的不
可约多项式
第五章一元多项 式环
第五章一元多 项式环
0 1 阅读材料1拉格朗日（Lagrange） 插值公式
0 2 5.7实数域上的不可约多项式
0 3 5.8有理数域上的不可约多项式
04
5.9模m剩余类环，域，域的特 征
0 5 阅读材料2一元分式域
补充题七
10 第八章具有度量的线性空间
第八章具有度量的线性空间
8.1实线性空间的内积，
1
实内积空间的度量概念
8.2标准正交基，正交矩
阵
2
8.3正交补，实内积空间
3
的保距同构
8.4正交变换 4
8.5对称变换，实对称矩
5
阵的对角化
阅读材料6二次曲线的类
型，二次曲线的不变量
6
第八章具有 度量的线性
空间
01 阅 读 材 料 7二次曲面 02 8 .6 酉 空间
的类型
03
04 8 . 7 酉 变 换 ， H e r m i t e 变
8.8*线性变换的伴随
换，Hermite型
变换，正规变换
05 8 .9 * 正 交空间与 辛空 06 补 充 题 八
间
11 第九章n元多项式环
第九章n元多项式 环
9.1n元多项式环的概念和通用性 质 9.2对称多项式，数域K上一元多 项式的判别式 9.3结式
09 第七章双线性函数，二次型
第七章双线性函数，二次型
7.1双线性函数的表达式
1
和性质
7.2对称和斜对称双线性
函数
2
7.3双线性函数空间，
高等代数【北大版】课件
线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数课件
a21 a31 a22 a32 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 a33 − a13a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32
★三阶行列式与三元一次方程组的解的关系: 三阶行列式与三元一次方程组的解的关系
a11 xb1 当三元一次方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 的系数行列式 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
0 c d 0 根据行列式的定义计算: 例1 根据行列式的定义计算 0 e f 0 g 0 0 h
1 + a1 2 + a1 3 + a1 计算行列式: 例2 计算行列式 1 + a2 2 + a2 3 + a2 1 + a3 2 + a3 3 + a3
0 1 1L1 1 0 1L1 计算n阶行列式 阶行列式: 例3 计算 阶行列式 1 1 0 L 1 LLLLL 1 1 1L0
1.2 排列
一. 基本概念
排列: 个数码 个数码1,2,…,n的一个排列是指由这 个数码 的一个排列是指由这n个数码 1. 排列 n个数码 的一个排列是指由这 组成的一个有序组. 个数码的不同排列共有 个数码的不同排列共有n!个 组成的一个有序组 n个数码的不同排列共有 个. 反序数: 在一个排列里, 2. 反序数 在一个排列里 如果一个较大的数排在一个较 小的数的前面, 则称这两数构成一个反序 反序. 小的数的前面 则称这两数构成一个反序 一个排列中所 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列213的反 反序数. 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列 的反 序数是1, 而排列231的反序数是 的反序数是2. 序数是 而排列 的反序数是 奇排列, 偶排列: 如果一排列的反序数是奇(偶 数 3. 奇排列, 偶排列 如果一排列的反序数是奇 偶)数, 则 称这个排列为奇 偶 排列 例如213是奇排列 231是偶排 排列. 是奇排列, 称这个排列为奇(偶)排列 例如 是奇排列 是偶排 列. 对换: 把一个排列中的数码i和 的位置互换 的位置互换, 4. 对换 把一个排列中的数码 和j的位置互换 而其它数 码的位置保持不变则得到一个新的排列. 码的位置保持不变则得到一个新的排列 对排列进行的这 对换, 符号(i, 表示 表示. 样一种变换称为一个对换 样一种变换称为一个对换 并用符号 j)表示
★三阶行列式与三元一次方程组的解的关系: 三阶行列式与三元一次方程组的解的关系
a11 xb1 当三元一次方程组 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 的系数行列式 a x + a x + a x = b 31 1 32 2 33 3 3
0 c d 0 根据行列式的定义计算: 例1 根据行列式的定义计算 0 e f 0 g 0 0 h
