高中数学 第三章 概率 3.3 随机数的含义与应用预习导航 .
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3.3 随机数的含义与应用自主整理1.几何概型试验的两个基本特征（1）无限性:在一次试验中，可能出现的结果有无限多个.（2）等可能性:每个结果的发生具有等可能性.2.事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关,满足以上条件的试验称为几何概型.3.在几何概型中，事件A 的概率定义为P(A)=ΩμμA ，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA 表示子区域A 的几何度量.高手笔记1.古典概型只适用于有限等可能概型中的事件概型.假设保留古典概型中的等可能的条件，而试验的结果又有无限多个，且可用一个有度量（长度、面积、体积）的几何区域表示，则这类事件的概率的计算就要用到几何概型.注意：基本事件的“等可能性”的判断是很容易被忽略的.2.运用几何概型的概率公式P(A)= ΩμμA 需注意： (1)μΩ不为0.(2)其中“μΩ”的意义依Ω确定，当Ω分别是线段、平面图形、立体图形时，相应的“μΩ”分别是长度、面积和体积.(3)区域为“开区域”.(4)区域Ω内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状、位置无关.名师解惑1.在随机模拟试验中，随机模拟的准确性直接影响着试验结果的准确性，如何保证试验结果更准确呢？你认为在模拟中在哪些地方应该值得注意？剖析：用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件A 及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围.随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算机或计算器模拟试验，首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量，我们可以从以下几个方面考虑：(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组.(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围.(3)由事件A 发生的条件确定随机数所应满足的关系式.2.如何产生［a,b ］范围的均匀随机数？剖析：我们知道rand( )函数可以产生［0，1］范围内的均匀随机数，但事实上我们需要用到的随机数的范围是各种各样的，下面介绍如何将［0，1］范围内的随机数转化为［a,b ］范围的随机数.先利用计算器或计算机产生［0，1］上的均匀随机数a ，∵0≤a≤1且b-a ＞0,∴0≤a(b -a)≤b -a,∴a≤a(b -a)+a≤b.∴rand( )*(b-a)+a 表示［a,b ］范围的均匀随机数.特例：若0≤a≤1，则-0.5≤a -0.5≤0.5,∴-1≤(a -0.5)*2≤1,所以当我们需要［-1，1］范围内的均匀随机数时，可以采用［rand()-0.5］*2,也可以采用2rand()-1来产生.3.应如何由均匀随机数所求概率的近似值间接去求不规则图形的面积？剖析：∵规则图形的面积不规则图形的面积=P （A ）≈试验总次数数不规则图形内的样本点， ∴不规则图形的面积≈试验总次数数不规则图形内的样本点×规则图形的面积. 由此我们知道利用随机模拟方法可以求不规则图形的面积，其实质是利用概率相等. 比如：利用随机模拟方法计算曲线y=x 1，x=1，x=2和y=0所围成的图形的面积. 我们可以如此分析：在直角坐标系中画出正方形（x=1，x=2，y=0，y=1所围成的部分），表示基本事件区域A ，由曲线y=x1，x=1，x=2和y=0所围成的图形表示所求概率的区域B ，由中的随机数的个数区域中的随机数的个数区域B A ≈P=的面积的面积B A ，用随机模拟的方法可以得到区域B 的面积的近似值.所以上述问题解决如下：（1）如左图所示，用Excel 软件产生两组［0,1］上的随机数A1—A30,B1—B30.（2）进行平移变换：将第一组数据A1—A30的每个数据都加1，得到［1，2］范围内的一组数据C1—C30.（3）用第2组B1—B30的每一个数据减去数据组C1—C30中每一个数的倒数，得到一组新数据D1—D30，代表y-x 1的值，其中满足条件y-x 1≤0的数据有22个，即区域A 中的随机数有22个.（4）∵3022≈的面积的面积B A 且B 的面积为（2-1）×（1-0）=1，所以A 的面积≈3022×1=3022. 讲练互动【例1】取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1 m 的概率有多大？分析：从每一个位置剪断绳子，都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点，基本事件有无限多个，显然不能用古典概型计算，可考虑运用几何概型计算.解：如图，记A={剪得两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生.由于中间一段的长度为3×31=1（m ），故事件A 发生的概率P(A)= 31. 即两段的长度都不少于1 m 的概率为31. 绿色通道分清古典概型及几何概型的关键，就是看：①各基本事件的发生是不是等可能的.②基本事件的个数是有限个还是无限个.变式训练1.某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，则任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率为（ ） A.53 B.21 C.52 D.41 解析：利用几何概型，把问题转化为几何概率问题：此题是关于t 的一维函数，所以是与长度相关的几何概型.设A=“候车时间不超过3分钟”，X 表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为x ，假定乘客到达车站后来到的一辆公共汽车时刻为t ，据题意，乘客必然在(t-5,t ］内来到车站，故Ω={x|t -5＜x≤t}，欲乘客候车时间不超3分钟，必有t-3≤x≤t ，所以A={x|t-3≤x≤t}.所以P(A)=ΩμμA =35=0.6.答案：A【例2】在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率.分析：以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件.解：记B={射线OA 落在∠xOT 内}，∵∠xOT=60°，∴P(B)=6136060=︒︒. 绿色通道该题关键是弄清过O 作OA 可以在平面内任意作，而且是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的.变式训练2.设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连结，求弦长超过半径的2倍的概率.分析：这是一个几何概型问题，用弧长公式将角度与半径联系起来，转化为角度的几何概型问题，根据问题找出事件A 的几何度量和事件Ω的几何度量.解法一：在⊙O 上有一定点A ，任取一点B 与A 连结，则弦长超过半径的2倍，即为∠AOB 的度数大于90°，记“弦长超过半径的2倍”为事件C ，则C 表示的范围是∠AOB ∈［90°,270°］，由几何概型的概率公式得P(C)=2136090270=-. 解法二：设⊙O 的半径为r ，在⊙O 上任取一点B ，连结弦AB ，使得AB=2r ，取AB 的中点C ，则OC ⊥BC 且BC=222=AB r ，在RT △BCO 中，∠BOC=45°，由圆的对称性知，⊙O 上还存在一点D 满足DA=2r ，所以满足条件“弦长超过半径的2倍”的⊙O 上的点应该在⊙O 上的部分（不含点A 的那段圆弧），而=21圆周，所以P （“弦长超过半径的2倍”）=21. 【例3】在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作事件的区域面积，由几何概型公式可求得概率.解：记C=｛钻到油层面｝，则 P(C)=1000040=所有海域的大陆架面积贮藏石油的大陆架面积=0.004. 绿色通道把实际问题抽象成数学模型，要搞清本模型是与长度有关还是与面积有关，这需要同学们注意积累与总结.变式训练3.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的发环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭,假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 分析：本题属于几何概型，黄心的面积与靶面的面积比即为所求的概率.解：在该试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点.记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为41×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为41×π×12.22 cm 2的黄心内时，事件B 发生， 于是事件B 发生的概率为P(B)=22122412.1241⨯⨯⨯⨯ππ=0.01,即射中黄心的概率为0.01. 4.在线段［0，a ］上随机地投三个点，试求由点O 至三个点的线段能够成一个三角形的概率. 分析：根据已知条件建立构成三角形的不等关系，然后根据三元不等关系作图求解，将问题转化为几何概型求解.解：令A=“三线段能构成一个三角形”.设三线段各长为x 、y 、z ，则每一个试验结果可表示为（x ，y ，z ），0≤x ，y ，z≤a ，所有可能的结果为Ω={（x ，y ，z ）|0≤x ，y ，z≤a}.因为三线段构成一个三角形的条件是：x+y ＞z ，x+z ＞y ，y+z ＞x ，所以A={（x ，y ，z ）|x+y ＞z ，x+z ＞y ，y+z ＞x ，0≤x ，y ，z≤a}是一个以O 、A 、B 、C 、D为顶点的六面体（如图所示），其体积等于a 3-3·3221312a a a =∙. 从而P （A ）=3321aa A =Ω的体积的体积=0.5.