标准正交基
§9-2标准正交基
§9-2 标准正交基复习欧氏空间的概念、两向量正交的定义、度量矩阵的定义及性质。
一、概念定义5: 欧氏空间中一组非零的向量，如果它们两两正交，则称为一个正交向量组。
例1: 向量(),0101=α()1012=α，()1013-=α构成3R 的一个正交组。
事实上，很容易验证 ()0=j iαα3,2,1,=j i例2: 在()π20C 上，函数组 1，cosx, sinx, … cos nx, sin nx … 构成()π20C 上的一个正交组。
事实上，我们有ππ2120=⎰dx ；⎩⎨⎧≠==⎰nm nm nxdx mx ,0,cos cos 20ππ； ⎩⎨⎧≠==⎰nm nm n x d x mx 0,sin sin 20ππ； 0sin cos sin cos 202020===⎰⎰⎰πππnxdx nxdx nxdx mx所以 ()()0sin 1cos 1==nx nx ；()()()0sin ,sin ,cos sin ,cos ===nx mx coxnx mx nx mx ， 当n m ≠时一般情况下，正交向量组是对两个或两个以上的向量而言，对于特殊情况我们规定：单个非零向量所成的向量组是正交向量组。
由正交向量组的定义很容易得出以下结论： 1、正交向量组一定是线性无关的。
证明：设m ααα ,,21正交，欲证其无关设有关系式 02211=+++m m k k k ααα 用i α与等式两边做内积，由于()0=j iαα当j i ≠时所以可得 ()0i=i i k αα 而()i i αα﹥0 所以()m i k i 2,1,0==注①：此定理的逆不成立，即无关的向量组不一定是正交的。
如()3,2,11=α，()0,1,22=α无关（不成比例），但()0421≠=αα注②：相关的向量组一定是不正交的。
于是可得2、在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。
事实上，在n 维空间中，任何n+1个向量都是相关的。
标准正交基
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
标准正交基
标准正交基一、标准正交基的定义及相关概念1、欧几里得空间：设V 实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（βα,），它具有以下性质： （1）(βα,）=(αβ,); （2）(k βα,)=k(βα,);（3）(γβα,+)=(γα,)+(γβ,);（4）(αα,)>=0，当且仅当α=0时，(αα,)=0;这里，γβα,,是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间，简称欧氏空间。
2、正交向量组：欧式空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
3、标准正交基：在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
二、标准正交基的相关性质1、正交向量组的性质：（1）正交向量组是线性无关的。
证明：设m ααα,...,,21是一正交向量组，m k k k ,...,,21是m 个实数，且有： 0...2211=+++m m k k k ααα用i α与等式两边作内积，得：0),(=i i i k αα由0≠i α，有0),(>i i αα，从而：0=i k ),...,2,1(m i = 命题得证。
（2）单个非零向量组成的向量组是正交向量组。
（3）在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。
（如：在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，在空间中找不到四个两两垂直的非零向量。
）2、标准正交基的性质：（1）若n εεε,...,21是一组标准正交基，则：⎩⎨⎧≠==.,0;,1),(j i j i j i εε 证明：j i =时，由单位向量定义：1),(=j i εε，1),(=∴j i εεj i ≠时，由正交向量定义：0),(=j i εε 命题得证。
（2）对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。
例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212100,212100,002121,0021214321e e e e由于⎪⎩⎪⎨⎧====≠=).4,3,2,1,;(,1),(),4,3,2,1,;(,0),(j i j i e e j i j i e e ji j i所以4321,,,e e e e 是4R 的一组标准正交基。
内积空间的标准正交基
线性无关性的证明可以通过构造一个行列式来证明，该行列式的值等于所有线性组合系数的乘积，如 果该行列式的值为零，则说明存在一组不全为零的实数，使得线性组合等于零向量，从而证明了线性 无关性。
03 标准正交基的构造方法
正交化过程
01
选取一组线性无关的向量作为初始基底。
02
通过正交化过程，将这组线性无关的向量转化为正交向量组。
内积空间的标准正交基
目录
• 引言 • 标准正交基的性质 • 标准正交基的构造方法 • 标准正交基的应用 • 标准正交基的例子
01 引言
什么是内积空间
交换律
01
x·y=y·x
分配律
02
z·(x+y)=z·x+z·y
非负性
03
x·y≥0
内积空间的标准正交基的定义
• 标准正交基是指由单位向量组成的向量组，这些单位向量两两正交，即它们的点积为0。对于一个内积空间，如果存在一组 线性无关的向量，它们两两正交并且模长为1，那么这组向量就构成了该内积空间的标准正交基。
VS
描述
这n个基向量是正交的，即它们的内积都为 0。同时，它们的模都为1，即对于每一个 基向量，其各分量平方和都等于1。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
正交性
两两正交
标准正交基中的向量两两正交，即对于任意两个不同的向量$e_i$和$e_j$，如果$i neq j$，则$e_i cdot e_j = 0$。
正交化过程
在构造标准正交基时，需要先选择一组线性无关的向量，然后通过正交化过程将 它们转化为正交基。
基的唯一性
唯一性定理
对于同一个内积空间，如果存在两个不同的标准正交基，则 这两个基之间可以通过一个可逆线性变换相互转化。
9.2__标准正交基
2. 正交向量组的性质
定理1 正交向量组是线性无关的.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + kmm = 0 .
