广东省中山市第二中学2009届高三第四次月考数学试题(理科)

广东省中山市第二中学2009届高三第四次月考数学试题(理科)08.12.12.一．选择题：(选择唯一正确答案,本大题共8小题,每小题5分，满分40分．) 1．若sin θ＜cos θ, 且sin θ·cos θ＜0, 则θ在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=01x x x A ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛==xy y B 31，则 ( ) A. A ⊂B B. B ⊂A C. A =B D. A ⋂Bφ=3．已知3cos 5α=，则cos 2α=（ ）A.257B.2516C. 725-D. 2516-4．定义运算 则函数xx f 21)(⊕=的图象是（ ）A B C D 5．已知向量a 与b 不共线, 且,0≠=b a 则下列结论中正确的是( )A. 向量b a +与b a -共线B. 向量b a +与b a -垂直C. 向量b a -与 a 共线D. 向量b a -与a 垂直 6．在ABC ∆中, A 2sin ""23=是“A ＝300”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要也不必要条件7. 函数y ＝│x │( 1－x )在区间M 上是增函数，则区间M 为（ ）{)()(b a a b a b b a ≤>=⊕A. (－∞，0 ]B. [ 0，＋∞）C. [ 0，21] D. [21，＋∞）8．已知三条不重合的直线m ，n ，l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题: ①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若n m n m //,////,//则且βαβα；③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂；④若ββαβα⊥⊥=⊥n m n m 则,,, . 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，满分30分．)9．不等式03422<+--x xx 的解集为___________________.10. 复数ii2123--＝_____________.11．已知数列{}n a 满足11a =，且131n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为： ．12．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．则该学生 不同的报考方法种数是 ．（用数字作答）13. 从A,B,C 三名男生和甲,乙两名女生中任选两人参加演讲比赛, 恰好有一名女生被选上的概率为___________. （用数字作答）14. 已知53251⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中的常数项为T ＝____，)(x f 是以T 为周期的 偶函数，且当x ∈( 0, 1]时，x x f lg 1)(+=，则f(2009)＝__________ ．三．解答题：(本大题共6小题，满分80分．解答须写出证明过程和演算步骤．) 15. (14分) 设函数)(2sin cos 2)(2R a a x x x f ∈++=．（1） 求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2） 当]6,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为2，求a 的值，并求出)(),(R x x f y ∈=的对称轴方程．16. （14分）已知一几何体的三视图如图1，主视图与侧视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为6，俯视图为正方形. 求:（1）点A 到面SBC 的距离；（2）AC 与SB 所成的角；（3）有一个小正四棱柱内接于这个几何体，棱柱的底面在面ABCD 内，其余顶点在几何体的棱上，当棱柱的底面边长与高取何值时，棱柱的体积最大，并求出这个最大值.17. （14分） 已知函数.3)(2x x f x -=（1）问方程0)(=x f 在区间[－1, 0]上有没有实数解?（2）若方程0)(=x f 在区间[－1, 0]上有解, 有几个? 若没有解, 请说明理由.18.(12分)（14分）已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点()1,2P -处的切线方程为AC BDSA ABDS主视图侧视图俯视图图131y x =-+．（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式；（2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b的取值范围.19.(12分) 中山市政府投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少51.本年度旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(1)设n 年内(本年度为第1年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元. 求a n , b n 的表达式; (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?20. (14分)已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点),(nS n n 在直线21121+=x y 上.数列{b n }满足)(02*12N n b b b n n n ∈=+-++且,113=b ，其前9项和为153.（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）设,)12)(112(3--=n n n b a c 数列{c n}的前n 和为T n ，求使不等式57k T n>对一切*Nn ∈都成立的最大正整数k 的值.（3）设 问是否存在,*N m ∈使得 )(5)15(m f m f =+成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.答案一.选择题: (5′×8＝40′) DACA BBCA 二.填空题: (5′×6＝30′){),12(),2(**)(N l l n a N l l n b n n n f ∈-=∈==9.