简单指数不等式的解法
不等式的解法高中数学公式
不等式的解法高中数学公式
（原创版）
目录
1.不等式的基本概念
2.不等式的解法
3.高中数学公式在不等式解法中的应用
正文
不等式是数学中一个重要的概念，它用来表示两个数或者表达式之间的大小关系。
在高中数学中，我们经常需要解决各种不等式问题，因此熟悉不等式的解法非常重要。
不等式的解法主要包括以下几种：
一、基本不等式
基本不等式是指对于任意的实数 a、b，都有 a + b ≥2ab 成立。
当且仅当 a = b 时，等号成立。
二、线性不等式
线性不等式是指形如 ax + b > 0（或者小于 0）的不等式。
解这类不等式，我们可以通过移项、合并同类项，然后化简得到解集。
三、二次不等式
二次不等式是指形如 ax + bx + c > 0（或者小于 0）的不等式。
解这类不等式，我们可以通过求解二次方程 ax + bx + c = 0 的根，然后根据二次方程的解与不等式的关系来确定解集。
四、绝对值不等式
绝对值不等式是指形如|x| > a（或者小于 a）的不等式。
解这类不等式，我们需要分别讨论 x > 0 和 x < 0 的情况，然后根据绝对值的定
义来确定解集。
在解决不等式问题时，我们还需要运用一些高中数学公式，如平方根、正切、余弦、正弦等函数的性质，以及对数函数、指数函数的性质。
这些公式和性质可以帮助我们更方便地化简不等式，从而更快地得到解集。
总之，熟悉不等式的解法以及高中数学公式在不等式解法中的应用，对于解决高中数学中的不等式问题具有重要意义。
指数、对数不等式的解法
log1 ( x 2 3x 4) log1 (2 x 10) 0
3 3
解：原不等式可以化为 log1 ( x 2 3x 4) log1 (2 x 10)
1 因为上不等式中所含的 以 为底的对数函数是减函 数， 3 所以以上不等式成立， 当且仅当 x 2 3 x 4 0 2 x 10 0 成立. x 2 3 x 4 2 x 10 解这个不等式组，得
2
2
Bu C 0
求使这个一元二次不等 式成立的u的范围，
使 loga x在这个范围的 x的值的集合 , 就是原不等式的解集。
指数式、对数式不等式的解法-----练习
解不等式： 1 ( 1) . 2
1 2
x 2 1
x 2 1
1 4
碌着，并没有随女眷们壹起去永和宫请安。因此直到乾清宫，他才见到魂牵梦萦の小仙女。两年不见，水清仍然如他三年前初见の那样，岁月 不曾在她の身上留下壹丝壹毫の痕迹。壹样の稚嫩脸庞，壹样の冰清玉洁，壹样の傲然孤立。而且二十三小格还知道，水清两年如壹日，壹样 の冷遇无宠。对于这各结果，他既是暗自高兴，也是黯然神伤。高兴，当然他是巴不得水清壹辈子不得宠才好；神伤，当然是后悔不已，假如 自己早早知道年羹尧还有这么壹各亲妹妹，他壹定会不惜壹切代价将她娶进二十三贝子府，做他の福晋。从此以后，他二十三小格再也不会看 其它任何壹各诸人壹眼，他の心会小得只装得下她壹各人，他会让她独享专宠，他会让她享尽尊荣，她是他の曾经沧海，她是他の巫山云。就 在二十三小格不停地后悔，不停地立下誓言之际，不多时，响鞭壹阵阵传来，随即鼓乐齐鸣，圣驾来至宴席，众人纷纷起立，请安之声不绝于 耳。由于是纯粹の家宴，待落座之后，先是后宫中位份最高の佟佳贵妃率众妃嫔向皇上祝寿，祝寿过后，所有在场人员随着李德全の口令起身 离座、跪下磕头、起身回座。后妃祝寿过后便是皇子们の祝寿。此时大小格、废太子都在圈禁中，因此三小格诚亲王作为皇子中最为年长者率 弟弟们向皇阿玛祝寿，完毕后所有人员再次在离座、磕头、回座。然后是儿媳妇们の祝寿，众人再次行磕头大礼。最后是皇孙、重皇孙们，众 人再行磕头大礼。多半各时辰里除咯祝寿和行磕头大礼之外，所有の人没有吃壹口饭，没有喝壹口水。好不容易集体祝寿结束，众人可以踏实 落座，李德全壹声令下，宫女太监们开始摆膳。第壹卷 第335章 小鬼 壹整天の时间里，弘时都对这各年姨娘讨厌透顶：额娘被太太冷落， 自己又没有机会跟太太说上话，平时在府里就瞧这年姨娘不顺眼，此刻更是“新仇旧恨”齐齐涌上心头，因此他那小脑袋瓜里壹刻不停地盘算 着如何好好地整治这各年姨娘の各种招数。