2.3.3 直线与圆的位置关系
2.3.3直线与圆的位置关系
2.3.3直线与圆的位置关系课程学习目标［课程目标］目标重点：直线和圆的位置关系的判断.目标难点：直线和圆的位置关系的应用.［学法关键］1．直线和圆的位置关系是初中已经学到的知识. 本节是把这些几何形式的结论转化为代数方程的形式.2．研究直线与圆的位置关系要紧紧抓住圆心到直线的距离与圆半径的大小关系这一知识点，这个过程充分体现并运用了数形结合思想、分类讨论思想，这是解析几何中重要的数学思想方法. 运用数形结合思想解题时要注意作图的准确性，分类讨论时要做到不重不漏.研习点1．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：如图所示.（1）直线与圆相交：有两个公共点；（2）直线与圆相切：有一个公共点；（3）直线与圆相离：没有公共点.研习点2．直线与圆的位置关系的判定如果直线l 和圆C 的方程分别为：Ax +By +C =0，x 2+y 2+Dx +Ey +F =0. 则直线与圆的位置关系的判定有两种方法：（1）代数法判断直线与圆的位置关系：如果直线l 和圆C 有公共点，由于公共点同时在直线l 和圆C 上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之如果这两个方程有公共解，那么，以公共解为坐标的点必是直线l 和圆C 的公共点. 由l 和C 的方程联立方程组2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩， 可以用消元法将方程组转化为一个关于x （或y ）的一元二次方程，若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交；若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切；若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.（2）几何法判断直线与圆的位置关系：如果直线l 和圆C 的方程分别为：Ax +By +C =0，(x －a )2+(y －b )2=r 2. 可以用圆心C (a ，b )到直线的距离dC 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系。
若d <r 时，直线l 和圆C 相交；若d =r 时，直线l 和圆C 相切；若d >r 时，直线l 和圆C 相离.圆的切线的求法：直线与圆相切，切线的求法：（1）当点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，切线方程为x 0x +y 0y =r 2；（2）若点(x 0，y 0)在圆(x －a )2+(y －b )2=r 2上时，切线方程为(x 0－a )(x －a )+(y 0－b )(y －b )=r 2；（3）斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为y kx =±斜率为k 且与圆(x －a )2+(y －b )2=r 2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y =kx +m ，然后变成一般式kx －y +m =0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；（4）点(x 0，y 0)在圆外面，则切线方程为y －y 0=k (x －x 0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上.研习点3．直线与圆相交的弦长公式（1）平面几何法求弦长公式： 如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段AB 的长即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有222()2AB d r +=，即AB=. （2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线AB 的倾斜角存在时，联立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 1+x 2和x 1x 2.于是12||x x -=这样就求得1212||||AB x x y y =-=-。
第2章 2.3.3 直线与圆的位置关系-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修一讲义
2.3.3直线与圆的位置关系学习目标核心素养1．理解直线与圆的三种位置关系．(重点) 2．会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(重点)3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(难点)1．通过直线与圆的位置关系的学习，培养直观想象逻辑推理的数学核心素养．2．通过解决直线与圆位置关系的综合问题，培养数学运算的核心素养．早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程．你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系．你发现了吗？直线与圆的位置关系的判定(直线Ax＋By＋C＝0，AB≠0，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0)位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d＜r d＝r d＞r判定方法代数法：由⎩⎨⎧Ax＋By＋C＝0(x－a)2＋(y－b)2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0图形1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( ) (2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切． ( )[答案] (1)√ (2)√2．(教材P 110练习A ①改编)直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．无法判断B [圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，又圆x 2＋y 2＝1的半径为1，∴d ＝r ，故直线与圆相切．]3．直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)没有公共点，则a 的取值范围是 ． 0＜a ＜2－1 [由题意得圆心(0，a )到直线x ＋y －1＝0的距离大于半径a ，即|a －1|2＞a ，解得－2－1＜a ＜2－1，又a ＞0，∴0＜a ＜2－1．]4．直线3x ＋y －23＝0，截圆x 2＋y 2＝4所得的弦长是 ． 2 [圆心到直线3x ＋y －23＝0的距离d ＝|－23|3＋1＝3．所以弦长l ＝2R 2－d 2＝24－3＝2．]直线与圆位置关系的判定【例1】 只有一个公共点？没有公共点？[思路探究] 可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断．[解] 法一：由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2 ①y ＝x ＋b ②得2x 2＋2bx ＋b 2－2＝0，③方程③的根的判别式Δ＝(2b )2－4×2(b 2－2)＝－4(b ＋2)(b －2)． (1)当－2＜b ＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点． (2)当b ＝2或b ＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点．(3)当b ＜－2或b ＞2时，Δ＜0方程组没有实数解，直线与圆没有公共点．法二：圆的半径r ＝2，圆心O (0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离为d ＝|b |2． 当d ＜r ，即－2＜b ＜2时，圆与直线相交，有两个公共点．当d ＝r ，|b |＝2，即b ＝2或b ＝－2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点． 当d ＞r ，|b |＞2，即b ＜－2或b ＞2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点．直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[跟进训练]1．已知圆的方程x 2＋(y －1)2＝2，直线y ＝x －b ，当b 为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，无公共点？[解] 法一：由⎩⎨⎧y ＝x －b ，x 2＋(y －1)2＝2得2x 2－2(1＋b )x ＋b 2＋2b －1＝0，① 其判别式Δ＝4(1＋b )2－8(b 2＋2b －1)＝－4(b ＋3)(b －1)，当－3＜b ＜1时，Δ＞0，方程①有两个不等实根，直线与圆有两个公共点； 当b ＝－3或1时，Δ＝0，方程①有两个相等实根，直线与圆有一个公共点； 当b ＜－3或b ＞1时，Δ＜0，方程①无实数根，直线与圆无公共点． 法二：圆心(0,1)到直线y ＝x －b 距离d ＝|1＋b |2，圆半径r ＝2． 当d ＜r ，即－3＜b ＜1时，直线与圆相交，有两个公共点； 当d ＝r ，即b ＝－3或1时，直线与圆相切，有一个公共点； 当d ＞r ，即b ＜－3或b ＞1时，直线与圆相离，无公共点．直线与圆相切的有关问题【例2】 [思路探究] 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程． [解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1， 所以点A 在圆外．(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径，半径为1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1，所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－158． 所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)， 即15x ＋8y －36＝0． (2)若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4． 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4．过一点的圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系得切线的斜率为－1k ，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x ＝x 0或y ＝y 0．(2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程联立，消去y 后得到关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求出k ，可得切线方程．提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．[跟进训练]2．过原点的直线与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0相切，若切点在第三象限，求该直线的方程． [解] 圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0化为标准式(x ＋2)2＋y 2＝1，圆心C (－2,0)，设过原点的直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径． 