即能够构成一个三角形的概率为0.5.【例4】利用随机模拟法计算图中阴影部分（曲线y=2x 与x 轴，x=±1围成的部分）的面积. 分析：在坐标系中画出正方形，用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值.解：（1）利用计算机产生两组［0，1］上的均匀随机数，a 1=rand ，b 1=rand ；（2）进行平移和伸缩变换，a=(a 1-0.5)*2，b=b 1*2，得到一组［-1，1］上的均匀随机数和一组［0，2］上的均匀随机数；（3）统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1（满足条件b ＜2a 的点(a,b)个数）；（4）计算频率NN 1，即为点落在阴影部分的概率的近似值；（5）用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P=4S ，即41S N N =. ∴S=NN 14，即为阴影部分的面积的近似值. 绿色通道解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概型概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值.随机模拟计算的步骤：（1）构造图形（作图）.（2）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率mn.（3）利用mn≈P(A)=ΩμμA 算出相应的量. 变式训练5.在区间［-1，1］上任取两数a 、b ，求二次方程x 2+ax+b=0的两根：（1）都是实数的概率；（2）都是正数的概率.分析：因为区间［-1，1］内的数有无限多个，所以本题属于几何概型.但由于作图后发现阴影部分面积不好计算，故可考虑采用均匀随机数模拟试验法计算相应事件的概率. 解：由题意知-1≤a≤1，-1≤b≤1，直线x=±1、直线y=±1围成一个边长为2的正方形.（1）若a 、b 都是实数，需且只需Δ=a 2-4b≥0，即b≤41a 2，利用随机模拟求概率. ①如右图用Excel 软件产生区间［0，1］内的两组随机数a 1、b 1（共30组）；②经平移和伸缩变换，a=a 1*2-1，b=b 1*2-1；③数出满足b≤41a 2的数组共19组.则所求概率约为3019（N 为总数组数）. （2）若两根都是正数，则有⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆.0,0,0421212b x x a x x b a即b≤41a 2且a ＜0，b ＞0. 在第（1）问求出的随机数中数出满足b≤41a 2且a ＜0，b ＞0的数组数共2组，则所求概率约为151302=. 教材链接［P 112探索与研究］现在很多城市的中考或高考都采取产生随机数的方法把考生分配到各个考场中，有条件的学生，可以实际调查一下本城市的中考或高考用什么办法产生随机数，又是如何应用随机数把考生分配到各考场去的.答：为了规范考场的编排，省招办以各县上报的考生数据库文件为基础，利用计算机数据库管理系统FOXPRO2.5以上版本提供的rand 随机函数配以适当的参数生成一个随机数，利用这个随机数从大到小或从小到大进行排序，排序后由计算机程序自动按照考生的科类、语种等生成每30人一个考场.这样的编排考场方法，基本上可以将不同中学学生插花，以杜绝考生结伴作弊等现象的发生，同时也可防止编排考场的人为因素.。
高中数学第三章概率3.3随机数的含义与应用检测新人教B版必修3(2021年整理)
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3。
3随机数的含义与应用课后篇巩固探究A组1。
某人睡午觉醒来后,发现表停了,他打开收音机想听电台整点报时,则他等待小于10 min的概率为(）A. B。
C。
D。
答案：A2.在长为10 cm的线段AB上任取一点G，以AG为半径作圆，则圆的面积介于36π～64π cm2的概率是（）A。
B. C. D。
解析:如图,以AG为半径作圆，圆面积介于36π~64π cm2,则AG的长度应介于6~8 cm之间.所以所求概率=。
答案：D3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是(）A。
B. C。
D。
解析:如图,在AB边取点P'，使,则P只能在AP’上（不包括点P’),则概率为。
答案:C如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为()B。
C。
D。
无法计算解析：利用几何概型的概率计算公式知，阴=S正方形=.答案：B0,2］上随机地取一个数x,则事件“—1≤lo≤1"发生的概率为()B. C。
D。
解析:由-1≤lo≤1，得lo2≤lo≤lo≤x+≤2，0≤x≤，所以由几何概型概率的计算公式，得A。
高中数学 第三章 第34节 随机数的含义与应用;概率的应用知识精讲(理) 人教实验B版必修.doc
高二数学 第三章 第3-4节 随机数的含义与应用；概率的应用人教实验B 版（理）必修3【本讲教育信息】一、教学内容：几何概型；随机数的含义二、教学目标：1. 了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义；2. 通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
三、知识要点分析： 1. 随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。
2. 随机数的产生方法（1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；（2）在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数。
3. 几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； 4. 几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。
5. 几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域G 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上的概率为：P=g 的面积/G 的面积（3）设空间区域v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域V 的体积成正比，而与区域v 在区域V 上的相对位置无关，则点落在区域v 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积【典型例题】例1. 一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T 发生的概率。
分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，即找到其中每一个基本事件。
随机数的含义与应用-高中数学知识点讲解
随机数的含义与应用1．随机数的含义与应用【知识点的知识】1、概念：随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样，随机数应用很广泛，利用它可以帮助我们进行随机抽样，还可以利用它在某一个范围得到每一个数机会是均等的这一特征来模拟试验，这样可代替我们自己做大量重复的试验，从而使我们顺利地求出有关事件的概率．2、均匀随机数的产生：随机数的产生可以人工产生，例如抽签、摸球、转盘等方法，但这样做费时、费力，而且有时很难确保抽到每一个数的机会是均等的．因此，我们现在主要是通过计算器和计算机来产生随机数的．【典型例题分析】典例 1：随机摸拟法产生的区间[0，1]上的实数（）A．不是等可能的B．0 出现的机会少C．1 出现的机会少D．是均匀分布的解析：用随机模拟法产生的区间[0，1]上的实数是均匀分布的，每一个数产生的机会是均等的．故选D典例 2：利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分（y＝2﹣2x﹣x2 与x 轴围成的图形）的面积．解：（1）利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；（2）进行平移和伸缩变换，a＝a1*4﹣3，b＝b1*3，得到一组[﹣3，1]上的均匀随机数和一组[0，3]上的均匀随机数；（3）统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N1（满足条件b＜2﹣2a﹣a2 的点（a，b）的个数）；푁1（4）计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值；푁푆（5）设阴影部分面积为S，由几何概率公式得点落在阴影部分的概率为．12푆∴12=푁1푁．∴S ≈12푁1，푁1/ 2即为阴影部分的面积的近似值．典例 2：两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设两船停靠泊位的时间分别为 1h 与 2h，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是．解析：用两个变量代表两船时间，找出两变量的取值和满足的条件，设x、y 分别代表第一艘船、第二艘船到达泊位的时间，由题意 0≤x≤24，0≤y≤24，y﹣x≤1，x﹣y≤2，如图所示阴影部分表示必须有一艘船等待，则概率P =242―12―122×222×23242―12―12242=1391152【解题方法点拨】“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性．2/ 2。
3.3 随机数的含义与应用(人教A版必修3)
