第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差的基本知识
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
第五章 测量误差的基本知识
2 ma
解：
α
D
+a
mS = ± 30 2 × 0.04 2 + 40 2 × 0.03 2
mS = ±1.7(m 2 )
1、求D 、 D＝Lcos α ＝ ＝165.50×cos15°30′ × ° ＝159.48m
2、求mD 、 （1）函数式 ） D=Lcosα （2）偏微分 ）
中误差m ㎜，中误差 d＝±0.2㎜，求实地距离 及其 ㎜ 求实地距离D及其 中误差。 中误差。 解： D＝500d ＝
n-1 [ vv ] m=± n-1
例1：
l 1 2 3 4 5 85°42′49″ ° 85°42′40″ ° 85°42′42″ ° 85°42′46″ ° 85°42′48″ ° l0=85°42′40″ ° △l 9 0 2 6 8 25 v ﹣4 ﹢5 ﹢3 ﹣1 ﹣3 0 vv 16 25 9 1 9 60
V △l（㎜） （㎜） （㎜）
vv 4 25 256 441 9 121 856
m2 = n n
=
L = l0 +
[ vv ] 1 2 + m
∑∆ l 25" = 85°42' 40" + 5 5 ＝85°42′45″ °
二、求观测值的函数的中误差 S＝ab （一）求偏微分 dS＝b da＋a db （二）以偶然误差代替微分元素
60 m=± 5 -1
m = ±3.9"
mD = 0.012 + 0.02 2 + 0.03 2
=±0.037（m） ± （ ） 六、线性函数的中误差 函数： 函数： z＝k1x1＋k2x2＋…＋knxn ＝ ＋ 偏微分： 偏微分： dz＝k1 dx1＋k2 dx2＋…＋kn dxn ＝ ＋ 中误差： 中误差：
第5章 误差基本知识
例如：
水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角 误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
17
必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
2
n
lim
n
n
13
•
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。
第5章 测量误差理论的基础知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明，当对某一未知量进行多次 观测时，无论观测仪器多么精密，观测进行得
多么仔细，观测值之间总是存在着差异。例如，
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长：
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差：
将以上各式两边平方、取平均，可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立，则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性，上式末项当 k 时趋近于 零，故：
测量某一平面三角形的三个内角，其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
测量误差的基本知识
m乙 =
=
= 4.3
n
6
12
二、相对误差
l 绝对误差 :真误差、中误差 l 相对误差: 在某些测量工作中，绝对误差不能完全
反映出观测的质量。 相对误差K—— 等于误差的绝对值与相应观测值的
比值。常用分子为1的分式表示，即：
相对误差
=
误差的绝对值 观测值
=1 T
13
l 相对中误差：当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时， K称为～，即 k=1/m 。
3
1．系统误差
l 系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。
l 系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
l 系统误差的特点： 具有累积性
4
系统误差消减方法 ❖1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
10
一、中误差
在测量实践中观测次数不可能无限多，实际应用中，以 有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作 为衡量精度的一种标准：
m = ±sˆ = ± [ ]
n
在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
11
l 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角 形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和 的真误差）分别为：
