泸州市高2014级上学期期末统一考试数学(理)试题+答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学试题(理科)解析版
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案（四川卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}-2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2，否则，S 的值为1.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。
2014年高考理科数学四川卷-答案
【提示】（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求出对应的概率，即可求X 的分布列； （2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论. （3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可. 【考点】排列组合，古典概型，分布列，用期望分析问题
18.【答案】（1）由三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A BCD -中：平面ABD ⊥平面CBD ，
2AB AD BD CD CB =====，设O 为BD 的中点，连接OA ，OC ，
于是OA BD ⊥，OC BD ⊥所以BD ⊥平面OAC ⇒BD AC ⊥，
因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以//MN BD ，又MN NP ⊥，故BD NP ⊥， 假设P 不是线段BC 的中点，则直线NP 与直线AC 是平面ABC 内相交直线， 从而BD ⊥平面ABC ，这与60DBC ∠=o 矛盾，所以P 为线段BC 的中点.
【提示】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，
（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.
【提示】（1）求出()f x 的导数得()g x ，再求出()g x 的导数，对它进行讨论，从而判断()g x 的单调性，求出()g x 的最小值；
（2）利用等价转换，若函数()f x 在区间(0,1)内有零点，则函数()f x 在区间(0,1)内至少有三个单调区间，所以()g x 在(0,1)上应有两个不同的零点.
【考点】函数的导函数，极值，最值，函数的零点。
2023-2024学年四川省泸州市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年四川省泸州市高一上册期末数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.πcos3的值为（）A.12B.2C.2D.【正确答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值判断即可.【详解】π1cos 32=.故选：A2.不等式2210x x --<的解集是（）A.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()1,2- C.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D.()2,1-【正确答案】C【分析】利用了一元二次不等式的解法求解．【详解】解：不等式2210x x --<，可化为(1)(21)0x x -+<，解得112x -<<，即不等式2210x x --<的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．3.设全集U 及集合M 与N ，则如图阴影部分所表示的集合为（）A.M N ⋂B.M N ⋃C.U M Nð D.()U M N ð【正确答案】D【分析】根据集合并集，补集的定义即可判断．【详解】依题意图中阴影部分所表示的集合为()U M N ð．故选：D ．4.命题[]:1,2p x ∀∈，210x -≥，则p ⌝是（）A.[]1,2x ∀∉，210x -≥ B.[]1,2x ∀∈，210x -<C.[]01,2x ∃∉，2010x -≥ D.[]01,2x ∃∈，2010x -<【正确答案】D【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题，分析即可得到答案．【详解】由题意，命题[]:1,2p x ∀∈，210x -≥，由全称命题的否定为存在命题，可得：p ⌝为[]01,2x ∃∈，2010x -<，故选：D ．5.已知函数()121,02,0x x x f x x -⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩，则()()4f f 的值是（）A.2B.C.12D.2【正确答案】A【分析】根据分段函数解析式计算即可.【详解】因为()121,02,0x x x f x x -⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩，所以()1211441122f -=-=-=-，所以()()12124222f f f -⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.故选：A6.如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数15log y x =，17log y x =，5log y x =的一个是（）A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）【正确答案】B【分析】根据对数函数的性质判断即可.【详解】因为111775111log log log 575<=，∴（3）是17log y x =，（4）是15log y x =，又155log log x x y -==与5log y x =关于x 轴对称，∴（1）是5log y x =．故选：B ．7.函数()30y a x x x=-->在x m =3a m -的值为（）A.3 B.33C.23D.3【正确答案】C【分析】利用基本不等式求出323x x+≥，得出函数3y a x x=--的最大值为3a -，从而求出a 和m 的值．【详解】解：因为0x >时，33223x x x x+≥⋅=当且仅当3x x =，即3x ==”，所以函数33233y a x a x a x x ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭，解得33a =，3m =，所以33323a m -=-=．故选：C ．8.北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v (单位：m /s )和燃料的质量M (单位：kg )、火箭的质量(除燃料外)m (单位：kg )的函数关系是2000ln 1Mm ν⎛⎫=+⎪⎝⎭．当火箭的最大速度达到11.5km /s 时，则燃料质量与火箭质量之比约为（）(参考数据： 5.75e 314≈)A.314B.313C.312D.311【正确答案】B【分析】根据题意将11.5km /s v =代入2000ln 1M v m⎛⎫=+⎪⎝⎭即可得解.【详解】由题意将11.5km /s v =代入2000ln 1M v m⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得11.510002000ln 1Mm ⎛⎫⨯=+⎪⎝⎭，ln 1 5.75M m ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 5.751314M e m ∴+==.313Mm∴=.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.给出下列四个结论，其中正确的结论有（）A.{}0∅=B.若a ∈Z ，则a -∈ZC.集合{}2,y y x x =∈Q 是无限集D.集合{}12,x x x -<<∈N 的子集共有4个【正确答案】BCD【分析】根据已知条件，结合空集、子集的定义，以及Z ，Q 的含义，即可求解．【详解】对于A ：∅是指不含任何元素的集合，故A 错误；对于B ：若Z a ∈，则Z a -∈，故B 正确；对于C ：有理数有无数个，则集合{}2,y y x x =∈Q 是无限集，故C 正确；对于D ：集合{}{}12,0,1x x x -<<∈=N 元素个数为2个，故集合{}12,x x x -<<∈N 的子集共有224=个，故D 正确．故选：BCD ．10.下列论述中，正确的有（）A.正切函数的定义域为RB.若α是第一象限角，则2α是第一或第三象限角C.第一象限的角一定是锐角D.圆心角为60︒且半径为2的扇形面积是2π3【正确答案】BD【分析】根据正切函数的定义判断A ，根据象限角的定义判断B ，C ，根据扇形面积公式判断D.【详解】对于A ：正切函数tan y x =的定义域为π|π,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误；对于B ：若α是第一象限角，则()π2π2πZ 2k k k α<<+∈，可得()πππZ 24k k k α<<+∈，所以2α表示第一或第三象限角，故B 正确；对于C ：390︒是第一象限角，但不是锐角，故C 错误；对于D ：圆心角为60︒且半径为2的扇形面积21π2π2233S =⨯⨯=，故D 正确．故选：BD ．11.下列命题中是假命题的有（）A.“a b >”是“22a b >”的充分但不必要条件B.“a b >”是“22ac bc >”的必要但不充分条件C.“11x>”是“1x <”的既不充分也不必要的条件D.“m 1≥”是“不等式220x x m -+≥在R 上恒成立”的充要条件【正确答案】AC【分析】利用特例及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】对于A ：若1a =，1b =-满足a b >，但22a b =不满足22a b >，反之，若22a b >，例如2221()->，令2a =-，1b =，显然不满足a b >，所以“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件，故A 错误；对于B ：当0c =时，由a b >得不到22ac bc >，即充分性不成立，反之，若22ac bc >，可得a b >，即必要性成立，所以“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件，故B 正确；对于C ：1110x x x--=>，可得(1)0x x -<，01x ∴<<，因为()0,1(),1-∞，所以“11x>”是“1x <”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ：220x x m -+≥在R 上恒成立，则440m ∆=-≤，1m ∴≥，则“m 1≥”是“不等式220x x m -+≥在R 上恒成立”的充要条件，故D 正确．故选：AC ．12.已知函数()f x 在()1,+∞上单调递增，且()1y f x =+是偶函数，奇函数()g x 在()0,∞+上的图象与函数()f x 的图象重合，则下列结论中正确的有（）A.()()412log 32f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B.函数()f x 的图象关于y 轴对称C.函数()g x 在(),1-∞-上是增函数D.若1a b >>，则()()()()f a g b f b g a +->+-【正确答案】ACD【分析】根据函数的奇偶性、对称性和单调性的综合性质，逐个选项判断即可．【详解】对于B 选项，因为()1y f x =+是偶函数，所以()()11f x f x -=+，所以函数()y f x =关于直线1x =对称，且()f x 在()1,+∞上单调递增，故B 错误；对于A 选项，由上知4115log 222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()()5232f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即有()()412log 32f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故A 正确；对于C 选项，因为奇函数()g x 在()0,∞+上的图象与函数()f x 的图象重合，()f x 在()1,+∞上单调递增，即()g x 在()1,+∞上单调递增，由奇函数性质知，()g x 在(),1-∞-上单调递增，故C 正确；对于D 选项，由1a b >>得1a b -<-<-，又()f x 在()1,+∞上单调递增，()g x 在(),1-∞-上单调递增，所以()()f a f b >，()()g b g a ->-，所以()()()()f a g b f b g a +->+-，故D 正确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．（2）本部分共10个小题，共90分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知{}(1,2)(,)230x y x ay ∈+-=，则a 的值为______．【正确答案】12##0.5【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a 的值．【详解】因为{}(1,2)(,)230x y x ay ∈+-=，所以2230a +-=，解得：12a =，故答案为：12．14.写出使“不等式2x x a a -<对一切实数x 都成立”的a 的一个取值______．【正确答案】12（答案不唯一）【分析】由指数函数的单调性和不等式的性质，可得所求取值．【详解】解：当1a >时，x y a =在R 上单调递增，由2x x >-，可得2x x a a ->；当01a <<时，x y a =在R 上单调递减，由2x x >-，可得2x x a a -<．因为不等式2x x a a -<对一切实数x 都成立，所以01a <<，所以a 的取值可为12．故12（答案不唯一）．15.已知角α的顶点在平面直角坐标系原点，且始边与x 轴的非负半轴重合，现将角α的终边按顺时针方向旋转π2后与角β的终边重合，且与单位圆交于点34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则cos α的值______．【正确答案】45##0.8【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义以及诱导公式即可求解．【详解】解：因为β的终边与单位圆交于点34,55⎛⎫--⎪⎝⎭，故3cos 5β=-，4sin 5β=-，又由题意可得π2αβ=+，所以π4cos cos sin 25αββ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭．