第12章 微分方程 第八节
(整理)第十二章微分方程
一阶微分方程的公式解法。
教学方法
与手段
传统教学与多媒体教学相结合。
思考题与
参考书
《高等数学讲义》樊映川编
求解一阶微分方程的公式是什么？
课后小结
通过本次课程的学习，使学生熟练掌握一阶微分方程的公式解法，学会解一般的二次方程。
讲授内容与课堂组织
③一阶线性微分方程
定义形如 +p(x)y＝q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程。若q(x)＝0称为一阶线性齐次微分方程。若q(x) 0称为一阶线性非齐次微分方程。
二、如何求解微分方程？
1．一阶微分方程的解法：
一阶微分方程的一般形式是：F（x,y, ）＝0,它的通解含有一个任意常数。
1可分离变量的一阶微分方程：
例如 ＝-
解：分离变量 ＝-
两边积分 ＝-
lny＝- lnx + b
故xy＝c就是所给微分方程的解。
2可化为分离变量的一阶微分方程（齐次方程）
例如解微分方程 ＝
当 -4q＞0则 + p + qy＝0的通解为
（3）介绍评价对象的选址、总图布置、水文情况、地质条件、工业园区规划、生产规模、工艺流程、功能分布、主要设施、设备、装置、主要原材料、产品（中间产品）、经济技术指标、公用工程及辅助设施、人流、物流等概况。y＝ + ( , 为任意常数)
5.定性、定量评价当 -4q＝0则 + p + qy＝0的通解为
解：原方程可写为： ＝
令u＝ 则 ＝x + u
x + u＝
整理得x ＝
分离变量 du＝
两边积分整理得y＝c
教案序号：2
授课时间
第1周2
授课学时
高等数学第12章 微分方程
y Ox
通解的图象: 积分曲线族.
初始条件: 用来确定n阶微分方程
F
(
x
,
y
,
d d
y x
,L,
dn dx
y
n
)
=
0
(12.1)
特解的条件：
y( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y0′ ,L, y(n−1)( x0 ) = y0(n−1).
6. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的 解的问题.
F ( x,ϕ ( x),ϕ′( x),L,ϕ (n)( x)) ≡ 0, (∀x ∈ I )
则称 y = ϕ ( x) ( x ∈ I )为方程
F
(
x
,
y
,
d d
y x
,L,
dn dx
y
n
)
=
0
(12.1)
的解；若方程(12.1)的解 y = ϕ ( x)由方程：
Φ(x, y) = 0
所确定，则称 Φ( x, y) = 0为(12.1)式的隐式解 .
x
.
L
P
Q
解 依题设，知 ∂P = ∂Q , 即 [sin x − ϕ ( x)] 1 = ϕ′( x)
∂y ∂x
x
得 ϕ′(x) + 1ϕ(x) = sin x , ϕ(π ) = 1, ϕ ( x) = ?
x
x
∑∞
引例2 求
x 3n 的和函数 .
n = 0 ( 3 n )!
s′′ + s′ + s = e x s(0) = 1, s′(0) = 0.
一阶:
⎧ y′ = f ( x, y)
高等数学第十二章微分方程
x, y'
而 OM x2 y2 . 于是得微分方程
y x x2 y2 ,
y'
或
ydx (x x2 y2 )dy.
这是齐次方程。我们把 x 看作未知函数，把 y看作自
变量，并令 x v,则x yv, dx vdy ydv. y
代入上式得
y(vdy ydv) ( yv | y | v2 1)dy.
y
x
所以这是全微分方程。可取 x0 0, y0 0, 根据
公式（3），有u( x, y) 0x(5x4 3xy2 y3 )dx 0y y2dy
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3.
2
3
于是，方程的通解为
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C.
这就是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，得
所以
M M
0 Ce 0 M0e
t
C ,
,
这就是所求铀的衰变规律。
例3 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与 速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t = 0)速度为零。 求降落伞下落速度与时间的函数关系。
解 设降落伞下落速度为 v(t).降落伞在空中下落时，
第十二章微分方程
第一微分方程的基本概念
一般地，凡表示未知函数的导数与自变量之间 的关系的方程，叫做微分方程。
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数 的阶数，叫做微分方程的阶。
例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一 点处的切线的斜率为，求这曲线的方程。
解 根据导数的几何意义，可知所求曲线应满足
例2 列车在平直线路上以20米/秒（相当于 72公里/小时）的速度行驶；当制动时列车获得 加速度-0.4米/秒.问开始制动后多少时间列车才能 停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
高数第十二章 常系数齐次线性微分方程
即 r (r 2r 5) 0
2 2
得特征根 r1 r2 0, r3 1 2i , r4 1 2i
故所给方程的通解为
y C1 C2 x e x (C3 cos 2 x C4 sin 2 x).
21
d4w 例6 求方程 4 4 w 0的通解, 其中 0. dx
9
y1 , y2 仍是微分方程的解. 且
y1 e x cos x x cot x y2 e sin x
不是常数. 于是微分方程的通解为
y e (C1 cos x C2 sin x)
x
C1 , C2是任意常数.
由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通 解的方法称为特征根法.