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响
5
2．偶然误差 l 偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量 进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有 明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号 均呈现偶然性，这种误差称为 ～。 l 产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感 觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误 差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的 温度、风力等外界环境)所造成。
第五章 测量误差
（2）水准路线高差的中误差
如果在这段水准路线当中一共观测了n站，则总高 差为： 设每站的高差中误差均为m站 ，则 mh = 取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误差为： m容= 3
2.水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘左 盘右观测同一方向的中误差为±6” ，即 =±6”。 假设盘左瞄准A点时读数为A左，盘右瞄准A时读数 为A右，那么瞄准A方向一个测回的平均读数应为
求真误差的方差： 由方差的性质可得：
中误差为标准差σ的估计值，而标准差的平方就等 于方差，故
二、线性函数
1、倍数函数 设有函数 Z=Kx 式中 x—直接观测值，其中误差为mx； K—常数 Z—观测值x的函数 若对x作n次同精度观测，其真误差列为 设对应的函数的真误差列为 。 观测值与函数间的真误差关系式为：
三、非线性函数 设有非线性函数 z=f（x1、x2、…、xn） 式中，x1、x2、…、xn为独立观测值，其相应的中
误差分别为m1、m2、…、mn，对其全微分得到
四、误差传播定律的应用 1.水准测量的误差分析
（1）一个测站的高差中误差 每站的高差为：h=a-b；a、b为水准仪在前后水准 尺上的读数，读数的中误差m读，m读≈±3mm，则 每个测站的高差中误差为
二、中误差（均方差）
1.测量工作中，用标准差来衡量观测的精度，我 们称之为中误差，用ｍ表示。 设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立 观测，观测值为:l1,l2,…,ln,其真误差为Δ １,
Δ ２,…,Δ n ,则真误差的方差
式中当ｎ→∞，E(Δ ) ＝ 0 ，根据数学期望的定义 E(Δ 2)就是Δ 2的算术平均值。
将上式平方，得 按上式求和，并除以n，得
《测量学》第05章 测量误差的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的标准 5.3 误差传播定律 5.4 算术平均值及其中误差 5.5 加权平均值及其中误差
5.1 测量误差概述
测量实践中可以发现， 测量实践中可以发现，测量结果 不可避免的存在误差 比如： 存在误差， 不可避免的存在误差，比如： 1.对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同； 对同一量的多次观测值不相同 2.观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异。 观测值与理论值存在差异
5.3 误差传播定律
阐述观测值中误差与观测值函数的中误 差之间关系的定律，称为误差传播定律 误差传播定律。 差之间关系的定律，称为误差传播定律。 一、观测值的函数 1.和差函数 2.倍函数 3.线性函数 4.－般函数
Z = x1 + x 2 + L + x n
Z = mx
Z = k1 x1 + k 2 x 2 + L + k n x n
mZ = ± (
∂f 2 2 ∂f ∂f 2 2 ) m1 + ( ) 2 m2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( ) 2 mn ∂x1 ∂x2 ∂xn
5.4 算术平均值及观测值的中误差
一、求最或是值
设在相同的观测条件下对未知量观测了n次 设在相同的观测条件下对未知量观测了 次 ， 观测值为l 中误差为m 观测值为 1、l2……ln，中误差为 1、m2、…mn，则 其算术平均值（最或然值、似真值） 其算术平均值（最或然值、似真值）L 为：
二、研究测量误差的目的和意义
分析测量误差产生的原因及其性质。 分析测量误差产生的原因及其性质。 确定未知量的最可靠值及其精度。 确定未知量的最可靠值及其精度。 正确评价观测成果的精度。 正确评价观测成果的精度。
测量误差的基本知识
§5.5误差传播定律的应用
一、水准测量的误差分析
每站的高差为：h = a - b ；m读≈ ±3mm
一站的高差中误差：m站 =
≈ ±4mm
线路n站，则总高差：
取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误 差为 ：
二、水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘 左盘右观测同一方向的中误差为±6 ″，
