精品解析【全国百强校首发】东北三省三校(哈尔滨师大附中等)2016届高三第一次联合模拟考试理数试题解析(

化简能力，属于中档试题，本题的解答中，根据题设条件确定点
题的关键，再把点
N ,Q 的坐标代入椭圆方程
x2 C : a2
y2 b2 1(a
N ( c , y) 和 Q(
31 c, y) 的坐标是解答本
4
82
0,b 0) ，即可求解双曲线的离心率．
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5
12．已知定义在 R上的奇函数 f ( x) 的图象为一条连续不断的曲线， f (1 x) f (1 x) ， f (1) a ，且当 0 < x
2
2
（ 1）求椭圆 C的方程；
（ 2）直线 l 经过点 P(1,0) ，且与椭圆 C 有两个交点 A、 B，是否存在直线 l 0： x = x 0（其中 x 0 > 2 ），使得
A、 B 到 l 0 的距离 dA、 dB 满足 d A
| PA | 恒成立？若存在，求
x0 的值；若不存在，请说明理由．
分类讨论的数学思想方法和转化的思想方法，其中合理的转化是解答的关键，试题有一定的难度，本题的
解答中， 根据题意先判定三角形为等边三角形， 再结合题意画出示意图， 分 M 在 BC 的同侧和 M 在 BC 的
异侧两种情况，利用正弦定理和余弦定理，求解
MA 的取值范围．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）
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1
【答案】 D 【解析】
试题分析：因为 m 6, n 4 ，所以 y lg( m n) lg10 1 ，故选 D．
考点： 程序框图的运算． 4．已知向量 a， b 满足 a b (1, 3) ， a b (3,7) ， a b （ ）
A． -12 C． 12
B．-20 D．20
【答案】 A
考点：向量的运算．
2x 2, x 0
5．若函数 f (x)
，则 f ( f (1)) 的值为（ 2x 4, x 0
）
A． -10
B．10
C．-2
D． 2
【答案】 C
【解析】
试题分析：由题意得 f 1 21 4 2 ，所以 f ( f (1)) f ( 2) 2 ( 2) 2 2 ，故选 C．
< 1 时， f (x) 的导函数 f ( x) 满足： f ( x) f ( x) ，则 f (x) 在 [2015,2016] 上的最大值为（
）
A． a
B．0
C．-a
D． 2016
【答案】 C
考点：函数的性质及导数的应用． 【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性的应用，核黄素值的求法以及核黄素的单调性问题，
55 0.92 165 a?，解得 a 96.8 ，故选 A．
考点：回归直线方程．
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A． 7 3
C． 13
B． 17 2
D． 17 3 10 2
【答案】 C
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4
考点：三视图的应用与表面积的计算．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、三棱锥的体积的计算公式，着重考查了推理和运算能
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 . ）
1．若集合 A [2,3] ， B { x | x 2 5 x 6 0} ，则 A B （ ）
A． {2,3}
B．
C．2
D． [2,3]
【答案】 A
考点：集合的运算．
2．若复数 z 满足 zi = 1 + i ，则 z 的共轭复数是（
）
A． -1 - i
B．1 + i
C．-1 + i
【答案】 B
【解析】
试题分析：由题意得， z 1 i 1 i ，所以 z 1 i ，故选 B． i
考点：复数的运算与概念．
3．若 m = 6 ， n = 4 ，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（
A． 1 100
C． 10
B．100 D．1
D． 1 - i ）
【答案】（1）证明见解析； （ 2） 3 ．
（ 2）解：如图以 O 为原点， OA,OB 为 x, y 轴正向， z 轴过 O 且平行于 CF ，建立空间直角坐标系 . 则
uuur B(0, 3,0), D(0, 3,0), E(1,0,2), F ( 1,0, a)( a 0) ， OF ( 1,0, a) . …………６ 分
17．（本小题满分 12 分）
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8
已知数列 { an } 满足 a1 3 ，且 an 1 3an 1 ， bn an 1 ．
2
2
（ 1）求证：数列 { bn} 是等比数列；
（ 2）若不等式 bn 1 m 对 n N * 恒成立，求实数 m的取值范围． bn 1 1
500 天的灯管是
优等品，寿命小于 300 天的灯管是次品，其余的灯管是正品．
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9
（ 1 ）根据这 500 个数据的频率分布直方图，求出这批日光灯管的平均寿命；
（ 2）某人从这个批次的灯管中随机地购买了
4 个进行使用，若以上 述频率作为概率，用 X 表示此人所购
x y10 13．若实数 x， y 满足 x y 0 ，则 z x 2 y 的最大值是 __________ ．
x0
【答案】 2
【解析】
试题分析：满足题中的约束条件的可行域如图所示，目标函数
z x 2 y 取得最大值，即使得函数
y
1 x z 在 y 轴上的截距最大，结合可行域可知，当过点
22
P (0,1) 时， zmax 0 2 1 2 ．
11
11
11
11
1
VO ABC
VO PBC ，即 3 2 2 1 1
21 r 2
11 r
32
32
32
2
5
r ，解得
2
1 r．
4
考点：三棱锥的体积的计算．
15．已知圆 ( x 1)2 y2 4 与抛物线 y2 mx( m 0) 的准线交于 A、 B 两点，且 | AB | 2 3 ，则 m的值为
__________ ．
同时着重考查了学生的计算和推理能力，本题的解答中，根据
f x 2 f x ，可推得
f x 4 f x ，得函数的周期 4 ，再根据周期性判断出函数 f x 在区间 2015,2016 的单调性，转化
为 f 2015 f (1)，即可求解函数在区间 2015,2016 的最大值．
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．）
考点：函数值的运算．
6．设 a,b R ，若 p : a b ， q : 1 1 0 ，则 p 是 q 的（ ） ba
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】
试题分析：由题意得，当 条件，故选 B．
1
1
0 ，则 a
b
0 ；如 a 0
b ，此时 1
0
r 设平面 EDB 的法向量为 n (x, y, z) ，
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11
考点：直线与平面垂直的判定；利用空间向量求解直线与平面所成的角．
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
C：
x2
2
a
y2
2
b
1(a
b 0) 的离心率为
3 ，且点 ( 2, 2 ) 在 C 上．
力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”
的原则，还原出原几何体的形状，根据空间几何体的侧面积（表面积）或体积公式求解，同时准确计算也
是解答的一个易错点．
11．双曲线
C：
x2
2
y2 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为
F1( c,0) ， F2 (c ,0) ， M， N 两点在双曲线
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6
考点：线性规划求最值．
14．已知三棱锥 P-ABC，若 PA， PB， PC两两垂直，且 PA = 2 ， PB = PC = 1 ，则三棱锥 P-ABC的内切球半 径为 __________．
【答案】 1 4
【解析】
试题分析：由题意得，设三棱锥 P ABC 的内切球的半径为 r ，球心为 O ，则 VB PAC VO PAB VO PAC
ab
C 上，且 MN∥Ｆ1F2， | F1 F2 | 4 | MN | ，线段 F1N交双曲线 C于点 Q，且 | F1Q | | QN | ，则双曲线 C的离心率
为（ ）
A． 3
B．2
C． 5
D． 6
【答案】 D
考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时着重考查了学生的计算、
1 ，所以
p 是 q 的必要不充分
ba
a
b
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2
考点：充要条件的判定．
7．若点 P(cos ,sin ) 在直线 y
A． 4 5
【答案】 A
B． 4 5
2x 上，则 cos(2
) 的值等于（