13.二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质课件

（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
2 2
开口向上 对称轴是x=-3 顶点是（-3，5） 开口向上 对称轴是x=3 顶点是（3，7）
开口向下 对称轴是x=1 顶点是（1，-2） 开口向下 对称轴是x=-2 顶点是（-2，-6）
2 2 （3）y （ 4 x 3） 7；（4）y （ 5 x 2） 6.
y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
如何平移：
3 y ( x 1) 2 4
3 2 y ( x 1) 2 4
3 y ( x 3) 2 3 4
3 y ( x 5) 2 2 4
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
1 2 y ( x 1 ) 1. 再向左平移1个单位，就得到抛物线 2
1 y x2 , 2
1 y ( x 1) 2 1 2
还有其他平 移方法吗？
1 2 y x 1, 2
1 (2)抛物线 y ( x 1) 2 1 2 1 y x2 2
y=a(x-h)2+k 的图象和性质
石门中学
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。 k>0 上移 y=ax2 k<0 下移 左加 y=ax2 右减 y=a(x-h)2 y=ax2+k
1 2 y ( x 1 ) 1 的图像.指出它的开口方向、 例3.画出函数 2 顶点与对称轴、
解:
x
各种形式的二次函数的关系
左 个 右 单 平 位 移
y = a( x - h )2 + k
上 个 下 单 平 位 移
|k|
y = ax2 + k
上下平移
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同，位置不同。
|h|
y = a(x - h )2
左右平移 |h|个单位
|k|个单位
位置 ____ 。把抛物线y ax 2向上（下）向左（右） 平移，可以得到抛物线y a( x h) 2 k。
1 2 y ( x 2 ) 4? 怎样移动可以得到抛物线 2
不同
抛物线y a( x h) k有如下特点： 向上 向下 （1）当a 0时，开口____ ；当a 0，开口___ ； x=h （2）对称轴是直线____； （h，k） （3）顶点坐标是______ 。
平移方法2:
x=－1
1 1 2 向左平移 1 2 2 向下平移 y ( x 1 ) 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1个单位
抛物线
1 2 y x 2
怎样移动就可以得到抛物线
1 y ( x 2) 2 4 ？ 2
二次函数 的平移 一般地，抛物线y a( x h) 2 k与y ax 2形状 _____ 相同 ，
1 2 y x 1, 2
1 1 2 2 y ( x 1 ) 1？ y x 抛物线 怎样移动就可以得到抛物线 2 2
1 1 2 2 y ( x 1 ) 1？ y x 抛物线 怎样移动就可以得到抛物线 2 2 1 2 1 2 y x y x 1, 把抛物线 2 先向下平移1个单位，得到抛物线 2
先列表
… -4 -5.5 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-3 -1.5
-1 -1.5
-3 -5.5 …
再描点
后连线.
解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=－1
y
3 A 2
B(1，3)
3 ∴ 解得: a=－ 4 1 因此抛物线的解析式为: 3 2＋3 (0≤x≤3) y= －(x － 1) O 4 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
1
2
C(3,0) x 3
一个运动员推铅球，铅球出手点在A处， 出手时球离地面 1 2 ｍ
3
，铅球运行所经
过的路线是抛物线，已知铅球在运动员前 4ｍ处达到最高点，最高点高为3ｍ，你 能算出该运动员的成绩吗？
2 抛物线y=a(x－h) +k有如下
特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1 , －2 )
y = ax2
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大 .
h，k
3米
2 1 3
4米
一场篮球赛中,小明跳起投篮,已知球出手时离地面
高 20 米,与篮圈中心的水平距离为8米,当球出
手后水平距离为4米时到达最大高度4米,设篮球
9
运行的轨迹为抛物线,篮圈中心距离地面3米。
问此球能否投中？
4米
20 9
3米
4米 8米
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度 为多少时能将篮球投入篮圈?
直线x h
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 .
当x h时, 最小值为 k
当x h时，最大值为 k
2
(７，３） （8，3）
●
0
1Байду номын сангаас
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
X
-2
若假设出手的角度和力度都不变,
则如何才能使此球命中?
（1）跳得高一点
（2）向前平移一点
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0）， 则a= 。 （2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经 过点（2，3），求它的解析式。 （3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平 移2个单位得到的抛物线是 。 （4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 。
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
向下
向上 向下
直线x=3
直线x=2
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
y=－5(2－x)2－6
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？。
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直 安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水 平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落 地处离池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 0=a(3－1)2＋3
2
观察二次函数 在同一直角坐标系中的图象，思考这三条抛物线 有什么关系？
1 1 2 1 2 2 y ( x 1 ) 1 y x , y x 1, 2 2 2
形状相同， 开口方向相同 . 顶点不同， 对称轴不同.
1 y ( x 1) 2 1 2
1 2 y x , 2
2
平移的方向、距离要根据_____的值来决定。 h 、k
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
平移方法: y=ax2向左(右)平移 y=a(x－h)2 向上(下)平y=a(x－h)2+k |h|个单位 移|k|个单位 y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x－h)2+k 移|h|个单位 移|k|个单位
1 y
再描点、连线 (1)抛物线
1 y ( x 1) 2 1 2
的开口方向、对称轴、顶点? 1 2 抛物线 y ( x 1) 1 2 的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y 1 ( x 1) 2 1
6
y
（4，4）
4
20 0, 9 2
（8，3） 20 8, 9
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
x
-2
在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
6
y
（4，4） （5，4）
4
20 0, 9
有什么关系?