1、倍数函数：Z=kx 中误差：mz=kmx
2、和差函数 ：Z=x1±x2±…±xn 中误差：mz m12 m22 ... mn2
3、线形函数 ： Z=k1x1±k2x2±…±knxn 中误差：mz (k1)2 m12 (k2 )2 m22 ... (k n)2 mn2
加权平均值的中误差： M0 = = ±3.2mm
一、一般函数的中误差
设Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn属于独立自 变量（如直接观测值），他们的中误差分别为 m1,m2,…,mn则函数Z的中误差为 ：
mz
(
f x1
)
2
m12
f (
x2
) 2 m22
f ... (
xn
) 2 mn2
二、特殊函数的中误差
小结
• 正确列出函数式； • 检查观测值是否独立； • 求偏微分并代入观测值确定系数； • 套用公式求出中误差。
思考题：一个边长为l的正方形，若测量一 边中误差为ml＝±1cm，求周长的中误差？ 若四边都测量，且测量精度相同，均为ml， 则周长中误差是多少？
§5.4等精度直接观测值
1.算术平均值原理 假设对某量X 进行了n次等精度的独立观测，得
5.偶然误差的特性
第五章测量误差的基本知识
mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时，算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时，通常取 算术平均值做为最可靠值。
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差：
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差：
M m [vv] n n(n 1)
例：对某直线丈量了6次，丈量结果如表，求算术
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容：测量误差的概念、来源、分类 与处理方法；精度概念及评定标准；误差 传播定律；观测值中误差计算；直接观测 值的最可靠值及其中误差
Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ 测量的相对误差不低于1/5000的要求
）组
▪ Ａ.100m 0.025m； Ｂ.200m 0.040m； Ｃ.150m 0.035m
第五章测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识1、衡量测量精度的指标有中误差、相对误差、极限误差。
5.测量，测角中误差均为10〃，所以A角的精度高于B角。
（X）8.在测量工作中无论如何认真仔细，误差总是难以避免的。
（X）10 .测量中，增加观测次数的目的是为了消除系统误差。
（X）1、什么是偶然误差？它有哪些特性？定义：相同的观测条件，若误差在数值和符号上均不相同或从表面看无规律性。
如估读、气泡居中判断等。
偶然误差的特性：（D有界性（2）渐降性（3）对称性（4）抵偿性7.已知DJ6经纬仪一测回的测角中误差为m户±20〃，用这类仪器需要测几个测回取平均值，才能达到测角中误差为±10” ?（）A. 1B.2C.3D.43.偶然误差服从于一定的规律。
4.对于偶然误差，绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会。
14.测量误差的来源有、、外界条件。
3.设对某距离丈量了6 次，其结果为246.535m、246.548m、246.520m、246.529m、246.550m、246.537m,试求其算术平均值、算术平均值中误差及其相对中误差。
6.偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增加而趋向于o14.设对某角度观测4个测回，每一测回的测角中误差为±5",则算术平均值的中误差为±〃。
24.衡量测量精度的指标有、、极限误差。
3.观测值与之差为闭合差。
（）A.理论值B.平均值C.中误差D.改正数5.由于钢尺的不水平对距离测量所造成的误差是（）A.偶然误差B.系统误差C.可能是偶然误差也可能是系统误差D.既不是偶然误差也不是系统误差8.阐述函数中误差与观测值中误差之间关系的定律称为o9.什么是系统误差？什么是偶然误差？误差产生的原因有哪些？10测量误差按性质可分为和两大类。
1. 2.相对误差2.由估读所造成的误差是（）oA.偶然误差B.系统误差C.既是偶然误差又是系统误差14.下列不属于衡量精度的标准的是（）。
第五章 测量误差基础知识
5.1.3
观测误差的分类及其处理方法
②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的 改正。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖 直角进行指标差改正等。 ③将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便计算改 正，又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管 水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水平角的影响，对于这类系统 误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细 整平将其影响减小到允许范围内。
