轴对称第二课时线段的垂直平分线课件
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53简单的轴对称图形(线段的垂直平分线)PPT课件
5
启导精思： P123议一议 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 距离相等。
C
∵CO⊥AB，AO = BO
∴AC = BC
A
O
B
(线段垂直平分线上的点到
这条线段两个端点的距离相等。)
6
随堂练习： 如图,AB是△ABC的一条边，,DE是AB的垂直 平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知 AB=8cm,BD=6cm,那么EA= ____,DA=_____
C D
A
E
B
7
导学二： 利用尺规作线段的垂直平分线
随堂练习： 1、利用尺规作线段AB的中点 2、利用尺规把线段AB四等分
8
P124：知识技能；T2（看老师演示几何画板）
• 2、利用尺规，作三角形的三条边的垂直平分 线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你 发现了什么？换个三角形试试。
9
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
10
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX
时 间：XX年XX月XX日
11
பைடு நூலகம்
A
B
2、线段是轴对称图形吗？
3、你能画出它的对称轴吗？
4、用折纸的方法能折出线段的对称轴吗？
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的 直线是它的一条对称轴。
3
启导精思： P123议一议 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的 距离相等。
C
∵CO⊥AB，AO = BO
∴AC = BC
A
O
B
(线段垂直平分线上的点到
这条线段两个端点的距离相等。)
6
随堂练习： 如图,AB是△ABC的一条边，,DE是AB的垂直 平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知 AB=8cm,BD=6cm,那么EA= ____,DA=_____
C D
A
E
B
7
导学二： 利用尺规作线段的垂直平分线
随堂练习： 1、利用尺规作线段AB的中点 2、利用尺规把线段AB四等分
8
P124：知识技能；T2（看老师演示几何画板）
• 2、利用尺规，作三角形的三条边的垂直平分 线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你 发现了什么？换个三角形试试。
9
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
10
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX
时 间：XX年XX月XX日
11
பைடு நூலகம்
A
B
2、线段是轴对称图形吗？
3、你能画出它的对称轴吗？
4、用折纸的方法能折出线段的对称轴吗？
线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的 直线是它的一条对称轴。
3
《线段的垂直平分线》PPT(第2课时)
变式练习1 如图，四边形ABCD是一个“风筝”骨架，其中 AB=AD,CB=CD.
(1)小明认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD,垂足
为E,并且BE=EB,你同意他的说法吗？
B
解：同意，理由
A ED
∵AB=AD,CB=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
C
∴AC⊥BD,BE=EB.
(2)设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积.
B
D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
C
随堂演练
1.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( A ) A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．以上都不正确
2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝ EB,FA＝FB，这样的点的组合共有（ D ）种. A.1 B.2 C.3 D.无数
P
A
B
C
情景导入
动手操作：在练习本上以线段AB为底边做等腰△PAB. △PAB的形状和大小是确定的吗？ 不确定 符合条件的△PAB能作几个？ 可以作无数个
观察：你所画出的所有点P的位置，有什么特征？ P
在一条直线上
推测：这条直线与线段AB的关系
A
B
这条直线是线段AB的中垂线
思考：当PA=PB时，点P一定在AB的中垂线上吗？
解：S四边形ABCD SCBD SABD
1 BDCE 1 BD AE
2
2
1 BD AC 1 ab
2
2
A
B
ED
C
知识点 2 线段垂直平分线性质定理和逆定理的综合运用
例2 已知：如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P
13.1.2线段垂直平分线性质课件(共34张PPT)
B的距离.你有什么发现？再取几个点试试.你能说明理由吗？
发现： P到A的距离与P到B的距离相等.
P
已知:如图.AC=BC. PC⊥AB,P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
证明：∵MN⊥AB， ∴ ∠PCA=∠PCB=90° 在△APC与△BPC中:
PC=PC（公共边） ∠PCA=∠PCB（已证） AC=BC（已知） ∴△PCA≌△PCB(SAS) ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
五角星的对称轴有什么特点？ 相交于一点．
练习
1.作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下.你们 作出的对称轴一样吗？
练习
2.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？
练习
3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的 对称轴．
A
B
C
D
做一做
1.正方形ABCD边长为a，点E，F分别是对角线BD上的两点， 过点E，F分别作AD，AB的平行线，如图所示，则图中阴影 部分的面积之和等于 1 a 2 ．
B A
5.求作一点P，使它和已△ABC的三个顶点 距离相等.
