二元一次方程组的应用(1)
(完整版)二元一次方程组的运用1(行程问题)
例5、已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过， 测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车 完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度。
等量关系1：火车完全过桥路程＝桥的长度+火车的长度 等量关系2：火车在桥=120 整理，得 X+y=120
3(x-y)=120
x-y=40
解得
x=80 y=40
答：巡逻车的速度是80千米/时，犯 罪团伙的车的速度是40千米/时．
例5、已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过， 测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车 完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度。
等量关系1： 快车行的路程+慢车行的
客车路程
路程＝两列火车的车长和
货车路程
例6：客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长450米，货车 长600米，如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21
秒钟；如果客车从后面追赶货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车 车尾离开货车车头共需1分45秒，求两车的速度。
作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两
辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油
站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻
车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车
和犯罪团伙的车的速度各是多少？
解：设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，
货车路程
客车路程
等量关系1：快车行的路程+慢车行的路程＝两列火车的车长和
等量关系2：快车行的路程-慢车行的路程＝两列火车的车长和
二元一次方程组的应用(1)--行程问题
第二次甲一共走了 千米，乙一共 走了 千米，他们走的路程与总路程 之间的关系是 。
巩固练习2
1 、某站有甲、乙两辆汽车， 若甲车先出发1ｈ后乙车出发， 则乙车出发后5ｈ追上甲车； 若甲车先开出20ｋｍ后乙车出 发，则乙车出发4ｈ后追上甲 车．求两车速度．
（1）
解：设甲车每小时走x千米，乙车每小时走y 千米 X千米 5x千米
5、某部队执行任务，以8千 米/时的速度前进，通讯员 在队尾接到命令后把命令 传给排头，然后立即返回 排尾，通讯员来回的速度 均为12千米/小时，共用 14.4分钟，求队伍的长是 多少？
练习题 1、甲、乙两人相距36千米， 相向而行，如果甲比乙先走2 小时，那么他们在乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先 走2小时，那么他们在甲出发 3小时后相遇，甲、乙两人每 小时各走多少千米？
2、甲乙两人练习赛跑如 果甲让乙先跑10m，甲 跑5s就能追上乙，如果 乙先跑2s，那么甲跑4s 就能追上乙，求两人每 秒各跑多少米。
自学指导：
1、题中的已知量有__________ ，未知量有___________。 2、顺流船的航速：______________________________, 逆流船的航速：______________________________。 3、本题中的等量关系有哪些？
巩固练习1
1、A市至B市的航线长1200千米，一架飞机 从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风 飞往A市需3小时20分，求飞机的速度与风速。
甲先行2时走的路程 甲
相 遇
乙出发后甲、乙2.5时共走路程 乙
设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米 1、第一次甲一共走了 千米，乙一共走了 千米,他们走的路程与总路程之间的关系 是 ；
二元一次方程组的应用(1)
由于学校活动场地有限，为了给同学 们更大的活动空间，学校决定：每 周日下午，学校大会议室对学生开 放放电影，双周周日(不放假)每张票 3元，单周周日(放假)每张票5元，支 持团购。我们班69人都只去看了一 次电影，有人单周看的有人双周看 的，买票共用去255元，问有多少人 是单周看的，多少人是双周看的？ 两个等量关系 双周票数+单周票数=69 双周票数+单周票数=69
x + 3 y = 36 8 x + 6 y = 108
解这个方程组得
x = 6 y = 10
个夜叉， 个哪吒 个哪吒。 答：有6个夜叉，10个哪吒。 个夜叉
小琴去县城，要经过外祖母家，头一天下午从她家走到外祖母家里， 小琴去县城，要经过外祖母家，头一天下午从她家走到外祖母家里， 第二天上午从外祖母家出发匀速前进去县城，走了2小时 小时后 小时、 小时后， 第二天上午从外祖母家出发匀速前进去县城，走了 小时、5小时后， 离她自己家分别为13千米 千米、 千米 你能算出她的速度呢？ 千米， 离她自己家分别为 千米、25千米，你能算出她的速度呢？还能算 出她家与外祖母相距多远吗？ 出她家与外祖母相距多远吗？
两个等量关系： 两个等量关系： 1·老头 老头+ 1·老头+1=梨
民 谣 中 的 数 学 题
2·老头 老头 2·老头-2=梨
解：设有 x 个老头， y 个梨，根据题意，得
民 谣 中 的 数 学 题
x +1 = y 2 x − 2 = y
x = 3 解这个方程组，得 y = 4
哪 吒 斗 夜 叉
神话故事《哪吒闹海》众所周知。 神话故事《哪吒闹海》众所周知。另外还有描写哪吒 斗夜叉的场面：哪吒和夜叉真个是各显神通，分身有术。 斗夜叉的场面：哪吒和夜叉真个是各显神通，分身有术。 直杀得走石飞沙天昏地暗，只见： 八臂一头是夜叉， 直杀得走石飞沙天昏地暗，只见：“八臂一头是夜叉，三 头六臂是哪吒。双方争强来斗胜，兵器交加互残杀。 头六臂是哪吒。双方争强来斗胜，兵器交加互残杀。三十 六头难分辨，手臂缠绕百零八。试向看官问一句， 六头难分辨，手臂缠绕百零八。试向看官问一句，几个夜 叉几哪吒？ 叉几哪吒？” 设有x个夜叉， 个哪吒 根据题意， 个哪吒， 解:设有 个夜叉，y个哪吒，根据题意，得 设有
专题05 二元一次方程(组)的应用(知识点串讲)(解析版)