表5-1 误差绝对值 K K/n 91 0.254 81 0.226 66 0.184 44 0.123 33 0.092 26 0.073 11 0.031 6 0.017 0 0
正误差 K K/n 46 0.128 41 0.115 33 0.092 21 0.059 16 0.045 13 0.036 5 0.014 2 0.006 0 0
[] X [l ] n n 根据偶然误差第（4）特性 [ ] 0 [l ] lim n n
lim
n
[l ] X n
n
x
27
§5-4 测量值的精度评定
若被观测对象的真值不知，则取平均数 l 为最优解x （最或然值） 改正值：
vi l li x li
标准差可按下式计算
2
v
i 1
n
2
i
n 1
m
白塞尔公式
v
i 1
n
2
i
n 1
28
证明：
1 X l1 2 X l2 n X ln
v1 x l1 v1 x l1 v1 x l1
容许误差
第五章测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识第五章测量误差的基本知识本章摘要：本章主要介绍测量误差的种类；偶然误差的统计特征和处理⽅法；精度的含义；评定测量精度的指标；不同精度指标表达的意义及其适⽤范围。
§5-1 测量误差及分类摘要内容：学习误差理论知识的⽬的，使我们能了解误差产⽣的规律，正确地处理观测成果，即根据⼀组观测数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同时，根据误差理论制定精度要求，指导测量⼯作选⽤适当观测⽅法，以符合规定精度。
讲课重点：测量误差的概念、测量与观测值分类、测量误差及其来源、测量误差的种类、偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲课难点：偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲授重点内容提要：⼀、测量误差的概念⼈们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差，这种误差在对变量进⾏观测和量测的过程中反映出来，称为测量误差。
⼆、测量与观测值通过⼀定的仪器、⼯具和⽅法对某量进⾏量测，称为观测，获得的数据称为观测值。
三、观测与观测值的分类1.同精度观测和不同精度观测观测条件：构成测量⼯作的要素包括观测者、测量仪器和外界条件，通常将这些测量⼯作的要素统称为观测条件。
同精度观测：在相同的观测条件下，即⽤同⼀精度等级的仪器、设备，⽤相同的⽅法和在相同的外界条件下，由具有⼤致相同技术⽔平的⼈所进⾏的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。
反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。
2.直接观测和间接观测直接观测：为确定某未知量⽽直接进⾏的观测，即被观测量就是所求未知量本⾝，称为直接观测，观测值称为直接观测值。
间接观测：通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。
（说明：例如，为确定两点间的距离，⽤钢尺直接丈量属于直接观测；⽽视距测量则属于间接观测。
）3.独⽴观测和⾮独⽴观测独⽴观测：各观测量之间⽆任何依存关系，是相互独⽴的观测，称为独⽴观测，观测值称为独⽴观测值。
误差基本知识
解：h = h1 + h2 + h3 = 15.316 + 8.171 6.625 = 16.862 (m)
m
2 h
=
m
2 1
+
m
2 2
+
m
2 3
=
52
+
42 +
32
m h = ± 7.1 (mm)
∴ h = 16.882 m ± 7.1 mm
例五 设对某一未知量P，在相同观测条件下进行多次观测，
消除方法：
✓ 1．高仪器等级
✓ 2．进行多余观测
✓3．求平差值
在观测过程中，由于系统误差和偶然误差是同时发 生的，观测值的精度，并不意味着准确度也高，只 有消除或大大降低系统误差的影响，使偶然误差处 于主导地位时，精度这一词，才含有精确度的意义。 因此，学习误差基本知识的目的，就是了解误差产 生的规律，正确地处理观测成果，即根据一组观测 数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度，同 时根据误差理论导出衡量观测值精度的指标，用以 指导测量工作，选用适当的观测方法，以提高观测 精度。
M = m n
(5-11)
从公式中可知，算术平均值中误差是观测值
中误差的
1 n
倍，观测次数愈多，算术平均
值的误差愈小，精度愈高。但精度的提高仅 与观测次数的平方根成正比，当观测次数增 加到一定次数后，精度就提高得很少，所以 增加观测次数只能适可而止。
例六 表5-2中，观测次数n = 5，观测值中误 差m = ± 19.5，求算术平均值的中误差。
Vi = x - Li (i = 1,2,…n)
m=
n
V 2
i =1
n 1
第五章 测量误差的基本知识