1 + a1 2 + a1 3 + a1 计算行列式: 例2 计算行列式 1 + a2 2 + a2 3 + a2 1 + a3 2 + a3 3 + a3
0 1 1L1 1 0 1L1 计算n阶行列式 阶行列式: 例3 计算 阶行列式 1 1 0 L 1 LLLLL 1 1 1L0
1.2 排列
一. 基本概念
排列: 个数码 个数码1,2,…,n的一个排列是指由这 个数码 的一个排列是指由这n个数码 1. 排列 n个数码 的一个排列是指由这 组成的一个有序组. 个数码的不同排列共有 个数码的不同排列共有n!个 组成的一个有序组 n个数码的不同排列共有 个. 反序数: 在一个排列里, 2. 反序数 在一个排列里 如果一个较大的数排在一个较 小的数的前面, 则称这两数构成一个反序 反序. 小的数的前面 则称这两数构成一个反序 一个排列中所 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列213的反 反序数. 有反序的个数称为这个排列的反序数 例如排列 的反 序数是1, 而排列231的反序数是 的反序数是2. 序数是 而排列 的反序数是 奇排列, 偶排列: 如果一排列的反序数是奇(偶 数 3. 奇排列, 偶排列 如果一排列的反序数是奇 偶)数, 则 称这个排列为奇 偶 排列 例如213是奇排列 231是偶排 排列. 是奇排列, 称这个排列为奇(偶)排列 例如 是奇排列 是偶排 列. 对换: 把一个排列中的数码i和 的位置互换 的位置互换, 4. 对换 把一个排列中的数码 和j的位置互换 而其它数 码的位置保持不变则得到一个新的排列. 码的位置保持不变则得到一个新的排列 对排列进行的这 对换, 符号(i, 表示 表示. 样一种变换称为一个对换 样一种变换称为一个对换 并用符号 j)表示
高等代数
多 项 式
1 设 cd 2 0cd 2 0 （否则当 d 0 c 0 矛盾； 当 d 0 2 c Q ，也矛盾）。于是 d
ab 2 cd 2 ab 2 a1 b1 2, a1 , b1 Q cd 2 cd 2 cd 2
3 2
f x g x 3x 4 6 x 5 8 3 x
5 4
3
10 4 3 x 2 5 4 x 5
高 等 代 数
多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律：
加法交换律： f x g x g x f x
有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
例如
1
x 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
2
多 项 式
就可以分解。 x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就 有根。等等。
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 高 等 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 代 这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 数
ai bi xi 。当m<n时，取
i 0 n
bm1 bn 0。
n i 0
1
f x g x f x g x ai bi xi
f 定义5：设 f x , g x 如上， x 与 g x 的积为
多 项 式
f x g x c0 c1x cnm xnm
其中 ck a0bk a1bk 1 ak 1b1 ak b0 高
§1.2_一元多项式的定义和运算
an 0, bm 0 anbm 0
f x g x 0
f x g x nm
多项式乘法没有零因子。
第一章 多项式
推论1：若 f x g x 0 f x 0或g x 0 证：若f=0或g=0，则必有fg=0。 反之，若 f x 0, g x 0
第一章
多项式
定义2： f x , g x 是两个多项式， f x g x
最高次项， 亦称为首项。 除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。 多项式的表法唯一。 方程 a0 a1x an xn 0 是一个条件等式而不是 两个多项式相等。 定义3： 设 f x a0 a1x
k 相乘积的和作为 x 的系数。得：
k f x g x aib j x k 0 i j k 2 3 2 例1.2.3：设 f x 3x 4x 5, g x x 2x x 1
nm
f x g x x 5x 5x 6
f x n.
