18版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入习题课学案新人教B版选修1_2
2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入本章整合课件新人教B版选修1_2
(3)复数的加法、减法的几何意义的实质就是平行四边形法则和 三角形法则. 由减法的几何意义知|z-z1|表示复平面上两点Z,Z1间的距离. (4)复数形式的基本轨迹. ①当|z-z1|=r时,表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心, 半径为r的圆;单位圆为|z|=1. ②当|z-z1|=|z-z2|时,表示以复数z1,z2的对应点为端点的线段的垂 直平分线.
应用复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+1+i|的最值. 提示:利用复数的几何意义对条件和所求结论分别给出几何解释, 借助于几何意义求出最值. 解:|z+i|+|z-i|=2表示复数z的对应点Z与点A(0,-1),B(0,1)的距离之 和为2,而|AB|=2,所以条件表示以A,B为端点的线段,而|z+1+i|=|z-(1-i)|表示点Z到点C(-1,-1)的距离,因而,问题的几何意义是求线段AB 上的点到C点的距离的最大值与最小值,如图,易见 |z+1+i|max=|BC|= 5,|z+1+i| min=|AC|=1.
5
4 5
1 3 -2+ 2 i 1
1 3 25 -2+ 2 i
2 = 2 -2+
3 i 2
=-1 + 3i.
-2 3+i 2 (2) + 1+2 3i 1-i
2 006
(- 2 3 + i)i 21 003 = + (1 + 2 3i)i (- 2i)1 003 (- 2 3 + i)i 1 = − 1 003 i- 2 3 i
用此结论可使一些特殊的计算过程 )
4
高中数学选修1-2(人教B版)第三章数系的扩充与复数的导入3.1知识点总结含同步练习题及答案
描述：高中数学选修1-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的引入一、学习任务了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件．了解复数的几何意义．二、知识清单复数的概念 复数的几何意义三、知识讲解1.复数的概念复数的概念为了把数的范围进一步扩充，人们引入了一个新的数，叫虚数单位，且规定：①；②可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍成立．我们把集合中的数，即形如（，）的数叫做复数（complex number），其中 叫做虚数单位（imaginary unit）．全体复数所成的集合叫做复数集（set of complex numbers）．复数通常用字母表示，即（，），这一表示形式叫做复数的代数形式（algebraic form of complex number）．对于复数，都有 ，，其中的与分别叫做复数的实部（real part）与虚部（imaginary part）．对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数；当时，叫做虚数；当且时，叫做纯虚数．复数相等的充要条件在复数集中任取两个数，（，，，），与相等的充要条件是且．复数的分类复数 （，）可以分类如下： i =−1i 2 i C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i a b ∈R i C z z =a +b i a b ∈R z =a +b i a b ∈R a b z a +b i b =0 a =b =0 0 b ≠0 a =0 b ≠0 C ={a +b i | a ,b ∈R } a +b i c +d i a b c d ∈R a +b i c +d i a=c b =d z =a +b i a b ∈R 复数a +b i(a ,b ∈R )⎧⎩⎨⎪⎪实数(b =0)虚数(b ≠0){纯虚数(a =0)非纯虚数(a ≠0)例题：描述：2.复数的几何意义根据复数相等的定义，任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定．因为有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．设复平面内的点 表示复数，连结，显然向量 由点唯一确定；反过下列命题中，正确的个数是（ ）①若 ，则 的充要条件是 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ，．A． B． C． D．解：A①由于 ，所以 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故①不正确；②由于两个虚数不能比较大小，所以②不正确；③当 ， 时， 成立，所以③不正确．x ,y ∈C x +y i =1+i x =y =1a ,b ∈R a +i >b +i +=0x 2y 2x =0y =00123x ,y ∈C x +y i x =1y =i +=0x 2y 2已知 ，，若 ，则______．解：根据复数相等的充要条件，得 整理得 ，所以 ，将其代入，得 ，所以 ，所以 ．=−3−4i z 1=(−3m −1)+(−m −6)i (m ,n ∈R )z 2n 2n 2=z 1z 2=n m 4{−3m −1=−3,n 2−m −6=−4,n 22m =4m =2−3m −1=−3n 2=4n 2n =±2=(±2=4n m )2实数 为何值时，复数 分别是 （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零．解：由题复数 可整理为 ．（1）当 时，，即 或 ．（2）当 时， 是虚数，即 且 ．（3）当 时， 是纯虚数，解得 ．（4）当 时，，解得 ．k (1+i)−(3+5i)k −2(2+3i)k 2z z =(−3k −4)+(−5k −6)i k 2k 2−5k −6=0k 2z ∈R k =6k =−1−5k −6≠0k 2z k ≠6k ≠−1{−3k −4=0,k 2−5k −6≠0,k 2z k =4{−3k −4=0,k 2−5k −6=0,k 2z =0k =−1 z =a +b i (a ,b ) (a ,b ) Z a b z =a +b i Z (a ,b ) x y Z z =a +b i OZ OZ −→− Z −→−OZ说成向量 ，并且规定，相等的向量表示同一个复数．四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中选修1-2导学案 第三章 数系的扩充与复数的引入(含答案)
第三章 数系的扩充与复数的引入§3.1 数系的扩充和复数的概念【学习目标】1.实数系的总结，复数定义，通过实例分析复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.2.理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量【学习过程】1. ：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2 .判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --=（2）2450x x ++=（3）2210x x ++=（4）210x +=3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？4请对实数系进行分类1.复数的概念： ①定义复数：复数代数形式实部虚部虚数单位复数集例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。