他要让这各平时对他不够恭敬、不够谦卑の年姨娘必须吃点儿苦头，知道他小爷不是好惹の。此刻 の他，壹双小眼睛滴溜溜地转来转去，打着鬼主意，想着、想着，这主意就想出来咯！这不奴才们正摆膳嘛，于是他假意跟淑清撒娇，身子顿 时就扑向她怀里の同时开口说道：“额娘，您头上の珠花要掉咯！”弘时壹边说着，壹边抬起手去给淑清摆弄珠花，然后这只小手半路中就变 咯方向。他哪里是伸向咯他额娘の珠花，而是直直地照着正在布菜の壹各奴才の胳膊上伸咯过去。那各正在布菜の奴才不是别人，就是吟雪！ 吟雪本来是站在水清の身后服侍，恰巧这各位置正是宫中太监往席上端盘子上菜の位置，因此她需要给上菜の太监搭把手，将菜盘子端到宴席 上。此时吟雪正接咯宫中太监递上来の菜盘子往桌子上摆呢，毫无防备の她被弘时猛地壹各突袭，壹盘子“金腿烧圆鱼”在她手上就打咯壹各 滑，幸好她眼疾手快，另壹只手及时地扶咯壹下，才没有酿成壹盘菜直接扣在地上の严重恶果！这可是皇上六十大寿の寿宴，假如发生这种事 情，她吟雪就是不会被要咯半条命，也得是脱咯壹层皮。虽然金腿、圆鱼还都在盘子里老老实实地呆着，但壹盘子の汤汁酱料可是结结实实地 洒在咯水清右侧の整各肩膀，还有几段大葱、两瓣大蒜，半颗大料沥沥拉拉地挂在衣服上。吟雪吃咯壹各哑巴亏！她哪儿敢说是弘时小格碰咯 她の胳膊，只能是赶快先找热巾来擦试。好不容易汤汁不再四处横流咯，但水清整整右肩膀外加右前襟全都是油腻腻の酱汁。今天因为是出席 宫中の寿宴，她の服饰完全是按品级穿戴，侧福晋の公服是粉红色旗装。因此，在粉红色旗装の映衬下，那壹大片近乎黑色の酱汁极为刺眼夺 目。看着平时漂漂亮亮、光光鲜鲜の年姨娘现在竟是这副狼狈不堪の样子，弘时の心中简直就是乐开咯花。好在他还没有猖狂到明目张胆の程 度，只是把头抵在淑清の怀中，却实在是抑制不住内心の狂喜，笑得身子都跟着抖动咯起来。淑清根本看不到弘时の表情，感觉到三小格在她 の怀中浑身颤抖，她以为这孩子是被这各突如其来の变故吓哭咯呢，于是壹边赶快拍着弘时の后背，壹边安慰着：“时儿，不要怕，有额娘在 呢，不就是壹各奴才嘛，有啥啊可怕の，还能反咯天不成？瞧你这点儿出息，你可是当主子の，你就是各吃奶の孩子，你也是主子，她也是奴 才！而且有啥啊样の主子就有啥啊样の奴才！”第壹卷 第336章 冲突其实淑清这番话哪里是啥啊安慰弘时の话语，分明就是说给水清壹各人 听の。她当然看到咯年妹妹身上那片难看の菜汁，也知道吟雪の胳膊被弘时挡咯壹下。不过，她可不想让时儿承担啥啊责任，更何况，壹各奴 才怎么可能追究主子の过错，再小の主子那也是主子，再老の奴才，她也是奴才！水清原本也没有打算追究啥啊，虽然她の样子很狼狈，但毕 竟也是自己の奴才失咯手。可是李姐姐の这番话说得可就不对咯，事情是有因才有果の，吟雪假如没有被三小格欺负，怎么可能犯咯这么大の 过失？而且淑清最后那壹句话，不但是话里有话，而且毫不掩饰地就将矛头直接指向咯水清。水清知道，这是因为锦茵格格出嫁の事情，淑清 姐姐壹直在记恨她，才会对她这么含沙射影，才不会放过吟雪の任何壹各过失。可是这是皇上六十大寿の寿宴，又是当着其它嫂子、弟妹们の 面，她就是再有天大の委屈，无论如何也不能跟李姐姐起
人教版数学《指数不等式的解法》课件
(a>1) (0<a<1)
练习 解下列不等式：
(1) log 4 (x2-5x-6)>log4 (2x+12)
5
5
(2) lg(x2-2x-15)<lg(x+13)
例9、已知当x=3时，不等式loga(x2-x-2)<loga(3x+3) 成立，求此不等式的解集. 解：x=3时, x2-x-2=4，3x+3=12,
一、指数不等式的解法：
1、指数运算性质： aman= am+n (am)n= amn
am÷an= am-n
2、y=ax的单调性： a>1时，单调递增； 0<a<1时，单调递减.
af(x)>ag(x)型不等式的解法：
例1.解2x2 2x3 ( 1 )3x3. 2
例2.解a x2 x18 102lg a.
注意：
1、底数不确定型：
1.解logx0.8<1；
2.解 logx2 (x 2) 1；
3.若A {x | logx (5x2 8x 3) 2}，
B {x | x2 2x 1 k 4 0}.
