初一数学竞赛辅导 不等式 应用篇 2
不等式性质与应用
不等式性质与应用不等式作为数学中一种重要的关系式，在数学领域具有广泛的应用。
通过研究不等式的性质以及应用，可以帮助我们理解数值关系并解决实际问题。
本文将介绍不等式的基本性质，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性不等式具有传递性，即若对于任意的实数 a、b 和 c，若a ≤ b 且b ≤ c，则有a ≤ c。
这个性质在不等式的推导和证明过程中起着重要的作用。
2. 不等式的加减性若对于任意的实数 a、b 和 c，若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。
若a ≥ b，则 a - c ≥ b - c。
这个性质允许我们在不等式的两侧同时加减相同的数，保持不等式的方向性。
3. 不等式的乘除性若对于任意的实数 a、b 和 c（其中 c > 0），若a ≤ b，则ac ≤ bc。
若a ≥ b，则ac ≥ bc。
若a ≤ b 且 c < 0，则ac ≥ bc。
若a ≥ b 且 c < 0，则ac ≤ bc。
这个性质允许我们在不等式的两侧同时乘除相同的正数，并保持不等式的方向性。
二、不等式的应用1. 不等式在数学问题中的应用不等式在数学问题中起到了重要的作用，尤其在解方程和证明中经常出现。
通过合理运用不等式的性质，我们可以推导出问题的解析解，或者通过大小关系找到某个变量的取值范围。
同时，不等式也是数学竞赛中常见的考点，解题技巧更是需要灵活运用。
2. 不等式在实际问题中的应用不等式在解决实际问题中也扮演着关键角色。
以线性规划为例，通过建立合适的线性不等式模型，可以帮助决策者在资源有限的情况下做出最优决策，例如生产计划、配送路线等。
此外，不等式还能应用于经济学、物理学等领域，解决有关优化、约束条件等方面的问题。
三、不等式的拓展应用1. 不等式的推广除了简单的线性不等式外，还存在多项式不等式、指数不等式、对数不等式等更为复杂的类型。
这些不等式的性质和应用要求我们有更加深入的数学理解和技巧，才能处理更加复杂的问题。
不等式的应用解题方法与技巧
不等式的应用解题方法与技巧解不等式的问题需要掌握一些基本的数学知识，以下是一些解决不等式问题的方法和技巧：
1. 熟悉基本概念：理解不等式的基本定义，知道什么是大于、小于、等于以及他们的符号表示。
此外，还要了解绝对值、平方根等基本数学概念。
2. 掌握求解步骤：一般情况下，求解一个不等式需要先移项，再化简，最后确定解集。
在移项时要注意变号，在化简时要灵活运用乘法分配律等基础知识。
3. 注意系数正负：在移项过程中，如果某个项的系数为负，那么这个项就需要改变符号。
因此，注意每个项的系数是正还是负是非常重要的。
4. 能够识别图形：有时不等式的问题会转化为几何问题，这时能够识别直角坐标系中的直线、圆、抛物线等各种图形是非常有用的。
5. 利用特殊值检验：当无法直接求出解集时，可以尝试使用特殊值来检验答案是否正确。
比如，对于形如ax + b > 0的不等式，可以尝试取x = -b/a看看是否满足不等式。
6. 不断练习：解决不等式问题需要一定的技巧和经验，多做题目可以帮助你更好地理解和熟练这些技巧。
不等式的解法和应用
不等式的解法和应用不等式是数学中常见的一种数值关系表示方式，用于描述数值之间的大小关系。
解不等式是求出使得不等式成立的数值范围，而应用不等式则是将不等式的概念和解法应用到实际问题中。
本文将介绍不等式的解法和其在实际应用中的具体应用案例。
一、不等式的解法不等式的解法主要有两种：图像法和代数法。
1. 图像法图像法是一种直观的解不等式的方法，通过在数轴上绘制不等式所代表的图像，从图像中读出不等式的解集。
以一元不等式为例，我们可以根据不等式的符号确定数轴上的标记方向，并在数轴上标出不等式中的系数和常数，最终找出数轴上与不等式相符的区间。
当不等式为一次不等式时，这种图像法也可以用来解决。
2. 代数法代数法是一种以代数运算为基础的解不等式方法。
根据不等式的性质和规律，通过代数运算，推导出不等式的解集。
对于一元线性不等式，我们可以通过移项、合并同类项等代数运算，得到解的范围。
对于一元二次不等式，我们可以通过构建不等式的二次函数图像，或者分析二次函数的性质，进而确定不等式的解集。
对于更高次的不等式，也可以利用代数运算的性质进行推导。
二、不等式的应用不等式不仅仅是数学领域中的概念，也被广泛应用于实际问题中。
以下是一些常见的应用案例：1. 经济学中的不等式应用经济学中的供求关系、利润最大化等问题，往往可以用不等式来描述和求解。
比如，假设某公司每个产品的生产成本为C，售价为P，销售数量为x，那么该公司的总利润可以表示为P*x-C*x的形式。
我们可以通过求解不等式P*x-C*x>0，来确定该公司的盈利范围以及最佳销售数量。
2. 工程中的不等式应用在工程设计中，不等式常用于描述和限制各种参数或变量的取值范围。
比如，在建筑工程中，柱子的承重能力应该大于或等于楼层的总负荷，可以用不等式来表示。
通过求解这个不等式，我们可以确定柱子的最小断面积或最小截面尺寸。
3. 统计学中的不等式应用在统计学中，不等式可以用来描述概率分布、置信区间等概念。
不等式求解初中数学知识点之不等式的解法与应用
不等式求解初中数学知识点之不等式的解法与应用不等式是数学中重要的内容之一，它在实际问题中的应用非常广泛。
在初中数学学习中，我们需要掌握不等式的解法和应用，以便能够准确地解决相关问题。
本文将介绍不等式的解法和应用，并通过实例来加深理解。
一、不等式的基本性质在学习不等式的解法之前，我们需要先了解不等式的基本性质。
不等式与等式相似，但具有一些特殊的性质。
首先，不等式具有传递性。
即如果有a<b，b<c，则可以推出a<c。
这个性质在不等式的推导中经常使用，可以帮助我们得到更精确的结果。
其次，不等式有相等的情况。
对于不等式a≤b，如果a和b相等，那么不等式也成立。
而对于严格不等式a<b，当a和b相等时，不等式不成立。
最后，不等式可以进行加减乘除的运算。
如果对不等式的两边同时加减一个相同的数，不等式的成立与否不受影响。
如果对不等式的两边同时乘除一个正数，不等式的成立与否也不受影响。
但是如果乘除一个负数，不等式的方向会发生改变。
二、一元不等式的解法1. 转化为相等关系求解当不等式中只有一个未知数，且可以通过转化为相等关系来求解时，我们可以采用这种方法。
主要有以下几个步骤：(1) 对不等式进行等式变形，将不等式转换成相等关系。
(2) 根据等式的解法，求得相等关系的解。
(3) 根据不等式的性质，确定不等式解的范围。
举例来说，对于不等式3x - 5 > 7，我们可以将它转化为3x - 5 = 7，解得x = 4，然后根据不等式的性质可知解为x > 4。
2. 图解法当不等式中只有一个未知数，且无法通过转化为相等关系来求解时，我们可以采用图解法。
主要有以下几个步骤：(1) 画出方程的解集的数轴图。
(2) 在数轴图上标明不等式中的相关点，如不等式的左边界、右边界以及不等号方向。
(3) 根据数轴图上标出的点，确定不等式解的范围。
举例来说，对于不等式2x + 3 ≤ 9，我们可以先画出数轴图，然后标出等式2x + 3 = 9的解x = 3，再根据不等号方向确定解的范围为x ≤ 3。
全国初中数学竞赛辅导(初2)第23讲 几何不等式
第 十 讲 几何 等式平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面 在许多情形 会呈现 等的关系．由于 些 等关系出现在几何问题中 故 之 几何 等式．在解决 类问题时 们 常要用到一些教科书中已学过的基本定理 本讲的 要目的是希望大家 确运用 些基本定理 通过几何、 角、代数等解题方法去解决几何 等式问题． 些问题难度较大 在解题中除了运用 等式的性质和已 证明过的 等式外 需考虑几何图形的特点和性质．几何 等式就 形式来说 外乎分 线段 等式、角 等式以及面 等式 类 在解题中 仅要用到一些有关的几何 等式的基本定理 需用到一些图形的面 公式． 面先给出几个基本定理．定理1 在 角形中 任两边之和大于第 边 任两边之差小于第 边．定理2 一个 角形中 大边对大角 小边对小角 反之亦然．定理3 在两边对应相等的两个 角形中 第 边大的 所对的角 大 反之亦然．定理4 角形内任一点到两顶点距离之和 小于另一顶点到 两顶点距离之和．定理5自直线l外一点P引直线l的斜线 射影较长的斜线 较长 反之 斜线长的射影 较长．说明 如图2-135所示．PA PB是斜线 HA和HB分别是PA和PB在l 的射影 若HA HB 则PA PB 若PA PB 则HA HB． 实由勾股定理知PA2-HA2称PH2称PB2-HB2所以PA2-PB2称HA2-HB2．从而定理容易得证．定理6 在△ABC中 点P是边BC 任意一点 则有PA max｛AB AC｝当点P A或B时等号 立．