④数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b5.复数与复平面内的点一一对应① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ （分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标）结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。
②复平面：以x 轴为实轴，y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。
2017_2018版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3_1数系的扩充学案苏教版选修1_2
3.1 数系的扩充学习目标 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一 复数的概念及代数表示思考1 方程x 2＋1＝0在实数范围内有解吗？思考2 若有一个新数i 满足i 2＝－1，试想方程x 2＋1＝0有解吗？1．复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做______________，满足i 2＝________.全体复数所组成的集合叫做__________，记作C . 2．复数的表示复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的____________，a 与b 分别叫做复数z 的________与________．知识点二 复数的分类思考1 复数z ＝a ＋b i 在什么情况下表示实数？思考2 实数集R 和复数集C 有怎样的关系？1．复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0， b ≠0当a ＝0时为纯虚数2．集合表示：知识点三 复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个复数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，规定a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是________________．类型一 复数的基本概念例1 下列命题中，正确命题的个数是________． ①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ⑤－1没有平方根．反思与感悟 (1)正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的真假性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的真假性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答． (2)复数的实部与虚部的确定方法首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部． 跟踪训练1 若复数z ＝3＋b i>0(b ∈R )，则b 的值是________． 类型二 复数的分类例2 实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 把例2中的“z ”换成“z ＝lg m ＋(m －1)i”，分别求相应问题．类型三复数相等例3 已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，集合P＝{－1,3}，若M∩P＝{3}，求实数m的值．反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值．1．在2＋7，27i,0,8＋5i ，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为________．2．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是____________． 3．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝__________. 4．下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i(x ∈R )是纯虚数，则x ＝±1；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是________．5．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．答案精析问题导学 知识点一 思考1 没有．思考2 有解，但不在实数范围内． 1．虚数单位 －1 复数集 2．代数形式 实部 虚部 知识点二 思考1 b ＝0. 思考2 R C . 1．实数 虚数 知识点三a ＝c 且b ＝d题型探究 例1 0解析 ①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题． ③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0也成立，所以③是假命题．④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④是假命题． ⑤－1的平方根为±i，所以⑤是假命题． 跟踪训练1 0解析 只有实数才可比较大小，既然有z ＝3＋b i>0，则说明z ＝3＋b i 是实数，故b ＝0. 例2 解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m m ＋2m －1＝0，m －1≠0，且m 2＋2m －3≠0， 解得m ＝0或m ＝－2.跟踪训练2 解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m －1＝0，即m ＝1时，复数z 是实数．(2)当m －1≠0且m >0时，即m >0且m ≠1时，复数z 是虚数．(3)当lg m ＝0且m －1≠0时，此时无解，即无论实数m 取何值均不能表示纯虚数． 例3 解 由题设知3∈M ， ∴(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3. 根据复数相等的定义，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4或m ＝－1，m ＝6或m ＝－1，∴m ＝－1.跟踪训练3 解 ∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，解得x ＝3. 达标检测 1．