即|－2k |k 2＋1＝1，∴3k 2＝1， k 2＝13，解得k ＝±33． ∵切点在第三象限，∴k ＞0， ∴所求直线方程为y ＝33x ．直线截圆所得弦长问题[探究问题]1．已知直线l 与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？[提示] 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2求弦长．2．若直线与圆相交、圆的半径为r 、圆心到直线的距离为d ，如何求弦长？[提示] 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l ＝2r 2－d 2．【例3】 直线l 经过点P (5,5)并且与圆C ：x 2＋y 2＝25相交截得的弦长为45，求l 的方程．[思路探究] 设出点斜式方程，利用交点坐标法或利用r 、弦心距及弦长的一半构成直角三角形可求．[解] 据题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －5＝k (x －5)，与圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，法一：联立方程组⎩⎨⎧y －5＝k (x －5)，x 2＋y 2＝25.消去y ，得(k 2＋1)x 2＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0． 由Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2＋1)·25k (k －2)>0， 解得k ＞0．又x 1＋x 2＝－10k (1－k )k 2＋1，x 1x 2＝25k (k －2)k 2＋1，由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1 ＝45．两边平方，整理得2k 2－5k ＋2＝0，解得k ＝12或k ＝2符合题意． 故直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．法二：如图所示，|OH |是圆心到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的一半．在Rt △AHO 中，|OA |＝5， |AH |＝12|AB |＝12×45＝25， 则|OH |＝|OA |2－|AH |2＝5． ∴|5(1－k )|k 2＋1＝5， 解得k ＝12或k ＝2．∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．(变条件)直线l 经过点P (2，－1)且被圆C ：x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长最短，求此时直线l 方程．[解] 圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝25，圆心C (3,1)．因为|CP |＝(3－2)2＋(1＋1)2＝5＜5，所以点P 在圆内．当CP ⊥l 时，弦长最短．又k CP ＝1＋13－2＝2．所以k l ＝－12，所以直线l 的方程为y ＋1＝－12(x －2)，即x ＋2y ＝0．直线与圆相交时弦长的两种求法(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，则|AB |＝2r 2－d 2．图1 图2(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在且不为0)．1．如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法． 提醒：能用几何法，尽量不用代数法．(3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可．2．利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点(1)代入消元过程中消x 还是消y 取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x －ay ＋1＝0，则应将其化为x ＝ay －1，然后代入消x ．(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义．1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 B [圆心到直线的距离d ＝112＋(－1)2＝22＜1． 又∵直线y ＝x ＋1不过圆心(0,0)．∴直线与圆相交但不过圆心．]2．设直线l 过点P (－2,0)，且与圆x 2＋y 2＝1相切，则l 的斜率是( ) A ．±1 B ．±12 C ．±33 D ．±3 C [设l ：y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0． 又l 与圆相切，∴|2k |1＋k2＝1．∴k ＝±33．] 3．直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为 ．4 [圆的标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1,2)到直线x ＋2y －5＋5＝0的距离d ＝|1＋2×2－5＋5|12＋22＝1，所以弦长为25－1＝4．]4．若直线x ＋y －m ＝0与圆x 2＋y 2＝2相离，则m 的取值范围是 ． m ＜－2或m ＞2 [因为直线x ＋y －m ＝0与圆x 2＋y 2＝2相离，所以|－m |12＋12＞2，解得m ＜－2或m ＞2．]5．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，求直线l 的方程．[解] 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k ．设直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．又圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离 d ＝|2k －1－2|1＋k 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22．解得k ＝1或k ＝177．所以直线l 的方程为y ＋2＝x ＋1或y ＋2＝177(x ＋1)，即x －y －1＝0或17x －7y ＋3＝0．。
直线与圆的位置关系
O
系类 型 一 、 直 线 与 圆 的 位 置 关
答案： 1、C 3 5; 2、 3x 2 y 14 0; 3、a 2.
天空的幸福是穿一身蓝 森林的幸福是披一身绿 阳光的幸福是如钻石般耀眼 老师的幸福是因为认识了你们 愿你们努力进取，永不言败
系类 型 例1 一 、 直 线 与 解法二、（几何法）先将直线方程化成一般式：x-y+b=0 圆 则 圆 心 到 直 线 的 距 离： 为 的 |00b| 2 |b| 位 d 2 置 12 ( 1) 2 关
考点突破
跟踪训练： 2 . (1)直 线x y m与 圆x 2 y 2 m(m 0)相 切 ， 则 m ______
跟踪训练：
已知圆 C： ( x 3)2 ( y 2)2 16，则过点 M（3， 2）与圆 C
y-2=0 ___. 相切的切线方程是： __________
注意：用上述结论是先判断点与圆的位置关 系，只有点在圆上才能用此结论。
课后思考： 若点不在圆上，如何求圆的切线方程？
例如、已知直线 l过点P（2,3）且与圆 C： ( x 1)2 ( y 2)2 1 相切，求直线 l的方程。
例2
题类 2 2 2 已知圆的方程是x +y =r ,求经过圆上一
y0 x ,从 而 切 线 的 斜 率 k - 0, x0 y0 x0 ( x x0 ) y0
2 2
点M0(x0，y0)的切线方程。
圆的方程与直线与圆的关系
圆的方程与直线与圆的关系圆是几何学中的重要概念之一，也是人们日常生活中常见的几何形状。
圆所具备的一些性质使得它与直线之间存在着一系列的关系，这些关系常常在数学推导和实际应用中得到充分的体现和利用。
本文将探讨圆的方程及其与直线之间的关系。
一、圆的方程圆是由一组等距离于中心的点组成的集合，在平面直角坐标系中，如果圆的中心坐标为（a,b），半径为r，那么圆的方程可以表示为：（x-a）² + （y - b）² = r²其中（x，y）为圆上任意一点的坐标。
二、直线与圆的关系2.1 直线与圆相离当一条直线与圆不相交且也不相切时，称直线与圆相离。
2.2 直线与圆相切当一条直线与圆只有一个交点时，称直线与圆相切。
2.3 直线与圆相交当一条直线与圆有两个交点时，称直线与圆相交。
直线与圆相交时，可以进一步分为以下几种情况：2.3.1 直线穿过圆当一条直线通过圆的中心时，直线与圆的交点个数为2个，直线称为圆的直径，两个交点称为圆的端点。
2.3.2 直线与圆的交点在圆内当直线与圆相交，交点在圆的内部时，直线与圆的交点个数为2个。
此时，根据勾股定理可以求出交点的具体位置。
2.3.3 直线与圆的交点在圆外当直线与圆相交，交点在圆的外部时，直线与圆的交点个数为2个。
这种情况下，可以利用直线与圆的方程联立求解来确定交点的坐标。
三、应用举例在现实生活中，圆与直线的关系有着广泛的应用。
以下是一些示例：3.1 圆形运动在物理学中，当一个物体以某个点为圆心做匀速圆周运动时，轨迹是一个圆。
这种运动可以通过圆的方程来描述，而物体所在的位置可以通过直线与圆的交点来确定。
3.2 圆的切线圆的切线是直接与圆相切的直线。
切线与圆的切点可以唯一地确定一条切线。
切线问题在几何推理中有着广泛的应用，例如在建筑设计、路线规划等方面。
3.3 圆的包络线考虑一组与圆心距离相等的直线，当直线逐渐旋转时，所形成的曲线被称为圆的包络线。
高中数学_直线与圆的位置关系
x 3 5
44 ，方程组有唯一一个解
x
3 5
y
Hale Waihona Puke 4 5即此直线与圆只有一个公共点
(
3 5
,
4 5
)
，从而直线与圆相切
回顾我们前面提出的问题：如何用直线和 圆的方程判断它们之间的位置关系？
判断直线与圆的位置关系有两种方法：
几何法：根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系 来判断．如果d< r ，直线与圆相交；如果d= r ，直线 与圆相切；如果d> r ，直线与圆相离．
直线与圆的位置关系
C rd
l
C l
C l
dr相 交 dr相 切 dr相 离
2、现在，如何用直线方程和圆的方程判断它们 之间的位置关系？
先看以下问题，看看你能否从问题中总结来．
构建新知
已知直线 3x4y50 与圆 x2 y2 1 ，
判断它们的位置关系。
已知圆的圆心是O(0,0),半径是r=1,圆心到直线的距离
0,
直线与圆相离
2.3 直线与圆的位置关系
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？ 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系：
（1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交； （2）直线和圆只有一个公共点，直线与圆相切； （3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离．
（1）
（2）
（3）
N C(2,4)
（2）在y=ax+4-a中, a为斜率，当a=0时，
l过圆心，弦AB的最大值为直径的长，等于6
0
x
练习：
1、判断直线 4x3y20与圆 (x3)2(y5)236
新教材高中数学第二章平面解析几何3圆及其方程3直线与圆的位置关系课件新人教B版选择性必修第一册
已知圆E经过点(−1,2), (6,3)，且_____________
（i）求圆的方程；
（ii）已知直线经过点(-2,2)，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线
的方程.