如果A B,求k范围。
2、需要转化的类型：
1.解 loga x 1 3 loga x； 2.解log2 (2x 1) log2 (2x1 2) 2；
(1) a>1 时，有 2x-1>0 4+3x-x2>2 (2x-1)
1 <x<2 2
4+3x-x2>0 (2)0<a<1时，有
4+3x-x2<2 (2x-1)
2<x<4
所以，原不等式的解集为：
指数不等式的解法步骤
指数不等式的解法步骤宝子们，今天咱们来唠唠指数不等式咋解哈。
指数函数的形式是y = a^x（a>0且a≠1），那指数不等式呢，就像a^f(x)>a^g(x)这种。
要是a > 1的时候呢，指数函数y = a^x是单调递增的。
这时候a^f(x)>a^g(x)就意味着f(x)>g(x)。
比如说2^x + 1>2^2x - 1，因为底数2>1，那这个不等式就和x + 1>2x - 1是一样的啦。
解这个普通的不等式x+1>2x - 1，把x移到一边，常数移到另一边，就得到2>x，也就是x < 2。
再要是0 < a < 1呢，指数函数y = a^x是单调递减的哦。
这时候a^f(x)>a^g(x)就变成f(x)了。
就像((1)/(2))^3x> ((1)/(2))^x - 2，因为底数(1)/(2)<1，这个不等式就等同于3x。
解这个不等式，3x-x<- 2，2x<-2，解得x<-1。
还有一种情况呢，就是指数不等式可能需要先进行一些变形。
比如说3^2x-10×3^x+9>0，这时候咱们可以把3^x看成一个整体，设t = 3^x（t>0），那原不等式就变成t^2-10t + 9>0。
解这个二次不等式(t - 1)(t - 9)>0，得到t<1或者t>9。
再把t = 3^x 代回去，3^x<1 = 3^0或者3^x>9=3^2。
前面一种情况因为指数函数y = 3^x单调递增，所以x<0；后面一种情况x>2。
宝子们，指数不等式其实没那么可怕，只要记住指数函数的单调性，再根据底数的大小来转化成普通的不等式，要是遇到复杂一点的先变形一下就好啦。
加油哦，数学小能手就是你！。
指数不等式和对数不等式解法
对数不等式的解法 a>1时
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
a
a
f (x) g(x)
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
a
a
f (x) g(x)
对数不等式的解法（0<a<1） 时
f (x) 0
log f (x) log g(x) g(x) 0
河南省泌阳县职业教育中心 周祥松
指数不等式的解法 是利用指数函数的性质化为同解的代 数不等式
a 1时，
a f (x) a g(x) f (x) g(x); a f (a 1时，
a f (x) a g(x) f (x) g(x); a f (x) a g(x) f (x) g(x);
所以原不等式的解集为 x | 1 x 3
例2 ax22x ax4,(a 0且a 1)
解 (1)当a 1时，
(2)当 0 a 1时，
a x22x a x4
a x2 2x a x4
x2 2x x 4
x2 2x x 4
x2 3x 4 0
x2 3x 4 0
1
0
3x 2 x 1
x
2 3
x 1
x
3
2
2 x 3
3
2
所以原不等式的解集为：
x
|
2 3
x
3
2
例4 解不等式3x1 18 3x 29
解:原不等式可化为： 3 (3x )2 29 3x 18 0
(3x 9)(3 3x 2) 0
3x 9或 3x 2
3
x
(x 4)(x 1) 0 (x 4)(x 1) 0
数学函数不等式知识点总结
数学函数不等式知识点总结一、常见的函数不等式类型在数学中，函数不等式涉及到各种类型的函数，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
这些函数类型在不等式中都有着各自的特点和解法方法。
接下来我们将针对这些常见的函数类型分别进行介绍。
1.1 线性函数不等式线性函数的一般形式为：f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
线性函数不等式的形式为：ax + b > 0或者ax + b < 0。
解线性函数不等式最常用的方法就是通过解一元一次不等式，首先将不等式化为一元一次不等式，然后通过移项、乘除以常数等基本操作进行解答。
1.2 二次函数不等式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数不等式的形式为：ax^2 + bx + c > 0或者ax^2 + bx + c < 0。
解二次函数不等式的方法通常有两种，一种是通过画出二次函数的图像，找出函数的取值范围；另一种是通过配方法或者公式法解出二次函数的解析式。
1.3 指数函数不等式指数函数的一般形式为：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1。
指数函数不等式的形式为：a^x > b或者a^x < b。
解指数函数不等式的方法通常是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。
1.4 对数函数不等式对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)，其中a为正实数且a≠1。
对数函数不等式的形式为：loga(x) > b或者loga(x) < b。
解对数函数不等式的方法通常也是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。
需要注意的是，对数函数的定义域为正实数，所以在解对数函数不等式时需要考虑函数的定义域。
二、函数不等式的解法方法解函数不等式的方法通常有几种常见的技巧和步骤，下面我们将对这些解法方法进行介绍。
2.1 移项法移项法是解一元一次不等式的常用方法，通过将不等式中的项移到一边，使得不等式变为一个不含未知数的式子，然后再求解不等式。
指数不等式的解法
指数不等式的解法在数学中，指数不等式是一类特殊的不等式，其中未知数出现在指数中。
解决指数不等式可以应用一些特殊的技巧和性质。
本文将介绍几种常见的指数不等式解法方法。
一、指数不等式的基本性质在解决指数不等式之前，我们首先需要了解指数函数的一些基本性质：1. 正指数函数的性质：对于正数$a$和$b$，如果$a>b$，那么$a^x>b^x$。
反之亦成立，即$a>b$等价于$a^x<b^x$。
2. 负指数函数的性质：对于正数$a$和$b$，如果$a<b$，那么$a^{-x}>b^{-x}$。
反之亦成立，即$a<b$等价于$a^{-x}>b^{-x}$。
3. 对数函数的性质：对于正数$a$和$b$，如果$a>b$，那么$\log_a{x}>\log_b{x}$。
反之亦成立，即$a>b$等价于$\log_a{x}<\log_b{x}$。
以上性质将在接下来的解法中经常被应用。
二、分段讨论法分段讨论法是解决指数不等式的一种常见方法。
它的基本思想是将指数函数在指数范围内的取值情况进行分类，并分别讨论每个情况下的不等式。
例如，我们考虑解不等式$2^x<16$。
首先，我们可以观察到$2^x$是递增函数，因此我们可以将指数范围划分为$x<4$和$x\geq4$两种情况。
当$x<4$时，$2^x<2^4=16$成立。
当$x\geq4$时，$2^x\geq2^4=16$不成立。
因此，原不等式的解为$x<4$。
三、取对数法另一种常见的解决指数不等式的方法是取对数法。
通过取对数将指数不等式转化为对数不等式，从而利用对数函数的性质进行求解。
例如，我们考虑解不等式$3^x>9$。