A
·P
B
C
试一试
N
已 知 ： P为 M ON内 一 点 。 P与 A关 于 ON对 称 ， A
P与 B关 于 OM 对 称 。 若 AB长 为 15cm
求 ： PCD的 周 长 .
D P
解: P与A关于ON对称
ON为PA的中垂线（
? …）
F
∴PA=PB 同理：PB=PC
P E
∴PA=PB=PC
A
N
B
结论：三角形三边的垂直平分线交于一 点，并且这点到三个顶点的距离相等.
苏科版八年级上册数学教学课件 第2章 轴对称图形 第2课时 线段垂直平分线的判定
线上呢？
P
A
B
猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线 段的垂直平分线上．
课程讲授
1 线段垂直平分线的判定
问题2：运用所学知识，证明你的猜想.
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C．
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
B
C
∴OB=OC ，
∴点O在BC的垂直平分线上．
课程讲授
2 用尺规作线段垂直平分线
练一练：如图所示的尺规作图是作（ A ） A.线段的垂直平分线 B.一个半径为定值的圆 C.角的平分线 D.一个角等于已知角
随堂练习
1.下列说法： ①若点P ，E是线段AB的垂直平分线上两点，则
EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线
B
D
C
∴A ， D均在线段EF的垂直平分线上，即
直线AD垂直平分线段EF.
课堂小结
内容
线段的垂 直平分线 的判定
判定 作用
到线段的两个端点距离相等的点 在线段的垂直平分线上
判断一个点是否在线段的垂直平 分线上
用尺规作线段垂直平分线
2 用尺规作线段垂直平分线
做一做： 已知：线段AB. 求作：AB的垂直平分线.
A
B
课程讲授
2 用尺规作线段垂直平分线
作法：（1）分别以点A，B为圆
心，以大于 1 AB的长为半径作弧， 2
A
两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD. CD即为所求.
C B
D
课程讲授
《线段的垂直平分线》PPT课件
练习
1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°， 求∠CAE的度数.
答：∠CAE=50°.
2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴ 点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线.
练习
用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要 求写出作法）.
1. 如图，在直线l上求作一点P，使PA= PB.
已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P,
求证：点P也在AC的垂直平分线上
证明：连接AP,BP,CP.
∵点P在线段AB的垂直平分线上, A
∴PA=PB
同理,PB=PC.
中考 试题
例
如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直
平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE 的周长等于18cm，则AC的长等于（ C ）.
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
解析 ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).
又∵在△BCE中，
∴EB=EA ∴△AEC的周长
=AC+CE+EA
C E
=AC+CE+EB
=AC+BC
B
=4+5 =9
D A
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
M A
E C
人教版八年级数学上册13.1.2 尺规作图 (共13张PPT)
•
新课讲解
作法：（1）分别以点A和B为圆心，
以大于1 AB的长为半径作弧，
2
两弧交于C、D两点.
A
（2）作直线CD.
CD就是所Байду номын сангаас作的直线.
C B
D
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图， 我们也可以用这种方法确定线段的中点.
新课讲解
2 作轴对称图形的对称轴
【想一想】下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这
距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从 而作出线段AB的垂直平分线.
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21.8.1021.8.10T uesday, August 10, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。21:41:1121:41:1121:418/10/2021 9:41:11 PM
些对称轴呢？
l
作法：（1）找出五角星的一对
A
B
对称点A和B，连结AB．
（2）作出线段AB的垂直平分线l．
则l就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴， 所以五角星有五条对称轴．
新课讲解
方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出 对称点所连线段的垂直平分线，就能得此图形的对称轴.