（i）设圆的方程为 2 + 2 + + + = 0，依题意有
5 − + 2 + = 0,
易知圆心到直线y=x的距离 =
所以切线长的最小值为
2
3 2
，
2
− 2
=
3 2 2
( )
2
−(
2)2
=
10
，故选C.
2
探究点三 直线和圆相交
例
（1） 求直线: 3 + − 6 = 0被圆: 2 + 2 − 2 − 4 = 0截得的弦的长.
3 + − 6 = 0
2 − 3 + 2 = 0，解得交点
D. 相离
[解析] 圆 2 + 2 = 1的圆心为(0,0)，半径 = 1.
因为圆心(0,0)到直线 − 2 − 1 = 0的距离 =
所以直线与圆相交但直线不过圆心.
|0−0−1|
12 +(−2)2
=
5
＜1，
5
（2） （多选）已知圆: ( + cos)2 + ( − sin)2 = 1，直线: = .下
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为，
则切线方程为 + 3 = ( − 4)，即 − − 4 − 3 = 0.
设圆的圆心为，则(3,1)，因为圆心到切线的距离等于半径1，
新高考 高中数学 选修一 课件+类型题2.3.3 直线与圆的位置关系
(2)当Δ＝32(1－k2)＝0即k＝±1时，方程组有两组相同的实数 解，直线l与圆O相切；
(3)当Δ＝32(1－k2)＜0即k＜－1或k＞1时，方程组没有实数 解，直线l与圆O相离．
法二 直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0. 圆心O到直线l的距离 d＝ |－k24＋k|1， 圆O的半径r＝2 2.
(1)当d＝ |－k24＋k|1＜2 2， 即－1＜k＜1时，直线l与圆O相交； (2)当d＝ |－k24＋k|1＝2 2， 即k＝±1时，直线l与圆O相切； (3)当d＝ |－k24＋k|1＞2 2， 即k＜－1或k＞1时，直线l与圆O相离．
类型二、求圆的切线方程 例 2、过点 A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线，求此 切线的方程．
练：
已知圆 O：x2＋y2＝8，过 P(4，0)的直线 l 的斜率 k 在什么范 围内取值时，直线 l 与圆 O：(1)相交；(2)相切；(3)相离．
解 法一 设直线l的方程为y＝k(x－4)，
由yx＝ 2＋kyx2＝－84，， 得(1＋k2)x2－8k2x＋16k2－8＝0， 由1＋k2＞0，Δ＝(－8k2)2－4(1＋k2)(16k2－8)＝32(1－k2)． (1)当Δ＝32(1－k2)＞0即－1＜k＜1时，方程组有两组不同的 实数解，直线l与圆O相交；
[思路探索] 利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出直线斜 率，进而求出切线方程．
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1， 所以点A在圆外． (1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－3－4k＝0. 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1， 所以|3k－1k－2＋3－1 4k|＝1，即|k＋4|＝ k2＋1， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1. 解得k＝－185.所以切线方程为y＋3＝－185(x－4)， 即15x＋8y－36＝0.
