高等数学B2期中试题
高等数学期中卷二(含答案)
x→2+ x2 − 3x + 2
x→2− x2 − 3x + 2
y=
x − 2 ⋅ln | x | 的第一类间断点（跳跃间断点）；
x2 − 3x + 2
而 lim x→1
x − 2 ⋅ ln | x | x2 − 3x + 2 =
lim (2 − x) ⋅ ln(1+ x −1) = x→1 (x − 2)(x −1)
F= (0) f (0) ≥ 0 ， F (1=) f (1) −1 ≤ 0 . 若 F (0) = 0 ，则取 c = 0 ；若 F (1) = 0 ，则取 c = 1； 若 F(0) > 0 且 F(1) < 0 ，利用零点定理，知在 (0,1) 内至少存在一点 c ， 使得 F (c) = 0 . 综上，在[0,1]上至少存在一点 c ，使得 F (c) = 0 ，即 f (c) = c . （2）设函数 f (x) 在[0,1]上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (1) = 0 ，证明至少 存在一点ξ ∈ (0,1) ，使得 4 f (ξ ) + ξ f ′(ξ ) = 0 . 证明：做辅助函数 F (x) = x4 f (x) ，由已知条件知 F(x) 在[0,1]上连续，在 (0,1) 内可导，且 F (0) = 0 ， F= (1) f= (1) 0 ，即 F (1) = F (0) . 由罗尔定理，存在 ξ ∈ (0,1) ，使得 F′(ξ ) = 0 ，即 4ξ 3 f (ξ ) + ξ 4 f ′(ξ ) = 0 ，也 即 4 f (ξ ) + ξ f ′(ξ ) = 0 .
−1，故 x = 2 为函数 y =
x − 2 ⋅ ln | x | x2 − 3x + 2
第二工业大学04-2期中高数B答案
上海第二工业大学(试卷编号:A0650)2004-2005学年第2学期期中考试高等数学B 试卷（标准答案与评分细则）一、填空题（每题2分，共20分）12222221.cos3sin 32.43.(2)(1)544.35.{(,)|19}6.07.8.ln 9.32316010.(1,1)y y y c x c xy xx y z k D x y x y y dz x dx x xdy xx y z =+=−+++===<+≤=++−−=−必要非充分二、求解常微分方程（6+8+8=22分）2222211111.222dy dy xy xdx dy xdx x c dx y y y y x c=⇒=⇒=⇒−=+=−+∫∫解：{}{}{}2()()ln ln 223112.(),()()121111,02222P x dx P x dx xx x P x Q x x xy e e Q x dx c y e e x dx c y xxdx c y x x c y c c y x −−==−=∫∫∴=+=+⎛⎞=+⇒=+⎜⎟⎝⎠=∴+=∴=∴=∫∫∫Q Q 解：3.解：设2230r r +−=，则121,3r r ==−312x x r c e c e −∴=+为230y y y ′′′+−=的一个通解。
1λ=Q 是方程的一个单根，设*x r Axe =是方程的一个特解**()()()(2)x x xx x x xr Ae Axe A Ax e r Ae Ae Axe A Ax e ′=+=+′′=++=+把***,(),()r r r ′′′代入方程(2)2()34x x x xA Ax e A Ax e Axe e +++−=441A A =∴=*x r xe ∴=的一个特解312x x x y c e c e xe −∴=++为234x y y y e ′′′+−=的通解。
三、求导数（每题8分，共32分）1.解：2222211222sec csc 2tan sin 1222sec ()csc 2tan sin z x x x x x y y y y y y yz x x x x x x x y y y y y y y y ∂=⋅⋅==∂∂=⋅⋅−==−∂－2.解：()()()()()()()()()()()()12122121222ln 12222ln 2222[2]21ln 22222ln 222[2ln(22v v x y x y x y v v x y x y x y z z u z v v u u u x u x v xx y x y x y x y x y x y x y x yz z u z v u v u u y u y v y x y x y x y x y x y x y x y x y−+−++−+−++∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅∂∂∂∂∂=+⋅+++++=++++∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅∂∂∂∂∂=+⋅+++++=++++)]3.解：易知函数f 具有连续偏导数，则存在12,f f ′′，使得2122121313dz z du z dv f f t dt u dt v dt tdz f f t dt t∂∂′′=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂′′∴=⋅+⋅4.解：设3222(,,)22,1,32232132x y z x z y z F x y z z xz yF z F F z xF dz z dx F z xF dz dy F z x=−+=−==−=−=−=−=−−当(,)(0,1)x y =时，1z =−当(,)(0,1)x y =−时，1z =()()210,1,0,133x y z z ′′∴=−=−四、解：1212{1,1,2},{1,2,1}1123121n n i j kn n i j k=−=−×=−=−+−则直线方程为24311x y z −−==−。
高数期中考试B卷