3.3 随机数的含义与应用【入门向导】数学与我们的生活密切相关，我们最好能将学到的数学知识用到生活中，更加可贵的是，同学们能主动发现生活中的问题，然后再考虑用什么数学知识来解决，遇到没学过的知识还能积极探索！现举一例：我们每天都与公交车打交道！每个人都可能会有这种想法，刚到车站，公交车就来了，不用等待，这是多么好的事件．那么，不用等待的概率是多少呢？这是一个概率问题，但是用古典概型无法解决．本节，我们共同研究几何概型就可以解决这个问题．几何概型有两个主要特点，即基本事件的无限性和发生的等可能性，由它们可判断一个概型是不是几何概型．几何概型的概率计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域的几何度量(长度、面积或体积)试验的全部结果所构成区域的几何度量(长度、面积或体积)求几何概型概率的关键有二：(1)明确类型，即要明确是长度型、面积型，还是体积型，判断的方法是看基本事件发生在一个几维空间内；(2)准确求出相应的几何度量．例1如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作圆弧DE 交AB 于点E .(1)向矩形内随机投掷一点，求该点落在扇形DAE 内的概率；(2)在圆弧DE 上任取一点P ，求直线AP 与线段BC 有公共点的概率．解 (1)∵S 扇形＝14π×12＝π4，S 矩形＝1×3＝3，∴该点落在扇形DAE 内(设为事件A )的概率P (A )＝π43＝3π12.(2)如题干图，若使直线AP 与线段BC 有公共点，须使点P 在直线AC 的下方，∵tan ∠BAC ＝13＝33，∴∠BAC ＝30°，所以直线AP 与线段BC 有公共点(设为事件B )的概率P (B )＝QEDE ＝30°90°＝13.几何概型问题中，所有可能出现的基本事件有无限个． 几何概型中的“几何”并非仅仅是数学上的长度、面积或体积，许多相关或类似问题其性质与长度、面积或体积相似，也可归结为几何概型问题．如时间问题，其性质与直线问题相似，所以与时间相关的概率问题也可以看作几何概型问题．计算几何概型问题的重点是怎样把具体问题(如时间问题)转化为相应类型的几何概型问题；难点是基本事件总体与事件A 包含的基本事件对应的区域的长度、面积、体积的运算．例2 从甲地到乙地有一班车在9∶30到10∶00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9∶45到10∶15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？解到达乙地的时间是9∶30到10∶00之间的任一时刻，某人从乙地转乘的时间是9∶45到10∶15之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系中用x 轴表示班车到达乙地的时间，y 轴表示从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和从乙地出发的时间是随机的，则试验的全部结果可看作是边长为0.5的正方形．设“他能赶上车”为事件A ，则事件A 的条件是x ≤y ，构成事件A 的区域为图中的阴影部分．由几何概型公式，得P (A )＝0.52－0.252×120.52＝0.875， 即他能赶上车的概率为0.875.利用随机模拟试验，可以估计几何概型的概率，也可以估算不规则图形的面积．例3 甲、乙两辆班车都要停在同一停车位，它们可能在一天中的任意时刻到达．如果这两辆班车的停车时间都是一个小时，求有一辆班车停车时必须等待一段时间的概率．分析 甲、乙两辆班车停在同一停车位的时刻都是一天24小时中的任何时刻，可以分别用两组[0,24]区间上的均匀随机数x ，y 表示，两辆车在同一个小时内到达停车场的条件为|x －y |≤1，可以用随机模拟方法求概率．解 记事件A ＝{有一辆班车停车时必须等待一段时间}．S1 用计数器N 记录所做试验的次数，用计数器N 1统计满足|x －y |≤1的点的个数首先置N ＝0，N 1＝0.S2 用变换rand( )*24产生两个0～24之间的随机数x 和y ，用它们来表示班车的横坐标和纵坐标．S3 统计N 和N 1的值．S4 计算频率N 1N，即有一辆班车停车时必须等待一段时间的概率．例4 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴、x ＝±1所围成的部分)的面积．分析 在坐标系中画出正方形，可以用随机模拟的方法求出阴影部分的面积与正方形的面积之比，从而求得阴影部分的面积．解 S1 用计数器N 记录所做试验的次数，用计数器N 1统计满足b <2a 的点的个数，首先置N ＝0，N 1＝0.S2 用变换rand( )*2－1产生两个－1～1之间的随机数a 和b ，用它们表示点的横坐标和纵坐标．S3 统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足条件b <2a 的点(a ，b )的个数)；S4 计算频率N 1N，即落在阴影部分的概率的近似值；S5 设阴影面积为S ，则用几何概型公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S4.所以N 1N ≈S 4，所以S ≈4N 1N即为阴影部分面积的近似值．注 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式求得几何概率，然后通过解方程求阴影部分面积的近似值．选错几何度量例 在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．错解 设“AM <AC ”为事件A .在AB 边上取AC ′＝AC ，在∠ACB 内任作射线CM 可看作是在线段AC ′上任取一点M ，过C ，M 作射线CM ，则概率为P (A )＝AC ′AB ＝AC AB ＝22.正解 设“AM <AC ”为事件A ，在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的， 所以射线CM 在任何位置都是等可能的，在AB 上取AC ′＝AC ， 则∠ACC ′＝67.5°，故满足条件的概率为P (A )＝67.590＝0.75.1．数形结合思想例1 小王在公共汽车站等车上班，可乘坐6路车和4路车，6路车10分钟一班，4路车15分钟一班，求小王等车不超过8分钟的概率．解 如图，设x 轴表示4路车的到站时间，y 轴表示6路车的到站时间．记“8分钟内乘坐6路或4路车”为事件A ，则构成事件A 的区域为图中阴影部分，面积为8×10＋7×8＝136， 整个区域的面积为10×15＝150，那么P (A )＝136150＝6875.故小王等车不超过8分钟的概率为6875.点评 本题中两路公共汽车到站时间恰好是两个变量，抓住两车到站时间的间隔，即可化为“约会型”概率问题．几何概型是最典型的应用数形结合思想解决问题的数学模型．求解符合几何概型事件的概率时，关键是正确构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的测度之比求随机事件的概率．2．转化思想例2 在[－1,1]上任取两个实数a 、b ，求二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个非负实数根的概率．分析 方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根时，应有4a 2－4b 2≥0即|a |≥|b |，且事件A 应使方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个非负实根，所以－1≤a ≤0.所以a 、b 满足⎩⎪⎨⎪⎧|a |≥|b |，－1≤a ≤0，还需满足－1≤b ≤1，因此事件A 要同时受到a 、b 的制约，所以构成事件A 的区域应为二维空间，所求概率应为在平面直角坐标系中，满足⎩⎪⎨⎪⎧|a |≥|b |－1≤a ≤0－1≤b ≤1的区域面积和a ＝±1，b ＝±1四条直线围成的区域面积的比值．解 在平面直角坐标系中，点(a ，b )所在的区域为如右图所示的正方形及其内部．若使方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有两个非负实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧|a |≥|b |，x 1＋x 2＝－2a ≥0，x 1x 2＝b 2≥0.设x 2＋2ax＋b 2＝0有两个非负实根为事件A ，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ |a |≥|b |，－1≤a ≤0，所在的区域为图中阴影部分(包括边界)，阴影部分的面积为1，所以事件A 发生的概率为P (A )＝S 阴影S 正方形＝12×2＝14.点评 在了解几何概型的基础上，解决实际几何概型问题与古典概型一样，都属于比例型解法，本题图中的a 、b 也可以交换位置，得出的结果将会是相同的；几何概型有长度型、面积型、体积型等类型．1．(2009·辽宁)四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8 解析如图，要使图中点到O 的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P ＝2－π22＝1－π4.答案 B 2．(2011·福州模拟)为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其色包含在内，并向正方形内随机投掷800个点．已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是________．解析 由题意得正方形面积为S 正＝36. 点落在阴影部分的概率为P ＝200800＝14∴阴影部分的面积为S 阴＝36×14＝9.答案 9 3．(2011·湖南)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________.解析 由题意可得， 事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.答案 2。
高中数学 第三章 概率 3.3.2 随机数的含义与应用学案 新人教B版必修3(2021年最新整理)
2018版高中数学第三章概率3.3.2 随机数的含义与应用学案新人教B版必修3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章概率3.3.2 随机数的含义与应用学案新人教B版必修3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
3。
2 随机数的含义与应用1。
了解随机数的含义。