2解析 27i ，(1－3)i 是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i 是虚数．2．2－2i解析 2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2， ∴所求的复数z ＝2－2i. 3．2＋i解析 由i 2＝－1得x i －i 2＝1＋x i ，即1＋x i ＝y ＋2i ，根据两个复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴x ＋y i ＝2＋i.4．③解析 当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝1，故②错．5．解 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1或a ＝6，a ≠±1.∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，即a ≠±1且a ≠6.∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6且a ≠±1.∴不存在实数a 使z 为纯虚数．。
2017-2018学年人教B版选修1-2教案3.1数系的扩充与复数的引入
3.1数系的扩充和复数的引入一、教学背景分析1.本课时在教材中的地位与作用本节课在教材中起着承上启下的作用，能够让学生了解数系扩充的历史，感受数学的理性精神及数学在解决生产生活问题中的价值，渗透数学文化.2.学情分析高二学生的理性思维已经得到发展，能够较为理性的分析和解决问题，但是对虚数单位i的理解以及复数的分类是难点也是重点，需要给学生足够的时间去经历知识的生成，而不是灌输式的将结论直接告诉学生、而后通过大量练习进行强化.3.教学目标的确定及依据知识与技能目标：了解数系扩充的过程，理解复数的基本概念，掌握复数相等的充要条件.过程与方法目标：经历理性分析数系扩充的过程，运用类比推理的方法实现从实数系向复数系的扩充.情感态度与价值观目标：强化理性思维的价值，渗透数学文化.4.教学重点、难点及处理办法教学重点：了解引入复数的必要性，理解复数的基本概念.教学难点：了解数系扩充的过程，理解并接受虚数单位i.二、教法与学法分析教学方法：诱思探究法合作交流法学法分析：建构-探究-归纳-应用.三、教学过程根据以上分析，教学过程从精设问题、引发冲突；引入新数、生成概念；应用举例、强化新知；课堂小结、回顾归纳；布置作业、课外拓展五个环节进行设计：为虚数单位i的引入做好铺垫.感悟数学文化，为虚数单位i的理解和接受做准备.体会两项规定合理性的同时积极主动探究复数的代数表达形式.经历知识的生成过程归纳其代数表学生活动四、教学效果预测学生了解了数系扩充的必要性与合理性，能够类比从自然数系一步步扩充到实数系的过程完成从实数系向复数系的扩充.经历了概念的生成过程，理解复数的代数表达形式，掌握实部、虚部的概念，能够清晰的掌握复数的分类，体会并掌握复数相等的充要条件.享受解决问题的愉悦，感悟数系扩充的历史.i的理解和接受是重点也是难点，学生掌握的情况仍需通过课后的作业、但是对虚数单位练习进行检测和反馈.。
高中数学教案 选修1-2教案 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1数系的扩充与复数的概念
3.1.1 数系的扩充与复数的概念教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。
④ 数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出示例题2：（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）练习：已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值。
2018学年高中数学选修1-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.1 精品
复数相等的充要条件
已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，
N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为( )
A．4
B．－1
C．－1或4
D．－1或6
[思路点拨] M∩N＝{3} ⇒ 3∈M ⇒ m2－3m－1＋m2－5m－6i＝3 ⇒ m2－3m－1＝3且m2－5m－6＝0 ⇒ 求得m的值
2．复数代数形式的应用 (1)由代数形式可判定z是实数，虚数还是纯虚数． 若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R) 若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R) 若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R) (2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相 等或不相等，但当两个复数都是实数时，可以比较大小．
【错解】 由－2＋a－(b－a)i＞－5＋(a＋2b－6)i，得
－2＋a＞－5， －b－a＞a＋2b－6，
解得ab＞＜－2. 3，
【错因】 错解想当然地认为大的复数所对应的实部和虚 部都大，而忽视了只有实数才能比较大小的前提，因此本题中 的复数应为实数．
【正解】 由－2＋a－(b－a)i＞－5＋(a＋2b－6)i，可得 a＋3＋(－3b＋6)i＞0，
[提示] 引入一个新数：i―规―定→i2＝－1
复数的概念及其代数表示法
1．复数的定义：形如___a_＋__b_i___的数叫作复数．其中i叫 作____虚__数__单__位_____，满足：i2＝__－__1__.
2．复数的表示：复数通常用字母z表示，即__z_＝__a_＋__b_i _， 这种表示形式叫作复数的代数形式，其中实数a叫作复数z的 __实__部___，实数b叫作复数z的___虚__部____．
特别提醒：特别注意复数是实数、虚数和纯虚数时，采用 的是标准形式的代数式，若不是复数的标准代数形式，应先化 为复数的标准代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，再依据概念求解、 判断复数是实数，仅注重虚部为零是不够的，还需要考虑它的 实部是否有意义．
2018学年高中数学选修1-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.1 精品
复数的加减法运算 (1)复数的加减运算类似于合并同类项，实部与实部合并， 虚部与虚部合并，注意符号是易错点； (2)复数的加减运算结果仍是复数； (3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相 减)的混合运算； (4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用．
[ 思 路 点 拨 ] 设z1＝a＋bia，b∈R → 用a，b表示z2 → 求出|z1＋z2| → 构造含有a，b的方程组 → 求出z1，z2
设 z1＝a＋bi(a，b∈R)，
2分
∵z1＋z2＝2i，∴z2＝2i－z1＝－a＋(2－b)i，
6分
|z1＋z2|＝2.