说明 max｛AB AC｝表示AB AC中的较大者 如图2-136所示 若P 在线段BH 则由于PH BH 由 面的定理5知PA BA 从而PA max｛AB AC｝．理 若P在线段HC 样有PA max｛AB AC｝．例1 在锐角 角形ABC中 AB AC A≤ 中线 P △A≤C内一点 证明 PB PC(图2-137)．证 在△A≤B △A≤C中 A≤是公共边 B≤称≤C 且AB AC 由定理3知 ∠A≤B ∠A≤C 所以∠A≤C 90°．过点P作PH⊥BC 垂足 H 则H必定在线段B≤的延长线 ．如果H在线段≤C内部 则BH B≤称≤C HC．如果H在线段≤C的延长线 显然BH HC 所以PB PC．例2 已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．(1)求证a b c(2)若△ABC 角形 且边长 1 求证PA+PB PC 2．证 (1)由 角形两边之和大于第 边得PA PB c PB PC a PC PA b．把 个 等式相加 再两边除以2 便得又由定理4可知PA PB a b PB PC b cPC+PA c a．把它们相加 再除以2 便得PA PB PC a b c．所以(2)过P作DE∥BC交 角形ABC的边AB AC于D E 如图2-138所示．于是PA max｛AD AE｝ ADPB BD DP PC PE EC所以PA PB PC AD BD DP PE EC称AB AE EC称2．例3如图2-139．在线段BC 侧作两个 角形ABC和DBC 使得AB称AC DB DC 且AB AC称DB DC．若AC BD相交于E 求证 AE DE．证 在DB 取点F 使DF称AC 并连接AF和AD．由已知2DB DB+DC称AB+AC称2AC所以 DB AC．由于DB DC称AB AC称2AC 所以DC BF称AC称AB．在△ABF中AF AB-BF称DC．在△ADC和△ADF中AD称AD AC称DF AF CD．由定理3 ∠1 ∠2 所以AE DE．例4 设G是 方形ABCD的边DC 一点 连结AG并延长交BC延长线于K 求证分析 在 等式两边的线段数 的情况 一般是设法构造 所边的 角形．证 如图2-140 在GK 取一点≤ 使G≤称≤K 则在Rt△GCK中 C≤是GK边 的中线 所以∠GC≤称∠≤GC．而∠ACG称45° ∠≤GC ∠ACG 于是∠≤GC 45°所以∠AC≤称∠ACG ∠GC≤ 90°．由于在△AC≤中∠AC≤ ∠A≤C 所以A≤ AC．故例5如图2-141．设BC是△ABC的最长边 在 角形内部任选一点O AO BO CO分别交对边于A′ B′ C′．证明(1)OA′ OB′ OC′ BC(2)OA′ OB′+OC′ max｛AA′ BB′ CC′｝．证 (1)过点O作O下 O同分别平行于边AB AC 交边BC于下 同点 再过下 同分别作下S 同T平行于CC′和BB′交AB AC于S T．由于△O下同∽△ABC 所以下同是△O下同的最大边 所以OA′ max｛O下 O同｝ 下同．又△B下S∽△BCC′ 而BC是△BCC′中的最大边 从而B下 是△B下S 中的最大边 而且S下OC′是平行四边形 所以B下 下S称OC′．理C同 OB′．所以OA′ OB′ OC′ 下同 B下 C同称BC．所以OA′ OB′+OC′称x·AA′+y·BB′ z·CC′(x+y+z)max｛AA′ BB′ CC′｝称max｛AA′ BB′ CC′｝面 们举几个 角有关的 等式问题．例6 在△ABC中 D是中线A≤ 一点 若∠DCB ∠DBC 求证 ∠ACB ∠ABC(图2-142)．证 在△BCD中 因 ∠DCB ∠DBC 所以BD CD．在△D≤B △D≤C中 D≤ 公共边 B≤称≤C 并且BD CD 由定理3知 ∠D≤B ∠D≤C．在△A≤B △A≤C中 A≤是公共边 B≤称≤C 且∠A≤B ∠A≤C 由定理3知 AB AC 所以∠ACB ∠ABC．说明 在证明角的 等式时 常常把角的 等式转换 边的 等式．证 由于AC AB 所以∠B ∠C．作∠ABD称∠C 如图2即证BD∠CD．因 △BAD∽△CAB即 BC 2BD．又 CD BC-BD所以BC CD 2BD BC-BD所以 CD BD．从而命题得证．例8在锐角△ABC中 最大的高线AH等于中线B≤ 求证 ∠B 60°(图2-144)．证 作≤H1⊥BC于H1 由于≤是中点 所以于是在Rt△≤H1B中∠≤BH1称30°．延长B≤至≥ 使得≤≥称B≤ 则ABC≥ 平行四边形．因 AH 最ABC中的最短边 所以A≥称BC AB从而∠AB≥ ∠A≥B称∠≤BC称30°∠B称∠AB≤+∠≤BC 60°．面是一个非常著 的问题——费马点问题．例9 如图2-145．设O △ABC内一点 且∠AOB称∠BOC称∠COA称120°P 任意一点( 是O)．求证PA PB+PC OA+OB+OC．证 过△ABC的顶点A B C分别引OA OB OC的垂线 设 条垂线的交点 A1 B1 C1(如图2-145) 考虑四边形AOBC1．因∠OAC1称∠OBC1称90° ∠AOB称120°所以∠C1称60°． 理 ∠A1称∠B1称60°．所以△A1B1C1 角形．设P到△A1B1C1 边B1C1 C1A1 A1B1的距离分别 ha hb hc 且△A1B1C1的边长 a 高 h．由等式S△A1B1C1称S△PB1C1+S△PC1A1 S△PA1B1知所以 h称h a h b h c．说明 △A1B1C1内任一点P到 边的距离和等于△A1B1C1的高h 是一个定值 所以OA OB OC称h称定值．显然 PA PB PC P到△A1B1C1 边距离和 所以PA PB PC h称OA OB OC．就是 们所要证的结论．由 个结论可知O点 有如 性质 它到 角形 个顶点的距离和小于 他点到 角形顶点的距离和 个点叫费马点．练 十1．设D是△ABC中边BC 一点 求证 AD 大于△ABC中的最大边．2．A≤是△ABC的中线 求证3．已知△ABC的边BC 有两点D E 且BD称CE 求证 AB AC AD AE．4．设△ABC中 ∠C ∠B BD CE分别 ∠B ∠C的平分线 求证 BD CE．5．在△ABC中 BE和CF是高 AB AC 求证AB+CF AC BE．6．在△ABC中 AB AC AD 高 P AD 的任意一点 求证PB-PC AB-AC．7．在等腰△ABC中 AB称AC．(1)若≤是BC的中点 过≤任作一直线交AB AC(或 延长线)于DE 求证 2AB AD+AE．(2)若P是△ABC内一点 且PB PC 求证 ∠APB ∠APC．。
初中数学竞赛辅导2篇
初中数学竞赛辅导初中数学竞赛辅导第一篇：整数的等式与不等式整数的等式与不等式是数学竞赛中常见的题型，掌握了解决这类题目的方法和技巧，对于提高数学竞赛的成绩非常有帮助。
接下来，我们将介绍一些常见的整数等式与不等式的解法。
一、整数的等式对于整数的等式，学生们需要根据题目的要求将其转化为相应的算式，然后进行解题。
以下是两个常见的例子：例子1：一个整数减去25等于150，求这个整数。
解法：设这个整数为x，根据题意可以得到以下等式：x - 25 = 150将等式两边都加上25，得到：x = 150 + 25 = 175所以，这个整数是175。
例子2：一个整数加上20等于-100，求这个整数。
解法：设这个整数为y，根据题意可以得到以下等式：y + 20 = -100将等式两边都减去20，得到：y = -100 - 20 = -120所以，这个整数是-120。
二、整数的不等式对于整数的不等式，学生们需要通过观察不等式的形式，进行代数运算并求解。
以下是两个常见的例子：例子1：一个整数减去5大于20，求这个整数。
解法：设这个整数为x，根据题意可以得到以下不等式：x - 5 > 20将不等式两边都加上5，得到：x > 25所以，这个整数是大于25的任意整数。
例子2：一个整数加上8小于15，求这个整数。
解法：设这个整数为y，根据题意可以得到以下不等式：y + 8 < 15将不等式两边都减去8，得到：y < 7所以，这个整数是小于7的任意整数。
以上是关于整数的等式与不等式的解题方法，希望对同学们在数学竞赛中的备考有所帮助。
第二篇：平面图形的性质与计算平面图形的性质与计算是数学竞赛中常见的考点，了解平面图形的性质以及掌握计算相关的方法和技巧，对于解决平面几何题目非常重要。
以下是一些常见的平面图形的性质与计算的内容。
一、平面图形的性质1. 直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
初一数学竞赛辅导 不等式 应用篇 2
