2017年春季学期苏教版高中数学必修5：第6课时—— 余弦定理(3)(配套作业)
1.2余弦定理(3)教案 高中数学 必修五 苏教版(word版)
听课随笔第6课时 余弦定理（3）【学习导航】知识网络⎩⎨⎧判断三角形的形状平面几何中的某些问题余弦定理 学习要求1．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3．进一步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B ac c a b cos 2222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=.(2) 变形：bc2a c b A cos 222-+=，ac2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=2．判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.【精典范例】【例1】在∆ABC 中，求证：（1）;sin sin sin 222222CBA c b a +=+ （2）)cos cos cos (2222C abB ca A cb c b a ++=++ 分析：【解】（1）根据正弦定理，可设 Aa sin = Bb sin = Cc sin = k显然 k ≠0，所以 左边=C k Bk A k c b a 222222222sin sin sin +=+ =CBA 222sin sin sin +=右边 （2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc bc a c b 2222-++ca cab ac 2222-++ababc b a 2222-+) =(b 2+c 2-a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2) =a 2+b 2+c 2=左边【例2】在ABC ∆中，已知acosA = bcosB用两种方法判断该三角形的形状. 分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。
【解】方法1o（余弦定理）得a ⨯bc a cb 2222-+=b ⨯cab ac 2222-+∴c 44222)(b a b a -=-=))((2222b a b a -+∴22222b a c b a +==或∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.方法2o（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B, ∴2A=2B,或2A+2B=180︒ ∴A=B 或A+B=90︒∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.点评: 判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。
数学苏教版必修5 正弦、余弦定理及应用
正弦、余弦定理及应用一．课标要求：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二．命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。
今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。
题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。
三．要点精讲1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
R C cB b A a 2sin sin sin ===。
（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。
2016-2017学年苏教版必修5高二数学1.2《余弦定理》
明目标、知重点
4
明目标、知重点
探究点三
思考
勾股定理与余弦定理的关系
勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，
余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如
何看这两个定理之间的关系？ 答 若△ABC中，C＝90°，则cos C＝0，将cos C＝0代入余
弦定理得c2＝a2＋b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
明目标、知重点
解 由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4 3，
所以 c＝ 6－ 2，
asin C 1 由正弦定理得 sin A＝ c ＝2，
因为b>a，所以B>A，所以A＝30°.
明目标、知重点
探究点二
例2
余弦定理在实际生活中的应用
A，B两地之间隔着一个水塘，如图，现选择另一点
C，测得CA＝182 m，CB＝126 m，∠ACB＝63°，求A，B 两地之间的距离.(精确到1 m)
明目标、知重点
例3
用余弦定理证明：在△ABC中，当∠C为锐角时，a2＋
b2>c2；当∠C为钝角时，a2＋b2<c2. 证明 当∠C为锐角时，cos C>0， 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C<a2＋b2，
即a2＋b2>c2.
同理可证，当∠C为钝角时，a2＋b2<c2.
明目标、知重点
即 a2＝c2－2cbcos A＋b2.
明目标、知重点
小结
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减
去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即a2＝b2＋c2－ 2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.这 就是余弦定理.
苏教版高中高三数学必修5《余弦定理》教案及教学反思
苏教版高中高三数学必修5《余弦定理》教案及教学反思一、教案1. 教学目标通过本节课的学习，让学生掌握余弦定理的含义和使用方法；培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
2. 教学重点掌握余弦定理的内容和应用场景。
3. 教学难点理解余弦定理的原理和证明方法。
4. 教学方法讲解、练习、归纳、探究。
5. 教学准备黑板、白板、彩色粉笔、板书设计、课件。
6. 教学过程6.1 引入老师出示三角形图形，并让学生用勾股定理求出斜边长度。
然后老师问学生怎么求另外两条边长度，学生可用勾股定理计算得出。
接下来老师提出问题：“如果已知三角形的两边长度和它们的夹角，我们可以用什么公式求出第三边的长度呢？”6.2 讲解老师介绍余弦定理的概念、公式及证明方法。
展示余弦定理的公式$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos C$$让学生理解其中的符号含义。
6.3 练习1.请通过余弦定理计算以下三角形的斜边长度：–边长分别为12cm, 16cm，夹角为$120^{\\circ}$ 的三角形–边长分别为5cm, 7cm，夹角为$60^{\\circ}$ 的三角形2.如果知道三角形的三边长度，如何判断它们是否能构成三角形？6.4 探究让学生互相交换刚才的练习结果，并相互核对。
然后，由学生自己设计一个类似的问题，并分组讨论如何使用余弦定理解决该问题。
6.5 总结老师归纳余弦定理的公式及应用场景，并让学生总结本节课的内容。
二、教学反思1. 教学过程本节课的教学过程分为引入、讲解、练习、探究和总结五个部分，目标明确，内容详实，这样设计是比较合理的。
2. 教学方法在教学方法方面，本节课采用了讲解、练习、归纳和探究等多种方法，正确引导学生思考，从而使学生更加深入理解和掌握知识点。
3. 教学效果本节课的教学效果比较显著，学生对余弦定理的公式、应用场景等方面有了更全面的认识，掌握了正确的求解方法，另外学生们的讨论也很活跃，互相学习存才，教学效果比较好。
高中数学余弦定理教案5苏教版必修5