又|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|，∴
a(b＋c)＝ab＋ac
[问题1] 复数应怎样进行加、减运算呢？你认为应怎样定
义复数的加减运算呢？运算律仍成立吗？
[提示1] 两个复数的加减运算就是把实部与实部、虚部与
虚部分别相加减．
[问题2] 我们知道，两个向量的和满足平行四边形法 则， 复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加 法是否具有一致性呢？
1．计算(2＋4i)＋(7－3i)的值为________． 解析： (2＋4i)＋(7－3i)＝(2＋7)＋(4－3)i＝9＋i. 答案： 9＋i
2．在复平面内，向量A→B，A→C对应的复数分别为－1－8i，
－2－3i，则B→C对应的复数为( )
A．－1－5i C．－3＋11i
B．－1＋5i D．1－5i
这两个复数的差 z1－z2 与向量O→Z1－ O→Z2(等于Z→2Z1)对应．作O→Z＝Z→2Z1，则点 Z 对应复数 z1－z2(如图(2))，即复数(a－ c)＋(b－d)i.
2018学年高中数学选修1-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.2 精品
是15.
答案： A
3．复数 1＋1i 在复平面上对应的点的坐标是________． 解析： 复数 1＋1i ＝1－i，所以对应的点为(1，－1)． 答案： (1，－1)
4．设复数 z＝m1＋＋32ii(m∈R)在复平面内对应的点为 Z，若 点 Z 位于直线 y＝－2x 上，求实数 m 的值．
解析： z＝m1＋＋32ii＝m1＋＋32iimm－－22ii ＝m＋6m＋2＋3m4－2i＝mm2＋＋64＋3mm2＋－42i， 所以点 Z 的坐标为mm2＋＋64，3mm2＋－42， 由条件可知3mm2＋－42＝－2×mm2＋＋64，解得 m＝－2.
A．－1－i
B．－1＋i
C．1－i
D．1＋I
解析： 利用复数乘法运算性质及共轭复数概念求解．
∵z＝i(i＋1)＝i2＋i＝－1＋i，
∴z 的共轭复数是 z ＝－1－i. 答案： A
2．复数1＋i 2i的虚部是(
)
1
2
A.5
B.5
i C.5 解析：
D．－5i 1＋i 2i＝1＋i21i－12－i 2i＝2＋5 i＝25＋15i，所以虚部
复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a ＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝__(a_c_－__b_d_)_＋__(_a_d_＋__b_c_)i__(a， b，c，d∈R)．
复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
z1·z2＝ __z2_·_z_1__ (z1·z2)·z3＝___z1_·_(_z_2·__z3_)___ z1(z2＋z3)＝ __z_1_z_2＋__z_1_z_3 ___
18版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1复数的加法和减法学案新人教B版选修1_2
3.2.1 复数的加法和减法明目标、知重点1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.1.复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1， (z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3). 2.复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是OZ →，与z 1－z 2对应的向量是Z 2Z 1→.[情境导学]我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？ 探究点一 复数加减法的运算思考1 我们规定复数的加法法则如下：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ 答 仍然是个复数，且是一个确定的复数.思考2 复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则.答 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项. (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.思考3 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明.答 满足，对任意的z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1. 结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3).证明：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 2＋z 1＝(c ＋a )＋(d ＋b )i ， 显然，z 1＋z 2＝z 2＋z 1，同理可得(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3). 例1 计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i).解 (1)原式＝(1－2－2＋1)＋(2＋1－1－2)i ＝－2. (2)原式＝1＋(i －1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i) ＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i ＝－2＋i.反思与感悟 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项. 跟踪训练1 计算：(1)2i －[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]； (2)(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R ).解 (1)原式＝2i －(3＋2i －3＋9i)＝2i －11i ＝－9i. (2)原式＝－2a ＋6b i －5i ＝－2a ＋(6b －5)i. 探究点二 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答 如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则有OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由向量加法的几何意义OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行. 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？答 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2).因为复数的加法可以按照向量的加法来进行.所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图).图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1→对应复数z 1－z 2.例2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO →表示的复数； (2)CA →表示的复数； (3)OB →表示的复数. 解 (1)因为AO →＝－OA →， 所以AO →表示的复数为－3－2i. (2)因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用. 跟踪训练2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.解 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图.则AD →＝OD →－OA →＝(x ＋y i)－(1＋2i) ＝(x －1)＋(y －2)i ，BC →＝OC →－OB →＝(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. ∵AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －2)i ＝1－3i.∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝1y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，故点D 对应的复数为2－i. 探究点三 复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.解 方法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，① (a －c )2＋(b －d )2＝1② 由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝a ＋c2＋b ＋d2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3. 方法二 设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C .∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形， 且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长， ∴|z 1＋z 2|＝|OC →| ＝|OA →|2＋|AC →|2－2|OA →||AC →|cos 120°＝ 3.