浙江省杭州二中2013-2014学年高一上学期期中数学试题
浙江省杭州二中2013-2014学年高一上学期期末数学试卷 Word版含答案
2013学年第一学期杭州二中高一年级数学期末试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}06,U x x x Z =≤≤∈，A ＝{1,3,6}，B ＝{1,4,5}，则A ∩(C U B )＝（ ） A ．{3,6} B ．{4,5} C ．{1} D ．{1,3,4,5,6}2．设1232,(2)()log (1),(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((2))f f 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知向量a ,b 满足2a b == ,a 与b 的夹角为120,则a b - 的值为 （ ） A ．1 B ．3 C ．23 D ．32 4．若α是第三象限的角, 则2απ-是（ ）A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角5．要得到函数cos()3y x π=+的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）A ．向左平移6π个长度单位 B ．向右平移6π个长度单位 C ．向左平移56π个长度单位D ．向右平移56π个长度单位6．一种波的波形为函数sin()2y x π=-的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t 的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是 （）8．已知α终边上一点的坐标为（2sin3,2cos3),-则α可能是（ ） A ．32π- B ．3 C ．3π- D ．32π-9．已知函数()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图象如图所示，则不等式()cos 0f x x <的解集是（ ）A ．(3,)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃B ．(,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃ C ．(3,1)(0,1)(1,3)--⋃⋃ D ．(3,)(0,1)(1,3)2π--⋃⋃10． 已知函数22sin cos 2()2cos x x x xf x x x+++=+的最大值是M ，最小值为N （ ）A ．4M N -=B ．4M N +=C ．2M N -=D ．2M N +=二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．cos600 的值为 ．12．电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数sin()6I A t πω=+（0A >，0ω≠）的图象如图所示，则当150t =秒时，电流强度是 安．13．函数()sin f x x x =-的零点个数为 ．14． 如图所示，在ABC ∆中，,,1BC AD AB AD =⊥=， 则AC AD ⋅=．15．关于x 的方程1426(5)0x x k k k +⋅-⋅+-=在区间[0,1]上有解，则实数k 的取值范围是________．16．设符号1()(1)(2)(3)()ni f i f f f f n ==+++⋅⋅⋅+∑，令函数1()sin()24ni I n i ππ==⨯+∑，12()cos()36ni L n i ππ==⨯+∑，则(2013)(2014)I L += ． 17．关于x 的不等式1(sin 1)sin 2x x m m +-+≥对[0,]2x π∈恒成立，则实数m 的取值范围是．2013学年第一学期杭州二中高一年级数学期末答卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分．11． 12． 13． 14．15． 16． 17．三、解答题：本大题共4小题．共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分9分） 已知函数()2sin(2)13f x x π=++，（Ⅰ）用“五点法”画出该函数在一个周期内的简图； （Ⅱ）写出该函数的单调递减区间．19．（本题满分10分）已知O 为坐标原点，点(2,0),(0,2),(cos ,sin )A B C αα，且0απ<<．（Ⅰ）若75AC BC ⋅= ，求tan α的值；（Ⅱ）若，求OB 与OC的夹角．20．（本题满分11分) 已知α为第三象限角，()f α=（Ⅰ）化简()f α； （Ⅱ）设2()()tan g f ααα=-+，求函数()g α的最小值，并求取最小值时的α的值．21．（本题满分12分) 已知a R ∈，设函数2()lg 2lg 4g x x a x =-+ 1([,))10x ∈+∞的最小值为().h a（Ⅰ）求()h a 的表达式；（Ⅱ）是否存在区间[,]m n ，使得函数()h a 在区间[,]m n 上的值域为[2,2]m n ？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．2013学年第一学期杭州二中期末考试高一年级数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分．11． 12-12． 5 13． 1 1415． [5,6] 16．2 17． 13(,][,)22-∞⋃+∞ 三、解答题：本大题共4小题．共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分9分） 已知函数()2sin(2)13f x x π=++，（Ⅰ）用“五点法”画出该函数在一个周期内的简图； （Ⅱ）写出该函数的单调递减区间．（Ⅱ）单调递减区间：3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 或结合图象得：7[,]()1212k k k Z ππππ++∈ 19．（本题满分10分）已知O 为坐标原点，点(2,0),(0,2),(cos ,sin )A B C αα，且0απ<<．（Ⅰ）若75AC BC ⋅= ，求tan α的值；（Ⅱ）若||OA OC += OB 与OC的夹角． 解：（1）75AC BC ⋅= ，1sin cos 5αα⇒+=-12sin cos ,0,cos 0.(,)252παααπααπ⇒=-<<∴<∴∈7sin cos5αα⇒-=，3sin54cos5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3tan.4α∴=-（2）因为||OA OC+=12c o s3O A O Cπαα⋅==∴=，cos.6||||OB OCOB OCπθθ⋅⇒===20．（本题满分11分) 已知α为第三象限角，()fα=（Ⅰ）化简()fα；（Ⅱ）设2()()tang fααα=-+，求函数()gα的最小值，并求取最小值时的α的值．解：（Ⅰ）()fα=1sin1sin2sincos cos cosαααααα+-=-=又α为第三象限角，则()2tanfαα=-（Ⅱ）221()()2(tan)44tan tang fααααα=-+=+=+≥=，tan1α=，即52()4k k Zαππ=+∈时，取等号，即()gα的最小值为4.21．（本题满分12分) 已知a R∈，设函数2()lg2lg4g x x a x=-+1([,))10x∈+∞的最小值为().h a（Ⅰ）求()h a的表达式；（Ⅱ）是否存在区间[,]m n，使得函数()h a在区间[,]m n上的值域为[2,2]m n？若存在，求出,m n的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）1()lg,[,)10f x x x=∈+∞则()[1,)f x∈-+∞222()lg2lg4(lg)4g x x a x x a a=-+=-+-当1a≤-时，22()(1)452h a a a a=--+-=+；当1a>-时，2()4h a a=-.综上得252,(1)()4,(1)a a h a a a +≤-⎧=⎨->-⎩； （Ⅱ）显然，()4h a ≤，则242,,2n n m n m ≤⇒≤<<.（1）当1n ≤-，函数在此区间递增，则522522m mn n +=⎧⎨+=⎩，显然不符；（2）当10n -<≤，（ⅰ）当1m ≤-，函数在此区间递增，则522m m +=，显然不符；（ⅱ）当10m -<<，则2242242m mm n n n⎧-=⎪⇒+=-⎨-=⎪⎩，显然不符； （3）当02n <≤，（ⅰ）当1m ≤-，则522m m +=，显然不符；（ⅱ）当10m -<<，函数在此区间递增，则2421422m m m n n ⎧⎧-==-±⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩不符；（ⅲ）当02m ≤<，函数在此区间递减，则22420242m n m n n m ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩，符合题意. 综上，存在符合题意的,m n ，且0,2m n ==.。
浙江省杭州二中2014届高三数学上学期第二次月考试题 理
杭州二中2013学年第一学期高三年级期中考试数学试卷注意事项：考试时间：120分钟；满分：150分。
本场考试不得使用计算器，请考生用水笔或钢笔将所有试题的答案填写在答题纸上，答在试卷上的无效。
一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1. 设b a、为向量，则“a b a b ⋅=”是“b a //”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 33. 已知函数12()log 1f x x =-，则下列结论正确的是（ ）Ａ. 1()(0)(3)2f f f -<< Ｂ. 1(0)()(3)2f f f <-< Ｃ. 1(3)()(0)2f f f <-< Ｄ.1(3)(0)()2f f f <<-4．将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是（ ） A ．2cos x B ．x sin 2 C ．sin x D ．cos x5．若4sin()sin cos()cos 5αββαββ---=，且α为第二象限角，则tan()4πα+=（ ）A ．7B ．17C ．7-D ．17-6.若数列{}{},n n a b 的通项公式分别是20132012(1)(1),2,n n n n a a b n++-=-=+且n n a b <对任意n N *∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，B ．1-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，C ．3-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，D ．3-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，7．设函数f(x)=x 2－23x+60, g(x)=f(x)+|f(x)|，则g(1)+g(2)+…+g (20)=（ ） A ．0 B ．38 C ． 56 D ．1128．设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点123,,x x x ，且123,x x x <<则下列结论正确的是（ ）A ．11x >-B ．20x <C ．201x <<D ．32x >9.已知()log (1),()2log (2)(1)a a f x x g x x t a =+=+>,若[0,1),[4,6)x t ∈∈时，)()()F x g x f x =-（有最小值4，则a 的最小值为（ ）A.1B.2C.1或2D. 2或410．已知定义在[1,)+∞上的函数4812(12)()1()(2)22x x f x x f x --≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则 ( )A.在[1,6）上，方程1()06f x x -=有5个零点 B.关于x 的方程1()02nf x -=（n N *∈）有24n +个不同的零点 C.当1[2,2]n n x -∈（n N *∈）时，函数()f x 的图象与x 轴围成的面积为4D.对于实数[1,)x ∈+∞，不等式()6xf x ≤恒成立 二．填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分） 11.已知4cos(),25πθ+=则cos2θ的值是 . 12.平面向量a b 与的夹角为060，(2,0),223,a a b b =+==则 .13.函数()sin (),()2,()0,f x x x x R f f ωωαβ=+∈=-=又且-αβ的最小值等于2π，则正数ω的值为 .14.已知正实数a b 、满足21a b +=，则2214a b ab++的最小值为 . 15.记数列{}n a 的前n 和为n s ，若n n s a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为d 的等差数列，则{}n a 为等差数列时,d 的值为 . 16.设实数1x 、2x 、、n x 中的最大值为{}12max n x x x ，，，，最小值{}12min n x x x ，，，，设ABC ∆的三边长分别为a b c 、、，且a b c ≤≤，设ABC ∆的倾斜度为t =max min a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，，设2=a ，则t 的取值范围是 .17.已知向量αβγ、、满足1α=，αββ-=，()()0αγβγ-⋅-=.若对每一确定的β，γ的最大值和最小值分别是m n 、，则对任意β，m n -的最小值是 . 三．解答题（本大题有5小题，共72分） 18. （本题满分14分）已知集合{}2=320A x x x -+≤，集合{}2B=2y y x x a =-+，集合{}2C=40x x ax --≤.命题:p A B ≠∅，命题:q A C ⊆(Ⅰ)若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围.19. （本题满分14分）在数列{}n a 中，点1(,)(1,2,,)i i P a a i n +=在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：112,().n n n b b a a n N *+==-∈(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若2121log ,,n n n n nc b s c c c b ==+++求12602n n s n +->+成立的正整数n 的最小值.20.（本题满分14分）已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2. (Ⅰ)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值(Ⅱ)设△ABC 的对边分别为c b a ,,，且3=c ，0)(=C f ,若A B sin 2sin =，求b a ,的值.21．（本小题满分15分） 已知函数()1ln(02)2xf x x x=+<<-. (Ⅰ)是否存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数 ()y f x =的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)定义2111221()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==++⋅⋅⋅+∑，其中*n ∈N ，求2013S ； （Ⅲ）在（2）的条件下，令12n n S a +=，若不等式2()1n amn a ⋅>对*n ∀∈N ，且2n ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 22．（本小题满分15分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”； 若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的 集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω.(Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围；(Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t ⋅+->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的 最小值；若不存在，说明理由.杭州二中2013学年第一学期高三年年级期中考试数学答案一、选择题二、填空题 11.725-12.1 13.1 14.217 15.1或12 16. 17.12三、解答题18.解;{}222(1)11,1y x x a x a a B y y a =-+=-+-≥-∴=≥-,{}{}232012A x x x x x =-+≤=≤≤, {}240C x x ax =--≤(Ⅰ)由命题p 是假命题，可得=A B ∅，即得12,3a a ->∴>. (Ⅱ) p q ∧为真命题，∴p q 、 都为真命题， 即AB ≠∅，且A C ⊆ ∴有121404240a a a -≤⎧⎪--≤⎨⎪--≤⎩，解得03a ≤≤.19.解: (Ⅰ)依题意1112,222()2n n n n n n n n n n n a a k b a k a a kb a k a k k a k b +++=+∴=+-=+∴=+=++=+=又12,b = 而12n nbb +=，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.即得1222n nn b -==，为数列{}n b 的通项公式. -------6分(Ⅱ)由2211log 2log 2.2n n n n n n c b n b ==⋅=-⋅ 2312()1222322n n n s c c c n -=-+++=⨯+⨯+⨯++⨯23412122232(1)22n n n s n n +∴-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯上两式相减得 23112(12)22222212n nn n n s n n ++-=++++-⨯=-⨯-11222n n n ++=-⨯- 由12602n n s n +->+，即得11260,260n n n n ++⋅>∴>，又当4n ≤时，15223260n +≤=<，当5n ≥时，16226460.n +≥=>故使12602n n s n +->+成立的正整数的最小值为5. -------14分20.解: (Ⅰ)211+cos21()2cos 222x f x x x x =--=--1)62sin(--=πx 由]125,12[ππ-∈x ，∴26x π-∈2[,]33ππ-()f x ∴的最小值为.0,231最大值---------7分 (Ⅱ)由0)(=C f 即得()sin(2)106f C C π=--=，而又(0,)C π∈，则112(,),266662C C πππππ-∈-∴-=，∴3C π=，则由22222222cos 3b a b a c a b ab C a b ab==⎧⎧⎨⎨=+-=+-⎩⎩即 解得1,2a b ==. ----------14分21.（1）假设存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上，则函数()y f x =图像的对称中心为(,)M a b . 由()(2)2f x f a x b +-=，得21ln1ln 2222x a xb x a x-+++=--+， 即22222ln 0244x axb x ax a -+-+=-++-对(0,2)x ∀∈恒成立，所以220,440,b a -=⎧⎨-=⎩解得1,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以存在点(1,1)M ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上. -------5分（Ⅱ）由（1）得()(2)2(02)f x f x x +-=<<.令i x n =，则()(2)2i if f n n+-=(1,2,,21)i n =⋅⋅⋅-. 因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n n n =++⋅⋅⋅+-+-①，所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②，由①+②得22(21)n S n =-，所以*21()n S n n =-∈N .所以20132201314025S =⨯-=.-------10分（Ⅲ）由（2）得*21()n S n n =-∈N ，所以*1()2n n S a n n +==∈N . 因为当*n ∈N 且2n ≥时，2()121ln ln 2n a m n m n n m a n n ⋅>⇔⋅>⇔>-.所以当*n ∈N 且2n ≥时，不等式ln ln 2n m n >-恒成立minln ln 2n m n ⎛⎫⇔>- ⎪⎝⎭. 设()(0)ln xg x x x=>，则2ln 1()(ln )x g x x -'=. 当0x e <<时，()0g x '<，()g x 在(0,)e 上单调递减； 当x e >时，()0g x '>，()g x 在(,)e +∞上单调递增. 因为23ln 9ln8(2)(3)0ln 2ln 3ln 2ln 3g g --=-=>⋅，所以(2)(3)g g >， 所以当*n ∈N 且2n ≥时，[]min 3()(3)ln 3g n g ==. 由[]min ()ln 2m g n >-，得3ln 3ln 2m >-，解得3ln 2ln 3m >-. 所以实数m 的取值范围是3ln 2(,)ln 3-+∞.-------15分22.解：(Ⅰ)1(),f x ∈Ω且2(),f x ∉Ω即2()()2f x g x x hx h x==--在(0,)+∞上是增函数，∴0h ≤2分 而2()()2f x h h x x h x x==--在(0,)+∞不是增函数，而'2()1,h h x x =+当()h x 是增函数时0h ≥，∴ ()h x 不是增函数时，0h <，综上0h <4分.(Ⅱ)1(),f x ∈Ω且0a b c <<<a b c <++，则()()4,f a f a b c a a b c a b c++<=++++4()a f a d a b c ∴=<++，同理44(),()b cf b d f c t a b c a b c=<=<++++，则有 4()()()()24a b c f a f b f c d t a b c ++++=+<=++，240d t ∴+-<，又(),0d d d b a a b ab-<∴<，而00b a d >>∴<，0d ∴<，(24)0d d t ∴+->8分.(Ⅲ){}2()(),,(0,),()f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取∴对任意()f x ∈ψ,存在常数k ，使得()f x k <，对(0,)x ∈+∞成立.先证明()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立，假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >，记020()0f x m x =>. ()f x 是二阶比增函数，即2()f x x是增函数，0x x ∴>时，0220()()f x f x m x x >=，2()f x mx ∴>， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与对(0,)x ∈+∞，()f x k <矛盾.11分∴()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立. 即任意()f x ∈ψ，()0f x ≤对(0,)x ∈+∞成立.下面证明()0f x =在(0,)x ∈+∞上无解:假设存在20x >，使得2()0f x =，一定存在320x x >>，3232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾，()0f x ∴=在(0,)x ∈+∞上无解. 综上，对任意()f x ∈ψ，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，存在0,(0,)M x ≥∈+∞使，任意()f x ∈ψ， 有()f x M <成立，min 0M ∴=. 15.。