第一章 多项式
an xn , an 0,
非负整数n称为 f x 的次数，记为：
2 f x 3 x 2x 1, f x 2, 例1.2.2：
f x 3, f x 0
零次多项式：次数为0的多项式即非零常数。 零多项式：系数全为0的多项式。对零多项式不 定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这 个多项式不是零多项式。 首一多项式：首项系数为1的多项式。 二、多项式的运算 定义4： 设 f x a0 a1x
第一章 多项式
高等代数(绪论)讲解PPT课件
开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，
也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般
解法。
17
2020年9月28日
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由 有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式—— Cardan公式。
在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从 1496到1526年在意大利的波伦亚（Bologna）大学当教 授的Scipione del Ferro.他发现的精确年代并不知道， 但是我们知道在1541年前不久，意大利数学家塔塔里 亚(Niccolo Tartaglia)或许已知道有del Ferro的解但又 独自地发现了它。
序结构: 集合上的顺序关系,----如: 数的大小, 个子的高矮等 → 序代数, 格论等;
拓扑结构: 集合上连续性等----如: 曲线与直线 的关系 →数学分析,点集拓扑,代数拓扑等
三大结构的相互重叠, 组合构成各个不同 的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦.
10
2020年9月28日
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多 个主要分支学科的庞大的“共和国”。
2020年9月28日
高等代数
1
任课教师
汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长， 喀什师范学院首届“教学名师” 。
本科，1994年毕业于喀什师范学院数学系
硕士，2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院
博士， 2010年毕业于南开大学数学科学学院
办公地点：3号楼210室 办公电话：2891005 电子信箱：
12
2020年9月28日
二、代数发展简史
“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、
天文学家阿尔•花拉子米（约780－850，唐朝）一本著
高等代数(绪论)讲解课件
善于总结
在做题过程中，要注意总结解题方法和技巧 ，形成自己的解题思路和经验。
学习过程中注重归纳总结
要点一
归纳知识体系
在学习过程中，要注重归纳总结，将所学知识形成完整的 知识体系，以便更好地理解和记忆。
要点二
总结解题方法
对于同一类问题，要总结出通用的解题方法，形成自己的 解题技巧和策略。
培养数学思维与逻辑推理能力
矩阵的加法、减法、乘法
矩阵的逆
掌握矩阵的基本运算规则，能够进行 矩阵的加法、减法和乘法运算。
掌握矩阵逆的定义和性质，能够求出 矩阵的逆。
矩阵的转置
了解矩阵转置的定义和性质，能够进 行矩阵的转置运算。
多项式的因式分解与根的性质
因式分解
掌握多项式的因式分解方法，如提取公因式、分组分 解、十字相乘法等。
线性变换与几何变换
总结词
线性变换是高等代数中描述几何变换的 基本工具，它可以用于图像处理、计算 机图形学和机器人学等领域。
VS
详细描述
线性变换是矩阵在向量空间上的作用，它 可以描述旋转、平移、缩放等基本的几何 变换。通过线性变换，可以研究几何对象 的性质和关系，并将其应用于图像处理、 计算机图形学等领域，实现图像的旋转、 缩放和剪切等操作。
培养数学思维
学习高等代数需要具备数学思维，即能够运用数学语言 和符号进行推理和表达的能力。
提高逻辑推理能力
通过学习和练习高等代数的证明和推导，可以提高逻辑 推理能力，增强思维的严密性和条理性。
T量是一个有方向的量，它由一组有 序数组成。在高等代数中，向量通常 表示为有序数对的序列，这些数对可 以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若 干列组成。在高等代数中，矩阵是重 要的数学工具，它可以表示向量之间 的关系、线性变换等。
数学高等代数第五版精品PPT课件
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 a A ；或
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
者说A包含a，记作A∋a 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 a A； 或者说A不包含a，记作