反思与感悟 (1)设出复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x ，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用.(2)在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ①为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形.跟踪训练3 例3中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|. 解 由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长， 所以|z 1－z 2|＝ 2.1.复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A.0B.32＋52iC.52－52i D.52－32i答案 C解析 z 1＋z 2＝(2＋12)－(12＋2)i ＝52－52i.2.若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( ) A.1＋i B.1＋3i C.－1－i D.－1－3i答案 B解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.3.在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( ) A.2＋8i B.－6－6i C.4－4i D.－4＋2i答案 C解析 BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝4－4i. 4.若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在( ) A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限答案 B解析 ∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上. 5.已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 答案 －1解析 z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. [呈重点、现规律]1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算.2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.。
2017-2018版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习课学案 新人教B版选修1-2
第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习课题型一 分类讨论思想的应用例1 实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)满足下列条件？ (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.解 (1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，该复数为实数. (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，该复数为虚数.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－5k －6≠0，k 2－3k －4＝0，即k ＝4时，该复数为纯虚数.反思与感悟 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论.分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数.当x ＋y i 没有说明x ，y ∈R 时，也要分情况讨论. 跟踪训练1 (1)若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A.a ＝－1 B.a ≠－1且a ≠2 C.a ≠－1 D.a ≠2答案 C解析 若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数.当a 2－a －2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a ≠－1且a ≠2；当a 2－a －2＝0且|a －1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a ＝2.综上所述，当a ≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数. (2)实数x 取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零.解 ①当x 2－2x －15＝0，即x ＝－3或x ＝5时，复数z 为实数； ②当x 2－2x －15≠0，即x ≠－3且x ≠5时，复数z 为虚数； ③当x 2＋x －6＝0且x 2－2x －15≠0，即x ＝2时，复数z 是纯虚数； ④当x 2＋x －6＝0且x 2－2x －15＝0，即x ＝－3时，复数z 为零. 题型二 数形结合思想的应用例2 已知等腰梯形OABC 的顶点A 、B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z . 解 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图.∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， ∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝－2＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－5y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝4.∵|OA |≠|BC |，∴x 2＝－3，y 2＝4(舍去)， 故z ＝－5.反思与感悟 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法.本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等. 跟踪训练2 已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值.解 (1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2).所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆半径)＝22＋1.题型三 转化与化归思想的应用例3 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围.解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2. 又z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数， ∴x ＝4.∴z ＝4－2i ，又∵(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限.∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0a －，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6).反思与感悟 在求复数时，常设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，把复数z 满足的条件转化为实数x ，y 满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要.跟踪训练3 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y . 解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i. 又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ， ∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i 2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i4k ＋2＝－1，i4k ＋3＝－i(k ∈Z )；(2)(1±i)2＝±2i；(3)设ω＝－12±32i ，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(n ∈N＋)等；(4)(12±32i)3＝－1；(5)作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b i b －a i ＝a ＋bb －a＝a ＋ba ＋b i＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化.例4 计算：(1)(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；(2)－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 006.解 (1)方法一 (1－i)(－12＋32i)(1＋i)＝(－12＋32i ＋12i －32i 2)(1＋i)＝(3－12＋3＋12i)(1＋i) ＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.方法二 原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋32i)＝(1－i 2)(－12＋32i)＝2(－12＋32i)＝－1＋3i.(2)－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 006＝－23＋＋23＋21 003－1 003＝－23＋i －23－1i 1 003＝i －1－i＝i －i ＝0. 反思与感悟 复数的运算可以看作多项式的化简，加减看作多项式加减，合并同类项，乘法和除法可看作多项式的乘法. 跟踪训练4 计算：＋－21－2i＋－－＋2i5－1－i 2 0111－i.解＋－21－2i＋－－＋2i5－1－i2 0111－i＝＋－1－2i＋－－2ii－1＋i1－i＝2－4i1－2i＋1－3ii－＋22＝2－(i＋3)－i＝－1－2i.[呈重点、现规律]高考对本章考查的重点1.对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念.2.对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成a＋b i(a，b∈R)的结构形式.3.对复数几何意义的考查.在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.。