2018-2019高等数学期中考试试题（第七、八章） 2018.5 A 卷一、填空题（每小题5分，共25分）1、微分方程 22560d y dy y dx dx的通解是 . 2、微分方程 32329350d y d y dy y dx dx dx的通解是 . 3、微分方程 21y x y 的通解为 .4、微分方程 2230d y y dx得通解是 . 5、微分方程 2221x y y x e 的待定系数法确定的特解形式（不必求出系数） 是 .二、选择题（每小题5分，共130分）1、函数221x c y c e （其中12,c c 是任意常数）是微分方程2220d y dy y dx dx的 [ ] （A ）通解； （B ）特解；（C ）不是解； （D ）是解，但不是通解，也不是特解.2、微分方程 ny P x y Q x y （n 为整数） [ ] （A ）当0n 或1时为伯努利方程； （B ）当0n 或1时为伯努利方程；（C ）当0n 或1时为线性方程； （D ）为全微分方程.3、函数 y y x 的图形上点 0,2 的切线为236x y ，且 y x 满足微分6y x 则此函数为 [ ]（A ）32y x （B ） 232y x（C ）333260y x x （D ）323y x x . 4、方程 210cos3x y y y e x 的一个特解应具有形式为 [ ]（A ） cos3sin 3x ea xb x ； （B ） cos 3sin 3x x ae x bxe x ； （C ） cos3sin 3xe ax x bx x ； （D ） cos 3sin 3x x axe x be x . 5、268x x y y y e e 特解形式为 [ ]（A ） 2x x ae be （B ） 2x x ae bxe（C ） 2x x axe be （D ） 2x x axe bxe .6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ ） A 2B 4C 3D7. 求点到直线L ：的距离是：（ ）A 138B 118C 158D 18. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C ，求三角形的面积是：（ ） A2 B 364 C 32D 39. 求平行于轴，且过点和的平面方程是：（ ）A 2x+3y=5=0B x-y+1=0C x+y+1=0D ．10、若非零向量a,b 满足关系式 a b a b ，则必有（ ）；A a b =a b ；B a b ；C 0 a b =；D a b =0．11、设,a b 为非零向量，且a b , 则必有（ ） A a b a b B a b a b C a b a b D a b a b12、已知 2,1,21,3,2 a =,b =，则Pr j b a =（ ）； A 53； B 5； C 3； D13、直线11z 01y 11x 与平面04z y x 2 的夹角为（ ）A 6； B 3； C 4； D 2．14、点(1,1,1)在平面02 1z y x 的投影为 （ ）（A ）23,0,21； （B ）13,0,22； （C ） 1,1,0 ；（D ）11,1,22．15、向量a 与b 的数量积 a b =（ ）. A a rj b a ； B a rj a b ； C a rj a b ； D b rj a b ．16、非零向量,a b 满足0 a b ，则有（ ）．A a ∥b ;B a b ( 为实数)；C a b ；D 0 a b ． )10,1,2( M 12213 z y x z )1,0,1(1M )1,1,2(2 M 01 y x17、设a 与b 为非零向量，则0 a b 是（ ）．A a ∥b 的充要条件；B a ⊥b 的充要条件;C a b 的充要条件；D a ∥b 的必要但不充分的条件．18、设234,5 a i j k b i j k ，则向量2 c a b 在y 轴上的分向量是（ ）．A 7B 7jC –1；D -9k19、方程组2222491x y z x 表示 （ ）. A 椭球面； B 1 x 平面上的椭圆；C 椭圆柱面； D 空间曲线在1 x 平面上的投影.20、方程 220x y 在空间直角坐标系下表示 （ ）.A 坐标原点(0,0,0)；B xoy 坐标面的原点)0,0(；C z 轴；D xoy 坐标面. 21、设空间直线的对称式方程为 012xy z 则该直线必（ ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴；C 过原点且垂直于z 轴；D 过原点且平行于x 轴. 22、设空间三直线的方程分别为123321034:;:13;:2025327x t x y z x y z L L y t L x y z z t,则必有（ ）. A 1L ∥2L ； B 1L ∥3L ； C 32L L ； D 21L L .23、直线 34273x y z 与平面4223x y z 的关系为 ( )． A 平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直．24、已知1, a b ,且(,)4a b , 则 a b = ( )． A 1； B1 ； C 2； D.25、下列等式中正确的是( )．A i j k ；B i j k ；C i i j j ；D i i i i ．26、曲面22x y z 在xoz 平面上的截线方程为 ( )．A 2x z ；B 20y z x ；C 2200x y z ；D 20x z y．三、解答题I 微分方程部分1.（10分）求微分方程 ln 1ln xy x y x x 的通解.2、（10分） 求2332(64)(126)0x y y dy x xy dx 的通解.3、（10分）求微分方程261dy y x y dx x的通解.4、（10分）求微分方程 0xy y 的通解.5、（10分）求方程 (4)20y y y 的通解.II 空间解析几何与向量代数部分1．分别按下列条件求平面方程(1)平行于xoz 面且经过点 3,5,2 ；(2)通过z 轴和点 2,1,3 ；(3)平行于x 轴且经过两点 2,0,4 和 7,1,5。
高数B2分题型练习(答案)
高等数学B2分题型练习(参考答案) 一、单顶选择题1、 ()C2、()D3、()C4、()C5、()C6、()D7、 ()B8、()B9、()B10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A二、填空题1、02、03、 04、05、12 6、12 7、0 8、2dx dy + 9、12dx dy + 10、0 11、0 12、222()xdx ydy x y ++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ⎰⎰14、12arcsin (,)ydy f x y dx π⎰⎰15、110(,)dx f x y dy ⎰ 16、210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰17、1618、S 19、0a > 20、12p <≤ 21、( 22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0(1),(1,1)n