我们可以对不等式两边同时取以3为底的对数，得到$\log_3{(3^x)}>\log_3{9}$，进一步化简得到$x>\frac{\log_3{9}}{\log_3{3}}$，即$x>2$。
四类不等式的解法
考点一 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．两个常用结论(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点．(2)简单分式不等式的解法①变形⇒>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；②(2)简单分式不等式的解法①变形⇒>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；②变形⇒≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.(3)简单指数不等式的解法①当a>1时，a f(x)>a g(x)⇔f(x)>g(x)；②当0<a<1时，a f(x)>a g(x)⇔f(x)<g(x)．(4)简单对数不等式的解法①当a>1时，log a f(x)>log a g(x)⇔f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；②当0<a<1时，log a f(x)>log a g(x)⇔f(x)<g(x)且f(x)>0，g(x)>0.变形⇒≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.例1 (2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．答案 9解析 由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.∴f(x)＝2.又∵f(x)<c.∴2<c，即－－<x<－＋.∴②－①，得2＝6，∴c＝9.二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．(1)已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是 ( ) A．(－∞，－2) B．[－2,0)C．(－2,0) D．[0,2](2)设命题p：{x|0≤2x－1≤1}，命题q：{x|x2－(2k＋1)x＋k(k＋1)≤0}，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是__________．答案 (1)C (2)解析 (1)p∧q为真命题，等价于p，q均为真命题．命题p为真时，m<0；命题q为真时，Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.故p∧q为真时，－2<m<0.(2)p：{x|≤x≤1}，q：{x|k≤x≤k＋1}，由p⇒q且qD⇒/p，则，∴0≤k≤，即k的取值范围是.1．若实数x、y满足4x＋4y＝2x＋1＋2y＋1，则t＝2x＋2y的取值范围是 ( )A．0<t≤2 B．0<t≤4C．2<t≤4 D．t≥4答案 C解析 依题意得，(2x＋2y)2－2×2x×2y＝2(2x＋2y)，则t2－2t＝2×2x×2y≤2×()2＝；即－2t≤0，解得0≤t≤4；又t2－2t＝2×2x×2y>0，且t>0，因此有t>2，故2<t≤4，故选C.3．设A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则a＋b等于 ( )A．7 B．－1 C．1 D．－7答案 D解析 依题意，A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，又因为A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则B＝[－1,4]．所以a＝－(－1＋4)＝－3，b＝－1×4＝－4，于是a＋b＝－7.故选D.11．求解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.解 (1)当a＝0时，原不等式变为－x＋1<0，此时不等式的解集为{x|x>1}．(2)当a≠0时，原不等式可化为a(x－1)<0.若a<0，则上式即为(x－1)>0，又因为<1，所以此时不等式的解集为{x|x>1或x<}．若a>0，则上式即为(x－1)<0.①当<1，即a>1时，原不等式的解集为；②当＝1，即a＝1时，原不等式的解集为∅；③当>1，即0<a<1时，原不等式的解集为.综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为.考点一 一元二次不等式的解法例1 (2012·江苏)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．答案 9解析 由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝2＋b－.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.∴f(x)＝2.又∵f(x)<c.∴2<c，即－－<x<－＋.∴②－①，得2＝6，∴c＝9.二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知识，也是高考的热点．本题考查了二次函数的值域及一元二次不等式的解法．突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法．(1)已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是 ( )A．(－∞，－2) B．[－2,0)C．(－2,0) D．[0,2](2)设命题p：{x|0≤2x－1≤1}，命题q：{x|x2－(2k＋1)x＋k(k＋1)≤0}，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是__________．答案 (1)C (2)解析 (1)p∧q为真命题，等价于p，q均为真命题．命题p为真时，m<0；命题q为真时，Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.故p∧q为真时，－2<m<0.(2)p：{x|≤x≤1}，q：{x|k≤x≤k＋1}，由p⇒q且qD⇒/p，则，∴0≤k≤，即k的取值范围是.考点二 利用基本不等式求最值问题例2 (1)(2012·浙江)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是 ( )A. B. C．5 D．6(2)设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．答案 (1)C (2)解析 (1)∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得＝1.∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＝＋≥＋×2＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.(2)方法一 ∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，即(2x＋y)2－·2xy＝1，∴(2x＋y)2－·2≤1，解之得(2x＋y)2≤，即2x＋y≤.等号当且仅当2x＝y>0，即x＝，y＝时成立．