用 i 与等式两边作内积，得
ki (i , i ) = 0 . 由 i 0，有 (i , i ) > 0 ，从而
则 xi = (i , ) ( i = 1, 2, … , n ) .
证明
(i , ) = (i , x1 1 + x2 2 + … + xn n )
= (i , x11) + … + (i , xii ) + … + (i , xnn ) = x1(i , 1) + … + xi(i , i ) + … + xn(i , n )
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中
的坐标表达式的推广.
注意
1）应该指出，内积的表达式 (2) , 对于任一组标准 正交基都是一样的. 这说明了，所有的标准正交基 在欧氏空间中有相同的地位. 在下一节，这一点将 得到进一步的说明. 2）特别地，在欧氏空间的任一标准正交基下，有
| | x12 L xn2
第九章 欧几氏空间
§1 定义与基本性质 §5 子空间
§2 标准正交基
§6 对称矩阵的标准形
§3 同构 §4 正交变换
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法
第二节 标准正交基
主要内容
定义 标准正交基的求法 正交矩阵
一、定义
4-2标准正交基
α1，α2，…，αm两两正交，则称α1，α2，…，αm是V的 ， 两两正交， ， 的 ， 又都是单位向量， 一个正交基；如果α1，α2，…，αm又都是单位向量， 一个正交基； 正交基 的一个标准正交基 则称α1，α2，…，αm是V的一个标准正交基. ， 的一个标准正交基.
定义4.7 定义4.7 设α1，α2，…，αm是欧氏空间 的一个基.如果 ， 是欧氏空间V的一个基.
1 1 1 1 1 1 α 3 = ,− ,0, ,0 为R4的一个基 ,α 4 = − , , 的一个基. 2 2 2 2 2 2
T T
说明 1）自然基 1，e2，…，en是Rn标准正交基. 标准正交基. ）自然基e ，
T
T
4
3）向量空间V的任意向量α ，在V中的一个标准正交基 ）向量空间 的任意向量 中的一个标准正交基 α1，α2，…，αm下的坐标为： = k α + k α + L + k α ， 下的坐标为： α
由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组. 由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组. 标准正交向量组
2
正交向量组是线性无关的. 定理4.2 正交向量组是线性无关的. 定理 ， 是正交向量组， 证 设α1，α2，…，αm是正交向量组，并有一组数使 k1α1 + k2α2 + … + kmαm= 0. ， ， ， ）对上式的两边做内积， 用αi（i=1，2，…，m）对上式的两边做内积，得 <k1α1 + k2α2 + … + kmαm ,αi >= <0 ,αi> 0 k1<α1, αi> + k2<α2, αi> + … + km<αm, αi>= 0 因α1, α2, …, αm两两正交, 所以<αi, αj>= 0( i ≠ j, )， 两两正交 所以 ， 故 ki<αi，αi>=0，（i=1，2，…，m） ， ， ， ， ） 所以< 因αi ≠ 0，所以 αi，αi>≠0，故ki =0（i=1，2，…，m）. ， （ ， ， ， ） 于是向量组α1，α2，…，αm线性无关 ， 线性无关.