专题05 二元一次方程（组）的应用知识网络重难突破一. 二元一次方程的应用利用二元一次方程求方案数的一般方法：挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程，然后根据未知数的实际意义求其整数解，整数解的个数即为方案数.典例1．（2018春•召陵区期末）“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用100元在唯品会购买价格分别为8元和12元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（）A．4种B．5种C．6种D．7种【答案】A【解析】解：设购买8元的商品数量为x，购买12元的商品数量为y，依题意得：8x+12y＝100，整理，得y．因为x是正整数，所以当x＝2时，y＝7．当x＝5时，y＝5．当x＝8时，y＝3．当x＝11时，y＝1．即有4种购买方案．故选：A．典例2．（2018春•江油市期末）甲、乙两个公共汽车站相向发车，一人在街上行走，他发现每隔8分钟就迎面开来一辆公交车，每隔24分种从背后开来一辆公交车，如果车站发车的间隔时间相同，各车的速度相同，那两车站发车的间隔时间为（）A．18分钟B．10分钟C．12分钟D．16分钟【答案】C【解析】解：设公交车的速度为x米/分钟，人步行速度为y米/分钟，根据题意得：8x+8y＝24x﹣24y，解得：x＝2y，∴12．故选：C．二. 二元一次方程组的应用1．常见的利用二元一次方程组解决实际问题的类型有：配套问题、分配问题、行程问题、销售问题、数字问题、几何问题、梯度收费问题、方案问题等．2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．典例1．（2018春•思南县期末）某校举行研学旅行活动，车上准备了7箱矿泉水，每箱的瓶数相同，到达目的地后，先从车上搬下3箱，发给每位同学1瓶矿泉水，有9位同学未领到．接着又从车上搬下4箱，继续分发，最后每位同学都有2瓶矿泉水，还剩下6瓶．问：有多少人参加此次研学旅行活动？每箱矿泉水有多少瓶？【答案】见解析【解析】解：设有x人参加此次研学旅行活动，每箱矿泉水有y瓶，根据题意得：，解得：．答：有81人参加此次研学旅行活动，每箱矿泉水有24瓶．典例2．某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量）商品价格 A B进价（元/件）1200 1000售价（元/件）1350 1200（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？（2）商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于54000元，则B种商品是打几折销售的？【答案】见解析【解析】解：（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件．根据题意得：，解得：．答：商场第1次购进A商品200件，B商品150件．（2）设B商品打m折出售．根据题意得：200×（1350﹣1200）+150×2×（12001000）＝54000，解得：m＝9．答：B种商品打9折销售的．典例3．已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】见解析【解析】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，依题意列方程组得：，解方程组，得：，答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．（2）结合题意和（1）得：3a+4b＝35，∴a∵a、b都是正整数∴或或答：有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车2辆；方案二：A型车5辆，B型车5辆；方案三：A型车1辆，B型车8辆．（3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，∴方案一需租金：9×200+2×240＝2280（元）方案二需租金：5×200+5×240＝2200（元）方案三需租金：1×200+8×240＝2120（元）∵2280＞2200＞2120∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元．三. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤和列二元一次方程组解应用题的一般步骤类似，如下：①弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个(或三个)未知数；②找出能够表达应用题全部含义的相等关系；③根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；④解这个方程组，求出未知数的值；⑤写出答案．注意：一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．典例1．（2018春•无棣县期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．安全员是数学爱好者，制定加密规则为：明文x，y，z对应密文x+y+z，x﹣y+z，x ﹣y﹣z．例如：明文1，2，3对应密文6，2，﹣4．当接收方收到密文12，4，﹣6时，则解密得到的明文为______________．【答案】3，4，5【解析】解：依题意得：，解得故答案是：3，4，5．典例2．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元．（1）求x、y的值；（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？【答案】见解析【解析】解：（1）根据题意得：，解得：．（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据题意得：，（①+②）÷4，得：a+b+c＝190．答：购买甲、乙、丙服装各一件共需190元．巩固练习1．（2018春•邢台期末）某山区有一种土特产品，若加工后出售，单价可提高20%，但重量会减少10%．现有该种土特产品300千克，全部加工后可以比不加工多卖240元，设加工前单价是x元/kg，加工后的单价是y元/kg，由题意，可列出关于x，y的方程组是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由题意可得，，故选：D．2．