高中数学 2.3 圆的方程 2.3.3 直线与圆的位置关系课堂探究 新人教B版必修2
2.3.3 直线与圆的位置关系课堂探究探究一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系的判断方法：(1)(几何法)由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断； (2)(代数法)根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；(3)(直线系法)若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．【典型例题1】 (1)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P(3,0)的直线，则( ) A.l 与C 相交 B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 解析：(方法一)圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝4，所以点P 到圆心C(2,0)的距离是d ＝1＜2，所以点P 在圆C 内部，所以直线l 与圆C 相交．(方法二)将点P 的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜0，所以点P(3,0)在圆内，所以过点P 的直线l 与圆C 相交．答案：A(2)已知动直线l ：y ＝kx ＋5和圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，则当k 为何值时，直线l 与圆C 相离？相切？相交？解：(方法一)(代数法)联立得方程组225,(1)1,y kx x y =+⎧⎨-+=⎩ 得(k 2＋1)x 2＋(10k －2)x ＋25＝0，则Δ＝(10k －2)2－4(k 2＋1)·25＝－40k －96， 所以当直线l 与圆C 相离时，－40k －96＜0，即k>－125； 当直线l 与圆C 相切时，－40k －96＝0，即k ＝－125； 当直线l 与圆C 相交时，－40k －96>0，即k ＜－125. (方法二)(几何法)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C(1,0)，半径r ＝1. 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则d.当d>r>1时，k>－125，此时直线l与圆C相离．当d＝r＝1时，k＝－125，此时直线l与圆C相切．当d＜r＜1时，k＜－125，此时直线l与圆C相交．探究二弦长问题1．直线被圆所截得的弦长问题多利用半弦、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形来处理．2．若用代数法求弦长，请参考基础知识自主梳理中“3”．【典型例题2】求直线y＝x被圆(x－2)2＋(y－4)2＝10所截得的弦长．思路分析：求直线被圆所截得的弦长的方法：一是利用弦心距、半径和半弦所构成的直角三角形，二是用弦长公式．解法一：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d.于是，弦长为.解法二：联立方程y＝x与(x－2)2＋(y－4)2＝10，得x2－6x＋5＝0.①设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两个根，于是由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，x1x2＝5，则|AB|＝.探究三圆的切线问题求过圆外一点的圆的切线的三种常用方法：(1)设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率；(2)设切点坐标，利用切线的性质解出切点坐标，由直线方程的两点式写出直线方程；(3)设切线斜率，利用判别式等于零，解出斜率．对第(1)和(3)两种方法应用时务必注意切线斜率不存在的情形．【典型例题3】已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝__________.解析：由题意，得圆心C(1,0)，半径r＝1，＝1，解得m＝8或－18.答案：8或－18探究四 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题，可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置，再进行计算．有些与圆有关的最值问题涉及是否过圆心，有时注意考虑表达式中字母的几何意义，如两点间距离公式、斜率公式、在y 轴上的截距等．【典型例题4】 已知实数x ，y 满足y ，求m ＝13y x ++及b ＝2x ＋y 的取值范围．思路分析：y 可化为x 2＋y 2＝3(y≥0)，即以(0,0)为圆心，的半圆，m ＝13y x ++＝(1)(3)y x ----，可看作半圆上的点与点(－3，－1)连线的斜率；b 可看作与半圆相交的直线2x ＋y －b ＝0在y 轴上的截距．解：y 的上半圆，m ＝13y x ++表示过点(－3，－1)和(x ，y)的直线的斜率，如图(1)所示．图(1) 图(2)可知k AB ≤m≤k AC .所以k AB.因为AC 与半圆x 2＋y 2＝3(y≥0)相切，所以k AC ＝36+.所以m 的取值范围是⎣⎦. 由b ＝2x ＋y ，知b 表示直线2x ＋y －b ＝0在y 轴上的截距，如图(2)所示． 可知直线b ＝2x ＋y 一定位于两直线l 1与l 2之间．由直线l 2与半圆相切，得b l 1过D(0)，得b ＝－故b 的取值范围是[－．点评 本题解决的关键是理解m 和b 的几何意义，同时要借助分界线探求参数的取值范围．探究五易错辨析易错点：因忽视斜率不存在的情况而致误【典型例题5】若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．错解：设直线l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，＝1，所以k＝125.所以直线l的方程为12x－5y－9＝0.错因分析：忘记讨论斜率不存在的情况．正解：(1)若直线l的斜率存在，设直线l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0. 因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，＝1，所以k＝125.所以直线l的方程为12x－5y－9＝0.(2)若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.。
(教案2.3.3 直线与圆的位置关系(sun)
2.3.3 直线与圆的位置关系学案学习目标1、理解直线和圆的三种位置关系，掌握其判定方法;2、掌握求圆的切线方程方法；3、掌握求弦长的方法。
学习重、难点重点：直线与圆的位置关系；难点：掌握求圆的切线方程方法；课前预习案1.已知⊙O的半径是4cm,O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是 __________；直线a与⊙O的公共点个数是____________.2.已知⊙O的直径是6cm，O到直a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是_______________.3.圆心为(1，－2)，半径为x轴上截得的弦长为（）（A）8 （B）6 （C）（D）4.设圆的方程为x2+(y-1)2=2,求该圆的斜率为1的切线方程___________.5.判断圆(x－3)2+(y－3)2=9上到直线3x+4y－11=0的距离为1的点个数。
课堂教学案一、情境创设“大漠孤烟直，长河落日圆” 是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。
如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想象一下，直线和圆的位置关系有几种吗？二、教学过程合作探究(一)：直线与圆的位置关系思考1:根据黄昏日落这种自然现象，请回答直线与圆的位置关系有几种？如何根据直线与圆的公共点个数判断直线与圆的位置关系？小结：经过讨论可以得出：利用直线与圆公共点的个数来判断直线与圆的位置关系的方法（代数法）；直线与圆有两个公共点时，叫直线与圆_____；直线与圆有惟一公共点时，叫直线与圆____，这条直线叫做圆的_____，这个公共点叫做____；直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆____。
请写出上述判断方法的操作步骤？_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ___________________________________________________________。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是数学中一个重要的概念。
在二维平面上，直线和圆可以相交、相切或者不相交。
本文将详细介绍直线与圆的不同位置关系，并探讨相关的性质和定理。
1.直线与圆的相交关系当一条直线与一个圆相交时，可能存在三种不同的情况：相交于两个点、相交于一个点或者不相交。
1.1 直线与圆相交于两个点当一条直线与一个圆相交于两个不同的点时，这条直线称为圆的切线。
切线与圆的切点处存在着垂直关系。
此时，根据位置的不同，切线可以被分为以下三种情况：1.1.1 直线在圆的外部相交于两个点当一条直线与一个圆相交于两个不同的点，且这两个切点均在圆的外部时，这条直线与圆的位置关系如图1所示。
（插图：直线与圆相交于两个点，但直线在圆的外部）1.1.2 直线与圆相切于两个点当一条直线与一个圆相交于两个不同的点，且这两个切点均位于圆上时，这条直线与圆的位置关系如图2所示。
（插图：直线与圆相切于两个点）1.1.3 直线在圆的内部相交于两个点当一条直线与一个圆相交于两个不同的点，且这两个切点均在圆的内部时，这条直线与圆的位置关系如图3所示。
（插图：直线与圆相交于两个点，且直线在圆的内部）1.2 直线与圆相交于一个点当一条直线与一个圆相交于一个点时，我们称该直线与圆相切。
这种情况下，直线与圆的位置关系如图4所示。
（插图：直线与圆相切于一个点）1.3 直线与圆不相交当一条直线与一个圆没有交点时，这条直线与圆不相交。
这种情况下，直线与圆的位置关系如图5所示。
（插图：直线与圆不相交）2.直线与圆的性质和定理2.1 切线定理在一个圆中，通过一点可以作出两条切线，且这两条切线的切点处与该点连线垂直。
2.2 弦切角定理当一条弦与切线相交时，所形成的切角和弦所对的弧相等。
2.3 弦长定理一条弦所对的弧长度等于该弦所分割的圆内部两部分的长度之和。
2.4 垂直弦定理当一条直径与一条弦相交时，所形成的两个切角是互补角。
2.5 正交切线定理如果两条切线相交，那么从相交点到各个切点所作的弦互相垂直。
2.3.3直线与圆的位置关系教案教师版