余弦定理教案教学目的1．使学生掌握余弦定理及其证明方法．2．使学生初步掌握余弦定理的应用．教学重点与难点教学重点是余弦定理及其应用；教学难点是用解析法证明余弦定理．教学过程设计一、复习师：直角△ABC中有如下的边角关系(设∠C=90°)：(1)角的关系A+B+C=180°．A+B=90°．(2)边的关系c2=a2+b2．二、引入师：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a，b边的长短不变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么关系呢？请同学们思考．如图1，若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c2＜a2+b2．如图2，若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变长，即c2＞a2+b2．经过议论学生已得到当∠C≠90°时，c2≠a2+b2，那么c2与a2+b2到底相差多少呢？请同学们继续思考．如图3，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；在Rt△BDC中，BD=BC·sinC=asinC，DC=BC·cosC=acosC．所以，AB2=AD2+BD2化为c2=(b－acosC)2+(asinC)2，c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b2－2abcosC．我们可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC的关系．从以上分析过程，我们对∠C是锐角的情况有了清楚认识．我们不仅要认识到，∠C为锐角时有c2=a2+b2－2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的．这种未知向已知的转化在数学中经常碰到．下面请同学们自己动手推导结论．如图4，当∠C为钝角时，作BD⊥AC，交AC的延长线于D．△ACB是两个直角三角形之差．在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2．在Rt△BCD中，∠BCD=π－C．BD=BC·sin(π－C)，CD=BC· cos(π－C)．所以AB2=AD2+BD2化为c2=(AC+CD)2+BD2=[b+acos(π－C)]2+[asin(π－C)]2=b2+2abcos(π－C)+a2cos2(π－C)+a2sin2(π－C)=b2+2abcos(π－C)+a2．因为cos(π－C)=－cosC，所以c2=b2+a2－2abcosC．这里∠C为钝角，cosC为负值，－2abcosC为正值，所以b2+a2－2abcosC＞a2+b2，即c2＞a2+b2．从以上我们可以看出，无论∠C是锐角还是钝角，△ABC的三边都满足c2=a2+b2－2abcosC．这就是余弦定理．我们轮换∠A，∠B，∠C的位置可以得到a2=b2+c2－2bccosA．b2=c2+a2－2accosB．三、证明余弦定理师：在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和或差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的．这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦．现在我们已学完了三角函数，无论∠α是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论．我们仍就以∠C为主进行证明．如图5，我们把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．请同学们分析B点坐标是怎样得来的．生：∠ACB=∠C，CB为∠ACB的终边，B为CB上一点，设B的坐标为(x，师：回答很准确，A，B两点间的距离如何求？生：|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．师：大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法．这种方法以后还要详细学习．余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：a2=b2+c2－2bccosA．c2=a2+b2－2abcosC．b2=a2+c2－2accosB．若用三边表示角，余弦定理可以写为四、余弦定理的作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．解由余弦定理可知Bc2=Ab2+Ac2－2AB×AC·cosA所以BC=7．以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用．五、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在△ABC中，c2=a2+b2－2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是c2=a2+b2－2ab·0=a2+b2．说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例．六、应用举例例1 在△ABC中，求证c=bcosA+acosB．师：请同学们先做几分钟．生甲：如图6，作CD⊥AB于D．在Rt△ACD中，AD=b·cosA；在Rt△CBD中，DB=a·cosB．而c=AD+DB，所以c=bcosA+acosB．师：这位学生的证法是否完备，请大家讨论．生乙：他的证法有问题，因为作CD⊥AB时垂足D不一定落在AB上．若落在AB的延长线上时，c≠AD+DB，而c=AD－DB．师：学生乙的问题提得好，我们如果把学生乙所说的情况补充上是否就完备了呢？生丙：还不够．因为作CD⊥AB时，垂足D还可以落在B处．师：其实垂足D有五种落法，如落在AB上；AB的延长线上；BA的延长线上；A点或B点处．我们要分这么多种情况证明未免有些太麻烦了．请大家借用余弦定理证明．生：因为acosB+bcosA所以c=acosB+bcosA．师：这种证法显然简单，它避开了分类讨论．你们知道为什么这种证法不用分类讨论吗？生：因为余弦定理本身适用于各种三角形．例2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求△ABC的面积．师：我们通常求三角形的面积要用公式这个题目，我们应该如何下手呢？生：可以用余弦定理由三边求出一个内角的余弦值，再用同角公式导出这个角的正弦后，最后代入三角形面积公式．解因为a=4，b=3，c=2，所以由sin2A+cos2A=1，且A为△ABC内角，得例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB边的中线长．请同学们先设计解题方案．生甲：我想在△ABC中，已知三边的长可求出cosB．在△BCD中，由BC=7，BD=4.5及cosB的值，再用一次余弦定理便可求出CD．师：这个方案很好．请同学很快计算出结果．解设D为AB中点，连CD．在△ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得生乙：我们在初中碰到中线时，经常延长中线，所以我想延长中线CD到E，使DE=CD，想在△BCE中解决．已知BC=7，BE=AC=8，若再知道cos∠CBE，便可解决，但我不知怎样求cos∠CBE．师：这个问题提得很有价值，请大家一起帮助学生乙解决这个难点．(学生开始议论．)生丙：连接AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四边形ACBE为平行四边形，可得AC ∥BE，∠CBE与∠ACB互补．我能利用余弦定理求出cos∠BCA，再利用互补关系解出cos ∠CBE．师：大家看看他讲得好不好．请大家用第二套方案解题．解延长CD至E，使DE=CD．因为CD=DE，AD=DB，所以四边形ACBE是平行四边形．所以BE=AC=8，∠ACB+∠CBE=180°．在△ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得在△CBE中，这两种解法都是两次用到余弦定理，可见掌握余弦定理是十分必要的．七、总结本节课我们研究了三角形的一种边角关系，即余弦定理，它的证明我们可以用解析法．它的形式有两种，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角．余弦定理适用于各种三角形，当一个三角形的一个内角为90°时，余弦定理就自然化为勾股定理或锐角三角函数．余弦定理的作用如同它的两种形式，一是已知两边及夹角解决第三边问题；另一个是已知三边解决三内角问题．注意在(0，π)范围内余弦值和角的一一对应性．若cos A＞0，则A 为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA＜0，则A为钝角．另外本节课我们所涉及的内容有两处用到分类讨论的思想方法．请大家解决问题时要考虑全面．如果能回避分类讨论的，应尽可能回避，如用解析法证明余弦定理、用余弦定理证明例1等等．八、作业5．已知△ABC中，acosB=bcos A，请判断三角形的形状．课堂教学设计说明1．余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视．本内容安排两节课适宜．第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用．2．当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性．。
苏教版高中数学(必修5)1.2《余弦定理》word教案