浙江省杭州二中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含答案
杭州二中 2014学年第二学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域为 (A){}3,1(B){}3,1-(C) {}3,1--(D) {}3,1-2.周长为1,圆心角为rad 1的扇形的面积等于(A) 1 (B)31 (C) 91 (D) 1813.在ABC ∆中，已知:4=a ，x b =，︒=60A ，如果解该三角形有两解，则(A)4>x (B)40≤<x (C)3384≤≤x(D)3384<<x 4．函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图，则ω、ϕ可以取的一组值是（ ）(A) ,24ππωϕ==(B) ,36ππωϕ==(C) ,44ππωϕ== (D) 5,44ππωϕ==5.四边形ABCD 中,3,2,90===∠=∠︒AD AB ADC ABC ,则=⋅ (A) 5 (B) 5- (C) 1(D) 1-6．已知函数x a x y cos sin +=的图象关于直线x =35π对称,则函数x x a y cos sin +=的图象关于直线 （A ） x =3π对称 （B ）x =32π对称 （C ）x =611π对称 （D ）x =π对称 7.C B A ,,为圆O 上三点，且直线OC 与直线AB 交于圆外．．一点，若OB n OA m OC +=,则n m +的范围是(A) )1,0( (B) ),1(+∞ (C) )0,1(- (D) )1,(--∞8.在ABC ∆中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，则ABC ∆是(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．9.已知:),3(),2,1(m =-=,若⊥，则=m ;若//,则=m 10.已知:55cos sin =+θθ(πθπ<<2),则θtan =_________11若将函数)0)(43sin(2>+=a ax y π的图象向右平移4π个单位长度后，与函数)4sin(2π+=ax y 的图象重合，则a 的最小值为12.)310(tan 40sin -︒︒=__________ 13.在ABC ∆中，,3,3==AB C πAB 边上的高为34，则=+BC AC ________ 14.已知:αππ∈⎛⎝⎫⎭⎪434，，βπ∈⎛⎝ ⎫⎭⎪04，，且cos sin παπβ435541213-⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-，，则()cos αβ+=_______15.已知:,,都为单位．．向量,其中,的夹角为32π,则+的范围是__________三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函数1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若)3,4(ππ-∈x ,求)(x f 的值域. 17.(本题满分10分)在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos ==(Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+; (Ⅱ)求βtan 的最大值.19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22(Ⅰ)求A cos 的值；(Ⅱ)若2=a ,求⋅的取值范围; (Ⅲ)若2=b ,求⋅的取值范围.杭州二中 2014学年第二学期高一年级期中考试数学答卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分, 共32分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题有7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷中的横线上．9． __________ 10． 11．12． 13． 14． 15 ． 三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函数1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若)3,4(ππ-∈x ,求)(x f 的值域.17.(本题满分10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos ==(Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+;(Ⅱ)求βtan 的最大值.19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22(Ⅰ)求A cos 的值；(II)若2=a ,求BC BA ⋅的取值范围; (III)若2=b ,求⋅的取值范围.2014学年第二学期杭州二中高一数学期中答案二、选择题：本大题共8小题，每小题4分, 共32分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题有7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷中的横线上．10． 2___6-__ 10． 2- 11． 212． 1- 1314． 65-15 ． ]2,26[三、解答题：本大题有4小题, 共40分． 16.(本题满分10分)已知函1cos 2)62sin()(2-+-=x x x f π(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间； (Ⅱ)若)3,4(ππ-∈x ,求)(x f 的值域.解 (Ⅰ)f(x)＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝)62sin(π+x ...................3分 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，即f(x)的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)．...............6分(II)由)3,4(ππ-∈x ,得)65,3(62πππ-∈+x , 故)(x f =)62sin(π+x 的值域为]1,23(-.........................10分 17.(本题满分10分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知C B A cos 5sin ,32cos ==(Ⅰ)求C sin 的值； (Ⅱ)若2=a ，求ABC ∆的面积．解:(Ⅰ)∵cos A ＝23＞0，∴sin A=，cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos Acos C ＋23sin C ． 整理得：tan C．所以sin C ＝630．................................5分 (Ⅱ)由正弦定理知：sin sin a cA C=，故c = (1) 对角A 运用余弦定理：cos A ＝222223b c a bc +-=． (2)解(1) (2)得：b =or b舍去)． ∴∆ABC 的面积为：S．......................................10分 18.(本题满分8分)已知锐角,αβ满足:αβαβsin )cos(3sin +=,且2πβα≠+(Ⅰ)求证:αβαtan 4)tan(=+; (Ⅱ)求βtan 的最大值.解:(Ⅰ)由:αβααβαβsin )cos(3])sin[(sin +=-+=展开 得到:αβααβαsin )cos(4cos )sin(+=+所以:αβαtan 4)tan(=+................................................4分(Ⅱ)由:αβαβαβαtan 4tan tan 1tan tan )tan(=-+=+ 化简得:43tan 1tan 431tan 4tan 3tan 2≤+=+=ααααβ 所以:βtan 的最大值为43,当且仅当21tan =α时取到.............................................8分19.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且bc a c b ︒=-+75tan )(22(Ⅰ)求A cos 的值；(II)若2=a ,求⋅的取值范围; (III)若2=b ,求⋅的取值范围. 解:(Ⅰ)因为:32)3045tan(75tan +=+=︒︒︒所以:bc a c b ︒=-+75tan )(22展开后得:bc c b a 3222-+= 故A cos =23,即6π=A .............................4分 (II)由6,2π==A a ,得ABC ∆外接圆直径42=R ,且点A 在优弧上任意运动.由图:BC AD ⊥于点D ,设有向线段BD 长为x ,则⋅=x 2 由图可知:]3,1[-∈x ,故]6,2[-∈⋅....................................................8分(III)设线段AC 中点为D,由图可知),21[+∞∈BD 由极化恒等式:⋅=]4[41])()[(412222-=--+=12-BD 所以:),43[+∞-∈⋅BC BA.........................................12分。
浙江省杭州市某重点中学2013-2014学年高一上学期期中数学试题Word版含答案
2013学年第一学期期中考试高一数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.第 Ⅰ 卷 （选择题 共50分）注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.一、选择题：（每小题5分，共50分）1. 若{1,2,3,4},{1,2},{2,3}U M N ===，则()N M C U 是 A ．{1,2,3} B ．{2} C.{4} D ．{1,3,4}2. 函数y =+A ．()0,1B ．[)1,+∞ C.(][),01,-∞⋃+∞ D ．[]0,13.若函数32)2(+=+x x g ，则)3(g 的值是A ． 9B ． 7 C. 5 D ． 34. 函数=)(x f 23x x +的零点所在的一个区间是A ．)1,2(--B ．)0,1(- C.)1,0( D ．)2,1(5. 当()1,0∈x 时，函数的图象恒在直线x y =下方的奇函数是 A ．3x y = B ．2x y = C.21x y =． D ．1-=x y6. 已知函数()⎩⎨⎧<->=.0,1,0,1x x x f 若b a ≠，则2)()(b a f b a b a --++的值A ．一定是aB ．一定是b C. 是b a ,中较大的数 D ．是b a ,中较小的数7. 函数)10(1≠>-=a a aa y x 且的图象可能是8. 若函数2log ()y f x =的值域是(0,)+∞，则()f x 可以等于A ．1()12x + B C.2xD ．12+x9. 三个数51353,2log ,3log ===c b a 大小的顺序是A ．a b c >>B ． a c b >> C.a b c >> D ． c a b >>10. 已知函数()x f 在()+∞,0上为单调函数，且()[]2log 2=--x x x f f ，则()=2f A ．4 B ．3 C.2 D ．1第 Ⅱ 卷 （非选择题 共100分）注意事项：将卷Ⅱ的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.二、填空题（每小题4分，共28分）11. 设集合{}2,1=A ，{}m B ,3,2=，若A B A = ，则实数m =▲ ．12. 2110025lg 41lg -÷⎪⎭⎫⎝⎛-＝ ▲ .13. 函数21+=-x a y （10≠>a a 且）的图象恒过定点 ▲ .14. 已知21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()26f a =，则a = ▲ .15. 已知函数()322+-=ax x x f 在区间[)+∞,1上是增函数，则()2f 的最小值为 ▲ ．16. 已知函数12)(++=x x x f , 则=++++++)100()2()1()21()991()1001(f f f f f f ▲ .17. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-=2,59212,22x k x k x kx x x f ，若存在R x x ∈21,，且21x x ≠，使得()()21x f x f =，则实数k 的取值范围是 ▲ ．三、解答题（共72分）18.（本题满分14分）已知集合{}02≥-=x x x A ，{}a x x B <=. （Ⅰ）求A C R ；（Ⅱ）若A B A = ，求实数a 的取值范围.19.（本题满分14分）已知函数xxx f -+=11ln)(． （Ⅰ）求证：对于)(x f 的定义域内的任意两个实数b a ,，都有)1()()(ab b a f b f a f ++=+；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性，并予以证明．20.（本题满分14分）已知定义域为R 的函数2()12x xaf x -+=+是奇函数．（Ⅰ）求实数a 值；（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性．21.（本题满分14分）已知二次函数()22++=ax x x f .（Ⅰ）若函数()x f 在区间[]4,3上单调且有最大值为2，求实数a 值；（Ⅱ）若函数()x f 的图象与连接两点()()3,2,1,0N M 的线段（包括N M ,两点）有两个相异的交点，求实数a 的取值范围.22.（本题满分16分）已知函数xax y +=有如下性质：如果常数0>a ，那么该函数在(]a ,0上是减函数，在[)+∞,a 上是增函数．（Ⅰ）若函数xx y b2+=（)0>x 的值域为[)+∞,6，求实数b 的值；（Ⅱ）已知()[]1,0,1231242∈+--=x x x x x f ，求函数()x f 的单调区间和值域；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的函数()x f 和函数()c x x g 2--=，若对任意[]1,01∈x ，总存在[]1,02∈x ，使得()()12x f x g =成立，求实数c 的值.2013学年第一学期期中考试高一数学答案一、 选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题4分，共28分）18.（本题满分14分）已知集合{}02≥-=x x x A ，{}a x x B <=. (Ⅰ)求A C R ；（Ⅱ）若A B A = ，求实数a 的取值范围.解：(Ⅰ) {}01≤≥=x x x A 或 ……… 3分 {}10<<=∴x x A C R ……………… 4分（Ⅱ） A B A = ，A B ⊆∴………3分 0≤∴a …………………………4分19.（本题满分14分）已知函数xxx f -+=11ln)(． (Ⅰ)求证：对于)(x f 的定义域内的任意两个实数b a ,，都有)1()()(abba fb f a f ++=+； （Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性，并予以证明． 解： 函数的定义域为)1,1(- ……………………………………………………………………………2分 (Ⅰ)证明：任意)1,1(,-∈b a ，有a ab f a f -+=+11ln)()(b b-++11ln)1)(1()1)(1(ln b a b a --++=，…………………………………………2分b a ab b a ab ab b a ab ba ab b a f --++++=++-+++=++11ln 1111ln )1()1)(1()1)(1(lnb a b a --++=, 所以)1()()(abba fb f a f ++=+.……………………………………………………4分（Ⅱ）对任意)1,1(-∈x ,有)(11ln )11ln(11ln )(1x f xxx x x x x f -=-+-=-+=+-=--.所以)(x f 在其定义域)1,1(-上是奇函数. ……………………………………………………………6分 20.（本题满分14分）已知定义域为R 的函数2()12x x af x -+=+是奇函数．(Ⅰ)求实数a 值；（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性．解：(Ⅰ) )(x f 是R 上的奇函数，0)0(=∴f ，从而1=a ，1212)(++-=x x x f ………………2分此时)(21211211211212)(x f x f xx x x x x -=++-=++-=++-=--- 1=∴a .……………………………4分（Ⅱ）)(x f 是R 上的减函数……………………………………………………………………………2分设21x x <，则12212212121212)()(21221121+-+=++--++-=-x x x x x x x f x f 0)12)(12()22(22112>++-=x x x x)(x f 在R 上是减函数.……………………………………………6分 21.（本题满分14）已知二次函数()22++=ax x x f .(Ⅰ) 若函数()x f 在区间[]4,3上单调且有最大值为2，求实数a 值；（Ⅱ）若函数()x f 的图象与连接两点()()3,2,1,0N M 的线段（包括N M ,两点）有两个相异的交点，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）当32≤-a，即：6-≥a ，则()24=f ，得4-=a ； ……………………………………3分 当42≥-a，即：8-≤a ，则()23=f ，得3-=a （舍去）； ……………………………………3分于是4-=a ……………………………………………………………………………1分 （Ⅱ）:MN l 1+=x y ,由题意：原命题等价于122+=++x ax x 在[]2,0上有两个不等的实根.……2分设()()112+-+=x a x x f ，即函数()x f y =在[]2,0有两个零点.于是有：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--<--<≥0412210022a a f ，…3分 得：123-<≤-a …………………………………………………………………………………………2分22. （本题满分16分）已知函数xax y +=（)0>x 有如下性质：如果常数0>a ，那么该函数在(]a ,0上是减函数，在[)+∞,a 上是增函数．（Ⅰ）若函数xx y b2+=（)0>x 的值域为[)+∞,6，求实数b 的值；（Ⅱ）已知()[]1,0,1231242∈+--=x x x x x f ，求函数()x f 的单调区间和值域；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的函数()x f 和函数()c x x g 2--=，若对任意[]1,01∈x ，总存在[]1,02∈x ，使得()()12x f x g =成立，求实数c 的值.解：（Ⅰ）由所给函数）（0>+=x xax y 性质知，当0>x 时，a x =时函数取最小值a 2；所以对于函数xx y b2+=，当b x 2=时取得最小值b 22，所以622=b ，∴9log 2=b ……………………………………………………………4分（Ⅱ）设12+=x t ，[]3,1∈t ，()t t t t f 482+-==84-+tt （[]3,1∈t ）所给函数）（0>+=x xa x y 性质知：()t f 在[]2,1单调递减，[]3,2单调递增 所以：()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0单调递减，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21单调递增.于是()421min -=⎪⎭⎫⎝⎛=f x f ，()()(){}31,0max max -==f f x f ，()[]3,4--∈x f …………………………………………6分（Ⅲ）因为()x g 在[]1,0单调递减，所以()[]c c x g 2,21---∈，由题意知：[][]c c 2,213,4---⊆--于是有：⎩⎨⎧-≥--≤--32421c c ，得：23=c .…………………………………………6分。