2.掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法.3。
会利用随机数模拟某一问题的试验来解决具体的有关概率的问题。
(重点、难点)[基础·初探]教材整理随机数的含义与应用阅读教材P110～P114,完成下列问题.1.随机数随机数就是在一定范围内随机产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会一样。
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产生随机数的方法(1)用函数型计算器产生随机数的方法：每次按错误!错误!键都会产生0～1之间的随机数，而且出现0~1内任何一个数的可能性是相同.(2)用计算机软件产生随机数(这里介绍的是Scilab中产生随机数的方法）:①Scilab中用rand()函数来产生0~1的均匀随机数。
每调用一次rand(）函数，就产生一个随机数.②如果要产生a～b之间的随机数,可以使用变换rand（)＊(b－a)＋a得到。
3。
计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法(1)建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量有关.（2）设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量.按这样的思路建立起来的方法称为计算机随机模拟法或蒙特卡罗方法。
1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机数只能用计算器或计算机产生.（）（2）计算机或计算器只能产生［0,1]的均匀随机数，对于试验结果在［2,5］上的试验,无法用均匀随机数进行模拟估计试验.( )（3）x是［0，1]上的均匀随机数，则利用变量代换y＝(b－a）x＋a可得[a，b]上的均匀随机数。
【高中数学】高二数学上册第三单元知识点：随机数的含义与应用
【高中数学】高二数学上册第三单元知识点：随机数的含义与应用一般地，设一个总体含有n个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤n)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
简单随机抽样的特点：(1)用直观随机抽样从所含n个个体的总体中提取一个容量为n的样本时，每次提取一个个体时任一个体被抽到的概率为人教b版高二数学上册第三单元知识点：随机数的含义与应用;在整个样本过程中各个个体被抽到的概率为人教b版高二数学上册第三单元知识点：随机数的含义与应用;(2)简单随机抽样的特点是，逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等;(3)直观随机抽样方法，彰显了样本的客观性与公平性，就是其他更繁杂样本方法的基础.(4)简单随机抽样是不放回抽样;它是逐个地进行抽取;它是一种等概率抽样直观样本常用方法：(1)抽签法：先将总体中的所有个体(共有n个)编号(号码可从1到n)，并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本适用范围：总体的个体数不多时优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.(2)随机数表法：随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号;第二步，选定开始的数字;第三步，获取样本号码概率：有关高中数学知识点：系统抽样系统抽样的概念：当整体中个体数较多时，将整体均分成几个部分，然后按一定的规则，从每一个部分提取1个个体而获得所须要的样本的方法叫做系统抽样。
系统抽样的步骤：(1)使用随机方式将总体中的个体编号;(2)将整个编号进行均匀分段在确定相邻间隔k后，若不能均匀分段，即人教b版低二数学下册第三单元知识点：随机数的含义与应用领域=k不是整数时，可采用随机方法从总体中剔除一些个体，使总体中剩余的个体数n′满足人教b版低二数学下册第三单元知识点：随机数的含义与应用领域是整数;(3)在第一段中使用直观随机抽样方法确认第一个被抽到的个体编号l;(4)依次将l加上ik，i=1，2，…，(n-1)，得到其余被抽取的个体的编号，从而得到整个样本。
高中数学 第三章 概率 3.3.2 随机数的含义与应用学案 新人教B版必修3-新人教B版高一必修3数
3．3.2 随机数的含义与应用1.了解随机数的含义．2.掌握均匀随机数产生的方法．3.会用随机模拟法估计概率．[学生用书P69])1．随机数的含义随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．2．随机数产生方法(1)0～1之间随机数的产生①用函数型计算器产生随机数每次按SHIFT Ran#键都会产生一个0～1之间的随机数，而且出现0～1内任何一个数的可能性是相同的．②用计算软件产生随机数Scilab中用rand()函数来产生0～1的均匀随机数．每调用一次rand()函数，就产生一个随机数．(2)a～b之间随机数的产生①计算器不能直接产生[a，b]区间上的随机数，只能利用线性变换产生．如果x是区间[0，1]上的随机数，则a＋(b－a)x就是[a，b]上的随机数．②利用计算机，可以使用变换rand()*(b－a)＋a得到．1．判断正误．(对的打“√”，错的打“×”)(1)计算器只能产生(0，1)之间的随机数．( )(2)计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数．( )(3)计算器只能产生均匀随机数．( )解析：(1)计算器可以产生[0，1]上的均匀随机数和[a，b]上的整数值随机数等；(2)计算器不可以产生[a ，b ]上的均匀随机数，只能通过线性变换得到； (3)计算器也可以产生整数值随机数． 答案：(1)× (2)× (3)×2．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m ，其实际概率的大小为n ，则( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．m 是n 的近似值解析：选D.随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．3．将区间[0，1]上的随机数x 转换成[－3，4]内的随机数y 的公式为____________． 解析：由公式y ＝x *[4－(－3)]＋(－3)＝x *7－3. 答案：y ＝x *7－3用随机模拟估计长度型几何概率[学生用书P69]取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？【解】 法一：(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数，a 1＝rand()． (2)经过伸缩变换，a ＝a 1*3.(3)统计出[1，2]内随机数的个数N 1和[0，3]内随机数的个数N . (4)计算频率f n (A )＝N 1N即为概率P (A )的近似值．法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针指在[1，2](表示剪断绳子位置在[1，2]范围内)的次数N 1及试验总次数，则f n (A )＝N 1N即为概率P (A )的近似值．用随机模拟的方法解决与长度有关的几何概型，关键在于将对应的区域长度转化为随机数的范围[a ，b ]，进而在[a ，b ]上产生随机数．某公共汽车站每5分钟有一班车到达，乘客到达的时间是任意的，试用随机模拟法估计乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：S1 用计数器n 记录做了多少次试验，用计数器m 记录其中随机数有多少次出现在2～5之间(即乘客候车时间不超过3分钟)．首先置n ＝0，m ＝0.S2 用变换rand()*5产生一个0～5之间的随机数x ，用来表示乘客到达站台的时间． S3 判断乘客候车时间是否不超过3分钟，即是否满足x ≥2.如果是，则计数器m 的值加1，即m ＝m ＋1.如果不是，m 的值保持不变．S4 表示随机试验次数的计数器n 值加1，即n ＝n ＋1.如果还需要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．程序结束后算出频率mn作为该事件的概率的近似值．用随机模拟估计面积型几何概率[学生用书P70]利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积(如图所示)，并估计π的近似值．【解】 (1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a 1＝rand()，b 1＝rand()． (2)经过平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)*2，b ＝(b 1－0.5)*2，得到两组[－1，1]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 和点落在圆内的次数N 1(满足a 2＋b 2≤1的点(a ，b )的数)． (4)计算频率N 1N，即为点落在圆内的概率． (5)设圆面积为S ，则由几何概型概率公式得P ＝S4.所以S 4≈N 1N ，即S ≈4N 1N，即为圆面积的近似值．又因为S 圆＝πr 2＝π，所以π＝S ≈4N 1N，即为圆周率π的近似值．用随机模拟的方法估计几何概型的维数，以确定随机数的组数，其次由对应区域的长度确定随机数的范围，同时，对于多组变量的随机试验还要正确处理变量间的函数关系．利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y ＝2x与x 轴，x ＝±1围成的部分)的面积．解：设事件A 表示“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．S1 用计数器n 记录做了多少次投点试验，用计数器m 记录其中有多少次(x ，y )满足－1＜x ＜1，0＜y ＜2x(即点落在阴影部分)．首先置n ＝0，m ＝0.S2 用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数x ，用它来表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间的均匀随机数y ，用它来表示所投的点的纵坐标．