一般情况下，只要是观测值必然含有误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
5.1 测量误差的来源及分类
二、测量误差产生的原因
1. 仪器误差 2. 观测误差 3. 外界条件的影响 观测条件
如果使用的仪器是同一个精密等级， 如果使用的仪器是同一个精密等级，操作人员有相同 的工作经验和技能，工作环境的自然条件（气温、 的工作经验和技能，工作环境的自然条件（气温、风 湿度等等）基本一致，则称为相同的观测条件 相同的观测条件。 力、湿度等等）基本一致，则称为相同的观测条件。
i
正态分布曲线
图中有斜线的长方形 面积就代表误差出现 在某区间的频率。 在某区间的频率。
-21 -15 -18 -12 -9 -6 -3 0 +3 +9 +15 +21 +6 +12 +18 +24
x=∆
-24
误差分布频率直方图
5.2 偶然误差的基本特性
误差分布图
在一定的观测条件下得到一组独立的误差， 在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定 的分布。 同时无限缩小误差区间， 的分布。当误差个数 n → ∞ ，同时无限缩小误差区间，上图 中的各矩形的顶边折线就成为一条光滑的连续曲线。 中的各矩形的顶边折线就成为一条光滑的连续曲线。 这条曲线称为误差分布曲线也称为 正态分布曲线。 正态分布曲线。曲线上任意一点的 纵坐标y 的函数， 纵坐标y均为横坐标 ∆ 的函数，其 函数形式为：
5.3 衡量观测值精度的指标
1、中误差
中误差不同于各个观测值的真误差， 中误差不同于各个观测值的真误差，它是衡量一组观 测值精度的指标， 测值精度的指标，它的大小反映出一组观测值的离散 程度。中误差m值小，表明误差的分布较为密集， 程度。中误差m值小，表明误差的分布较为密集，各 观测值间的差异较小，这组观测的精度就高；反之， 观测值间的差异较小，这组观测的精度就高；反之， 中误差m值较大，表明误差的分布较为离散， 中误差m值较大，表明误差的分布较为离散，观测值 之间的差异也大，这组观测的精度就低。 之间的差异也大，这组观测的精度就低。 说明：中误差越小，观测精度越高。 说明：中误差越小，观测精度越高。
(整理)第5章,误差基本知识
第5章测量误差基本知识测量工作使用仪器进行测量，在测量过程中不可避免的出现误差，为了提高测量精度及精度评定，需要了解测量误差的来源，促进测量工作方法的改进，和测量精度的提高。
误差—在一定观测条件下，观测值与真值之差。
精度—观测误差的离散程度。
5-1 误差的基本概念讨论测量误差的目的：用误差理论分析，处理测量误差，评定测量成果的精度，指导测量工作的进行。
▼▼▼▼产生测量误差的原因，▼▼测量误差的分类和处理原则，▼▼偶然误差的特性一、测量误差的来源仪器原因：仪器精度的局限，轴系残余误差等。
人的原因：判别力和分辨率的限制，经验等。
外界影响：气象因素（温度变化，风、大气折光）等。
有关名词:观测条件，等精度观测：上述三大因素总称观测条件，在上述条件基本一致的情况下进行各次观测，称等精度观测。
结论：观测误差不可避免（粗差除外）二、测量误差的分类两类误差：系统误差偶然误差粗差（错误排除）1、系统误差-- 误差出现大小、符合相同，或按规律变化，具有积累性。
处理方法①检校仪器，把仪器的系统误差降到最小程度；②求改正数，对测量结果加改正数消除；③对称观测，使系统误差对观测成果的影响互为相反数，以便外业操作时抵消。
例：误差处理方法钢尺尺长误差△D K 计算改正钢尺温度误差△Dt 计算改正水准仪视准轴误差I 操作时抵消（前后视等距）经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)●结论：系统误差可以消除。
2、偶然误差-- 误差出现的大小，符合各部相同，表面看无规律性。
例：估读误差—气泡居中判断，瞄准，对中等误差，导致观测值产生误差。
◎偶然误差：是由人力不能控制的因素所引起的误差。
◎特点:具有抵偿性。
◎处理原则：采用多余观测，减弱其影响，提高观测结果的精度。
3、粗差—指在一定的观测条件下超过规定限差值。
对于粗差，应当分析原因，通过补测等方法加以消除。
三、偶然误差的特性1、偶然误差的定义:设某量的真值X对该量进行n次观测得n次的观测值l1,l2,l3……l n则产生了n个真误差真误差：△I = X-l i2、偶然误差的特性☎当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现统计学上的规律性，偶然误差具有正态分布的特性。
测量误差基本知识
第五章测量误差基本知识5－1 测量误差概述一、测量误差产生的原因对某一个量进行多次重复观测，例如重复观测某一水平角或往返丈量某段距离等，其多次测量的结果总存在着差异，这说明观测值中含有测量误差。
产生测量误差的原因很多，概括起来有下列三个方面：1．仪器的原因测量工作是采用经纬仪、水准仪等测量仪器完成的，测量仪器的构造不可能十分完善，从而使测量结果受到一定影响。
例如，经纬仪的视准轴与横轴不垂直、度盘刻划不均匀，都会使所测角度产生误差；水准仪的视准轴不平行于水准管轴、望远镜十字丝不水平，都会使高差产生误差。
2．观测者的原因由于观测者感觉器官的鉴别能力存在局限性，所以对仪器的各项操作，如经纬仪对中、整平、瞄准、读数等方面都会产生误差。