最新四.规范正交基(标准正交基)
0 0 1 2 1 2
0 0 1 e4 2 1 2
由于
e
i
,e j
1 0
i j i j
(i,j=1,2,3,4)
所以jjjkke1 ,e2 ,e3 ,e4 是 R 4 的一个规范正交基。
2
2.向量的坐标
设 e1 ,e2 , , en 是V的一个规范正交基,那么V中任何一 向量 x1 , x2 , , xn 应能由 e ,e , , e 线性表示,
1
2
n
表示法为
x1e1 x2e2 xnen
为求表示法中的系数 xi,可用 e i与α作内积 ( i=1,2, …, n ) ,
jjjkk 4
例2 设
1 1 4 1 2 , 2 3 , 3 1 , 1 1 0
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。 解 取
b1 1;
jjjkk
1 b1 1 e1 2 b1 6 1
b2 e2 b2
jjjkk
1 1 1 3 1
6
b3 3
3 , b1 3 , b2 b b
b1
2 1
b2
2
2
4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1
令
b1 1 ,
b2 2 2 , e1 e1 ,
b1 e1 b1
b3 3 3 , e1 e1 3 , e2 e2 ,
线性代数课件7-2标准正交基
正交矩阵有哪些特殊性质和应用？如何判断一个矩阵 是否为正交矩阵？
THANKS
感谢观看
标准正交基的性质
01
标准正交基中的向量两两正交 ，且模长都为1。
02
标准正交基具有唯一性，即对 于给定的向量空间，其标准正 交基是唯一的。
03
标准正交基具有良好的计算性 质，可以简化向量在基下的坐 标计算以及向量间的内积、外 积等运算。
03
标准正交基的构造方法
施密特正交化过程
01
选取一组线性无关的向量组；
正交变换与标准正交基的关系
正交变换的定义
若线性变换T保持向量的内积不变，即对任意向量x,y，有$(Tx,Ty)=(x,y)$，则称T为正交变换；
正交变换的性质
正交变换保持向量的长度和夹角不变；
正交变换与标准正交基的关系
标准正交基是正交变换的基础，通过正交变换可以得到新的标准正交基。同时，标准正交基也是 正交变换的简化形式，可以方便地表示和计算正交变换。
正交矩阵及其性质
施密特正交化过程 标准正交基的定义与性质
01
03 02
学习目标
01
02
03
掌握标准正交基的概念 和性质，理解其在向量
空间中的重要性
学会利用施密特正交化 过程将一组线性无关的 向量正交化，进而得到
标准正交基
了解正交矩阵的定义和 性质，掌握正交矩阵的 判定方法及其在线性变
换中的应用
02
线性代数课件7-2 标准正交基
目录
• 引言 • 标准正交基的定义与性质 • 标准正交基的构造方法 • 标准正交基在线性空间中的应用 • 标准正交基在解决实际问题中的
应用举例 • 总结与拓展
线性代数(第二版)第六节Rn 的标准正交基
可以得到将 Rn 中的非零向量化为
单位向量，称为将向量标准化的方法：
若 0 ，则
1
为单位向量或标准化向量.
事实上， 1 1 1 1.
例 如 设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , 则
下的坐标，记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
例 1 分别求向量 = (d1 , d2 , … , dn)T Rn，
在标准基 1 , 2 , … , n 和基 1 = (1, 0, …, 0)T ,
2 = (1, 1, …, 0)T , … , n = (1, 1, …, 1)T 下的坐标.
2
即 与 相互垂直.
2. 正交向量组的性质
定理 2.15 设 1 , 2 , … , s 是一个正交向量
组，则 1 , 2 , … , s 线性无关.