•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月下 午9时41分21.8.1021:41August 10, 2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021年8月10日星期 二9时41分11秒21:41:1110 August 2021
图形的轴对称线段的垂直平分线ppt
垂直平分线
理解垂直平分线的定义，知道如何找到一个线段的垂直平分线。
熟悉垂直平分线的证明方法
证明垂直
掌握如何证明一条直线是垂直的，以及如何根据一个图形的轴对称性来证明垂直 。
证明平分
掌握如何证明一条直线将线段平分，以及如何根据轴对称性来证明平分。
加强练习，多做题目，勤于总结
练习
通过大量的练习来熟练掌握轴对称和垂直平分线的相关概念 和性质，提高解题能力和速度。
03
与轴对称线段垂直平分线相 关的定理
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 任意直角三角形都可以用勾股定理来计算。
弦切定理
弦切定理是圆和直线之间的位置关系的定理，表述为圆外一 点引圆的切线和割线，切线长度的平方等于割线长度和圆外 一点到圆心的距离之差。
在等腰三角形中，等角对等边；在直角三角形中，勾股定理 逆定理：若三条边长满足勾股定理，那么这个三角形是直角 三角形。
机械设计
在机械设计中，轴对称线段垂直平分线也是重要的参考线之一。例如，可以 利用该线确定零部件的对称性，设计出精确的机械零件，提高机械设备的稳 定性和性能。
在实际生活中的轴对称线段垂直平分线的应用
交通工具
交通工具如汽车、火车、飞机等的设计中，轴对称线段垂直平分线也是非常重要 的。例如，在汽车设计中，可以利用该线确定车辆的对称性，从而设计出更加稳 定、安全的交通工具。
轴对称线段的等腰三角形定理
在轴对称线段上任取两点，分别连接这两点并延长至对称 轴的一侧，若延长的线段长度相等，则这两点与对称轴组 成的三角形为等腰三角形。
若一个三角形有两边分别平行于对称轴，且第三边垂直于 对称轴，则该三角形为等腰三角形。
02
轴对称线段的垂直平分线
理解垂直平分线的定义，知道如何找到一个线段的垂直平分线。
熟悉垂直平分线的证明方法
证明垂直
掌握如何证明一条直线是垂直的，以及如何根据一个图形的轴对称性来证明垂直 。
证明平分
掌握如何证明一条直线将线段平分，以及如何根据轴对称性来证明平分。
加强练习，多做题目，勤于总结
练习
通过大量的练习来熟练掌握轴对称和垂直平分线的相关概念 和性质，提高解题能力和速度。
03
与轴对称线段垂直平分线相 关的定理
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 任意直角三角形都可以用勾股定理来计算。
弦切定理
弦切定理是圆和直线之间的位置关系的定理，表述为圆外一 点引圆的切线和割线，切线长度的平方等于割线长度和圆外 一点到圆心的距离之差。
在等腰三角形中，等角对等边；在直角三角形中，勾股定理 逆定理：若三条边长满足勾股定理，那么这个三角形是直角 三角形。
机械设计
在机械设计中，轴对称线段垂直平分线也是重要的参考线之一。例如，可以 利用该线确定零部件的对称性，设计出精确的机械零件，提高机械设备的稳 定性和性能。
在实际生活中的轴对称线段垂直平分线的应用
交通工具
交通工具如汽车、火车、飞机等的设计中，轴对称线段垂直平分线也是非常重要 的。例如，在汽车设计中，可以利用该线确定车辆的对称性，从而设计出更加稳 定、安全的交通工具。
轴对称线段的等腰三角形定理
在轴对称线段上任取两点，分别连接这两点并延长至对称 轴的一侧，若延长的线段长度相等，则这两点与对称轴组 成的三角形为等腰三角形。
若一个三角形有两边分别平行于对称轴，且第三边垂直于 对称轴，则该三角形为等腰三角形。
02
轴对称线段的垂直平分线
《轴对称——线段的垂直平分线的性质》数学教学PPT课件(3篇)
A
D E
B
C
变式2 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，
交AC于点E，已知AD=15， △BCE的周长等于50，求
△BAC的周长.
A
D E
B
C
变式3 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于 点E，△BCE的周长等于50， △BAC的周长等于80，求AD的长.