的算术平方根是（）A：9B：±9C：±3D：32、已知4×8n ×16n =29则n =3、当关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=--=+m y x m y x 432522的解x 为正数，y 为负数，则求此时m 的取值范围？（10分）4、（8分）已知21a +的平方根是±3，522a b +-的算术平方根是4，求34a b -的平方根16、若.52=a 则_____2_____,222==+a a5、若y =++1，则20082008y x +=；6、比较大小关系：（填＞或＜）751003____2，1____1--+-a a 7、x y 21-=中自变量x 的取值范围是（）A、x≤21且x≠0B、x 21->且x≠0C、x≠0D、x 21<且x≠08．计算：()6133925⨯+22121)2581(-9．02131()33(-+-10.已知2599.123=,7144.2203=，则______________02.03=11、若a a =+2012-a -2011，试求22011-a 的值。
（提示：找出题中的隐含条件）12特征解问题：解题步骤：把原式中的要求的量（以下简记为m )当作已知数，去解原式——→得到原式的解（含m )——→根据解的特征列出式子（关于m 的式子)——→解出m 的值。
例：已知12a +≥+x x 的解集为1x ≤，求a 的值。
解：解不等式12a +≥+x x ······把a 当作已知数，去解原式得1x -≤a ······得到原式的解（含a )则11-a =······根据解的特征列出式子解得2a =······解出a 的值13、不等式组的解集是x ＜m －2，则m 的范围应为____。
初一数学竞赛系列讲座(10)应用题(二)
初一数学竞赛系列讲座(10)应用题（二）一、知识要点1、工程类问题工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系．它们满足如下基本关系式：工作效率⨯工作时间＝工作总量解工程问题时常将工作总量当作整体“1”2、溶液类问题溶质：能溶解到溶剂中的物质．如盐、糖、酒精等．溶剂：能溶解溶质的物质．如水等．溶液：溶质和溶剂的混合体．如盐水、糖水、酒精溶液等．溶液的浓度：指一定量溶液中所含溶质的量，经常用百分数表示．浓度的基本算式是：%100⨯=溶液量溶质量浓度 二、例题精讲例1江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台．(1999年全国初中数学联合竞赛试题)解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为b 立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c 立方米，由条件可得：⎩⎨⎧⨯=+⨯=+c b a c b a 1641640240 解得⎪⎩⎪⎨⎧==c b c a 323160 如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机的台数为：61032031601010=+=+cc c c b a 评注：本题设了三个未知数a 、b 、c ，但只列出两个方程．实质上c 是个辅助未知数，在解方程时把c 视为常数，解出a ，b (用c 表示出来)，然后再代入求出所要求的结果．例2 甲、乙、丙三队要完成A 、B 两项工程．B 工程的工作量比A 工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A 工程所需的时间分别是20天、24天、30天．为了共同完成这两项工程，先派甲队做A 工程，乙、丙二队做B 工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A 工程．问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试题)解：设乙、丙二队合作了x 天，丙队与甲队合作了y 天．将工程A 视为1，则工程B 可视为1+25%＝5/4，由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+=+=++=++150596053 452430241203020y x y x y x x y y x 去分母得，由此可解得x ＝15 答：乙、丙二队合作了15天评注：在工程问题中，如果工作总量不是一个具体的量，常常将工作总量视为1．例3 牧场上的草长得一样地密，一样地快．70已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就可吃60天．如果要吃96天，问牛数该是多少？解：设牧场上原来的草的问题是1，每天长出来的草是x ，则24天共有草1+24x ，60天共有草1+60x ，所以每头牛每天吃60306012470241⨯+=⨯+x x 去分母得: 30(1+24x )＝28(1+60x ) ∴960x ＝2∴x ＝160012470241 4801=⨯+x 则每头牛每天吃，(头) 96天吃完，牛应当是2016001964801961=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+ 例4 某生产小组展开劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过了200只．后来改进技术，每人一天又多做27个零件．这样他们4个人一天所做的零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件．问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？ 解：设劳动竞赛前每人一天做x 个零件，由题意得⎩⎨⎧+>++>+10)8(x 27)104(x 20010)(x 8 解得 15<x <17 因为 x 是整数，所以x ＝16，而(16+37)÷16≈3.3故改进技术后的生产效率约是劳动竞赛前的3.3倍．评注：本题所列的是不等式组，不能列成方程．例5 某中学实验室需要含碘2%的碘酒，现有含碘15%的碘酒350克，问应加纯酒精多少克？ 分析：配比前后碘的含量相同．解：设稀释时需加纯酒精x 克，则稀释后有碘酒(350+x )克，由题意得：(350+x )⋅2%＝350⨯15%解之得 x ＝2275答：应加纯酒精2275克．评注：浓度配比问题的相等关系一般是配比前后未发生改变的量，或溶质量不变，或溶剂量不变．所列方程的一般形式是各分量＝总量．例6在浓度为x %的盐水中加入一定重量的水，则变成浓度为20%的新溶液，在此新溶液中再加入与前次所加入的水重量相等的盐，溶液浓度变成30%，求x解：设浓度为x %的盐水为a 千克，加水b 千克，则由题意得()()()()[]()⎩⎨⎧-⋅++=-+⋅+=⋅(2) %301%201(1) %20%b b a b a b a x a 由(2)得 8 (a +b )＝7 (a +2b ) 即a ＝6b 代入(1)得 6bx ＝140b ∴3123=x答：x 为3123例7 从两个重量分别为7千克和3千克，且含铜百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两块合金含铜百分数相等，求所切下的合金的重量是多少？解：设重量为7千克的合金的含铜百分数为x ，重量为3千克的合金的含铜百分数为y ， 切下的合金的重量是z 千克，由题意得：()()7733y z x z y z x z ⋅+-=-+⋅ ∴(21-10z) x ＝(21-10z) y ∴(21-10z) (x -y )＝0∵x ≠y ∴21-10z ＝0 ∴z ＝2.1答：所切下的合金的重量是2.1千克.例8 甲、乙、丙三个容器中盛有含盐比例不同的盐水．若从甲、乙、丙中各取出重量相等的盐水，将它们混合后就成为含盐10%的盐水；若从甲和乙中按重量之比为2：3来取，混合后就成为含盐7%的盐水；若从乙和丙中按重量之比为3：2来取，混合后就成为含盐9%的盐水．求甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数．分析：题设中有三种混合方式，但每种混合方式从各个容器中取出的盐水的重量都是未知的，我们可以引进辅助未知数，将这些量分别用字母表示．解：设甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为x %、y %、z%第一次混合从甲、乙、丙三个容器中各取出a 克盐水，则有a ⋅ x %+ a ⋅ y %+ a ⋅ z%＝3a ⨯10%从甲和乙中按重量之比为2：3来取盐水时，设从甲中取盐水2m 克，从乙中取盐水3m 克，则有 2m ⋅ x %+ 3m ⋅ y %＝(2m +3m )⨯7%从乙和丙中按重量之比为3：2来取盐水时，设从乙中取盐水3n 克，从丙中取盐水2n 克，则有 3n ⋅ y %+ 2n ⋅ z%＝(3n +2n )⨯9%将上面三式消去辅助未知数得：⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧====+=+=++15510 4523353230z y x z y y x z y x 解得答：甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为10%、5%、15%评注：本题中我们假设的未知数a 、m 、n 不是题目所要求的，而是为了便于列方程而设的，这种设元方法叫做辅助未知数法，辅助未知数在求解过程中将被消去．