杭州二中2014学年第一学期高一年级期中考数学试卷
杭州二中2014学年第一学期高一年级期中考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合{}13579A =，，，，，{}036912B =，，，，，则()N A B ⋂=ð（ ） A ．{}157，， B ．{}357，， C ．{}139，，D ．{}123，，2．设0.40.3a =，4log 0.3b =，0.34c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >>D ．b c a >>3．设全集U 是实数集R ，{}2|4M x x =>，{}|31N x x x =<或≥都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{}|21x x -<≤B ．{}|22x x -≤≤C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x <4．函数()f x ） A ．(]2-∞， B ．()0+∞， C ．[)2+∞，D ．[]02，5．若()12g x x =-，()21log 1f g x x =⎡⎤⎣⎦+，则()1f -=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．26．与函数()2log 22x y -=表示同一函数的是（ ） A ．2y x =-B ．242x y x -=+C ．2y x =-D ．2y =7．函数()2xf x x a=+的图像不可能．．．是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知()()212log 3f x x ax a =-+在[)2+∞，上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]4-∞， B ．(]44-， C ．()02，D ．(]04，9．已知实数0a ≠，函数()2121x a x f x x a x +<⎧=⎨--⎩，，≥，若()()11f a f a -=+，则a 的值为（ ）A ．34-B ．32-C ．34-或32-D ．1-10．定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)02x ∈，时，()[)[)232011122x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，，，，，若[)42x ∈--，时，()142t f x t -≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[)()2001- ，， B ．[)[)201-+∞ ，， C ．[]21-，D ．(](]201-∞- ，，二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．22lg25lg8lg5lg20lg 23++⋅+= ．12．若()12ax f x x +=+在区间()2-+∞，上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． 13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()3x f x m =+（m 为常数），则()3log 5f -的值为 ．14．已知()2f x x =，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意[]102x ∈，，存在[]212x ∈，，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 ．15．已知t 为常数，函数24y x x t =--在区间[]06，上的最大值为10，则t = ．16．已知函数()()()()21010xx f x f x x -⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤，若方程()()10f x ax a =->有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共4小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知集合{}2|310M x x x =-≤，{}|121N x a x a =++≤≤， （1）若2a =，求()M N R ð；（2）若M N M = ，求实数a 的取值范围．18．（本题满分10分）已知定义域为R 的函数()1222x x b f x --+-=+是奇函数．（1）求b 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-<有解，求k 的取值范围．19．（本题满分12分）已知函数()()2log 41x f x ax =+-． （1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数a 的值；（2）若(]01x ∈，，不等式()()22log 41log 4x x af x ax -+-≥恒成立，求a 的取值范围． 20．（本题满分14分）已知函数()2pf x x=-（p 为大于0的常数）． （1）求函数()f x 在[]14，上的最大值（用常数p 表示）；（2）若1p =，是否存在实数m 使得函数()f x 的定义域为[]a b ，，值域为[]ma mb ，，如果存在求出实数m 的取值范围，如果不存在说明理由．。
2013-2014学年浙江省杭州二中高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)
2013-2014学年浙江省杭州二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）直线2x+3y+1=0的斜率为（）A．B．C．D．2．（3分）直线kx+y﹣2=0（k∈R）与圆x2+y2+2x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与k值有关3．（3分）直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行，则（）A．B．A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1C．D．A1A2+B1B2=04．（3分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．5．（3分）已知m是一条直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若α⊥β，m⊂α，则m⊥β；②若m⊂α，α∥β，则m∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊂α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题的序号是（）A．①③B．②C．①④D．②④6．（3分）过点C（12，16）作圆x2+y2=100的两条切线，切点为A、B，则点C 到直线AB的距离为（）A．5 B．C．10 D．157．（3分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°，E 是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值是（）A．0 B．C．D．8．（3分）若圆x2+y2=a2与圆x2+y2+ay﹣6=0的公共弦长为2，则a的值为（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．无解9．（3分）一个三棱锥铁框架的棱长均为2，其内置一气球，使其充气至尽可能的膨胀（保持球的形状），则此球的表面积为（）A． B．2πC．3πD．6π10．（3分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1=2，AB=AC=1，O为侧面四边形BB1C1C对角线的中点，则AO的长度为（）A．B． C．D．二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.请将答案填写在答题卷中的横线上.11．（4分）两异面直线m，n分别垂直于二面角α﹣l﹣β的两个半平面，且m，n所成的角为60°，则二面角α﹣l﹣β的大小是．12．（4分）直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是．13．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．14．（4分）函数的定义域是．15．（4分）若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是．16．（4分）已知圆O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为．17．（4分）在三棱锥S﹣ABC中，已知SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC ≤8．则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为．三、解答题：本大题有4小题，共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．19．（10分）已知△ABC的一个顶点A（﹣1，﹣4），∠B、∠C的内角平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0．（Ⅰ）求BC边上的高所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的内切圆方程．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，CD=1，AB=2，E是PB中点，点E在平面ACP上的射影是△ACP的重心G．（1）求PB与平面ACP所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC﹣E的平面角的正弦值．21．（12分）已知圆O：x2+y2=4与直线l：y=x+b，在x轴上有点P（3，0），（1）当实数b变化时，讨论圆O上到直线l的距离为2的点的个数；（2）若圆O与直线l交于不同的两点A，B，且△APB的面积S=，求b的值．2013-2014学年浙江省杭州二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）直线2x+3y+1=0的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：化直线2x+3y+1=0的方程为斜截式可得：y=x﹣，由斜截式的特点可知已知直线的斜率为：故选：A．2．（3分）直线kx+y﹣2=0（k∈R）与圆x2+y2+2x﹣2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．与k值有关【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+1=0化成标准方程，得（x+1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心为C（﹣1，1），半径r=1．点C到直线kx+y﹣2=0的距离d===，∴当k＜0时，点C到直线的距离d＜1，可得直线kx+y﹣2=0与圆相交；当k=0时，点C到直线的距离d=1，可得直线kx+y﹣2=0与圆相切；当k＞0时，点C到直线的距离d＞1，可得直线kx+y﹣2=0与圆相离．综上所述，直线kx+y﹣2=0与圆x2+y2+2x﹣2y+1=0的位置关系与k的取值有关．故选：D．3．（3分）直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0平行，则（）A．B．A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1C．D．A1A2+B1B2=0【解答】解：①当B1•B2≠0时，直线l1：A1x+B1y+C1=0化为：，直线l2：A2x+B2y+C2=0化为，∵l1∥l2，∴=﹣，，∴．化为A1B2=A2B1，A1C2≠A2C1．（*）②当B1B2=0时，∵l1∥l2，∴B1=B2=0，．∴（*）也成立．综上可得：B成立．故选：B．4．（3分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．【解答】解：由三视图可知该几何体上部分为四棱锥，下部分为圆柱．则四棱锥的高VO=，∴四棱锥的体积为．圆柱的高为2，底面半径为1，∴圆柱的体积为π×12×2=2π．故该几何体的体积为．故选：C．5．（3分）已知m是一条直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若α⊥β，m⊂α，则m⊥β；②若m⊂α，α∥β，则m∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊂α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题的序号是（）A．①③B．②C．①④D．②④【解答】解：①若α⊥β，m⊂α，则m与β不一定垂直，因此不正确；②若m⊂α，α∥β，利用面面平行的性质定理可得m∥β，因此正确；③若m∥α，m∥β，则α∥β或相交，因此不正确；④若m⊂α，m⊥β，利用面面垂直的判定定理可得：α⊥β，因此正确．综上可知：只有②④正确．故选：D．6．（3分）过点C（12，16）作圆x2+y2=100的两条切线，切点为A、B，则点C 到直线AB的距离为（）A．5 B．C．10 D．15【解答】解：圆x2+y2=100的圆心为O（0，0），半径r=10．连结OA、OB、OC，可得|OC|==20，∵AC切圆O与点A，∴OA⊥AC，|AC|==10，因此，以C为圆心、CA半径的圆方程为（x﹣12）2+（y﹣16）2=300，∵CA、CB为经过点C的圆O的两条切线，∴|AC|=|BC|，可得点B也在圆C上，因此AB是圆O与圆C的公共弦，将圆O与圆C的方程相减，得3x+4y﹣25=0，可得点C到直线AB的距离d==15．故选：D．7．（3分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°，E 是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值是（）A．0 B．C．D．【解答】解：以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系．在Rt△AOB中OA=，于是，点A、B、D、P的坐标分别是A（0，﹣，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）．E是PB的中点，则E（，0，）于是=（，0，），=（0，，）．设与的夹角为θ，有cosθ==，θ=arccos，∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos．8．（3分）若圆x2+y2=a2与圆x2+y2+ay﹣6=0的公共弦长为2，则a的值为（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．无解【解答】解：圆x2+y2=a2的圆心为原点O，半径r=|a|．将圆x2+y2=a2与圆x2+y2+ay﹣6=0相减，可得ay+a2﹣6=0，即得两圆的公共弦所在直线方程为ay+a2﹣6=0．原点O到ay+a2﹣6=0的距离d=|﹣a|，设两圆交于点A、B，根据垂径定理可得∴a2=4，∴a=±2．故选：A．9．（3分）一个三棱锥铁框架的棱长均为2，其内置一气球，使其充气至尽可能的膨胀（保持球的形状），则此球的表面积为（）A． B．2πC．3πD．6π【解答】解：∵一个三棱锥铁框架的棱长均为2，几何体的正四面体，如图：球的球心O在底面ABC的中心E与S的连线上，并且AO=OS，∵一个三棱锥铁框架的棱长均为2，∴SA=SB=SC=AB=AC=BC=2，∴D为BC的中点，AD=，AE=，SE===；球的半径为r，OA=，OE=SE﹣OS=SE﹣OA=，AO2=OE2+AE2，∴，解得r=∴所求球的表面积S=4πr2==2π．故选：B．10．（3分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1=2，AB=AC=1，O为侧面四边形BB1C1C对角线的中点，则AO的长度为（）A．B． C．D．【解答】解：取BC的中点D，连结OD，AD，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AA1=2，AB=AC=1，∴OD∥AA1，AD=，OD=1，由cos∠A1AB=cos∠A1AD•cos∠BAD，可得==．在△AOD中，AO2=AD2+OD2﹣2AD•ODcos∠ADO=12+（）2﹣2×=．∴AO=．故选：C．二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.请将答案填写在答题卷中的横线上.11．（4分）两异面直线m，n分别垂直于二面角α﹣l﹣β的两个半平面，且m，n所成的角为60°，则二面角α﹣l﹣β的大小是60°或120°．【解答】解：根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a，b分别垂直于两个平面，则两条直线的夹角与二面角相等或互补，∵m，n所成的角为60°，∴二面角α﹣l﹣β的大小是60°或120°．故答案为：60°或120°．12．（4分）直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是．【解答】解：把l2：2x+2y+3=0化为．∵l1∥l2，∴l1与l2的距离d==．故答案为：．13．（4分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．14．（4分）函数的定义域是[﹣1，1] ．【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得﹣1≤x≤1，∴函数的定义域为[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．15．（4分）若过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，）．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣a）2+y2=3﹣2a，可得圆心P坐标为（a，0），半径r=，且3﹣2a＞0，即a＜，由题意可得点A在圆外，即|AP|=＞r=，即有a2＞3﹣2a，整理得：a2+2a﹣3＞0，即（a+3）（a﹣1）＞0，解得：a＜﹣3或a＞1，又a＜，可得a＜﹣3或，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，）故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，）16．（4分）已知圆O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2+y2=6．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），又P（1，1），则x1+x2=x+1，y1+y2=y+1，，．由PA⊥PB，得，即（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0．整理得：x1x2+y1y2﹣（x1+x2）﹣（y1+y2）+2=0，即x1x2+y1y2=x+1+y+1﹣2=x+y ①又∵点A、B在圆上，∴②再由|AB|=|PQ|，得，整理得：=（x﹣1）2+（y﹣1）2③把①②代入③得：x2+y2=6．∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为：x2+y2=6．故答案为：x2+y2=6．17．（4分）在三棱锥S﹣ABC中，已知SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC ≤8．则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为8．【解答】解：∵在三棱锥S﹣ABC中，SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC ≤8，=SA•SB•sin∠SAB，又cos∠SAB=≤﹣，∴sin∠SAB≤∴S△SAB，=×4×5×sin∠SAB≤4．