A
D E
B
D
应用 线段垂直平分线的性质
2、已知:如图所示，△ABC中,AC的垂直平分线MN交BC于M， 垂足为N ，若BC=12厘米，则AM+BM的长度为 12 厘米。
A
数学思想 转化
B
N
C M
应用 线段垂直平分线的性质
变式训练 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线
交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等
的判定 点在这个角的平分线上
结论
数学思想 类比
垂直平分 线段垂直平分线上的点
题设
线的性质 与线段两端点的距离相等 结论
垂直平分 与线段两端点距离相等的点 题设 线的判定 在这条线段的垂直平分线上 结论
猜想 与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
已知：如图，PA =PB．
P
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
分线吗？
A
M
B
D
C
今天我的收获是？
感谢您的观看
13 .1轴对称
线段的垂直平分线的性质
学习目标
1．理解线段垂直平分线的性质和判定．
2．能运用线段垂直平分线的性质和判定 解决实际问题．
探索并证明 线段垂直平分线的性质
D E
B
C
变式2 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，
交AC于点E，已知AD=15， △BCE的周长等于50，求
△BAC的周长.
A
D E
B
C
变式3 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于 点E，△BCE的周长等于50， △BAC的周长等于80，求AD的长.
A
D E
B
D
应用 线段垂直平分线的性质
2、已知:如图所示，△ABC中,AC的垂直平分线MN交BC于M， 垂足为N ，若BC=12厘米，则AM+BM的长度为 12 厘米。
A
数学思想 转化
B
N
C M
应用 线段垂直平分线的性质
变式训练 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线
交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等
的判定 点在这个角的平分线上
结论
数学思想 类比
垂直平分 线段垂直平分线上的点
题设
线的性质 与线段两端点的距离相等 结论
垂直平分 与线段两端点距离相等的点 题设 线的判定 在这条线段的垂直平分线上 结论
猜想 与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
已知：如图，PA =PB．
P
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
分线吗？
A
M
B
D
C
今天我的收获是？
感谢您的观看
13 .1轴对称
线段的垂直平分线的性质
学习目标
1．理解线段垂直平分线的性质和判定．
2．能运用线段垂直平分线的性质和判定 解决实际问题．
探索并证明 线段垂直平分线的性质
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E 13cm
B
D
C
5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直 平分线.请你指出图中相等的线段有哪些? D AD =BD AC = BC CF = BF CE = BE 3 F CF =DF
2
即:BF=CF=DF
A
C
E
1
B
证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD 平分ABC交AC于D. 求证:D点在AB的垂直平分线上. A 证明: ∵ C=90o, A=30o(已知) ∴ ABC=60o(三角形内角和定理) ∵BD平分A BC(已知) ∴ ABD=30o(角平分线的定义) 30o ∴ A= ABD (等量代换) D ∴ AD=BD(等角对等边) ∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一 30o 条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上.) C B
B
1题图 B
E C
2题图 B
E C
D
D
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o , A 2= 45o .
30o
M 1
D N
30o
B 2 75o C
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm A
M
A
C
B
N
M
A
B
C
N
线段的垂直平分线可以看作是
和线段两个端点距离相等 的所有点的集合.
角的平分线
A D P O E C
线段的垂直平分线
M
P
A N B
B
性质定理： 在角的平分线上的点到 性质定 理： 线段垂直平分线上的 点和这条线段两个端点的距离相等。 这个角的两边的距离相等。 逆定理： 到一个角的两边的距离 相等的点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的两边距离相等 的所有点的集合 逆定理 ： 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线可以看作是和线段 两个端点距离相等的所有点的集合
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
M P
当点P与点C重合时,上述证 明有什么缺陷? PCA与PCB将不存在. PA与PB还相等吗? B
A
C N
相等!
此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB
随堂练习
1、在△ABC,PM,QN分别垂直
平分AB,AC，则: (1)若BC=10cm则△APQ的周长 10 =_____cm; (2)若∠BAC=100°则 200 ∠PAQ=______.
例 已知:如图ABC中,边AB、BC的 A 垂直平分线相交于点P. M 求证:PA=PB=PC. M/ 证明: ∵ 点A在线段 P AB的垂直平分线上 N C B (已知) N/ ∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点距离相等) 同理 PB=PC ∴ PA=PB=PC.
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址. C P A
证明题:3.已知:如图,在ABC中, AB=AC,A=120o, AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F. 求证:CF=2BF.