例9 组装甲、乙、丙3种产品，需用A 、B 、C3种零件．每件甲需用A 、B 各2个；每件乙需用B 、C 各1个；每件丙需用2个A 和1个C ．用库存的A 、B 、C3种零件，如组装成p 件甲产品、q 件乙产品、r 件丙产品，则剩下2个A 和1个B ，C 恰好用完．求证：无论怎样改变生产甲、乙、丙的件数，也不能把库存的A 、B 、C3种零件都恰好用完．（1981年全国高中数学竞赛题）解：由已知，库存的A 、B 、C3种零件的个数分别为：A 种2p+2r+2件，B 种2p+q+1件，C 种q+r 件．假设生产甲x 件，乙y 件，丙z 件恰好将3种零件都用完，则由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+++=+)3( )2( 122)1( 22222 r q z y q p y x r p z x (1)+(3)-(2)得：3z ＝3r+1 它的左边是3的倍数，而右边却是3的倍数加1，矛盾，不成立，所以不能把库存的A 、B 、C3种零件都恰好用完．评注：本题列出方程组后，没有解出x 、y 、z ，而导出矛盾，而是巧妙地通过方程的加减得出矛盾式3z ＝3r+1，从而得出结论．所以有些数学问题应从整体上来把握解法．三、巩固练习一、选择题1、有酒精a 升和水b 升，将它们混合后取出x 升，这x 升混合液中含水( ) 升A 、b a b +B 、b a a +C 、b a ax +D 、ba bx + 2、一件工作，甲、乙、丙合作需7天半完成；甲、丙、戊合作需5天完成；甲、丙、丁合作需6天完成；乙、丁、戊合作需4天完成，那么这5人合作，( )天可以完成这件工作．A 、3天B 、4天C 、5天D 、7天3、某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了20％，若八月份产品要达到六月份的产量，则八月份的产量比七月份要增加（ ）A 、20％B 、25％C 、80％D 、75％4、两个相同的瓶子中装满了酒精溶液，第一个瓶子里的酒精与水的体积之比为a :1，第一个瓶子为b :1，现将两瓶溶液全部混和在一起，则混和溶液中酒精与水的体积之比是( ) (安徽省初中数学联赛试题)A 、2b a +B 、12++b a abC 、22++++b a ab b aD 、24++++b a ab b a 5、某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且完成该任务后才能执行下一项任务，现有U ，V ，W 的时间分别为10秒，2分和15分，一项任务的相对等待时间为提交任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比，则下面四种执行顺序中使三项任务相对等候时间之和最小的执行是（ ）．（A ）U ，V ，W ． （B ）V ，W ，U（C ）W ，U ，V ． （D ）U ，W ，V6、咖啡A 与咖啡B 按x :y (以重量计)的比例混合．A 的原价为每千克50元，B 的原价为每千克40元，如果A 的价格增加10%，B 的价格减少15%，那么混合咖啡的价格保持不变．则x :y 为( )A 、5：6B 、6：5C 、5：4D 、4：5二、填空题7、因工作需要，对甲、乙、丙三个小组的人员进行三次调整，第一次丙组不动，甲、乙两组中的一组调出7人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调出7人给另一组；第三次甲组不动，乙、丙两组中的一组调出7人给另一组，三次调整后，甲组有5人，乙组有13人，丙组有6人．则各组原有人数为 ．8、A 、B 、C 、D 、E 五个人干一项工作，若A 、B 、C 、D 四人一起干，8天可完工；若B 、C 、D 、E 四人一起干，6天可完工；若A 、E 二人干，12天可完工，则A 一个人单独干 天可完工．9、某车间共有86名工人，已知每人平均每天可加工甲种部件15个，或乙种部件12个，或丙种部件9个，要使加工后的部件按3个甲种部件，2个乙种部件和1个丙种部件配套，则应安排 人加工甲种部件， 人加工乙种部件， 人加工丙种部件．10、容积为V 的容器盛酒精溶液，第一次倒出32后，用水加满．第二次倒出31后，再用水加满，这时它的浓度为20%，则原来酒精溶液的浓度为 ．11、若干克含盐4%的盐水蒸去一些水分后变成了含盐为10%的盐水，再加进300克含盐4%的盐水，混合后变成了含盐6.4%的盐水，则最初有4%的盐水 克．12、一种灭虫药粉40千克，含药率是15%，现在要用含药率较高的同样的灭虫药粉50千克和它混合，使混合后的含药率在25%与30%之间(不包括25%和30%)，则所用药粉含药率的范围是三、解答题13、甲、乙两部抽水机共同灌溉一块稻田，5小时可以完成任务的31．已知甲抽水机3小时的抽水量等于乙抽水机5小时的抽水量，甲、乙抽水机单独灌溉这块稻田各需几小时？14、有一水库，在单位时间内有一定量的水流进，同时也向外放水，按现在的进出水量，水库中的水可使用40天，因最近在水源的地方降雨，流入水库的水量增加20%，如果放水量增加10%，则仍可使用40天，如果按原来的放水量放水，可使用多少天？15、某作业组要在规定的时间内恰好完成一项工程，如果减少两名工人，则需增加4天恰好完成，如果增加3人，则可提前2天完成，且略显轻松，又如果增加4人，则可提前3天完成，且略显轻松．问这个作业组原有多少人，规定完成工作时间是多少天？16、现有男、女工人共22人，其中全体男工和全体女工在相同的时间内可完成同样的工作；若将男工人数与女工人数对调一下，则全体男工25天能完成的工作，全体女工要36天才能完成，问男、女工人各多少人．17、甲、乙两容器内都盛有酒精，甲有v 1千克,乙有v 2千克．甲中纯酒精与水(重量)之比为m 1:n 1，乙中纯酒精与水之比为m 2:n 2，问将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？(1979年高考理科试题)18、已知：青铜含有80%的铜、4%锌和16%锡，而黄铜是铜和锌的合金．今有黄铜和青铜的混合物一块，其中含有74%的铜、16%锌和10%锡．求黄铜含有铜和锌之比．19、今有浓度分别为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种食盐水60千克、60千克、47千克．现要配制浓度为7%的食盐水100千克，问(1)甲种食盐水最多可用多少千克？(2) 甲种食盐水最少用多少千克？20、有三块合金，第一块是60%的铝和40%的铬，第二块是10%的铬和90%的钛，第三块是20%的铝、50%的铬和30%的钛，现将它们铸成一块含钛45%的新的合金，问在新的合金中，铬的百分比为多少？。
不等式应用二
1.某数的 与4的差不小于某数与7的和，求某数的范围。
2.三个连续负奇数的和大于－15，求符合条件的奇数组。
3.在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？
4.小明在上午8：20分步行出发去春游，10：20小刚在同一地骑自行车出发，已知小明每小时走4千米，小刚要在11点前追上小明，小刚的速度应至少是多少？
【练习】
1、在一次竞赛中有25道题，每道题目答对得4分，不答或答错倒扣2分，如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分，至少要答对多少道题目？
2、一次知识竞赛共有15道题。竞赛规则是：答对1题记8分，答错1题扣4分，不答记0分。结果神箭队有2道题没答，飞艇队答了所有的题，两队的成绩都超过了90分，两队分别至少答对了几道题？
鸡西市第十九中学学案
班级姓名：
学科
数学
课题
不等式应用（二）
积分问题
课型
新课
时间
2013年月日
人教版
七年级下
学习目标
对比一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法
感知不等式与方程的不同作用和内在联系，体会其中渗透的类比思想。
重难
寻找实际问题中的不等关系，用一元一次不等式解实际问题。
学习道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上?
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题17 不等式(组)的应用