∴S△SAB设点C到面SAB的距离为h，则h≤CB≤6，根据三棱锥S﹣ABC体积V=•S•h≤×4×6=8，△SAB故答案为：8．三、解答题：本大题有4小题，共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．【解答】解：（1）证明：连接AC，AC交BD于O．连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．∴在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO，∵EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD．19．（10分）已知△ABC的一个顶点A（﹣1，﹣4），∠B、∠C的内角平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0．（Ⅰ）求BC边上的高所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的内切圆方程．【解答】解：（I）设点A（﹣1，﹣4）关于直线y+1=0的对称点为A'（x1，y1），可得x1=﹣1，（﹣4+y1）=﹣1，解得y1=2×（﹣1）﹣（﹣4）=2，∴A'坐标为（﹣1，2），再设点A（﹣1，﹣4）关于l2：x+y+1=0的对称点为A″（x2，y2），可得，解之得x2=3，y2=0，∴A″坐标（3，0），∵∠B、∠C的内角平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，∴点A'与点A″都在直线BC上，根据直线方程的两点式，得直线A'A″的方程为=，化简得x+2y﹣3=0，即为边BC所在直线的方程，∵直线BC的斜率k=﹣，∴BC边上的高所在的直线的斜率为k'==2，∵A点坐标为（﹣1，﹣4），∴BC边上的高所在的直线的方程为y+4=2（x+1），化简得2x﹣y﹣2=0；（II）根据题意，可得△ABC的内角平分线l1与l2的交点即为△ABC的内切圆的圆心，联解，得，可得内切圆的圆心为（0，﹣1），又∵圆心到直线BC的距离为半径，∴内切圆的半径，因此，△ABC的内切圆方程为x2+（y+1）2=5．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠CDA=∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，CD=1，AB=2，E是PB中点，点E在平面ACP上的射影是△ACP的重心G．（1）求PB与平面ACP所成角的正弦值；（2）求二面角B﹣AC﹣E的平面角的正弦值．【解答】解：（1）连结PG，则PG是PE在面ACP的射影，即∠EPG是PB与平面ACP所成的角．设F为PA中点，连结EF、FD，∵E，F分别是PA，PB的中点，底面ABCD是直角梯形，∴EF∥CD，EF=CD，∵CD⊥平面PAD，∴，∴∵EF=1，∴∴EC=，EG==，∵PE=，∴sin∠EPG==；（2）过点E作底面ABCD的垂线，垂足为H，则EH∥PD，且EH=1．过点E作AC的垂线，垂足为I，连接HI，则∠HIE即为二面角B﹣AC﹣E的平面角．由于CE∥DF，而DF⊥面PAB，∴CE⊥AE，CE⊥PB，则CE=，AE=，∴EI=，∴∴二面角B﹣AC﹣E的平面角的正弦值是．21．（12分）已知圆O：x2+y2=4与直线l：y=x+b，在x轴上有点P（3，0），（1）当实数b变化时，讨论圆O上到直线l的距离为2的点的个数；（2）若圆O与直线l交于不同的两点A，B，且△APB的面积S=，求b的值．【解答】解：（1）圆心O（0，0）到直线l：y=x+b的距离为d=，则当d=＞4，即|b|＞4时，个数为0；当d==4，即|b|=4时，个数为1；当d=＜4，即|b|＜4时，个数为2；（2）由S=tan∠APB=PA•PB•sin∠APB，得到PA•PB•cos∠APB=9，即•=9，设A（x1，y1），B（x2，y2），得到=（x1﹣3，y1），=（x2﹣3，y2），则（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=9，即x1x2﹣3（x1+x2）+y1y2=0（i），联立直线与圆方程得：，消去y得2x2+2bx+b2﹣4=0，则，即，将y1y2=（x1+b）（x2+b）=﹣2，代入（i）得b2+3b﹣4=0，变形得：（b+4）（b﹣1）=0，解得：b=﹣4或b=1，由于b2＜8，得到b=1．。
浙江省杭州二中2013至2014高一上学期期中数学试题
杭州二中2013学年第一学期高一年级期中考试数学试卷时间 100分钟 命题 李鸽 校对 陈永毅 审核 徐存旭注意：本试卷不得使用计算器．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集}4,3,2,1{=U ,集合}1{=A ,{}=23B ，,则)(B A C U ⋃ A. }1{ B. }3,2,1{ C. }2,1{ D. }4{2．如图所示，集合M,P,S 是全集V 的三个子集，则图中阴影部分所表示的集合是 A ．()M P S ⋂⋂ B ．()M P S ⋂⋃C ．()()V M S C P ⋂⋂D ．()()V M P C S ⋂⋃3. 已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a << 4. 函数)32(log 2122++-+--=x x x x y 的定义域为 A ．}31|{<≤x x B ．}21|{<<x x C ．}3221|{<<<≤x x x 或 D ．}21|{<≤x x 5．函数||x ey -=（e 是自然底数）的大致图象是6.若函数⎩⎨⎧>≤≤-+-=,2,,2 0 ,23)2()(x a x a x a x f x是一个单调递增函数，则实数a 的取值范围A ．),3[]2,1(+∞⋃B ．]2,1(C ．),3[]2,0(+∞⋃D ．),3[+∞ 7. 函数1221)(--⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f 的单调递增区间为A.)21,(-∞B. ),21(+∞C. ]251,(--∞ D . ),251[+∞+8.函数1|log |25.0-=x y x的图象与x 轴的交点个数为A. 1B. 2C. 3D. 4 9. 函数)1|(|)(-=x x x f 在],[n m 上的最小值为41-，最大值为2，则m n -的最大值为 A.25 B. 2225+ C.23D.210.设函数a x x f -=)( (a R ∈).若方程x x f f =))((有解,则a 的取值范围为A.]41,(-∞B. ]81,0(C.]81,(-∞ D.),1[+∞ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.已知集合}1621|{<≤=xx A ，},30|{N x x x B ∈<≤=，则=⋂B A .12.计算,122281064.05.5log 0312-+-⎪⎭⎫⎝⎛-+-结果是 .13.用“二分法”求方程013=--x x 在区间]2,1[内有实根，取区间中点为5.10=x ，那么下一个有根的闭区间是 .14.在同一坐标系中，y =2x 与2log y x =的图象与一次函数b x y +-=的图象的两个交点的横坐标之和为6，则b = .15.已知函数()f x 满足)1()1(x f x f +=-，且()f x 在),1[+∞是增函数，如果不等式)()1(m f m f <-成立，则实数m 的取值范围是 .16. 已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,)(2x x x x x x f ,若ax x f ≥|)(|恒成立，则a 的取值范围是 .杭州二中2013学年第一学期高一年级期中考试数学答题卷一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上．11． 12．13． 14．15. 16.三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分8分）设集合}21,2|{≤≤==x y y A x， }1ln 0|{<<=x x B ，},21|{R t t x t x C ∈<<+=.（1）求B A ⋂；（2）若C C A =⋂，求t 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知ax f x x -+=+1212)(是奇函数.（1）求a 的值；（2）判断并证明)(x f 在),0(+∞上的单调性；（3）若关于x 的方程xx f k 2)(=⋅在]1,0(上有解，求k 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知函数12)(2-+-=a ax x x f (a 为实常数)． （1）若0=a ，求函数|)(|x f y =的单调递增区间； （2）设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式； （3）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．20.（本小题满足14分）设)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，)10lg()(2+-=ax x x f ，R a ∈.（1）若5lg )1(=f ，求)(x f 的解析式；（2）若0=a ，不等式0)14()2(>+++⋅k f k f xx 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）若)(x f 的值域为R ，求a 的取值范围.杭州二中2013学年第一学期高一年级期中考试数学答案一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上．11．}2,1,0{ 12．13． [1,1.5] 14． 615. 21<m 16. 01≤≤-a 三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）}42|{≤≤=y y A ，}1|{e y x B <<= ……………………………..2分 所以}2|{e t t B A <≤=⋂……………………………………………………………….2分 （2）因为C C A =⋂，所以A C ⊆，若C 是空集，则12+≤t t ，得到1≤t ;…………………………………………………2分若C 非空，则⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≥+t t t t 214221，得21≤<t ；综上所述，2≤t .…………………………2分18.解：（1）因为ax f x x -+=+1212)(是奇函数，故对定义域内的x ，都有)()(x f x f --=即0)()(=-+x f x f ，即0)22)(2()122)(2(21221212111=⋅--++-=-++-++++--+xx x x x x x x a a a a a ，于是2=a .…………………3分 （2）)(x f 在),0(+∞上的单调递减. .……………………………………………………2分 对任意的210x x <<0)22)(22(2222122212)()(11112121212211>---=-+--+=-++++x x x x x x x x x f x f 故)()(21x f x f >即)(x f 在),0(+∞上的单调递减. . .……………………………………………………3分 （3）解法一：方程xx f k 2)(=⋅可化为：02)2()2(22=-⋅+-k k x x ，令]2,1(2∈=t x于是0)2(22=-+-k t k t 在]2,1(上有解………………………………………..2分 设k t k t t g -+-=)2(2)(2（1）)(t g 在]2,1(上有两个零点（可重合），令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥>≥∆≤+<0)2(0)1(02421g g k 无解.（2）)(t g 在]2,1(上有1个零点，令⎩⎨⎧≠≤0)1(0)2()1(g g g ，得340≤<k综上得340≤<k ……………………………………………………………………2分 解法二：方程xx f k 2)(=⋅可化为：02)2()2(22=-⋅+-k k x x ，令]2,1(2∈=t x于是0)2(22=-+-k t k t ，………………………………………..2分则614)1(21222-+++=+-=t t t t t k 614)1(2-+++t t 的值域为]34,0(，故340≤<k .…………………………2分 19. 解：（1）当0=a 时，1)(2-=x x f ，则|)(|x f y =在),1(),0,1(+∞-上单调递增；……………………………………….3分 （2）当12≤a时，即2≤a ，a f a g ==)1()(； 当221<<a时，即42<<a ，124)2()(2-+-==a a a f a g ； 当22≥a时，即4≥a ，3)2()(==f a g ； 综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-+-≤=.2,3,42,124,2,)(2a a a aa a a g ……………………………………….4分（3）a xa x x x f x h --+==12)()( 当012≤-a ，即21≤a ，)(x h 是单调递增的，符合题意；………………………..2分当012>-a ，即21>a 时，)(x h 在]12,0(-a 单调递减，在),12(+∞-a 单调递增，令112≤-a ，得121≤<a .综上所述：1≤a ..………………………………………………………………….3分 20.解：（1）因为5lg )1(=f ，则5lg )11lg()(=-=a x f ，所以6=a ，此时 当0<x 时，)106lg()()(2++-=--=x x x f x f ，又0)0(=f ，故⎪⎩⎪⎨⎧<++-=>+-=.0),106lg(,0,0,0),106lg()(22x x x x x x x x f ………………………………………….4分（2）解法一：若0=a ，则)(x f 在R 上单调递增，故0)14()2(>+++⋅k f k f xx等价于0142>+++⋅k k x x ，令)0(2>=t t x ，于是012>+++k kt t 在),0(+∞恒成立，…………………2分即2]12)1[(12)1(2)1(1122-+++-=+++-+-=++->t t t t t t t k 因为2]12)1[(-+++-t t 的最大值为222+-，所以222+->k .…………………3分 解法二：若0=a ，则)(x f 在R 上单调递增，故0)14()2(>+++⋅k f k f xx等价于0142>+++⋅k k x x ，令)0(2>=t t x ，于是012>+++k kt t 在),0(+∞恒成立，…………………2分 设1)(2+++=k kt t t g（1）0<∆，解得：222222+<<+-k ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧><-0)0(02g k，解的0>k .综上，222+->k .…………………3分（3）首先需满足0102>+-ax x 在),0(+∞上恒成立， 于是xx a 10+<，即102<a ；…………………2分 其次需要102+-ax x 在),0(+∞上的值域为),1(+∞，即1102=+-ax x 在),0(+∞上有解 于是69≥+=xx a ； 综上1026<≤a .…………………3分。
杭州二中2013学年第一学期高三年级第二次月考数学试卷(文科)
C.1 或 2 .
D. 2 或 4
13. 数列{an} 中， a1 = 1， "n ³ 2, n Î N * ， a1 × a2 × a3 ×L× an = n2 ，则 a3 + a5 =
.
14.函数 f (x) = sinwx +
3 coswx(x Î R),又f (a ) = -2, f (b ) = 0, 且 a-b
Ａ.
f
(-
1 2
)
<
f (0) <
f (3)
Ｂ.
f (0) <
f
(-
1 2
)
<
f (3)
Ｃ.
f (3) <
f
(-
1) 2
<
f (0)
Ｄ.
f (3) <
f
(0) <
f
(-
1 2
)
4．设
Sn
为等差数列{an} 的前 n 项和，且 a1
=
-2013 ，
S2013 2013
-
S2011 2011
=
2
，则 a2
\-2sn = 1´ 22 + 2 ´ 23 + 3 ´ 24 + L + (n - 1) ´ 2n + n ´ 2n+1
上两式相减得
sn
=
2
+
22
+
23
+L +
2n
-
n
´ 2n+1
=
2(1 - 2n ) 1- 2
-
n
´ 2n+1
2023-2024学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{0，1}D ．{﹣1，0，1}2．已知函数f （2x +1）＝x 2+1，则f （3）＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．63．“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，0）D ．(12，1)5．若函数f （x ）是R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A ．f （﹣3）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣3）＞f （1）＞f （0） C ．f （1）＞f （0）＞f （﹣3）D ．f （1）＞f （﹣3）＞f （0）6．若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−235，+∞)B ．(−235，1)C ．（1，+∞）D ．(−∞，−235)7．已知m +e m ＝e ，n +5n ＝e ，则下列选项正确的是（ ） A ．0＜m ＜n ＜1B ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜n ＜eD ．1＜n ＜m ＜e8．设函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ，对于任意m ，n ∈D ，若所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知x ，y 是正数，且2x +y ＝1，下列叙述正确的是（ ） A ．2xy 最大值为14B ．4x 2+y 2的最小值为12C ．x （x +y ）最大值为14D ．1x+1y最小值为3+2√210．已知a ＞0，函数f （x ）＝x a ﹣a x （x ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设函数f(x)=10x10x +1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[f(x)−12]的函数值可能是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．212．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如√(x −a)2+(y −b)2的代数式，可以转化为平面上点M （x ，y ）与N （a ，b ）的距离加以考虑．结合综上观点，对于函数f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|，下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f （x ）的图象是轴对称图形B ．y ＝f （x ）的值域是[0，4]C ．f （x ）先减小后增大D ．方程f(f(x))=√13−√5有且仅有一个解三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数，则实数m 的值为 ．14．已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则实数a 的取值范围是 ．15．f(x)=log 24x ⋅log 14x 2，x ∈[12，4]的最大值为 ．16．已知函数f （x ）＝x 2+mx +n （m ，n ∈R ），记集合A ＝{x |f （x ）≤0}，B ＝{x |f （f （x ）+2）≤0}，若A ＝B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣ax +a 2﹣19＝0}，B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}． （1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值；（2）若∅⫋（A ∩B ）且A ∩C ＝∅，求实数a 的值． 18．（12分）计算：（1）(14)−12√(4ab−1)3(0.1)−1⋅(a 3⋅b−3)12；（2）log √39+12lg25+lg2−log 49×log 38+2log 23+ln √e ． 19．（12分）已知函数f(x)=2x −12x ． （1）用定义法证明：f （x ）在R 上单调递增；（2）若对任意x ∈[﹣1，1]，不等式f （3x 2+1）+f （k ﹣x 2）≥0恒成立，求实数k 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）若方程f （x ）﹣m ＝0有解，求m 的取值范围．21．（12分）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一．在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR 智能巴士．某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ，经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜1060，10≤t ≤20，其中t ∈N ．（1）求p （5），并说明p （5）的实际意义； （2）若该路公交车每分钟的净收益y =6p(t)+24t−10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．