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫 做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成：a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯（Gauss,1777-1855）
数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明，设若xxA(AB B)C，( A那 C么) x，那A且么 xxBACB 或，于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC，中C的之B一 C. 若，x所以B 不，论那哪么一因
种为情x形都A 有，所x 以A，xBACB，；所同以样，若 x C ， 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
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多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
高等代数课件
线性变换的矩阵表示
对于一个线性变换，如果存在一组基 使得该线性变换在这组基下的矩阵表 示是恒等变换，那么这组基是这线性 变换的一个基底。
CHAPTER 02
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组的解法
高斯消元法
通过消元将线性方程组转化为求解单变量方程，是求解线性方程 组的基本方法。
克拉默法则
适用于系数行列式不为零的线性方程组，通过展开式求解。
特征值的计算方法与性质
计算方法
特征多项式f(λ)=|λE-A|，其中E为单位矩 阵，A为给定矩阵。通过求解f(λ)=0得到 的根即为特征值。
VS
性质
特征多项式f(λ)的根即是特征值，f(λ)的阶 数即是矩阵A的阶数。f(λ)无重根，则A有 n个线性无关的特征向量。
特征向量的应用与性质
应用
在矩阵理论中，特征向量的应用广泛，如求解线性方程组、判断矩阵的稳定性、求矩阵的秩等。
性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子 式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值 按照排列方式决定。行列式的定义可以推广 到任意阶数。行列式具有以下性质
递推公式法：利用递推公式，将高阶行 列式转化为低阶行列式，以便计算。
行列展开法：利用代数余子式的性质， 将行列式按照某一行或某一列展开，转 化为低阶行列式，以便计算。
详细描述
化简法：利用行列式的性质，化简行列 式，将其转化为更简单的形式，以便计 算。
高阶矩阵的运算与性质
对于一个线性变换，如果存在一组基 使得该线性变换在这组基下的矩阵表 示是恒等变换，那么这组基是这线性 变换的一个基底。
CHAPTER 02
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组的解法
高斯消元法
通过消元将线性方程组转化为求解单变量方程，是求解线性方程 组的基本方法。
克拉默法则
适用于系数行列式不为零的线性方程组，通过展开式求解。
特征值的计算方法与性质
计算方法
特征多项式f(λ)=|λE-A|，其中E为单位矩 阵，A为给定矩阵。通过求解f(λ)=0得到 的根即为特征值。
VS
性质
特征多项式f(λ)的根即是特征值，f(λ)的阶 数即是矩阵A的阶数。f(λ)无重根，则A有 n个线性无关的特征向量。
特征向量的应用与性质
应用
在矩阵理论中，特征向量的应用广泛，如求解线性方程组、判断矩阵的稳定性、求矩阵的秩等。
性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子 式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值 按照排列方式决定。行列式的定义可以推广 到任意阶数。行列式具有以下性质
递推公式法：利用递推公式，将高阶行 列式转化为低阶行列式，以便计算。
行列展开法：利用代数余子式的性质， 将行列式按照某一行或某一列展开，转 化为低阶行列式，以便计算。
详细描述
化简法：利用行列式的性质，化简行列 式，将其转化为更简单的形式，以便计 算。
高阶矩阵的运算与性质
高等代数(绪论)讲解课件
高等代数(绪论)讲解课件
目录
• 高等代数的定义与重要性 • 高等代数的历史与发展 • 高等代数的应用领域
• 高等代数的基本定理与性质 • 高等代数的解题方法与技巧
高等代数的定义与重要性
高等代数的定 义
• 高等代数的定义：高等代数是数 学的一个重要分支，主要研究向 量空间、线性变换、线性方程组、 矩阵理论等抽象代数结构。它建 立在中学代数的初等代数基础之 上，引入了更为抽象的概念和性 质。
机械工程是设计和制造各种机械系统 的科学。高等代数中的许多概念和工 具，如向量空间和线性映射等，在机 械工程中有着广泛的应用。例如，在 机构学中，我们使用向量和矩阵来表 示和分析机械系统的运动。
计算机科学是研究计算机的一门科学。 高等代数中的许多概念和工具，如模、 张量和外代数等，在计算机科学中有 着广泛的应用。例如，在密码学中， 我们使用模和同余来加密和解密信息。
物理领域的应用
量子力学