A E
300 300
60O F AF=BF
30O
B
CF=2AF
C
CF=2BF
线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等. 和一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合.
逆定理
和一条线段两个端 点距离相等的点,在 这条线段的垂直平 分线上.
线段的垂直平分 线上的点到这条 线段两个端点的 距离相等. 性质定理可以用来 证明两条线段相等 （或三角形是等腰 三角形）.
逆命题
和一条线段的两个端点 距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上.
逆定理可以用来证明 点在直线上(或直线经 过某一点).
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址. C
A
B
P A
M
C
B
N
M
A
C
B
N
Q
M P
.
A
CBΒιβλιοθήκη .QN定理(线段垂直平分线的性质定理) 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
已知： 直线MNAB，垂足是C，
且AC=CB.点P在MN上.
M P 求证： PA=PB A
C
N
B
A
证明: ∵MNAB（已知） M ∴PCA=PCB(垂直的定义) P 在PCA和PCB中, AC=CB(已知), PCA=PCB(已证) B C PC=PC(公共边) ∴ PCA ≌ PCB(SAS) N
证明题: 2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 求证:AD∥BC. C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知) ∴ CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理) ∴ 1= 3(等边对等角) 又∵ AB平分CAD(已知) 3 1 A B 1= 2(角平分线的定义) ∴ 2 O ∴ 2= 3(等量代换) ∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行) D
B
点P为校址
作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
A
B l
P
点P为所求作的点
填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形.
A
1题图 B
E C
D
填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高, E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号) A A
证明题:4.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分 AD交BC的延长线于F,连结AF. 求证: CAF= B. A 3 2 1
E 4
B D C F
A 3 2 1 E
4
F B D C 证明:∵ EF垂直平分AD(已知) ∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理) ∴ 1+ 2= 4(等边对等角) 又∵ 4= B+ 3(三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和)
∴ 1+ 2= B+ 3 ∵ AD平分BAC(已知) ∴ 2= 3(角平分线的定义) ∴ 1= B 即 CAF= B.
如图,已知:AOB,点M、N. 求作:一点P,使点P到AOB两边的 距离相等,并且满足PM=PN.
A
.
O
M
.P
.
N
点P为所求 作的点
随堂练习
A D E C
B
E
3、在△ABC中， AB=AC，AB的中垂线 与AC所在的直线相交 所得的锐角为50°， 700或20 则∠B=______. 0
A D C B
M
P P/
已知线段AB,有一 点P,并且PA=PB. 那么,点P是否一定 在AB的垂直平分 线上?
这样的点P /不存在
A
C
B
N
已知: 线段AB,且PA=PB 求证: 点P在线段AB的垂直
P
平分线MN上.
A
C
证明: 过点P作PCAB垂足为C. 在Rt PCA和Rt PCB中 PA=PB，PC=PC ∴ PCA ≌ PCB(HL) ∴ＡＣ＝ＢＣ B
∴PC是线段AB的垂直平分线. 即点P在线段AB的垂直 平分线MN上.
B
D
C
5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直 平分线.请你指出图中相等的线段有哪些? D AD =BD AC = BC CF = BF CE = BE 3 F CF =DF
2
即:BF=CF=DF
A
C
E
1
B
证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD 平分ABC交AC于D. 求证:D点在AB的垂直平分线上. A 证明: ∵ C=90o, A=30o(已知) ∴ ABC=60o(三角形内角和定理) ∵BD平分A BC(已知) ∴ ABD=30o(角平分线的定义) 30o ∴ A= ABD (等量代换) D ∴ AD=BD(等角对等边) ∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一 30o 条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上.) C B
B
1题图 B
E C
2题图 B
E C
D
D
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂 直平分线MN交AC于D,则 1= 60o , A 2= 45o .
30o
M 1
D N
30o
B 2 75o C
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm A
M
A
C
B
N
M
A
B
C
N
线段的垂直平分线可以看作是
和线段两个端点距离相等 的所有点的集合.