22．（12分）已知函数f(x)=|tx 2−5x+4tx|，其中常数t ＞0．（1）若函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，求t 的取值范围；（2）当t ＝1时，是否存在实数a 和b ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且此时f （x ）的取值范围是[ma ，mb ]．若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{0，1}D ．{﹣1，0，1}解：A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{﹣1，0}． 故选：B ．2．已知函数f （2x +1）＝x 2+1，则f （3）＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6解：因为f （2x +1）＝x 2+1， 令t =2x +1，x =t−12，f(t)=(t−12)2+1， 即f(x)=(x−12)2+1，所以f （3）＝2． 故选：B ．3．“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若x 2+y 2＝0，则x ＝0，y ＝0，所以可得xy ＝0， 即由“x 2+y 2＝0”可以推出“xy ＝0”，若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0，得不到x 2+y 2＝0，例如x ＝0，y ＝2， 即由“xy ＝0”推不出“x 2+y 2＝0”，所以“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的充分不必要条件． 故选：A ．4．已知函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，0）D ．(12，1)解：函数f （x ）的定义域为（0，1），令0＜2x ﹣1＜1，解得12＜x ＜1． 故选：D ．5．若函数f （x ）是R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A ．f （﹣3）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣3）＞f （1）＞f （0） C ．f （1）＞f （0）＞f （﹣3）D ．f （1）＞f （﹣3）＞f （0）解：根据题意，函数f （x ）为R 上的偶函数，则f （﹣3）＝f （3）， 又由函数在[0，+∞）上是增函数，f （0）＜f （1）＜f （3）， 则有f （﹣3）＞f （1）＞f （0）． 故选：B ．6．若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−235，+∞) B ．(−235，1) C ．（1，+∞） D ．(−∞，−235) 解：令函数f （x ）＝x 2+ax ﹣2，若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上无解， 则{f(1)≤0f(5)≤0，即{a −1≤052+5a −2≤0，解得a ≤−235．所以使得关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解的a 的范围是（−235，+∞）． 故选：A ．7．已知m +e m ＝e ，n +5n ＝e ，则下列选项正确的是（ ） A ．0＜m ＜n ＜1B ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜n ＜eD ．1＜n ＜m ＜e解：构造函数f （x ）＝x +e x ，g （x ）＝x +5x ，f （m ）＝m +e m ＝e ，g （n ）＝n +5n ＝e ， 易知函数f （x ），g （x ）为增函数．函数f （x ），g （x ）与函数y ＝e 的图象，如下图所示： 由图可知，0＜n ＜m ．又f （1）＝1+e ＞f （m ），g （1）＝1+5＞g （n ）， 所以m ＜1，n ＜1． 综上，0＜n ＜m ＜1． 故选：B ．8．设函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ，对于任意m ，n ∈D ，若所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4解：函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ＝{x |ax 2﹣2ax ≥0}＝{x |0≤x ≤2}， 因为对于任意m ，n ∈D ，所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域， 所以正方形的边长为2， 又因为f （0）＝f （2）＝0， 所以函数f （x ）的最大值为2， 即ax （x ﹣2）的最大值为4，所以x ＝1时，f （1）=√a ⋅(−1)=2，解得a ＝﹣4． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知x ，y 是正数，且2x +y ＝1，下列叙述正确的是（ ） A ．2xy 最大值为14B ．4x 2+y 2的最小值为12C ．x （x +y ）最大值为14D ．1x+1y最小值为3+2√2解：因为x ，y 是正数，且2x +y ＝1， 所以2xy ≤(2x+y 2)2=14，当且仅当2x ＝y =12时取等号，A 正确； 4x 2+y 2＝（2x +y ）2﹣4xy ＝1﹣4xy ≥1−12=12，当且仅当2x ＝y =12时取等号，此时4x 2+y 2取得最小值12，B 正确； x （x +y ）≤(x+x+y 2)2=14，当且仅当x ＝x +y ，即y ＝0时取等号，根据题意显然y ＝0不成立，即等号不能取得，x （x +y ）没有最大值，C 错误；1x+1y=2x+y x+2x+y y =3+yx+2xy ≥3+2√2，当且仅当y x =2x y且2x +y ＝1，即x ＝1−√22，y =√2−1时取等号，此时1x+1y取得最小值3+2√2，D 正确．故选：ABD ．10．已知a ＞0，函数f （x ）＝x a ﹣a x （x ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：当0＜a ＜1时，函数y ＝x a 在（0，+∞）上单调递增，函数y ＝a x 在（0，+∞）上单调递减， 因此函数f （x ）＝x a ﹣a x 在（0，+∞）上单调递增，而f （0）＝﹣1，f （a ）＝0，函数图象为曲线，A 可能；当a ＝1时，函数f （x ）＝x ﹣1在（0，+∞）上的图象是不含端点（0，﹣1）的射线，B 可能； 当a ＞1时，取a ＝2，有f （2）＝f （4）＝0，即函数f （x ）＝x 2﹣2x ，x ＞0图象与x 轴有两个公共点， 又x ∈（0，+∞），随着x 的无限增大，函数y ＝a x 呈爆炸式增长，其增长速度比y ＝x a 的大，因此存在正数x 0，当x ＞x 0时，x 02＜a x 0恒成立，即f （x ）＜0，C 可能，D 不可能．故选：ABC ．11．设函数f(x)=10x10x +1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[f(x)−12]的函数值可能是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．2解：因为0＜10x ，则110x+1＞1，所以函数f(x)=10x10x +1=11+110x的值域是（0，1），则f(x)−12的范围是(−12，12)，于是y =[f(x)−12]的函数值可能是﹣1或0． 故选：AB ．12．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如√(x −a)2+(y −b)2的代数式，可以转化为平面上点M （x ，y ）与N （a ，b ）的距离加以考虑．结合综上观点，对于函数f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|，下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f （x ）的图象是轴对称图形B ．y ＝f （x ）的值域是[0，4]C ．f （x ）先减小后增大D ．方程f(f(x))=√13−√5有且仅有一个解解：f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|=|√(x +1)2+22−√(x −3)2+22|． 此函数即为x 轴上的点P （x ，0）到A （﹣1，2）与B （3，2）两点距离之差的绝对值， 故其图象关于x ＝1轴对称，A 正确；当x ＝1时，函数最小值为0，当x 趋近于无限大时，函数值无限接近4，其值域为[0，4），故B 错误； 由f （x ）＝||P A |﹣|PB ||，可得当x ∈（1，+∞）时，|P A |﹣|PB |随x 的增大而增大，故当f （x ）在（1，+∞）上为增函数， 由A 可得f （x ）在（﹣∞，1）上为减函数，故C 正确；令t ＝f （x ），当t ＝0或2时，f(t)=√13−√5，当f （x ）＝0时，x ＝1； 当f （x ）＝2时，由图象可知，f （x ）有两个实根，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数，则实数m 的值为 ﹣1或2 ． 解：要使函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数， 则 m 2﹣m ﹣1＝1 解得：m ＝﹣1或2． 故答案为：﹣1或2．14．已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则实数a 的取值范围是 [13，23） ．解：根据题意，已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则有{3a −2＜00＜a ＜1(3a −2)+3a ≥0，解可得13≤a ＜23，即a 的取值范围为[13，23）．故答案为：[13，23）．15．f(x)=log 24x ⋅log 14x2，x ∈[12，4]的最大值为 98．解：当12≤x ≤4时，f （x ）＝log 24x •lo g 14x 2=（2+log 2x ）（−12log 2x +12），令t ＝log 2x ，﹣1≤t ≤2，则原函数可化为g （t ）=−12（2+t ）（t ﹣1）=−12（t 2+t ﹣2）， 根据二次函数的性质可知，当t =−12时，函数取得最大值98．故答案为：98．16．已知函数f （x ）＝x 2+mx +n （m ，n ∈R ），记集合A ＝{x |f （x ）≤0}，B ＝{x |f （f （x ）+2）≤0}，若A ＝B ≠∅，则实数m 的取值范围是 [﹣4，0] ． 解：因为A ＝B ≠∅，所以m 2﹣4n ≥0， 设x 2+mx +n ＝0的两个根为x 1，x 2（设x 1≤x 2），x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝n ，A ＝{x |f （x ）≤0}＝{x |x 1≤x ≤x 2}，由f （f （x ）+2）≤0，得x 1≤f （x ）+2≤x 2，即x 1﹣2≤f （x ）≤x 2﹣2， 由于A ＝B ，则x 2﹣2＝0，且x 1−2≤4n−m 24（二次函数最小值）， x 2﹣2＝0⇒x 2＝2，因此有x 1+2＝﹣m ，2x 1＝n ，所以n ＝﹣2m ﹣4， 代入m 2﹣4n ≥0，得m 2+8m +16≥0，此式恒成立，代入x 1−2≤4n−m 24，得−m −4≤−8m−16−m 24，解得﹣4≤m ≤0， 所以m 的取值范围为[﹣4，0]． 故答案为：[﹣4，0]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣ax +a 2﹣19＝0}，B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}． （1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值；（2）若∅⫋（A ∩B ）且A ∩C ＝∅，求实数a 的值．解：（1）由题可得B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}＝{2，3}，由A ∩B ＝A ∪B ，得A ＝B ． 从而2，3是方程x 2﹣ax +a 2﹣19＝0的两个根，即{2+3=a 2×3=a 2−19，解得a ＝5．（2）因为B ＝{2，3}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}＝{﹣1，3}． 因为∅⫋（A ∩B ），所以A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，所以2∈A ， 即4﹣2a +a 2﹣19＝0，a 2﹣2a ﹣15＝0，解得a ＝5或a ＝﹣3． 当a ＝5时，A ＝{2，3}，则A ∩C ≠∅，不符合题意；当a ＝﹣3时，A ＝{﹣5，2}，则∅⫋A ∩B ＝{2}且A ∩C ＝∅，故a ＝﹣3符合题意， 综上，实数a 的值为﹣3． 18．（12分）计算：（1）(14)−12√(4ab−1)3(0.1)−1⋅(a 3⋅b−3)12； （2）log √39+12lg25+lg2−log 49×log 38+2log 23+ln √e ． 解：（1）原式=412×432a 32b −3210⋅a 32⋅b −32=2×810×1=85；（2）原式=log 31232+lg 5+lg 2﹣log 23×3log 32+3+lne 12=4+1﹣3+3+12=112．19．（12分）已知函数f(x)=2x −12x ． （1）用定义法证明：f （x ）在R 上单调递增；（2）若对任意x ∈[﹣1，1]，不等式f （3x 2+1）+f （k ﹣x 2）≥0恒成立，求实数k 的取值范围． 证明：（1）设任意两个实数x 1，x 2满足x 1＜x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−12x 1−2x 2+12x 2=(2x 1−2x 2)(1+12x 1⋅2x 2)， ∵x 1＜x 2，∴2x 1＜2x 2，1+12x 1⋅2x 2＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在R 上为单调递增；解：（2）原不等式化为f （3x 2+1）⩾﹣f （k ﹣x 2）， ∵f （﹣x ）＝2﹣x ﹣2x ＝﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数，∴不等式化为f （3x 2+1）⩾f （x 2﹣k ）， 又f （x ）是增函数，所以3x 2+1⩾x 2﹣k ， ∴问题转化为∀x ∈[﹣1，1]，2x 2+1⩾﹣k 恒成立， ∴k ⩾﹣1，则实数k 的取值范围为[﹣1，+∞）．20．（12分）已知函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）若方程f （x ）﹣m ＝0有解，求m 的取值范围． 解：（1）由函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． 可知f （x ）＝f （﹣x ）∴log 4（4x +1）+kx ＝log 4（4﹣x +1）﹣kx （（2分）即log 44x+14−x +1=−2kx∴log 44x ＝﹣2kx （4分）∴x ＝﹣2kx 对x ∈R 恒成立．（6分）∴k =−12．（7分）（2）由m =f(x)=log 4(4x +1)−12x ，∴m =log 44x +12x =log 4(2x +12x )．（9分）∵2x +12x ≥2（11分） ∴m ≥12（13分）故要使方程f （x ）﹣m ＝0有解，m 的取值范围：m ≥12．（14分）21．（12分）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一．在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR 智能巴士．某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ，经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜1060，10≤t ≤20，其中t ∈N ．（1）求p （5），并说明p （5）的实际意义；（2）若该路公交车每分钟的净收益y =6p(t)+24t −10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．解：（1）p （5）＝60﹣（5﹣10）2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）∵y =6p(t)+24t−10， ∴当5≤t ＜10时，y =360−6(t−10)2+24t −10=110−(6t +216t)， 任取5≤t 1＜t 2≤6，则y 1−y 2=[110−(6t 1+216t 1)]−[110− (6t 2+216t 2)]=6(t 2−t 1)+216t 2−216t 1=6(t 2−t 1)+ 216(t 1−t 2)t 1t 2=6(t 2−t 1)(t 1t 2−36)t 1t 2，∵5≤t 1＜t 2≤6，∴t 2﹣t 1＞0，25＜t 1t 2＜36，∴y 1﹣y 2＜0，∴函数y =110−(6t +216t )在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间[6，10）上单调递减， ∴当t ＝6时，y 取得最大值38；当10≤t ≤20时，y =6×60+24t −10=384t −10， 该函数在区间[10，20]上单调递减，则当t ＝10时，y 取得最大值28.4，综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．22．（12分）已知函数f(x)=|tx 2−5x+4t x|，其中常数t ＞0． （1）若函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，求t 的取值范围；（2）当t ＝1时，是否存在实数a 和b ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且此时f （x ）的取值范围是[ma ，mb ]．若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）根据题意，由f(x)=|tx 2−5x+4t x |，得f(x)=|t(x +4x)−5|， 设ℎ(x)=t(x +4x )，由于t ＞0，则h （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调且h （x ）≥4t ，要使函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，只需4t ﹣5≥0，解可得t ≥54；所以t 的取值范围为[54，+∞）； （2）根据题意，当t ＝1时，f （x ）＝|x 2−5x+4x |＝|x +4x−5|， 其草图如图：易得f （x ）在（0，1）、（1，2）、（2，4）、（4，+∞）均为单调函数．分4种情况处理：①当[a ，b ]⊆（0，1]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递减，则{f(a)=mb f(b)=ma，两式相除整理，得（a ﹣b ）（a +b ﹣5）＝0． ∵a ，b ∈（0，1]，∴上式不成立，即a ，b 无解，m ∈∅；②当[a ，b ]⊆（1，2]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递增，则{f(a)=ma f(b)=mb ，即m =−4a 2+5a −1，在a ∈（1，2]有两个不等实根， 令1a =t ∈[12，1)，则−4a 2+5a −1=φ(t)=−4(t −58)2+916，作φ（t ）在[12，1)的图像可知，12≤m ＜916；③当[a ，b ]⊆（2，4]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递减，则{f(a)=mb f(b)=ma，两式相除整理，得（a ﹣b ）（a +b ﹣5）＝0， ∴a +b =5∴b =5−a ＞a ∴2＜a ＜52，由−a −4a +5=mb ，得m =5−a−4a 5−a =1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254， 则m 关于a 的函数是单调的，而m =5−a−4a 5−a应有两个不同的解，∴此种情况无解； ④当[a ，b ]⊆[4，+∞）时，同（I ）可以解得m ∈∅，综上，m 的取值范围为[12，916)．。
2013-2014年浙江省杭州二中高一上学期期末数学试卷与答案Word版