定理 y e 是微分方程(2)的解 r是代数
rx
方程 r p1 r
n
n
n 1
pn1 r pn 0的根.
pn1 r pn 0为微分
称方程 r p1 r
n 1
方程(2)的特征方程.其根为(2)的特征根.
n阶常系数齐次线性微分方程的解的情况见 下表 :
解 特征方程为
r4 4 0
因 r 4 4 r 4 2r 2 2 4 2r 2 2
(r 2 2 )2 2r 2 2
(r 2 2r 2 )(r 2 2r 2 )
所以特征方程可写成 ( r 2 2r 2 )( r 2 2r 2 ) 0
p2 4q 特征根 r1,2 2 2 (1) p 4q 0; 分三种情形 : 2 (2) p 4q 0;
(3) p 2 4q 0.
高等数学第十二章《微分方程》
第十二章 微分方程一、内容提要（一）主要定义【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.一般形式为： ()(),,,,,0n F x y y y y '''=.标准形式为：()()()1,,,,n n yf x y y y -'=.【定义12.3】 微分方程的解 若将函数()y x ϕ=代入微分方程使其变成恒等式 即 ()()()(),,0,n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎣⎦或者 ()()()()()()1,,,,n n x f x x x x ϕϕϕϕ-⎡⎤'=⎣⎦则称()y x ϕ=为该方程的解.根据()y y x =是显函数还是隐函数 ,分别称之为显式解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件. （二）主要定理与公式1 可分离变量的方程一般形式()()12dyf x f y dx= 或 ()()()()12120M x M y dx N x N y dy +=. 解法： 先分离变量()()g y dy f x dx =, 再两边积分()()g y dy f x dx =⎰⎰,可得通解 ()()G y F x C =+.2.齐次方程 一般形式⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y dx dy ϕ 解法(变量替换): 令xy u =⇒ux y =, dy duu x dx dx =+，于是，原方程⇒()du u xu dx ϕ+=⇒分离变量()du dx u u x ϕ=- ⇒两边积分()du dxu u xϕ=-⎰⎰⇒积分后再用xyu =回代，便得通解. 3. 一阶线性微分方程 一般形式 ()()dyP x y Q x dx+= 解法： 常数变易法 （1） 先解出对应的齐次方程()0dyP x y dx+=的通解()P x dx y Ce -⎰=； （2） 作变换将C 换成u ，令()()P x dxy u x e -⎰=代入方程，求出u ，即得通解为()()()()P x d xP x d xP x d xy e Q x ed xC e --⎰⎰⎰=+⎰.4. 伯努利方程()()n y x Q y x P dxdy=+ ()1,0≠≠n n 解法: 变量替换法令nyz -=1,化为一阶线性微分方程.***************************************************** 5. 全微分方程 当Q px y∂∂=∂∂时，()()0,,=+dy y x Q dx y x P 是全微分方程. 即 ()()(,),,0du x y P x y dx Q x y dy =+= 解法: (1)第二类曲线积分; (2)公式法()()()00,,,x y x y x y pdx Qdy μ=+⎰; (3)凑微分法.通解为 C y x u =),(.当Q px y∂∂≠∂∂时，()()0,,=+dy y x Q dx y x P 不是全微分方程. 方程两边乘上积分因子(),x y μ（(),0x y μ≠）后所得的方程()(),,0P x y dx Q x y dy μμ+=是全微分方程.经常用到的微分倒推公式有()dx dy d x y ±=± (),xdy ydx d xy +=222()x y xdx ydy d ++=d =22arctan ()ydx xdy xd x y y -=+2()ydx xdy yd x x -=-ln ()ydx xdy xd xy y-=221ln 2()xdy ydx x yd x y x y-+=-- 6. 可降阶的高阶微分方程 1) ()()n yf x =型解法: 对方程两边连续积分n 次,便可得到其含有n 个任意常数的通解. 2) (),y f x y '''=型(无y 项)解法: 令()x P y =',()x P y '='',代入原方程(),y f x y '''=,则有()P x f P ,=',设其解为()1,C x P ϕ=,则()1,C x y ϕ=',得通解()21,C dx C x y +=⎰ϕ.3) (),y f y y '''=型（无x 项）解法: 令()y P y =',则dy dP dx dP y ==''dydPPdx dy =, 有()P y f dydPP,=——自变量为y ,函数为P 的微分方程.设其解为()1,C y P ϕ=代回原变量,()1,C y y ϕ='变量分离得通解()21,C x C y dy+=⎰ϕ.7. 线性微分方程解的理论1) 设21,y y 是二阶齐次线性方程()()0y p x y q x y '''++=的解,则2211y C y C +也是它的解.2) 二阶齐次线性方程()()0y p x y q x y '''++=一定有两个线性无关的特解,且这两个解的线性组合是该方程的通解.3) 设1y 为()(1)111()()()n n n y P x yP x y f x --+++=的解,2y 为()(1)1()n n y P x y-+++12()()n P x y f x -=的解,则21y y +为()(1)1112()()()()n n n y P x yP x y f x f x --+++=+的解.4)设*y 为()()()y p x y q x y f x '''++=的一个特解,Y 为对应的齐次方程()y p x y '''++()0q x y =的通解，则*Y y +为()()()y p x y q x y f x '''++=的通解.8. 二阶常系数线性微分方程1) 二阶常系数齐次线性方程0y py qy '''++=.2）n 阶常系数齐次线性方程()()()121210n n n n n yp y p y p y p y ---'+++++=)sin k k C x D x+++3) 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解()y py qy f x '''++=通解为*y Y y =+.其中Y 为对应齐次方程的通解,*y 为该方程的一个特解.4) 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式 1°()()xm f x e P x λ=型2°()()()cos sin xl n f x e P x x P x x λωω⎡⎤=+⎣⎦型 (其中{}max ,m l n =)二、典型题解析（一） 填空题【例12.1】2234331x y xy y x y x ''''''+++=-是 阶微分方程.