B1.2 余弦定理（2）【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.正弦定理的内容？2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？ 二、研探新知1．余弦定理的向量证明：方法1：如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ．∵−→−AC +=−→−AB −→−BC ， ∴⋅−→−AC −→−AC +=−→−AB (⋅−→−)BC +−→−AB ()−→−BC −→−=AB2⋅+−→−AB 2+−→−BC −→−BC2−→−=AB2⋅+−→−||2AB )180cos(||0B BC -−→−+−→−BC222cos 2a B ac c +-= 即 B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=．方法2：建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos a c A b c A c A c A bc A b b c bc A=-+=+-+=+-，同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=注意：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论．于是得到以下定理 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
苏教版学高中数学必修五解三角形余弦定理讲义
学习目标核心素养１．掌握余弦定理及其推论．（重点）２．掌握正、余弦定理的综合应用．（重点）３．能应用余弦定理判断三角形的形状．（易错点）１．借助余弦定理的推导过程，提升学生的逻辑推理素养.２．通过余弦定理的应用，提升学生的数学运算素养.１．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a２＝b２＋c２—２bc cos_A，b２＝c２＋a２—２ca cos_B，c２＝a２＋b２—２ab cos_C.思考１：根据勾股定理，若△ABC中，C＝90°，则c２＝a２＋b２＝a２＋b２—２ab cos C．１试验证１式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？[提示] 当a＝b＝c时，C＝60°，a２＋b２—２ab cos C＝c２＋c２—２c·c cos 60°＝c２，即１式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c２＝a２＋b２—２ab cos C.思考２：在c２＝a２＋b２—２ab cos C中，ab cos C能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考１的猜想吗？[提示] ab cos C＝|错误!|·|错误!|cos〈错误!，错误!〉＝错误!·错误!.∴a２＋b２—２ab cos C＝错误!＋错误!—２错误!·错误!＝（错误!—错误!）２＝错误!＝c２.猜想得证．２．余弦定理的变形（１）余弦定理的变形cos A＝错误!，cos B＝错误!，cos C＝错误!.（２）余弦定理与勾股定理的关系在△ABC中，c２＝a２＋b２⇔C为直角；c２>a２＋b２⇔C为钝角；c２<a２＋b２⇔C为锐角．思考３：勾股定理和余弦定理有何联系与区别？[提示] 二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例．１．在△ABC中，若b＝１，c＝错误!，A＝错误!，则a＝________.１[a＝错误!＝１．]２．在△ABC中，若a＝５，c＝４，cos A＝错误!，则b＝________.6[由余弦定理可知２５＝b２＋１6—２×４b cos A，即b２—错误!b—9＝0，解得b＝6．]３．在△ABC中，a＝３，b＝错误!，c＝２，则B＝________.60°[cos B＝错误!＝错误!＝错误!，∴B＝60°.]４．在△ABC中，若b２＋c２—a２<0，则△ABC必为________三角形．钝角[∵cos A＝错误!<0，∴A∈（90°，１80°）．∴△ABC必为钝角三角形．]已知两边与一角解三角形【例１】在△a.[解] 法一：由余弦定理b２＝a２＋c２—２ac cos B，得３２＝a２＋（３错误!）２—２a×３错误!×cos ３0°，∴a２—9a＋１8＝0，解得a＝３或6．当a＝３时，A＝３0°，∴C＝１２0°.当a＝6时，由正弦定理sin A＝错误!＝错误!＝１．∴A＝90°，∴C＝60°.法二：由b<c，B＝３0°，b>c sin ３0°＝３错误!×错误!＝错误!知本题有两解．由正弦定理sin C＝错误!＝错误!＝错误!，∴C＝60°或１２0°，当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝错误!＝错误!＝6，当C＝１２0°时，A＝３0°，△ABC为等腰三角形，∴a＝３．已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理已知两边和一边的对角求解.若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题在0，π上，余弦值所对角的值是唯一的，故用余弦定理求解较好.１．在△ABC中，a＝２错误!，c＝错误!＋错误!，B＝４５°，解这个三角形．[解] 根据余弦定理得，b２＝a２＋c２—２ac cos B＝（２错误!）２＋（错误!＋错误!）２—２×２错误!×（错误!＋错误!）×cos ４５°＝8，∴b＝２错误!.又∵cos A＝错误!＝错误!＝错误!，∴A＝60°，C＝１80°—（A＋B）＝7５°.已知三边解三角形【例２】已知△ABC中，a∶b∶c＝２∶错误!∶（错误!＋１），求△ABC的各角的大小．思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解．[解] 设a＝２k，b＝错误!k，c＝（错误!＋１）k（k>0），利用余弦定理，有cos A＝错误!＝错误!＝错误!，∴A＝４５°.同理可得cos B＝错误!，B＝60°.∴C＝１80°—A—B＝7５°.１．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．２．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．２．在△ABC中，已知a＝7，b＝３，c＝５，求最大角和sin C.[解] ∵a>c>b，∴A为最大角，由余弦定理的推论，得：cos A＝错误!＝错误!＝—错误!，∴A＝１２0°，∴sin A＝sin １２0°＝错误!.由正弦定理错误!＝错误!，得：sin C＝错误!＝错误!＝错误!，∴最大角A为１２0°，sin C＝错误!.正、余弦定理的综合应用[探究问题]１．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a２＝b２＋c２，则sin２A＝sin２B＋sin２C 成立吗？反之说法正确吗？为什么？[提示] 设△ABC的外接圆半径为R.由正弦定理的变形，将a＝２R sin A，b＝２R sin B，c＝２R sin C，代入a２＝b２＋c２可得sin２A＝sin２B＋sin２C.反之将sin A＝错误!，sin B＝错误!，sin C＝错误!代入sin２A＝sin２B＋sin２C可得a２＝b２＋c２.因此，这两种说法均正确．２．在△ABC中，若c２＝a２＋b２，则C＝错误!成立吗？反之若C＝错误!，则c２＝a２＋b２成立吗？为什么？[提示] 因为c２＝a２＋b２，所以a２＋b２—c２＝0，由余弦定理的变形cos C＝错误!＝0，即cos C ＝0，所以C＝错误!，反之若C＝错误!，则cos C＝0，即错误!＝0，所以a２＋b２—c２＝0，即c２＝a ２＋b２.【例３】在△ABC中，若（a—c·cos B）·sin B＝（b—c·cos A）·sin A，判断△ABC的形状．思路探究：[解] 法一：（角化边）∵（a—c·cos B）·sin B＝（b—c·cos A）·sin A，∴由正、余弦定理可得：错误!·b＝错误!·a，整理得：（a２＋b２—c２）b２＝（a２＋b２—c２）a２，即（a２—b２）（a２＋b２—c２）＝0，∴a２＋b２—c２＝0或a２＝b２.∴a２＋b２＝c２或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．法二：（边化角）根据正弦定理，原等式可化为：（sin A—sin C cos B）sin B＝（sin B—sin C cos A）sin A，即sin C cos B sin B＝sin C cos A sin A.∵sin C≠0，∴sin B cos B＝sin A cos A.∴sin ２B＝sin ２A.∴２B＝２A或２B＋２A＝π，即A＝B或A＋B＝错误!.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．１．