{x │x<1或2<x<3}; 10. i; 11. 213-=nn a ;12. 16; 13. 53; 14. 2, 1. (2+3分)三.解答题: (共80分)15、解：（1）2()2cos sin 21cos 2sin 2)14f x x x a x x a x aπ=++=+++=+++ 2分则()f x 的最小正周期2T ππω==， …………4分且当222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈时()f x 单调递增．即3[,]()88x k k k Z ππππ∈-+∈为()f x 的单调递增区间（写成开区间不扣分）．………………7分（2）当[0,]6x π∈时724412x πππ⇒≤+≤，当242x ππ+=，即8x π=时sin(2)14x π+=．所以max ()121f x a a =++=⇒=-． ………11分2()4228k x k x k Z πππππ+=+⇒=+∈为()f x 的对称轴．……14分16. (14分) （1）32; 4分 （2）600; 4分（3）6分 设正棱柱的底面边长为x, 则高为6－x, V=x 2(6－x)=6 x 2－x 3, V ＇=12x －3x 2=0, x=4, 底面边长为4，高为2时，体积最大，最大体积为32. 17.解：（1）∵,032131)1(<-=-=-f ,0103)0(0>=-=f∴,0)0()1(<-f f 又∵上连续，，在]01[)(-x f ∴上有零点，在]0,1[)(-x f 故方程0)(=x f 在区间[－1, 0]上有实数解.（2）,23ln 3)(x x f x-=' 当x ∈[－1, 0]时, ,0)(>'x f故上单调递增，，在]01[)(-x f 又上有零点，在]0,1[)(-x f则上有且只有一个零点，在]0,1[)(-x f 故方程0)(=x f 在区间[－1, 0]上有且只有一个实数解.解法二:令g(x)=3x ,h(x)=x 2,由图象知,]0,(-∞上g(x)与h(x)只有一个交点,又h(－1)>g(－1),所以交点的横坐标在－1的右侧, 故交点的横坐标在区间[－1, 0]上. 所以, 方程0)(=x f 在区间[－1, 0]上有且只有一个实数解. 18.解：()'232fx x ax b =-++，因为函数()f x 在1x =处的切线斜率为-3，所以()'1323f a b =-++=-，即20a b+=， ----------3分又()112f a b c =-+++=-得1a b c ++=-. ------4分（1）函数()f x 在2x =-时有极值，所以()'21240f a b -=--+=，-----5分解得2,4,3a b c =-==-，-------------------------------------7分所以()32243fx x x x =--+-． ----------------------------------8分（2）因为函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，所以导函数()'23fx x bx b=--+在区间[]2,0-上的值恒大于或等于零，--------------------------10分则()()'21220,'00,f b b f b -=-++≥⎧⎪⎨=≥⎪⎩得4b ≥，所以实数b 的取值范围为[)4,+∞．-------------------------12分19．解：(1) 第1年投入800万元, 第2年投入800(1－51)万元,第3年投入800(1－51)2万元, …… 第n 年投入800(1－51)n －1万元,所以总投入a n ＝800+800(1－51)+···+800(1－51)n －1＝4000[1－n)54(],同理, 第1年收入400万元, 第2年收入400(1＋41)万元,第3年收入400(1＋41)2万元, …… 第n 年收入400(1＋41)n －1万元,所以总收入b n ＝400+400(1＋41)+···+400(1＋41)n －1＝1600[n)45(－1].(2) 要使b n －a n >0, 即 1600[n )45(－1] －4000[1－n)54(]>0, 化简得 5n )54(＋2n )45(－7>0, 设x ＝n)54(, 则原式化为 5x 2－7x ＋2>0, ∴x<52或x>1(舍去), 即n)54(<52, ∴ n ≥5 .故至少经过5年, 旅游业的总收入才能超过总投入.20、解：（Ⅰ）由题意，得.21121,211212n n S n n S n n+=+=即故当2≥n 时，.5)]1(211)1(21[)21121(221+=-+--+=-=-n n n n n S S a n n n当n = 1时，611==S a ，而当n = 1时，n + 5 = 6，所以，).(5*N n n a n ∈+= …………………………………………………… 2分又)(,02*11212N n b b b b b b b n n n n n n n ∈-=-=+-+++++即，所以{b n }为等差数列，于是.1532)(973=+b b而.3371123,23,1173=--===d b b 故因此，).(23,23)3(3*3N n n b n n b b n n ∈+=+=-+=即 ………………5分（Ⅱ）]1)23(2][11)5(2[3)12)(112(3-+-+=--=n n b a c n n n).121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n …………………………6分所以，)]121121()7151()5131()311[(2121+--++-+-+-=+++=nncccTnn.12)1211(21+=+-=nnn…………………………………………8分由于)12)(32(1123211>++=+-++=-+nnnnnnTTnn，因此Tn 单调递增，故.31)(min=nT………………………………………………9分令.18,19,5731max=<>Kkk所以得…………………………………………10分（Ⅲ）⎪⎩⎪⎨⎧∈=+∈-=+=).,2(23),,12(5)(**NllnnNllnnnf①当m为奇数时，m + 15为偶数.此时255)5(5)(5,4732)15(3)15(+=+=+=++=+mmmfmmmf，所以.11,255473=+=+mmm………………………………………12分②当m为偶数时，m + 15为奇数.此时1015)23(5)(5,20515)15(+=+=+=++=+mmmfmmmf，所以*75,101520Nmmm∉=+=+（舍去）. ………………………… 13分综上，存在唯一正整数m =11，使得)(5)15(mfmf=+成立. …… 14分。