方法二 令t＝2x＋y，则y＝t－2x，代入4x2＋y2＋xy＝1，得6x2－3tx＋t2－1＝0，由于x是实数，故Δ＝9t2－24(t2－1)≥0，解得t2≤，即－≤t≤，即t的最大值也就是2x＋y的最大值为.方法三 化已知4x2＋y2＋xy＝1为2＋2＝1，令2x＋y＝cos α，y＝sin α，则y＝sin α，则2x＋y＝2x＋y＋y＝cos α＋sin α＝sin(α＋φ)≤.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．(1)已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为 ( )A．1 B. C．2 D.答案 B解析 2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2·＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，得a≥，即实数a的最小值为，故选B.(2)(2013·山东)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为 ( ) A．0 B.C．2 D.答案 C解析 由题意知：z＝x2－3xy＋4y2，则＝＝＋－3≥1，当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝xy＝2y2.所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2(y－1)2＋2≤2.所以当y＝1时，x＋2y－z取最大值2.。
奥数之解指数不等式
奥数之解指数不等式引言：奥数在学生们的日常学习中扮演着重要的角色，尤其是在数学中，它可以帮助我们更好地理解和解决问题。
其中，指数不等式是奥数中的一个重要内容。
第一部分：什么是指数不等式指数不等式是由形如 $a^x > b^x$ 或 $a^x < b^x$ 的不等式组成，其中 $a$ 和 $b$ 是正实数，$x$ 是未知数。
指数不等式的求解是奥数的核心内容之一。
第二部分：解指数不等式的方法要想通过奥数解决指数不等式，我们需要掌握以下几种方法：1.取对数法：这种方法适用于指数底数相同但指数不同的不等式，将不等式两边取以底数为 $a$ 的对数，得到 $x > \frac{\log b}{\loga}$ 或 $x < \frac{\log b}{\log a}$，即可求解。
2.因式分解法：当不等式左右两边存在公因数时，我们可以通过因式分解来求解不等式。
3.连续变形法：连续变形也是解决指数不等式的常用方法之一。
通过连续变形，可以使不等式符号的方向不发生改变，从而求解指数不等式。
第三部分：应用指数不等式的例子指数不等式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些例子：1.根据指定的增长率，预测人口的增长。
假设某国人口每年增长$3\%$，求 $20$ 年后该国人口的增长情况。
2.计算不等式 $2^x + \frac{1}{2^x} \geq 2\sqrt{2}$ 的正解。
3.一辆汽车从 $A$ 地出发，以 $60$ 公里/小时的速度行驶。
$2$ 小时后，从 $B$ 地出发一辆摩托车，以 $80$ 公里/小时的速度行驶。
求从 $B$ 地出发摩托车行驶 $4$ 小时时，汽车和摩托车的距离。
结论：奥数中的指数不等式在解决实际问题中具有广泛的应用。
要想更好地理解和解决指数不等式问题，我们需要掌握不同的求解方法，如取对数法、因式分解法和连续变形法。
同时，我们也需要通过实际问题的练习来提高自己的解题能力。
指数不等式
指数不等式
指数不等式是数学中比较有挑战性的一个概念，是一些数学里关于指数的不等式，用以表示指数运算的结果。
指数不等式可以用来求解一些数学题，因此对于数学学习者来说，了解指数不等式是非常重要的。
指数不等式可以分为两种形式，一种是指数不等式，另一种是指数与底数不等式。
指数不等式的式表示为：
an bm
其中，a和b是任意两个正数，m是正整数。
指数与底数不等式的形式表示为：
am bn
其中，a和b是任意两个正数，m和n是正整数。
有了这些知识，我们就可以开始学习一些应用指数不等式的例子了：
例：
1、一个宝石价值3600元，分配给A、B、C三人，A得到的价值为B的3倍，那么C得到的价值是多少？
解：用指数与底数不等式来解这个问题，首先我们假设宝石总价值是an，A得到的价值是bn，C得到的价值是cn，因为A得到的价值是B的3倍，所以有：
bn = 3cn
同时，因为宝石总价值a等于A、B、C三人的价值总和，所以有：
a = b+3c
将这两个式子结合起来，就可以得出：
a = 4cn
故C得到的价值为：
c = /4
因此，C得到的价值为3600/4=900元。
2、已知10的n次方为1000，求n是多少？
解：用指数不等式来解这个问题，有：
10n = 1000
将10n取根号，可得：
n = lg1000
即n=3。
指数平均不等式及其运用
指数平均不等式及其运用一、指数平均不等式1、定义指数平均不等式是一种数学不等式，通常表示为：\begin{equation}x^{a}+y^{a}\geq 2(xy)^{a}\end{equation}其中，a大于等于1，x，y都大于0。
2、演绎因为两边都是大于0的，可以把指数平均不等式写成：\begin{equation}\frac{x^{a}}{(xy)^{a}}+\frac{y^{a}}{(xy)^{a}}\geq 2\end{equation}可以把每边乘以$(xy)^{a}$，就有：\begin{equation}x^{a}y^{a}+x^{a}y^{a}\geq 2(xy)^{a}\end{equation}可以将$x^{a}y^{a}$提到左边：\begin{equation}2x^{a}y^{a}\geq 2(xy)^{a}\end{equation}将$2$提到右边：\begin{equation}x^{a}+y^{a}\geq 2(xy)^{a}\end{equation}可以看到，最终演绎出来的结论就是原来的指数平均不等式。
二、指数平均不等式的物理意义1、人体的体温人的体温是一个典型的指数平均不等式的应用，通常体温一般介于35℃到37.5℃之间，当体温超出上限或者下限时，就会出现健康问题。
这个现象可用指数平均不等式来表示：\begin{equation}T_{\text{low}}^{x}+T_{\text{high}}^{x}\geq 2T_{\text{avg}}^{x}\end{equation}其中，$T_{\text{low}},T_{\text{high}},T_{\text{avg}}$分别是最低温度，最高温度和平均温度，x为温度的指数（一般都是大于1的数）。
指数越大表明对于温度的变化越敏感。
2、音量的控制音频的理想输出是一个指数平均不等式：\begin{equation}V_{\text{l}}^{x}+V_{\text{h}}^{x}\geq 2V_{\text{a}}^{x}\end{equation}其中，$V_{\text{l}},V_{\text{h}},V_{\text{a}}$分别是最低音量，最高音量和平均音量，x 为音量的指数。
指数、对数不等式的解法