角的平分线
A D P O E C
线段的垂直平分线
M
P
A N B
B
性质定理： 在角的平分线上的点到 性质定 理： 线段垂直平分线上的 点和这条线段两个端点的距离相等。 这个角的两边的距离相等。 逆定理： 到一个角的两边的距离 相等的点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的两边距离相等 的所有点的集合 逆定理 ： 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线可以看作是和线段 两个端点距离相等的所有点的集合
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
M P
当点P与点C重合时,上述证 明有什么缺陷? PCA与PCB将不存在. PA与PB还相等吗? B
A
C N
相等!
此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB ∴PA=PB
随堂练习
1、在△ABC,PM,QN分别垂直
平分AB,AC，则: (1)若BC=10cm则△APQ的周长 10 =_____cm; (2)若∠BAC=100°则 200 ∠PAQ=______.
例 已知:如图ABC中,边AB、BC的 A 垂直平分线相交于点P. M 求证:PA=PB=PC. M/ 证明: ∵ 点A在线段 P AB的垂直平分线上 N C B (已知) N/ ∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点距离相等) 同理 PB=PC ∴ PA=PB=PC.
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址. C P A
证明题:3.已知:如图,在ABC中, AB=AC,A=120o, AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F. 求证:CF=2BF.
A E
300 300
60O F AF=BF
30O
B
CF=2AF
C
CF=2BF
线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等. 和一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合.
逆定理
和一条线段两个端 点距离相等的点,在 这条线段的垂直平 分线上.
线段的垂直平分 线上的点到这条 线段两个端点的 距离相等. 性质定理可以用来 证明两条线段相等 （或三角形是等腰 三角形）.
逆命题
和一条线段的两个端点 距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上.
逆定理可以用来证明 点在直线上(或直线经 过某一点).
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址. C
A
B
P A
M
C
B
N
M
A
C
B
N
Q
M P
.
A
CBΒιβλιοθήκη .QN定理(线段垂直平分线的性质定理) 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
定理 线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的 距离相等.
已知： 直线MNAB，垂足是C，
且AC=CB.点P在MN上.
M P 求证： PA=PB A
C
N
B
A
证明: ∵MNAB（已知） M ∴PCA=PCB(垂直的定义) P 在PCA和PCB中, AC=CB(已知), PCA=PCB(已证) B C PC=PC(公共边) ∴ PCA ≌ PCB(SAS) N
证明题: 2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 求证:AD∥BC. C 证明: ∵线段CD垂直平分AB(已知) ∴ CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理) ∴ 1= 3(等边对等角) 又∵ AB平分CAD(已知) 3 1 A B 1= 2(角平分线的定义) ∴ 2 O ∴ 2= 3(等量代换) ∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行) D
B
点P为校址
作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
A
B l
P
点P为所求作的点
填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形.
A
1题图 B
E C
D
填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高, E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号) A A
证明题:4.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分 AD交BC的延长线于F,连结AF. 求证: CAF= B. A 3 2 1
E 4
B D C F
A 3 2 1 E
4
F B D C 证明:∵ EF垂直平分AD(已知) ∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理) ∴ 1+ 2= 4(等边对等角) 又∵ 4= B+ 3(三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和)
∴ 1+ 2= B+ 3 ∵ AD平分BAC(已知) ∴ 2= 3(角平分线的定义) ∴ 1= B 即 CAF= B.
如图,已知:AOB,点M、N. 求作:一点P,使点P到AOB两边的 距离相等,并且满足PM=PN.
A
.
O
M
.P
.
N
点P为所求 作的点
随堂练习
A D E C
B
E
3、在△ABC中， AB=AC，AB的中垂线 与AC所在的直线相交 所得的锐角为50°， 700或20 则∠B=______. 0
A D C B
M
P P/
已知线段AB,有一 点P,并且PA=PB. 那么,点P是否一定 在AB的垂直平分 线上?
这样的点P /不存在
A
C
B
N
已知: 线段AB,且PA=PB 求证: 点P在线段AB的垂直
P
平分线MN上.
A
C
证明: 过点P作PCAB垂足为C. 在Rt PCA和Rt PCB中 PA=PB，PC=PC ∴ PCA ≌ PCB(HL) ∴ＡＣ＝ＢＣ B
∴PC是线段AB的垂直平分线. 即点P在线段AB的垂直 平分线MN上.