专题17 不等式(组)的应用阅读与思考许多数学问题和实际问题所求的未知量往往受到一些条件的限制，可以通过数量关系和分析，列出不等式(组)，运用不等式的有关知识予以求解，不等式(组)的应用主要体现在： 1．作差或作商比较有理数的大小． 2．求代数式的取值范围．3．求代数式的最大值或最小值． 4．列不等式(组)解应用题．列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤相仿，关键是在理解题意的基础上，将一些词语转化为不等式．如“不大于”“不小于”“正数”“负数”“非正数”“非负数”等对应不等号：“≤”“≥”“＞0”“＜0”“≤0”“≥0”．例题与求解【例1】如果关于x 的方程210m x x --=只有负根，那么m 的取值范围是_________．(辽宁省大连市“育英杯”竞赛试题)解题思路：由x ＜0建立关于m 的不等式．【例2】已知A ＝1998199920002001⨯-⨯，B ＝1998200019992001⨯-⨯，C ＝1998200119992000⨯-⨯，则有( )．A ．A ＞B ＞C B ．C ＞B ＞A C ．B ＞A ＞CD ．B ＞C ＞A (浙江省绍兴市竞赛试题)解题思路：当作差比较困难时，不妨考虑作商比较【例3】已知1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a 是彼此不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数1a 的最大值．(北京市竞赛试题)解题思路：设1a ＜2a ＜3a ＜···＜7a ，则1a +2a +3a +···+7a ＝159，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含1a 的不等式．【例4】一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位，生产一个小熊玩具要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫玩具要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊玩具、小猫玩具的个数，可以使小熊玩具和小猫玩具的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2 200元．(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：列不等式的关键是劳力限制在450个工时，原料限制为400个单位．引入字母，把方程和不等式结合起来分析．【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分，2分，5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．(河北省竞赛试题)解题思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合组，把解方程组、解不等式组结合起来．【例6】已知n ，k 皆为自然数，且1＜k ＜n ．若123101n kn +++⋅⋅⋅+-=-，n k a +=．求a 的值．(香港中学数学竞赛试题)解题思路：此题可理解为在n 个连续自然数中去除其中一个数 k (且1＜k ＜n ，k 是非两头的两个数)，使剩余的数的平均数等于10，求n 和k 之和。
初中数学竞赛辅导不等式的应用
初中数学竞赛辅导不等式的应用1、已知01,0<<-<y x ，将2,,xy xy x 按由小到大的顺序排列。
2、若67890123455678901234=A ，67890123475678901235=B ,试比较A 、B 大小。
3、若正数a 、b 、c ，满足不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<<+<<+<b c a b a c b a cb ac 4112535232611，是确定a 、b 、c 的大小关系。
4、当k 取何值时，关于x 的方程()kx x -=+513分别有（1）正数解；（2）负数解；（3）不大于1的解。
5、已知2351312x x x --≥--，求|3||1|+--x x 的最大值和最小值。
6、已知x 、y 、z 是非负实数，且满足03,30=-+=++z y x z y x ，求z y x u 245++=的最大值和最小值。
7、设a 、b 、c 、d 均为整数，且关于x 的四个方程()12=-x b a ,()13=-x c b ,()d x x d c =+=-100,14的的根都是正数，试求a 可能取得的最小值。
8、设p 、q 均为自然数，且1511107<<q p ，当q 最小时，求pq 的值。
9、已知c b <，11+<+<<a c b a ，求证：a b <。
10、若自然数z y x <<，a 为整数，且a zy x =++111，试求x 、y 、z 。
11、某地区举办初中数学联赛，有A 、B 、C 、D 四所中学参加，选手中，A 、B 两校共16名，B 、C 两校共20名，C 、D 两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A 、B 、C 、D 的顺序选派的，试求各中学的选手的人数。
12、785035=⋅yz x ，其中5x 表示十位数是x ；个位数是5的两位数；yz 3表示百位数是3，十位数是y ，个位数是z 的三位数，试确定x 、y 、z 的值。
数学竞赛技巧解不等式的方法与技巧
数学竞赛技巧解不等式的方法与技巧不等式是数学竞赛中常见的题型，解不等式是考察学生对数学知识的掌握和解题能力的重要手段。
下面将介绍一些解不等式的方法与技巧，希望对广大数学竞赛爱好者有所帮助。
一、拆分、合并法在解不等式时，我们有时可以通过拆分和合并的方法将复杂的不等式化简成简单的形式。
拆分法：针对复杂的不等式，我们可以将其拆分成若干个简单的不等式，然后分别求解。
例如，对于不等式2x + 3 > 5x - 1，我们可以将其拆分成两个不等式2x + 3 > 5x - 1和2x + 3 < 5x - 1，再分别求解。
合并法：针对简单的不等式，我们可以通过合并的方法将其化简成更简单的形式。
例如，对于不等式2x + 3 > 5x - 1，我们可以将其化简为3 > 3x，再求解。
二、绝对值法对于带有绝对值的不等式，我们可以通过绝对值法求解。
首先，我们需要将绝对值中的参数拆分成两种情况，正数和负数。
然后，分别解得各自情况下的不等式，并取交集。
例如，对于不等式|2x - 1| > 3，我们可以将其拆分成两个不等式2x - 1 > 3和2x - 1 < -3，再分别求解，然后取交集得到最终解。
三、二次函数法对于一些复杂的二次不等式，利用二次函数的性质可以有效地求解。
首先，我们需要将二次函数转化为标准形式，即形如f(x) = ax² + bx + c的形式。
然后，通过绘制函数图像，分析抛物线开口的方向和与坐标轴的交点情况，得出不等式的解集。
例如，对于不等式x² + x - 2 > 0，我们可以将其转化为f(x) = x² + x - 2 > 0的形式，然后绘制函数图像，分析得出x > 1或x < -2，最终解为{x｜x > 1或x < -2}。
四、倒置法倒置法是一种常用的解不等式的技巧。
它适用于那些具有对称性的不等式。
初中数学竞赛题中有关不等式的解题策略
初中数学竞赛题中有关不等式的解题策略例1关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧-⎪⎪⎨+⎪+⎪⎩＞＜只有5个整数解，则a 的取值范围是（ ） 11111111.6.6.6.62222A aB aC aD a ---≤--≤--≤≤-＜＜＜＜ 例2某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6，第7，第8，第9场比赛中分别获得了 23,14,11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高.如果他的10场比赛 的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？例3已知x ，y ，z 是正整数，求方程11178x y z ++=的正整数解.例4设a ，b 为正整数，且2537a b <<，求a+b 的最小值 .变式：使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 .例5五个整数a 、b 、c 、d 、e ，它们两两相加的和按从小到大顺序排分别是183，186，187， 190，191，192，193，194，196，x.已知e d c b a ≤≤≤≤，x ＞196.求a 、b 、c 、d 、e 及 x 的值.例6实数a ，b ，c 满足a+b+c=1.求a 2+b 2+c 2的最小值.例7设S=++…+，求不超过S 的最大整数[S ]．例8，求[S ]．例9设3333311111=+++++12320102011S ，则4S 的整数部分等于（ ） A.4 B.5 C.6 D.7应用练习：1．