（2018春•孝昌县期末）为推进课改，王老师把班级里60名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】解：设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得：5x+6y＝60，y，当x＝0，y＝6符合题意，当x＝1，则y（不合题意）；当x＝2，则y；（不合题意）；当x＝3，则y（不合题意）；当x＝4，则y（不合题意）；当x＝5，则y（不合题意）；当x＝6，则y＝5当x＝7，则y（不合题意）；当x＝8，则y（不合题意）；当x＝9，则y（不合题意）；当x＝10，则y（不合题意）；当x＝11，则y（不合题意）；当x＝12，则y＝0故有3种分组方案．故选：B．3．（2018春•泗洪县期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（）A．100元B．130元C．150元D．160元【答案】A【解析】解：设购买1件甲商品需要x元，购买1件乙商品需要y元，购买1件丙商品需要z元，根据题意得：，（①+②）÷4，得：x+y+z＝100．故选：A．4．（2018春•丰台区期末）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为_________．【答案】【解析】解：根据题意得：；故答案为：．【点睛】本题是二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．5．（2018春•卫辉市期末）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形．如图（1）所示，小红看见了，说“我来试一试”，结果小红七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形，可中间还留下一个边长为6cm的小正方形．请你求出这些小长方形长和宽．【答案】见解析【解析】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：，解得：．答：小长方形的长为30cm，宽为18cm．6．（2018春•江海区期末）列方程组解应用题：新年联欢会上，同学们组织了猜谜活动，并采取每答对一题得分，每答错一题扣分记分方法．王丽答对7道题，答错3道题共获得50分；李强答对8道题，答错1道题，共获得62分．问答对一题得多少分，答错一题扣多少分？【答案】见解析【解析】解：设答对道题得x分，答错一道题扣y分，由题意可得：，解得：．答：答对道题得8分，答错一道题扣2分．7．某加工厂有工人60名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？【答案】见解析【解析】解：设应安排x人生产螺栓，有y人生产螺母．由题意，得，解这个方程组得：，答：应安排25人生产螺栓，35人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套．8、（2017秋•安庆期末）某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批发了萝卜和白菜共40kg到菜市场去卖，萝卜和白菜这天每千克的批发价与零售价如下表所示：品名萝卜白菜批发价/元 1.6 1.2零售价/元 2.5 1.8问：他当天卖完这些萝卜和白菜共能赚多少钱？【答案】见解析【解析】解：设白菜的重量是xkg，萝卜的重量是ykg，依题意有解得：，10×（1.8﹣1.2）+30×（2.5﹣1.6）＝33（元）答：他当天卖完这些白菜和萝卜能赚33元．9．列方程（组），解应用题甲、乙两人在400米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，40秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，求甲、乙两人的速度．【答案】见解析【解析】解：设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，根据题意列方程为：，解得：，答：甲的速度分别为m/s，乙的速度分别为m/s．。
二元一次方程组的12种应用题型归纳(可编辑修改word版)
二元一次方程组的 12 种应用题型归纳类型一：行程问题【例 1】甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲的速度为 x 千米/时，乙的速度为 y 千米/时。
(2.5 + 2)x + 2.5y = 36 3x + (3 + 2)y = 36 x = 6 y = 3.6答：甲的速度为 6 千米/时，乙的速度为 3.6 千米/时。
【例 2】两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求这艘船在静水中的速度和水流速度。
解：设这艘船在静水中的速度为 x 千米/时，水流速度为 y 千米/时。
14(x + y ) = 280 20(x ‒ y ) = 280 x = 17 y = 3答：这艘船在静水中的速度为 17 千米/时，水流速度为 3 千米/时。
类型二：工程问题【例】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成，需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元。
若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由。
{解得{ {解得{{ y = { b = 解：设甲公司每周的工作效率为 x ，乙公司每周的工作效率为 y 。
x = 1 6x + 6y = 1 4x + 9y = 110 1 解得 151 1 ∴1÷10=10(周) 1÷15=15(周)∴甲公司单独完成这项工程需 10 周，乙公司单独完成这项工程需 15 周。
设甲公司每周的工钱为 a 万元，乙公司每周的工钱为 b 万元。
a = 3 6a + 6b = 5.2 4a + 9b = 4.8 5 4 解得 15此时 10a=6(万元) 15b=4(万元) 6>4答：从节约开支的角度考虑，小明家应选择乙公司。
1.3二元一次方程组的应用(第1课时)【课后作业】含答案详解
解得x=60,y=120.
答:普通公路段长为60km,高速公路段长为120km.
方法二:问题:汽车在普通公路段和高速公路段上各行驶了多少小时?
设汽车在普通公路段上行驶了xh,在高速公路段上行驶了yh.由题意可得:x+y=2.2,60x×2=100y,
解得:x=1,y=1.2.
答:汽车在普通公路段上行驶了1h,在高速公路段上行驶了1.2h.
3.【解析】选B.设甲的定价为x元,乙的定价为y元.
则0.8x+0.6y=150,0.6x+0.8y=130,解得:x=150,y=50.
4.【解析】设购买甲种电影票x张,乙种电影票y张,由题意得x+y=40,20x+15y=700,解得x=20,y=20.
即甲种电影票买了20张.