证 明 设 有 k1 , k2 , … , ks 使
k1 1 + k2 2 + … + ks s = 0 ,
以 1T 左 乘 上 式 两 端 , 得
定义 2.17 设 1 , 2 , … , n 为 Rn 的一组基，
则对于任意 Rn， 可以表为 1 , 2 , … , n 的线
性组合，且表示法唯一， 即存在 a1 , a2 , … , an R , 使
= a11 + a22 + … + ann
则称组合系数 a1 , a2 , … , an 为 在基1 , 2 , … , n
可知，一个向量组线性无关，
是其成为正交向量组的必要条件. 下面我们将介绍
怎么求标准正交基
怎么求标准正交基首先，我们需要明确什么是标准正交基。
在一个内积空间中，如果向量集合中的任意两个向量的内积为0，且每个向量的模长为1，那么这个向量集合就是一个标准正交基。
标准正交基的优点在于它的向量之间相互垂直，且模长为1，这样的基可以更方便地进行向量运算和表示，因此在实际问题中有着重要的作用。
接下来，我们来讨论如何求标准正交基。
一种常用的方法是施密特正交化方法。
给定一个线性无关的向量组，我们可以通过施密特正交化方法将这个向量组变换成一个标准正交基。
具体的步骤如下：假设有向量组{v1, v2, ..., vn}，首先令u1=v1，然后令u2=v2-投影(u1,v2)u1，再令u3=v3-投影(u1,v3)u1-投影(u2,v3)u2，以此类推，依次求出u1,u2,...,un，最后再将每个向量单位化即可得到标准正交基。
除了施密特正交化方法之外，还可以利用矩阵的特征值和特征向量来求标准正交基。
给定一个对称矩阵A，我们可以通过求解A的特征值和特征向量来得到标准正交基。
具体的步骤是先求解A的特征值和对应的特征向量，然后将特征向量单位化，最终得到标准正交基。
另外，还有一种常用的方法是利用正交矩阵来求标准正交基。
对于一个正交矩阵Q，它的列向量就构成了一个标准正交基。
因此，我们可以通过构造一个正交矩阵来得到所需的标准正交基。
总的来说，求标准正交基是线性代数中的一个重要问题，它有着广泛的应用。
在实际问题中，我们可以通过施密特正交化方法、特征值和特征向量、正交矩阵等方法来求解标准正交基。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
怎么求标准正交基
怎么求标准正交基首先，我们需要了解标准正交基的定义。
在一个内积空间中，如果向量集合中的向量两两正交且归一化，即它们之间的内积为0且它们的模为1，那么这个向量集合就是标准正交基。
接下来，我们来介绍一种求解标准正交基的常用方法——施密特正交化方法。
假设我们有一个线性无关的向量组{v1, v2, ..., vn}，我们可以通过施密特正交化方法将它们变换成一个标准正交基。
首先，我们取向量组中的第一个向量v1，对它进行归一化处理，即得到第一个标准正交基e1。
然后，我们取向量v2，将它在e1上的投影减去，得到一个新的向量，然后对这个新的向量进行归一化处理，得到第二个标准正交基e2。
依此类推，对于向量组中的每一个向量，都可以通过这种方法得到一个标准正交基。
施密特正交化方法的关键在于对向量的投影和归一化处理，通过这种方法，我们可以将任意线性无关的向量组变换成一个标准正交基。
除了施密特正交化方法，我们还可以通过矩阵的特征值分解来求解标准正交基。
对于一个对称矩阵，我们可以通过特征值分解得到它的特征向量，然后对特征向量进行归一化处理，就可以得到一个标准正交基。
此外，还有其他一些特殊情况下的求解方法，比如利用奇异值分解、Gram-Schmidt方法等。
不同的方法适用于不同的情况，我们需要根据具体的问题来选择合适的方法。
总的来说，求解标准正交基是线性代数中的一个重要问题，通过施密特正交化方法、特征值分解等方法，我们可以比较容易地求解标准正交基。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择合适的方法，以便更加高效地求解标准正交基。
希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。
标准正交基怎么求
标准正交基怎么求首先，我们需要明确标准正交基的定义。
在一个向量空间中，如果存在一组基向量，它们两两之间的内积为0，并且它们的模长都为1，那么这组基向量就是标准正交基。
换句话说，标准正交基是一组相互垂直且长度为1的基向量。
接下来，我们来讨论如何求解标准正交基。
假设我们有一个n 维向量空间V，我们要在这个向量空间中找到一组标准正交基。
首先，我们可以利用Gram-Schmidt正交化方法来实现这一目标。
Gram-Schmidt正交化方法的基本思想是，对于给定的一组线性无关的向量{v1, v2, ..., vn}，我们可以通过一定的变换，得到一组标准正交基{u1, u2, ..., un}。
具体的步骤如下：1. 首先，取向量v1，令u1=v1/|v1|，其中|v1|表示向量v1的模长。
2. 然后，对于第i个向量vi，我们可以依次进行以下步骤：a. 令ui=vi。
b. 对于j=1,2,...,i-1，令ui=ui-(ui·uj)uj，其中·表示内积运算。