量子力学是描述微观粒子行为的一门科 学。高等代数中的许多概念和工具，如 张量和外代数等，在量子力学中有着广 泛的应用。例如，在量子力学中，我们 使用张量来表示和操作量子态。
VS
理论物理
理论物理是研究物理现象的一门科学。高 等代数中的许多概念和工具，如群论和环 论等，在理论物理中有着广泛的应用。例 如，在粒子物理学中，我们使用群论来表 示和分析粒子的对称性。
高等代数的基本概念
向量与向量空 间
向量与向量的模
向量是具有大小和方向的几何实体。 向量的模是衡量其大小的一个度量。
向量空间
线性组合与线性无关
线性组合是向量空间中向量的一种运 算，线性无关则描述了向量集合的一 种性质。
向量空间是一个由向量构成的集合， 满足一定的封闭性和结合性。
目录
• 高等代数的定义与重要性 • 高等代数的历史与发展 • 高等代数的应用领域
• 高等代数的基本定理与性质 • 高等代数的解题方法与技巧
高等代数的定义与重要性
高等代数的定 义
• 高等代数的定义：高等代数是数 学的一个重要分支，主要研究向 量空间、线性变换、线性方程组、 矩阵理论等抽象代数结构。它建 立在中学代数的初等代数基础之 上，引入了更为抽象的概念和性 质。
机械工程是设计和制造各种机械系统 的科学。高等代数中的许多概念和工 具，如向量空间和线性映射等，在机 械工程中有着广泛的应用。例如，在 机构学中，我们使用向量和矩阵来表 示和分析机械系统的运动。
计算机科学是研究计算机的一门科学。 高等代数中的许多概念和工具，如模、 张量和外代数等，在计算机科学中有 着广泛的应用。例如，在密码学中， 我们使用模和同余来加密和解密信息。
物理领域的应用
量子力学
量子力学是描述微观粒子行为的一门科 学。高等代数中的许多概念和工具，如 张量和外代数等，在量子力学中有着广 泛的应用。例如，在量子力学中，我们 使用张量来表示和操作量子态。
VS
理论物理
理论物理是研究物理现象的一门科学。高 等代数中的许多概念和工具，如群论和环 论等，在理论物理中有着广泛的应用。例 如，在粒子物理学中，我们使用群论来表 示和分析粒子的对称性。
高等代数的基本概念
向量与向量空 间
向量与向量的模
向量是具有大小和方向的几何实体。 向量的模是衡量其大小的一个度量。
向量空间
线性组合与线性无关
线性组合是向量空间中向量的一种运 算，线性无关则描述了向量集合的一 种性质。
向量空间是一个由向量构成的集合， 满足一定的封闭性和结合性。
高等代数PPT (15)
第一章矩阵及其初等变换1.2 Gauss消元法与矩阵的初等变换1.2.4初等矩阵四. 初等矩阵例1.112006000013015422A212645230100252100026013045 25230451030125002010126530140 1325141625221,2A 单位阵行左乘互换所得矩阵1,2A 的将行互换25A 单位阵行左乘所得矩阵25A 将的行153A 单位阵行倍乘加到第左行153A 的行倍加到第将行初等矩阵: 对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵i 行j 行三种初等矩阵:1111111001ij P,,j i j i 行互单换位阵的列互换i 行i 行j 行1111ij P c c11i P c c0ci i c c 行单位阵的列i c j j c i 行加到行单位阵的列加到列定理:对A 作一次行(列)初等变换, 相当于在A 的左(右)边乘上相应的初等矩阵.左乘行右乘列应用:1.A 经有限次行初等变换得B , 则存在有限个初等矩阵E 1, …, E k , 使得2.A 经有限次列初等变换得B , 则存在初等矩阵E 1, …, E k , 使得3. A 经有限次初等变换得B , 则存在初等矩阵P 1, …, P k , Q 1, …, Q t 使得12kB AE E E 111k k k B P P AQ Q Q 11k k B E E E A例2.设矩阵则B = ( )111213131211122122232322212231323333323132,,a a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a123110100001010,110,010,001001100P P P23133123A P APB AP PC AP PD AP P 分析:A B 经由列初等变换得到B A 右乘列变换相应的初等矩阵1121,1,3A A A 将的第列加到第列得再将的列互换i P右乘对应列变换12:1P 第列加到第列21:2P 第列加到第列31,3P ：列互换12,A AP 1323B A P AP P。
高等代数PPT (2)
第零章预备知识
0.1 数域
0.1.2 数系的发展
二. 数系的发展
数系的发展:
自然数集合:
1,2,3, 对加法, 乘法运算封闭, 对减法运算不封闭
整数集合:
0,1,2,3, 对加法, 减法, 乘法运算封闭, 对除法运算不封闭有理数集合: ,,0a a b b b
且对加减乘除(除数不为0)运算封闭！
毕达哥拉斯希帕索斯毕达哥拉斯:万物皆数
认为不同的长度总是可公度的:
可以写成两个整数的商有理数之外, 没有其它的数了!希帕索斯:
2不是有理数!被扔到海里喂鱼了!实数集合ℝ: 参见数学分析对方程求根不封闭!复数集合ℂ: i ,a b a b 对多项式方程求根封闭: 代数基本定理高等代数的研究对象: 多项式, 矩阵, 行列式, 方程组, 向量, 线性空间, 线性变换等.