人教b版选修1-2第三章 数系的扩充与复数的引入(数学人教B版选修1-2).docx
第三章数系的扩充与复数的引入（数学人教B版选修1-2）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1.下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．正确命题的序号是()A．①B．②C．③D．④2. i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝()A．－1 B．1 C．－i D．i 3.设是原点，向量对应的复数为那么向量对应的复数是（）A. B.C. D.4.对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，下列结论正确的是()A．a＝0⇔z＝a＋b i为纯虚数B．b＝0⇔z＝a＋b i为实数D．－1的平方等于i5.设则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i7.若a、b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8.设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t ∈R，则以下结论中正确的是()A．z对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z对应的点在实轴上方D．z一定是实数建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分9.设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a为( )A.2B.－2C.－12D.1210. 已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( )A ．－45<x <2B ．x <2C ．x >－45D ．x ＝－45或x ＝211. 已知复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝－1＋a i ，若|z 1|<|z 2|，则实数b 适合的条件是( ) A ．b <－1或b >1 B ．－1<b <1 C ．b >1 D ．b >012. 设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( )A ．－34＋iB. 34－iC ．－34－iD. 34＋i二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确的答案填到横线上）13. 已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，则实数x ＝________.14. 已知复数z 1＝m ＋(4＋m )i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3cos θ)i(λ∈R )，若z 1＝z 2，则λ的取值范围是______．15. 已知z ＝(1＋i)m 2－(8＋i)m ＋15－6i(m ∈R )，若m 的取值范围是________．16. 已知，其中为实数，是虚数单位，则 ．三、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）17.（10分）已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．实数a 取什么值时，z 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？18．（12分）实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点： (1)位于虚轴上；(2)位于一、三象限；(3)位于以原点为圆心，以4为半径的圆上．20.（12分）设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，求z z.19．（12分）设复数若求实数的值．21.（12分）已知复数z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当⎪⎪⎪⎪ωz ≤2时，求a 的取值范围．22.（12分）设z ∈C ，满足下列条件的点的集合分别是什么图形？ (1)|z |＝4； (2)2<|z |<4.第三章数系的扩充与复数的引入（数学人教B版选修1-2）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题13． 14． 15. 16.三、解答题17.18.19.20.21.22.第三章 数系的扩充与复数的引入（数学人教B 版选修1-2）答案一、选择题1.D 解析：复数a ＋b i(a ，b ∈R )当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误．在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误．a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误．④正确．故应选D.2.A 解析：i ＋i 2＋i 3＝i －1－i ＝－1. 3. D 解析：4.B 解析：a ＝0且b ≠0时，a ＋b i 为纯虚数，A 错误，B 正确．a ＋(b －1)i ＝3＋2i ⇒a ＝3，b ＝3，C 错误．(－1)2＝1，D 错误．故应选B.5.D 解析：由故其对应的点位于第四象限.6.C 解析：由题意知A (6,5)，B (－2,3)，设线段AB 的中点为C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋32＝4， ∴ 点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.7.D 解析：a 2－6a ＋10＝(a －3)2＋1>0，－b 2＋4b －5＝－(b －2)2－1<0.所以复数对应的点在第四象限，故应选D.8.C 解析：∵ 2t 2＋5t －3＝(t ＋3)(2t －1)的值可正、可负、可为0，t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1≥1，∴ 排除A 、B 、D ，选C.9. A 解析: 方法一：因为1＋a i2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2.方法二：因为1＋a i 2－i ＝i (a －i )2－i为纯虚数，所以a ＝2. 10.A 解析：由题意知(x －1)2＋(2x －1)2<10，解得－45<x <2.故应选A.11.B 解析：由|z 1|<|z 2|得a 2＋b 2<a 2＋1，∴ b 2<1，则－1<b <1. 12.D 解析：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ， ∴ ⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.∴ z ＝34＋i.二、填空题13.1 解析：复数z 能与0比较大小，则复数z 一定是实数，由题意知解得x ＝1. 14. [3,5] 解析：∵ z 1＝z 2，∴ ∴ λ＝4－cos θ.又∵ －1≤≤1，∴ 3 ≤ 4－cos θ ≤5，∴ λ∈[3,5]．15.（3，5） 解析：将复数z 变形为z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2－m －6)i ，16. 解析：由可得由是实数，得解得故三、解答题17. 解：(1)当z 为实数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1.所以当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，所以即a ≠±1且a ≠6.所以当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ＝6.所以不存在实数a 使得z 为纯虚数．18.解：(1)若复平面内对应点位于虚轴上，则2m ＝0，即m ＝0.(2)若复平面内对应点位于一、三象限，则2m (4－m 2)>0，解得m <－2或0<m <2. (3)若对应点位于以原点为圆心，以4为半径的圆上，则4m 2＋(4－m 2)2＝4， 即m 4－4m 2＝0，解得m ＝0或m ＝±2. 19. 解：得 ∴ ∴20. 