解 微分方程的阶是方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，所以此方程是三阶的微分方程.【例12.2】 微分方程0xy y '+=满足初始条件()12y =的特解为 .解 分离变量，得 1y y x'=-. 两边积分，得 ln ln ln y x C =-+. 通解为 Cy x=. 将初始条件()12y =代入，得所求特解为2y x=. 【例12.3】若()(),,0M x y dx N x y dy +=是全微分方程，则函数M N 、应满足 .解 函数M N 、应满足M Ny x∂∂=∂∂时，()(),,0M x y dx N x y dy +=是全微分方程.【例12.4】 微分方程tan cos y y x x '+=的通解为 .解 设()()tan ,cos P x x Q x x ==，所以所求微分方程的通解为tan tan cos xdx xdx y e xe dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰[]cos x x C =+. 【例12.5】与积分方程0(,)xx y f x y dx =⎰等价的微分方程初值问题是 .解 方程两边求导得(),,y f x y '=当0x x =时0y =.所以等价的初值问题是()0,0x x y f x y y ='⎧=⎪⎨= ⎪⎩. 【例12.6】 已知21231,,y y x y x ===是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 .解 221311,1y y x y y x -=--=-是对应的齐次方程的两个线性无关的解，所以原方程的通解为()()212111y C x C x =-+-+.【例12.7】 微分方程22xy y y e '''-+=的通解为 . 解 原方程相应的齐次线性方程为220y y y '''-+=.其特征方程为2220r r -+=.特征根为1,21r i =±.故齐次方程的通解为()12cos sin xY e C x C x =+.因 1λ=，不是特征根，从而设其特解为*xy ae =，把它代入原方程，得1a =，由此原方程的通解为()12cos sin xxY e C x C x e =++.（二） 选择题【例12.8】 微分方程0dy xdx y+=的通解为 [ ] （A ）()22x y c c R +=∈ （B ） ()22x y c c R -=∈ （C ）()222x y cc R +=∈ （D ）()222x y c c R -=∈解 分离变量得到：0ydy xdx +=，积分得：22x y c +=，这里常数c 必须满足0c ≥，于是可以将方程同解写为：()222x y a a R +=∈.则应选C.【例12.9】 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程通解是 [ ]（A ）()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦ （B ）()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦ （C ）()()12C y x y x +⎡⎤⎣⎦ （D ）()()()112y x C y x y x ++⎡⎤⎣⎦解 ()()12y x y x -是齐次的方程()0y P x y '+=的解，()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦是齐次方程()0y P x y '+=的通解.非齐次方程的通解为齐次方程的通解加非齐次方程的特解，所以()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦是非齐次方程的通解. 则应选B.【例12.10】 若方程()0y p x y '+=的一个特解为cos 2y x =,则该方程满足初值条件()02y =的特解为 [ ]（A ）cos 22x + （B ）cos 21x + （C ）2cos x （D ）2cos 2x .解 一阶线性齐次方程()0y p x y '+=的通解为()P x dxy Ce -⎰=,任意两个解只差一个常数因子，所以A,B,C 三项都不是该方程的解.故应选D.【例12.11】 设()p x 在(),-∞+∞连续且不恒等于零，()1y x 和()2y x 是微分方程()0y p x y '+=的两个不同特解，则下列结论中不成立的是 [ ] （A ）()()21y x y x ≡常数；（假设其中()10y x ≠）； （B ） ()12c y y -构成方程的解. （C ）12y y -=常数； （D ）()()12y x y x -在任何一点不等于零. 解 因为，在()p x 不恒等于零的条件下，非零常数不可能是微分方程()0y p x y '+=的解，如果()1y x 和()2y x 是两个不同的解，那么12y y -也是这个方程的解，从而12y y -不能等于非零的常数,故应选C.【例12.12】 微分方程2221d yy dx+=的通解是 [ ]（A ）121sin 2c c ++ （B ） 1212c c e ++（C ） 12c c + （D ）12c c e +.解 直接看出12y *=是方程的一个特解，12c c +是相应的齐次方程的通解,应选A.【例12.13】 微分方程23x y y y e x -'''+-=+的一个特解是 [ ]（A ）x aebx c -++ （B ）x axe bx c -++（C ）()x axe x bx c -++ （D ）()x ae x bx c -++.解 微分方程23x y y y e x -'''+-=+的特解等于下列两个微分方程23x y y y e -'''+-=,23y y y x '''+-=的特解之和.非齐次微分方程23x y y y e -'''+-=具有形如xaxe -的特解； 非齐次方程23y y y x '''+-=具有形如bx c +的特解， 因此，非齐次微分方程23xy y y e x -'''+-=+具有形如xaxe bx c -++的特解，于是应当选B.【例12.14】 设12,2x y e y x -==是三阶齐次线性常系数微分方程ay by '''''++0cy =的两个解，则,,a b c 的值分别为 [ ]（A ）2,1,0a b c === （B ）1,1,0a b c ==-=（C ）1,0,1a b c === （D ）1,0,0a b c =-==.解 该微分方程的特征方程为320ar br c ++=.由于该微分方程有特解1x y e -=，说明11λ=-是该方程的一个特征根；又由于该微分方程有特解22y x =，说明20λ=是该方程的一个特征根，而且是重根.于是特征方程0ay by cy '''''++=有一个单根11λ=-和一个二重根20λ=，由此得到1,1,0a b c ==-=，从而选择B.（三） 非客观题1.可分离变量的微分方程【例12.15】求下列微分方程的通解. （1）23dyxy xy dx=+. （2）221y x y xy '=+++. (3) ()()112xy xy x yy y ''-=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解 （1）将变量分离,23dyxdx y y=+, 两边积分,得()2111ln ln 332y y x c -+=+，解出 213323x C y e e y=+.