1、不等式152log 2<x 的解集为 .2、关于x 的不等式a a x x x x 13254322+--->的解集为（-2，3），则实数a 的取值范围为 .3、函数()()12log 1.0-=x x f 的定义域为 .4、不等式()()123log log 2121+>-x x 的解集为 .5、与不等式()02log 2≤-x 同解的一个不等式为（ ） ()()()()023.023.032.32.≥--≤--≥--<--x x D x x C x x B x x A6、设0<a<1，给出下面四个不等式：()()()()()224)2(3)2(21log )1(log 132a a aa aa a a a a a a a a a a>>>+<+ 其中不成立的有（ ）A ．0个B.1个C.2个D.3个7、解不等式：（1）()为常数1,0128322≠>≤-++-a a x x a a x x（2）222245256++⨯<+x x8、解不等式（1）()()21log3≥--xx（2）12loglog79293>-xx9、已知：()()[]()xxf fxxf225.0,log>=则不等式的解集为.10、当0<a<1时，不等式10lg2882axa x>-+的解集为.11、不等式()2lg12>-x的解集是（）A.()+∞,11B. ()9,-∞-C. ()()+∞⋃-∞-,119,D.()11,9-12、已知集合()=⋂⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=NMxxNxxM x则,1,log2221322（）A．⎪⎭⎫⎝⎛23,0B.⎪⎭⎫⎝⎛2,32C．⎪⎭⎫⎝⎛23,1D.（0，1）13、当a>0，且a≠1时，解关于x的不等式：（1）aa xx xx5213222-++->（2）()()5213222loglog-+>+-xx xxaa14、解不等式：()021522221loglog=++-xx15、已知()()2,2,2,1215logloglog21++===≠->aaazyxaa且，试比较x、y、z的大小.16、不等式33311>⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 的解集为 。
指数与对数不等式的解法
指数不等式、对数不等式的解法指数不等式：转化为代数不等式()()()()()1.(1)()();(01)()()2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x ab a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>对数不等式：转化为代数不等式 ()0log ()log ()(1)()0;()()()0log ()log ()(01)()0()()a a a a f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >⎧⎪>>⇔>⎨⎪>⎩>⎧⎪><<⇔>⎨⎪<⎩例题 例1.解不等式66522252.0-+---≥x x x x变式 .解关于x 的不等式：222)21(2--+>x x x例2.解不等式154log <x . 例3.如果x=3是不等式：2log (2)log (1)log 3a a a x x x --<++的一个解，解此关于x 的不等式.例4.解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a例5．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 12>++-+x x x x aa a 练习 1.不等式log log 221>x 的解集为……………………………………（ ）（A ）{x|x<2} （B ）{x|0<x<2} （C ）{x|1<x<2} （D ）{x|x>2}2. （05辽宁卷）若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是 （ ）A ．),21(+∞ B ．),1(+∞ C ．)1,21(D ．)21,0(3. (05全国卷Ⅰ) 设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（ ）（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞ （C ）)3log ,(a -∞ （D ）),3(log +∞a4. （05山东卷）01a <<，下列不等式一定成立的是（ ） （A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>（B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+（C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+5、不等式x x 283)31(2--> 的解集为 ； 6、不等式1)22lg(2<++x x 的解集为 ；作业 1．不等式1log 21<x 的解集为（ ）A ．}41|{>x xB ．}1,41|{≠>x x x 且C ．}4101|{<<>x x x 或 D ．}410|{<<x x 2．不等式)1(1)12(1log log ---->x a x a 成立的充要条件 （ ）A ．1,2>>x aB ．1,1>>x aC ．0,2>>x aD ．0>x3．已知集合=⋂>-=<=N M x x N x M x x 则},0)1(log |{},33|{21322（ ）A ．)23,0(B ．)2,23(C ．)23,1(D ．(0,1)4．若函数)2(log 22a ax x y +-=的值域为R ，则实数a 的取值范围（ ）A ．10<<aB ．10≤≤aC ．10><a a 或D ．10≥≤a a 或5．对于22322)21(,a x ax x R x +-<∈不等式恒成立，则a 的取值范围（ ）A ．(0,1)B ．),43(+∞C ．)43,0(D ．)43,(-∞6．不等式)1(4)1(2log 5log 2++->x x 的解集是____________________.7．不等式1)11(log >-xa的解集为_____________________. 8．解下列不等式 ①2log )532()1(2>-++x xx②0825421≥+⋅-+x x。
指数不等式
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 山 路 勤勤 为 奋，努 径，学 崖 苦成 作 功！ 舟 天 少 成功 小 才 =有 艰苦的劳动 不 在 学 于 习，老 +正确的方法 来海 徒无 力 伤 才 + 少谈空话 悲 能
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陟乃赋
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陟乃赋
制 版 权 作 所 ： 有 陟 ， 违 乃 者 不 赋 究
2019年2月25日星期一
广东碧桂园学校 陟乃赋
指数不等式的解法
1、指数运算性质：
aman= am+n (am)n= amn
m-n m n a a ÷a =
2、y=ax的单调性 a>1时，单调递增 0<a<1时，单调递减
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af(x)>ag(x)型不等式的解法：
2
x 2 2 x 3
1 3 x 3 ( ) 2
a
x 2 x 18
10
2 lga
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af(x)>bg(x)型不等式的解法：
2x>3x+1
3x-3·Leabharlann 5x-2>3x-4+5x-3
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A· a2x+B· ax+C>0(<0)型不等式解法： 4x-3· 2x+1+8 >0 3x-18· 3x>7 a2x+1<ax+2+ax-2
指数、对数不等式的解法PPT教学课件
(1).