（变条件）将例题中的条件“（a—c cos B）·sin B＝（b—c cos A）·sin A”换为“a cos A＋b cos B＝c cos C”其它条件不变，试判断三角形的形状．[解] 由余弦定理知cos A＝错误!，cos B＝错误!，cos C＝错误!，代入已知条件得a·错误!＋b·错误!＋c·错误!＝0，通分得a２（b２＋c２—a２）＋b２（a２＋c２—b２）＋c２（c２—a２—b２）＝0，展开整理得（a２—b２）２＝c４.∴a２—b２＝±c２，即a２＝b２＋c２或b２＝a２＋c２.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．２．（变条件）将例题中的条件“（a—c cos B）·sin B＝（b—c cos A）·sin A”换为“lg a—lg c＝lg sin B＝—lg 错误!且B为锐角”，判断△ABC的形状．[解] 由lg sin B＝—lg 错误!＝lg 错误!，可得sin B＝错误!，又B为锐角，∴B＝４５°.由lg a—lg c＝—lg 错误!，得错误!＝错误!，∴c＝错误!a.又∵b２＝a２＋c２—２ac cos B，∴b２＝a２＋２a２—２错误!a２×错误!＝a２，∴a＝b，即A＝B.又B＝４５°，∴△ABC为等腰直角三角形．判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.１．本节课要掌握的解题方法（１）已知三角形的两边与一角，解三角形．（２）已知三边解三角形．（３）利用余弦定理判断三角形的形状．２．本节课的易错点有两处（１）正弦定理和余弦定理的选择已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．（２）利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．１．判断正误（１）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．（）（２）在△ABC中，若a２>b２＋c２，则△ABC一定为钝角三角形．（）（３）在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．（）[答案] （１）√（２）√（３）×[提示] 由余弦定理可知，已知△ABC的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC是唯一的，（３）错误．２．在△ABC中，a＝7，b＝４错误!，c＝错误!，则△ABC的最小角为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cos C＝错误!＝错误!＝错误!，所以C＝错误!，故选Ｂ．]３．（２0１9·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A—b sin B＝４c sin C，cos A＝—错误!，则错误!＝（）Ａ．6 Ｂ．５C．４Ｄ．３A[∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A—b sin B＝４c sin C，cos A＝—错误!，∴错误!解得３c２＝错误!bc，∴错误!＝6．故选Ａ．]４．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,２b＝错误!a，则cos A＝________.错误![由B＝C,２b＝错误!a，可得b＝c＝错误!a，所以cos A＝错误!＝错误!＝错误!.]５．在△ABC中，A＋C＝２B，a＋c＝8，ac＝１５，求b.[解] 在△ABC中，∵A＋C＝２B，A＋B＋C＝１80°，∴B＝60°.由余弦定理，得b２＝a２＋c２—２ac cos B＝（a＋c）２—２ac—２ac cos B＝8２—２×１５—２×１５×错误!＝１9．∴b＝错误!.。
苏教版高中数学必修五学案余弦定理
[课题] 1.1.1余弦定理(1)[知识摘记]1．余弦定理：(1)A cos bc 2c b a 222⋅-+=，2b = ，2c =(2) 变形：bc2a c b A cos 222-+=，cos B = ，cos C = 2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．[例题解析]例1.在ABC ∆中，（1）已知3b =，1c =，060A =，求a ；（2）已知4a =，5b =，6=c ，求cos A ．例2. ,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测得182,CA m =126,CB m = 063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）．例3．用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．练习：在ABC ∆中，已知222c ab b a =++，试求C 的大小．[课外作业]1．在△ABC 中，若bc c b a ++=222，则∠A=2．三角形三边的比为4:3:2，则三角形的形状为3．在△ABC 中，31cos =A ，3=a ，则bc 的最大值为 4．在△ABC 的三内角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，当ac b c a +≥+222时，角B 的取值范围为5．ABC ∆中，若（6:5:4)(:)(:)=+++b a a c c b ，则ABC ∆的最小内角为（精确到10）6．在ABC ∆中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则B 的余弦值为 。
7．△ABC 中，BC=10，周长为25，则cosA 的最小值是 。
8．在△ABC 中，已知A B C >>，且C A 2=，b=4，a +c =8,求a ，c 的长。
9．如图：在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD=10，AB=14，∠BDA=060，∠BCD=0135，求BC 的长。
苏教版高三数学必修五《余弦定理》教案及教学反思
#苏教版高三数学必修五《余弦定理》教案及教学反思##引言高中数学教育是学生数学思维和能力的重要基础。
而教学过程的品质对学生的学习结果影响重大。
本教学反思主要讨论苏教版高三数学必修五《余弦定理》的教学案例以及反思。
##教学目标1.知道余弦定理的基本形式。
2.掌握余弦定理的应用。
3.掌握斜三角形的三角函数计算。
##教学资源1.课程教材：苏教版高三数学必修五。
2.教学媒体：教师机、投影仪等。
3.学习工具：学生课本、笔记本等。
##教学过程###引入在讲解余弦定理之前，首先让学生自己找规律，相信大家都会欣赏这种探索的方式。
引导学生发现的过程就是下面这个问题：假设在一个直角三角形中，斜边的长度为10，斜边上一点到直角边的距离是6。
现在让你求出斜边上另一个点到直角边的距离。
这个问题一出来，很多同学可能不知道怎么做，或者说觉得这个问题根本没有办法解决。
这时教师可以引导学生分析，将问题分解成多个子问题，经过不断的思维，最终得出答案。
###主体余弦定理的公式是很简单的：$c^2=a^2+b^2-2ab\\cos C$。
然而，在讲解公式时，我们经常可以发现学生的 confusion和疑惑。
这时就可以采用借助图形的方式来帮助学生理解。
例如，让同学绘制出图1-1：图1-1A/|\\b / | \\/ | \\B------- Ca c然后，提出假设题目为：“在一个斜边长度为c=10、夹角为 $C=120^\\circ$ 的三角形中，若分别以a,b表示另外两个边长，则 $\\cos C=$ ？”，然后按照如下步骤引导学生思考：•如何求a和b；•带入公式求 $\\cos C$。
这种联系结合了以图形帮助学生理解公式的方法、以问题引导学生思维的方法，最终能够让学生更详细地理解余弦定理的应用。
###总结在教学过程中，我们通过组织学生自己探索规律的方式引出问题，在图形化的帮助下让学生更加深入地理解了余弦定理。
此外，在教材中补充其他的实例，不断强化和巩固学生对余弦定理公式的记忆和应用。
高中数学苏教版必修5教案正弦定理、余弦定理的应用