答案:20
A.x-y=22x×2.5%+y×0.5%=10 000
B.x-y=22x2.5%+y0.5%=10 000
C.x+y=10 000x×2.5%-y×0.5%=22
D.x+y=10 000x2.5%-y0.5%=22
3.已知甲、乙两种商品的进价和为100元,为促销而打折销售,若甲商品打8折,乙商品打6折,则可赚50元;若甲商品打6折,乙商品打8折,则可赚30元,则甲、乙两种商品的定价分别是( )
课时作业（五）
二元一次方程组的应用(第1课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.小颖家离学校1200米,其中有一段为上坡路,另一段为下坡路.她去学校共用了16分钟.假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时,下坡路的平均速度是5千米/时.若设小颖上坡用了x分钟,下坡用了y分钟,根据题意可列方程组为
二元一次方程组的应用
二元一次方程组的应用一、简介二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程集合。
在数学中，二元一次方程组广泛应用于解决各种实际问题。
本文将探讨二元一次方程组在实际应用中的一些例子，并说明其在解决问题中的重要性。
二、线性方程组的应用1. 计算问题：二元一次方程组常被用于计算相关问题。
例如，设想你在购买书籍和笔记本时共花费了100元，已知一本书的价格是10元，一台笔记本的价格是20元，那么用二元一次方程组可以表示为：x + y = 10010x + 20y = 100通过求解以上方程组，我们可以得到书籍和笔记本的具体数量。
2. 几何问题：二元一次方程组也可以应用于几何问题。
例如，在平面上给定两个直线的斜率和截距，我们可以用二元一次方程组表示这两条直线，并通过求解方程组确定两条直线的交点坐标。
三、应用案例分析1. 混合液体问题：假设有一瓶含有某种化学物质的溶液，溶液中物质的含量为x，另有一瓶纯净的溶液，其中物质的含量为y。
我们需要将两种溶液混合，使得混合后的溶液物质的含量为k。
根据物质守恒定律，可以得到以下方程组：x + y = kCx + Dy = E其中C、D、E为给定的常数。
通过求解该方程组，我们可以确定混合液体的比例，从而达到所需的物质含量。
2. 财务问题：考虑以下情境：张三和李四各自投资了一笔钱到同一项业务中，两人最终收益相等。
已知张三投资的金额为x，收益率为p，李四投资的金额为y，收益率为q。
我们可以列出以下方程组：x(1 + p) = y(1 + q)x + y = T其中T为总投资金额。
通过求解该方程组，我们可以确定张三和李四的具体投资金额，从而平衡他们的收益。
四、总结通过以上例子可以看出，二元一次方程组在实际问题中的应用非常广泛。
无论是计算问题、几何问题还是财务问题，二元一次方程组都能提供简洁而有效的数学解决方案。
因此，掌握二元一次方程组的求解方法对于解决实际应用问题非常重要。
总之，二元一次方程组在数学和实际问题中都具有重要的应用价值。
课时20 二元一次方程组的应用(1)专题
三 、课堂小练
2、
【分析】(2)由第一问求出的原料吨数×每吨1000元求出原料费，再由这两次运 输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元，两运费相加求出运输费之 和，由制成运往B地的产品的吨数×每吨8000元求出销售款，最后由这批产品的 销售款-原料费-运输费的和可求解．
四、小结提高
三 、课堂小练
2、
【分析】(1)设工厂从A地购买了x吨 原料，制成运往B地的产品y吨，利 用两个等量关系：A地到长青化工 厂的公路里程×1.5x+B地到长青化 工厂的公路里程×1.5y=这两次运 输共支出公路运输费15000元；A地 到长青化工厂的铁路里程×1.2x+B 地到长青化工厂的铁路里程 ×1.2y=这两次运输共支出铁路运 输费97200元，列出关于x与y的二 元一次方程组，求出方程组的解集 得到x与y的值
（2）同类量的单位要相同；
（3）方程两边的代数式表示的是同类量．
二 、典例讲解
例1、行程问题
【分析】根据题意，设平路有x千米，坡 路有y千米，根据等量关系：①平路所用 时间+爬坡所用时间=6.5h，②下坡所用 时间+平路所用时间=6h，可得方程组， 解方程组即可得解.
二 、典例讲解
例2、方案分配问题
课时二十
二元一次方程组的应用（1）专题
一、专题简析
1、应用二元一次方程组解决实际问题关键在于正确找出问题中的两个等量关系，列出方 程并组成方程组，同时注意检验解的合理性． 列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转化为“已知”的重要方法.它的关键是把已知量和未 知量联系起来，找出题目中的相等关系，合理设未知数，列出方程组求解． 2、列方程组是列方程组解应用题的关键步骤 （1）方程两边的数值要相等；
二元一次方程组应用题
二元一次方程组应用题（一）1、两个车间，按计划每月工生产微型电机680台，由于改进技术，上个月第一车间完成计划的120％，第二车间完成计划的115％，结果两个车间一共生产微型电机798台，则上个月两个车间各生产微型电机多少台？解法一：解：设第一车间计划每月生产x台，第二车间计划每月生产y台。
解法二：解：设上个月第一车间生产x台，第二车间生产y台。
2、某人准备装修一套新宅，若甲、乙两个装修公司合作需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的工程由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元；若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，选甲公司还是选已公司？请说明理由。
3、某水果批发市场批发香蕉的价格如下表所示：张倩两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次）共付264元，则张倩第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？4、某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出旅游，如果每辆车乘坐22人，就会余下一人；如果开走一辆车，那么所有师生刚好平均分乘余下的车辆。