2.3.3 直线与圆的位置关系学习要求1．掌握直线与圆的三种位置关系．2．会用两种方法来判定直线与圆的位置关系．3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．学法指导通过观察图形，探究出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系是判断直线与圆位置关系的依据，从而理解并掌握判断直线与圆位置关系的方法，感悟数形结合的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．直线和圆的位置关系有： 相交 、 相切 、 相离 三种位置关系．2．直线与圆位置关系的判定有两种方法：(1)代数法：通过 直线方程与圆的方程 所组成的方程组，根据解的个数来判断．若有两组不同的实数解， 即Δ＞0，则 相交 ；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则 相切 ；若无实数解，即Δ＜0，则 相离 ．(2)几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断．当d ＜r 时，直线与圆 相交 ；当d ＝r 时，直线与圆 相切 ；当d ＞r 时，直线与圆 相离 ．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在初中我们判断直线与圆的位置时，是通过图形看直线与圆有几个交点，当它们有两个公共点时，直线与圆相交；有一个公共点时相切；没有公共点时相离．现在我们学习了直线与圆的方程后，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？本节我们就来探讨这个问题．探究点一 判定直线与圆的位置关系的方法问题1 平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？答：平面几何中，直线与圆有三种位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点．问题2 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？答：(1)如果直线l 和圆C 的方程分别为：Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.可以用圆心C(a ，b)到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C|A 2＋B2与圆C 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系； (2)把直线与圆的交点个数问题转化为直线与圆的方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的解的个数问题， 这样当方程组无解时，直线与圆相离；方程组有一解时，直线与圆相切；方程组有两解时，直线与圆相交．探究点二 直线与圆位置关系的应用例1 已知圆的方程是x 2＋y 2＝2，直线方程是y ＝x ＋b ，当b 为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？解：方法一 所求曲线公共点问题可转化为b 为何值时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2 ①y ＝x ＋b ② 有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题．②代入①，整理得2x 2＋2bx ＋b 2－2＝0.③方程③的根的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b 2－2)＝－4(b ＋2)(b －2)．当－2<b<2时，Δ>0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点；当b ＝2或b ＝－2时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点：当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点．以上分别就是直线与圆相交、相切、相离的三种情况(如图所示)．方法二圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、无公共点的问题，可以转化为b 取何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题．圆的半径r ＝2，圆心O(0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离为d ＝|b|2， 当d<r ，即－2<b<2时，圆与直线相交，有两个公共点；当d ＝r ，|b|＝2，即b ＝2或b ＝－2时，圆与直线相切，直线与圆有一个公共点；当d>r ，|b|>2，即b<－2或b>2时，圆与直线相离，圆与直线无交点．小结：判断直线与圆的位置关系一般有两种方法 ：一是利用直线与圆的交点个数；二是利用圆心到直线的距离d 与圆半径长的大小关系．跟踪训练1 已知直线l ：3x ＋y －6＝0和圆心为C 的圆x 2＋y 2－2y －4＝0，判断直线l 与圆的位置关系．解：方法一 由直线与圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0x 2＋y 2－2y －4＝0.消去y ，得x 2－3x ＋2＝0， 因为Δ＝(－3)2－4×1×2＝1>0，所以，直线与圆相交，有两个公共点．方法二 圆的方程配方，得x 2＋(y －1)2＝5，圆心C 坐标为(0,1)，半径为5，圆心C 到直线的距离d ＝|3×0＋1×1－6|32＋12＝510< 5.所以，直线与圆相交，有两个公共点． 例2 已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，求过圆上一点M(x0，y 0)的切线方程(如图)．解：如果x 0≠0且y 0≠0，则直线OM 的方程为y ＝y 0x 0x ， 从而过点M 的圆的切线的斜率为－x 0y 0， 因此所求圆的切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)．化简，得x 0x ＋y 0y ＝x 20＋y 20. 因为点M(x 0，y 0)在圆上，所以x 20＋y 20＝r 2，所以，过圆x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.如果x 0＝0或y 0＝0，我们容易验证，过点M(x 0，y 0)的切线方程也可以表示为x 0x ＋y 0y ＝r 2的形式．因此，所求的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.小结：过一点求圆的切线，应首先判定点与圆的位置关系，若在圆上，则该点即为切点，若在圆外，可根据此点设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即得切线斜率．跟踪训练2 求过点P(1，－7)与圆x 2＋y 2＝25相切的切线方程．解：方法一 将点P(1，－7)代入圆方程得12＋(－7)2＝50>25，∴点P 在圆外. 设切线的斜率为k ，由点斜式得y ＋7＝k(x －1)，即y ＝k(x －1)－7. ①将①代入圆的方程x 2＋y 2＝25，得x 2＋[k(x －1)－7]2＝25，整理得(k 2＋1)x 2－(2k 2＋14k)x ＋k 2＋14k ＋24＝0，Δ＝(2k 2＋14k)2－4(k 2＋1)·(k 2＋14k ＋24)＝0.解得k ＝43或k ＝－34， 再代入①可得切线方程为4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.方法二 设所求切线斜率为k ，∴所求直线方程为y ＋7＝k(x －1)，整理得kx －y －k －7＝0，∵圆心到直线的距离d ＝|0－0－k －7|1＋k 2，且d ＝r.即|0－0－k －7|1＋k 2＝5， 整理得12k 2－7k －12＝0.解得k ＝43或k ＝－34. 因此切线方程为4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.探究点三 直线截圆所得弦长问题例3 已知过点M(－3，－3)的直线l 被圆x 2＋y 2＋4y －21＝0所截得的弦长为45，求直线l 的方程．解：将圆的方程写成标准形式，得x 2＋(y ＋2)2＝25，所以，圆心的坐标是(0，－2)，半径r ＝5. 因为直线被圆截得的弦长为45， 所以，弦心距为52－52＝5，设过点M 的直线方程为y ＋3＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －3＝0.由弦心距为5，得|0＋2＋3k －3|k 2＋1＝5， 解得k ＝－12，或k ＝2. 所以，所求直线方程有两条，它们的方程分别为x ＋2y ＋9＝0，或2x －y ＋3＝0.小结：涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及圆半径所构成的直角三角形解之，以简化运算．跟踪训练3 已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得弦AB 满足： 以AB 为直径的圆经过原点．解：假设存在且设l 为：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C(1，－2)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m y ＋2＝－－， 得AB 的中点N 的坐标N ⎝⎛⎭⎫－m ＋12，m －12， 由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.又|AN|＝|CA|2－|CN|2＝9－＋22， |ON|＝⎝⎛⎭⎫－m ＋122＋⎝⎛⎭⎫m －122. 所以9－＋22＝⎝⎛⎭⎫－m ＋122＋⎝⎛⎭⎫m －122， 解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是 ( )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离解析：圆心到直线的距离d ＝112＋－2＝22<1， 又∵直线y ＝x ＋1不过圆心(0,0)，∴选B.2．已知P ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2}，Q ＝{(x ，y)|x 2＋y 2＝2}，那么P∩Q 为( )A ．∅B ．(1,1)C ．{(1,1)}D ．{(－1，－1)}解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2x ＋y ＝2， 得x ＝y ＝1.3．过点M(3,2)作⊙O ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的切线，则切线方程是_____________________．解析：易知所求切线不可能垂直于x 轴，故切线斜率必定存在．设切线方程为y －2＝k(x －3)，即kx －y ＋2－3k ＝0，由|－2k －1＋2－3k|k 2＋－2＝1， 得k ＝512或k ＝0，代入即可求得．课堂小结：1．判断直线与圆的位置关系有两种方法：(1)判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l 与圆C 有公共点．有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离．(2)判断圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系．如果d<r ，直线l 与圆C 相交；如果d ＝r ，直线l 与圆C 相切；如果d>r ，直线l 与圆C 相离．2．圆的切线分三类：(1)过圆上一点的圆的切线；(2)知切线斜率的圆的切线；(3)过圆外一点的圆的切线．。
2.3.3直线与圆的位置关系
x2
)
10k
10k 1k2
x y
x1 y1
x2
2 y2
2
5k 2
1k2 5k
1k2
消去k得：x2 y2 5x 0或y 0
当y=0时,k=0 此时x=0 而x2 y2 5x 0过0，0
轨迹方程即为x2 y2 5x 0
A 相交 B相切 C相离 D与k值有关
2.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b)与圆
的位置关系是( C )
A. 在圆上
B. 在圆内
C. 在圆外
D. 以上皆有可能
3.若圆x2+y2=1与直线 x y 0 (a>0,b>0)相切， ab
则ab的最小值为( C )
A. 1
B. 2
将②代入①： x2 (x b) 2 2
即：
2x2 2bx b2 2 0
Δ (2b) 2 4 2(b2 2)
4(b 2)(b 2)
•当直线与圆相交时，直线与圆有两个交点.