记 13,C C e =± 则 2323x y Ce y =+.（2）将221y x y xy '=+++右端分解因式，得，()()211y x y '=++，分离变量，有()211dyx dx y =++.积分得 2a r c t a n 2x y x C =++ 即通解为 2arc tan 2x y x C =++. （3）直接可以看出,1y ≡是方程的一个特解.当1y ≠时, 可以将方程写成 211ydy xdxy x =-+, 两端积分得到 ()211ln 1ln 12y y x C +-=++.两端取指数得 ()1221ln1ln 1xy y C eee ++-=.当1y >时, ()1Cyey e -=当1y <时,1C y e y e-=-记1C C e =±,上两式又可写作())10yey C -=≠.由于1y ≡是方程的一个解,故上式中常数C 也可以为零,于是方程通解为 ())1yey C R -=∈.将()12y =代入通解得到 2C =,所求解为 ()1yey -=【注】在(1)解题过程中，把任意常数13c e ±改写为C .适当地进行改写，使解的形式更为简便.2.可化为可分离变量的方程【例12.16】求满足方程()222120x y dx x dy ++=且过点()1,2的积分曲线.解 不能直接分离变量，令xy u =, 则 du ydx xdy =+. 原方程化为()2120u u dx x du dx x ⎛⎫++-=⎪⎝⎭, 即()221dudx x u =--.积分得 11ln 12x C u -=-+-回代得方程的通解11ln 21x C xy -=-再代入1,2,1x y C ===-得.故所求积分曲线为11ln 1.21x xy -=--【例12.17】求方程()21y x y '=-的通解.解 不能直接分离变量，令x y u -=，则y x u =-, 且 1dy du dx dx=-, 代入原方程，得222111,du du u dx u dx u--==分离变量，得 221u du dx u =-， 即 2111du dx u ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭. 积分，得 111ln 21u u x C u -+=++， 将u x y =-回代，即得通解211y x y Ce x y --=-+.3.齐次方程或可化为齐次方程的微分方程【例12.18】求ln dy yxy dx x =的通解. 解 方程变形为ln dy y y dx x x =, 此方程为齐次方程,令,yu y xu x==则,方程化为 ln du x u x xu u dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,整理且分离变量得()ln 1du dxu u x=-.积分得 ()ln ln 1ln ln u x C -=+ .即 ln 1u Cx -=,1Cx u e +=,通解为 1Cx y xe+=.【例12.19】求21241dy x y dx x y ++=+-的解.解 此方程为可化为齐次的微分方程.因为12024=,故作变换2z x y =+, 则原方程化为111221dz z dx z +⎛⎫-= ⎪-⎝⎭， 4121dz z dx z +=-即. 当410z +≠,分离变量,得该方程的通解为843ln |41|x z z c -++=(c 为任意常数).将2z x y =+代入上式得原方程的通解为483ln 481x y x y c -+++=(c 为任意常数)另外410z +=,即14z =-是方程的特解. 故原方程由特解为 4810x y ++=.【例12.20】求24dy y x dx x y --=++的解. 解 此方程为可化为齐次的微分方程 ，一般形式为111dyax by c f dx a x b y c ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭. 因为112011-=-≠,作变换x X hy Y k=+⎧⎨=+⎩,则,dx dX dy dY ==,代入原方程得, 24dY Y X k h dX X Y h k -+--=++++, 解方程组2040k h h k --=⎧⎨++=⎩得3,1h k =-=-. 令 31x X y Y =-⎧⎨=-⎩,原方程化为 11Y dY Y X XY dX X Y X--==++, 令Y u X =， 则 1,1d u u u XdX u -+=+ 分离变量 211u dXdu u X +=-+, 得 ()21ln 1arctan ln 2u u X C ++=-+,原方程的通解为1a r c t a n3y x Ce+-+=.4.一阶线性微分方程 【例12.21】解下列方程 （1）1sin dy x y dx x x +=. （2）()tan 5dy x y dx-=. （3）2.y xdy ydx y e dy -= （4）()()21arctan y dx y x dy +=-.解 （1）（解法一）公式法 在方程中，()1,P x x =()sin x Q x x= 方程的通解为 ()()()p x dx p x dx y e e Q x dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 11sin dx dx x x x e edx C x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ ()1cos x C x=-+. （解法二）常数变易法 对应的齐次方程10dy y dx x+=，得通解ln ln c cy y x x ==或者.令()c x y x=，并代入原方程得，()()sin ,cos c x x c x x c '==-+,代入得原方程的通解为 ()1cos y x c x=-+. （2）将方程化为标准形式cot 5cot y y x x '-=,这里cot ,5cot P x Q x =-=，所以方程的通解为()()()p x dx p x dx y e e Q x dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ cot cot 5cot xdx xdx e e xdx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ ()sin 5csc x x C =-+.即原方程的通解为 sin 5y C x =-.（3）将y 看作自变量,将x 看作y 的未知函数,方程改写成 y dx xye dy y-=-， 这是一阶线性方程.对应的齐次方程0dx xdy y-=的通解是 x cy =, 然后用常数变异法得原方程的通解 yx cy ye =-.（4）将y 看作自变量,将x 看作y 的未知函数,方程变形为 22arctan 11dx x ydy y y+=++ 这是一阶非齐次线性方程,它的通解是2211112arctan 1dy dyy y y x e e dy C y -++⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎰ arctan arctan [arctan arctan ]yy ey e d y C -=⋅+⎰ 分部积分求出原方程的解为 arctan arctan 1y x y Ce -=-+.5.