正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤．教学过程一．问题情境1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：；．（2）正弦定理的变形：①；②；③．（3）余弦定理：．二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角.（2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了.（4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案.四．数学运用1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）.解：在中，，，则.又，由正弦定理，得.在中，，，则.又，由正弦定理，得.在中，由余弦定理，得，所以答两点之间的距离约为.本例中看成或的一边，为此需求出，或，，所以可考察和，根据已知条件和正弦定理来求，，再由余弦定理求.引申：如果，两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量，两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，，又，.由余弦定理，得，即.化简，得，解得（负值舍去）.由正弦定理，得，所以，方位角为.答舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从到与渔轮从到的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出和；再根据正弦定理求出.例3．如图，某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.解：设，船的速度为，则，.在中，，.在中，，.在中，，，，船的速度.2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业：书上P21页习题1.3 第2，3，4题.普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。
高中数学苏教版必修五《余弦定理》课件
B=180°－（A+C）=180°－（41°＋33°）＝106°
例4，在⊿ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三 角形（角度精确到1′）。
解：由余弦定理的推论得：
cos A b2 c2 a2 87.82 161.72 134.62 0.5543,
2bc
cosC=
2ab
由a2=b2+c2－2bccosA可得
A
A
b b
cc
C
B
（1）若A为直角，则a²=b²+c² a
（2）若A为锐角，则a²<b²+c²
（3）若A为钝角，则a²>b²+c²
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角； （2）已知三边，求三个角。
A B
B
B
B
已知∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.
解: 过A作BC边上的高AD,则
A
AD=4sin600,CD=4cos600,
BD=3－4cos600,
∴ AB2=AD2+BD2=(4sin600)2+(3－4 cos600)2
=42+32－2×3×4cos600
∴ AB= 13
料想：AB²=AC²+BC²－2AC×BC×cosC 对任意三角形是否成立？
1.1.2
余弦定理
苏教版 高中数学
在 ABC中，已知b＝20，A＝60°，
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 ，求B;
（2） b＝20，A＝60°，a＝15，求B. C
摸索： 当b＝20，A＝60°，a＝？时， b
苏教版高中数学必修五课件正、余弦定理应用3
2.如图，在海滨某城市附近海面有一 台风，据检测，台风中心位于城市A 的东偏南60°方向，据城市300km的 海面P处，并以20km/h的速度向北偏 西45°方向移动。如果台风侵袭的范 围为圆形区域，半径为120km，几小 时后该城市开始受到台风的侵袭(精 确到0.1h)？
A 60
Q
45
P
解：如图所示，设台风的中心x小时到达位置Q
C
B
D
在△BCD中，由正弦定理，得
BC
sin(
)
sin(180
a
)即BCa sin( ) sin(
)
在△ACD中，∠A=180°－(α+β+θ)，由
正弦定理，得
A
B
AC
a sin
sin(180 )
实际问题的解
数学模型的解 还原说明
用所学的知识解决下列几个问题： 角度问题
1.某鱼船在航行中不幸遇险，发出求救信号， 我海军舰艇在Ａ处获悉后，立即测出该鱼船
在北偏东450，距离Ａ为10海里的Ｃ处，并测 得鱼船正沿东偏南150,以９海里／时的速度向
某小岛Ｂ靠拢，我军舰艇立即以21海里／时 的速度前去营救试问舰艇应沿什么方向，用 多少时间能尽快赶上鱼船？
A
B
C
（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P 的距离，并求x的值； （2）求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果 精确到0.01km)。
解：（1）依题意知 PA－PB=1.5×8=12(km)，
PC－PB=1.5×20=30(km)，
因此 PB=(x－12) (km)，PC=(18+x) (km)，
苏教版必修5第一学生版教案第6课时余弦定理3
莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
听课随笔第3课时【学习导航】知识网络⎩⎨⎧判断三角形的形状平面几何中的某些问题余弦定理 学习要求1．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3．进一步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)_______________________，_______________________，_______________________. (2) 变形：____________________，_____________________，_____________________ .2．判断三角形的形状一般都有______或_________两种思路.【精典范例】【例1】在∆ABC 中，求证：（1）;sin sin sin 222222CBA c b a +=+ （2）)cos cos cos (2222C abB ca A cb c b a ++=++ 【解】【例2】在ABC ∆中，已知acosA = bcosB 用两种方法判断该三角形的形状. 分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。
【解】方法1o方法2o点评: 判断三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。
【例3】在四边形ABCD 中，∠ADB=∠BCD=75︒，∠ACB=∠BDC=45︒，DC=3，求： （1） AB 的长（2） 四边形ABCD 的面积 【解】莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
听课随笔追踪训练一1. 在△ABC中，090C∠=，00450<<A，则下列各式中正确的是（）A.AA cossin> B.AB cossin>C.BA cossin> D.BB cossin>2.在△ABC中，若1coscoscos222=++CBA,则△ABC的形状是______________3.如图，已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＡＤ＝ＣＤ＝４，如何求出四边形ＡＢＣＤ的面积？【选修延伸】【例4】如图：在四边形ABCD中，∠B=∠D=750，∠C=060，AB=3，AD=4，求对角线AC的长。
数学苏教版必修5 正弦定理、余弦定理应用 第3课时
正弦定理、余弦定理应用第三课时●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。
除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。
课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。
●教学重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。
●教学难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。
课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。
●教学过程:学生探究过程：[创设情境]提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。
然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。
[范例讲解]例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC 边所对的角∠ABC ，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB 。
第6课时(苏教版必修5)《余弦定理》(3)》(教师版).doc