故45．16.若函数()()2,113,1ax x x f x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩满足对1x ∀，2x ∈R ，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是______．【正确答案】21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先判断函数是单调递减函数，根据分段函数单调递减的性质，列式求解.【详解】根据题意，任意实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 是R 上的减函数，则分段函数的每一段单调递减且在分界点处113a a a -≥--，所以0112130113a aa a a a≥⎧⎪-⎪-≥⎪⎨⎪-<⎪-≥--⎪⎩，解得2152a ≤≤，所以实数a 的取值范围是21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知集合{}24A x x =<<，15B x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭．（1）求A B ⋂；（2）若集合{}1C x a x a =<<+，在①A C A ⋃=；②x C ∈是x A ∈的充分条件，这两个条件中任选一个作为条件，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】（1）{}34A B x x ⋂=≤<（2）[]2,3【分析】（1）根据分母不为零且偶次方根的被开方数非负得到不等式组，即可求出集合B ，再根据交集的定义计算可得；（2）根据所选条件得到C A ⊆，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围.【小问1详解】∵15y x =+-，∴3050x x -≥⎧⎨-≠⎩，∴3x ≥且5x ≠，∴1{|35B x y x x x ⎧⎫===≥⎨⎬-⎩⎭且5}x ≠，又{}24A x x =<<，∴{}34A B x x ⋂=≤<；【小问2详解】若选①A C A ⋃=，则C A ⊆，∵{}1C x a x a =<<+且1a a +>，∴C ≠∅，∴214a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴23a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[]2,3；若选②x C ∈是x A ∈的充分条件，则C A ⊆，∵{}1C x a x a =<<+且1a a +>，∴C ≠∅，∴214a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴23a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[]2,3．18.已知函数()()()sin 2πcos π9πsin 2f αααα-+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（1）求证：()sin f αα=；（2）若()35f α=且α为第二象限角，求tan 1α-的值．【正确答案】（1）证明见解析（2）54-【分析】（1）利用诱导公式对()f α进行化简即可得证；（2）利用平方关系与商数关系结合α所在象限进行运算求解即可．【小问1详解】证明：()()()sin 2πcos π9πsin 2f αααα-+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()sin cos sin cos αααα--==，得证；【小问2详解】因为()3sin 5f αα==且α为第二象限角，所以4cos 5α==-，所以sin 3tan cos 4ααα==-，所以35tan 1144α⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭．19.已知函数()()2f x x a b x a =-++．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{}13x x -<<，求a ，b 的值；（2）当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．【正确答案】（1）3a =-，5b =（2）当1a <时，解集为{x x a <或}1x >，当1a =时，解集为{}1x x ≠，当1a >时，解集为{1x x <或}x a >．【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理解方程组即可；（2）当1b =时，()()210f x x a x a =-++>，即()()10x a x -->，分类讨论1a <、1a =和1a >三种情况下，即可求出一元二次不等式的解集．【小问1详解】因为不等式()0f x <的解集为{}13x x -<<，所以1-，3是()20x a b x a -++=的两根，所以1323a b a +=-+=⎧⎨=-⎩，解得35a b =-⎧⎨=⎩；【小问2详解】当1b =时，()()210f x x a x a =-++>，即()()10x a x -->，当1a <时，解得x a <或1x >，当1a =时，解得1x ≠，当1a >时，解得1x <或x a>综上可得，当1a <时，不等式的解集为{x x a <或}1x >，当1a =时，不等式的解集为{}1x x ≠，当1a >时，不等式的解集为{1x x <或}x a >．20.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离，在某种路面上，经过多次实验测试，某种型号汽车的刹车距离y （米）与汽车的车速x （千米/时，0120x ≤≤）的一些数据如表．为了描述汽车的刹车距离y （米）与汽车的车速x （千米时）的关系，现有三种函数模型供选择：()20y px mx n p =++≠，0.5x y a =+，log a y k x b =+．x 0406080y 08.418.632.8（1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．【正确答案】（1）()20y px mx m p =++≠最符合实际的函数模型，211200100y x x =+，()0120x ≤≤；（2）70千米/时．【分析】（1）结合表格数据选出最符合实际的函数模型，然后列方程组01600408.436006018.6n p m p m =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩求解即可；（2）令21125.2200100x x+≤，结合二次不等式的解法求解，再结合0120x ≤≤，即可求出x 的取值范围，即可得解．【小问1详解】结合表格数据可得()20y px mx n p =++≠最符合实际的函数模型，将0x =，0y =；40x =，8.4y =；60x =，18.6y =分别代入上式可得01600408.436006018.6n p m p m =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得120011000p m n ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，即所求的函数解析式为211200100y x x =+，()0120x ≤≤；【小问2详解】令21125.2200100x x +≤，即2250400x x +-≤，解得7270x -≤≤，又0120x ≤≤，所以070x ≤≤，即要求刹车距离不超过25.2米，则行驶的最大速度为70千米/时．21.已知函数()()()22log 2log 2x x f x =--+．（1）用定义证明()f x 在定义域上是减函数；（2）若函数()()g x f x x a =-+在20,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有零点，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）证明见解析（2）220,log 53⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先求函数的定义域，再根据减函数的定义证明即可；（2）由（1）知，函数()f x 在定义域为()2,2-上的减函数，从而()()g x f x x a =-+为减函数，故只需满足()00203g g ⎧≥⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解不等式组即可求得a 的取值范围．【小问1详解】证明：根据题意，函数()()()22log 2log 2x x f x =--+，则有2020x x ->⎧⎨+>⎩，解可得22x -<<，即函数的定义域为()2,2-，设1222x x -<<<，则()()()12212log 2log f x f x x -=--()()()122222log 2log 2x x x +--++，()()()()1221222log 22x x x x -+=+-，因为1222x x -<<<，所以1212422x x x x -+->21124220x x x x -+->，()()()()12122222x x x x -++-12122112422422x x x x x x x x -+-=-+-，所以()()()()121222122x x x x -+>+-，故()()()()()()121221222log 022x x f x f x x x -+-=>+-，即()()12f x f x >则函数()f x 在定义域上是减函数；【小问2详解】根据题意，由（1）的结论，函数()f x 在定义域为()2,2-上的减函数，则()()g x f x x a =-+为减函数，若函数()()g x f x x a =-+在20,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有零点，则()()2000022212log 033353g f a g f a a ⎧=-+≥⎪⎨⎛⎫⎛⎫=-+=-+≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解可得：220log 53a +≤≤，故a 的取值范围为220,log 53⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．22.已知函数()f x 为偶函数，函数()g x 为奇函数，且满足()()()11x f x g x mm --=>．（1）求函数()f x ，()g x 的解析式；（2）若函数()()()11h x f x g x m =+-⎡⎤⎣⎦，且方程()()2212016h x kh x k -+-=⎡⎤⎣⎦恰有三个解，求实数k 的取值范围．【正确答案】（1）()()1112x x f x m m -+=+，()()1112x x g x m m +-=-（2）135,444⎧⎫⎡⎫⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭【分析】（1）由()()1x f x g x m--=及函数奇偶性得到()()1x f x g x m ++=，联立方程组求解即可；（2）由（1）得到()h x 的解析式，画出其图象，求出方程()()2212016h x kh x k -+-=⎡⎤⎣⎦的两个解，数形结合即可得到实数k 的取值范围．【小问1详解】因为()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()1x f x g x m --=，①所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，所以()()1x f x g x m+---=，即()()1x f x g x m ++=，②由①+②解得()()1112x x f x m m -+=+，①-②解得()()1112x x g x m m +-=-；【小问2详解】由（1）得()()()()111111122x x x x x f x g x m m m m m -+-+++=++-+=，所以()()1x f x g x m m +=⎡⎤⎣⎦，所以()()()111x h x f x g x mm =+-=⎡⎤⎦-⎣，1m >，作出()h x的图象，如图所示：因为方程()()2212016h x kh x k -+-=⎡⎤⎣⎦恰有三个解，即方程()()2112044h x kh x k k ⎛⎫⎛⎫-+-+=⎡⎤ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭恰有三个解，所以()()11044h x k h x k ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦恰有三个解，解得()14h x k =-或()14h x k =+，又因为1144k k -<+，结合图形可得：1041014k k ⎧-=⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩或1014114k k ⎧<-<⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得14k =或3544k ≤<．所以实数k的取值范围为135, 444⎧⎫⎡⎫⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试四川理科数学试题及答案解析(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一. 选择题1. 已知集合2{|20},A x x x B =--≤集合为整数集，则A B =（ A ）A ．{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{0,1} D.{-1,0} 2.在6(1)x x +的展开式中，含3x 的系数的为（ C ） A ．30 B.20 C.15 D.10 解析：即求6226(1)15x x C +=中的系数为.3.为了得到函数sin(21)y x =+的图像，只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点（ A ）A.向左平移12个单位长度 B.向右平移12个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度解析：1sin(21)=sin 2()2y x x =++，将sin 2y x =向左平移12个单位长度. 4.若0,0,a b c d >><<则一定有（ D ）A.a b c d > B. a b c d < C. a b d c > D. a b d c<解析：（1）特殊值法：取2,1,2,1a b c d ===-=-即可； （2）利用不等式的性质：110,0,c d c d d c<<∴->->->- 又0,0,a b a ba b d c d c >>∴->->∴<5.