伯努利方程【例12.22】求下列方程的通解.（1）26dy y xy dx x =-； （2）232y x y xy+'=. 解 （1）化为标准形式26dy y xy dx x -=-，此方程是伯努利方程. 两边除以2y ，得 216dy yy x dx x---=-. 令1z y -=， 则 2dz dy y dx dx -=- 方程变为6dz z x dx x+=， 这是一阶线性微分方程.解得 268c x z x =+还原y 得原方程的通解2686188c x x x c y x y =+-=或者. （2）方程化为标准形式2122y x y y x -'-=，此方程是伯努利方程. 以y 乘两端，得 22122x yy y x '-=. 令2z y =，得 21z z x x'-=，这是一阶线性微分方程，解得 22x z x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将2z y =代回，得原方程的通解为222x y x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.********************************************************************6.全微分方程与可化为全微分方程的方程 【例12.23】求下列方程的通解.（1）()()220x y dx x y dy ++-=. （2）(1)(1)0x x y yx e dx e dy y++-=.（3）()()120y dx x y dy ++--=. （4）()3230ydx x x y dy +-=. （5）()210xdy ydx x dx ---=解 （1）方法一 设 2,2P x y Q x y =+=-,因为,P Q 在全平面连续可微, 且1Q Px y∂∂==∂∂,知原方程为全微分方程. 由公式，得 ()()()00,,0,xyu x y P x dx Q x y dy=+⎰⎰ ()()202x yxdx x y dy=++-⎰⎰3213x xy y =+- 所以此方程的通解是3213x xy y C +-=. 方法二 设 2,2P x y Q x y =+=-,因为,P Q 在全平面连续可微,且1Q Px y∂∂==∂∂,知原方程为全微分方程. 用不定积分求解.因为()2,uP x y x y x∂==+∂ 对上式两边对x 积分，得()()()()2,,u x y P x y dx x y dx y ϕ==++⎰⎰()313x xy y ϕ=++. 又因为 (),u Q x y y ∂=∂ ,()3123x xy y x y y ϕ∂⎡⎤++=-⎢⎥∂⎣⎦()2y y ϕ'=-，故()2.y y ϕ=-从而 ()321,.3u x y x xy y =+- 所以此方程的通解是3213x xy y C +-=. （2） 设1, (1).x x yyx P e Q e y=+=-2xy Q x Pe x y y ∂∂=-=∂∂所以此方程为全微分方程. 方法一 （用公式计算）设此方程的通解为(),u x y c =,在平面上取一确定点()0,1,则 ()()()1,0,,y xu x y Q y dy P x y dx =+⎰⎰10011x y x yye dy e dxy ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰101xyxydy e dx⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ 1x yx ye =+-.因此方程的通解为 x yx ye C +=.方法二 （用分项组合法求解） 将方程各项重新组合为 0x x yyx dx e dy ye d y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, 0x x yyydx xdy dx e dy e y ⎛⎫-++=⎪⎝⎭积分，得 ()0x yd x ye +=， 故通解为 x yx ye C +=.（3）在方程()()120y dx x y dy ++--=中， 设()(),1,,2P x y y Q x y x y =+=--，易知 1P Q y x∂∂==∂∂，此方程为全微分方程. 现将方程写成20ydx xdy dx ydy dy ++--=， 或 ()21202d xy dx dy d y ⎛⎫+--=⎪⎝⎭.积分得通解 2112,2xy x y y C +--= 或 2224xy x y y C +--=.（4）设32,3P y Q x x y ==-, 因为22119P Qx y y x∂∂=≠-=∂∂,所以此方程不是全微分方程.原方程改写为 3230ydx xdy x y dy +-= (1), 取()31xy 为积分因子.方程(1)两端同乘以()31xy ,原方程变为()33,ydx xdydyyxy +-即 ()()213ln 02d d y xy ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭,积分，得原方程的通解为 ()213ln 2y C xy +=. （5）本题不是全微分方程.需要寻找积分因子使其化为全微分方程,对于微分形式xdy ydx -,乘以函数22221111,,,x y xy x y+中的每一个都可成为一个全微分方程,如果同时使后面一项也成为全微分,可取积分因子()21,x y xμ=,将原方程变成全微分方程22110xdy ydx dx x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭,积分得到原方程通解21.y x Cx ++= 7.可降阶的高阶微分方程（1）()ny f x =型【例12.24】求微分方程cos y x x '''=-的通解. 解 两边积分，得 211sin ,2y x x C ''=-+ 两边再积分，得 3121cos ,6y x x C x C '=+++ 两边再积分，得通解 421231sin .242C y x x x C x C =++++ （2）(,)ny f x y '=型【例12.25】解初值问题()()ln 101xy y y y y e⎧''''=⎪=⎨⎪'=⎩.解 令()dy y p x dx '==, 22d y dpdx dx =, 代入方程,则原方程化为ln dp x p p dx=, 这是可分离变量方程,解出 1C xp e =,于是原方程的通解为 ()1121C xC y p x dx e C ==+⎰,由初值条件()1121110,C x C x y e C =⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得到 11210CC e C +=,再由初值条件 ()111C x x y ee ='==又得到 ()11C y ee '==,于是 121,C C e ==-.所求特解为x y e e =-.在解可降阶的二阶微分方程的初值问题时，一出现任意常数，就应及时利用初值条件确定它，这样可以简化后面的求解过程.（3）(,)y f y y '''=型【例12.26】求微分方程22212dy d y dx dx y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的通解.