c. 最后，令ui=ui/|ui|，得到标准正交基中的第i个基向量。
通过上述步骤，我们可以逐个求得向量空间V中的标准正交基。
需要注意的是，Gram-Schmidt正交化方法能够保证我们求得的基向量是标准正交的，并且它们张成的子空间与原始向量空间V是等价的。
除了Gram-Schmidt正交化方法外，我们还可以利用特征值分解、奇异值分解等方法来求解标准正交基。
这些方法在不同的情况下有着不同的适用性，读者可以根据具体的问题选择合适的方法来求解标准正交基。
综上所述，标准正交基的求解是线性代数中的一个重要问题，它涉及到向量空间的基础理论和实际应用。
通过Gram-Schmidt正交化方法、特征值分解、奇异值分解等方法，我们可以有效地求解标准正交基，为进一步的线性代数理论和实际问题的求解提供了重要的基础。
希望本文对读者能够有所帮助，谢谢阅读！。
标准正交基怎么求
标准正交基怎么求标准正交基是线性代数中的重要概念，它在向量空间的正交性质和标准化表示方面起着关键作用。
那么，接下来我们就来探讨一下标准正交基的求解方法。
首先，我们需要明确标准正交基的定义。
在n维实内积空间中，如果向量组{v1, v2, ..., vn}满足以下两个条件，一是向量组中的向量两两正交，即vi·vj=0（i≠j），二是向量组中的每一个向量的模长为1，即||vi||=1，则称向量组{v1, v2, ..., vn}为标准正交基。
接下来，我们来讨论标准正交基的求解方法。
一般来说，求解标准正交基的方法有Gram-Schmidt正交化方法和矩阵的特征值分解方法。
首先是Gram-Schmidt正交化方法。
对于给定的线性无关向量组{u1, u2, ..., un}，我们可以通过以下步骤来求解标准正交基：1. 取第一个向量v1=u1，进行标准化处理，即v1=u1/||u1||。
2. 对于第i个向量ui，我们可以通过以下公式来求解vi：vi=ui-Σ(j=1 to i-1)(ui·vj)·vj。
然后进行标准化处理，即vi=vi/||vi||。
3. 重复以上步骤，直到求得n个标准正交向量{v1, v2, ..., vn}。
其次是矩阵的特征值分解方法。
对于给定的矩阵A，我们可以通过以下步骤来求解标准正交基：1. 首先，求解矩阵A的特征值和对应的特征向量。
2. 将特征向量进行标准化处理，即将每个特征向量除以其模长。
3. 如果A是对称矩阵，那么它的特征向量是两两正交的，我们可以直接将它们作为标准正交基。
需要注意的是，对于一般的矩阵，其特征向量未必是两两正交的，所以在使用特征值分解方法求解标准正交基时，需要进行额外的正交化处理。
综上所述，我们可以通过Gram-Schmidt正交化方法和矩阵的特征值分解方法来求解标准正交基。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解标准正交基，以满足我们的需求。
2.6 标准正交基
则称a1 , a2 , … , an 为 向量 在基 1 , 2 ,, n 下的坐标， 记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
二、向量的内积
1.Def .
给定Rn中向量
a1 a2 an
n i1
b1 b2 , bn
i j 0
T
1 0 0 1 2 0 0
0 0 , n 1
是两两正交的.
( i j ; i , j 1, 2 , ..., s )
则称向量组1, 2,…,s 为正交向量组. 正交向量组1,2,…,s 中无零向量.
§2.6 R 的标准正交基
n
0
向量空间的基 , 标准正交基 , 内积 , 向量的正交组， 1 基本知识点： Schmidt 正交化方法 , 正交矩阵 . 0 熟练掌握利用 Schmidt 正交化方法变换向量组 . 2 重点：
熟练掌握将向量变换为 单位向量 .
1 0 0 0 1 0 , , , n , 1 2 0 0 1
a1 a2 an
n R ,
都可由 1 , , n 线性表出 .
a1 0 0
0 0 0 a2 a 1 1 a 2 2 a n n an 0
QTQ=
sin
co s sin
1 cos 0
0 1
四规范正交基(标准正交基)
例2 设
1 1 4 1 2 , 2 3 , 3 1 , 1 1 0
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。 解 取
b1 1;
1 b1 1 e1 2 b1 6 1
b2 e2 b2
1 1 1 3 1
b3 3
3 , b1 b 3 , b2 b
b1
2 1
b2
2
2
4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1
e3
0 0 1 2 1 2
0 0 1 e4 2 1 2
由于 所以
e
i
,e j
1 0
i j i j
(i,j=1,2,3,4)
e1 ,e2 ,e3 ,e4
1 b2 1 则e2 2 b2 2 1
1 2 取b2 2 2 , e1 e1 1 1 2
3 再把 α31
1 0 它的基础解系为 1 0 , 2 1 1 1
令 1 1 , 2 2 ,
则 α3 与α1,α2 正交,显然α1与α2 线性无关,
施密特标准正交化.