S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满足y ＜2x，如果是，则计数器m 的值加1，即m ＝m ＋1.如果不是，m 的值保持不变．S4 表示随机试验次数的计数器n 值加1，即n ＝n ＋1.如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．程序结束后，算出事件A 发生的频率m n作为事件A 的概率的近似值．设阴影部分的面积为S ，正方形的面积为4，由几何概型概率的计算公式得P (A )＝S4，所以m n ≈S 4，所以S ≈4mn为阴影部分面积的近似值．1．利用随机模拟方法求概率，其实质是先求频率，用频率近似代替概率，其关键是设计好具体的步骤，并找到各数据满足的条件．2．用模拟试验法计算不规则图形的面积，实质上就是利用模拟法求二维型几何概率的一个延伸性的应用，它相当于给定概率求面积的问题．3．S 不规则图形S 规则图形＝N 1N应当作公式记住，当然应理解其来历，其中N 为总的试验次数，N 1为落在不规则图形内的试验次数．1．对随机数含义理解不够容易出错．2．利用随机模拟方法解决实际问题时，对应图形选取不合适容易出错．1．在单词Probability(概率)中任意选择一个字母，则该字母为b 的概率为( ) A ．311 B ．211 C ．15D ．25解析：选B.单词Probability 中共11个字母，其中含有2个b ，故所求概率为211. 2．关于随机数的说法，正确的是( ) A ．随机数只能用计算机产生 B ．随机数所在范围可以不确定C ．在某一范围内每个数被取到的可能性相等D ．函数rand()可以产生任一范围的随机数 解析：选C.C 是随机数特征之一．3．b 1是[0，1]上的均匀随机数，b ＝(b 1－2)*3，则b 是区间________上的均匀随机数． 解析：设b 为区间[m ，n ]内的随机数， 则b ＝b 1*(n －m )＋m ，所以m ＝－6，n ＝－3. 答案：[－6，－3]4．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是________．解析：①的中奖概率为38最大．答案：①, [学生用书P125(单独成册)])[A 基础达标]1．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为( ) A ．0.25 B ．0.5 C ．0.6D ．0.75解析：选D.在[1，3]上的随机数中大于等于1.5的随机数在[1.5，3]之间，概率为3－1.53－1＝1.52＝0.75. 2．某灯泡厂的一批灯泡的寿命均匀分布在区间(28，98]天内，从这批灯泡中任取一只寿命超过60天的概率是( )A ．12B ．130C ．67D ．1935解析：选D.本题是关于整数随机数，在(28，98]内共有70个整数，超过60的随机数有38个，概率为3870＝1935.3．某人下午欲外出办事，我们将12：00～18：00这个时间段称为下午时间段，则此人在14：00～15：00之间出发的概率为( )A ．13B ．14C ．16D ．18解析：选C.所有可能结果对应的时间段为18－12＝6.事件发生的时间段为15－14＝1，所以P ＝16.4．设一直角三角形两直角边的长均是区间[0，1]上的随机数，则斜边的长小于1的概率为( )A ．12B ．34C ．π4D ．3π16解析：选C.设两直角边分别为x ，y ，则x ，y 满足x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，则P (x 2＋y 2＜1)＝π4.5．从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m n解析：选C.设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n ＜1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C.6．在区间[－2，2]上随机任取两个数x ，y ，则满足x 2＋y 2＜1的概率等于________． 解析：在[－2，2]上随机取两个数x ，y ，即在正方形ABCD 中随机取点(x ，y )．满足x 2＋y 2＜1即在阴影部分取点的概率为π×124×4＝π16.答案：π167．用函数型计算器产生随机数按的是________，________两个键． 答案：SHIFT Ran#8．利用随机模拟方法计算y ＝x 2与y ＝4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a 1＝rand()，b 1＝rand()，然后进行平移与伸缩变换a ＝a 1*4－2，b ＝b 1*4，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数a 1＝0.3，b 1＝0.8及a 1＝0.4，b 1＝0.3，那么本次模拟得出的面积约为________．解析：由a 1＝0.3，b 1＝0.8，得a ＝－0.8，b ＝3.2，(－0.8，3.2)落在y ＝x 2与y ＝4围成的区域内；由a 1＝0.4，b 1＝0.3，得a ＝－0.4，b ＝1.2，(－0.4，1.2)落在y ＝x 2与y ＝4围成的区域内，所以本次模拟得出的面积约为16×67100＝10.72.答案：10.729．随机模拟掷骰子试验，估计得一点的概率．解：掷骰子得到的结果共有6种可能：1点，2点，3点，…，6点，我们可以用计算器或计算机来产生1～6之间的整数随机数，用1表示1点，用2表示2点，用3表示3点，…，用6表示6点．设事件A 表示“掷骰子得到一点”．S1 用计数器n 记录做了多少次试验，用计数器m 记录其中有多少次随机数x 出现1(即出现1点)．首先置n ＝0，m ＝0；S2 用变换rand()*6＋1产生1～6之间的整数随机数x ，用它来表示掷骰子出现的点数．S3 判断是否出现1点，即是否满足x ＝1.如果是，则计数器m 的值加1，即m ＝m ＋1.如果不是，m 的值保持不变．S4 表示随机试验次数的计数器n 的值加1，即n ＝n ＋1.如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．程序结束后事件A 发生的频率mn作为事件A 的概率的近似值．10．利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y ＝2－2x －x 2与x 轴围成的图形)的面积．解：(1)利用计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a 1＝rand()，b 1＝rand()．(2)经过平移和伸缩变换a ＝a 1*4－3，b ＝b 1*3，得到一组[－3，1]，一组[0，3]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 和落在阴影部分的点的个数N 1(满足条件b ＜2－2a －a 2的点(a ，b )的个数)．(4)计算频率N 1N就是点落在阴影部分的概率的近似值．(5)设阴影部分面积为S .由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S12.所以S12≈N 1N.所以S ≈12N 1N即为阴影部分面积的近似值．[B 能力提升]11．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．7.68B ．24C ．16.32D ．20解析：选C.由随机数模拟可估计概率为96300＝825，而该事件概率为椭圆面积矩形面积＝椭圆面积6×4＝1－825＝1725，椭圆面积＝6×4×1725＝16.32.12.如图，在正方形围栏内均匀地撒1 000粒米．一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡在正方形内切圆外吃到的米约有________粒(结果保留整数)．解析：设正方形边长为2a ，则内切圆的半径为a ，所以小鸡在圆内吃到米的概率为P ＝S 圆S 正方形＝πa 24a 2＝π4.圆内米粒数＝π4×1 000＝250π≈250×3.14＝785.则正方形内圆外的米粒数约有 1 000－785＝215.答案：21513.利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y ＝log 3x 与x ＝3及x 轴围成的图形)的面积．解：如图所示，作矩形，设事件A 表示“随机向矩形内投点，所投的点落在阴影部分”．S1 用计数器n 记录做了多少次投点试验，用计数器m 记录其中有多少次(x ，y )满足y ＜log 3x (即点落在阴影部分)．首先置n ＝0，m ＝0；S2 用变换rand()*3产生0～3之间的均匀随机数x 表示所投的点的横坐标；用函数rand()产生0～1之间的均匀随机数y 表示所投的点的纵坐标；S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满足y ＜log 3x .如果是，则计数器m 的值加1，即m ＝m ＋1.如果不是，m 的值保持不变；S4 表示随机试验次数的计数器n 的值加1，即n ＝n ＋1.如果还需继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则程序结束．程序结束后，将事件A 发生的频率m n作为事件A 的概率的近似值．设阴影部分的面积为S ，矩形的面积为3，由几何概型概率的计算公式得P (A )＝S3，所以m n ≈S 3，所以S ≈3mn为阴影部分面积的近似值． 14．(选做题)如图，一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，试利用计算机或计算器模拟试验求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解：设事件A 表示“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”．S1 用计数器n 记录做了多少次试验，用计数器m 记录其中有多少次(x ，y )出现在阴影部分中．首先置n ＝0，m ＝0.S2 用变换rand()*30－15产生－15～15之间的随机数x 作为海豚嘴尖的横坐标；用变换rand()*20－10产生－10～10之间的随机数y 作为海豚嘴尖的纵坐标．S3 判断(x ，y )是否落在阴影部分中，即是否满足||x |－15|≤2或||y |－10|≤2.如果是，则计数器m 的值加1，即m ＝m ＋1；如果不是，m 的值保持不变．S4 表示随机试验次数的计数器n 的值加1，即n ＝n ＋1，如果还需要继续试验，则返回S2继续执行，否则程序结束．程序结束后将事件A 发生的频率m n 作为A 的概率的近似值．。