解 令(),dy p p y dx ==则22d y dp dy dp p dx dy dx dy =⋅=,代入原方程，得212dp p p dy y+=， 是一阶线性齐次微分方程. 分离变量221pdp dy p y=+, 积分得 ()21ln 1ln ln p y C +=+即 211dy C y dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,分离变量dx =两端积分 ，得2x C =+, 化简得通解 ()()2122141C y x C C -=+.8.二阶和高阶常系数线性微分方程【例12.27】设μ为实数,求方程0y y μ''+=的通解. 解 此方程为二阶常系数线性微分方程.其特征方程为20r μ+=,可以分三种情况讨论:(1) 0μ>,此时特征方程有一对复根r =±因此方程的通解为12y C C =+(2) 0μ=,此时特征方程有两个相等的重根120r r ==,于是方程的通解为12y C C x =+.(3) 0μ<,此时特征方程有两个单实根r =于是方程的通解为12y C C e =+,()12,C C R ∈.【例12.28】求方程221y y x '''+=+的通解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()x m P x eλ型（其中()221,0m P x x λ=+=）.与所给方程对应的齐次方程为 0y y '''+=,它的特征方程为 20r r +=. 有两个实根120,1r r ==-,于是与所给方程对应的齐次方程的通解为12x Y C C e -=+.因为0λ=是特征方程的一个单根,所以应设特解为()*2y x ax bx c =++.把它代入所给方程，得()()22326221ax b a x c b x ++++=+.比较两端x 的同次幂的系数,得3226021a b a c b =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解此方程组，得 2,2,53a b c ==-=.于是求得一个特解为 *322253y x x x =-+. 从而所求的通解为 32122253xy C C ex x x -=++-+. 【例12.29】求方程244x y y y e -'''++=满足初始条件()()00,01y y '==的特解.解 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()xm P x e λ型（其中()1,2m P x λ==-）.与所给方程对应的齐次方程为对应齐次方程为 440y y y '''++=.它的特征方程 2440r r ++=有两个重根122r r ==-，于是与所给方程对应的齐次方程的通解为()212x Y C C x e-=+. 由于2λ=-是特征方程的重根,所以应设方程的一个特解为*22x y ax e -=.把它代入方程，比较等式两端同次幂的系数,得 12a =, 因此求得一个特解为 *2212x y x e -=从而原方程的通解为 ()2221212xx y C C x e x e --=++. 代入初始条件()()00,01y y '==，得120,1C C ==-.原方程所求的特解为 22212xx y xex e --=-+. 【例12.30】求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.解 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，非齐次项为两项之和.根据定理，它的特解是下面两个方程的特解之和.y y x ''+= （1）cos y y x ''+= （2）所给方程对应的齐次方程 0y y ''+= 它的特征方程 210r +=, 特征根为 r i =±, 于是与所给方程对应的齐次方程的通解为:12cos sin Y C x C x =+.设方程y y x ''+=的特解1y *,因为0λ=不是特征根，所以该方程具有形如1y ax b *=+的特解，将其代入方程，比较等式两端同次幂的系数,得 1,0,a b ==所以方程（1）的特解为 1y x *=设方程cos y y x ''+=的特解为2y *,因为i λ=是特征根,所以该方程具有形如2(cos sin )y x a x b x *=+的特解, 将其代入方程比较等式两端同次幂的系数,得10,,2a b ==所以方程（2）的特解为 *21sin 2y x x =.从而原方程的通解为121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++. 【例12.31】求三阶常系数非齐次线性微分方程2441y y y x ''''''-+=-的通解.解 这是一个三阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()xm P x e λ型（其中()21,0m P x x λ=-=）.所给方程对应的齐次方程为 440y y y ''''''-+=.它的特征方程为 32440,r r r -+=特征根为 1230,2r r r ===，所以对应齐次线性微分方程的通解为()2123x Y C C C x e =++.因为0λ=是方程的特征根，所以其特解设为 ()2y x A x B x C *=++，代入方程，解得111,,.1248A B C ===于是32111.1248y x x x *=++ 因此方程的通解为()2321231111248x y C C C x e x x x =+++++.9.微分方程的应用【例12.32】设曲线l 过点()1,1，曲线上任一点(),P x y 处的切线交x 轴于点T ，若,P T O T =求曲线l 的方程.解 （1）列方程 设曲线l 的方程为()y y x =，则曲线l 在点(),P x y 的切线方程为()Y y y X x '-=-，切线与x 轴的交点T 的坐标为,0y x y ⎛⎫- ⎪'⎝⎭.P (1,1)故PT ==y OT x y =-'. 由 PT OT =，有()22222212,y y y y x x y y y '+=-+'''即 222.xyy x y '=-（2）初值问题 由题意，曲线l 过点()1,1，得初值问题22121y dx x y dy xyx =⎧-=⎪⎨⎪= ⎩ （1） （3）解方程 方程（1）为齐次微分方程，令x uy =，（1）可化为变量分离的方程221u dydu u y-=+，解得21.1Cy u =+代回x uy =，得通解221.x y C y +=由初值条件11y x ==，得12.C =故所求曲线l 的方程为()222 0.x y y x +=>【例12.33】 某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内的含污染物A 的污水量为6V ,流入湖泊内不含污染物A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3V,已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标。
高等数学 第十二章 微分方程 第八节 二阶常系数齐次线性
解方程 y(5) − y(4) = 0.