此外，观测者的技术熟练程度和工作态度也会对观测成果带来不同程度的影响。
3．外界环境的影响测量所处的外界环境(包括温度、风力、日光、大气折光等)时刻在变化，使测量结果产生误差。
例如，温度变化会使钢尺产生伸缩，风吹和日光照射会使仪器的安置不稳定，大气折光会使瞄准产生偏差等。
人、仪器和外界环境是测量工作的观测条件，由于受到这些条件的影响，测量中的误差是不可避免的。
观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
二、测量误差的分类测量误差按其对观测结果影响性质的不同分为系统误差和偶然误差两类。
1．系统误差在相同的观测条件下对某一量进行一系列观测，若误差的出现在符号和数值上均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
例如，用名义长度为30.000m，而实际鉴定后长度为30.006m的钢卷尺量距，每量一尺段就有0.006m的误差，其量距误差的影响符号不变，且与所量距离的长度成正比。
所以，系统误差具有积累性，对测量结果的影响较大；另一方面，系统误差对观测值的影响具有一定的规律性，且这种规律性总能想办法找到，因此系统误差对观测值的影响可用计算公式加以改正，或采用一定的测量措施加以消除或削弱。
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
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4
M=±2.6
3
124.569 －6
36
4
124.570 －7
49
5
124.559 ＋4
16
6
124.561 ＋2
4
平均
124.563 【v】＝＋1 【vv】＝ 209
第五章小节
▪ 1.误差定义 ▪ 2.观测条件（观测者、仪器、环境） ▪ 3.测量误差分类（系统误差、偶然误差） ▪ 4.精度定义，评定精度的标准（中误差、相对
注意：观测角度不能用相对中误差衡量
3．极限误差
中误差是反映误差分布的密集或离散程度的，不是代表个 别误差的大小，因此，要衡量某一观测值的质量，决定其取舍 ，还要引入极限误差的概念，极限误差又称为允许误差，简称 限差。偶然误差的第一特性说明，在一定条件下，误差的绝对 值有一定的限值。根据误差理论可知，在等精度观测的一组误 差中，误差落在区间 , 、 2， 2 、 3， 3 的概率分别为：
▪ 10测量误差大于______时,被认为是错误,必须重测。
▪ 11用经纬仪对某角观测四次,由观测结果算得观测值 中误差为±20″,则该角的算术平均值中误差为 _____．
▪ 12某线段长度为300m,相对误差为1/1500,则该线段中 误差为______。
▪ 13有一N边多边形,观测了N-1个角度,其中误差均为 ±10″,则第N个角度的中误差是_____。
mD ml n 5 10 16mm D 300 0.016(m)
例1 在某三角形ABC中，直接观测A和B
角，其中误差mA分 别3″为，mB 4″
mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时，算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时，通常取 算术平均值做为最可靠值。
m乙
36 25 0 11 3.5 5
由此可以看出甲组观测值比乙组观测值的精度高，因为乙组观测值中 有较大的误差，用平方能反映较大的影响，因此，测量工作中采用中 误差作为衡量精度的标准。
2．相对误差
测量工作中，有时以中误差还不能完全表达观测结果
的精度。例如，分别丈量了100m及50m两段距离，其
n
m [] n
Δ＝l－X
[]
12
22
…+
2 n
例7－１设有甲，乙两组观测值，其真误差分别为：
甲组： 4、 2、0、 4、 3
乙组： 6、 5、0、1、1
则两组观测值的中误差分别为：
m甲
16 4 0 16 9 3.0 5
▪ 难点：误差传播定律及其应用
§5.1测量误差与精度
▪ 5.1.1 测量误差的概念
▪ 测量误差（观测误差）：观测量之间的差值 或观测值与真值之间的差值
▪ Δ＝l－X
▪ Δ——测量误差，
▪ l ——观测值 ▪ X——真值
测量误差不可避免
5.1.2测量误差的来源
观测条件
观测者
仪器设备
环境
5.1.2测量误差的来源
P 68.3％ Ｐ 2 2 95.4％ Ｐ 3 3 99.7％
允 限 3m或 允 限 2m
超过上述限差的观测值应舍去不用，或返工重测。
5.2误差传播定律
▪ 误差传播：直接观测值误差对间接观测值 有影响。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
▪ 8在观测条件不变的情况下,为了提高测量的精度,其 唯一方法是______。
▪ 9当测量误差大小与观测值大小有关时,衡量测量精度 一般用______来表示。
▪
等精度观测
▪
非等精度观测
▪
§5.1.4 测量误差的分类及处理方法
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：
系统误差和偶然误差。
一．系统误差(system error) 1．定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观