余弦定理 '平面几何中的某些问题 判断三角形的形状学习要求1. 余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标;2. 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3. 进一步运用余弦定理解斜三角形.【课堂互动】自学评价1.余弦定理：(1) a 2 =b 2 + c 2 - 2bc - cos A , b 2 =a 2 + c 2 - lac - cosB ,c 2 = a 2 + b 2 -2ab • cosC. 2 2 2 2 2 2 zfeinz b + c —a a + c —b (2)及形:cos A = ---------------------- ，cos B = ------------------- 2bc 2ac，cosC=a2+b2~c22ab 2.判断该二角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.【精典范例】 【例1］在△ ABC 中，求证：⑴ a 2 +b 2 sin 2 A + sin 2 B2C sin 2 C(2) tz 2 + Z?2 + c 2 = 2(cb cos A + ca cos B + ab cosC) 分析：【解】(1)根据正弦定理，可设 亠二止二亠二ksin A sin B sin C显然k^O,所以左边 f ^s^A + es^Bc^2sin 2C第6课时余弦定理（3）【学习导航】知识网络sin 2 C (2)根据余弦定理的推论，s 仏 b 2+c 2-a 2 c 2+a 2-b 2 K a 2+b 2-c 2 x . 2j _ 2右边二2 (be ----------------- +ca------------------- +ab ------------------- ) = (b 2 +c - 2bc lea laba2 ) + (c2 +a2 -b2 ) + (a2 +b2 -c2 )或“走角”两条路。
',ZACB=ZBDC=45 ° , DC=V^,求: 长 形ABCD 的面积 (1)A AB 的B A (2) 四边V c:a? +『+c?二左边 【例2】在AABC 中，已知acosA = bcosB 用两种方法判断该三角形的形状. 分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为诵”或“化角为边”。
苏教版高中数学必修5《余弦定理》教学教案1
1.2 余弦定理【三维目标】：一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；2.能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、过程与方法利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
三、情感、态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重点与难点】：重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：向量方法证明余弦定理。
【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.正弦定理的内容？2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？二、研探新知1．余弦定理的向量证明：c a b A B C 方法1：如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b 。
∵−→−AC +=−→−AB −→−BC ，∴⋅−→−AC −→−AC +=−→−AB (⋅−→−)BC +−→−AB ()−→−BC −→−=AB2⋅+−→−AB 2+−→−BC −→−BC 2−→−=AB 2⋅+−→−||2AB )180cos(||0B BC -−→−+−→−BC 222cos 2a B ac c +-=， 即：B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=；C ab b a c cos 2222-+=。
方法2：建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b 。
高中数学 《余弦定理》教案3 苏教版必修5
余弦定理教学目标：了解向量知识应用，掌握余弦定理推导过程，会利用余弦定理证明简单三角形问题，会利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：余弦定理证明及应用.教学难点：1.向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；2.余弦定理在解三角形时的应用思路.教学过程：Ⅰ.课题导入上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形两角一边和两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于两边夹角求第三边问题未能解决，如图(1)在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b，c，A来表示a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理用CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB—AD转化为AD，进而在Rt△ADC内求解.解：过C作CD⊥AB，垂足为D，那么在Rt△CDB中，根据勾股定理可得：a2＝CD2＋BD2∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD又∵在Rt△ADC中，AD＝b·cos A∴a2＝b2＋c2－2bc cos A类似地可以证明b2＝a2＋c2－2ac cos Bc2＝a2＋b2－2ab cos C另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时a2＝b2＋c2也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理，Ⅱ.讲授新课1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .形式二：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 在余弦定理中，令C ＝90°，这时，cos C ＝0，所以c 2＝a 2＋b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.(1)证明思路分析由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现，那么可以与哪些向量知识产生联系呢? 向量数量积的定义式：a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ，其中θ为a 、b 的夹角.在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处，但又有所区别，首先因为无须进行正、余弦形式的转换，也就省去添加辅助向量的麻烦.当然，在各边所在向量的联系上依然通过向量加法的三角形法那么，而在数量积的构造上那么以两向量夹角为引导，比如证明形式中含有角C ，那么构造CB →·CA →这一数量积以使出现cos C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程：如图，在△ABC 中，设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量加法的三角形法那么可得AC →＝AB →＋BC →，∴AC →·AC →＝(AB →＋BC →)·(AB →＋BC →)＝AB →2＋2AB →·BC →＋BC →2＝｜AB →｜2＋2｜AB →｜｜BC →｜cos(180°－B )＋｜BC →｜2＝c 2－2ac cos B ＋a 2即b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B由向量减法的三角形法那么可得：BC →＝AC →－AB →∴BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜AB →｜cos A ＋｜AB →｜2＝b 2－2bc cos A ＋c 2即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A由向量加法的三角形法那么可得AB →＝AC →＋CB →＝AC →－BC →∴AB →·AB →＝(AC →－BC →)·(AC →－BC →)＝AC →2－2AC →·BC →＋BC →2＝｜AC →｜2－2｜AC →｜｜BC →｜cos C ＋｜BC →｜2＝b 2－2ba cos C ＋a 2.即c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C评述：(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法那么.