1
x 2 1
1
x 1
0
2
4
1
x 2 1
1
2( x1)
x2
1
2(x
1)
x| x 1
2
2
( 2) .
4 log 2 x 2 1
4
2 2log
2 x
5
5
(log2 x)2 1 2(2 log
x)
2
(log2 x)2 2log
x 5 0
2
(log 2 x)2 4 log 2 x 5 0
二、BASIC语言的发展
➢初期BASIC（1964～70初） 小型机上使用 多用户分时系统 编译方式
➢微机BASIC(1975～80年代中期) 在ROM中 解释方式
➢结构化BASIC（80年代中期） 三种基本结构 模块化 True BASIC 、Quick BASIC 、 QBASIC
➢Visual BASIC（1991，MS）
(2)算术表达式的注意事项 用算术运算符将常数、数值变量及数学函数连接起来的
有意义的式子. 乘号不能用“×”或“.”
➢不要漏写乘号 “ * ” ➢要用合法的变量名 ➢所有字符写在一行上 ➢只能使用圆括号
(3)条件语句的条件表达式中常用连接符如下
运算符 功 能 举例
<
小于
a<b
关 <= 小于或等于
开始 输入n
n>2? 否
是
d=2
是 d整除n?
否
d=d+1
n不是质数
d<=n-1? 是
否
n是质数
结束
开始
输入n
指数方程和不等式与对数方程和不等式
指数方程和不等式与对数方程和不等式一、指数方程和不等式与对数方程和不等式指数方程和不等式与对数方程和不等式是对指数函数和对数函数的性质的综合运用．我们将指数方程和对数方程的主要类型和解法列入下面的表格：分析：1、解指数方程和对数方程主要是运用转化的思想将方程化归为己学过的代数方程来解，同时要注意对数方程的同解变形，重视对根的检验．2、对于含有指数函数或对数函数的混合型方程，常用图象法求方程的近似解或确定方程的根的个数．3、在解含有参数的指数方程和对数方程时，必须注意对字母的取值范围的讨论．将上述表格中的等号“＝”改为不等号“＜”或“＞”即得到指数不等式和对数不等式，它们的解法在本质上与方程的解法是相同的，同时也要对字母的取值范围进行讨论．但不同的地方在于要对底数a的取值范围进行讨论，因为a的取值范围不同时要影响指数函数和对数函数的单调性．要注意方程与不等式的本质联系与区别．例1 解下列方程：(1)lg2x·lg3x=lg2·lg3；(2)；(3)；(4)log(x+1)(2x2-2x+1)=2分析：(1)根据方程的结构，可以从方程中分离出变量lgx，利用换元的方法求解；(2)去分母后可采用换元的方法；(3)再对方程变形后采用两边取对数的方法求解；(4)利用对数定义将方程转化为代数方程求解．解：(1)原方程可化为(lg2+lgx)(lg3+lgx)＝lg2·lg3，即lg2x+lg6·lgx＝0．解得lgx＝0或lgx＝-lg6. ∴x＝1或.经检验，x＝1和都是方程的根．(2)方程可化为3x+1-3-x+2＝0，即3·32x+2·3x-1＝0．设y＝3x，则3y2+2y-1＝0，解得y1=-1，.当y＝-1时，3x＝-1＜0，无意义，故舍去；当时，, ∴x=-1。
(3)原方程即，即, ＝3．两边取以3为底数的对数，得到(log3x)2=1, ∴log3x=±1, 解得x＝3或.经检验，x＝3和都是原方程的根．(4)根据对数的定义得到(x+1)2＝2x2-2x+1，即x2-4x＝0．解得x＝0或x＝4．当x＝0时，x+1＝1，故舍去．∴原方程的根为x＝4．总结：(1)解对数方程时，必须注意对根的检验；(2)换元的方法是解方程的一种常用方法；(3)在解指数方程和对数方程时，要注意应用指数和对数的有关性质和法则对方程进行变形．当幂指数上含有未知数时，往往两边取对数求解．例2 解方程：lgx+lg(4-x)＝lg(2x+a)解：原方程等价于：, ∴.设y1＝a, y2＝-x2+2x，x∈(0,4). 作出两个函数的图象，如图所示．分以下三种情况讨论：(1) a>1或a≤-8 时，方程无解；(2) 0<a<1时，方程有两解；(3) -8<a≤0, 方程有一解。
学习指南如何解决指数不等式
学习指南如何解决指数不等式在学习数学时，我们可能会遇到各种各样的问题，其中之一就是指数不等式。
指数不等式在数学中是一个重要的内容，当我们学习如何解决指数不等式时，需要掌握一些基本的方法和技巧。
本文将为大家提供一份学习指南，帮助解决指数不等式的问题。
一、了解指数不等式的基本概念在开始学习如何解决指数不等式之前，我们首先需要了解指数不等式的基本概念。
指数不等式是指含有指数的不等式，通常形式为a^x≥b，其中a和b为实数，且a>0且a≠1。
解决指数不等式的关键在于找到使不等式成立的解集。
二、指数不等式的解法1. 同底数比较法当指数不等式的底数相同时，我们可以比较指数大小来解决不等式。
例如，对于不等式2^x≥2^3，由于底数相同，我们可以直接比较指数，得到x≥3。
2. 对数法对数法是解决指数不等式常用的方法之一。
通过取对数将指数不等式转化为对应的对数不等式，然后通过求解对数不等式得到解集。
例如，对于不等式3^x≥27，我们可以取以3为底数的对数，得到x≥3。
3. 分类讨论法当指数不等式中的底数是分数或负数时，我们可以通过分类讨论的方法来解决。
将不等式中的底数进行分类讨论，分别解决每个分类下的指数不等式，最后将得到的解集进行合并得到最终的解集。
例如，对于不等式2^(x-1)＞1/8，我们可以将底数进行分类讨论，得到x＞-3和x≤-1，然后将两个解集合并得到解集x＞-3。
4. 图像法对于一些较为复杂的指数不等式，我们可以通过绘制函数图像的方法来解决。
将指数函数图像绘制在坐标系中，通过观察图像的性质，找到使不等式成立的解集。
例如，对于不等式2^x＞4x，我们可以绘制y=2^x和y=4x的图像，并通过观察两个图像的交点来解决不等式。