执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈， 那么输出的S 的最大值为（ C ） A ．0 B.1C ．2 D.3解析：本题将程序框图和线性规划结合起来，有一定的新颖性，摆脱了传统的线性规划考题模式，关键是能够理解程序框图表达的含义，将原题转化为：已知001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求解2S x y =+的最大值. 作图易知，S 在(1,0)处取得最大值2.6.六个人从左自右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有（ B ） A ．192种 B. 216种 C ．240种 D.288种 解析：由甲，乙的位置分两种情况：（1）最左端排甲，有5!120=种；（2）最左端排乙，有44!96⨯=种. 共120+96=216种. 7.平面向量(1,2),(4,2),a b c ma b ===+，且c a c b 与的夹角等于与的夹角，则m=（ D ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：==a cb cc a c b a b⋅⋅⇔与的夹角与的夹角 8.在正方体1111ABCD A BC D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BDαα的夹角为，则sin 的取值范围是（ B ）A.3B. 3C.3D. [,1]3结束输出S S=1S=2x+y否是x≥0，y≥0,x+y≤1？输入x,y开始C解析：设棱长为1，则11111AC AC AO OC OC =====所以1111111cos ,sin 333AOC AOC AOC AOC ====. 9.已知()ln(1)ln(1),(1,1)f x x x x =+--∈-. 现有下列命题： ①()()f x f x -=-；②22()2()1xf f x x=+；③()2f x x ≥ 其中所有的正确命题序号是（ C ）A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①② 解析：①()()f x f x -=-显然成立；②左边22()1xf x+中的x 只是不能为1，右边()f x 中的(1,1)x ∈-，故不对；③由于左右两边均为偶函数，只需判断()2,(0,1)f x x x ≥∈即可， 记()()2,(0,1)g x f x x x =-∈，则22'()20,(0,1)1g x x x =->∈-，故()(0)0g x g >=，于是③成立.10.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=. 则ABO AFO ∆∆与面积之和的最小值是 A ．2 B.3D.10 解析：由题意得22112211221(,0),(,),(,),,,4F A x y B x y y x y x ==设则由2OA OB ⋅=得，22121212122x x y y y y y y +=+=，于是1221y y =-或，又点,A B 位于x 轴的两侧，故122y y =-. 所以2212211122111111122428ABO AFO S S x y x y y y y y y y ∆∆+=⨯-+⨯⨯=-+12111111121293888y y y y y y y y =-+=++=+≥. 注：已知原点1122,(,),(,)O A x y B x y ，设过点A ，B 的直线斜率为k ，则 直线AB 为211121()y y y x x y x x -=-+-，所以1112122122111222ABOx y S x x y x yx y ∆=-=-=. 二．填空题11.复数221ii-=+2i-12.设()f x是定义在R上的周期为2的函数，当[1,1)x∈-时，242,10,(),01,x xf xx x⎧-+-≤<=⎨≤<⎩则3()2f=113.从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的府角分别是67,30，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于60 m(四舍五入将结果精确到个位.参考数据：sin670.92,cos670.39,sin370.60,cos37 1.73≈≈≈≈≈) 解析：解三角形的实际问题，利用正弦定理即可.14.设m R∈，过定点A的动直线0x my+=和过定点B的动直线30mx y m--+=交于点(,)P x y，则PA PB⋅的最大值是 5解析：由题意得(0,0),(1,3)A B，消去m得P点方程为：2230x y x y+--=上，所以点P 在以AB为直径的圆上，且PA PB⊥，故222522PA PB ABPA PB+⋅≤==.15.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数()xϕ组成的集合：对于函数()xϕ，存在一个正数M，使得函数()xϕ的值域包含于区间[,]M M-. 例如，当312(),()sinx x x xϕϕ==时，12(),()x A x Bϕϕ∈∈. 现有如下命题①设函数()f x的定义域为D，则“()f x A∈”的充要条件是“,,()b R a D f a b∀∈∃∈=”；②函数()f x B∈的充要条件是()f x有最大值和最小值；③若函数(),()f xg x的定义域相同，且(),(),f x Ag x B∈∈则()()f xg x B+∉；④若函数2()ln(2)(2,)1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈. 其中证明题有_________________________解析：①集合A 的特点是：函数是满射；②()x ϕ一定有上下确界，不一定有最值； ③正确；④要使函数()f x 取到最大值，则必有0a =，故2()1xx B x =∈+. 三．解答题16.已知函数()sin(3)4f x x π=+（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2,cos sin 354f απαααα=+-求的值. 解：（1）由232242k x k πππππ-≤+≤+得()f x 的单调递增区间为：22[,],34312k k k Z ππππ-+∈；（2）由4()cos()cos 2354f απαα=+得4sin()cos()cos 2454ππααα+=+整理得25(cos sin )4αα-=，又α是第二象限角，所以cos sin 0αα-<，故cos sin 2αα-=-. 17.击鼓游戏规则如下，每盘游戏都需要击鼓三次，没次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获10分，出现2次音乐获20分，出现三次音乐获100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）. 设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发. 若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少. 请运用概率统的相关知识分析分数减少的原因.解析：（1）X 的可能取值为-200，10，20，100，所以X 的分布列为(2) 至少有一盘出现音乐的概率是311()8-=511512； （3）54EX =-，说明获得分数X 的均值为负，因此多次游戏后分数减少的可能性更大. 18.三棱锥A BCD -及其侧视图，俯视图如图所示. 设,M N 分别为线段,AD AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥.俯视图11侧视图1BC（1）证明：P 是线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值.519.设等差数列{}n a 的公差为d,点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图像上（*n N ∈） （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图像上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图像在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}n nab 的前n 项和n T . 解析： 点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图像上，∴ 2n an b =（1）点87(,4)a b 在函数()f x 的图像上，∴8742ab =，即872722a a b -==，所以87872,2a a d a a -==-=，故{}22n a -是首项为，公差为的等差数列.因此，2(1)2232n n n S n n n -=-+⨯=-； （2）由'()2ln 2xf x =得，函数()f x 的图像在点22(,)a b 处的切线为：2222ln 2()a y x a b =-+，其在x 轴上的截距为：22221122ln 2ln 2ln 2a b a a -=-=-， 所以22a =，故{}11n a 是首项为，公差为的等差数列，=,2n n n a n b =由=2n n n a nb 得，12311231++++22222n n n n n T --=⋅⋅⋅+ ①234111231++++222222n n n n nT +-=⋅⋅⋅+ ② ①-②得，12311111[1()]11111222++12222222212n n n n n n n n n T +++-+=+⋅⋅⋅+-=-=-- 所以222n n nT +=-.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的的一个端点构成正三角形，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 是椭圆C 的左焦点， T 为直线x=-3上任意一点，过F 做TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ，（i ）证明：OT 平分线段PQ ；（ii ）当TP PQ最小时，求点T 的坐标.解析：（1）由题意得24,c a ==，解得a b ==所以椭圆C 的标准方程为：22162x y +=；21.已知函数2()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间（0,1）内有零点，求a 的取值范围. 解：（1）()'()2,[0,1],'()2xxg x f x e ax b x g x e a ==--∈=-则 当0a ≤时，'()0g x >，min ()(0)1g x g b ==-； 当0a >时，令'()0g x =得ln 2x a =,(i)当10ln 202a a <≤≤时，，()g x 在[0,1]上单调递增， min ()(0)1g x g b ==-；（ii ）当1ln 2122ea a <<<<时，0，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以min ()(ln 2)2(ln 2)g x g a ab a a ==--； （iii ）当ln 212ea a ≥≥时，，()g x 在[0,1]上单调递减，所以 min ()(1)2g x g e a b ==--.综上所述，min11,21()2(ln 2),222,2b a e g x a b a a a e e a b a ⎧-≤⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩（2）由(1)0f =得，1b e a =--注意到(0)(1)0f f ==，()f x 在区间[0,1]内连续， (i)当102a <≤时，min ()120g x b a e =-=+-<；。
四川省泸州市2014届高三第一次教学质量诊断性考试数学(理)试题：摘录
2014年四川省高考模拟试题202013.12.6 理科数学第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-,0 , 12,0 ,21)(x x x f x x，则该函数是A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减2．将函数()sin(2)()22f x x ππθθ=+-<<的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 、()g x 的图象都经过点3(0,)2P ，则ϕ的值可以是 A ．53πB ．56πC ．2πD ．6π3．若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-内存在一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．51>a B ．51>a 或1-<a C ．511<<-a D ．1-<a4．△ABC 所在平面上一点Ｐ满足PA ＋PB ＋PC ＝AB,则△PAB 的面积与△ABC 的面积比为（ ） A.2:3 B.1:3 C.1:4 D.1:65. ABC △中，角A B C ，，的对边为a b c ，，，向量(31)(cos sin )A A =-=，，，m n ，若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ ）A ．ππ36，B ．2ππ36，C ．ππ63， D ．ππ33，6．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的长分别是,,a b c ，且2222c a b =+，可导函数()f x 满足/()2()x f x f x < ，则 A.22sin (sin )sin (sin )A f B B f A < B. 22sin (sin )sin (sin )A f A B f B > C.22cos (sin )sin (cos )B f A A f B < D.22cos (sin )sin (cos )B f A A f B >7．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()(),f x f x -=- 称()f x 为“局部奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）.1313A m -≤≤+ .1322B m -≤≤ .2222C m -≤≤ .2213D m -≤≤-8．已知函数()f x 是定义在R 上的以4为周期的函数，”当x ∈（－1，3]时，()f x ＝21(1,1](12),(1,3]x x t x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩－,－－－其中t>0．若函数y ＝()f x x－15的零点个数是5，则t 的取值范围为( )A ．（25，1） B ．（25，65） C ．（1，65） D ．（1，＋∞）9．