二重积分练习题

D
D
I3


y
1 2
xd
则
I1,
I2,
I3
的大小顺序为（
）
D
二重积分
A．I1 I2 I3
B．I2 I1 I3
C．I3 I1 I2
D．I3 I2 I1
3.设D是| x | 2, | y | 1所围成的闭区域，则
x2 yd
D
A．4
3
B．8 C．16
3
2
二重积分
五、交换下列二次积分的顺序
1. 0
1 x 2
dx
f (x, y)dy
1
x1
2.
e
ln x
dx f (x, y)dy
1
0
3. 2
y
4
2
dy
1
1
f (x, y)dx
dy
2
y f (x, y)dx
2
4. 2
2x
dx f (x, y)dy
0
x
5.
dy
0
1 y2
f (x, y)dx
D
4
二重积分
4.
2
1 x2
f (x, y)d 2 dx f (x, y)dy
D
2
x2
2
1
y
1
Leabharlann Baidu1 y

2 dy
0

y
f (x, y)dx
1 dy
1 y
f (x, y)dx
2
四、计算下列二重积分
1、565 4、 2
x2
0
1
y
I dy f (x, y)dx
0y
C． 1 y
I dy f (x, y)dx
0
y2
D．I

y
y
1
dy0
f
(x,
y)dx
二重积分
二、填空题
1. (x3 3x2 y y3)d _________. 其中D:
D
0 x 1,0 y 1
2. xcos(x y)d ________. 其中D是顶点分别
1
2y
dy f (x, y)dx
0
0
二重积分
答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B D A C B
二、填空题
1、1
2、 3
2
3、 r
r2 x2
dx f (x, y)dy
r 0
4、 1
2
2
2
1 dy 1 f (x, y)dx 1 dy y f (x, y)dx
A．01dx
2x x
f
(x,
y)dy
B．12 dx
2x x
f
(x,
y)dy
C．02 dy
y y
f (x, y)dx
D．2 dy x f (x, y)dx
0
2x
2
6.设 I

1x
dx
0
x2
f
(x,
y)dy
将I变换积分次序后得（
）
A． B． x 1
I dy f (x, y)dx
D
是 (0,0),(,0),(, )的三角形区域.
3.将二重积分 f (x, y)d 其中D是由x轴及
D
半圆 x2 y2 r2(y 0)所围成的闭区域.化为
先 y后x的二次积分为
二重积分
4.将二重积分 f (x, y)d 其中D是由直线 y x,
D
x 2 及双曲线y 1 (x 0) 所围成的闭区间,
2、
64 15
5、14 ( 2)
3、 9 4
二重积分
五、交换下列二次积分的顺序
1. 1
y1
dy
f (x, y)dx
0
1 y2
2. 1
e
dy f (x, y)dx
0
ey
3. 2
2x
dx f (x, y)dy
1
x
4. 2
y
4
2
dy y f (x, y)dx dy y f (x, y)dx
0
2
2
2
5.
2
1
0 dxx f (x, y)dy
2
二重积分
3
D．0
4.设D是由 0 x 1, 0 y 所确定的闭
区域，则 y cos(xy)d
D
A．2 B．2 C． 1 D．0
二重积分
5.设D是由直线 y 2, y x, y 2x 所围成的闭
区域，则二重积分 f (x, y)d 化为二次积分，
正确的是（ ） D
练习题
一、选择题
1.设 I 3 x2 y2 1d ,其中D是由不等式
D
1 x2 y2 2 确定的闭区域，则必有（ ）
A．I 0 B．I 0 C．I 0 D．I 0
2.设D是第一象限内的一个有界闭区域，
而且0 y 1记, I1 yxd , I2 y2xd ,
二重积分
四、计算下列二重积分
1.
,其中D由抛物线y x, y x2围成
2.
,其中D由0 x 4 y2 确定
3.
,其中D由x 2, y x, xy 1围成
4.
,其中D由y 0, y x, x 围成
5.
,其中D由0 x 1, 0 y 围成
2
y
5、 1 1 1y2
dy
f (x, y)dx
0 2y
6、 2
1 x
dx f (x, y)dy
0
ex
7、1 8、2 9、2 10、0
三、将二重积分化为二次积分
1. 1
x
11
f (x, y)d 0 dx0 f (x, y)dy 0 dyy f (x, y)dx
的闭区域，则 d
D
8.设D是由圆环
所确定的闭区
域，则 d
D
9.设D是由
所确定
的闭区域，若 d 4, 则
D
10.设D:
则(x y)d
D
二重积分
三、将二重积分 f (x, y)d 化为两种不同顺序
D
的二次积分，其中积分区域D是 1.由y 0, y x 和 x 1 围成. 2.由x y 1, x y 1 和 x 0围成. 3.由 y x 和 y2 4x 围成. 4.由y x2 和y 1 x2 围成.
D
2. 1 1x
0
1 y
1 1 y
f (x, y)d dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
0
x1
1 0
00
D
3. 4
2x
4
y
f (x, y)d dx
0
x
f (x, y)dy
x
化为先x 后y 的二次积分为
5.将二次积分 2 dx 2xx2 1 2x
f
(x,
y)dy
改换积分次序,
应为
6.将二次积分 1 dy 2
1 2
2
f (x, y)dx dy
f (x, y)dx
e2
ln y
1
( y1)2
改换积分次序应为
二重积分
7.设D是由直线x y 1, x y 1及y轴所围成