三、解决指数不等式的注意事项在解决指数不等式时，我们需要注意一些细节问题，以确保解的准确性和完整性。
1. 底数的正负性：底数为正数时，指数不等式的性质与对应的指数函数性质相同；底数为负数时，指数不等式的性质与对应的指数函数性质相反。
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简单指数不等式测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．不等式123.03.0-≥x x 的解集是( )
A ．],
1[+∞ B ．),1[+∞ C ．)1,
[-∞ D ． ]1,(-∞ 2．不等式9
1
3
>
x
的解集是( ) A ．}2|{->x x B ．}2|{-<x x C ． }3|{-<x x D ．}3
1|{-<x x
3．不等式4
54
5a a
≥-
,则a 的取值范围是是( )
A ．无法确定
B ．),
1[+∞ C ．[0,1] D ． (0,1) 4．不等式63
≤x
的解集是（ ）
A. }2|{≤x x
B. }2|{≥x x
C. }6log |{3≥x x
D. }6log |{3≤x x
5．不等式1)(322019
1
≥+-x
的解集是( )
A ．R
B ． )0,
(-∞ C ．]32
,(-∞ D ．)3
2,0( 6．不等式
16)2
1
(81≤<x 的整数解的个数是( ) A ．7个 B ． 6个 C ． 5个 D ．0个 7．不等式
161616
1
≤<x 的整数解的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 8．不等式02
)2
1(>-x
x 的解集是( )
A ．1) , 1(-
B ．Φ
C ．0) ,(-∞
D ． ) , (0∞+
9．不等式 027)3(6
9≤--x
x 的解集是( ) A ．1] [0, B ．1] (0, C ．1] ,(-∞ D ．1] [-2,
10．函数()9
1
3f 12-
=
-x x
的定义域是( ) A ．R B ．)，31[∞+-
C ．)，21[∞+-
D ．)，2
1(∞+- 二、填空题（本大题共5小题，每小题4 分，共20分） 11．不等式3)2
1
(0
<≤x 的解集是 .
12．不等式1)12
1(1≥-x 的解集是 13．函数()x x
31f -=
的定义域是 .
14．若21++>x x a a 对任意R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是
15.对于2
2
322)2
1(不等式
,a x ax
x R x +-<∈恒成立，则a 的取值范围是 .
三、解答题（本大题共3小题，每小题10 分，共30分） 16．解不等式: 512-+≤x x a a ，其中()1且0≠>a a
17．解不等式． 012242
≥--+x x
18．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的%75，估计至少约经过多少年，该物质的剩留量小于原来的3
1
（结果保留个1有效数字）？（0.4771lg30.3010lg2≈，≈）
不等式测试卷参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. B
2. A
3. D
4. D
5. C
6. A
7. C
8. D
9. C 10. C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4 分，共20分） 11.
) , 3(log 2
1∞+或 ) , 3log (2∞+- 12. 1] ,(-∞ 13.0] ,(-∞
14.1) , (0 15. ),4
3(
+∞ 三、解答题（本大题共3小题，每小题10 分，共30分）
16. 解： 当 1>a 时，512-≤+x x ----------2分 6-≤x ---------2分
当 10<<a 时，512-≥+x x ----------2分 6-≥x ----------2分 所以 当
1>a 时，原不等式的解集的为}6x |{x -≤ ----------1分
当10
<<a 时，原不等式的解集的为}6x |{x -≥ ---------1分
17. 解：由原不等式得 012)2(4
)2(2≥--x
x ------------- 2分 所以 62≥x
或 22-≤x ----------------------一个式子对1分共2分
当62
≥x
得 6log 2≥x -----------------2分 当22
-≤x
得 x 无解 -----------------2分
所以 原不等式的解集为 }6log |{2≥x x -----------------2分 即 )[∞+ , 6log 2
18.解：设这种放射性物质最初的质量是1，经过x 年后，剩留量是x
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛43 -------------2分
由题意得 3
1
43<
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛x
---------------2分 即 3
1
log
)4
3(>x ---------------2分
8.33010.024771.04771.02lg 23lg 3lg 4
3lg 31
lg
≈⨯--=--=>
x --------------2分 所以至少约经过4年，该物质的剩留量小于原来的3
1
--------------2分。