nn x x ∞=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1),(,)(21)!n n n x x n +∞=-∈-∞∞+∑ 28、110- 29、xe - 30、2x y e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++34、Cy x= 35、5212415y x C x C =++三、计算定积分1、求定积分cos 2sin x e xdx π⎰解：cos cos cos 222sin cos |1xx x exdx ed x ee πππ=-=-=-⎰⎰2、求定积分cos x xdx π⎰解：cos (sin )x xdx xd x ππ=⎰⎰00sin |sin x x xdxππ=-⎰0cos |2x π==- 3、求定积分220124xdx x ++⎰ 4、求定积分 21ln x xdx ⎰解：2222220001212444x x dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰ 解：22211ln ln ()2x x xdx xd =⎰⎰ 222001arctan |ln(4)|22x x =++ 22211ln |22x x x dx =-⎰ ln 28π=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=-5、求定积分2222dxx x -++⎰ 解：00022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分解：令sin x t =，则cos dx tdt =，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。
中科大数学分析(B2)期中考试试题
解. 有条件易见a(x, y)和b(x, y)就是两个偏导数，只需要证明他们是一致连续的。 事实上，我们证明它们是Holder连续的。 以a(x, y)为例，由条件
f (x + 2h, y) = f (x, y) + a(x, y)2h + O(h3/2) f (x + 2h, y) = f (x + h, y) + a(x + h, y)h + O(h3/2)
综上所述，最大值为10，最小值为−2。
5.(15分) 设C > 0是一个常数，又设函数 f (x, y)满足：对于任何平面上的点(x, y)， 存在a(x, y), b(x, y)使得对于任何实数h, k满足|h| + |k| ≤ 1，有
| f (x + h, y + k) − f (x, y) − a(x, y)h − b(x, y)k| ≤ C(|h| + |k|)3/2.
n = v1 × v2 = (−1, −1, 2) × (1, −2, −1) = (5, 1, 3).
所求平面方程一定是形如5x + y + 3z =?的形式。 在L1上取一点(1, 1, −1)， 代入得? = 3; 在L2上取一点(1, −1, −1)，代入得? = 1. 则所求平面为5x + y + 3z = 2.
V˜
=
πH2(R
−
H/3)
=
π 4 (1 −
2 )
=
28 π.
9 9 81
最终答案
V
=
56
√ 6.
81
7.(10分) 设m是自然数。求积分
天津城建大学高等数学b2试题及答案
天津城建大学高等数学b2试题及答案1、2.比3大- 1的数是[单选题] *A.2(正确答案)B.4C. - 3D. - 22、-270°用弧度制表示为（）[单选题] *-3π/2(正确答案)-2π/3π/32π/33、下列各式与x3? ?2相等的是( ) [单选题] *A. (x3) ? ?2B. (x ? ?2)3C. x2·(x3) ?(正确答案)D. x3·x ?＋x24、下列说法中，正确的是[单选题] *A.一个有理数不是正数就是负数(正确答案)B.正分数和负分数统称分数C.正整数和负整数统称整数D.零既可以是正整数也可以是负整数5、下列计算正确的是( ) [单选题] *A. 9a3·2a2=18a?(正确答案)B. 2x?·3x?=5x?C. 3 x3·4x3=12x3D. 3y3·5y3=15y?6、11．11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（）[单选题] * A．140°B．130°C．120°D．110°(正确答案)7、1、方程x2?-X=0 是（? ? ）? ? ? ? ? ? 。
[单选题] *A、一元一次方程B、一元二次方程(正确答案)C、二元一次方程D、二元二次方程8、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（2）的值为（）。
[单选题] *1228(正确答案)39、21、在中,为上一点,,且,则（）. [单选题] *A. 24B. 36C. 72(正确答案)D. 9610、10．下列各数：5，﹣，03003，，0，﹣，12，1010010001…（每两个1之间的0依次增加1个），其中分数的个数是（）[单选题] *A．3B．4(正确答案)C．5D．611、2．(2020·新高考Ⅱ，1,5分)设集合A={2,3,5,7}，B={1,2,3,5,8}，则A∩B=( ) [单选题] * A．{1,8}B．{2,5}C．{2,3,5}(正确答案)D．{1,2,3,5,7,8}12、下列说法正确的是[单选题] *A.两个数的和必定大于每一个加数B.两个数的和必定不大于每一个加数C.两个有理数和的绝对值等于这两个有理数绝对值的和D.如果两个数的和是负数，那么这两个数中至少有一个是负数(正确答案)13、4．在﹣，，0，﹣1，4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n 个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（）[单选题] *A．3(正确答案)B．2C．1D．414、37．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为（）[单选题] *A．±8(正确答案)B．﹣3或5C．﹣3D．515、29．已知2a＝5，2b＝10，2c＝50，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）[单选题] *A．ab＝cB．a+b＝c(正确答案)C．a：b：c＝1：2：10D．a2b2＝c216、27.