问原先去租多少辆客车和学校师生共有多少人？（已知每辆车的容量不多于32人）- 1 -- 2 -5、一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房7间，如果每个房间都注满，那么共有多少租房方案？5、羊圈里白羊的只数比黑羊的脚数少2，黑羊的只数比白羊的脚数少187，则白羊与黑羊各有多少只？．6、小明到商店买东西，下面是他和售货员阿姨的对话：“我买这种牙膏3支，这种牙刷5把”．“一共15元6角”．付款后，小明说：“阿姨，这支牙膏我不要了，换一把牙刷吧！”“还需找你2元”．从他们的对话中你能知道牙刷、牙膏的单价吗？7、如图，周长为68cm 的长方形ABCD 被分成7个相同的长方形，求长方形ABCD 的长和宽．8、长沙市某公园的门票价格如下表所示：某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？9、两个水池共贮水40吨，如果甲池再注进水4吨，乙池再注进水8吨，则两池的水一样多，那么两池原来有水分别为多少吨？10、用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子少了3尺，求这根绳子长．11、古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问多少房间多少客？”（题目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就分有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房．问有多少房间多少客人．）12、已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数。
二元一次方程组的应用实际
将二元一次方程组表示为矩阵形式，利用矩阵的 运算规则进行求解。
消元法
通过加减消元或代入消元的方式，将二元一次方 程组中的两个方程进行变换，消去一个未知数， 将二元一次方程组转化为一元一次方程进行求解 。
迭代法
通过不断迭代逼近的方法求解二元一次方程组， 常用的迭代法有雅可比迭代法和SOR方法等。
流量分配
在复杂的交通网络中，二元一次方程组可以用于流量分配问题，例如在 多条道路中选择最优的车辆分配方案，以平衡交通压力和运输效率。
03
物流配送
在物流配送中，二元一次方程组可以用来解决货物配送路线问题，例如
在多个配送中心和多个客户之间选择最优的配送路径，以降低成本和提
高效率。
旅游规划中的行程安排
景点选择
分析生产效率和生产成本，利用二元 一次方程组优化生产流程和资源分配， 提高生产效益。
考虑生产成本、设备能力和原材料供 应等因素，通过二元一次方程组确定 最佳的生产组合和资源配置。
财务预算中的成本控制
根据企业目标和财务状况，利用二元一次方程组制定合理的成本控制策略，降低经营风险。
考虑固定成本和变动成本等因素，通过二元一次方程组分析不同成本控制方案下的利润和现 金流。
02
通过解二元一次方程组，我们可 以找到两个未知数的具体数值。
实际应用的重要性
二元一次方程组在实际生活中有着广 泛的应用，例如在物理学、工程学、 经济学等领域。
解决实际问题时，我们通常需要建立 数学模型，而二元一次方程组是其中 一种常见的数学模型。
实际应用举例
物理学中的力学问题
在解决某些力学问题时，我们可以通过建立二元一次方程 组来描述物体的运动状态和受力情况。
物理中的力学问题
二元一次方程组实际应用
二元一次方程组实际应用
在我们的日常生活中，二元一次方程组可以被广泛应用。
这种方
程组由两个未知数和两个方程构成，其形式如下：
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
其中，a1、a2、b1、b2、c1和c2都是已知数，而x和y则是未知数。
这种方程组可以使用代数方法或者图形方法求解。
二元一次方程组在解决问题时有广泛的指导意义。
下面举几个例子：
1. 经济问题：我们可以使用二元一次方程组解决各种涉及到经济
问题的计算。
例如，我们可以用它来计算药品价格和医疗消费之间的
关系，或者计算房子的租金和用户需求之间的关系。
2. 教育问题：我们可以用二元一次方程组来计算学生数和教育资
源之间的关系，或者计算学生的成绩和学校教学水平之间的关系。
3. 质量问题：我们可以使用二元一次方程组来解决质量控制问题，比如计算两种不同材料的质量比较，或者计算不同等级的产品质量之
间的关系。
4. 科技问题：我们可以用二元一次方程组解决各种与科技相关的问题，例如计算电子设备之间的相关性或者计算不同农业技术对作物收成的影响。
二元一次方程组也可以帮助我们更好地理解和探索数学的本质，以及如何应用数学知识去解决实际问题。
当我们遇到一个包含未知数的问题时，通过建立相应的二元一次方程组来查找答案并进行计算，不仅可以帮助我们找到答案，而且可以帮助我们理解问题本质，并更好地掌握数学知识。
二元一次方程组应用课程案例
等量关系： 大客车的数量 + 中巴车的数量 = 8 辆 大客车上的人数 + 中巴车上的人数 = 193人
方程：
设大客车x辆，中巴车y辆。
x+y=8
51x + 8y = 193
第十九页，编辑于星期日：二十一点 二十五分。
小结:
列方程组解应用题应注意的问题：
1、设出两个未知数； 2、找出两个等量关系； 3、列出两个方程。
扫墓回来：参观造纸盒厂 用如图一 中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，
做成如图二中竖式和横式的两种无盖纸盒。现在仓库 里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒
各做多少只，恰好使库存的纸板用完？
图一
分析：
图二
竖式纸盒展开图
横式纸盒展开图
做一个竖式盒子要用几张长方形纸板和几张
正方形纸板？做一个横式纸盒呢?