高中数学 第三章 概率 3.3 随机数的含义与应用预习导航 新人教B版必修3(2021年最新整理)
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必修31．了解几何概型的意义．2．掌握几何概型问题的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．3．了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括用计算机产生随机数来进行模拟）估计事件的概率．1．几何概型的定义事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型．名师点拨几何概型的两个特点：一是无限性,即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性, 即每一个基本事件发生的可能性是均等的．【做一做1】下列概率模型中，是几何概型的有( )①从区间［－10，10］内任取一个数，求取到1的概率;②从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间［－10，10］内任取一个整数,求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形内投一点P,求点P离正方形中心不超过1 cm的概率．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：第一个概率模型不是几何概型，虽然区间[－10,10]内有无数个数，但取到“1”只是一个数字，不能构成区间长度;第二个概率模型是几何模型，因为区间[－10,10]和区间[－1,1］内都有无数多个数，且在这两个区间内的每个数被取到的可能性相等；第三个概率模型不是几何概型，因为区间［－10，10]内的整数只有21个，是有限的；第四个概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数个点，且点P落在任何一点处都是等可能的．答案：B2．几何概型概率公式在几何概型中，事件A的概率定义为P(A）＝错误!,其中μΩ表示区域Ω的几何度量,μA 表示子区域A的几何度量．归纳总结运用几何概型的概率公式P（A)＝错误!需注意:（1)μΩ不为0。
高中数学 第三章 概率 3.3 随机数的含义与应用 3.3.13.3.2 随机数的含义与应用教学案 新人教B版必修3
3．3.1 & 3.3.2 几何概型随机数的含义与应用预习课本P109～114，思考并完成以下问题(1)什么是几何概型？(2)几何概型的概率计算公式是什么？(3)随机数的含义是什么？它的主要作用有哪些？[新知初探]1．几何概型(1)定义：事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．(2)计算公式：P(A)＝μAμΩ，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．2．随机数(1)含义随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．(2)产生①在函数型计算器上，每次按SHIFT Ran #键都会产生一个0～1之间的随机数．②Scilab中用rand( )函数来产生0～1的均匀随机数．如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换rand( )*(b－a)＋a得到．[小试身手]1．用随机模拟方法得到的频率( )A．大于概率B．小于概率C．等于概率D．是概率的近似值答案：D2．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( )A.19B.18C.14D.38解析：选B 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18.3.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是13，则小狗图案的面积是( )A.π3B.4π3C.8π3D.16π3解析：选D 设小狗图案的面积为S 1，圆的面积S ＝π×42＝16π，由几何概型的计算公式得S 1S ＝13，得S 1＝16π3.故选D.4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________． 解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为1－01－－＝12. 答案：12[典例] (1)． (2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1，得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.答案：23(2)解：设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13.1．解几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域D ； (3)把所求随机事件A 转化为与之对应的区域I ； (4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.[活学活用]一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)法一：P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.法二：P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝35.与面积和体积有关的几何概型[典例]B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16 B.14 C.38D.12(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] (1)依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝326＝14，故选B.(2)先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23.[答案] (1)B (2)231．与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.2．与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.[活学活用]1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6π B.32π C.3πD.233π解析：选D 由题意可得正方体的体积为V 1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R ＝32.球的体积V 2＝43πR 3＝32π.则此点落在正方体内的概率为P ＝V 1V 2＝132π＝233π. 2．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8解析：选B 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.[典例] 利用随机模拟法计算图中阴影部分(曲线y ＝2x与x 轴、x ＝±1围成的部分)的面积．[解] 设事件A ＝“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”． S1 用计数器n 记录做了多少次投点试验，用计数器m 记录其中有多少次(x ，y )满足－1<x <1,0<y <2x(即点落在阴影部分)．首先置n ＝0，m ＝0；S2 用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数x 表示所投的点的横坐标；用变换rand()*2产生0～2之间均匀随机数y 表示所投的点的纵坐标；S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满足y <2x，如果是，则计数器m 的值加1，即m ＝m ＋1，如果不是，m 的值保持不变；S4 表示随机试验次数的计数器n 的值加1，即n ＝n ＋1，如果还要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束．程序结束后事件A 发生的频率m n作为事件A 的概率的近似值．设阴影部分的面积为S ，正方形的面积为4，由几何概型计算公式得P (A )＝S 4.所以m n ＝S4.所以S ＝4mn.即为阴影部分面积的近似值．利用随机模拟法估计图形面积的步骤(1)把已知图形放在平面直角坐标系中，将图形看成某规则图形(长方形或圆等)内的一部分，并用阴影表示；(2)利用随机模拟方法在规则图形内任取一点，求出落在阴影部分的概率P (A )＝N 1N； (3)设阴影部分的面积是S ，规则图形的面积是S ′，则有S S ′＝N 1N ，解得S ＝N 1NS ′，则已知图形面积的近似值为N 1NS ′.[活学活用]取一根长度为3 cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1 cm 的概率有多大？解：设事件A ＝“剪得两段的长都不小于1 cm”．S1 用记数器n 记录做了多少次试验，用记数器m 记录其中有多少个数出现在1～2之间(即得两段的长都不小于1 cm)，首先置n ＝0，m ＝0；S2 用变换rand( )*3，产生0～3之间的均匀随机数x ；S3 判断剪得两段是否长度都大于1 cm ，即是否满足1≤x ≤2，若是，则记数器m 的值增加1，即m ＝m ＋1，若不是，m 的值不变；S4 表示随机试验次数的记数器n 的值加1，即n ＝n ＋1；如果还需试验，则返回S2，继续执行，否则程序结束．