2013-2014学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3.00分）已知集合U={x|0≤x≤6，x∈Z}，A={1，3，6}，B={1，4，5}则A ∩（∁U B）=（）A．{1}B．{3，6}C．{4，5}D．{1，3，4，5，6}2．（3.00分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（3.00分）已知向量，，满足||=||=2，与的夹角为120°，则||的值为（）A．1 B．C．2 D．34．（3.00分）若α是第三象限的角，则是（）A．第一或第二象限的角B．第一或第三象限的角C．第二或第三象限的角D．第二或第四象限的角5．（3.00分）为得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位6．（3.00分）有一种波，其波形为函数的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．87．（3.00分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．8．（3.00分）已知α终边上一点的坐标为（2sin3，﹣2cos3），则α可能是（）A．3﹣B．3 C．π﹣3 D．﹣39．（3.00分）已知f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）•cosx＜0的解集为（）A．（﹣3，﹣）∪（0，1）∪（，3）B．（﹣，﹣1）∪（0，1）∪（，3）C．（﹣3，﹣1）∪（0，1）∪（1，3）D．（﹣3，﹣）∪（0，1）∪（1，3）10．（3.00分）已知函数f（x）=的最大值是M，最小值为N，则（）A．M﹣N=4 B．M+N=4 C．M﹣N=2 D．M+N=2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4.00分）cos600°的值为．12．（4.00分）电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asin（ωt+）（A＞0，ω≠0）的图象如图所示，则当时，电流强度是．13．（4.00分）函数f（x）=x﹣sinx零点的个数为．14．（4.00分）如图所示，在△ABC中，=，AD⊥AB，||=1，则•=．15．（4.00分）关于x的方程k•4x﹣k•2x+1+6（k﹣5）=0在区间[0，1]上有解，则实数k的取值范围是．16．（4.00分）设符号f（i）=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），令函数I（n）=sin（i×+），L（n）=cos（i×+），则I（2013）+L（2014）=．17．（4.00分）关于x的不等式（sinx+1）|sinx﹣m|+≥m对x∈[0，]恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共4小题．共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（9.00分）已知函数f（x）=2sin（2x+）+1，（Ⅰ）用“五点法”画出该函数在一个周期内的简图；（Ⅱ）写出该函数的单调递减区间．19．（10.00分）已知O为坐标原点，点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．（Ⅰ）若=，求tanα的值；（Ⅱ）若|+|=，求与的夹角．20．（11.00分）已知α为第三象限角，f（α）=﹣，（Ⅰ）化简f（α）；（Ⅱ）设g（α）=f（﹣α）+，求函数g（α）的最小值，并求取最小值时的α的值．21．（12.00分）已知a∈R，设函数g（x）=lg2x﹣2algx+4，x∈[，+∞）的最小值为h（a）（Ⅰ）求h（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在区间[m，n]，使得函数h（a）在区间[m，n]上的值域为[2m，2n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．2013-2014学年浙江省杭州二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3.00分）已知集合U={x|0≤x≤6，x∈Z}，A={1，3，6}，B={1，4，5}则A ∩（∁U B）=（）A．{1}B．{3，6}C．{4，5}D．{1，3，4，5，6}【解答】解：∵U={x|0≤x≤6，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6}，B={1，4，5}，∴C U B={0，2，3，6}，A={1，3，6}，则A∩C U B={3，6}．故选：B．2．（3.00分）设f（x）=，则f（f（2））的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：f（f（2））=f（log3（22﹣1））=f（1）=2e1﹣1=2，故选C．3．（3.00分）已知向量，，满足||=||=2，与的夹角为120°，则||的值为（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：由题意可得=2×2×cos120°=﹣2，故||====2，故选：C．4．（3.00分）若α是第三象限的角，则是（）A．第一或第二象限的角B．第一或第三象限的角C．第二或第三象限的角D．第二或第四象限的角【解答】解：∵α是第三象限的角，∴2kπ+π＜α＜2kπ+，k∈z，∴kπ+＜＜kπ+，∴﹣kπ﹣＜﹣＜﹣kπ﹣，∴﹣kπ+＜＜﹣kπ+，故当k为偶数时，是第一象限角，当k为奇数时，是第三象限角，故选：B．5．（3.00分）为得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：∵y=cos（x+）=cos（﹣x﹣）=sin[﹣（﹣x﹣）]=sin（x+），∴要得到y=sin（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位，故选：C．6．（3.00分）有一种波，其波形为函数的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：函数的图象在区间[0，t]上至少有2个波峰，即函数在区间[0，t]上至少有2个最大值．由于函数的周期为=4，故区间[0，t]至少包含个周期，由题意并根据函数的图象特征可得t≥×4=7，故整数t的最小值是7，故选：C．7．（3.00分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选：A．8．（3.00分）已知α终边上一点的坐标为（2sin3，﹣2cos3），则α可能是（）A．3﹣B．3 C．π﹣3 D．﹣3【解答】解：∵已知α终边上一点的坐标为（2sin3，﹣2cos3），∴x=2sin3＞0，y=﹣2cos3＞0，故α终边在第一象限．再根据tanα==﹣=﹣cot3=﹣tan（﹣3）=tan（3﹣），而3﹣的终边在第一象限，故α=2kπ+3﹣，k∈z，结合所给的选项，故选：A．9．（3.00分）已知f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）•cosx＜0的解集为（）A．（﹣3，﹣）∪（0，1）∪（，3）B．（﹣，﹣1）∪（0，1）∪（，3）C．（﹣3，﹣1）∪（0，1）∪（1，3）D．（﹣3，﹣）∪（0，1）∪（1，3）【解答】解：：由图象可知：0＜x＜1时，f（x）＜0；当1＜x＜3时，f（x）＞0．再由f（x）是奇函数，知：当﹣1＜x＜0时，f（x）＞0；当﹣3＜x＜﹣1时，f（x）＜0．又∵余弦函数y=cosx当﹣3＜x＜﹣，或＜x＜3时，cosx＜0﹣＜x＜时，cosx＞0∴当x∈（﹣，﹣1）∪（0，1）∪（，3）时，f（x）•cosx＜0故选：B．10．（3.00分）已知函数f（x）=的最大值是M，最小值为N，则（）A．M﹣N=4 B．M+N=4 C．M﹣N=2 D．M+N=2【解答】解：∵f（x）==+=+1，令g（x）=，则g（﹣x）===﹣=﹣g（x），∴g（x）=是奇函数，∴g（x）的最大值与最小值之和为0，∴f（x）的最大值与最小值之和为2，即M+N=2，故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4.00分）cos600°的值为﹣．【解答】解：cos600°=cos（720°﹣120°）=cos（2×360°﹣120°）=cos（﹣120°）=cos120°=﹣，故答案为：﹣．12．（4.00分）电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asin（ωt+）（A＞0，ω≠0）的图象如图所示，则当时，电流强度是5．【解答】解：由函数的图象可得=，解得ω=100π，且A=10，故函数I=10sin（100πt+），当时，电流强度是I=10sin（2π+）=10sin=5，故答案为5．13．（4.00分）函数f（x）=x﹣sinx零点的个数为1．【解答】解：∵函数f（x）=x﹣sinx的导数为f′（x）=1﹣cosx≥0，故函数f（x）在R上是增函数．再根据f（0）=0，可得函数f（x）=sinx﹣x的零点的个数是1，故答案为：1．14．（4.00分）如图所示，在△ABC中，=，AD⊥AB，||=1，则•=．【解答】解：如图，，∵△ABC中，=，AD⊥AB，||=1，∴•=（+）•=+==×||×||×cos=•cos∠ADB=×=．故答案为：．15．（4.00分）关于x的方程k•4x﹣k•2x+1+6（k﹣5）=0在区间[0，1]上有解，则实数k的取值范围是[5，6] ．【解答】解：令t=2x，则t∈[1，2]，∴方程k•4x﹣k•2x+1+6（k﹣5）=0，化为：k•t2﹣2k•t+6（k﹣5）=0，根据题意，此关于t的一元二次方程在[1，2]上有零点，整理，得：方程k（t2﹣2t+6）=30，当t∈[1，2]时存在实数解∴，当t∈[1，2]时存在实数解∵t2﹣2t+6=（t﹣1）2+5∈[5，6]∴故答案为[5，6]16．（4.00分）设符号f（i）=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），令函数I（n）=sin（i×+），L（n）=cos（i×+），则I（2013）+L（2014）=．【解答】解：y=sin（i×+）的周期T=4，∵sin（1×+）+sin（2×+）+sin（3×+）+sin（4×+）=﹣﹣+=0，且2013=4×503+1，∴I（2013）=sin（1×+）+sin（2×+）+sin（3×+）+sin（4×+）+…+sin（2013×+）=503×0+sin（2013×+）=，y=cos（i×+）的周期T=3，∵cos（1×+）+cos（2×+）+cos（3×+）=﹣+0+=0，且2014=3×671+1，∴L（2014）=cos（1×+）+cos（2×+）+cos（3×+）+…+cos （2014×+）=671×0+cos（2014×+）=，∴I（2013）+L（2014）=，故答案为：．17．（4.00分）关于x的不等式（sinx+1）|sinx﹣m|+≥m对x∈[0，]恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）．【解答】解：∵x∈[0，]，∴sinx∈[0，1]，当m＞1时，原不等式可化为：（sinx+1）（m﹣sinx）+≥m，整理得：msinx﹣sin2x﹣sinx+≥0恒成立；令sinx=t（0≤t≤1），g（t）=﹣t2+（m﹣1）t+，要使g（t）=﹣t2+（m﹣1）t+≥0（0≤t≤1）恒成立，必须，即，解得m≥；①当m＜0时，原不等式可化为：（sinx+1）（sinx﹣m）+≥m，整理得：sin2x﹣（m﹣1）sinx﹣2m+≥0，令h（t）=t2﹣（m﹣1）t﹣2m+≥0（0≤t≤1），要使t2﹣（m﹣1）t﹣2m+≥0（0≤t≤1）恒成立，应有，解得：m≤，∴m＜0；②当0≤m≤1时，（sinx+1）|sinx﹣m|+≥m对x∈[0，]恒成立⇔m≤（sinx+1）|sinx﹣m|+恒成立，令t（x）=（sinx+1）|sinx﹣m|+，m≤t（x）min，当sinx=m时，t（x）min=，∴m≤，又0≤m≤1，∴0≤m≤；③由①②③得：m≤或m≥，∴实数m的取值范围是：（﹣∞，]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，]∪[，+∞）．三、解答题：本大题共4小题．共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（9.00分）已知函数f（x）=2sin（2x+）+1，（Ⅰ）用“五点法”画出该函数在一个周期内的简图；（Ⅱ）写出该函数的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）列表，描点，连线2x+0π2πx﹣y131﹣11（Ⅱ）由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数f（x）=2sin（2x+）+1的单调递减区间：为[+kπ，+kπ]（k∈Z）．19．（10.00分）已知O为坐标原点，点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．（Ⅰ）若=，求tanα的值；（Ⅱ）若|+|=，求与的夹角．【解答】解：（Ⅰ）∵O为坐标原点，点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），∴，，∵=，∴cosα（cosα﹣2）+sinα（sinα﹣2）=，∴，①两边同时平方，得1+2sinαcosα=，∴，∵0＜α＜π，∴cosα＜0，∴，∴sinα﹣cosα===，②由①②，得sinα=，cosα=﹣，∴tanα=﹣．（Ⅱ）∵|+|=，两边平方得到=7，∵O为坐标原点，点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），∴，=1，∴=1=2cosα，∵0＜α＜π，α=，设求与的夹角为θ，则cosθ===sin=，∴．20．（11.00分）已知α为第三象限角，f（α）=﹣，（Ⅰ）化简f（α）；（Ⅱ）设g（α）=f（﹣α）+，求函数g（α）的最小值，并求取最小值时的α的值．【解答】解：（Ⅰ）f（α）=﹣=﹣=，又α为第三象限角，则f（α）=﹣2tanα；（Ⅱ）g（α）=f（﹣α）+=﹣2tan（﹣α）+=2（tanα+）=2（﹣）2+4，当=，即tanα=1，即α=2kπ+π（k∈Z）时，取等号，即g（α）的最小值为4．21．（12.00分）已知a∈R，设函数g（x）=lg2x﹣2algx+4，x∈[，+∞）的最小值为h（a）（Ⅰ）求h（a）的表达式；（Ⅱ）是否存在区间[m，n]，使得函数h（a）在区间[m，n]上的值域为[2m，2n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设t=lgx，则t≥﹣1，∴函数g（x）等价为y=t2﹣2at+4=（t﹣a）2+4﹣a2，t∈[﹣1，+∞）当a≤﹣1时，h（a）═（﹣1﹣a）2+4﹣a2=5+2a；当a＞﹣1时，h（a）=+4﹣a2，综上得h（a）=；（Ⅱ）显然，h（a）≤4，则2n≤4，即n≤2，m＜n，m＜2，当n≤﹣1，函数在此区间递增，则，显然不符；（2）当﹣1＜n≤0①当m≤﹣1函数在此区间递增，则5+2m=2m，不成立，②当﹣1＜m＜0，则，即m+n=﹣2，显然不符；（3）当0＜n≤2，（ⅰ）当m≤﹣1，则5+2m=2m，显然不符；（ⅱ）当﹣1＜m＜0，函数在此区间递增，则，解得，显然不符；（ⅲ）当0≤m＜2，函数在此区间递减，则，即，符合题意．综上，存在符合题意的m，n，且m=0，n=2．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的定义图象判定方法性质函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()yf u=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f ．(x ．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2014年浙江省杭州二中高一上学期数学期中考试试卷
2014年浙江省杭州二中高一上学期数学期中考试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. 设，，，则，，的大小关系为A. B. C. D.3. 函数的定义域为A. 或B.C. D.4. 函数的值域是A. B. C. D.5. 若，，则A. B. C. D.6. 与函数表示同一个函数的是A. B. C. D.7. 函数的图象不可能是A. B.C. D.8. 已知在上为减函数，则实数的取值范围是A. B. C. D.9. 已知实数，函数，若，则的值为A. B. C. D.10. 定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. ．12. 已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是．13. 已知是定义在上的奇函数，当时（为常数），则的值为．14. 已知，，若对，，，则实数的取值范围是．15. 已知为常数，函数在区间上的最大值为，则．16. 已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．三、解答题（共4小题；共52分）17. 已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．18. 已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）判断函数的单调性；（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．19. 已知函数．（1）若函数是上的偶函数，求实数的值；（2）若，不等式恒成立，求的取值范围．20. 已知函数（为大于的常数）．（1）求函数在上的最大值（用常数表示）；（2）若，是否存在实数使得函数的定义域为，值域为，如果存在求出实数的取值范围，如果不存在说明理由．答案第一部分1. A 【解析】因为，，所以．2. C 【解析】因为，，，所以．3. A 【解析】要使有意义，则或所以所以或，所以定义域为．4. D 【解析】因为函数，而且，所以，所以．5. A【解析】方法：因为，设，则，所以原式等价为，所以．方法：因为，所以由，得．所以．6. D 【解析】函数，所以选项A显然不正确，因为它的定义域不同；B：，与已知的函数的定义域也不相同，所以不正确；C：的定义域是，与已知条件不相同，所以不正确；D：，与已知条件的函数一致．7. D 【解析】当时，如取，则，其定义域为：，它是奇函数，图象是A．故A正确；当时，如取，则，其定义域为：，它是奇函数，图象是B．故B正确；当时，则，其定义域为：，它是奇函数，图象是C，C正确．8. B 【解析】令，由题意可得，在上，，且函数为增函数，故有，且，求得．9. A 【解析】因为，，当时，，则，，所以，即（舍），当时，，则，，所以，即，综上可得．10. D【解析】当时，，当时，，所以当时，的最小值为，又因为函数满足，当时，的最小值为，当时，的最小值为，若时，恒成立，所以，即，即且，解得：．第二部分11.【解析】由题意得所以．12.【解析】因为函数，结合复合函数的增减性，再根据在为增函数，可得在为增函数，所以，解得．13.【解析】因为是定义在上的奇函数，当时（为常数），所以．则．14.【解析】时，，时，，即，要使，，，只需，即，故．15. 或【解析】因为函数在区间上的最大值为，故有，或，求得，或．16.【解析】由题意作图如下，是直线的斜率，由图可知，当过点时，有临界值：，当过点时，有临界值：，故结合图象可得，实数的取值范围是．第三部分17. （1）时，，，或，所以．（2）因为，所以，①，解得；②解得．所以．18. （1）因为是定义域为的奇函数，所以，即．（2）由（1）知，设，则．因为函数在上是增函数且，所以，又，所以，即．所以在上为减函数．（3）因为是奇函数，从而不等式：．等价于，因为为减函数，由上式推得：．即对一切有：，从而判别式，得．19. （1）函数的定义域为，因为函数是上的偶函数，所以，即，即解得：．（2）由，得，即，令，因为，所以．化为．因为．当且仅当，即时上式等号成立．所以．20. （1）函数，①当时，即，的最大值为：；②当时，即，，，（i）若，则，的最大值为；（ii）若，则，的最大值为；③当时，即，的最大值为．综上所述：当时，的最大值为，当时，的最大值为．（2）若函数，由，知，，又因为，所以．①当时，由题意得得，，所以，无解．②当时，与，矛盾．③当时，由题意得即有两个不同的实数解，由得：．要使得方程有两个不等的实根，令，所以函数应满足所以．。
浙江省杭州二中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷(解析版)