证明:反证.2,,m n
m n 正整数互素有理数: 可以写成m /n , 其中整数m , n 互素
.
2
,:2A A 正数并且2,
是有理数222m n 是偶数2m k 是偶数 2222k n 222n k n 是偶数! 矛盾3,5?你能证明是无理数吗请猜测可能有怎样更一般的结论?2不是有理数!定理1.推论1.
设a , b 是有理数, 则200a a b 思考题:。
高代课件
第 一 章 基 本 概 念(Basic Concept)
第 一 讲 集 合 (Sets) 本讲的教学目的和要求 本讲主要介绍了集合的基本内容：集合的概念， 集合的基本要素，集合的表示方法以及集合的运算。 它是现代数学最基本的概念之一，完全是为日后高 等代数的学习进行必要的知识储备。 本章的教学重点和难点 集合的概念，尤其是所谓的“三要素”以及集合 中的五种常用的运算是学生重点要掌握的知识。而 由于补集、差集和积集这两个概念相对“复杂”些， 故要求予以高度的重视。
集合的概念 1、集合和它的元素 将一群确定的事物作为整体来考虑 时，这一整体就叫做集合。常用大写拉丁 字母 A、B、C …表示。 例如： 某校的全体学生组成一个集合； 某房间的全部桌椅组成一个集合； 全体自然数组成一个集合； 区间[1，3]内的自然数组成一个集合。
定义1：组成集合的每一个事物叫做这个集合 的元素。常用小写拉丁字母 a, b, c, 表 示。 注： 1、如果a是集合的A元素，就说a属于A， 记作 a A ;如果不是的元素，就是说a不属 于A，记作 a A 。 2、一个集合若只含有限个元素，这个集 合就叫做有限集合；如果一个集合由无限多个 元素组成的，就叫它为无限集合。 例1： A {3,5,7,9} 是有限集 7 A 而 4 A 。 是由所有自然数构成的集合，那么是个无限集 且10 B 而 2 B
2、描述法：把集合中元素的共同属性描述 出来，写在大括号内表述集合的方法叫做 描述法。即一般形式为 {x P( x)} ,其中P(x) 表 示元素x的共同属性。 例3： A {x x 2n, n Z } 表示全体偶 数组成的集合。
B {x x R, x 3x 2 0}
第 二 讲 映 射 (Mappings) 本讲的教学目的和要求 映射的概念是现代数学最基本的概念和重要工 具。本讲要求必须切实掌握好映射的定义，能准确 地判断一个对应是否为映射的真实性，尤其是映射 的分类情况。 本讲的重点和难点 在映射的基础上，掌握双射(即一一映射)形成 的条件和它的逆映射的存在性及唯一性。而不易把 握的是如何判断和证明一个对应关系是否为双射， 以及构造一些能符合要求的实例往往是初学者较为 棘手的工作。
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仍为数域 P上的多项式．
f ( x) g( x) 0
2) f ( x ), g ( x ) P [ x ]
① ( f ( x ) g ( x )) m ax( ( f ( x )), g ( x ))) ② 若 f ( x ) 0, g ( x ) 0, 则 f ( x ) g ( x ) 0, 且
个非负整数，形式表达式
a n x a n1 x
n n1
a1 x a 0
其中 a 0 , a 1 , a n
P,
称为数域P上的一元多项式．
常用 f ( x ), g ( x ), h ( x ) 等表示．
§1.2 一元多项式
注： 多项式
①
ai x
i
f ( x ) a n x a n1 x
加法： 若 n m , 在 g ( x ) 中令
bn bn 1 bm 1 0
则
f ( x) g( x)
n
( a i bi ) x i . bi ) x i
减法： f ( x ) g ( x )
§1.2 一元多项式
i0 n
(a
i0
i
乘法：
f ( x ) g ( x ) a n bm x
n m
( a n bm 1 a n 1bm ) x
n m 1
( a 1 b 0 a o b1 ) x a 0 b) x
i
s1 i j s
注:
f ( x)g( x)
( f ( x ) g ( x )) ( f ( x )) ( g ( x ))
§1.2 一元多项式
f ( x)g( x)
的首项系数
f ( x ) 的首项系数× g ( x ) 的首项系数.