若不等式2|x-1|+3|x-3|≤a 有解，则实数a 最小值是（ ）A.1B.2C.4D.62．若不等式|x-4|+|3-x|＜m 恒不成立，实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＜2B ．m ＜1C ．m≤1D ．m ＜03．设a ，b 是常数，不等式10x a b +＞的解集是15x ＜，则关于x 的不等式bx-a ＞0的解集是（ ） A ．x ＞15 B ．x ＜- 15 C ．x ＞-15 D ．x ＜ 154.已知△ABC 的三条边a,b,c 满足321a b c =+，则∠A=（ ） A 、锐角 B 、 直角 C 、 钝角 D 、非直角5.若△ABC 的三个内角满足3∠A ＞5∠B ，3∠C ＜2∠B ，则△ABC 必是 三角形.6. x 1，x 2，……，x 100是自然数，且x 1＜x 2＜……＜x 100，若x 1+x 2+……+x 100=7001，那么， x 1+x 2+……+x 50的最大值是（ ）A.2225B.2226C.2227D.22287.如果7889q p ＜＜，p ，q 是正整数，则p 的最小值是（ ） A ．15 B ．17 C ．72 D ．1448.计算：已知，求M 的整数部分．（第6届睿达杯八年级复赛）9.已知13,28,a b a b ≤+≤≤-≤若9,t a b =+则t 的取值范围是 .10.已知21141,,=2n n n a a a a a +==+则 ; 12320141111,1111s a a a a =++++++++则与s 最接近的整数为 . 11.已知关于x 的不等式组230,320a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则这三个整数解是 ; a 的取值范围是 .12“姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船”，每逢除夕夜，寒山寺主持便敲钟108响，祈求天下太平.已知寺外的江中有两条客船，当第一次钟声响起时，两船分别以3cm/s 、9cm/s 的速度从江边分别向上游、下游行驶.若寒山寺到江边的距离忽略不计，且每隔9秒钟响一次，声音传播速度为300m/s.试求当上游的船客听到第108次钟声时，下游的船客只听到了多少次钟声？13（08全国竞赛）条长度均为整数厘米的线段：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，满足a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5＜a 6＜a 7，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若a 1=1厘米，a 7=21厘米，则a 6=（ ）(A) 18厘米 (B) 13厘米 (C) 8厘米 (D) 5厘米参考答案：例1 C解析：3-2a ＜x ＜20，∴14≤3-2a ＜15，得C例2 解析：学生容易把平均分认为是整数出现错误.解：设前5场比赛的总分为x 分，第10场比赛得分为y 分.68958584x x x x +><=8468181029y y ++>= 例3解析：利用不等式的放缩性不妨令x y z ≥≥从而确定z 的范围是2或3，进而把三元方程的解转化为二元.（2,3,24）；（2，4,8）；共12个解.例4利用不等式的放缩性.a+b=17变式：解法1: 9817157889788987298144144n n k k n n n k n n n n <<+∴<<∴<<-≤≤∴= 解法2： 98171578891718,89178118798144144n n k k n k k n n k n k k n n n n <<+∴<<-+∴≤≥-∴-≥-+--≥-≤∴= 例5由题意得a+b=183①a+c=186②c+e=196③d+e=x ④由①-②+③得b+e=193⑤则c+d=194⑥①-②的b-c=-3∴b+c=187即a=91，b=92，c=95，d=99，e=101，x=200例6 13解析：①利用2222222,()222a b ab a b c a b c ab bc ca +≥++=+++++ ②利用柯西不等式. ()()()2222111a b c a b c ++++≥++例7 1999 解析：①利用特殊到一般3117111111,112226623=+=+-=+=+- ②利用一般到特殊 ()2211111111n n n n ++=+-++例8 1 解析：利用不等式的放缩性例9 A 解析：利用不等式的放缩性()()()()31111111211n n n n n n n n ⎡⎤<=-⎢⎥+--+⎣⎦应用练习：1..C 2 .C 3.C. 4.A 5.钝角 6.B 7.B 8.1659.13≤t ≤47 10. 777256 ，2 11, 0，1,2；4332a -≤≤。
不等式的解法及其应用
不等式的解法及其应用不等式是数学中常见的一种关系表示方法，它描述了数值之间的相对大小关系。
在实际问题中，我们经常需要求解不等式的解集，并将其应用于解决各种问题。
本文将介绍不等式的解法及其应用。
一、不等式的解法1. 图像法图像法是一种直观的解不等式的方法，它通过将不等式表示为数轴上的区间，来确定不等式的解集。
具体步骤如下：（1）将不等式中的变量系数化为正数。
（2）根据不等式的类型（大于、小于、大于等于、小于等于），在数轴上标出相应的开闭区间。
（3）确定解集，将标出的区间合并。
例如，对于不等式3x - 2 > 7，我们可以将其转化为3x > 9，然后在数轴上标出大于等于3的区间，最终确定解集为x > 3。
2. 线性不等式的解法线性不等式是指不等式中只含有一次线性项的不等式。
常用的线性不等式解法有两种方法：代入法和区间判断法。
（1）代入法：将待求解的不等式代入到一个确定的数值中，判断该数值是否满足不等式，从而得到解集。
（2）区间判断法：将不等式转化为一个关于未知数的方程，通过求解该方程，得到解集。
然后根据不等式的类型，对解集进行调整，最终确定合适的解集。
二、应用：不等式在实际中的应用不等式在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 经济学应用在经济学中，不等式常用于描述供需关系、收入分配、资源利用等问题。
通过求解不等式，可以确定经济模型中各个变量的取值范围，帮助分析和解决相关经济问题。
2. 几何学应用在几何学中，不等式可以用于描述图形的属性和关系。
例如，在证明三角形的性质时，通过不等式可以判断三边的关系，从而推导出不等式。
3. 工程学应用在工程学中，不等式被广泛应用于优化问题、约束条件的建立等方面。
通过建立和求解不等式，可以帮助解决各类工程问题，并得出最佳解决方案。
4. 自然科学应用在自然科学中，不等式常被用于描述物理规律、化学反应等现象。
通过求解不等式，可以得到相应的物理量范围，帮助科学家更好地理解和预测自然界的现象。
七年级不等式知识点应用题
七年级不等式知识点应用题在数学中，不等式是一个非常重要的概念，我们在七年级就学习了很多不等式的知识点和应用。
在这篇文章中，我们将学习如何应用七年级不等式知识点解决一些实际问题。
一、一元一次不等式一元一次不等式是我们在七年级学习的第一个不等式知识点。
这种不等式的形式通常是ax+b>0或者ax+b<0，其中a和b为已知数，x为未知数。
在应用中，我们通常需要根据不等式解决一些实际问题。
比如，某地区小学和初中的学生人数之比为3:2，如果该地区小学有600人，求该地区初中的最小人数。
设该地区初中的人数为x，根据题意有：(3/2)/(2/1)=600/x解得x=400，因此该地区初中的最小人数为400人。
二、一元一次不等式组如果我们需要同时考虑多个不等式的影响，那么我们就需要学习一元一次不等式组的知识。
在一元一次不等式组中，我们通常会使用消元法或者图像法来解决问题。
比如，某家庭去旅行，父亲开车100km/h，儿子骑摩托车70km/h，如果单程路程为1200km，父亲和儿子的出发时间相差2小时，求父亲和儿子出发的时间。
设父亲和儿子的出发时间分别为t和t+2，根据题意有：100t+70(t+2)=1200解得t=8，因此父亲出发时间为8时，儿子出发时间为10时。
三、二元一次不等式组当问题中涉及到两个未知数时，我们就需要使用二元一次不等式组来解决。
在解决二元一次不等式组时，我们通常会使用代数法或者图像法。
比如，有一批商贩希望批发水果，甲商贩批发苹果每斤2元，甲商贩批发橙子每斤3元；乙商贩批发苹果每斤1元，乙商贩批发橙子每斤1.5元。
如果他们共同购买30件水果并出现了次数差不超过1的情况，请问甲商贩购买几件苹果？设甲商贩购买的苹果和橙子分别为x和y，乙商贩购买的苹果和橙子分别为a和b，根据题意有：2x+3y=1a+1.5bx+y+a+b=30解得x=9，因此甲商贩需要购买9件苹果。