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i. 由z ＋z ＝4，z z ＝8，得 ∴∴ z ＝2＋2i ，z ＝2－2i 或z ＝2－2i ，z ＝2＋2i ， ∴ zz ＝2－2i2＋2i ＝－i 或z z ＝2＋2i 2－2i ＝i.∴z z＝±i.21.解：z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i ＝(2＋4i)－(1＋3i)i ＝1＋i i ＝－i(1＋i)1＝1－i.∵ ω＝z ＋a i ＝1－i ＋a i ＝1＋(a －1)i ，∴ ωz ＝1＋(a －1)i 1－i ＝[1＋(a －1)i](1＋i)2＝2－a ＋a i2.∴ ⎪⎪⎪⎪ωz ＝(2－a )2＋a 22≤2，∴ a 2－2a －2≤0，∴ 1－3≤a ≤1＋ 3.故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．所以满足条件|z |＝4的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以4为半径的圆（如图1）．图 1 图2(2)不等式2<|z |<4可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|z |<4，|z |>2.不等式|z |<4的解集是圆|z |＝4内部所有的点组成的集合，不等式|z |>2的解集是圆|z |＝2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是不等式组所表示的集合．容易看出，点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（如图2）．。
2017_2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3_1_2复数的几何意义学案新人教B版选修1
3.1.2 复数的几何意义明目标、知重点 1.明白得能够用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.把握实轴、虚轴、模等概念.3.把握用向量的模来表示复数的模的方式.1.复数的几何意义(1)复平面的概念 成立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.(2)复数与点、向量间的对应①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点Z (a ，b )； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →＝(a ，b ).2.复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2.[情境导学]咱们明白实数的几何意义，实数与数轴上的点一一对应，实数可用数轴上的点来表示，那么复数的几何意义是什么呢？探讨点一 复数与复平面内的点试探1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数如何来表示呢？答 任何一个复数z ＝a ＋b i ，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集能够成立一一对应.小结 成立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.试探2 判定下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都散布在四个象限.答 依如实轴的概念，x 轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此①③是真命题；依照虚轴的概念，y 轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i 对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确信的复数是z ＝0＋0i ＝0表示的是实数，故除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，因此②是真命题，④是假命题；关于非纯虚数z ＝a ＋b i ，由于a ≠0，因此它对应的点Z (a ，b )可不能落在虚轴上，但当b ＝0时，z 所对应的点在实轴上，故⑤是假命题.例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，别离求实数m 的取值范围.解 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0.解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m <2，m >2或m <1，∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，故m ＝2.反思与感悟 依照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出那个有序实数对所表示的点，就可依照点的位置判定复数实部、虚部的取值. 跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)对应的点在x 轴上方；(2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上.解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，因此当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方.(2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0，得m ＝1或m ＝－52， 因此当m ＝1或m ＝－52时， 复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上.探讨点二 复数与向量试探1 复数与复平面内的向量如何成立对应关系？答 当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确信，从而可与该终点对应的复数成立一一对应关系. 试探2 如何概念复数z 的模？它有什么意义？答 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模确实是向量OZ →＝(a ，b )的模，记作|z |或|a ＋b i|.|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2能够表示点Z (a ，b )到原点的距离.例2 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围.解 方式一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7).方式二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋a i 知z 对应的点在直线x ＝3上，因此线段AB (除去端点)为动点Z 的集合.由图可知：－7<a <7.反思与感悟 利用模的概念将复数模的条件转化为其实部、虚部知足的条件，是一种复数问题实数化思想；依照复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题.跟踪训练2 求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的大小. 解 |z 1|＝32＋42＝5，|z 2|＝－122＋－22＝32. ∵5>32，∴|z 1|>|z 2|. 跟踪训练3 (1)当复数z 1＝sin π3－icos π6，z 2＝2＋3i ，试比较|z 1|与|z 2|的大小； (2)求知足条件2≤|z |<3的复数z 在复平面上表示的图形.解 (1)∵|z 1|＝|sin π3－icos π6| ＝ sin 2π3＋－cos π62＝ 322＋322＝62， |z 2|＝|2＋3i|＝22＋32＝13，且62＝32<13，∴|z 1|<|z 2|. (2)如图是以原点O 为圆心，半径别离为2个单位长和3个单位长的两个圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周.1.在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B解析 ∵z ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限. 2.当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 D解析 复数z 在复平面内对应的点为Z (3m －2，m －1).由23<m <1，得3m －2>0，m －1<0. 因此点Z 位于第四象限.故选D.3.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A.－2－iB.－2＋i ＋2iD.－1＋2i 答案 B解析 ∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i.4.在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________.答案 9解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上，∴m －3＝2m ，解之得m ＝9.[呈重点、现规律]1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也能够结合图形利用几何关系考虑.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 数系的扩充与复数的引入章末习题课 明目标、知重点 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义.