特征方程: 解 特征方程 原方程通解: 原方程通解
r1 = r2 = r3 = r4 = 0, r5 =1
r5 −r 4 = 0, 特征根 :
y = C1 + C2x + C3x2 + C4 x3 + C5ex
(不难看出 原方程有特解 1, x, x2 , x3, ex ) 不难看出, 不难看出
3. 当 p − 4q < 0 时, 特征方程有一对共轭复根 特征方程有一对共轭复根
2
r =α + i β, r2 =α − i β 1
这时原方程有两个复数解: 这时原方程有两个复数解
y1 = e(α+i β ) x = eα x (cos β x + i sin β x ) y2 = e(α−i β ) x = eα x (cos β x − i sin β x )
αx
r1 x
y =e (C1 cos β x + C2 sin β x)
可推广到高阶常系数线性齐次方程 .
上页
下页
返回
结束
思考与练习
求方程 答案: 答案 的通解 .
a = 0 : 通解为 y = C1 + C2 x a > 0 : 通解为 y = C1 cos a x + C2 sin a x
a < 0 : 通解为 y = C1 e
2
解
∵ y ≠ 0,
z = C1e x + C 2 e − x 通解
原方程的通解为
ln y = C1ex + C2e−x .
上页 下页 返回 结束
−a x
高等数学第十二章
x y
u
) y C
例4 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 M0 , 求 在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. dM M ( 0 ) 解: 根据题意, 有 d t M t 0 M 0 (初始条件) 对方程分离变量, 然后积分:
ln sin u ln x C1 , 即 sin u = Cx y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x (当 C = 0 时, y = kx 也是方程的解)
得
例2. 解微分方程 dy y y 解: 方程变形为 2 dx x x
2 u x u 2u u
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
例3. 在制造探照灯反射镜面时, 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性, 试求反射镜面的形状. 解: 设光源在坐标原点, 取x 轴平行于光线反射方向, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 可得 OMA = OAM =
(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.
(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
第三节
一、齐次方程
形如
齐次方程
的方程叫做齐次方程 .
y 解法: 令 u , 则 y = ux , x du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
dx dv x v y 令v , 则x= yv , dy dy y
12_1_微分方程的基本概念
13
微分方程的基本概念
d2 x dt 2
k2
x
0,
x
t0
A, dx dt
t0
0
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解, 且为
通解.
x t0
A
A C1
又 dx 0 dt t0
而
dx dt kC1 sinkt kC2 cos kt
7
微分方程的基本概念
二、基本概念
凡含有未知函数的导数(或微分)的方程称 微分方程.
如 y xy 一阶
y 2 y 3 y e x 二阶
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程; 未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程. 方程中所出现的导数的最高阶数称 微分方程的阶.
y f (x)
2
第一节 微分方程的基本概念
(differential equation)
问题的提出 基本概念 小结 思考题 作业
3
第十二章 微分方程
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1,2), 且在该曲线上任一点 M( x, y)处的切线的斜率为 2x,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y y( x)
8
微分方程的解：
如果将某函数 y ( x) 及其导数代入微分方程
使其成为恒等式，则称 y ( x)为微分方程的解。
(1)通解 若微分方程的解中包含有独立的任意常数,且独 立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则 此解为通解。
9
微分方程的基本概念
第十二章 微分方程幻灯
高等数学主要研究对象是函数，它是客观事物的内部联 系在数量方面的反映。利用函数关系可以对客观事物的 规律性进行研究。所以寻找函数关系非常重要。但在许
多实际中不能直接找到所需的函数关系，而有时可以列
出函数及其导数（或微分）的关系式。这种关系式就是 微分方程，通过求解微分方程，便可以得到所要寻找的 函数关系。本章主要介绍微分方程的一些基本概念，讨 论几种常见的微分方程的解法，并通过举例介绍微分方
个数等于阶数）
特解：通解中任意常数取定值后的解。
解的几何意义：通解—— 一族曲线，成为积分曲线
特解—— 一条曲线
5.初始条件：确定任意常数的条件：
一般的：一阶初始条件，y 二阶初始条件，y n阶初始条件，y
x x0
y0 y0 , y
x x0
x x0
y0
x x0
x x0
又C1 , C2是相互独立的两个任意常数， 是通解
(2)由y
x 0
0, y
x 0
1得
1 1 C1 C2 0 解得C1 , C2 ， 4 4 2C1 2C2 1 初值条件特解y 1 2x (e e 2 x ) 4
程在几何，物理等实际中的一些简单应用——数学建模
第一节 微分方程的基本概念
实际 ＝ 微分方程 解是否符合实际
建模 转化 求解
一 引例
例1 一曲线通过点（1，2）且曲线上任意一点P( x, y )处的切线 斜率为3x 2，求这条曲线方程
解： 设曲线为y y ( x)
y c 1 (1, 2) c 0 c 1
F [ x, ( x), ( x),..., ( n ) ( x)] 0则称y ( x)是该方程的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
rx 即得 y2 = x e 1 , ∴ u′′ = 0 , 取特解 u = x ,
于是(1)的通解为
y = (C1 + C2 x)e .
r1 x
情形 3 若 < 0 , 则特征方程(2)有一对共轭复意常数. y = C1 y1 ( x) + C2 y1 ( x) ,其中 C1 ,C2 为任意常数.