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（ ） （A ）10,5,5+∞ （]（）（B ）10,[5,5+∞ （））（C ）11,]5,775 （（）（D ）11,[5,775（））10．对于定义域为的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”．现给出如下函数：①； ②；③ ； ④.其中为“敛1函数”的有A ．①②B ．③④C ． ②③④D ．①②③第II 卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分）11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，不等式()(31)f x a f x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．12．设C B A P ,,,半径为2的球面上四点，且满足PA ∙PB =0,PA ∙PC =0,PB ∙PC=0,则PBC PAC PAB S S S ∆∆∆++的最大值是_______________13．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，不等式()(31)f x a f x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 14．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末理）在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=．15．已知集合22{()|()()()()}A f x f x f y f x y f x y x y =-=+⋅-∈R ，、，有下列命题：①若1,0()1,0x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，则()f x A ∈； ②若()f x kx =，则()f x A ∈；③若()f x A ∈，则()y f x =可为奇函数；④若()f x A ∈，则对任意不等实数12,x x ，总有1212()()f x f x x x -<-成立．其中所有正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分）D ()y f x =c ξ,x D ∃∈0|()|f x c ξ<-<()y f x =c ()()f x x x Z =∈()()112xf x x Z ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭()2log f x x =()1x f x x -=16．（本小题满分12分）已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．（Ⅰ）若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值； （Ⅱ）若3c =，ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．M NθACB17．(湖北省黄冈市2013年3月高三质量检测理)（本小题满分12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的.（Ⅰ）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率.（Ⅱ）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率.（Ⅲ）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望.18．（本小题满分12分）在等腰梯形PDCB 中（如图1），PB DC //,33==CD PB ,2=PD ，PB DA ⊥,垂足为A ，将PAD ∆沿AD 折起，使得AB PA ⊥，得到四棱锥ABCD P -(如图2) （1）求证：平面⊥PAD 平面PCD ；（2）点M 在棱PB 上，平面AMC 把四棱锥ABCD P -分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比，即45=-ABC M PMACD V V 时，求MBPM的值；（3）在（2）的条件下，求证：PD //平面AMC .PABCDM图2PABD C图119．（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和)(2)21(*1N n a S n n n ∈+--=-，数列{b n }满足n n n a b 2=. （1）求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n n 1的前n 项和为T n ，证明：*N n ∈且3≥n 时，125+>n n T n ； （3）设数列{c n }满足n c a n n n n λ1)1()3(--=-（λ为非零常数，*N n ∈），问是否存在整数λ，使得对任意*N n ∈，都有n n c c >+1.20（本小题满分13分）已知函数)()(b ax e x f x+=，曲线)(x f y =经过点)2 , 0(P ，且在点P 处的切线为l ：24+=x y ．⑴ 求常数a ，b 的值；⑵ 求证：曲线)(x f y =和直线 l 只有一个公共点；⑶ 是否存在常数k ，使得]1 , 2[--∈x ，)24()(+≥x k x f 恒成立？若存在，求常数k 的取值范围；若不存在，简要说明理由．21. （本小满分14分）已知函数()(1)ln 15af x x a x a x=++-+，322()23(2)664F x x a x x a a =-+++--，其中0a <且1a ≠-．(1) 当2a =-，求函数()f x 的单调递增区间；(2) 若1x =时，函数()F x 有极值，求函数()F x 图象的对称中心坐标；（3）设函数2(()66(1))e ,1,()e (),1.x F x x a x x g x f x x ⎧-+-⋅=⎨⋅>⎩≤ （e 是自然对数的底数），是否存在a 使()g x 在[,]a a -上为减函数，若存在，求实数a 的范围；若不存在，请说明理由．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷,含答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点 A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．若0a b >>，0c d <<，则一定有 A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。
四川省泸州市2014届高三第一次教学质量诊断性考试数学(理)试题_Word版含解析
6.方茴说："我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
"7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
1."噢，居然有土龙肉，给我一块！"2.老人们都笑了，自巨石上起身。
而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则()U C M N =( )A ．{5，7}B ．{2，4}C ．{1，3，5，6，7}D ．{2，4，8}2. 下列命题中的假命题是( ) A ．x ∀∈R ，120x ->B ．x *∀∈N ，2(1)0x ->C ．x ∃∈R ，lg 1x <D ．x ∃∈R ，tan 2x =6.方茴说："我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
"7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
1."噢，居然有土龙肉，给我一块！"2.老人们都笑了，自巨石上起身。
而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。
3.12lg 2lg 25-的值为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】试题分析：2112lg2lglg(2)lg10022525-=÷==，故选B. 考点：对数与对数运算4.函数21()(1)sin f x x x =-的图象大致为6.方茴说："我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
2013-2014学年上学期期末考试理科数学答案
2013－2014学年上学期期末调研考试高二理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1. D 2．C 3．B 4．C 5．C 6．D 7．C 8．B 9．A 10．A 11．C 12．D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.32π； 14. 1+n n ； 15.34； 16. ①③④ 三、解答题：本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于B A ,两点，通过点A 和抛物线顶点O 的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．证明：设),,2(020y pyA 则直线OA 的方程为)0(200≠=y x y py ①……………2分 准线方程为2p x -=② 联立①②可得点D 的纵坐标为02y p y -=③……………4分因为)0,2(p F ，所以可得直线AF 的方程为)2(22200px py py y --=，④ 其中.220p y ≠将④与)0(22>=p px y 联立可得点B 的纵坐标为02y p y -=⑤…………7分由③⑤可知，DB ∥x 轴．……………8分 当220p y =时，结论显然成立．……………9分所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴．……………10分 18．（本小题满分12分）已知命题[]0,2,1:2≥-∈∀a x x p ；命题,:0R x q ∈∃使得01)1(020<+-+x a x ．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．解：p 真，则1≤a ，q 真，则,04)1(2>--=∆a 即3>a 或1-<a ．………3分 因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以p ，q 中必有一个为真，另一个为假，……………7分当p 真q 假时，有⎩⎨⎧≤≤-≤311a a 得11≤≤-a ，……………9分当p 假q 真时，有⎩⎨⎧-<>>131a a a 或得3>a ，……………11分综上，实数a 的取值范围为11≤≤-a 或3>a ．……………12分 19．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥ABCD P -的底面为等腰梯形，AB ∥BD AC CD ⊥,，H 为垂足，PH 是四棱锥的高，，E 为AD 中点．请建立合适的空间直角坐标系，在坐标系下分别解答下列问题．（1）证明：BC PE ⊥；（2）若,60=∠=∠ADB APB 求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．BA解：以H 为原点，HP HB HA ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则).0,1,0(),0,0,1(B A ………1分（1）证明：设),0,0)(,0,0(),0,0,(><n m n P m C 则).0,2,21(),0,,0(mE m D 可得).0,1,(),,2,21(-=-=→-→-m BC n mPE因为,0022=+-=⋅→-→-mm BC PE 所以BC PE ⊥．………4分 （2）由已知条件可得,1,33=-=n m 故).1,0,0(),0,63,21(),0,33,0(),0,0,33(P E D C ---………5分 设),,(z y x n =→为平面PEH 的法向量，则,00⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→-→→-→HP n HE n 即⎪⎩⎪⎨⎧==--,0,06321z z y x ……………8分 因此可以取).0,3,1(=→n ……………9分 由),1,0,1(-=→-PA 可得,42,cos =><→→-n PA ……………11分 所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为.42……………12分 20．（本小题满分12分）如图，一个结晶体的形状为平行六面体．（1）如果其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，求以这个顶点A 为端点的晶体的对角线的长与棱长的关系；（2）如果已知,1d AC =,,b AD a AB ==,1c AA =，并且以A 为端点的各棱间的夹角都相等为θ，试用d c b a ,,,表示θcos 的值；（3）如果已知该平行六面体的各棱长都等于a ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于θ，求这个平行六面体相邻两个面夹角α的余弦值．解：（1）设.60,1111=∠=∠=∠===DAA BAA BAD AD AA AB2121)(→-→-→-→-++=AA AD AB AC)(2112122→-→-→-→-→-→-→-→-→-⋅+⋅+⋅+++=AA AD AA AB AD AB AA AD AB,6)60cos 60cos 60(cos 2111=+++++= ……………2分所以,61=→-AC 即A 为端点的晶体的对角线的长是棱长的6倍．……………3分（2）21212)(→-→-→-→-++==AA AD AB AC d,cos )(2222θca bc ab c b a +++++=解得)(2cos 2222ca bc ab c b a d ++---=θ．……………6分（3）在平面1AB 内作E AB E A ,1⊥为垂足，在平面AC 内作F AB CF ,⊥为垂足．.cos ,sin 1θθa BF AE a CF E A ====……………9分θα22111sin )()(cos a BF CB AE A A CFE A CF E A →-→-→-→-→-→-→-→-+⋅+=⋅⋅=θθθπθθπθθ2222222sin cos )cos(cos )cos(cos cos a a a a a +-+-+=.cos 1cos θθ+=……………12分11D CA21．（本小题满分12分）两个数列{}n a 和 {}n b ，满足)(2132*321N n nna a a a b nn ∈+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++=，6)12)(1(3212222++=+⋅⋅⋅+++n n n n ．