程序结束后事件A 发生的频率m n作为事件A 的概率的近似值．[层级一 学业水平达标]1.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为( )A.19 B.16 C.23D.13解析：选C 试验发生的范围是整个桌面，其中非阴影部分面积占整个桌面的69＝23，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为23，故选C.2.如图所示，在一个边长为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112B.14C.512D.712解析：选C S 矩形＝ab ，S 梯形＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋12a b ＝512ab .故所投的点在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512abab ＝512.3．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴x 0∈[1,2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝23.答案：234．已知正三棱锥S ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC <12V S ABC 的概率是________．解析：由V P ABC <12V S ABC 知，P 点在三棱锥S ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P ＝1－VS A 0B 0C 0V S ABC＝1－18＝78. 答案：78[层级二 应试能力达标]1．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.18解析：选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.2.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C △ABE 的面积是矩形ABCD 面积的一半，由几何概型知，点Q 取自△ABE 内部的概率为12.3.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )A.2πB.1πC.12D ．1－2π解析：选D S 扇形＝14×π×22＝π，S 阴影＝S 扇形－S △OAB ＝π－12×2×2＝π－2，∴P ＝π－2π＝1－2π.4．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序实数对(x ，y )，记事件A 为“x 2＋y 2＜1”，则P (A )为( )A.π4B.π2C ．πD ．2π解析：选 A 如图，集合S ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，则S 中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A 所对应的事件(x ，y )与圆x 2＋y 2＝1内的点一一对应，所以P (A )＝π4.5．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________． 解析：由于方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根， ∴Δ≥0，即1－4n ≥0，∴n ≤14，又n ∈(0,1)，∴有实根的概率为P ＝141－0＝14.答案：146．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005.答案：0.0057．在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．解析：点P 到点A 的距离小于等于a 可以看做是随机的，点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．P ＝18×43πa 3a 3＝16π. 答案：16π8.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.即“射中黄心”的概率是0.01.9．已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)求圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率． 解：(1)由点到直线l 的距离公式可得d ＝2542＋32＝5.(2)由(1)可知圆心到直线l 的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l 平行的直线为l 1，其方程为4x ＋3y ＝15.则符合题意的点应在l 1：4x ＋3y ＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l 1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.故所求概率为P ＝60°360°＝16.。
高中数学 第三章 概率 3.3 随机数的含义与应用自我小测 新人教B版必修3(2021年最新整理)
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修31．一个小组有6个同学，选1个小组长，用随机模拟法估计甲被选中的概率，下列步骤错误的是( )①把六名同学编号1～6；②利用计算器的ran d（）＊5＋1产生1到6之间整数值的随机数;③统计总试验次数N及甲的编号出现的次数N1;④计算频率f n（A）＝N1N，即为甲被选中的概率的近似值；⑤错误!一定等于错误!.A．②④ B．①③④ C．⑤ D．①④2．取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是（)A.错误!B.错误! C。
错误! D．不确定3．已知某运动员每次投篮命中的概率都等于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2，3,4表示命中，5，6,7,8,9，0表示不命中;再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 357 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（)A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.154．如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( ）A。
【满足】高中数学第三章概率33随机数的含义与应用课堂探究新人教B版必修3
【关键字】满足高中数学第三章概率 3.3 随机数的含义与应用课堂探究新人教B版必修31．古典概型与几何概型的异同剖析：古典概型与几何概型都是概率类型的一种，它们的区别在于：古典概型的基本事件数为有限个，而几何概型的基本事件数为无限个；共同点在于：两个概型都必须具备等可能性，即每个结果发生的可能性都相等．判断一次试验是否是古典概型，有两个标准来衡量：一是试验结果的有限性，二是试验结果的等可能性，如果这两个标准都符合，则这次试验是古典概型，否则不是古典概型；判断一次试验是否是几何概型有三个标准：一是试验结果的无限性，二是试验结果的等可能性，三是可以转化为求某个几何图形测度的问题．如果一次试验符合这三个标准，则这次试验是几何概型．这两种概率模型的本质区别是试验结果的种数是否有限．2．基本事件的选取对概率的影响剖析：先比较以下两道题：(1)在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM＜AC的概率．(2)在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率．这两道题虽然都是在等腰Rt△ABC中求AM＜AC的概率，但题干明显不同，题目(1)是“在斜边AB上任取一点M”，而题目(2)是“在∠ACB内部任作一条射线CM”，其解答分别如下：(1)在AB上截取AC′＝AC，于是P(AM＜AC)＝P(AM＜AC′)＝＝＝.(2)在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任何位置都是等可能的．在AB上取AC′＝AC，则△ACC′是等腰三角形，且∠ACC′＝＝67.5°，故满足条件的概率为＝0.75.由此可见，背景相似的问题，当基本事件的选取不同，其概率是不一样的．题型一与“长度”有关的几何概型【例1】某公共汽车站每隔15 min有1辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求1个乘客到达车站后候车时间大于10 min的概率．分析：把时刻抽象为点，时间就抽象为线段，故可用几何概型求解．解：设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10.如图所示．记候车时间大于10 min为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上时，事件A发生，设区域D的测度为15，则区域d的测度为5.所以.答：候车时间大于10 min的概率是.深思在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d.在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.题型二与“面积”有关的几何概型【例2】甲、乙两人约定上午7：00到8：00之间到某个汽车站乘车，在这段时间内有3班公共汽车，开车的时刻分别为7：20,7：40，8：00，如果他们约定，见车就乘，则甲、乙两人乘同一班车的概率为( )A. B. C. D.