Δ 0
即： 4(b 2)(b- 2) 0
2 b 2
新课导入
问题
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的 台风预报；台风中心位于轮船正西70km处，受影响 的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台 风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那 么它是否会受到台风的影响？
为解决这个问题，我们以台风中心为原点，东 西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其 中，取10km为单位长度.
所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分 别是：
高中数学23圆的方程233直线与圆的位置关系234圆与圆的位置关系例题与探究新人教B版2.
2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系典题精讲例1如图2-3-(3,4)-3已知圆x 2+y 2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的两交点为P 、Q ，且OP⊥OQ(O 为原点)，求圆的方程.图2-3-(3,4)-3思路分析:涉及到直线与圆的交点问题，可以联立方程求解. 解法一:设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2). 由⎩⎨⎧=+-++=-+,06,03222c y x y x y x消去x,得(3-2y)2+y 2+(3-2y)-6y+c=0，即5y 2-20y+12+c=0.由韦达定理，得y 1+y 2=4，y 1y 2=512c+. 如图2.3(3.4)3所示， ∵OP⊥OQ， ∴2211x y x y •=-1， 即123232211-=-•-y y y y .解得9-6(y 1+y 2)+5y 1y 2=0. ∴9-6×4+5×512c+=0，解得c=3. 从而所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3=0.解法二:设过圆x 2+y 2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的交点P 、Q 的圆的方程为x 2+y 2+x-6y+c+λ(x+2y-3)=0，即x 2+y 2+(1+λ)x-(2λ-6)y+c-3λ=0. ∵OP⊥OQ，故该圆过原点,c-3λ=0,① 且圆心(21λ+-，262--λ)在直线x+2y-3=0上, 21λ+-+2·(262--λ)-3=0.②由①②求得λ=1，c=3.故所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3=0.绿色通道：在解析几何中，更多的是把垂直转化为斜率问题，而较少利用勾股定理.在判定直线与圆的位置关系时，应选择能体现圆的几何性质的方法，即用圆心到直线距离与半径作比较，这样更简捷.变式训练1若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y=33x(x≥0)相切，则这个圆的方程为_________________.思路解析:若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y=33x(x≥0)相切，则圆心在直线y=3x 上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，这个圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=1. 答案：1变式训练2(2006重庆高考,文3)以点(2，-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 ( )A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=3 思路解析:根据题意,圆心到切线的距离即为圆的半径r=22435)1(423++-⨯-⨯=3，故选C.答案：C例2已知动直线l:(m+3)x-(m+2)y+m=0与圆C:(x-3)2+(y-4)2=9. (1)求证:无论m 为何值，直线l 与圆C 总相交.(2)m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小?并求出该最小值.思路分析:分析已知条件:圆是定圆，直线不确定(方程中含有未知数m)，解题关键在于发现直线的特征:过定点.(1)证法一:设圆心C(3，4)到动直线l 的距离为d ，则 d=21)25(21)2()3(|4)2(3)3(|222++=++++•+-•+m m m m m m ≤2.∴当m=25-时，d max =2＜3(半径). 故动直线l 总与圆C 相交.证法二:直线l 变形为m(x-y+1)+(3x-2y)=0. 令⎩⎨⎧=-=+-,023,01y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,2y x如图2-3-(3,4)-4所示，故动直线l 恒过定点A(2，3).图2-3-(3,4)-4而|AC|=32)43()32(22<=-+-，∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交. (2)解法一:由平面几何知识知,弦心距越大,弦长越小. 由(1)知,当m=25-时，弦长最小. ∴最小值为72)2(3222=-.解法二:由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小， ∴过点A 且垂直AC 的直线被圆C 所截弦长最小. ∴k l =11-=-ACk .∴,123-=++m m 解得m=25-.此时弦长为72)2(92||32222=-=-AC . 故当m=25-时，直线被圆C 所截弦长最小，最小值为72. 绿色通道：解法一使用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，解法简便，运算量小. 解法二从所要证的结论分析，总与定圆相交的动直线可能是过定点的直线系，且定点必在圆内.于是抓住动直线与定圆的几何特征，数形结合，生动直观，迅速解决问题.变式训练3设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x 2+y 2=2相切,则a 的值为( ) A.±2 B.±2 C.±22 D.±4 思路分析:设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x 2+y 2=2相切，设直线方程为y=x+a ，圆心(0，0)到直线的距离等于半径2， ∴22||=a .∴a 的值为±2，选B. 答案：B例3已知P(x,y)在圆C:x 2+y 2-6x-4y+12=0上， (1)求x-y 的最大及最小值；(2)求x 2+y 2的最大及最小值；(3)求|PA|2+|PB|2的范围，其中A(-1,0)、B(1,0).思路分析:利用直线与圆的位置关系还可以求最值；另外数形结合的方法也需注意. (1)解：设x-y=m ，则P(x,y)在l:x-y-m=0上.又在⊙C 上,⊙C 的圆心坐标为(3,2), ∴l 与⊙C 有公共点. ⊙C 的圆心坐标为(3,2),∴圆心到直线l 的距离d=11|23|+--m ≤1，|1-m|≤2，得1-2≤m≤2+1.∴x -y 的最大值为2+1,最小值为1-2.(2)解法一:x 2+y 2=(x-0)2+(y-0)2=(22)0()0(-+-y x =|OP|2.由平面几何知识，连结直线OC 交⊙C 于A 、B. 当P 与A 重合时，|OP|min =|OA|=|OC|-1=13-1; 当P 与B 重合时，|OP|max =|OB|=|OC|+1=13+1. 从而，14-213≤x 2+y 2≤14+213.解法二:设x 2+y 2=r 2(r ＞0)，因此P 在⊙O 上，又在⊙C 上，图2-3-(3,4)-5即⊙O 与⊙C 有公共点，由图2-3-(3,4)-5可知，当⊙O 与⊙C 外切时，r 最小. 此时|OC|=r+1=13, ∴r min =13-1.当⊙O 与⊙C 内切时，r 最大. 此时，|OC|=|r-1|=13， ∴r max =13+1.∴14-213≤x 2+y 2≤14+213.(3)解：可化归为(2),|PA|2+|PB|2=222222))1(())1((y x y x +-+++ =x 2+2x+1+y 2+x 2-2x+1+y 2=2(x 2+y 2)+2.由(2)14-132≤x 2+y 2≤14+132， ∴30-134≤|PA|2+|PB|2≤30+134.绿色通道：本题是坐标法的逆向应用,即用几何法研究代数问题——最值.