求证：{}n b 为等差数列的充要条件是{}n a 为等差数列． 证明：（必要性）由已知，得,2)1(32321n n b n n na a a a +=+⋅⋅⋅+++① …………………1分于是有,2)1()1(3211321--+=-+⋅⋅⋅+++n n b n n a n a a a ②……………2分 由①-②，得1)1(21)1(21---+=n n n b n b n a ．………………3分 设等差数列{}n b 的公差为d ，由已知，得,11b a =则d n a b n )1(1-+=， 所以[]d n a d n a a n 23)1()1(322111∙-+=-+=．……………5分 所以数列{}n a 是以1a 为首项，以d 23为公差的等差数列．…………6分 （充分性）由已知，得,322)1(321n n na a a a b n n +⋅⋅⋅+++=+③ 设等差数列{}n a 的公差为/d ，则[]/1/1/11321)1()2(3)(232d n a n d a d a a na a a a n -++⋅⋅⋅+++++=+⋅⋅⋅+++)-3-32-2)321(222/1n n d n a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++=（⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++∙++=2)1(6)12)(1(2)1(/1n n n n n d n n a ),1(322)1(2)1(/1-∙+∙++=n n n d n n a 由③，得),1(32/1-+=n d a b n …………………10分 所以数列{}n b 是以1a 为首项，以/32d 为公差的等差数列．……………11分综上，{}n b 为等差数列的充要条件是{}n a 为等差数列．…………………12分 22．(本小题满分12分)已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的右焦点与抛物线x y C 4:22=的焦点重合，椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ，.35=PF 过点)0,1(-A 作直线交椭圆与M 、N 两点．（1）求椭圆1C 的方程； （2）求MN 的最大值；（3）求线段MN 的中点R 的轨迹方程． 解：（1）易得),0,1(F 因为35=PF ，根据抛物线定义知,351=+p x 所以32=p x ， 将),32(p y P 代入x y C 4:22=解得38=p y ， 所以)38,32(P ，将点P 坐标代入)0(1:22221>>=+b a by a x C 得1389422=+b a ①……………3分 又在椭圆中有1222==-c b a ② 联立①②解得,3,422==b a所以椭圆1C 的方程为13422=+y x ．……………4分 （2）当直线MN 垂直x 轴时，方程为,1-=x 此时线段MN 为通径MN =322=ab ； 当直线MN 不垂直x 轴时，设直线MN 的斜率为k ，方程为)1(+=x k y ，………5分与13422=+y x 联立消去y 得,01248)43(2222=-+++k x k x k 设),(),,(2211y x N y x M ，由韦达定理得2221222143124,438k k x x k k x x +-=+=+根据弦长公式得)43()124(4)43(641242242k k k k kMN +-⨯-++= 2243)1(12k k ++=……………6分设m k k =++22431，所以)041(41132≠---=m m m k 因为,02≥k 所以04113≥--m m ，解得,3141≤<m ……………7分所以,4123≤<m由前面知MN =322=ab 所以43≤≤MN ，故MN 的最小值为3（此时为通径长），最大值为4（此时为实轴长）．……………8分 （3）设),,(y x R ),(),,(2211y x N y x M ，则21212,2y y y x x x +=+=，③………9分将),(),,(2211y x N y x M 分别代入13422=+y x 得 ,134,13422222121=+=+yx y x 两式相减得 ,4321212121-=++⨯--x x y y x x y y ④因为M 、N 、R 、A 四点共线，所以有12121+=--x yx x y y ⑤ 将③、⑤代入④化简得034322=++x y x ，……………11分因为点R 在椭圆1C 的内部，所以13422<+y x ， 因此R 的轨迹方程为034322=++x y x （13422<+y x ）．……………12分。
2014年测试卷答案-数学理
测试卷A答案数学(理科)说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
1．B 2．D 3．A 4．B5．D6．B 7．A 8．D 9．C 10．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分，满分28分。
11．313212．32 13．(4，－4) 14．(－2，－13)15．24716．120 17．[－2，2]三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．本题主要考查三角变换、三角函数值域等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ) 因为4sin A sin C－2 cos (A－C)＝4sin A sin C－2cos A cos C＋2 sin A sin C＝－2(cos A cos C－sin A sin C)，所以－2 cos (A＋C)＝1，故Z数学（理科）试题答案第1页（共8页）Z 数学（理科）试题答案第 2 页 （共 8 页）cos B ＝12． 又0＜B ＜π，所以B ＝π3． ………… 6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知C ＝2π3－A ，故sin A ＋2 sin C ＝2 sin Acos Asin (A ＋θ)， 其中0＜θ＜π2，且sin θcos θ由0＜A ＜2π3知，θ＜A ＋θ＜2π3＋θ，故sin (A ＋θ)≤1． 所以sin A ＋2 sin C ∈]． ………… 14分 19．本题主要考查等比数列的概念与求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能力。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(四川.理)含详解
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工类)本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。
第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 24s R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么243v R π=在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径n ()(1)(0,1,2,...)k k n kn P k C p p k n -=-= 第一部分（选择题 共60分）注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。
2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是 (A)16 (B)13 (C)12 （D ）23答案：B解析：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==。
2、复数1i i-+=(A)2i - （B ）12i （C ）0 （D ）2i 答案：A解析：12i i i i i-+=--=- 3、1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ⇒ （B ）12l l ⊥，23l l ⇒13l l ⊥ (C)233l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 答案：B解析：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定 4、如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF答案D 解析：B AC ++=+5、5函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 答案：B解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。
。2014级上学期期末数学参考答案
参考答案一、选择题1—5 DACAB; 6—10 BACDB二、填空题11、,22,1;12、3log 2；13、2；14、1 ; 15、②③16．解：832543yx yx解得21yx --------4分所以交点（-1，2）（1）2k-----3分直线方程为02yx --------8分（2）21k---------6分直线方程为052y x --------12分17.（1）因为函数y=f(x)在R 上至少有一个零点，所以方程x 2＋2ax ＋1－a =0至少有一个实数根，所以Δ=2a ×2a-4(1-a)≥0,得（2）函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1－a ，对称轴方程为x ＝-a . (1)当-a <0即a>0时，f (x )min ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝-2，∴a ＝3……….6分(2)当0≤-a ≤１即-1≤a ≤0时，f (x )min ＝f(-a)=-a 2－a ＋1，∴-a 2－a ＋1＝-2，∴a=(舍)……..8分(3)当-a>1即a<-1时， f (x)min ＝f (1)＝2+a ，∴2+a=-2 , ∴a ＝-4……….10分综上可知，a ＝－4或a ＝3. ..................................12分18.解：（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ．连结EO ．∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点．在△PAC 中，EO 是中位线，∴ PA//EO ．而EO 平面EDB ，且PA平面EDB ，所以，PA//平面EDB ．……6分(2) EFDBV =94……12分19.（1）证明：直线l 的方程可化为(27)(4)0xym xy. ……2分联立2704x y xy 解得31x y 所以直线l 恒过定点(3,1)P .……4分（2）当直线l 与CP 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦何时最短.……6分设此时直线与圆交与,A B 两点.直线l 的斜率211m k m ，121312CPk .由211()112m m 解得34m .……8分此时直线l 的方程为250xy.圆心(1,2)C 到250xy 的距离|225|55d. ……10分22||||25525AP BP r d.所以最短弦长||2||45AB AP . …………12分20.解:(1)证明:连BD,设AC 交BD 于O,由题意SO ⊥AC.在正方形ABCD 中,AC ⊥BD,所以AC ⊥平面SBD,得AC ⊥SD …………4分(2)设正方形边长a,则a SD2.又a OD22,所以∠SDO ＝60°．连OP,由(1)知AC ⊥平面SBD,所以AC ⊥OP,且AC ⊥OD.所以∠POD 是二面角P －AC－D 的平面角. 由SD ⊥平面PAC,知SD ⊥OP,所以∠POD ＝30°，即二面角P －AC －D 的大小为30° (8)分km4412116341 (3)在棱SC 上存在一点E,使BE ∥平面PAC. 由(2)可得a PD42,故可在SP 上取一点N,使PN ＝PD.过N 作PC 的平行线与SC的交点即为 E.连BN,在△BDN 中知BN ∥PO . 又由于NE ∥PC,故平面BEN ∥平面PAC,得BE ∥平面PAC. 由于SN ∶NP ＝2∶1,故SE ∶EC ＝2∶1…………13分21.解：（1）∵xx f 3)(,且18)2(af ∴1832a ，23a∵xxaxaxx g 4)3(43)(，∴xxx g 42)(4分（2）10)(，x g 在上单调递减，证明如下：设1021x x )221)(22(4242)()(2112112212x x x x x x x x x g x g ∵1021x x ∴,221,221,222112x x x x ∴422221x x ∴1221321x x ，∴0)221)(22(2112x x x x ∴)()(12x g x g ∴10)(，x g 在上单调递减…………9分（3）方程为240ttm，令2,2,2tkx，则1,44k方程20kkm 在4,41内有两个不同的解2211()24mkkk 由图知31,164m时，方程有两个不同解∴31,164M (14)分。
四川省泸州市2014届高三数学第一次教学质量诊断性考试试题 理