浙江省杭州二中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）一、选择题1．角α的始边在x 轴正半轴、终边过点)P y ，且21cos =α，则y 的值为（ ） A. 3± B. 1 C. 3 D.1±【答案】A 【解析】试题分析：设点P 到原点的距离为r ，则r =22131cos 93234x y y r y α===⇒=⇒=⇒=±+，故选A. 考点：任意角的三角函数.2．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-则2a 等于（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．2-【答案】A 【解析】试题分析：法一：依条件可知，当1n =时，1111222a S a a ==-⇒=，当2n =时，2222S a =-即12222a a a +=-，也就是2124a a =+=，故选A ；法二：当1n =时，1111222a S a a ==-⇒=，当2n ≥时，由22n n S a =-得1122n n S a --=-，两式相减可得1122n n n n S S a a ---=-即122n n n a a -=-，也就是12n n a a -=，而首项12a =，所以该数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，进而可得*2()n n a n N =∈,所以24a =，故选A.考点：1.数列的前n 项和与数列的通项公式的关系；2.等比数列的通项公式.3．已知tan 2,x =则212sin x +=（ ）A ．53 B ．73 C ．94 D ．135【答案】D 【解析】试题分析：法一：由sin tan 2cos xx x==可得sin 2cos x x =，又因为22sin cos 1x x +=，从而224cos cos 1x x +=即21cos 5x =，所以224sin 4cos 5x x ==，所以241312s i n 1255x +=+⨯=，故选D ；法二：22222222sin tan 21312sin 121212sin cos tan 1215x x x x x x +=+⨯=+⨯=+⨯=+++，故选D.考点：同角三角函数的基本关系式.4．已知实数列2,,,,1--z y x 成等比数列，则xyz =（ ）A ．4-B ．4±C ．22-D ．± 【答案】C 【解析】试题分析：记该数列为{}n a ，并设该等比数列的公比为q ，则有151,2a a =-=-，所以444251212a a q q q q =⇒-=-⨯⇒=⇒=所以232332341111()(xyz a a a a q a q a q a q ==⨯⨯===- C. 考点：等比数列的通项公式. 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，564a a +=-，n S 取得最小值时n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】A 【解析】试题分析：法一：设该等差数列的公差为d ，则有1(1)11(1)n a a n d n d =+-=-+-，所以由564a a +=-可得114115d d d -+-+=-⇒=，所以1(1)213n a a n d n =+-=-，所以该等差数列为单调递增数列且6712131,14131a a =-=-=-=，从而可确定当6n =时，n S 取得最小值，故选A ；法二：同方法一求出1(1)213n a a n d n =+-=-，进而可得21()(11213)1222n n n a a n n S n n +-+-===- 2(6)36n =--，所以当6n =时n S 取得最小值，故选A.考点：等差数列的通项公式及其前n 项和.6．若D ABC 的三个内角满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则D ABC （ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【解析】试题分析：根据正弦定理，由条件6s i n 4s i n 3s i n A B C ==可得643a b c ==，设64312(0)a b c k k ===>，则2,3,a k bk c k ===，由余弦定理可得222222249161cos 02124a b c k k k C ab k +-+-===-<，而(0,)C π∈,所以C 为钝角，所以ABC ∆为钝角三角形，故选C.考点：1.正弦定理；2.余弦定理.7．在D ABC 中，(cos18,cos72)AB =︒︒，(2cos63,2cos27)BC =︒︒，则D ABC 面积为（ ） A ．42 B ．22 C ．23 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：依题意可得||cos 1AB ===，||4cos 2BC ===2cos18cos632cos72cos 27cos 12||||||||BA BC AB BC B BA BC AB BC ⋅⋅︒︒+︒︒==-=-⨯⋅⋅(cos18sin 27sin18cos 27)cos 45=-︒︒+︒︒=-︒=因为(0,)B π∈，所以sin 0B >，sin 2B ===所以11||||sin 122222ABC S AB BC B ∆==⨯⨯⨯=，故选B. 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.平面向量的数量积；3.两角和差公式；4.三角形的面积计算公式.8．在ABC ∆中，已知30=== a b A ，则在ABC ∆中，c 等于（ ）A.52B. 5C. 552或D. 以上都不对【答案】C 【解析】试题分析：法一：根据余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-即2515cos30c =+-⨯︒也就是2100c -+=，所以(0c c -=，所以c =c =C ；法二：由正弦定理可得sin sin a b A B =sin B =⇒=，因为(0,)B π∈且b a >即B A >，所以60B =︒或120B =︒，当60B =︒时，180306090C =︒-︒-︒=︒，此时22220c a b c =+=⇒=120B =︒时，1803012030C =︒-︒-︒=︒，此时ABC ∆以AC 为底边的等腰三角形，此时c a == C.由上述法一与法二两种方法比较，当知道三角形的两边及其中一边的对角时，若求第三条边，选择余弦定理较好，若要求角，则选择正弦定理较好. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.9．在D ABC 中，c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则（ ）A ．c b a ,,成等差数列B ．b c a ,,成等差数列C ．b c a ,,成等比数列D ．c b a ,,成等比数列 【答案】D 【解析】试题分析：因为()B A C π=-+，所以cos cos[()]cos()B A C A C π=-+=-+，且由二倍角公式可得21cos 22sin B B -=，所以c o s 2c o s c o s (B B A C ++-=可化为cos()cos()1cos 2A C A C B--+=-即2cos cos sin sin (cos cos sin sin )2sin A C A C A C A C B+--=也就是2s in s i n s i n A C B =，根据正弦定理可得2a bac b b c=⇒=，所以,,a b c 成等比数列，选D. 考点：1.两角和差公式；2.二倍角公式；3.正弦定理；4.等比数列的定义.10．将偶数按如图所示的规律排列下去，且用mn a 表示位于从上到下第m 行，从左到右n 列的数，比如22436,18a a ==，若2014mn a =，则有（ ）A.44,16m n ==B.44,29m n ==C.45,16m n ==D.45,29m n ==【答案】D 【解析】 试题分析：从图中可以观察到，第一行有一个偶数，第二行有2个偶数，第三行有3个偶数， ，第m 行有m 个偶数，所以前m 行共有(1)2m m+个偶数；又因为2014是从2开始的第1007个偶数，又因为444545469901007103522⨯⨯=<<=（这里并没有使用求解不等式1007m S ≥成立的最小正整数m 进行确定m ，而是采用了简单二分法估算，如100722014⨯=，2240201450<<，进而22402014202545<<= ，从而确定224419362014202545=<<=，所以得到上面的不等式，或者根据选项中的数据直接确定上面的不等式也是一个明智的选择），所以可以确定2014在第45行，到44行时，总共才990个偶数，需要在第45行再找17个偶数，在第45行中是从中往左摆放偶数的，故2014处在从中往左算第17个偶数，从左往右算是第4517129-+=个数，所以45,29m n ==，故选D.考点：1.等差数列的前n 项和；2.估算法.二、填空题11．在等差数列}{n a 中，13,2521=+=a a a ，则=++765a a a . 【答案】33 【解析】试题分析：设该等差数列的公差为d，则依题意有25111425451359a a a d a d a d d d +=+++=+=+=⇒=，所以5671111(4)(5)(6)315323933a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=⨯+⨯=.考点：等差数列的通项公式.12．tan 3tan 27tan 3tan 60tan 60tan 27︒︒+︒︒+︒︒= . 【答案】1 【解析】试题分析：根据两角和的正切公式可得tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，所以tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-，所以tan 3tan 27tan 3tan 60tan 60tan 27︒︒+︒︒+︒︒tan3tan 27tan 27)tan3tan 27(1tan3tan 27)=︒︒+︒=︒︒-︒︒ tan 3tan 271tan 3tan 271=︒︒+-︒︒=.考点：两角和的正切公式.13．设当x θ=时，函数x x x f cos 2sin )(+=取得最大值，则cos θ= .【答案】552 【解析】 试题分析：因为()sin 2cos ))f x x x x x x x =+==，设sin 55ϕϕ==02πϕ<<，则())f x x ϕ+，当()f x取得最大值sin()1x ϕ+=，依题中条件得到sin()1θϕ+=，所以2,2k k Z πθϕπ+=+∈，从而可得2,2k k Z πθπϕ=+-∈，所以cos cos(2)sin 25k πθπϕϕ=+-==. 考点：1.三角函数的辅助角公式；2.诱导公式. 14．对于正项数列{}n a ，定义nn na a a a nH +⋯+++=32132为{}n a 的“蕙兰”值，现知数列{}n a 的“蕙兰”值为1n H n=，则数列{}n a 的通项公式为n a = . 【答案】1=2n a n- 【解析】试题分析：依题中条件可得123123n n a a a na n=+++⋯+即212323n a a a na n +++⋯+=①所以当2n ≥时，2123123(1)(1)n a a a n a n -+++⋯+-=- ②将①-②可得221(1)212(2)n n na n n n a n n=--=-⇒=-≥，当当1n =时，11a =，也满足此通项，所以*12()n a n N n=-∈. 考点：1.新定义；2.数列的通项公式. 15．设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为 .【答案】50【解析】试题分析：因为(0,)2πα∈，所以2(,)663πππα+∈，所以s i n ()06πα+>，由4c o s ()65πα+=可得3s i n ()1655πα+===，从而可得24sin 2()2sin()cos()66625πππααα+=++=，2327cos 2()2cos ()11662525ππαα+=+-=-=，所以sin(2)sin[2()]1264πππαα+=+-247sin 2()cos cos 2()sin 646425225250ππππαα=+-+=⨯-⨯=考点：1.二倍角公式；2.两角和差公式. 16．若数列{}n a 满足),4,3,2(,11,211 =-==-n a a a n n ，且有一个形如()12n a n ωϕ=++的通项公式，其中ω、ϕ均为实数，且0ω>，2πϕ<，则ω=________，ϕ= .【答案】23π；0 【解析】试题分析：根据递推关系式1112,,(2,3,4,)1n n a a n a -===-可得234112311111,,21121a a a a a a a ==-=====---，所以该数列{}n a 是周期数列，周期为3T =，又因为()1s i n2n a n ωϕ=++是该数列的一个通项公式，所以2233T ππωω==⇒=，又因为当1n =时，1212sin()2sin()3232aππϕϕ=++=⇒+=，因为27||222636ππππππϕϕϕ<⇒-<<⇒<+<，所以由2sin()3πϕ+=可得2233ππϕ+=或233ππϕ+=，进而可得0ϕ=或3πϕ=-；当3πϕ=-时，21332na nππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，此时当2n=时，2211sin(2)13322aππ=⨯-+=≠-，不符合题意，舍去；当0ϕ=时，2132na nπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，此时1,2,3n=时，分别得到12312,1,2a a a==-=，满足题意，综上可知23πω=，0ϕ=.考点：1.数列的周期性；2.三角函数的图像与性质.17．各项均为正数的等比数列{}na中，811=a，12...8(2,)mma a a m m N+⋅⋅⋅=>∈，若从中抽掉一项后，余下的1-m项之积为1m-，则被抽掉的是第项.【答案】13【解析】试题分析：设该等比数列的公比为q，则依题意可得(1)01231212311()88m mm m m mma a a a a q q-+++++-===4(1)21288m mm mq q--⇒=⇒=，假设从中抽掉的是第k项，则有555(1)11123666818888m mmmm kmkk ka a a aa qa a++---===⇒=⇒⋅⇒11168mkq+-=，所以4(1)111164(1)11(1)(11)8811624k mk mk m m mq km-+---+-+==⇒=⇒-=-，因为*1,3,k m k m N≥≥∈、首先k m≤，进而得到(1)(11)1111241324m mk m m m-+-=≤-⇒+≤⇒≤，故用穷举法13,12,,4,3m =进行检验，最后可确定13,13m k==使得等式成立，其余均不成立，所以13,13m k==.考点：等比数列的通项公式.三、解答题18．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S 且171,84395-=-=+S a a . (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)求数列}{12+m a 的前m 项和m T ，并求m T 的最小值.【答案】（1）633-=n a n ；（2）当9m =或10时，m T 最小，最小值为270-. 【解析】试题分析：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，进而根据条件列出方程组112128433171a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，从中求解得到1a 与d ，进而可以写出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）中结论可得21660m a m +=-，法一：进而根据等差数列的通项公式求出该数列的前m 项和m T ，再由二次函数的图像与性质即可求得m T 的最小值；法二：也可以由216600m a m +=- 得出该数列从首项开始到哪一项都是非正常，所有这些非正数相加，当然是达到m T 的最小值.（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，由已知可得5932843171a a S a ìï+=-ïíï==-ïî即112128433171a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得⎩⎨⎧=-=3601d a ，所以633-=n a n（2）法一：由（1）可得21660m a m +=-，则由等差数列的前n 项和公式可得222219193573193324m T m m m m m ()()=-=-=--因为m 为整数，根据二次函数的图像与性质可知：当9m =或10时，m T 最小，最小值为270-法二：由（1）可得21660m a m +=-，所以该数列是单调递增数列，令216600m a m +=- ，解得10m £所以当9m =或10时，m T 最小，最小值为270-.考点：1.等差数列的通项公式及其前n 项和；2.二次函数的图像与性质.19．已知在锐角ABC ∆中，c b a ,,为角C B A ,,所对的边，且2222()cos cos-=-Bb c A a a .(1)求角A 的值； (2)若3=a ，则求cb +的取值范围.【答案】（1）3A π=；（2）b c +∈.【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将等式2222Bb c A a a ()cos cos-=-中的边换成角，进而根据余弦的二倍角公式、两角和与差公式进行化简得到2sin cos sin cos cos sin sin()sin C A A B A B A B C =+=+=，进而得到1cos 2A =，结合A 角的范围即可得到A 的值；（2）根据正弦定理，将边转化成角即2(sin sin )b c B C +=+，进而根据三角形的内角和将其中的一个角换掉得到)6b c B π+=+，然后根据题中条件确定B 的取值范围：62B ππ<<，然后得到2363B πππ<+<，进而根据三角函数的性质得到b c +的取值范围.（1）根据正弦定理，可将2222Bb c A a a ()cos cos-=-转化为2(sin 2sin )cos sin (12cos )2BB C A A -=-，又由余弦的二倍角公式转化为 (sin 2sin )cos sin cos B C A A B -=- 2分2sin cos sin cos cos sin sin()sin C A A B A B A B C ⇒=+=+= 4分1cos 2A ⇒=，因为在锐角ABC ∆中，所以3A π= 5分 （2）由（1）与正弦定理可得2sin sin sin b c aB C A === 所以2(sin sin )b c B C +=+ 6分2322326(sin sin())(sin cos ))B B B B B p p =+-=+=+8分因为022262363032B B B B ππππππππ⎧<<⎪⎪⇒<<⇒<+<⎨⎪<-<⎪⎩所以sin()(62B b c π+∈⇒+∈ 10分. 考点：1.正弦定理；2.两角和差公式；3.二倍角公式；4.三角函数的图像与性质.20．如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1AB =，2BC =，现要将此铁皮剪出一个三角形PMN ，使得PN PM =，MN BC ⊥.(1)设30MOD ∠=，求三角形铁皮PMN 的面积； (2)求剪下的铁皮三角形PMN 的面积的最大值.【答案】（1）三角形铁皮FMN 的面积为68+；（2）PMN 的面积的最大值为34+.【解析】试题分析：（1）先根据题中条件得出112OM AD ==，32MN OM MOD CD sin =?=，12BN OA OM MODcos =+?+，最后根据三角形的面积计算公式12FMNS M N B N D = 即可得到所求的三角形的面积；（2）先引入角度作为变量，即设,MODx ?，进而根据（1）中思路求出111111222FMN S MN BN x x x x x x (sin )(cos )(sin cos sin cos )D ==++=+++g ，到此用同角三角函数的基本关系式，进行换元，令4sin cos )t x x x p=+=+，先确定t 的取值范围，进而得到212sin cos t x x -=，从而222111112112244()()()FMNt S t t t t D -=++=++=+，根据求出的t 的取值范围，结合二次函数的图像与性质即可确定FMN S D 的最大值. （1）由题意知11121222OM AD BC ===?313012sin sin sin MN OM MOD CD OM MOD AB \=?=?=窗+=11301cos cos BN OA OM MOD=+?+窗=+1131222FMN S MN BN (D \=?创+=，即三角形铁皮FMN 的面积为（2）设,M O D x ?则0,sin sin 1x MN OM x CD x π<<=+=+，1BN OM x OA x cos cos =+=+，111111222(sin )(cos )(sin cos sin cos )FMN S MN BN x x x x x x D \==++=+++g令4sin cos )t x x x p=+=+，由于302444x x ,p p pp <?+，则有14sin(),x p? 所以1t ＃且2212(sin cos )sin cos t x x x x =+=+，所以212sin cos t x x -=故222111112112244()()()FMNt S t t t t D -=++=++=+而函数2114()y t =+在区间1[,上单调递增故当t =时，y .考点：1.三角函数的实际应用；2.同角三角函数的基本关系式；3.三角函数的图像与性质；4.二次函数的图像与性质.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,22n n n a a a n++==. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设(){}**2,,n n n b n S n N M n b n N λ=-∈=≥∈，若集合恰有5个元素，求实数λ的取值范围.【答案】（1）12nn a n ()=；（2）335432λ<≤. 【解析】试题分析：（1）先将递推式变形为1112n na a n n+=+，进而判断数列{}n a n 为等比数列，根据等比数列的通项公式即可求出12nn a n ()=；（2）由（1）中12nn a n ()=，该数列的通项是由一个等差与一个等比数列的通项公式相乘，于是可用错位相减法求出n S ，进而得到22n nn n b ()+=，然后判断数列{}n b 的单调性，进而根据集合M 恰有5个元素，确定λ的取值范围即可. (1)由已知得1112n na a n n+=+，其中*n N Î 所以数列{}n a n是公比为12的等比数列，首项112a =12n na n ()\=，所以12n n a n ()=由（1）知231232222n n nS =++++L 所以2341112322222n n nS +=+++L 所以231111*********n n n S +=++++-L112122n n n S ++\=- 222n nn S +\=-因此22n nn n b ()+=，21111323222n n n n n n n n n n b b ()()()++++++-+-=-= 所以，当2110n b b ,=->即21b b >，120n n n b b ,+?<即1n n b b +<12345631533532282324b b b b b b ,,,,,======要使得集合M 有5个元素，实数λ的取值范围为335432λ<≤. 考点：1.等比数列的通项公式；2.数列的前n 项和；3.数列的单调性.。
2014浙江省杭州高一期中联考数学试题和答案