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定，AC →与AB →属于同起点向量，那么夹角为A ；AB →与BC →是首尾相接，那么夹角为角B 的补角180°－B ；AC →与BC →是同终点，那么夹角仍是角C .在证明了余弦定理之后，我们来进一步学习余弦定理的应用.利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)三边，求三个角.这类问题由于三边确定，故三角也确定，解唯一；(2)两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结.［例1］在△ABC 中，a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C.(精确到1°)分析：此题属于三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式二.解：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝102＋62－722×10×6＝0.725，∴A ≈44° ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋102－622×7×10 ＝113140＝0.8071，∴C ≈36° ∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(44°＋36°)＝100°.评述：(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理，即三角形内角和为180°，可用余弦定理求出两角，第三角用三角形内角和定理求出.(2)对于较复杂运算，可以利用计算器运算.［例2］在△ABC 中，a ＝2.730，b ＝3.696，C ＝82°28′，解这个三角形(边长保留四个有效数字，角度精确到1′).分析：此题属于两边夹角解三角形的类型，可通过余弦定理形式一先求出第三边.在第三边求出后其余边角求解有两种思路：一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角，二是利用两边和一边对角结合正弦定理求解，但假设用正弦定理需对两种结果进行判断取舍，而在0°～180°之间，余弦有唯一解，故用余弦定理较好.解：由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 22－2×××cos82°28′得c ＝4.297.∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋2－22××＝0.7767，∴A ＝39°2′ ∴B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(39°2′＋82°28′)＝58°30′.评述：通过例2，我们可以体会在解斜三角形时，如果正弦定理与余弦定理均可选用，那么求边两个定理均可，求角那么余弦定理可免去判断取舍的麻烦.［例3］△ABC 中，a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求c 及S △ABC .分析：根据条件可以先由正弦定理求出角A ，再结合三角形内角和定理求出角C ，再利用正弦定理求出边c ，而三角形面积由公式S △ABC ＝12ac sin B 可以求出. 假设用余弦定理求c ，表面上缺少C ，但可利用余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B 建立关于c 的方程，亦能达到求c 的目的.下面给出两种解法.解法一：由正弦定理得8sin A ＝7sin600 ∴A 1°，A 2°∴C 1°，C 2°，由7sin600 ＝c sin C ，得c 1＝3，c 2＝5 ∴S △ABC ＝12 ac 1sin B ＝6 3 或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝10 3 解法二：由余弦定理得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B∴72＝c 2＋82－2×8×c cos60°整理得：c 2－8c ＋15＝0解之得：c 1＝3，c 2＝5，∴S △ABC ＝12 ac 1sin B ＝6 3 ，或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝10 3 . 评述：在解法一的思路里，应注意由正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，表达出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决.故解法二应引起学生的注意.综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用X 围：三边求任意角或两边夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法.为巩固本节所学的余弦定理及其应用，我们来进行下面的课堂练习.Ⅲ.课堂练习△ABC 中：(1)b ＝8，c ＝3，A ＝60°，求a ；(2)a ＝20，b ＝29，c ＝21，求B ；(3)a ＝3 3 ，c ＝2，B ＝150°，求b ；(4)a ＝2，b ＝ 2 ，c ＝ 3 ＋1，求A .解：(1)由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a 2＝82＋32－2×8×3cos60°＝49，∴a ＝7.(2)由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca得 cos B ＝202＋212－2922×20×21＝0，∴B ＝90°. (3)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 b 2＝(3 3 )2＋22－2×3 3 ×2cos150°＝49，∴b ＝7.(4)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝〔 2 〕2＋〔 3 ＋1〕2－222 2 〔3 ＋1〕＝ 2 2 ，∴A ＝45°. 评述：此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式，要求学生注意运算的准确性及解题效率.2.根据以下条件解三角形(角度精确到1°)(1)a ＝31，b ＝42，c ＝27；(2)a ＝9，b ＝10，c ＝15. 解：(1)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝422＋272－3122×42×27 ≈0.6691，∴A ≈48° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca≈0.0523，∴B ≈93° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(48°＋93°)≈39°(2)由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc得 cos A ＝102＋152－922×10×15 ＝0.8090，∴A ≈36° 由cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca得 cos B ＝92＋152－1022×9×15＝0.7660，∴B ≈40° ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(36°＋40°)≈104°评述：此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外，还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时，增强解斜三角形的能力.Ⅳ.课时小结通过本节学习，我们一起研究了余弦定理的证明方法，同时又进一步了解了向量的工具性作用，并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题：三边求任意角；两边一夹角解三角形.Ⅴ.课后作业课本习题P 16 1，2，3，4.解斜三角形题型分析正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是的(其中至少有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解.关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型：(1)两角及其中一个角的对边，如A 、B 、a 解△ABC .解：①根据A ＋B ＋C ＝π，求出角C ；②根据a sin A ＝b sin B 及a sin A ＝csin C ，求b 、c ； 如果的是两角和它们的夹边，如A 、B 、c ，那么先求出第三角C ，然后按照②来求解.