泸州市2014届高三第一次教学教学质量诊断性考试数学（理工类）一、选择题：本大题共有10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则()U M N ð=A ．{5，7}B ．{2，4}C ．{1，3，5，6，7}D ．{2，4，8}2. 下列命题中的假命题是A ．x ∀∈R ，120x ->B ．*x ∀∈N ，2(1)0x ->C ．x ∃∈R ，lg 1x <D ．x ∃∈R ，tan 2x =3. 12lg 2lg25-的值为 A ．1 B ．2C ．3D ．44. 函数21()(1)sin f x x x=-的图象大致为A ．B ．C ．D ．5．△ABC 中，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ=A ．13B ．23C ．23-D ．13-6. 将函数()sin(2)()22f x x ππθθ=+-<<的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 、()g x的图象都经过点P ，则ϕ的值可以是A ．53πB ．56πC ．2πD ．6π7. 设数列{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8. 若曲线12()f x x -=在点(,())a f a 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a = A ．64B ．32C ．16D ．89．一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是 A ．1025B ．1035C ．1045D ．105510．定义在R 上的函数()f x 满足221,11(4)(),()log (|2|2),13x x f x f x f x x x ⎧-+-⎪+==⎨--+<⎪⎩≤≤≤，若关于x 的方程()0f x ax -=有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是A ．11(,)43B ．11(,)64C．1(16)6-D．1(,86-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．11．复数22(56)(215)i m m m m +++--（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为 ． 12．等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a = ． 13．使不等式3log 14a<（其中01a <<）成立的a 的取值范围是 ． 14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意[,2]x a a ∈+，不等式()(31)f x a f x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．15．已知集合22{()|()()()()}A f x f x f y f x y f x y x y =-=+⋅-∈R ，、，有下列命题：①若1,0()1,0x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，则()f x A ∈；②若()f x kx =，则()f x A ∈；③若()f x A ∈，则()y f x =可为奇函数； ④若()f x A ∈，则对任意不等实数12,x x ，总有1212()()0f x f x x x -<-成立．其中所有正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下．（Ⅰ）计算样本的平均成绩及方差；（Ⅱ）现从10个样本中随机抽出2名学生的成绩，设选出学生的分数为90分以上的人数为X ，求随机变量ξ的分布列和均值． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC的面积，满足2224)S a b c =+- ．(Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)若tan 21tan A cB b+=，且8AB BC =-，求c 的值．18. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36a =，10110S =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 前n 项和为n T，且1n a n T =-，令()n n n c a b n *=∈N ．求数列{}n c 的前n 项和n R . 19．（本小题满分12分）已知函数321()43sin 32f x x x θ=-+，其中x ∈R ，[0,]θπ∈． (Ⅰ)若函数()f x '的最小值为34-，试判断函数()f x 的零点个数，并说明理由；(Ⅱ)若函数()f x 极小值大于零，求θ的取值范围． 20．（本小题满分13分）设平面向量2cos )x x =，a ，(2sin(),cos )2x x π=-b ，已知()f x m =⋅+a b 在[0,]2π上的最大值为6．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若014()25f x π+=，0[,]42x ππ∈．求0cos 2x 的值．21. （本小满分14分）已知函数()(1)ln 15af x x a x a x=++-+，322()23(2)664F x x a x x a a =-+++--，其中0a <且1a ≠-．(Ⅰ) 当2a =-，求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ) 若1x =时，函数()F x 有极值，求函数()F x 图象的对称中心坐标；（Ⅲ）设函数2(()66(1))e ,1,()e (),1.x F x x a x x g x f x x ⎧-+-⋅=⎨⋅>⎩≤ （e 是自然对数的底数），是否存在a 使()g x 在[,]a a -上为减函数，若存在，求实数a 的范围；若不存在，请说明理由．一、选择题二、填空题 11．2-； 12. 3(0,)(1,)4+∞ ； 13. 14n n a -=； 14. (,5]-∞-； 15. ②③．2分 4分6分7210C 7(0)15C P ξ===，37210C C 7(1)15C P ξ===，3210C 1(2)15C P ξ===． ······ 10分ξ1 2 P71571511577130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=．···················· 12分 17．解：(Ⅰ) 1sin 2S ab C =，且2222cos a b c ab C +-=. ··············· 2分因为2224)S a b c =+-，所以14sin cos 2ab C C ⨯=， ··················· 3分所以tan C = ·························· 4分 因为0C π<<，题号12 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 Ｄ ＢＢＡＢＢCＡCD所以π3C =； ··························· 6分 （Ⅱ）由tan 21tan A cB b+=得： cos sin sin cos 2cos sin A B A B cA B b +=， ···················· 7分 即sin 2cos sin C c A B b=，························· 8分 又由正弦定理得1cos 2A =， ····················· 9分∴60A =，∴△ABC 是等边三角形， ······················ 10分 ∴cos1208AB BC c c =⨯⨯=-， ··················· 11分 所以4c =. ···························· 12分18．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵126a d +=，12922a d +=， ···················· 2分 ∴12a =,2d =， ·························· 4分 所以数列{}n a 的通项公式()2122n a n n =+-⋅=； ············ 6分（Ⅱ）因为21111()2n a n n n T =-=-=-， ···············7分 当1n =时，211112a T ==-=，当2n ≥时，111111()1()()222n n n n n n a T T --=-=--+=，且1n =时满足1()2n n a =， ······················ 8分所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =；所以1222n n n n nc -==， ························ 9分 所以01211232222n n nR -=++++，即23112322222n n nR =++++， ···················· 10分 两式相减得：0121111111122212222222212nn n n n nn n n R --+=++++-=-=--， ··· 11分 所以1242n n n R -+=-． ························ 12分19．解：（I ）2()126sin f x x x θ'=-， ······················· 1分当sin 4x θ=时，()f x '有最小值为23()sin 4f x θ'=-， 所以233sin 44θ-=-，即2sin 1θ=， ·················· 2分因为[0,]θπ∈，所以sin 1θ=， ···················· 3分所以2()126f x x x '=-，所以()f x 在1(0,)2上是减函数，在(,0)-∞，1(,)2+∞上是增函数， ····· 4分而1(0)032f =>，17()0232f =-<， ··················5分 故函数()f x 的零点个数有3个； ··················· 6分(Ⅱ) 2()126sin f x x x θ'=-，令()0f x '=，得12sin 0,2x x θ==， ········ 7分 函数()f x 存在极值，sin 0θ≠， ·················· 8分由[0,]θπ∈及（I ），只需考虑sin 0θ>的情况．当x 变化时，()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表：因此，函数()f x 在sin 2x θ=处取得极小值3sin 11()sin 2432f θθ=-+， ··· 10分 要使sin ()02f θ>，必有311sin 0432θ-+>可得10sin 2θ<<，······· 11分所以θ的取值范围是5(0,)(,)66ππθπ∈．··············· 12分20．解：（Ⅰ）2()2sin()2cos 2f x x x x m π⋅-++， ··············· 1分222cos x x m =++， ······················ 2分2sin(2)16x m π=+++ ························3分 7[0,],2[,]2666x x ππππ∈+∈， ····················4分 12sin(2)[,1]62x π∴+∈-， ······················5分 max ()216,3f x m m ∴=++=∴=，所以3m =； ··························· 6分（Ⅱ）因为()2sin(2)46f x x π=++，由014()25f x π+=得：0142sin[2()]4265x ππ+++=，即03sin(2)65x π+=， ············7分 因为0[,]42x ππ∈，则0272[,]636x πππ+∈， ················ 8分因此0cos(2)06x π+<，所以04cos(2)65x π+=-， ······················· 9分于是00cos2cos[(2)]66x x ππ=+-， ··················· 10分00cos(2)cos sin(2)sin 6666x x ππππ=+++431552=-⨯=． ····················· 12分 21．解：(Ⅰ) (Ⅰ) 当2a =-，2222332()1x x f x x x x -+'=+-=， ···················· 1分 设()0f x '>，即2320x x -+>， 所以1x <，或2x >， ························ 2分 ()f x 单调增区间是(0,1)，(2,)+∞； ·················· 4分 (Ⅱ)当1x =时，函数()F x 有极值，所以2()66(2)6F x x a x '=-+++， ··················· 5分 且(1)0F '=，即2a =-， ······················· 6分 所以3()264F x x x =-+-，3()261F x x x =-++的图象可由31()26F x x x =-+的图象向下平移4个单位长度得到，而31()26F x x x =-+的图象关于(0,0)对称， ············ 7分 所以3()261F x x x =-++的图象的对称中心坐标为(0,4)-； ········ 8分 （Ⅲ）假设存在a 使()g x 在[,]a a -上为减函数，设23221()()66(1))e (23664)e x x h x F x x a x x ax ax a a =-+-⋅=-++--⋅，2()e ()e ((1)ln 15)ah x f x x a x a x=⋅=⋅++-+，3221()(23(2)124)e x h x x a x ax a '=-+-+-⋅， ·············· 9分 设322()(23(2)124)m x x a x ax a =-+-+-，当()g x 在[,]a a -上为减函数，则1()h x 在[,1]a 上为减函数，2()h x 在[1,]a -上为减函数，且12(1)(1)h h ≥． ···················· 10分 由（Ⅰ）知当1a <-时，()f x 的单调减区间是(1,)a -， 由12(1)(1)h h ≥得：241330a a ++≤，解得：134a --≤≤， ······················ 11分当1()h x 在[,1]a 上为减函数时，对于[,1]x a ∀∈，1()0h x '≤即()0m x ≤恒成立， 因为()6(2)()m x x x a '=-+-，（1）当2a <-时，()m x 在[,2]a -上是增函数，在(,],[2,)a -∞-+∞是减函数，所以()m x 在[,1]a 上最大值为2(2)4128m a a -=---，故2(2)41280m a a -=---≤，即2a -≤，或1a -≥，故2a <-； ················ 12分 （2）当2a >-时，()m x 在[2,]a -上是增函数，在(,2],[,)a -∞-+∞是减函数，所以()m x 在[,1]a 上最大值为2()(2)m a a a =+，故2()(2)0m a a a =+≤，则2a -≤与题设矛盾； ··········· 13分 （3）当2a =-时，()m x 在[2,1]-上是减函数，所以()m x 在[,1]a 上最大值为2(2)41280m a a -=---=， 综上所述，符合条件的a 满足[3,2]--． ··············· 14分。
四川省泸州市泸县2024届高三上学期期末数学(理)试题含答案