变式训练4圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( )A.36B.18C.26D.25思路解析：圆x 2+y 2-4x-4y-10=0的圆心为(2，2)，半径为23，圆心到直线x+y-14=0的距离为23522|1422|>=-+，所以直线与圆的位置关系是相离.因此圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=26，选C.答案:C例4已知圆C:x 2+y 2-2x-4y-20=0及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R ). (1)求证:不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最短长度及此时的直线方程. 思路分析:(1)直线l 是过一个定点的直线，若此定点在圆内，则此直线l 必与圆C 相交.(2)当过定点的直线与圆心的距离最短，即此直线垂直于定点与圆心的连线时，被圆截得的弦最短.(1)证明:把直线l 的方程改写成(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.由方程组⎩⎨⎧=-+=-+,072,04y x y x解得⎩⎨⎧==.1,3y x∴直线l 总过定点(3，1).圆C 的方程可写成(x-1)2+(y-2)2=25.∴圆C 的圆心为(1，2)，半径为5，定点(3，1)到圆心(1，2)的距离为5)21()13(22=-+-＜5.∴点(3，1)在圆C 内.∴过点(3，1)的直线l 总与圆C 相交，即不论m 为何实数，直线l 与圆C 总相交.图2-3-(3,4)-6(2)解：当直线l 过定点M(3，1)且垂直于过点M 的圆心的半径时，l 被圆截得的弦长|AB|最短.(如图2-3-(3,4)-6) |AB|=254202])21()13[(2522222==-+--=-CM BC .此时，k AB =CMk 1-=2.∴直线AB 的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.故直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度为54，此时直线l 的方程为2x-y-5=0. 绿色通道：充分考虑圆的几何性质，数形结合,如果对于第(2)问用纯代数的方法来解决,会很复杂.变式训练5(2006高考全国卷Ⅰ，文7)从圆x 2-2x+y 2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) A.21 B.53C.23D.0思路解析:圆x 2-2x+y 2-2y+1=0的圆心为M(1，1)，半径为1，从圆外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则点P 到圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于21，所以两切线夹角的正切值为tanθ=34411212=-•，该角的余弦值等于53，选B. 答案：B 问题探究问题1过一点作圆的切线,求切线方程.现利用点斜式,求出斜率值只有一个,那么该点在圆上吗？利用点斜式求直线方程,会产生漏解吗？如果漏解,会漏掉什么样的解？ 导思：根据不同条件求圆的切线,主要有以下题型:(1)已知切点,求切线方程.可根据切线垂直于过切点的半径直接写出切线的方程.注意只有一条.(2)已知圆外一点,求圆的切线方程.切记有两条. (3)已知切线的斜率求圆的切线方程. 求圆的切线方程常用的三种方法: (1)设切点用切线公式法; (2)设切线斜率用判别式法;(3)设切线斜率,用圆心到切线的距离等于半径法.探究：利用点斜式求直线方程时,很重要的一点就是注意点斜式不能表示斜率不存在的直线的方程,即倾斜角为2π的直线的方程.如果没有考虑到这一点就贸然运用点斜式方程就有可能产生漏解,忽略倾斜角为2π的直线的方程而造成错误.对于题中所给问题,先要判断此点与圆的位置关系,如果点在圆外,则过此点应该有两条圆的切线,现在只解出一个斜率,则说明遗漏了倾斜角为2π的切线方程;如果点在圆上,则应该有一条切线,现解出一个斜率,则正是所求切线的斜率;如果点在圆内,则不应该有切线,不可能解出正确的斜率值.问题2将两个相交的非同心圆的方程x 2+y 2+D i x+E i y+F i =0(i=1,2)相减,可得一直线方程,这条直线方程具有什么样的特殊性呢？导思：可以通过设出两圆的交点(x 1,y 1)、(x 2,y 2),将(x 1,y 1)代入两圆方程相减得到 (D 1-D 2)x 1+(E 1-E 2)y 1+F 1-F 2=0,将(x 2,y 2)代入两圆方程相减得到(D 1-D 2)x 2+(E 1-E 2)y 2+F 1-F 2=0,点(x1,y1)、(x2,y2)满足(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,故该方程为公共弦所在直线的方程.探究：两圆相减得一直线方程,它当然经过两圆的公共点.经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.。
2.3.3 一般方程直线与圆的分位置关系
张喜林制2.3.3 直线与圆的位置关系教材知识检索考点知识清单1．直线与圆的位置关系的判断直线与圆有三种位置关系： 、 、 判断方法有两种： (1)代数法：通过解直线与圆联立的方程组，根据解的个数来研究。
⎩⎨⎧=++++=++,0,022F Ey Dx y x C By Ax 联立消元得到一个关于x （或y ）的一元二次方程，利用△判断：当 时，直线与圆相交；当 时，直线与圆相切；当 时，直线与圆相离． (2)几何法：由比较圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断，已知直线0=++C By Ax 与圆,)()(222r b y a x =-+-圆心到直线的距离=d ，则有：直线与圆相交⇔ ；相切⇔ ；相离⇔ 2．圆的切线若点),(00y x 在圆222r y x =+上，则经过该点的切线方程为要点核心解读1．直线与圆的位置关系的判断一般地，直线与圆的位置关系的判定有两种方法：(1)判定直线0=++C By Ax 和圆022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：可联立方程．得⎩⎨⎧=++++=++,0,022F Ey Dx y x C By Ax 消去y （或x ）得 ⋅=++=++)0(022p ny my p nx mx 或当A>O 时，直线与圆相交，有两个公共点； 当A=O 时，直线与圆相切，有一个公共点； 当A<O 时，直线与圆相离，无公共点．(2)直线0=++C By Ax 和圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系可利用比较圆心到直线的距离22||BA C Bb Aa d +++=与半径r 的大小来判断，当d<r 时，直线与圆相交，有两个公共点； 当d=r 时，直线与圆相切，有一个公共点； 当d>r 时，直线与圆相离，无公共点． 2．直线与圆相切，切线方程的求法(1)当点),(00y x 在圆222r y x =+上时，经过该点的切线方程为;200r y y x x =+(2)当点),(00y x 在圆222)()(r b y a x =-+-上时，经过该点的切线方程为;))(())((200r b y b y a x a x =--+--(3)斜率为k 且与圆222r y x =+相切的切线方程为=y ;12k r kx +±斜率为k 且与圆222)()(r b y a x =-+-相切的切线方程的求法：可以设切线为,m kx y +=然后变成一般式为.0=+-m y kx 利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求m ；(4)点),(00y x 在圆外，则可设切线方程为-=-x k y y (0),0x 变成一般式为.000=-+-kx y y kx 因为与圆相切，所以可利用圆心到直线的距离等于半径，解出k 注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上．典例分类剖析考点1 判断直线与豳的位置关系 命题规律已知圆心和圆的半径，确定参数的值，使直线与圆相切、相交或相离．[例1] a 为何值时，直线0:=-+a y x l 与圆=+22:y x O :2(1)相交；(2)相切；(3)相离．[答案] 解法一：圆2:22=+y x O 的半径,2=r 圆心0(0，0)到直线0:=-+a y x l 的距离2||11||22a a d =+-=(1)令d<r ，得,22||<a 解得,22<<-a∴ 当22<<-a 时，直线L 与圆0相交； (2)令d=r ，得,22||=a 解得a=±2，∴ 当a=±2时，直线L 与圆D 相切； (3)令d>r ，得,22||>a 解得a>2或a< -2，∴ 当a>2或a< -2时，直线L 与圆0相离．