下列各函数中，奇函数的是（）[单选题] *A. y=x^(-4)B. y=x^(-3)(正确答案)C .y=x^4D. y=x^(2/3)17、下列计算正确的是( ) [单选题] *A. (－a)·(－a)2·(－a)3＝－a?B. (－a)·(－a)3·(－a)?＝－a?C. (－a)·(－a)2·(－a)?＝a?D. (－a)·(－a)?·a＝－a?(正确答案)18、8．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示图形，则∠BFD的度数是( ) [单选题] *A．15°(正确答案)B．25°C．30°D．10°19、9. 一个事件发生的概率不可能是(? ? ?) [单选题] *A．0B．1/2C．1D．3/2(正确答案)20、45．下列运算正确的是（）[单选题] *A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16(正确答案)D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n221、用角度制表示为（）[单选题] *30°(正确答案)60°120°-30°22、4．﹣3的相反数是（）[单选题] *A.BC -3D 3(正确答案)23、点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（5，8），则它们的中点坐标是（D）[单选题] *A、（3，4）B、（3，5）C、（8，12）D、（4，6）(正确答案)24、5．已知集合A={x|x=3k＋1，k∈Z}，则下列表示不正确的是( ) [单选题] *A．－2∈AB．2 022?AC．3k2＋1?A(正确答案)D．－35∈A25、29、将点A(3,-4)平移到点B(-3,4)的平移方法有（）[单选题] *A.仅1种B.2种C.3种D.无数多种(正确答案)26、若m·23＝2?，则m等于[单选题] *A. 2B. 4C. 6D. 8(正确答案)27、4．(2020·天津，1,5分)设全集U={－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A={－1,0,1,2}，B={－3,0,2,3}，则A∩(?UB)=( ) [单选题] *B．{0,2}C．{－1,1}(正确答案)D．{－3，－2，－1,1,3}28、已知10?＝5，则100?的值为( ) [单选题] *A. 25(正确答案)B. 50C. 250D. 50029、25．下列式子中，正确的是（）[单选题] *A．﹣|﹣8|＞7B．﹣6＜|﹣6|(正确答案)C．﹣|﹣7|＝7D．|﹣5|＜30、14．在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”。
高等数学B2综合检测1答案
2
8. 计算 ∫∫ x 2 + y 2 dσ , 其中 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ x}.
D
解：
∫∫
D
2
x 2 + y 2 dσ = ∫
π /2
−π /2
dθ ∫ r × rdr =
0
1
π
3
.
9. 计算
x + y ≤2 x
∫∫
2
( x + 2 y )dσ .
0 y 0 0
1
1
5. 设级数 ∑ (1 − un ) 收敛，则 lim un =
n =1 n →∞ > 1 时， ∫
+∞
1
dx 1 1− p 1 = = x . p − x 1− p p 1 1
+∞
7. 下列级数中绝对收敛的是【 C 】 ∞ ∞ ∞ (−1) n 1 A. ∑ (−1) n B. ∑ C. ∑ (1 − cos ) n n n =1 n =1 n =1
原方程的特解形式为 y* = ax 2 e3 x , 记 y* = Q( x)e3 x , 则代入原方程得， Q ′′ = 1 ，取
x2 x2 3x x2 3x * 3x Q′( x) = x, Q( x) = ，即 y = e , 原方程的通解为： y = (C1 + C2 x)e + e . 2 2 2 * 2 3x 注：也可将 y = ax e 代入原方程，确定 a . 1 1 11. 将 f ( x) = 及 g ( x) = 展开为 ( x − 1) 的幂级数. (3 − x) 2 3− x
+ c2 e x . 【特征根： r = −2,1 】
高等数学期中复习题加答案
高等数学期中复习题加答案# 高等数学期中复习题加答案一、选择题1. 函数f(x) = sin(x) + 2x^2在区间(-π, π)内是：- A. 单调递增- B. 单调递减- C. 有增有减- D. 常数函数答案：C2. 若f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求导后f'(x) = 0的解为： - A. x = 1- B. x = 2- C. x = 1 或 x = 2- D. 无解答案：C3. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在点(2, 6)处的切线斜率为： - A. 0- B. 6- C. 12- D. 18答案：A4. 若∫(0 to 1) f(x) dx = 2，则∫(0 to 1) (2f(x) + 3) dx =： - A. 10- B. 8- C. 7- D. 无法确定答案：A5. 函数f(x) = e^x在区间[0, 1]的定积分的值为：- A. e - 1- B. 1 - e- C. 1- D. 0答案：A二、填空题1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5，则f''(x) = __________。
答案：6x + 22. 函数y = ln(x)的导数是 __________。
答案：1/x3. 若f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1，则f'(1) = __________。
答案：04. 定积分∫(1 to e) (x^2 - 1) dx的值是 __________。
答案：(e^3 - e^2 - 1)/35. 若曲线y = x^2与直线y = 4x相切于点(2, 8)，则切线方程是__________。
答案：y = 4x - 4三、解答题1. 求导数：给定函数f(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1，求其导数f'(x)。
解答：\[ f'(x) = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 1 \]2. 求不定积分：计算不定积分∫(3x^2 - 2x + 1) dx。