泸县2023年秋期高三期末考试理科数学（答案在最后）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣，则M N ⋂=（）A.{21}x x -≤<∣B.{21}x x -<≤∣C.{2}xx ≥-∣ D.{1}xx <∣【答案】A 【解析】【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣，{10}{|1}N x x x x =-<=<∣，根据交集的运算可知，{|21}M N x x =-≤< .故选：A2.某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本．若样本中A 型号的产品有20件，则样本容量n 为（）A.50B.80C.100D.200【答案】C 【解析】【分析】直接由分层抽样的定义按比例计算即可.【详解】由题意样本容量为220100235n =÷=++.故选：C.3.已知()21i 32i z -=+，则z =（）A.31i 2--B.31i 2-+C.3i 2-+ D.3i 2--【答案】B【解析】【分析】由已知得32i2iz +=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】()21i 2i 32i z z -=-=+，()32i i 32i 23i 31i 2i 2i i 22z +⋅+-+====-+--⋅.故选：B.4.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则z ＝2x ＋y 的最小值是（）A.－15B.－9C.1D.9【答案】A 【解析】【分析】作出可行域，z 表示直线2y x z =-+的纵截距，数形结合知z 在点B (－6，－3)处取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，目标函数2z x y =+，z 表示直线2y x z =-+的纵截距，()223066,3303x y x B y y +-==-⎧⎧⇒⇒--⎨⎨+==-⎩⎩，数形结合知函数2y x z =-+在点B (－6，－3)处纵截距取得最小值，所以z 的最小值为－12－3＝－15.故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.5.已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.6.将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（）A.16B.14C.13D.12【答案】C 【解析】【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又C 关于y 轴对称，则,232k k ωππππ+=+∈Z ，解得12,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，故当0k =时，ω的最小值为13.故选：C.7.已知ABC 中，2AB =，1AC =，1AB AC ⋅=，O 为ABC 所在平面内一点，且满足230OA OB OC ++= ，则AO BC ⋅的值为（）.A.4- B.1- C.1D.4【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量线性运算得到1132AO AB AC =+，再使用平面向量数量积运算法则进行计算.【详解】∵230OA OB OC ++=，∴2()3()0OA OA AB OA AC ++++= ，∴1132AO AB AC =+ ，∴2211111()()132236AO BC AB AC AC AB AC AB AB AC ⋅=+⋅-=--⋅=-，故选：B.8.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．9.已知π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2425 B.2425-C.725D.725-【答案】D 【解析】【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.【详解】π2ππ2πsin 2sin 2cos 26323ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2π72sin 1325α⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭.故选：D10.甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A.193243B.100243C.23D.59【答案】B 【解析】【分析】根据题意，先求得所有情况数，然后求得甲去A 的情况数，从而得到甲不去A 小区的情况数，再结合概率公式，即可得到结果.【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=故选：B.11.已知三棱锥-P ABC 的外接球半径为5，6AB =，90ACB ∠=︒，60APB ∠=︒，则平面PAB 与平面ABC 的夹角的余弦值为（）A.4B.12C.2D.4【答案】D 【解析】【分析】先设AB 的中点为M ，M 为ABC 的外接圆圆心；PAB 的外接圆圆心为N ，三棱锥-P ABC的外接球球心为O ，由正弦定理确定NA =，在中Rt OMC 由勾股定理确定4OM =，在Rt AMN中由勾股定理确定MN =，作出二面角P AB C --的平面角NMD ∠，求()cos cos 90sin 4NMD OMN OMN ∠=︒-∠=∠=即可.【详解】不妨设二面角P AB C --为锐角，设AB 的中点为M ，因为90ACB ∠=︒，所以M 为ABC 的外接圆圆心；设PAB 的外接圆圆心为N ，三棱锥-P ABC 的外接球球心为O ，如图，连接OM ，ON ，MN ，OC ，则OM ⊥平面ABC ，ON ⊥平面PAB ，MN AB ⊥，在PAB 中，60APB ∠=︒，6AB =，所以由正弦定理知2sin ABNA APB=∠，所以NA =在Rt ABC △中，由6AB =，得3CM =；在Rt OMC 中，由5OC =，3CM =，得4OM =；在Rt AMN 中，3AM =，NA =MN =；所以在Rt OMN △中，cos 4MN OMN OM ∠==，从而sin 4OMN ∠=；在平面ABC 内过点M 作DM AB ⊥交AC 于D ，则NMD ∠为二面角P AB C --的平面角，易知OM DM ⊥，所以()cos cos 90sin 4NMD OMN OMN ∠=︒-∠=∠=.故选：D.12.已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y a b a b Γ-=>>的左、右焦点，过1F 的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，23CB F A =，2BF 平分1F BC ∠，则双曲线Γ的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据23CB F A =可知2//CB F A ，再根据角平分线定理得到1,BF BC 的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用,,a b c 表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】因为23CB F A =，所以12F AF ∽1F BC △，设122F F c =，则24F C c =，设1AF t =，则13BF t =，2AB t =．因为2BF 平分1F BC ∠，由角平分线定理可知，11222142BF F F c BCF Cc ===，所以126BC BF t ==，所以2123AF BC t ==，由双曲线定义知212AF AF a -=，即22t t a -=，2t a =，①又由122BF BF a -=得2322BF t a t =-=，所以222BF AB AF t ===，即2ABF △是等边三角形，所以2260F BC ABF ∠=∠=︒．在12F BF 中，由余弦定理知22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅，即22214942223t t c t t+-=⋅⋅，化简得2274t c =，把①代入上式得ce a==故选：A ．第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+=【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当=1x -时，=3y -，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．14.若()56016(12)2x x a a x a x -+=+++，则3a =___________．【答案】120-【解析】【分析】结合展开式第1r +项的通项公式可得3x 项及其系数.【详解】5(12)x -展开式第1r +项155C (2)C (2)r r r r rr T x x +=-=-，2r =时，22235C (2)40x x x ⋅-=，3r =时，333352C (2)160x x -=-，3340160120x x -=-．3120a ∴=-.故答案为：120-15.过点()2,1P -作抛物线2:2C x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为___________.【答案】210x y -+=【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再利用直线方程的相关知识即可求出.【详解】抛物线2:2C x y =可写成：2=2x y 且=y x'设1122(,),(,)A x y B x y ，则两条切线的斜率分别为1122,k x k x ==两条切线的方程为：111()y y x x x -=-111()y y x x x -=-又两条切线过点()2,1P -，所以1111(2)y x x --=-1111(2)y x x --=-所以直线AB 的方程为：1(2)y x x --=-又22x y =，所以直线AB 的方程为：210x y -+=.故答案为：210x y -+=.16.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，M 在线段BC 上，且1,3CM BC N =是侧面11CDD C 上一点，且MN 平面1A BD ，则线段MN 的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】在线段CD 上取一点E ，使得13CE CD =，在线段1DD 上取一点F ，使得1113D F DD =，连接1,,ME EF CD ，易证平面MEF 平面1A BD ，得到N 的轨迹为线段EF 求解.【详解】解：如图，在线段CD 上取一点E ，使得13CE CD =，在线段1DD 上取一点F ，使得1113D F DD =，连接1,,ME EF CD ，因为1113D F CM CE BC CD DD ===，所以ME ,BD EF 1CD ，又1A B 1CD ，所以EF 1A B ，因为ME ⊄平面1,A BD BD ⊂平面1A BD ，所以ME 平面1A BD ，同理，因为EF ⊄平面11,A BD A B ⊂平面1A BD ，所以EF 平面1A BD ，又ME EF E ⋂=，所以平面MEF 平面1A BD ，因此，N 在线段EF 上.因为ME MF ====所以线段MN.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某实验学校为提高学习效率，开展学习方式创新活动，提出了完成某项学习任务的两种新的学习方式.为比较两种学习方式的效率，选取40名学生，将他们随机分成两组，每组20人，第一组学生用第一种学习方式，第二组学生用第二种学习方式.40名学生完成学习任务所需时间的中位数40min m =，并将完成学习任务所需时间超过min m 和不超过min m 的学生人数得到下面的列联表：超过m不超过m第一种学习方式155第二种学习方式515（Ⅰ）估计第一种学习方式且不超过m 的概率、第二种学习方式且不超过m 的概率；（Ⅱ）能否有99%的把握认为两种学习方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，P （2K k ≥）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（Ⅰ）18；38；（Ⅱ）有.【解析】【分析】（Ⅰ）根据古典概型概率公式求解即可.（Ⅱ）根据2K 的计算公式计算其观测值，并与附录中的数据进行对比可得结论.【详解】（Ⅰ）根据列联表得：第一种学习方式且不超过m 的概率151408p ==.第二种学习方式且不超过m 的概率2153408p ==.（Ⅱ）由于()224015155510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种学习方式的效率有差异.【点睛】本题考查独立性检验的应用问题，考查古典概型概率问题，属于基础题.18.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+．证明如下：当1n =时，13a =成立；假设()n k k *=∈N时，21kak =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n ∈N ，都有21n a n =+成立；［方法二］：构造法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由123,5a a ==得212a a -=．134n n a a n +=-，则134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--．令1n n n b a a +=-，且12b =，所以134n n b b -=-，两边同时减去2，得()1232n n b b --=-，且120b -=，所以20n b -=，即12n n a a +-=，又212a a -=，因此{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+．［方法三］：累加法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由134n n a a n +=-得1114333n n n n n a a n +++-=-，即2121214333a a -=-⨯，3232318333a a -=-⨯，……1114(1)(2)333n n n n n a a n n ---=--⨯≥．以上各式等号两边相加得1123111412(1)33333n n n a a n ⎡⎤-=-⨯+⨯++-⨯⎢⎥⎣⎦ ，所以1(21)33n n n a n =+⋅．所以21(2)n a n n =+≥．当1n =时也符合上式．综上所述，21n a n =+．［方法四］：构造法21322345,387a a a a =-==-=，猜想21n a n =+．由于134n n a a n +=-，所以可设()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，其中,λμ为常数．整理得1322n n a a n λμλ+=++-．故24,20λμλ=--=，解得2,1λμ=-=-．所以()112(1)13(21)3211n n n a n a n a +-+-=--=⋅⋅⋅=-⨯-．又130a -=，所以{}21n a n --是各项均为0的常数列，故210n a n --=，即21n a n =+．