四、综合应用七年级不等式知识点的应用非常广泛，我们可以在各种实际问题中使用不等式来解决。
中学数学竞赛讲义不等式不等式
中学数学竞赛讲义——不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b ⇔a-b>0；（2）a>b, b>c ⇒a>c ； （3）a>b ⇒a+c>b+c ；（4）a>b, c>0⇒ac>bc ；（5）a>b, c<0⇒ac<bc 。
（6）a>b>0, c>d>0⇒ac>bd 。
（7）a>b>0, n ∈N+⇒an>bn 。
（8）a>b>0, n ∈N+⇒n n b a >。
（9）a>0, |x|<a ⇔-a<x<a, |x|>a ⇔x>a 或x<-a 。
（10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。
（11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0⇔a2+b2≥2ab 。
（12）x, y, z ∈R+，则x+y ≥2xy , x+y+z .33xyz ≥ 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若n n b a ≤，由性质（7）得n n n n b a )()(≤，即a ≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以n nb a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a ≤|a|, -|b|≤b ≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b ≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -=≥0，所以x+y ≥xy 2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令c z b y a x ===333,,，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0，所以a3+b3+c3≥3abc ，即x+y+z ≥33xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。
全国初中数学竞赛辅导(初2)第23讲 几何不等式
第二十三讲几何不等式平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会呈现不等的关系．由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不等式．在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题．这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质．几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式．下面先给出几个基本定理．定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．说明如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，则PA＞PB；若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，所以PA2-PB2=HA2-HB2．从而定理容易得证．定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有PA≤max｛AB，AC｝，当点P为A或B时等号成立．说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而PA≤max｛AB，AC｝．同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝．例1 在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC(图2-137)．证在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90°．过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，所以PB＞PC．例2 已知P是△ABC内任意一点(图2-138)．(1)求证：＜a＋b＋c；(2)若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB＋PC＜2．证 (1)由三角形两边之和大于第三边得PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b．把这三个不等式相加，再两边除以2，便得又由定理4可知PA＋PB＜a＋b， PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．把它们相加，再除以2，便得PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．所以(2)过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，如图2-138所示．于是PA＜max｛AD，AE｝＝AD，PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，所以PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC=AB＋AE＋EC=2．例3如图2-139．在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE．证在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．由已知2DB＞DB+DC=AB+AC=2AC，所以 DB＞AC．由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，所以DC＋BF=AC=AB．在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．由定理3，∠1＞∠2，所以AE＞DE．例4 设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：分析在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所为边的三角形．证如图2-140，在GK上取一点M，使GM=MK，则在Rt△GCK中，CM是GK边上的中线，所以∠GCM=∠MGC．而∠ACG=45°，∠MGC＞∠ACG，于是∠MGC＞45°，所以∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90°．由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故例5如图2-141．设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一点O，AO，BO，CO分别交对边于A′，B′，C′．证明：(1)OA′＋OB′＋OC′＜BC；(2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝．证 (1)过点O作OX，OY分别平行于边AB，AC，交边BC于X，Y 点，再过X，Y分别作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大边，所以OA′＜max｛OX，OY｝≤XY．又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大边，从而BX也是△BXS中的最大边，而且SXOC′是平行四边形，所以BX＞XS=OC′．同理CY＞OB′．所以OA′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC．所以OA′＋OB′+OC′=x·AA′+y·BB′＋z·CC′≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝=max｛AA′，BB′，CC′｝下面我们举几个与角有关的不等式问题．例6在△ABC中，D是中线AM上一点，若∠DCB＞∠DBC，求证：∠ACB＞∠ABC(图2-142)．证在△BCD中，因为∠DCB＞∠DBC，所以BD＞CD．