解法二：把直线L 的方程x+y-a=0代入圆0的方程222=+y x 并整理，得.022222=-+-a ax x ∴ 这个方程的判别式为.1642+-=∆a(1)当△>0，即-2 <a <2时，直线与圆相交； (2)当△=0，即a=±2时，直线与圆相切；(3)当△<0，即a>2或a< -2时，直线与圆相离．[点拨] 依据圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的关系去判断直线与圆的位置关系，思路非常简单，即通过d 与r 的大小关系便可获得结论．需要特别指出的是，该方法属圆的个性范畴，不能推广．母题迁移 1．已知直线063:=-+y x l 和圆+2:x C ,0422=--y y 判断直线l 与圆C 的位置关系；如果相交，求出它们交点的坐标， 考点2 求切线方程命题规律已知圆的方程及圆外一点P ，求过点P 的圆的切线方程．[例2] 求过点M(3，1)，且与圆4)1(22=+-y x 相切的直线L 的方程，[解析] 利用圆的切线的几何性质求解，注意所设直线方程斜率不存在的情况是否符合题意．[答案] 设切线方程为),3(1-=-x k y 即+--k y kx 3.01= ∵ 圆心(1，0)到切线L 的距离等于半径2，,2)1(|13|22=-++-∴k k k 解得,43-=k∴ 切线方程为 .01343),3(431=-+--=-y x x y 即 当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为x=3，圆心(1，0)到此直线的距离等于半径2，故直线x=3也符合题意．∴ 所求直线L 的方程是3x + 4y - 13 =0或x=3．【点拨】 由于斜率不存在的直线也符合题意，所以所求的直线有两条．母题迁移 2．已知圆,0342:22=+-++y x y x C 若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距的绝对值相等，求此切线的方程。
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1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()
A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离
2．直线3x－4y－4＝0被圆(x－3)2＋y2＝9截得的弦长为()
A．2B．4 C．4D．2
3．已知2a2＋2b2＝c2，则直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是()
A．相交但不过圆心B．相交且过圆心C．相切D．相离
(3)斜率为k且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为__________________；
(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点M(x0，y0)的切线方程为______________.
3．直线与圆相交
直线与圆相交被圆截得的弦长有两种计算方法：一是几何法，即利用_________、_____________以及_______构成的直角三角形求解；二是代数法，将直线方程与圆的方程联立，运用方程根与系数关系，弦长公式是______________________.
10．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
11．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
高一数学导学案
编号：B2-23课型：新授课编制人：李震审核人：李震年级主任：班级：姓名：
课题：2.3.3直线与圆的位置关系
【学习目标】
1.理解直线与圆的三种位置关系的几何特征，并能对此作出正确的判断．
2．会求圆的切线方程，会利用直线与圆位置关系求直线方程或者是圆的方程，从而解决直线与圆的综合问题．
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)作直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|＝，求m的值．
考点四、有关弦的中点问题
例4、直线y＝kx与圆x2＋y2－6x－4y＋10＝0相交于两个不同点A、B，当k取不同实数值时，求AB中点的轨迹．
跟踪训练4、求圆x2＋y2＝1中斜率为1的弦的中点的轨迹方程．
12．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．
【课后小结】
个性笔记
A．∅B．(1,1) C．{(1,1)} D．{(－1，－1)}
2．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是()
A．6 B．5 C．4 D．1
3．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程为()
A．y＝2xB．y＝2x－2 C．y＝x＋D．y＝x＋
4．若直线ax＋by＝1与⊙C：x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与⊙C的位置关系是()
A．P在圆内B．P在圆外C．P在圆上D．不确定
5．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()
A．1 B．2C.D．3
6．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点时，实数k的取值范围是()
当直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则__________________.
【例题讲解】
考点一、判断直线与圆的位置关系
例1、求证：无论k为何值，直线l：kx－y－4k＋3＝0与曲线C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0恒有两个交点．
跟踪训练1、m为何值时，直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝1，(1)相交；(2)相切；(3)相离？
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断．当________时，直线与圆相交；当_______时，直线与圆相切；当_______时，直线与圆相离．
2．直线与圆相切
(1)当点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上时，切线方程为________________；
(2)若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为_____________；
4．过点M(3,2)作⊙O：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的切线，则切线方程是________．
5．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a＝________.
【课后练习】
1．已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为()
考点二、求圆的切线方程
例2、求过点P(1，－7)与圆x2＋y2＝25相切的切线方程．
跟踪训练2、过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，求该直线的方程．
考点三、有关圆中弦的问题
例3、直线l经过点P(5,5)且和圆O：x2＋y2＝25相交截得弦长为4，求直线l的方程．
跟踪训练3、已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
A. B. C. D.
7．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为_．
8．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为________．
9．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________．
【学习内容】
1．直线与圆的位置关系
(1)直线与圆的_______位置关系：
①直线与圆相交，有_______公共点；
②直线与圆相切，只有_______公共点；
③直线与圆相离，_______公共点．
(2)直线与圆位置关系的判定有两种方法：
①代数法：通过_____________所组成的方程组，根据解的个数来判断．若有两组不同的实数解，即_______，则相交；若有两组相同的实数解，即________，则相切；若无实数解，即_______，则相离．