方程：
设买面值为0.8元的邮票x张，面值为1.5元的邮票y张。
x+y=7
0.8x+1.5y=7
第七页，编辑于星期日：二十一点 二十五分。
类型2：含有“比”“是”“多”“少”类型的应用题。 王老师的年龄是个两位数，个位上的数字比十位上的数字 的2倍多1，将十位数字与个位数字调换位置，所得的新数比 原两位数的2倍还多2，问王老师的年龄多大？ 等量关系：
才能使生产的盒身与盒盖配套（一张铁皮只能生产一种产品，
一个盒身配两个盒盖）？
等量关系：制盒身 + 盒盖张数 = 7张
盒身
1
盒盖
2
方程：
设制盒身的铁皮x张，制盒盖的铁皮y张。
x+y=7
2（12 x）= 18 y
第十五页，编辑于星期日：二十一点 二十五分。
二元一次方程组的应用
二元一次方程组的应用二元一次方程组是数学中常见的问题形式，可以通过解方程组来求解未知数的取值。
在实际生活和工作中，二元一次方程组有着广泛的应用。
本文将讨论二元一次方程组的一些常见应用场景。
一、消费问题在购物中，我们常常需要计算多个商品的总价。
假设商品A的价格为x元，商品B的价格为y元，购买A商品m件，B商品n件，总花费为p元。
此时可以列出如下二元一次方程组：mx + ny = p (1)m + n = t (2)其中，t为商品的总件数，p为总花费金额。
通过求解方程组，可以得到商品A和商品B的价格。
二、速度问题在物理学中，速度问题通常为二元一次方程组的典型应用。
设一个物体的速度恒定不变，物体在t秒内运动了s米，根据匀速运动的定义，可以得到如下方程组：vt - s = 0 (3)v' - v = 0 (4)其中，v为物体的速度，s为物体的位移，v'为物体的平均速度。
通过解方程组，可以求解物体的速度和位移。
三、投资问题在投资领域，经常需要计算不同投资项目的收益率。
假设我们有两个投资项目A和B，投资A的金额为x元，投资B的金额为y元，A项目的收益率为r1，B项目的收益率为r2，可以列出如下方程组：rx = r1x + r2y (5)x + y = t (6)其中，t为总投资金额。
通过求解方程组，可以得到投资项目A和B的收益率。
四、运动员的成绩在体育竞技中，运动员的成绩常常可以用二元一次方程组来表示。
假设运动员A和运动员B分别参加了两个项目，A在第一个项目中获得了x分，在第二个项目中获得了y分，B在第一个项目中获得了p分，在第二个项目中获得了q分。
根据成绩的计算方法，可以列出如下方程组：x + y = t (7)p + q = t (8)其中，t为满分。
通过解方程组，可以得到运动员A和运动员B在两个项目中的得分情况。
五、人员分配问题在人员分配和调度问题中，可以利用二元一次方程组来求解不同人数的分配。
二元一次方程组_应用题专项练习
二元一次方程组应用题（一）1、小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，构如图1所示。
根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题： （1）用含x 、y 的代数式表示地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m 2是卫生间面积的15倍。
若铺1m 2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元o2、八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：李小波：阿姨，您好！售货员：同学，你好，想买点什么李小波：我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见. 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗3、2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如表二所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据．已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年6、某城区中学5月份开展了与农村偏远学校“手拉手”的活动.九（3）班苗苗同学积极响应学校的号召，用自己的零花钱买了圆株笔和钢笔共8支，准备送给偏远山区的同学，共用去了20元钱，其中圆珠笔每支1元，钢笔每支5元.你知道苗苗同学买了圆珠笔和钢笔各多少支吗7、“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12％，玉米超产10％，该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨8、某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生．（1）若两班学生一起前往参观博物馆，请问购买门票最少共需花费多少元（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比实际人数按8折优惠购买门票更便宜10、李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同样的一种桶装矿泉水，李明家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了8桶和12桶，且在乙供水点比在甲供水点多花18元钱．若只考虑价格因素，通过计算说明到哪家供水点购买这种桶装矿泉水更便宜一些11、某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱12、随着我国人口速度的减慢，小学入学儿童数量每年按逐渐减少的趋势发展，某区2003年和2004年小学儿童人数之比为8 : 7，且2003年入学人数的2倍比2004年入学人数的3倍少1500人，某人估计2005年入学儿童数将超过2300人，请你通过计算，判断他的估计是否符合当前的变．二元一次方程组应用题（二）1、某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册．（1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元（2）有几购买文化衫和相册的方案哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足2、李晖到“宇泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：假设月销售件数为x 件，月总收入为y 元，销售每件奖励a 元，营业员月基本工资为b 元．（1）求a b ，的值；（2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，那么小俐当月至少要卖服装多少件3、 某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40㎏到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱4、随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量每年按逐渐减少的趋势发展。
二元一次方程组的应用习题(带答案)
1.【1】【题文】班主任王老师为奖励表现出色的同学，用20元钱买来铅笔与中性笔共30•支作为奖品．已知铅笔的单价为0.50元，中性笔的单价为1元，问铅笔与中性笔各买了几支？设铅笔买了x支，中性笔买了y支，则可得方程组为_________．【答案】【解析】试题分析：根据等量关系：总价为20元，总数量为共30•支，即可列出方程组。
根据等量关系：总价为20元，可得方程，根据等量关系：总数量为共30•支，可得方程，则可得方程组为．考点：本题考查的是根据实际问题列二元一次方程组点评：解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．2.【题文】两袋水果共6千克，一袋苹果的价格是每千克4元，•一袋芒果的价格是每千克12元，共花费40元，则一袋苹果的质量为_______千克，一袋芒果的质量为_____千克．【答案】4，2【解析】试题分析：设一袋苹果的质量为x千克，一袋芒果的质量为y千克，根据等量关系：总质量为6千克，总价为40元，即可列出方程组，解出即可。