在△DMB与△DMC中，DM为公共边，BM=MC，并且BD＞CD，由定理3知，∠DMB＞∠DMC．在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且∠AMB＞∠AMC，由定理3知，AB＞AC，所以∠ACB＞∠ABC．说明在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式．证由于AC＞AB，所以∠B＞∠C．作∠ABD=∠C，如图2即证BD∠CD．因为△BAD∽△CAB，即 BC＞2BD．又 CD＞BC-BD，所以BC＋CD＞2BD＋BC-BD，所以 CD＞BD．从而命题得证．例8在锐角△ABC中，最大的高线AH等于中线BM，求证：∠B＜60°(图2-144)．证作MH1⊥BC于H1，由于M是中点，所以于是在Rt△MH1B中，∠MBH1=30°．延长BM至N，使得MN=BM，则ABCN为平行四边形．因为AH为最ABC中的最短边，所以AN=BC＜AB，从而∠ABN＜∠ANB=∠MBC=30°，∠B=∠ABM+∠MBC＜60°．下面是一个非常著名的问题——费马点问题．例9如图2-145．设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点(不是O)．求证：PA＋PB+PC＞OA+OB+OC．证过△ABC的顶点A，B，C分别引OA，OB，OC的垂线，设这三条垂线的交点为A1，B1，C1(如图2-145)，考虑四边形AOBC1．因为∠OAC1=∠OBC1=90°，∠AOB=120°，所以∠C1=60°．同理，∠A1=∠B1=60°．所以△A1B1C1为正三角形．设P到△A1B1C1三边B1C1，C1A1，A1B1的距离分别为ha，hb，hc，且△A1B1C1的边长为a，高为h．由等式S△A1B1C1=S△PB1C1+S△PC1A1＋S△PA1B1知所以 h=h a＋h b＋h c．这说明正△A1B1C1内任一点P到三边的距离和等于△A1B1C1的高h，这是一个定值，所以OA＋OB＋OC=h=定值．显然，PA＋PB＋PC＞P到△A1B1C1三边距离和，所以PA＋PB＋PC＞h=OA＋OB＋OC．这就是我们所要证的结论．由这个结论可知O点具有如下性质：它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点．练习二十三1．设D是△ABC中边BC上一点，求证：AD不大于△ABC中的最大边．2．AM是△ABC的中线，求证：3．已知△ABC的边BC上有两点D，E，且BD=CE，求证：AB＋AC＞AD＋AE．4．设△ABC中，∠C＞∠B，BD，CE分别为∠B与∠C的平分线，求证：BD＞CE．5．在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：AB+CF≥AC＋BE．6．在△ABC中，AB＞AC，AD为高，P为AD上的任意一点，求证：PB-PC＞AB-AC．7．在等腰△ABC中，AB=AC．(1)若M是BC的中点，过M任作一直线交AB，AC(或其延长线)于D，E，求证：2AB＜AD+AE．(2)若P是△ABC内一点，且PB＜PC，求证：∠APB＞∠APC．。
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1的算术平方根是（ ）
A ：9
B ：±9
C ：±3
D ：3
2、已知4×8n ×16n = 29则 n =
3、当关于x 、y 的二元一次方程组⎩
⎨⎧-=--=+m y x m y x 432522的解x 为正数，y 为负数，则求此时m 的取值范围？（10分）
4、（8分）已知21a +的平方根是±3，522a b +-的算术平方根是4，求34a b -的平方根16、若.52=a 则 _____2_____,222==+a a
5、若y =，则20082008y x += ；
6、比较大小关系：（填＞或＜）751003____2
，1____1--+-a a 7、x x y 21-=
中自变量x 的取值范围是（ ） A 、x ≤21且x ≠0 B 、x 21->且x ≠0 C 、x ≠0 D 、x 2
1<且x ≠0 8．计算：()61339
25⨯+22121)(-
9．02)131
()33(-+-
10.已知2599.123=,7144.2203=，则______________02.03=
11、 若a a =+2012-a -2011，试求2
2011-a 的值。
（提示：找出题中的隐含条件） 12特征解问题：
解题步骤：把原式中的要求的量（以下简记为m ) 当作已知数，去解原式——→得到原式的解（含m )——→根据解的特征列出式子（关于m 的式子)——→解出m 的值。
例：已知12a +≥+x x 的解集为1x ≤，求a 的值。
解：解不等式12a +≥+x x ······把a 当作已知数，去解原式 得1x -≤a ······得到原式的解（含a )
则11-a = ······根据解的特征列出式子
解得2a = ······解出a 的值
6、
14已知关于x ，y 的方程组⎩
⎨⎧-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围。
15、已知关于x 的不等式组{
x 542≤-≥-b x 的整数解共有3个，求b 的取值范围。
16、（6分）阅读下列解题过程：
（1）；
（2）
；
请回答下列问题： （1）观察上面解题过程,请直接写出 的结果为
__________________．
（2）利用上面所提供的解法，请化简：
．
17、为了参加2011年西安世界园艺博览会，某公司用几辆载重为8吨的汽车运送一批参展货物.若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不空也不满.请问:共有多少辆汽车运货？
18、某生产“科学计算器”的公司, 有100名职工，该公司生产的计算器由百货公司代理销售，经公司多方考察，发现公司的生产能力受到限制．决定引进一条新的计算器生产线生产计算器，并从这100名职工中选派一部分人到新生产线工作．分工后，继续在原生产线从事计算器生产的职工人均年产值可增加20％，而分派到新生产线的职工人均年产值为分工前人均年产值的4倍，如果要保证公司分工后，原生产线生产计算器的年总产值不少于分工前公司生产计算器的年总产值，而新生产线生产计算器的年总产值不少于分工前公司生产计算器的年总产值的一半.
（1）试确定分派到新生产线的人数；（2）当多少人参加新生产线生产时，公司年总产值最大？相比分工前，公司年总产值的增长率是多少？
13、不等式组 的解集是x ＜m －2，则m 的范围应为____。
⎩⎨⎧-<+<212m x m
x
19、分解因式的基本方法：
（1）提公因式法
（2）公式法：运用完全平方公式和平法差公式
（3）对于二次三项式的因式分解的方法：
1）配方法，2）十字相乘法：公式 ()()()b x a x ab x b a x ++=+++2 例：将342++x x 因式分解。
方法一：配方法：原式=34-442+++x x =()1-22
+x =()()31++x x 方法二：十字相乘法：342++x x =()()31++x x
（4）分组分解法
20、分解因式的技巧：
(1) 因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；
(2）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁
(3)变形技巧：
①符号变形 Ⅰ、()x y y ---x = Ⅱ、当n 为奇数时，()()n n x y y ---x = Ⅲ、当n 为偶数时，()()n
n x y y --x = ②增项变形：
例：()
22422444-1444-41414x x x x x x x ++→++→+ → ③拆项变形：
例()()
()()() →+++→++→++→+11-11-1-1-2x 222322323x x x x x x x x x x x
21、已知3b a =+，5-ab =，求代数式的值：（1）22a b + （2）()2
b -a 22、不解不等式组{
6213-=+=n m n m ，求()()32-32-3-7m n n m n 的值。
18、解：（1）假设人均年产值“1”，则年产值“100”
设分派到新生产线的人数为人，由题意可知：
……………………………………………………………………∴……………………………………………………………………………………∴，且为整数
∴………………………………………………………………………（2）设公司的年总产值为y
∴………………………………………………………………∴……………………………………………………………………………
∵k=2.8＞0,y随x的增大而增大
当x=16时，公司的年总产值最大，年产值164.8万……………………………………
公司的年总产值的增长率是64.8%。
(1)。