1.复数的四则运算，若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )
(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；
(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；
(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；
(4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2
a 2
2＋b 22
i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；
(6)特殊复数的运算：i n
(n 为正整数)的周期性运算；
(1±i)2＝±2i；若ω＝－12±32
i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 2.共轭复数与复数的模
(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0).
(2)复数z ＝a ＋b i 的模，|z |＝a 2＋b 2，
且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.
3.复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形
的对角线OZ →所对应的复数.
(2)复数减法的几何意义
复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数.
题型一 复数的四则运算
例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫21＋i 2 012＋
－2－－4＋2
11－7i ；
(2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1
的模. 解 (1)原式＝
＋231＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋ －8i ＋8i －
－8i ＋4－
11－7i ＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.
(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝＋2－＋＋62＋i ＝3－i 2＋i
＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1
的模为 2. 反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化.
跟踪训练1 (1)已知
z
1＋i ＝2＋i ，则复数z 等于( ) A.－1＋3i
B.1－3i
C.3＋i
D.3－i
答案 B 解析 方法一 ∵z
1＋i
＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z ＝a －b i ，
∴a －b i
1＋i ＝2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪
⎧ a ＝1b ＝－3，z ＝1－3i.
(2)i 为虚数单位，则⎝
⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( ) A.－i B.－1 C.i
D.1
答案 A 解析 因为1＋i 1－i ＝＋21－i 2＝i ， 所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋i 1－i 2 011＝i 2 011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i ，故选A. 题型二 复数的几何意义
例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值.
解 点集D 的图象为以点C (－1， －3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.
由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值是|OA |＝|OC |－1＝－2＋－32－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；
|z |的最大值是|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，
即|z |max ＝3.
反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离. 跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值.
解 如图所示，设z 1，z 2对应点分别为A ，B ，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →对应的复数为
z 1＋z 2.这里|OA →|＝3，|OB →|＝5，|BA →
|＝10.
∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|
＝32＋52－102×3×5＝45
. ∴cos ∠OBC ＝－45
.又|BC →|＝|OA →|＝3， ∴|z 1＋z 2|＝|OC →|
＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC ＝58. 题型三 两个复数相等
例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .
解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).
因为4z ＋2z ＝33＋i ，
所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.
2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式，
得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i 2
. 根据复数相等的充要条件，得
⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝33－4a 2，b ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝12.所以z ＝32＋i 2. 反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具.“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题.
跟踪训练3 z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( )
A.1＋i
B.－1－i
C.－1＋i
D.1－i
答案 D
解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i.
∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.
又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i.
方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i
＝－2i. 又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2，
∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.
1.以1＋2i 的虚部为实部，以3i －2的实部为虚部的新复数是( )
A.2－2i
B.2＋i
C.3＋i
D.2＋3i
答案 A
2.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( )
A.x ＝3，y ＝3
B.x ＝5，y ＝1
C.x ＝－1，y ＝－1
D.x ＝－1，y ＝1
答案 D
解析 x －2＝3x ，y ＝－(－1)，
即x ＝－1，y ＝1.
3.设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z 等于( )
A.1＋i
B.1－i
C.2＋2i
D.2－2i 答案 B
解析 z ＝21＋i ＝－＋－＝1－i ，故选B. 4.已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( )
A.－1
B.1
C.2
D.3 答案 B
解析 ∵a ＋2i i ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1.
∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.
[呈重点、现规律]
1.复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；
2.复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；
3.利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题.。