设苹果每千克x元，芒果每千克y元，由题意得，解得，答：一袋苹果的质量为4千克，一袋芒果的质量为2千克．考点：本题考查了二元一次方程组的应用点评：解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．3.【题文】现有56枚1角和5角的硬币，共有14•元，•问1•角、•5•角的硬币分别是______，_____枚．【答案】35，21【解析】试题分析：设1•角的硬币是x枚，5•角的硬币是y枚，根据等量关系：总数量为56枚，总价为14•元，即可列出方程组，解出即可．设1•角的硬币是x枚，5•角的硬币是y枚，由题意得，解得，答：1•角的硬币是35枚，5•角的硬币是21枚．考点：本题考查了二元一次方程组的应用点评：解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．同时要注意统一单位。
二元一次方程(组)应用题专题讲解及练习(附答案)
实际问题与二元一次方程组（一） 要点一.常见的一些等量关系 1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100% 利润利润率进价. 要点二.实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案．例题讲解题型一.和差倍分问题例1.电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进入千家万户．李阿姨在淘宝网上花220元买了1个茶壶和10个茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元．请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元？【跟踪训练】根据如图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是（ ）A ．7元B ．35元C ．45元D ．50元题型二.配套问题例2. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【跟踪训练】某家具厂生产一种方桌，设计时13m的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有103m的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）. 题型三.工程问题例3.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?题型4.利润问题例4.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：类别/单价成本价销售价（元/箱）甲24 36乙33 48（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？【跟踪训练】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗专题练习（一）一、选择题1．有一些苹果箱，若每只装苹果25 kg，则剩余40 kg无处装；若每只装30 kg，则还有20个空箱，这些苹果箱有( ) .A．12只 B．6只 C．112只 D．128只2.幸福中学七年级学生到礼堂开会，若每条长椅坐5人，则少10条长椅，若每条长椅坐6人，则又多余2条长椅，设学生有x人，长椅有y条，依题意得方程组 ( ) .A．5105662x yx y=+⨯⎧⎨=-⨯⎩B．51062x yx y=-⎧⎨=+⎩C．5105662x yx y=-⨯⎧⎨=+⨯⎩D．51062x yx y=+⎧⎨=-⎩3.十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，共花了400元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？（）A．300元 B．310元 C．320元 D．330元4.王力在一天内以每件80元的价格卖了两件上衣，其中一件赢利20％，一件赔了20％，则在这次买卖中他( ) .A．赔了10元 B．赚了10元C．赔了约7元 D．赚了约7元5.某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺帽和生产螺栓的数分别为（）A．50人，40人 B．30人，60人C．40人，50人 D．60人，30人6.某校七年级(2)班40名同学为四川地震灾区捐款，共捐了100元，捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列方程组( ) .A.272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C.273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D.2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩二、填空题7．端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个．其中荷包每个4元，五彩绳每个3元，设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，列出的方程组是________．8．根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是元和元．9．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题.10．已知甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍少20，求甲、乙两数，若设甲、乙两数分别为x、y，可得方程组________，这两数分别为________．11．如图，3个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为9cm，8个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为14cm，则100个这样的纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是________ cm．12．“六一”儿童节，某动物园的成人门票每张8元，儿童门票半价(即每张4元)，全天共售出门票3000张，共收入15600元，则这一天售出了成人票张儿童票张。
二元一次方程组的应用(1)
（三）议一议
• • • • • • • 列二元一次方程组解应用题的步骤是： 列二元一次方程组解应用题的步骤是： （1）弄清题意和题目中的数量关系； ）弄清题意和题目中的数量关系； 审题） （审题） 2）设未知数（ x，y)和列出有关代数式 和列出有关代数式； （2）设未知数（如x，y)和列出有关代数式； （3）找出相等关系列出方程组； ）找出相等关系列出方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； ）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案（包括单位名称）． ）写出答案（包括单位名称）．
• 2Байду номын сангаас现有 分和 分的硬币共 现有2分和 分的硬币共100枚，总 现有 分和5分的硬币共 枚 分与5分的硬币各多少枚 计3元2角，问2分与 分的硬币各多少枚？ 元 角 分与 分的硬币各多少枚？
分硬币x枚 分硬币y枚 设5分硬币 枚，2分硬币 枚， 分硬币 分硬币 答案】由题意， 【答案】由题意，得 x+ y
【答案】 答案】 设全班有x人，分成y组， 由题意得
7 y + 3 = x 8 y − 5 = x
课上小结：
• 这节课上，我感受最深的是 这节课上，我感受最深的是…… • 这节课上，我感到最困难的 这节课上，我感到最困难的…….. • 这节课上，我学会了………. 这节课上，我学会了
1.用二元一次方程组解应用题，应设两个未知数， 用二元一次方程组解应用题，应设两个未知数， 用二元一次方程组解应用题 列两个方程． 列两个方程． 关键是要仔细审题得出两个等量关系式． 关键是要仔细审题得出两个等量关系式． 2.列二元一次方程组解应用题的步骤是（前边） 列二元一次方程组解应用题的步骤 列二元一次方程组解应用题的步骤是 前边）
二元一次方程组的应用 （ 1）
4.4 二元一次方程组的应用(1)
现有20 人生产某种零件,每人每天可以生 现有 人生产某种零件 每人每天可以生 做螺帽3个 如果1个螺杆和 产螺杆2个或者做螺帽 产螺杆 个或者做螺帽 个, 如果 个螺杆和 2个螺帽可以做成一个零件 那么能否把这 个螺帽可以做成一个零件, 个螺帽可以做成一个零件 20人分成两部分 一部分人做螺杆 一部 人分成两部分, 人分成两部分 一部分人做螺杆, 分人做螺帽,使每天做成的螺杆和螺帽正好 分人做螺帽 使每天做成的螺杆和螺帽正好 配套 ?