因此可用
1 b1 1 取b1 = α1 , 则e1 0 , b1 2 1
b2 2 2 , e1 e1
b1 b1 2 2 , b1 b1
2
高等代数标准正交基
一、正交组与正交基
Definition 1 欧氏空间 V 的一组非零向量，如果它们两两 正交，就称之为一个正交组。全由单位向量 构成的正交组称为标准正交组。
约定：单独一个非零向量也叫一个正交组。
Example
在 R3中，1 (1, 0, 0),2 (0,1, 0),3 (0, 0,1) 与
1,2 , ,n 的度量矩阵 A ((i , j ))nn E
Remark n维欧氏空间V 的标准正交基是存在的。
设1,2, ,n 为V 的一个正标准正交基，而 x11 x22 xnn
y11 y22 ynn
n
则 i) xi ( ,i ), ( ,i )i
设V 为n 维欧氏空间，若基 1,2, ,n 是正交组，则称之为V 的一个正交基。 而由标准正交组作成的基称为标准正 交基。
Remark Rn的标准正交基是存在的但不是唯一的。
二、标准正交基的性质
1,2, ,n 为 V 的一个正标准正交基的充分
必要条件是 (i , j ) ij 。即
n
i 1
ii) ( , ) xi yi
i 1
三、标准正交基的求法
Example
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在R2中，设 1, 2 为一个基，试求一个 标准正交基 1,2 。
2
2
2
1
1 ( 1)
n 维欧氏空间中任一个正交向量
组都能扩充成一组标准正交基.
对于 n维欧氏空间中任一组基 1,2, ,n, 都可以找到一组标准正交基 1,2, ,n，
1 (0,1, 0),2 (
1 , 0, 2
1 2
),3
标准正交基
§2 标准正交基一、正交向量组 定义：设Ｖ为欧氏空间，非零向量12,,,m V ααα∈,如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注：① 若0α≠，则α是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 证：设非零向量12,,,m V ααα∈两两正交. 令 11220m m k k k ααα+++=， i k R ∈则 ()()11,,,0m mi j j j i j i i i j j k a k a a k a a α==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑由 0i a ≠知 (),0i j a a >， ∴ 0i k =， 1,2,,i m = 故 12,,,m ααα线性无关.③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 例如：3R 中 ()11,1,0α=，()21,0,1α=线性无关． 但12,αα不是正交向量组.()12,10αα=≠.④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n 二、标准正交基 1. 几何空间3R 中的情况在直角坐标系下()1,0,0i =,()0,1,0j =,()0,0,1k =是由单位向量构成的正交向量组，即()()(),,,0i j j k k i ===1i j k ===i ,j ,k 是3R 的一组基.设 111x i y j z k α=++,3222x i y j z k R β=++∈ ① 从 ()1,i x α=,()1,j y α=,()1,k z α= 得 ()()(),,,i i j j k k αααα=++ ② ()121212,x x y y z z αβ=++③ α=④,arccos βθ=即在基,,i j k 下，3R 中的与内积有关的度量性质有简单的表达形式. 2. 标准正交基的定义n 维欧氏空间中，由n 个向量构成的正交向量组称为正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注：① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基. ② n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基()1,,1,2,0i j i ji j n i j εε=⎧⇔==⎨≠⎩③ n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基当且仅当其度量矩阵 ()(),i j n A E εε==.④ n 维欧氏空间V 中的标准正交基的作用: 设1,,n εε为V 的一组标准正交基，则 (i) 设 1122n n x x x V αεεε=+++∈ 由(1) ，(),i i x αε= .有 ()()()1122,,,n n ααεεαεεαεε=+++ (2) (ii) ()11221,nn n i i i x y x y x y x y αβ==+++=∑ (3)这里 1122n n x x x αεεε=+++ , 1122n n y y y βεεε=+++ .(iii) α=3. 