高数B分题型练习(答案)
高等数学B2分题型练习(参考答案)一、单顶选择题1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、9、10、 11、 12、 13、 14、15、 16、 17、18、 19、 20、21、 22、23、24、 25、26、 27、 28、 29、30、 31、32、 33、 34、 35、36、 二、填空题1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、17、 18、 19、 20、 21、 22、 23、 24、 25、 26、 27、28、 29、 30、 31、 32、 33、 34、 35、 三、计算定积分1、求定积分 解:2、求定积分解:3、求定积分4、求定积分 解: 解:5、求定积分解:0022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分解:令,则,且当时,;时,。
于就是7求定积分解:令8、求定积分解:9、求定积分解:111211002220001111ln(1)|arctan |ln 2111224x x dx dx dx x x x x x π+=+=++=++++⎰⎰⎰ 10、求定积分解:由定积分得几何意义可知,积分值为区域 落在第一象限得部分得面积,即, 解法二,令,则,且当时,,当时,,则2222000014cos 2(1cos 2)2(sin 2)|2tdt t dt t t ππππ==+=-=⎰⎰⎰11、求定积分解: 令 ,则,且当时,;时,。
于就是2333221444sec cos 1|tan sec sin sin 3tdt t dt t t tt ππππππ===-=⎰⎰⎰12、求定积分 解:令111111000222|222|2ttt t t te dt tde te e dt e e ===-=-=⎰⎰⎰⎰四、计算偏导数、全微分 1、设其中,求。
高等数学BⅡ期中考试题参考答案
高等数学B Ⅱ期中考试题参考答案一、1.()22{,0,0,1}x y y x x x y ->≥+<； 2. 22228x y z ++=； 3. 2；4.22()1yy e dx xdy x e++； 5.21200r d e rdr πθ⋅⎰⎰ 二、1. B ； 2. A ； 3. B ； 4. A ； 5. B.三、1.【解】设平面π的一般方程为0Ax By Cz D +++=，由题意知，π过点0(1,0,1)M -，故有0A C D -+= （1） 在已知直线上选取两点12(2,1,1)(4,1,2)M M ，，将其坐标代入平面方程，得20A B C D +++= （2）420A B C D +++= （3） 由（1）（2）（3）式解得3,2,3B A C A D A ==-=-所以平面的方程为3230x y z +--=2．【解】2222222211()2x y dz d d x y dx dy x y x y x y ==⋅⋅+=++++ 3．【解】令,u x y v xy =-=，则(,)z f u v =，1u x ∂=∂，v y x ∂=∂，1u y ∂=-∂，v x y ∂=∂。
记 1z f u ∂=∂，2z f v ∂=∂，2112z f u ∂=∂，212z f u v ∂=∂∂，221z f v u ∂=∂∂，2222z f v∂=∂ 则由链式法则，有12z z u z v f yf x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ 1111112f f f u v f xf y u y v y ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+∂∂∂∂∂，2222122f f f u v f xf y u y v y ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+∂∂∂∂∂ 又f 具有二阶连续偏导数，1221f f =，故212122()()f f z z f yf f y x y y x y y y∂∂∂∂∂∂==+=++∂∂∂∂∂∂∂ 11122()f x y f xyf =-+-+4．【解】由于(,,)u f x y z =具有连续的偏导数，故可微，且x y z du f dx f dy f dz =++ （1） 又由0xy e y -=，得ln xy y =，两边求微分，得1ydx xdy dy y += 即 21y dy dx xy=- （2） 又由0z e zx -=，得ln ln z z x =+，两边求微分，得11dz dz dx z x =+ 即 (1)z dz dx x z =- （3） 将（2）（3）式代入（1）式，整理得21(1)x y z du y z f f f dx xy x z =++-- 5. 【解】令221{(,)|4}D x y x y =+≤，222{(,)|49}D x y x y =≤+≤，则12D D D =⋃，于是122222224d d (4)d d (4)d d D D D xy x y x y x y x y x y --=--++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22200(4)d r rdr πθ=-⎰⎰23202(4)d r rdr πθ+-⎰⎰ 242012(2)|4r r π=-423212(2)|4r r π+-412π= 四、【解】总收入函数： 221122121122659022R p q p q p p p p p p =+=+--- 22221211221122659022L R C p p p p p p p p p p =-=+----++（）221211226590233p p p p p p =+--- 现在求二元函数12(,)L p p 的最大值。
高等数学B期中试卷含答案