X只竖纸盒中 y只横式纸盒中 合计 只竖纸盒中 只横式纸盒中 正方形纸板 的张数 长方形纸板 的张数
x பைடு நூலகம்x
２y 3y
1000 2000
有大小两种货车，2辆大车与3辆小车 有大小两种货车， 辆大车与3 一次可以运货15.50吨 辆大车与6 一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小 车一次可以运货35吨 车一次可以运货35吨。 辆大车与5 求：3辆大车与5辆小车一次可以运货 多少吨? 多少吨? 分析：要解决这个问题的关键是求每辆 分析：要解决这个问题的关键 关键是求每辆 大车和每辆小车一次可运货多少吨? 大车和每辆小车一次可运货多少吨?
3 男生人数＝ （女生人数－1） （女生人数－1 5
解：设男生有x人，女生有y人，根据题意有 y=2（x－1） 3 x= （y－1） 5 解这个方程组，得： x=9 y=16 经检验，符合题意 答：男生有9人，女生有16人。
用如图长方形和正方形纸板作侧面和底面， 例1 用如图长方形和正方形纸板作侧面和底面， 做成竖式和横式两种无盖纸盒。 做成竖式和横式两种无盖纸盒。现在仓库里有 1000张正方形纸板和 张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种 张长方形纸板， 张正方形纸板和 张长方形纸板 纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？ 纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？
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【考纲说明】
1.掌握解方程组的关键步骤
2.会列方程组解答实际问题
3.在中考中替班占5分左右
【趣味链接】
在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？
【知识梳理】
一、二元一次方程组的有关概念
1．二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程（linear equation with two unknowns）。
2．二元一次方程的一个解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。
3．方程组和方程组的解（1）方程组由几个方程组成的一组方程叫作方程组。
（2）方程组的解方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。
4．二元一次方程组和二元一次方程组的解
（1）二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组（2）二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。
3、代入消元法的步骤：
（1）求表示式从方程组中选一个系数比较简单的方程（最好是系数为1），将此方程中一个未知数，例如y，用含x的代数式表示出来，如写成y=ax+b的形式；
（2）代入消元将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；
（3）解一元一次方程求出x的值；
（4）回代得解将求出的x的值代入y=ax+b中，求出y的值。
4.加减消元法解二元一次方程组
（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
（2）用加减消元法解二元一次方程组的解步骤：
1.方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两
边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
2.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。
3.解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。
4.将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。
5.把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
5.列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；
（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.
【经典例题】
一、数字问题
一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表
表示
二、利润问题
点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价×利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．
例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？
分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方
程0.8x-y=10.
二、
配套问题
点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：
（1）“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即
a b
=
甲产品数乙产品数
； （2）“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：
a b c
==
甲产品数乙产品数丙产品数
． 例3 某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？
分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个
【课堂练习】
1（南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？
2（2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：
现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）．
（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：
（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？
3.一次篮、排球比赛，共有48个队，520名运动员参加，其中篮球队每队10名，排球队每队12名，求篮、排球各
有多少队参赛？
【课后练习】
1.某人装修房屋，原预算25000元。
装修时因材料费下降了20％，工资涨了10％，实际用去21500元。
求原来材
料费及工资各是多少元？
2.某单位甲、乙两人，去年共分得现金9000元，今年共分得现金12700元 . 已知今年分得的现金，甲增加50％，
乙增加30％ . 两人今年分得的现金各是多少元？
3.某市现有 42 万人口,计划一年后城镇人口增加 0.8 % ,农村人口增产增加1.1% , 这样全市人口将增加 1% , 求这个市现在的城镇人口与农村人口.
4.（2011山东临沂，21，7分）去年秋季以来，我市某镇遭受百年一遇的特大干旱，为支援该镇抗旱，上级下拨
专项抗旱资金80万元用于打井．已知用这80万元打灌溉用井和生活用井共58口，每口灌溉用井和生活用井分别需要资金4万元和0.2万元，求这两种井各打多少口？。