标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程1） (定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证：设 12,,,m ααα欧氏空间Ｖ中的正交向量组，对n m -作数学归纳法． 当0n m -=时， 12,,,m ααα就是一组正交基了.假设n m k -=时结论成立，即此时可找到向量12,,k βββ 使 12,,m ααα，12,,k βββ 成为一组正交基.现在来看()11n m k -=+≥的情形. 因为m n <，所以必有向量β不能被12,,m ααα线性表出， 作向量 ()111220m m mk k k αβααα+=---≠ i k R ∈ 待定． 从正交向量组的性质知()()()1,,,,i m i i i i k ααβααα+=-1,2,.i m = 于是取 ()(),,i i i i k βααα=1,2,.i m =可得()1,0,i m αα+= 1,2,.i m = 即 121,,,,m m αααα+ 为正交向量组．由归纳法假设知，对这1m +个向量构成的正交组可扩充得正交基. 于是定理得证．2）(定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基12,,n εεε都可找到一组标准正交基12,,,n ηηη,使()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,,i n = 证：(基本方法─逐个构成出满足要求的12,,,n ηηη.)首先，可取 1111ηεε=.一般地，假定已求出12,,,m ηηη是单位正交的 ，且()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=， 1,2,i m = (4)当m<n 时，因为有 ()112,,,m m L εεεε+∉ 由(4)知 1m ε+不能被12,,,m ηηη线性表出． 按定理1证明中的方法，作向量111122m m m m k k k ξεηηη++=---， ()()1,,m i i i i k εηηη+=即 ()1111,mm m m i i i ξεεηη+++==-∑ (5)则 10m ε+≠ 且 ()1,0m i εη+=， 1,2,i m = 再设 1111m m m ηξξ+++=.可知 121,,,,m m ηηηη+ 是单位正交向量组．从(4)和(5)知 121,,,,m m ηηηη+与121,,,m m εεεε+是等价向量组,因此，有()()121121,,,,,,m m L L εεεηηη++=由归纳原理，定理2得证. 注：① 由()()1212,,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,i n = 知，若 ()()1212,,,,,,i n T ηηηεεε=,则过渡矩阵()ij T t =是上三角形（即0,ij t i j =>） 且 0,ij t > 1,2,i n = ②Schmidt 正交化过程:1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A1
,
A2
,
An
, An En
（8）
练习：
1.设1 (0,1,1,0,0),2 (1,1,0,1,0),3 (4,5,0,0,1). 求L(1, 2 ,3 )的一个标准正交基.
答案：
标准正交基为：
1
1 2
(0,1,1,0,0), 2
1 10
因为 m n,
所以必有向量 不能被 1,2, ,m 线性表出，
作向量 m1 k11 k22 kmm ( 0)
ki R 待定．
证明续： 从正交向量组的性质知
(i ,m1 ) ( ,i ) ki (i ,i ), i 1, 2, , m.
证明 设有一组数 k1, k2 , , kr使得
k11 k22 krr 0 等号两边的向量分别和1作内积
k11 k22 krr , 1 0, 1 展开得 k1 1,1 k2 2,1 kr r ,1 0
L(1, 2 , , i ) L(1,2, ,i ), i 1, 2, , n
证： 基本方法─逐个构成出满足要求的 1,2 ,
首先，可取
1
1
| 1
|1
.
,n .
证明续：
一般地，假定已求出 1,2 , ,m 是单位正交的 ，且
L(1, 2 , , i ) L(1,2 , ,i ), i 1, 2, , m (4) 当 m n 时，因为有 m1 L(1, 2 , , m ), 由(4)知 m1不能被 1,2 , ,m线性表出．
于是取
ki
( ,i ) , (i ,i )
i 1,2, ,m,
可得 (i ,m1) 0 , i 1, 2, , m.
即 1,2 , ,m ,m1 为正交向量组．
由归纳法假设知，对这 m 1 个向量构成的正交组
可扩充得正交基. 于是定理得证．
(定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基 1, 2 , , n 都可找到一组标准正交基 1,2 , ,n , 使
1 x2dx 2,
1
3
(3, 3 )
1 ( x2 1 )2 dx 8 ( 4 )2,
1
3
45 3 10
(4, 4 )
1 ( x3 3 x)2 dx 8 ( 4 )2,
1
5
175 5 14
| 1 | 2,
|
3
|
3
4 10
,
| 2 |
2, 6
|
4
|
5
4 14
.