例如, y′′ + y = 0 , 有两个特解 y1 = sin x, y2 = cos x , 例如,
它们显然线性无关, 它们显然线性无关, 于是方程通解为
y = C1 sin x + C 2 cos x .
y′′ + py′ + qy = 0
(1)
的特解. 下面来寻找方程(1)的形如 y = erx 的特解.
rx 将 y = e 代入方程(1),得 ( r 2 + pr + q ) e rx = 0 ,
而 e ≠ 0 ,于是有
rx
r 2 + pr + q = 0
(2)
代数方程(2)称为微分方程 的特征方程, 代数方程 称为微分方程(1)的特征方程, 称为微分方程 它的根称为特征根 特征根. 它的根称为特征根.
常数. 需要求另一个特解 y2 ,使 y2 / y1 ≡ 常数.
设 y2 / y1 = u( x) , 即 y 2 = u( x ) e r1 x ,
(1), 并约去 er1 x , 得 代入方程
u′′ + ( 2r1 + p)u′ + ( r12 + pr1 + q )u = 0 ,
的二重根, 因为 r1 是方程 r 2 + pr + q = 0 的二重根,
+ C 2e
r2 x
= r2
y = (C1 + C 2 x ) e
r1 x
r1, 2 = α ± βi y = eαx (C 1 cos β x + C 2 sin β x )
例1 解
的通解. 求微分方程 y′′ 2 y′ 3 y = 0 的通解.
特征方程为 r 2 2r 3 = 0 ,
特征根为 r1 = 1, r2 = 3 ,
的特解. 下面来寻找方程(1)的形如 y = erx 的特解.
r 2 + pr + q = 0 2 记 = p 4q ,
(3)
情形 1 若 > 0 , 则特征方程 (2)有两个相异的实根
p± , r1, 2 = 2 (1)的两个特解 y1 = e r1 x , y2 = e r2 x , 得到方程
故所求通解为 例2 解
y = C 1e
x
+ C 2e .
3x
求方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0的通解 .
特征方程为 r 2 + 2r + 5 = 0 , 解得
r1, = 1± 2i , 2
y = e x (C1 cos 2 x + C 2 sin 2 x ). 故所求通解为
ds ds 例3 求微分方程 2 + 2 + s = 0 满足初始条件 dt dt
的通解.
解 特征方程为
r + r + 2r + 2r + r + 1 = 0,
5 4 3 2
( r + 1)( r + 1) = 0,
2 2
特征根为 r1 = 1, r2 = r3 = i , r4 = r5 = i , 故所求通解为
y = C1e x + (C2 + C3 x) cos x + (C4 + C5 x) sin x.
故它们线性无关, 而 y1 ( x ) / y 2 ( x ) = e ( r1 r2 ) x ≡ C , 故它们线性无关,
因此 (1)的通解为
y = C1e + C2e .
r1 x r2 x
情形 2 若 = 0 , 则特征方程(2)有两个相等的实根
r1, 2
(1)的一个特解 y1 = er1 x , = p / 2 , 只得到方程
若是 k重共轭复 根α ± β i
通解中的对应项
(C0 + C1 x + L + Ck 1 x k 1 ) erx
[(C0 + C1 x + L+ Ck 1 x k 1 ) cos βx + ( D0 + D1 x + L+ Dk 1 x k 1 ) sin βx]eαx
例4 求方程 y(5) + y(4) + 2 y(3) + 2 y′′ + y′ + y = 0
的特解. s(0) = 4, s′(0) = 2 的特解.
2
解 特征方程为 r 2 + 2r + 1 = 0 ,
特征根为 r1 = r2 = 1 ,
故通解为 s = (C 1 + C 2 t )e
t
.
s′ = (C 2 C1 C 2 t ) e t , s(0) = C 1 = 4 ,
∴ s′(0) = C2 C1 = 2 , C 2 = 2 ,
(1)有两个特解 y1 = e(α + iβ ) x , y2 = e(α iβ ) x , 方程 y1 = eαx (cos β x + i sin β x ) 由欧拉公式知 y2 = eαx (cos β x i sin β x )
y1 = ( y1 + y2 ) / 2 = eαx cos βx 由叠加原理, 由叠加原理, y2 = ( y1 y2 ) / 2i = eαx sin βx
所以所 所以所求特解为
s = (4 + 2t ) e t .
n阶常系数齐次线性方程 阶常系数齐次线性方程
y
(n)
+Py 1
(n1)
+L+ P 1 y′ + P y = 0 n n
特征方程为 r n + P r n1 +L+ P 1r + P = 0 1 n n 特征方程的根
若是 k重实根 r 重实根
练习: 练习:
P310 习题 习题12-8 1.(2)(4)(5)(10) 2.(2)(4)
�
仍然是(1)的解, 且线性无关,所以方程(1)的通解为 的解, 且线性无关,
y = e (C1 cos βx + C2 sin βx) .
αx
小结 y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况 实根 r1 实根 r1 复根
r + pr + q = 0
2
通解的表达式
≠ r2
y = C 1e
r1 x
第八节
称
常系数齐次线性微分方程
y′′ + py′ + qy = 0
(1)
是常数. 为二阶常系数齐次线性微分方程, 为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p,q是常数. 常系数齐次线性微分方程
由定理 1 知,若求得齐次方程(1)的两个特解 y1 ( x),2 ( x) , y 且 y1 ( x) / y2 ( x) ≠ 常数,则(1)的通解为 常数,