测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律 变化，这种误差称为系统误差。
2．特点： 具有积累性，对测量结果的影响大，但可通 过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 必须限制在允许范围内。
5.1.5精度的概念及评定的标准
▪ 精度定义：对某个量进行多次同精度的观 测中，其偶然误差分布的离散程度。
▪ 常用衡量精度的指标： ▪ 中误差、相对中误差、容许误差
1.中误差
设在相同的观测条件下，对某量进行n次
观测，其观测值为 l1 , l2 ,…，ln ，
相应的真误差为 则中误差为：
1，
2，…，
例如：钢尺尺长误差、 钢尺温度误差、水 准仪视准轴误差、 经纬仪视准轴误差。
二．偶然误差 (accident error)
1、定义： 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测， 如误差出现符号和大小均不一定，这种误差 称为定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限 值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零；——有界性*
中误差、容许误差） ▪ 5.误差传播定律 ▪ 6.真值未知时用算术平均值改正数计算观测值
中误差
作业
▪ P132思考题3 ▪ P132 习题 1，2 ▪ 4设有一n边形，每个角的观测值中误
差为m＝±10″，试求该n变形内角和 的中误差。
▪ 5量得一圆的半径R＝31.3mm，其中误 差为±0.3mm，求其圆面积及其中误差
x=
用频率直方图表示的偶然误差统计： 频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区
间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。 频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，
对称于y轴。 各条形顶边中点 连线经光滑后的曲 线形状，表现出偶 然误差的普遍规律
图6-1 误差统计直方图
▪ 此外，在测量工作中还要注意避免粗差(gross error)（即：错误）的出现。
▪ 14在等精度观测的条件下，正方形一条边a的观测中误差为 m，则正方形的周长（Ｓ=4a）中的误差为（ ）
▪ Ａ.m； Ｂ.2m； Ｃ.4m ▪ 14丈量某长方形的长为α=20，宽为b=15，它们的丈量精
度（ ）
▪ Ａ相同； Ｂ.不同； Ｃ.不能进行比较 ▪ 16衡量一组观测值的精度的指标是（ ） ▪ Ａ.中误差； Ｂ.允许误差； Ｃ.算术平均值中误差 ▪ 17在距离丈量中，衡量其丈量精度的标准是（ ） ▪ Ａ.相对误差； Ｂ.中误差； Ｃ .往返误差 ▪ 18下列误差中（ ）为偶然误差 ▪ Ａ.照准误差和估读误差； Ｂ.横轴误差和指标差；
Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ 测量的相对误差不低于1/5000的要求
）组
▪ Ａ.100m 0.025m； Ｂ.200m 0.040m； Ｃ.150m 0.035m
中误差均为 0.1m 并不能说明丈量距离的精度，因为量距时其中误差或
相对误差，它是中误差的绝对值与观测值的比值，通
常用分子为１的分数形式表示。例如上例中前者的相
对误差为
0.1 1 100 1000
，后者则为
大比值小，丈量精度高。
0.1 1 50 500
前者分母
K |m| 1 D D/|m|
结果可写成 P 108.38 0.03(m)
例2. 水准测量从A进行到B, 得高差hAB 15.476m,
中误差mhAB 0.012m,
h m 从B到C得高差 5.747m,中误差 0.009m,
BC
hBC
求A, C两点间的高差及其中误差。
解：hAC hAB hBC 15.476 5.747 21.223m
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差：
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差：
M m [vv] n n(n 1)
例：对某直线丈量了6次，丈量结果如表，求算术
平均值、算术平均值中误差及相对中误差
测次 距离
改正数v vv
计算
1
124.553 ＋10
100
m=±6.5
2
124.565 －2
▪ 1观测误差按性质可分为_______和_______两类。
▪ 2测量误差是由于______、_______、_______三方 面的原因产生的。
▪ 3直线丈量的精度是用_____来衡量的。
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容：测量误差的概念、来源、分类 与处理方法；精度概念及评定标准；误差 传播定律；观测值中误差计算；直接观测 值的最可靠值及其中误差
1
2
n
图形：偶然误差分布频率直方图
四个特性：有界性，偶然性，对称y性，抵偿性。
lim 1 2 n lim 0
n
n
n n
正态分布曲线
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24