于是得 R[ x]4的标准正交基
1
|
1
1
|
1
2 ,
2
2
|
1
2
| 2
6 x
2
3
|
1
3
| 3
10 (3x2 1) 2
4
|
1
4
| 4
14 (5x3 3x) 4
正交矩阵
若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵.
(1,2 ) 1 0.
④ n维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n.
标准正交基的定义
n 维欧氏空间中，由 n个向量构成的正交向量组 称为正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注：
标准正交基举例
1. 几何空间 R3中的情况
在直角坐标系下 i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1)
1 0
i i
j j
，
i, j 1,2, ,n
（6）
由公式（3），有
(i , j ) a1i1 j a2i 2 j
aninj
1 0
i i
j j
，（7）
把A按列分块为 A A1, A2, , An
由（7）有
A1
AA
A2
有 ( ,1 )1 ( , 2 ) 2 ( , n ) n (2)
任一向量在标准正交基下的“第i个坐标”
xi
=（，
）.
i
n维欧氏空间V中标准正交基的作用
3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程
(定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能 扩充成一组正交基.
两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是 A (ai j )nn ,
即 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n ) A
或 i a1i1 a2i 2 ani n , i 1, 2, , n
由于 1,2 , ,n 是标准正交基，所以
(i , j )
49
0
0 49
E
所以A是正交矩阵.
正交矩阵的定义
设 A (aij ) Rnn , 若Ａ满足 AT A E , 则称A为正交矩阵.
6 2 3
例
验证矩阵
A
1 7
3 2
6 3
2
是正交矩阵。
6
证令
（第一列）
（第二列）
（第三列） （两两正交）
§9.2 标准正交基
一、正交向量组 二、标准正交基 三、正交矩阵
正交向量组的定义
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1,2, ,m V ,
如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注意：
① 若 0, 则 是正交向量组.
② 正交组
无关组.
若向量组 1,2 , ,r 是正交向量组,且不含零向量,则 1,2 , ,r 线性无关.
1
(3, 2 )
1 x3dx 0,
1
3
3
2 3
2
1
02
x2
1 3
4
4
(4 , 1) (1 , 1 )
1
(4 , 2 ) (2,2)
2
(4 , 3 ) (3,3)
3
(4, 1)
1 x3dx 0,
1
(4, 2 )
再设
m1
|
1
m1
| m1 .
可知 1,2 , ,m ,m1 是单位正交向量组．
从(4)和(5)知 1,2 , ,m ,m1 与 1, 2 , , m , m1
因此，有 是等价向量组，
L(1, 2 , , m1 ) L(1,2 , ,m1 )
3
3
(3 (1
, ,
1 1
) )
1
( (
3 2
, ,
2 2
) )
2
(
1 , 1 , 1 ,1) 333
4
4
(4 , 1) (1 , 1 )
1
(4 , 2 ) (2,2)
2
(4 , 3 ) (3,3)
3
(1,1,1,1)
再单位化
1
|
1
1
|
1
(
1, 2
1 ,0,0) 2
2
|
1
2
|
2
(
1 , 6
1, 6
2 ,0) 6
3
|
1
3
|
3
(
1, 12
1, 12
1, 12
3) 12
4
1
| 4
| 4
(1, 1, 1,1) 2 2 22
1,2 ,3 ,4 即为所求的标准正交组．
(2,1,1,2,0), 3
1 (7,6,6,13,5). 315
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
3 (1,0,0,1) 4 (1, 1, 1,1)
变成单位正交的向量组.
正交化
解：令 1 1 (1,1,0,0)
2
2
( 2 (1
, ,
1 1
) )
1
( 1 , 1 ,1,0) 22
（单位向量）
可见A的列向量构成标准正交组，因此A是正交矩阵。
练习：判断下列矩阵是否为正交矩阵
1
1 2
1
3
A
1 2
1
1 2
1 3
1 2
1
1 8 4
B
1 9
8 4
1 4
4
7
非单位向量
（第一列和第二列不正交）
由归纳原理，定理2得证.
注：
① 由 L(1, 2 , , i ) L(1,2, ,i ), i 1, 2, , n 知，若 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n )T ,
则过渡矩阵 T (tij ) 是上三角形（即 tij 0, i j ） 且 tii 0, i 1, 2, , n
1,2, r是正交向量组，所以j 1时，1, j =0
k1 1,1 =0 k1 1 2 0 k1 0
同理可得k2 k3 = =kr =0
1,2 , r线性无关！
③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．