高等数学（B ）09-10-3期中试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．由方程sin()0xyz z π+=确定的隐函数(,)z z x y =在点(1,0,1)处的全微分d z = ；2．曲线22231z x x y =+⎧⎨+=⎩在yOz 平面上的投影曲线为 ； 3．函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数中的系数3b 的值是 ； 4．已知幂级数11(1)n n n a n x ∞-=-∑的收敛域是[1,3]-，则21nn n a x∞=∑的收敛半径是 ；5．设,a b 为非零向量，且满足(3)(75)+⊥-a b a b ，(4)(72)-⊥-a b a b , 则a 和b 的夹角为 ．二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）6．设直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面:4220x y z π-+-=，则 [ ]（A ）L 平行于π （B ）L 在π上 （C ）L 与π斜交 （D ）L 垂直于π 7．已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，则点P 为 [ ] (A)(1,1,2)- (B) (1,1,2)- (C) (1,1,2) (D) (1,1,2)--8．下列广义积分中收敛的是 [ ] （A ）e21d (1)x x x -⎰（B）e +∞⎰ （C）22x +∞⎰ （D ）1502ln(1)d x x x +⎰ 9．级数1sin d 1nn xx xπ∞=+∑⎰[ ] （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）无法判断敛散性 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)10．设2(2,)z f x y xy =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.11．求通过两平面240x y +-=与20y z +=的交线及点0(2,1,1)M --的平面方程.12．求两异面直线110:220x y z L x y z +--=⎧⎨-+-=⎩与2220:2240x y z L x y z +--=⎧⎨+++=⎩之间的距离.13．设e ,e tan ,cos zxx y z x t y t +-===，求0d d t zt=.14．将()14x f x x-=-在01x =点展成幂级数，并给出幂级数的收敛域，再求()(1)n f .四（15）（本题满分9分）将()1(02)f x x x =-≤≤展开为周期为4的余弦级数，并设()S x 为该余弦级数的和函数，求(3)S 和(6)S 的值.五（16）（本题满分9分）求幂级数2(1)(1)nn n nn x ∞=--+∑的和函数，并指明收敛域.六（17）（本题满分6分）设()f x 在0x =的某一邻域具有二阶连续导数，且0()lim 0x f x x →=，试证明：级数11n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭绝对收敛 高等数学（B ）09-10-3期中试卷参考答案及评分标准一、填空[][]3),27()4()57()3(.522-31-)1(.432)()(.301)32(132.2110,1),(0)sin(.11211322222πππππππ的夹角为和则，为非零向量，且满足，设，的收敛域是，则，的收敛域是已知幂级数的值是的傅里叶级数中的系数函数平面上的投影曲线为在曲线）处的全微分，在点（确定的隐函数由方程b a b a b a b a b a b a x a x n a b x x x x f x z y z yO y x x z dydz y x z z z xyz n n n n n n -⊥--⊥+-<<-+=⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧=++====+∑∑∞=∞=-二、单项选择）无法判断敛散性）绝对收敛（）条件收敛（发散（级数）（）是（下列广义积分中收敛的）为（，则点处的切平面平行于平面上点已知曲面垂直于）斜交（与）上（在）（平行于）（），则（：，平面设直线D C B A C dx x xdxx x D dx x x C x x dxB x x dx ACD C B A C P z y x P y x z L D L C L B L A D z y x z y x n n ee )()(1sin .9)1ln()(1sin )(ln )()1(.8)2,1,1)()(2,1,1)()(2,1,1)()(2,1,1)((01224.7022403102012z 3y x L .61021025321222∑⎰⎰⎰⎰⎰∞=∞+∞+++------=-++--=⎩⎨⎧=-+-=+--=+++ππππππ三.计算下列各题（本题共5小题，每小题8分，满分40分）10.设z=f(2x-y,xy 2),其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2..22)4(2,2222312112221yf f xy yf y x f yx z f y f x z ++-+-=∂∂∂+=∂∂11.求通过两平面2x+y-4=0与y+2z=0的交线及点M 0（2，-1，-1）的平面方程。
2009(2)高等数学B2试卷参考答案
2009(2)高等数学B2试卷参考答案D装订线（A ）绝对收敛。
（B ）条件收敛。
（C ）发散。
（D ）收敛性不能确定。
3．二元函数()()()()22,,0,0(,)0,0,0xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处 （C ）（A ）连续，偏导数存在。
（B ）连续，偏导数不存在。
（C ）不连续，偏导数存在。
（D ）不连续，偏导数不存在。
4. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，{(,)01,D x y x y =≤≤≤≤，则以下结论正确的是（ A ）。
（A ） ()()0Df yg x d σ=⎰⎰。
（B ） ()()0Df xg y d σ=⎰⎰ 。
（C ）()()0D f y g x d σ+=⎰⎰。
（A ）()()0Df xg y d σ+=⎰⎰。
5. 微分方程cos 1y y x ''+=+的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。
（A ）cos y A x C *=+。
（B ）(cos sin )y x A x B x C *=++。
（C ）(cos sin )y A x B x C *=++。
（D ）sin y B x C *=+。
