概率论与数理统计期末复习资料

《概率统计》、《概率论与数理统计》、《随机数学》课程期末复习资料注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。

1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。

5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。

6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。

7、掌握指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。

9、会求分布中的待定参数。

10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。

11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。

12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。

14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。

会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。

15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念。

会用独立正态随机变量线性组合性质解题。

17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。

18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。

19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。

20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。

21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。

会求双正态总体均值与方差的置信区间。

23、明确假设检验的基本步骤，会U检验法、t检验、2χ检验法、F检验法解题。

24、掌握正态总体均值与方差的检验法。

概率论部分必须要掌握的内容以及题型1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。

2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。

3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。

4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。

分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。

5．会用中心极限定理解题。

6．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。

数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断。

2．计算样本均值与样本方差及样本矩。

3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。

4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计。

5．掌握无偏性与有效性的判断方法。

6．会求正态总体均值与方差的置信区间。

7．理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。

概率论部分必须要掌握的内容以及题型1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。

古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a 个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m (m ≤a +ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m 次取出的球是白球的概率;例2：袋中有a 个白球，ｂ个黑球，c 个红球，从中任意取出ｍ(m ≤a +ｂ)个球，求取出的m 个球中有k 1(≤a ) 个白球、k 2(≤b ) 个黑球、k 3(≤c ) 个红球(k 1＋k 2＋k 3=m )的概率. 占位模型例：n 个质点在N 个格子中的分布问题.设有n 个不同质点，每个质点都以概率1/N 落入N 个格子(N ≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：(1) A ={指定n 个格子中各有一个质点}；(2) B ={任意n 个格子中各有一个质点}； (3) C ={指定的一个格子中恰有m (m ≤n )个质点}. 抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。

如对于事件A ，B ，A 或B ，已知P (A )，P (B )，P (AB )，P (A Y B )，P (A |B )，P (B |A )以及换为A 或B 之中的几个，求另外几个。

例1：事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.5，P (B )=0.6，求：P (AB )，P (A －B )，P (A Y B ) 例2：若P (A )=0.4，P (B )=0.7，P (AB )=0.3，求： P (A －B )，P (A Y B )，)|(B A P ，)|(B A P ，)|(B A P 3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。

若已知导致事件A 发生(或者是能与事件A 同时发生)的几个互斥的事件B i ，i =1,2,…,n ,…的概率P (B i ) ，以及B i 发生的条件下事件A 发生的条件概率P (A |B i )，求事件A 发生的概率P (A )以及A 发生的条件下事件B i 发生的条件概率P (B i | A )。

例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。

假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。

试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。

4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。

分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。

(1)已知一维离散型随机变量X 的分布律P (X =x i )=p i ，i =1,2,…,n ,… 确定参数求概率P (a <X <b ) 求分布函数F (x )求期望E (X )，方差D (X )求函数Y =g (X )的分布律及期望E [g (X )]例：随机变量X 的分布律为.X 1 2 3 4 pk 2k 3k 4k确定参数k求概率P (0<X <3)，}31{<<X P 求分布函数F (x )求期望E (X )，方差D (X )求函数2)3(-=X Y 的分布律及期望2)3(-X E(2)已知一维连续型随机变量X 的密度函数f (x ) 确定参数求概率P (a <X <b ) 求分布函数F (x )求期望E (X )，方差D (X )求函数Y =g (X )的密度函数及期望E [g (X )]例：已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他0202x kx x f ，确定参数k求概率}31{<<X P 求分布函数F (x )求期望E (X )，方差D (X )求函数X Y =的密度及期望)(X E (3)已知二维离散型随机变量(X ，Y )的联合分布律P (X =x i ，Y =y j )=p ij ，i =1,2,…,m ,…；j =1,2,…,n ,… 确定参数求概率P {(X ,Y )G }求边缘分布律P (X =x i )=p i.，i =1,2,…,m ,…；P (Y =y j )=p .j ， j =1,2,…,n ,… 求条件分布律P (X =x i |Y =y j )，i =1,2,…,m ,…和P (Y =y j |X =x i )， j =1,2,…,n ,… 求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关 求函数Z =g (X , Y )的分布律及期望E [g (X , Y )] 例YX0 1 2 30 0.05 0.1 0.15 0.2 1 0.03 0.05 0.05 0.07 20.020.050.10.13求概率P (X 求边缘分布律P (X =k ) k =0,1,2 和P (Y =k ) k =0,1,2,3求条件分布律P (X =k |Y =2) k =0,1,2和P (Y =k |X =1) k =0,1,2,3 求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关 求Z =X +Y ，W =max{X ，Y }，V =min{X ，Y }的分布律(4)已知二维连续型随机变量X 的联合密度函数f (x , y ) 确定参数求概率P {(X ,Y )G }求边缘密度)(x f X ，)(y f Y ，判断Y X ,是否相互独立 求条件密度)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关 求函数Z =g (X , Y )的密度函数及期望E [g (X , Y )]例：已知二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,01,),(22y x y cx y x f ，确定常数c 的值； 求概率P (X <Y )求边缘密度)(x f X ，)(y f Y ，判断Y X ,是否相互独立 求条件密度)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y求期望E (X )，E (Y )，方差D (X )，D (Y )求协方差 cov(X ,Y )，相关系数XY ρ，判断是否不相关 5．会用中心极限定理解题。

例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为25.1，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率．例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。

6．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数λ)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。

数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断。

对于来自总体X 的样本n X X X ,,,21Λ，由样本构成的各种函数是否是统计量。