求解过程中尽可能应用元素.(2)两边和它们的夹角，如a 、b 、C ，解△ABC .解：①根据c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，求出边c ；②根据cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，求出角A ； ③从B ＝180°－A －C ，求出角B .求出第三边c 后，往往为了计算上的方便，应用正弦定理求角，但为了避免讨论角是钝角还是锐角，应先求a 、b 较小边所对的角(它一定是锐角)，当然也可用余弦定理求解.(3)三边a 、b 、c ，解△ABC .解：一般应用余弦定理求出两角后，再由A ＋B ＋C ＝180°，求出第三个角.另外，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后，可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然需注意要先求较小边所对的锐角.(4)两边及其中一条边所对的角，如a 、b 、A ，解△ABC .解：①根据a sin A ＝b sin B，经过讨论求出B ； ②求出B 后，由A ＋B ＋C ＝180°求角C ；③再根据a sin A ＝c sin C，求出边c . 另外，如果三角，那么满足条件的三角形可以作出无穷多个，故此类问题解不唯一. ［例1］在△ABC 中，a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，求角C .解：由余弦定理得 (7 )2＝12＋c 2－2c cos60°，∴c 2－c －6＝0，解得c 1＝3，c 2＝－2(舍去).∴c ＝3.评述：此题应用余弦定理比正弦定理好.［例2］在△ABC 中，A ＞B ＞C 且A ＝2C ，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，又2b ＝a ＋c 成等差数列，且b ＝4，求a 、c 的长.解：由a sin A ＝csin C 且A ＝2C 得 a 2sin C cos C ＝c sin C ，cos C ＝a 2c又∵2b ＝a ＋c 且b ＝4，∴a ＋c ＝2b ＝8，①∴cos C ＝a 2＋42－c 28a ＝a ＋2－c a ＝5a －3c 4a ＝a 2c. ∴2a ＝3c ②由①②解得a ＝245，c ＝165. ［例3］在△ABC 中，a ＝2，b ＝ 2 ，A ＝45°，解此三角形.解：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A得22＝( 2 )2＋c 2－2 2 c cos45°，c 2－2c －2＝0解得c ＝1＋ 3 或c ＝1－ 3 (舍去) ∴c ＝1＋ 3 ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋〔1＋ 3 〕2－〔 2 〕22×2×〔1＋ 3 〕＝ 3 2 . ∴B ＝30°C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°.［例4］在△ABC 中，：c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C .解：∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，∴［c 2－(a 2＋b 2)］2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60°.。
苏教版高中数学必修五余弦定理学案(3)
§1.2 余弦定理(2)一、学习目标：1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；3. 通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性。
二、学法指导1.斜三角形有四种可解类型：已知两角一边和两边及一边的对角时，用正弦定理；已知两边夹角和已知三边时，用余弦定理；2.判定三角形的形状时，一般有两种思路：一是通过三角形的三边关系；二是考虑三角形的内角关系，有时可以将边角巧妙结合，同时考虑；3.注意正、余弦定理得联合运用与变形运用，与三角形有关问题常用正、余弦定理进行边角互化。
三、课前预习（1）：正弦定理：正弦定理的变形：（2）余弦定理222____________________________________________________________________________________a b c ===（3）余弦定理的推论：cos ____________________________cos ____________________________cos ____________________________A B C ===（4）三角形面积公式：______________________________________ABC S ===V四、课堂探究题型4三角形形状的判断【例4】 在△ABC 中，若b2sin2C ＋c2sin2B ＝2bccosBcosC ，试判断三角形的形状．【例5】 在△ABC 中，(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)＝3bc ，且sinA ＝2sinBcosC ，试确定△ABC 的形状．规律归纳判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．【例6】在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状【例7】在ABC ∆中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=-五、巩固训练1．在ABC ∆中，7:5:3sin :sin :sin =C B A ，那么这个三角形的最大角是_____2．在ABC ∆中，设=−→−CB a r ,=−→−AC b r ，且|a r |2=,|b r |3=,a r •b r 3-=，则_____=AB3．在△ABC 中，若,1cos cos cos 222=++C B A 则△ABC 的形状是______________。
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第6课时 余弦定理（3）
分层训练
1．1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α、β的关系为（ ） A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180°
2.如图，为了测量障碍物两测A 、B 间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( ) A.α、A 、B B.α、β、A C.A 、B 、γ D.α、β、B
3.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( ) A.103海里 B.
3
6
10海里 C. 52海里 D.56海里 4.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西， 另一灯塔在船的南75°西，则这只船的速度是每小时( )
A.5海里
B.53海里
C.10海里
D.103海里 5．.某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里/小时的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是
6．我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 nmile/h 7．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为_________________
8．设21,e e 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上两个单位向量，且
,2421e e -=,4721e e +=2
163e e +=，则四边形ABCD 的面积是___________
拓展延伸
9．在△ＡＢＣ中，已知２ａ＝ｂ＋ｃ，ｓｉｎ
２Ａ＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ，试判断△ＡＢＣ的形状．
10．在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南
)10
2
arccos
(=θθ方向300 km 的海面P 处，并以20 km / h 的速度向西偏北
45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。