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）（1）设1()()z f x y x xy yϕ=++，其中f 和ϕ具有连续导数，求2z x y ∂∂∂。
【解】1()()()z f x y xy xy xy x yϕϕ∂''=+++∂22211()()2()()z f x y f x y x xy x y xy x y y yϕϕ∂''''''=-+++++∂∂（2）求由方程22ln()0xz xyz xyz -+=所确定的函数(,)z z x y =的全微分。
【解】方程两边求微分得111222220xdz zdx yzdx zxdy xydz dx dy dz x y z+---+++=整理得11222(21)11(221)2222zx yz z z z xyz y x dz dx dy dx dy x y xz xyz x xy x xy z z ----=+=-+-+-+-+（3）交换积分次序111422104d (,)d d (,)d yyy f x y x y f x y x +⎰⎰⎰。
09-10-2高数B2期中考试试题
x →0 y →0
x y e xy 3− 9+ xy
。 = （? ）
∂z 。 = （? ） ∂y
5、设 z = f ( x , y ) 是由方程 xy + z + e z = 0 所确定的隐函数，则
6、设 z = (1 + xy ) x ，则 dz
x =1 y −1
= （? ） 。
浙江科技学院考试试卷
三、计算题：要写出解题的主要步骤（本大题总计 38 分） 。
1、 （10 分）求过点 P0 (2, −1, 3) 且与直线 l :
x−5 y z−2 垂直相交的 = = −1 0 2
直线方程。
∂z ∂ 2z 2、 （8 分）设 z = e sin( x + 2y) ，计算 , 。 ∂x ∂x∂y
浙江科技学院考试试卷
浙江科技学院
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
x
0
0
y
0
0
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浙江科技学院考试试卷
f ( x , y ) 在该点可微的（ ? ）
（A）充分条件，但不是必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要条件，但不是充分条件
（D）既不是充分条件，也不是必要条件
2 6、曲线 x = sin t , y = sin t , z = cos t 在对应于 t =
r j 1 1
r r r 0 = − 2( 2 i − 6 j − k ) …………5 分 −4
………………7 分
r k
故 n 平行于 c ，则 c 垂直于该平面。
r
r
r
14-15高数B2第一次期中考试答案
东北林业大学2014一一2015学年度第二学期高等数学B2试题答案及评分标准一、填空题41、4 2, —3、y = e1 (C, cos^ + C, sin.r)4, y = e'(人cos2x+Bsin 2x) 5、e*二、 _______________________________________________________ 选择题I、C 2、B 3、C 4、D 5、A ___________________________________三、1、解：爆方程为二阶常系数非齐次税性微分方程.其对应的齐次方程的特征方程为尸一r = 0.特征根为匕=0和升=1,则齐次方程的通解为y(x) = C l+C2e x设非齐次方程的特解为y, (A) = (ar2 3 + bx)e x则宥(),• (x)) =(ea- +(2a + b)x + b)e x(y* (x)) = ((LV+ (4“ + b)x + 2a + 2b)e x代入原方程，则有a = ~, b = -\,则原方程通解为2y = G + C2e x +(— x2 - x)e xn = s t x$2 - (10. 1.-4)则所求平面方程为10x+y-4z = 04、解：原方程为可分离变量的亩分方程，分离变量后为---- dy = 2xclxJ1 -尸两端积分可得arcs in y = x2 +C即y = sin* + C)手代入上另外，可知丢掉的解为y = ±l，不符合初值条件。
将初值条件式，可得C =生,则所求特解为4y = sin(x2 + —)45、解：原方程为一阶线性非齐次微分方程，则通解为y = + c)=e r y COSAZ Z V+C)=泌(sinx + C)将初值条件i代入上式，可得c=i,则原方程通解为2、解:所求平面过点(1,2-1),法向量为〃 = (1,1,1)则平面的点法式方程为X - l + y・2 + z + l= 0即x+y+z=23、解：直级和L2的交点为(0,0,0),方向向量分别为s、= (1,2,3), $2 = (1-2,2) 所求平面的法向量为。
西安交通大学10级高数B2期中考试理科班试题
2. 求
3. 求
共4页 第 2 页
4.判定级数 的敛散性
5. 判定级数 的敛散性
6. 求幂级数 的收敛半径及收敛域
7. 将 展开成 的幂级数
共4页 第 3 页
四、（7分）证明：若正项级数 收敛，数列 有界，则级数 绝对收敛。
五、设平面图形 由抛物线 与直线 围成。求（1）平面图形 的面积 （6分）；（2）平面图形 绕 轴旋转所得旋转体的体积 （6分）。
成绩
西安交通大学城市学院考试卷
课 程高等数学B2（理科）
类别班号考试日期2011年4月28日
姓 名学 号期中期末
一、填 设 为连续函数，且 ，则曲线 在点 处的切线方程是
。
3. 。
4. 若常数项级数 ，则 。
5. 设幂级数 的收敛半径 ，则幂级数 的收敛区间为
六、（3分）设 为连续函数，且满足 ，求 。
共4页 第 4 页
（A） （B） 的部分和数列 有界
（C） （D）存在正项收敛级数 ，使 （ ）
5. 若幂级数 在 处收敛，则它在 处（ ）
（A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）敛散性无法判定
6. 在空间解析几何中， 的几何图形是（ ）
（A）球面 （B）双曲面（C）旋转抛物面（D）抛物柱面
三、计算题（每小题6分，共42分）
。
6.二元函数幂级数 的定义域为。
二、单选题（每小题3分，共18分）
1. 下列结果正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2. 已知 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