解析：设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则7≤x≤8,7≤y≤8，即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区域在平面直角坐标系中是大正方形(如图所示)．将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一辆车，必须满足7≤x≤7,7≤y≤7；7≤x≤7，7≤y≤7；7≤x≤8,7≤y≤8，即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的概率计算公式得P＝＝.答案：C深思本题的关键首先要理解好题意，将其归结为面积型几何概型，而不是长度型几何概型．另外一定要认真审题，根据题意画出图形．本题中将甲、乙两人到达车站的时刻作为坐标，在坐标系中将汽车的到站时刻，甲、乙两人的到站时刻分别表示出来，就可以直观地发现它们之间的关系，找出两人乘同一辆车的区域，然后计算面积，代入公式求得结果.题型三与“体积”有关的几何概型【例3】已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率．分析：首先作出到底面距离等于的截面，然后再求这个截面的面积，进而求出有关体积．解：如图所示，在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC 的中点，则当点M位于面ABC和面A1B1之间时，点M到底面的距离小于.设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1，且相似比为2，得△A1B1的面积为.由题意，区域D的体积为区域d的体积为.∴P=.∴点M到底面的距离小于的概率为.深思解与体积有关的几何概型时要注意：(1)寻求区域d在区域D中的分界面，但要明确是否含分界面不影响概率大小．(2)每个基本事件的发生是“等可能的”．(3)概率的计算公式为：P(A)＝.题型四与“角度”有关的几何概型【例4】已知半圆O的直径为AB＝2R.(1)过A 作弦AM ，求使弦AM ＜R 的概率；(2)过A 作弦AM ，求使弦AM ＞R 的概率；(3)作平行于AB 的弦MN ，求使弦MN ＜R 的概率；(4)作平行于AB 的弦MN ，求使弦MN ≥R 的概率．分析：过A 作弦应理解为过A 作射线AM 交半圆于M ，作AB 的平行弦MN ，可以理解为过垂直于AB 的半径上的点作平行于AB 的弦．解：(1)如图①所示，过点A 作⊙O 的切线AE ，作弦＝R.由平面几何知识，∠M ′AB ＝60°，∠M ′AE ＝30°，∴P(AM ＜R)＝P(AM ＜AM ′)＝P(∠EAM ＜∠EAM ′)＝＝＝.(2)类似于(1)可求P(AM ＞R)＝＝.(3)如图②所示，过点O 作半径OE ⊥AB ，作弦M ′N ′∥AB ，交OE 于点E ′，且＝R. 连接OM ′，则OE ′＝R ，EE ′＝R －R ＝R.∴P(MN ＜R)＝P(MN ＜M ′N ′)＝＝.(4)类似于(3)可求P(MN ≥R)＝＝.深思 (1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率计算公式为P(A)＝.(2)解决此类问题的关键是事件A 在区域内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的. 题型五 利用随机模拟实验估计图形的面积【例5】 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y ＝2－2x －x 2与x 轴围成的图形)的面积．分析：解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积，而后由几何概率进行面积估计． 解：(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1，b 1.(2)经过平移和伸缩变换，a ＝4a 1－3，b ＝3b 1，得到一组[－3,1]，一组[0,3]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 和落在阴影部分的点数N 1(满足条件b ＜2－2a －a 2的点(a ，b )数)．(4)计算频率N 1N就是点落在阴影部分的概率的近似值． (5)设阴影部分面积为S ，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为S 12， ∴S 12≈N 1N. ∴S≈12N 1N即为阴影部分面积的近似值． 反思 在解答本题的过程中，易出现将点(a ，b )满足的条件误写为b ＞2－2a －a 2，导致该种错误的原因是没有验证阴影部分的点(a ，b )应满足的条件.题型六 易错辨析【例6】 在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把长度为1的线段分成三条，试求这三条线段能构成三角形的概率．错解：因为1,21,x y x y ⎧+>⎪⎨⎪+<⎩，,x ＋y ＜1，所以12＜x ＋y ＜1.所以P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1(0，1)＝121＝12.错因分析：错解误把长度作为几何度量当成本题的模型．正解：设三条线段的长度分别为x ，y ,1－x －y ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜y ＜1，0＜1－x －y ＜1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜y ＜－x ＋1.在平面上建立如图所示的直角坐标系，围成三角形区域G ，每对(x ，y )对应着G 内的点(x ，y )，由题意知，每一个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型．记事件A={三条线段能构成三角形}，则事件A 发生当且仅当111x y x y x x y y ⎧⎪⎨⎪⎩＋＞－－，－＞，－＞，即1>-+,21,21.2y x x y ⎧⎪⎪⎨<<⎪⎪⎪⎪⎩因此图中的阴影区域g 就表示“三条线段能构成三角形”，即事件A 发生当且仅当1,1,1,x y x y x x y y +>--⎧⎪->⎨⎪->⎩即1,21,21,2y x x y ⎧>-+⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<⎪⎩因此图中的阴影区域g 就表示“三角线段能构成三角形＂，即事件A 发生，容易求得g 的面积为18，G 的面积为12，则P (A)＝g 的面积G 的面积＝14.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
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高中数学第三章概率 3.3 随机数的含义与应用预习导航新人教
B版必修3
1．了解几何概型的意义．
2．掌握几何概型问题的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．3．了解随机数的意义，能运用模拟方法(包括用计算机产生随机数来进行模拟)估计事件的概率．
1．几何概型的定义
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型．
名师点拨几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．
【做一做1】下列概率模型中，是几何概型的有( )
①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率；
②从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
③从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；
④向一个边长为4 cm的正方形内投一点P，求点P离正方形中心不超过1 cm的概率．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：第一个概率模型不是几何概型，虽然区间[－10,10]内有无数个数，但取到“1”只是一个数字，不能构成区间长度；第二个概率模型是几何模型，因为区间[－10,10]和区间[－1,1]内都有无数多个数，且在这两个区间内的每个数被取到的可能性相等；第三个概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]内的整数只有21个，是有限的；第四个概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数个点，且点P落在任何一点处都是等可能的．
答案：B
2．几何概型概率公式
在几何概型中，事件A的概率定义为P(A)＝μA
μΩ
，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．
归纳总结运用几何概型的概率公式P(A)＝μA
μΩ
需注意：
(1)μΩ不为0.
(2)其中“μΩ”的意义依Ω确定，当Ω分别是线段、平面图形、立体图形时，相应的“μΩ”分别是长度、面积和体积．
(3)区域为“开区域”．
(4)区域Ω内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比，而与其形状、位置无关．
【做一做2】 如图，在正方形围栏内均匀散布着米粒，一小鸡在其中随意啄食，则小鸡正在正方形的内切圆中的概率为________．
解析：π4
3．随机数 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．它有很广阔的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做大量重复的试验．
学习用随机模拟方法近似求事件的概率，条件不具备的可以用计算器等其他简便易行的方法，进行简单的模拟试验，统计试验结果，并计算频率估计概率，从中领会概率的意义和统计思想．
【做一做3】 将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )
A ．r and （）* 8
B ．r and （）* 8＋2
C ．r and （）* 8－2
D ．r and （）* 6
答案：C。