3) 运算律
f ( x) g( x) g( x) f ( x) ( f ( x ) g ( x )) h ( x ) f ( x ) ( g ( x ) h ( x )) f ( x)g( x) g( x) f ( x ) ( f ( x ) g ( x )) h ( x ) f ( x )( g ( x ) h ( x )) f ( x )( g ( x ) h ( x )) f ( x ) g ( x ) f ( x ) h ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) h ( x ), f ( x ) 0 g ( x ) h ( x )
从而必有 g ( x ) h ( x ) 0.
f ( x ) g ( x ) h ( x ) 0.
(2) 在 C上不成立．如取
f ( x ) 0, g ( x ) ix , h ( x ) x
§1.2 一元多项式
二、多项式环
定义 所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域
P上的一元多项式环，记作 P [ x ] . P称为 P [ x ] 的系数域．
§1.2 一元多项式
，即 f ( x ) 0，则称之
为零多项式．零多项式不定义次数．
区别：
零多项式 f ( x ) 0
零次多项式 f ( x ) a , a 0 , ( f ( x )) = 0 .
§1.2 一元多项式
2．多项式的相等
若多项式 f ( x ) 与 g ( x ) 的同次项系数全相等，则 称 f ( x )与 g ( x )相等，记作 f ( x ) g ( x ) . 即，
但 ( f ( x )) 为偶数. x ( g ( x ) h ( x )) f ( x ),
2 2 2 2
这与已知矛盾. 从而
2 2
故 f ( x ) 0,
g ( x ) h ( x ) 0.
§1.2 一元多项式
又 f ( x ), g ( x ) 均为实系数多项式 ，
§1.2 一元多项式
3．多项式的运算：加法（减法）、乘法
f ( x ) a n x a n1 x
n n1
a1 x a 0
b1 x b 0
n
ai x i,
bjx j,
i0 m
g ( x ) bm x
m
bm 1 x
m 1
j0
中s 次项的系数为
a s b o a s 1 b1 a 1 b s 1 a 0 b s
§1.2 一元多项式
i j s
aib j .
4．多项式运算性质
1) f ( x ) g ( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则
f ( x ) g ( x ), f ( x ) g ( x )
§1.2 一元多项式
例1
设 f ( x ), g ( x ), h ( x ) R ( x )
f ( x ) x g ( x ) x h ( x ),
2 2 2
(1) 证明: 若
则
f ( x )= g ( x ) h ( x ) 0
(2) 在复数域上(1)是否成立？
§1.2 一元多项式
第一章 多项式
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式
§7 多项式函数
§8 复、实系数多项式 的因式分解 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
一、一元多项式的定义 二、多项式环
§1.2 一元多项式
一、一元多项式的定义
1．定义 设 x是一个符号（或称文字），n 是一
n
n1
a1 x a 0
中，
称为i次项，a i 称为i次项系数． 则称
an x
n
② 若
an 0,
a 为 f ( x )的首项， n 为首项
系数，n 称为多项式 f ( x ) 的次数，记作 ( f ( x )) = n . ③ 若a0
a1 a n 0
f ( x ) a n x a n1 x
n n1
a1 x a 0 , b1 x b 0 ,
i 0 , 1, 2 , , n .
g ( x ) bm x
f ( x) g( x)
m
bn 1 x
m 1
m n , a i bi ,
(1) 证：若 f ( x ) 0,
2 2
则
2
x ( g ( x ) h ( x )) f ( x ) 0 ,
从而
2
g ( x ) h ( x ) 0.
2 2 2
于是
2 2
( x g ( x ) x h ( x )) ( x ( g ( x ) h ( x ))) 为奇数.