3. 下列反常积分收敛的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
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高数第二册期中考试试卷
2010级计算机科学与技术专业本科期中考试试卷一、填空题（每小题4分，共20分）1.设{}{},=∅∅A ，则()⊕=P A A2.设{}1,2,3,4,5,6=A ，R 是A 上的模3同余关系，则商集A/R=3.得道多助，失道寡助。
设P ：得道，Q ：多助，则该命题符号化为4.设个体域D 为有限集，{},,,c b a D =，则⇔∃)(x xP5.谓词公式()()()()y x R x Q x P x ,∨→∀中的自由元是 ，约束元是二、计算题（共80分）1.（15分）集合A={a,b,c,d}，R={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)}，画出R 的关系图，并求R 的自反闭包、对称闭包和传递闭包及R -1.2.（15分）设{}2,3,4,5,6,7,8,9A =，R 是A 上的整除关系，求R 的表格表示，画出R 的哈斯图并指出它们的最大元、极大元、最小元、极小元.3.（10分）证明()S R Q P R S Q P →⇒∨⌝→→,,.4.（10分）证明()(),,P Q Q R R P S S →⌝∨∧⌝⌝⌝∧⇒⌝.5.（10分）有一种保密锁的控制电路，锁上共有三个键A ，B ，C . 当三键同时按下， 或只有A ， B 两键按下， 或只有A ， B 其中之一按下时， 锁被打开. 以G 表示锁被打开， 试写出G 的逻辑表达式.6.（10分）证明等价式()()()()()()()()x A x B x x xA x B x A x →∃⇔∃→∧⌝∀7.（10分）在高等数学中极限 定义为：任给小正数ε，则存在正数δ，使得当 0＜|x -a |＜ε时，恒有|f （x ）-b |＜δ成立.将上述定义用一阶逻辑公式表示.lim ()x af x b →=。
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在 y0 处
。
（A）都取得极大值 （C）恰有一个取得极大值
（B）至少有一个取极大值 （D）可能都不取极大值
审定人签字
第1页共4页
考生学号 考生姓名 所在班级
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5．设 z z(x, y) 是由方程 F(x az, y bz) 0 所定义隐的隐函数，其中 F (u, v) 是变量 u, v 的可微函数，
①求函数 f 在点 P 处的梯度；
②求函数 f 在点 P 处沿 AB 的方向导数。
10．在第一卦限内作椭球面 x2 y 2 z 2 1 的切平面，使该切平面与三坐标平面所围的四面体体积最小， a2 b2 c2
求此最小体积。
第3页共4页
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2．二元函数 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处两个偏导数 f x (x0 , y0 ) ，f y (x0 , y0 ) 连续是 f (x, y) 在
该点可微的
。
（A）必要条件
（B）充分必要条件
（C）充分条件而非必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件
3．微分方程 y 5y 4y c o xs 的特解形式是
f (0) 3，并且 2u 2u 。试求 f (x) 。 xy yx
8．设函数 z f [(x) y, x ( y)]，其中 f 具有二阶连续偏导数，(x), ( y) 均可微，求 2 z 。
xy
9．设函数 f xyz ，点 P(1,2,3) ，点 A(1,2,1) ，点 B(2,4,1) 。
。
（A） Ec o xs （C） F s i nx
（B） E c o xs F s i nx （D） x(E c o xs F s i nx)
4．设 z f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处取得极大值，则(x) f (x, y0 ) 在 x0 处和 ( y) f (x0 , y)
2．一直线
L1
过点
A(2,1,3)
与直线
L2
：
x
1 2
y 1
z
1
2
相交，且平行于平面
：
3x
2y
z
5
0，
求此直线 L1 的方程。
3．已知准线方程为立方抛物线
C
:
y
x3
，求：以{l,
m.n}为母线方向的柱面方程。
0
4．求微分方程 xy y xe x 满足 y x1 1 的特解。
5．设 z l n1( xy) ，则 dz
。
订 命题人签字
审题人签字 线
二．单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）：
1．双曲抛物面 x 2 y 2 2z( p 0, q 0) 与 x O y平面的交线是
。
pp
（A）双曲线 （C）平行直线
（B）抛物线 （D）相交于原点的两条直线
中国地质大学（武汉）课程考核试卷 教务处制 版本：2011.5
试卷类别
A□ B□
使用学期 装
课程名称： 高 等 数 学 B2 试 题 学时： 考核方式：笔试开卷□ 笔试闭卷√ 口试□ 其它 辅助工具：可用□ 工具名称：
一．填空（每小题 4 分，共 20 分）：
1． y (c1 c2 x)e3x (c1, c2 为任意常数）为微分方程
5．求解微分方程 y 2 x2 dy xy dy 。 dx dx
6．求微分方程 ydx (3x 2 y 5 )dy 0 的满足 y(0) 2 的特解。
7 ． 设 u(x, y) 的 全 微 分 du [e x f (x)] ydx f (x)dy, 其 中 f (x) 有 二 阶 连 续 导 数 ， f (0) 4 ，
2．过点 (1,2,1) 且垂直于平面 3x 2y z 4 0 的直线方程是
不可用√
的通解。 。
3．函数 u xy 2 z 在点 P1,1,2处的方向导数的最大值为
。
4．过两点 A1,1,1和 B(2,2,2) 且与平面 x y z 0 垂直的平面方程是
。
a、b 为常数，则必有 （A） a z b z 1
x y
。 （B） a z b z 1 ;
x y
（C） b z a z 1 ; y x
（D） a z b z 1. y x
三．解答下列各题（每小题 6 分，共 60 分）：
1．求经过两相交直线 x 1 y z 6 及 x 1 y z 6 的平面方程 1 0 2 0 1 3