2014学年期中杭州及周边地区重点中学联考高一年级 数学 学科试题卷考生须知：1．本卷满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷密封区内（或答题卡相应位置）填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷（或答题卡）上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷（或答题卡）。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知55sin =α，则=-αα44cos sin ( ) A.53-B.51-C.51D.53 2.在ABC ∆中，边c b a ,,所对角分别为C B A ,,，若B b C a C c A a sin sin 2sin sin =-+，则=B ( )A.6π B.4π C.3π D.43π3.设*1,)2(8421N n S n n ∈-++-+-=- ，则=8S ( )A.-85B.21C.43D.1714.若71)4tan(,),2(=+∈παππα，则=αsin ( )A.54-B.53-C.53D.545.已知ABC ∆的面积为23，3,3π=∠=ABC AC ，则ABC ∆的周长等于 ( )A.23B.32+C.33+D.33 6.已知{}n a 是等比数列，有71134a a a =⋅，{}n b 是等差数列，且77b a =，则=+95b b ( ) A.4 B.8 C.0或8 D.16 7.若),2(ππα∈，且)4sin(2cos 3απα-=，则=α2sin ( )A.181B.181-C.1817D.1817-8.在ABC ∆中，三边长c b a ,,满足333c b a =+，那么ABC ∆的形状为 ( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上均有可能9.设数列{}n a 是首项为1，公比为)1(-≠q q 的等比数列，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧++11n n a a 是等差数列，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+201420134332111111a a a a a a ( ) A.2012 B.2013 C.4024 D.4026 10.在ABC ∆中，边c b a ,,所对角分别为C B A ,,，若b bc B A -=3tan tan ，b a 34=，则=C sin ( ) A.31 B.32 C.624- D.624+ 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11.若35sin cos -=+θθ，则=-)22cos(θπ ▲ ．12.在ABC ∆中，若52cos 42cos 9=-B A ，则=ACBC▲ ． 13.设{}n a 为公比1>q 的等比数列，若2012a 和2013a 是方程03842=+-x x 的两根，则=++2015201420132a a a ▲ ．14.若)2sin(sin 3βαβ+=，则=+αβαtan )tan( ▲ ．15.在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若c b a ,,成等差数列，54sin =B ，且ABC ∆的面积为23，则=b ▲ ． 16．已知数列{}n a 的通项公式为n n n a 2⋅-=，记n S 为此数列的前n 和，若对任意正整数n ，02)(1<⋅+++n n m n S 恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：（本大题共4小题，共46分，解答应在相应的答题框内写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分）已知1413)cos(,71cos =-=βαα，且20παβ<<<． (Ⅰ) 求α2tan 的值； (Ⅱ) 求β的大小．18.(本小题满分12分) 在数列{}n a 中，p a a a n n +==+11,1 (p 为常数，*N n ∈)且521,,a a a 成公比不等于1的等比数列. (Ⅰ) 求p 的值； (Ⅱ) 设11+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S .19.(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且B C C A sin sin 21cos sin =+.(Ⅰ) 求A ∠的大小；(Ⅱ) 若ABC ∆是锐角三角形，且2=a ，求ABC ∆周长l 的取值范围.20.(本小题满分12分) 已知{}n a 为单调递增的等比数列，且1852=+a a ，3243=⋅a a ，{}n b 是首项为2，公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当且仅当42≤≤n ，*N n ∈，22log 4n n a d S ⋅+≥成立，求d 的取值范围.2014学年期中杭州及周边地区重点中学联考高一年级数学学科参考答案一、选择题1.A2.B3.A4.C5.C6.B7.D8.A9.C 10.D 二、填空题11. 94- 12. 32 13. 24 14. 2 15.2 16. ]1,(--∞三、解答题 17.（1）由20,71cos παα<<=得734sin =α 34t a n =∴α4738tan 1tan 22tan 2-=-=∴ααα ………………………………………………4' (2)由20παβ<<<1433)sin(1413)cos(20=-∴=-<-<βαβαπβα 又 …………6’ 21)sin(sin )cos(cos )](cos[cos =-+-=--=∴βααβααβααβ …………8’ 3)2,0(πβπβ=∴∈， ………………………………………………………10’18.(1)为常数，，p a p a a n n 111=+=+ . p a p n a n +=∴-+=∴1)1(122041)1,,4125215==+=+∴+=p p p p a a a pa 或解得（成等比数列当201=∴==+p a a p n n 不合题意时， ………………………………5’ (2)由(1)知)121121(21)12)(12(112+--=+-=∴-=n n n n b n a n n12)1211(21)]121121()5131()311[(2121+=+-=+--++-+-=+++=∴n nn n n b b b S n n………………………………………………………………………………12’19.解：(Ⅰ) ∵B C C A sin sin 21cos sin =+ 由正弦定理及余弦定理得b c ab c b a a =+-+⨯212222 ∴bc c b a -+=222由余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ∵()π,0∈A ， ∴3π=A ………………………………………………4'(Ⅱ) 由已知及(Ⅰ)结合正弦定理CcB b sin sin 3sin2==π得： )32sin(34sin 34)sin (sin 34B B C B c b -+=+=+π=)6sin(4cos 2sin 32π+=+B B B …………………8'又由ABC ∆是锐角三角形知326326πππππ<+<⇒<<B B ……………10' 1)6s i n (23≤+<∴πB 432≤+<∴c b即6322≤<+l ，从而ABC ∆的周长l 的取值范围是(]6,322+ …… ……………12'20.解：（Ⅰ）因为{}n a 为等比数列，所以 325243=⋅=⋅a a a a所以 ⎩⎨⎧=⋅=+32185252a a a a所以 52,a a 为方程 032182=+-x x 的两根；又因为{}n a 为递增的等比数列， 所以 8,16,2352===q a a 从而2=q ， 所以 1222222---=⋅=⋅=n n n n q a a ； …………………5' （Ⅱ）由题意可知：d n b n )1(2-+=，d nn n S n 2)1(2⋅-+=， 由已知可得：d n d nn n )22(42)1(2-+≥⋅-+， 所以 048)54(2≥+-⋅-+⋅d n d n d ， …………………8' 当且仅当42≤≤n ，且*N n ∈时，上式成立，设=)(n f d n d n d 48)54(2+-⋅-+⋅，则0<d ，所以3300)5(0)4(0)2(0)1(-<⇒⎩⎨⎧-<≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥≥<d d d f f f f ， 所以 d 的取值范围为)3,(--∞. …………………12'。
浙江省杭州十四中1314学年高一上学期期中数学试题(附答案)
注意事项：1．考试时间：2013年11月12日8时至9时30分；2．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；3．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；4．本卷满分120分．其中本卷100分，附加题20分，共4页； 5．本试卷不得使用计算器。
一、选择题：共10小题，每小题3分，计30分。
1．已知集合{}1,3,5,7,9A =，{}0,3,6,9,12B =，则()N A B I ð＝A ．{}1,5,7B ．{}3,5,7C ．{}1,3,9D ．{}1,2,3 2．将()20,1b a N a a =>≠转化为对数形式，其中错误的是A.1log 2a b N =B.2log a b N =C.log 2b aN = D.log 2aN b = 3．函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上递减，则a 的取值范围是 A.[)3,-+∞B.(],3-∞-C.(],5-∞D.[)3,+∞4．如图所示，函数()12f x x =的图像大致为A B C D 5．若()x x g 21-=，()21log 1f g x x =⎡⎤⎣⎦+，则()1f -=A ．1-B ．0C ．1D ．26．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f =，则,,a b c 的大小关系是A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<7．已知函数()()2log 41x x a f x a a =-+，且01a <<，则使()0f x <成立的x 的取值范围是 A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．(),2log 2a -∞D ．()2log 2,a +∞8．已知函数()2f x x x x =-，则下列结论正确的是A.()f x 是偶函数，递增区间是()0,+∞B.()f x 是偶函数，递减区间是(),1-∞C.()f x 是奇函数，递减区间是()1,1-D.()f x 是奇函数，递增区间是(),0-∞9．若函数()()2log a f x ax x =-在[]2,4上是增函数，则实数a 的取值范围是A.1a >B.112a <<或1a > C.114a << D.108a <<10．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()()211f x x =--+，则满足()12f f a ⎡⎤=⎣⎦的实数a 的个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 二、填空题：共7小题，每小题4分，计28分。
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杭州二中2013学年第一学期高一年级期中考试数学试卷时间 100分钟 命题 李鸽 校对 陈永毅 审核 徐存旭注意：本试卷不得使用计算器．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集}4,3,2,1{=U ,集合}1{=A ,{}=23B ，,则)(B A C U ⋃ A. }1{ B. }3,2,1{ C. }2,1{ D. }4{2．如图所示，集合M,P,S 是全集V 的三个子集，则图中阴影部分所表示的集合是A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()V M S C P ⋂⋂D ．()()V M P C S ⋂⋃3. 已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<4. 函数)32(log 2122++-+--=x x x x y 的定义域为 A ．}31|{<≤x x B ．}21|{<<x x C ．}3221|{<<<≤x x x 或 D ．}21|{<≤x x5．函数||x e y -=（e 是自然底数）的大致图象是6.若函数⎩⎨⎧>≤≤-+-=,2 ,,2 0 ,23)2()(x a x a x a x f x 是一个单调递增函数，则实数a 的取值范围 A ．),3[]2,1(+∞⋃ B ．]2,1( C ．),3[]2,0(+∞⋃ D ．),3[+∞7. 函数1221)(--⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f 的单调递增区间为 A.)21,(-∞ B. ),21(+∞ C. ]251,(--∞ D . ),251[+∞+ 8.函数1|log |25.0-=x y x 的图象与x 轴的交点个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 函数)1|(|)(-=x x x f 在],[n m 上的最小值为41-，最大值为2，则m n -的最大值为 A. 25 B. 2225+ C.23 D.2 10.设函数a x x f -=)( (a R ∈).若方程x x f f =))((有解,则a 的取值范围为 A.]41,(-∞ B. ]81,0( C.]81,(-∞ D.),1[+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.已知集合}1621|{<≤=x x A ，},30|{N x x x B ∈<≤=，则=⋂B A .12.计算,122281064.05.5log 0312-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-结果是 . 13.用“二分法”求方程013=--x x 在区间]2,1[内有实根，取区间中点为5.10=x ，那么下一个有根的闭区间是 .14.在同一坐标系中，y =2x 与2log y x =的图象与一次函数b x y +-=的图象的两个交点的横坐标之和为6，则b = .15.已知函数()f x 满足)1()1(x f x f +=-，且()f x 在),1[+∞是增函数，如果不等式)()1(m f m f <-成立，则实数m 的取值范围是 .16. 已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,)(2x x x x x x f ,若ax x f ≥|)(|恒成立，则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分8分）设集合}21,2|{≤≤==x y y A x， }1ln 0|{<<=x x B ， },21|{R t t x t x C ∈<<+=.（1）求B A ⋂；（2）若C C A =⋂，求t 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知ax f x x -+=+1212)(是奇函数. （1）求a 的值；（2）判断并证明)(x f 在),0(+∞上的单调性；（3）若关于x 的方程x x f k 2)(=⋅在]1,0(上有解，求k 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知函数12)(2-+-=a ax x x f (a 为实常数)．（1）若0=a ，求函数|)(|x f y =的单调递增区间；（2）设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式；（3）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．20.（本小题满足14分）设)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，)10lg()(2+-=ax x x f ，R a ∈.（1）若5lg )1(=f ，求)(x f 的解析式；（2）若0=a ，不等式0)14()2(>+++⋅k f k f x x 恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若)(x f 的值域为R ，求a 的取值范围.杭州二中2013学年第一学期高一年级期中考试数学答案一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题11． }2,1,0{ 12．13． [1,1.5] 14． 615. 21<m 16. 01≤≤-a 三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）}42|{≤≤=y y A ，}1|{e y x B <<= ……………………………..2分 所以}2|{e t t B A <≤=⋂……………………………………………………………….2分（2）因为C C A =⋂，所以A C ⊆，若C 是空集，则12+≤t t ，得到1≤t ;…………………………………………………2分若C 非空，则⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≥+t t t t 214221，得21≤<t ；综上所述，2≤t .…………………………2分18.解：（1）因为ax f x x -+=+1212)(是奇函数，故对定义域内的x ，都有)()(x f x f --= 即0)()(=-+x f x f ，即0)22)(2()122)(2(21221212111=⋅--++-=-++-++++--+x x x x x x x x a a a a a ，于是2=a .…………………3分 （2）)(x f 在),0(+∞上的单调递减. .……………………………………………………2分对任意的210x x <<0)22)(22(2222122212)()(11112121212211>---=-+--+=-++++x x x x x x x x x f x f 故)()(21x f x f >即)(x f 在),0(+∞上的单调递减. . .……………………………………………………3分（3）解法一：方程xx f k 2)(=⋅可化为： 02)2()2(22=-⋅+-k k x x ，令]2,1(2∈=t x于是0)2(22=-+-k t k t 在]2,1(上有解………………………………………..2分设k t k t t g -+-=)2(2)(2 （1）)(t g 在]2,1(上有两个零点（可重合），令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥>≥∆≤+<0)2(0)1(02421g g k 无解.（2）)(t g 在]2,1(上有1个零点，令⎩⎨⎧≠≤0)1(0)2()1(g g g ，得340≤<k 综上得340≤<k ……………………………………………………………………2分 解法二：方程x x f k 2)(=⋅可化为：02)2()2(22=-⋅+-k k x x ，令]2,1(2∈=t x于是0)2(22=-+-k t k t ，………………………………………..2分 则614)1(21222-+++=+-=t t t t t k 614)1(2-+++t t 的值域为]34,0(，故340≤<k .…………………………2分 19. 解：（1）当0=a 时，1)(2-=x x f ，则|)(|x f y =在),1(),0,1(+∞-上单调递增；……………………………………….3分（2）当12≤a 时，即2≤a ，a f a g ==)1()(； 当221<<a 时，即42<<a ，124)2()(2-+-==a a a f a g ； 当22≥a 时，即4≥a ，3)2()(==f a g ；综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-+-≤=.2,3,42,124,2,)(2a a a a a a a g ……………………………………….4分（3）a xa x x x f x h --+==12)()( 当012≤-a ，即21≤a ，)(x h 是单调递增的，符合题意；………………………..2分 当012>-a ，即21>a 时，)(x h 在]12,0(-a 单调递减，在),12(+∞-a 单调递增，令112≤-a ，得121≤<a . 综上所述：1≤a ..………………………………………………………………….3分 20.解：（1）因为5lg )1(=f ，则5lg )11lg()(=-=a x f ，所以6=a ，此时当0<x 时，)106lg()()(2++-=--=x x x f x f ，又0)0(=f ，故 ⎪⎩⎪⎨⎧<++-=>+-=.0),106lg(,0,0,0),106lg()(22x x x x x x x x f ………………………………………….4分 （2）解法一：若0=a ，则)(x f 在R 上单调递增，故0)14()2(>+++⋅k f k f xx 等价于 0142>+++⋅k k x x ，令)0(2>=t t x ，于是012>+++k kt t 在),0(+∞恒成立，…………………2分 即2]12)1[(12)1(2)1(1122-+++-=+++-+-=++->t t t t t t t k 因为2]12)1[(-+++-t t 的最大值为222+-，所以222+->k .…………………3分 解法二：若0=a ，则)(x f 在R 上单调递增，故0)14()2(>+++⋅k f k f x x 等价于0142>+++⋅k k x x ，令)0(2>=t t x ，于是012>+++k kt t 在),0(+∞恒成立，…………………2分设1)(2+++=k kt t t g（1）0<∆，解得：222222+<<+-k ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧><-0)0(02g k ，解的0>k . 综上，222+->k .…………………3分（3）首先需满足0102>+-ax x 在),0(+∞上恒成立， 于是x x a 10+<，即102<a ；…………………2分 其次需要102+-ax x 在),0(+∞上的值域为),1(+∞，即1102=+-ax x 在),0(+∞上有解 于是69≥+=xx a ； 综上1026<≤a .…………………3分。