（2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅［方法一］：错位相减法231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，②由①-②得：()23162222(21)2nn n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.［方法二］【最优解】：裂项相消法112(21)2(21)2(23)2n n n n n n n a n n n b b ++=+=---=-，所以231232222n n n S a a a a =++++ ()()()()2132431n n b b b b b b b b +=-+-+-++- 11n b b +=-1(21)22n n +=-+．［方法三］：构造法当2n ≥时，1(21)2nn n S S n -=++⋅，设11()2[(1)]2nn n n S pn q S p n q --++⋅=+-+⋅，即122n n n pn q p S S ----=+⋅，则2,21,2pq p -⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得4,2p q =-=．所以11(42)2[4(1)2]2nn n n S n S n --+-+⋅=+--+⋅，即{}(42)2nn S n +-+⋅为常数列，而1(42)22S +-+⋅=，所以(42)22n n S n +-+⋅=．故12(21)2n n S n +=+-⋅．因为12(21)2222422nnnnn n n a n n n -=+=⋅+=⋅+，令12n n b n -=⋅，则()()231()0,11n n x x f x x x x x x x-=++++=≠- ，()121211(1)()1231(1)nn n n x x nx n x f x x x nx x x +-'⎡⎤-+-+=++++==⎢⎥--⎢⎥⎣⎦' ，所以12n b b b +++L 21122322n n -=+⋅+⋅++⋅ 1(2)12(1)2n n f n n +==+-+'⋅．故234(2)2222nn S f =++'+++ ()1212412(1)212n n n n n +-⎡⎤=+⋅-++⎣⎦-1(21)22n n +=-+．【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列{}n a 的部分项从而归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；方法二：根据递推式134n n a a n +=-，代换得134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--，设1n n n b a a +=-，从而简化递推式，再根据构造法即可求出n b ，从而得出数列{}n a 的通项公式；方法三：由134n n a a n +=-化简得1114333n n n n n a a n +++-=-，根据累加法即可求出数列{}n a 的通项公式；方法四：通过递推式求出数列{}n a 的部分项，归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，求出,λμ，从而可得构造数列为常数列，即得数列{}n a 的通项公式．（2）方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；方法三：由2n ≥时，1(21)2nn n S S n -=++⋅，构造得到数列{}(42)2nn S n +-+⋅为常数列，从而求出；方法四：将通项公式分解成12(21)2222422n n n n n n n a n n n -=+=⋅+=⋅+，利用分组求和法分别求出数列{}{}12,2nn n -⋅的前n 项和即可，其中数列{}12n n -⋅的前n 项和借助于函数()()231()0,11n n x x f x x x x x x x-=++++=≠- 的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的19.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AC ⊥平面11BCC B ，1AC BC ==，12BB =，160B BC ∠=.（1）证明：1B C AB ⊥；（2）已知点E 在棱1BB 上，二面角1A EC C --为45 ，求1BEBB 的值.【答案】（1）证明见解析（2）112BE BB =【解析】【分析】（1）证明出1B C ⊥平面ABC ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）以点C 为坐标原点，1CB 、CB 、CA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设1BE BB λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，解之即可得出结论.【小问1详解】证明：在1BB C △中，1BC =，12BB =，160B BC ∠= ，由余弦定理可得2221112cos 603B C BB BC BB BC =+-⋅=，所以，11222B C BC BB +=，1BC B C ∴⊥，AC ⊥ 平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，则1AC B C ⊥，AC BC C = ，AC 、BC ⊂平面ABC ，1B C ∴⊥平面ABC ，AB ⊂ 平面ABC ，1B C AB ⊥∴.【小问2详解】解：因为AC ⊥平面11BCC B ，1B C BC ⊥，以点C 为坐标原点，1CB 、CB 、CA 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,1A 、()0,0,0C、)11,0C -、()0,1,0B、)1B ，设))11,0,,0BE BB λλλ==-=- ，其中01λ≤≤，则()))10,1,0,,0,1,0CE CB BB λλ=+=+-=-，所以，)112,0C E CE CC λ=-=--，()1C A =，设平面1AC E 的法向量为(),,m x y z =，则()11020m C A y z m C E x y λ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取2x λ=-，则(m λ=-- ，易知平面1ECC 的一个法向量为()0,0,1n =，由已知可得cos ,2m n m n m n⋅<>==⋅，整理可得22520λλ-+=，01λ≤≤ ，解得12λ=.因此，当E 为棱1BB 的中点时，二面角1A EC C --为45 ，即112BE BB =.20.已知抛物线()2:20C y px p =>，抛物线C 与圆()22:14D x y -+=的相交弦长为4.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）点F 为抛物线C 的焦点，A B 、为抛物线C 上两点，90AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为2536，且直线AB 的斜率存在，求直线AB 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）122y x =-或122y x =-+.【解析】【分析】（1）利用圆与抛物线的对称性可知，点(),2a 在抛物线和圆上，代入方程即可求解.（2）设直线AB 的方程为()0y kx b k =+≠，点A B 、的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，将抛物线与直线联立，分别消,x y ，再利用韦达定理可得两根之和、两根之积，根据向量数量积的坐标运算可得2264b kb k +=，AFB ∆的面积为()()12111122AF BF x x ⨯=++即可求解.【详解】（1）由圆及抛物线的对称性可知，点(),2a 既在抛物线C 上也在圆D 上，有：()224144pa a =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得1,2a p ==故抛物线C 的标准方程的24y x=（2）设直线AB 的方程为()0y kx b k =+≠，点A B 、的坐标分别为()()1122,,,x y x y .联立方程24y x y kx b ⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()222240k x kb x b +-+=，可得12242kb x x k -+=，2122b x x k=联立方程24y xy kx b ⎧=⎨=+⎩，消去x 后整理为2440ky y b -+=，可得124by y k=，16160kb ∆=->，得1kb <由90AFB ∠=︒有，()()11221,,1,FA x y FB x y =-=-，()()121211FA FB x x y y ⋅=--+()1212121x x x x y y =-+++22242410b kb b k k k-=-++=，可得2264b kb k ++=AFB ∆的面积为()()()121212111111222AF BF x x x x x x ⨯=++=+++22222214224122b kb b kb k k k k ⎛⎫--++=++= ⎪⎝⎭()2222222222622b kb k b kb k b kb k b k k k k -+++++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭可得56b k k +=±，有6k b =-或116kb =-联立方程22646b kb k k b⎧++=⎨=-⎩解得122k b =-⎧⎨=⎩或122k b =⎧⎨=-⎩，又由241kb =-<，故此时直线AB 的方程为122y x =-或122y x =-+联立方程2264116b kb k kb ⎧++=⎪⎨=-⎪⎩，解方程组知方程组无解.故直线AB 的方程为122y x =-或122y x =-+【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查了学生的计算能力，属于难题.21.已知函数()e ln(1)x f x x =+．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．【答案】（1）y x=（2）()g x 在[0,)+∞上单调递增.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，由第二问结论可知()m x 在[0,+∞）上单调递增，即得证.【小问1详解】解：因为()e ln(1)x f x x =+，所以()00f =，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1))1xf x x x=+++'，∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x =【小问2详解】解：因为1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+，所以221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++-++'，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'，∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立，∴()g x 在[0,)+∞上单调递增.【小问3详解】解：原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()eln(1)e ln(1)()()11x t x x txm x x t x g x t g x x t x++=+++-+-=+-++'+，由（2）知1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+在[)0,∞+上单调递增，∴()()g x t g x +>，∴()0m x '>∴()m x 在()0,∞+上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ=．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P 满足AP =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】（1）(222x y +=；（2）P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），C 与1C 没有公共点.【解析】【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得；（2）方法一：设(),P x y ，设)Mθθ+，根据向量关系即可求得P 的轨迹1C 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.【详解】（1）由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=，即(222x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=；（2）[方法一]【最优解】设(),P x y ，设),Mθθ+AP =，())()1,1,22cos 2sin x y θθθθ∴-=-=+-，则122cos 2sin x y θθ⎧-=+⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，故P 的轨迹1C的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数） 曲线C的圆心为)，曲线1C的圆心为()3-，半径为2，则圆心距为3-，32-<- ，∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点.[方法二]：设点P 的直角坐标为(,)x y ，1(M x ，1)y ，因为(1,0)A ，所以(1,)AP x y =- ，1(1AM x =- ，1)y ，由AP = ，即1111)x x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，解得112(1)1222x x y y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以((1)12M x -+，)2y ，代入C的方程得22[(1)1()222x y -+-+=，化简得点P的轨迹方程是22(34x y -++=，表示圆心为1(3C -，0)，半径为2的圆；化为参数方程是32cos 2sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，θ为参数；计算1|||(332CC =--=--，所以圆C 与圆1C 内含，没有公共点．【整体点评】本题第二问考查利用相关点法求动点的轨迹方程问题，方法一：利用参数方程的方法，设出M 的参数坐标，再利用向量关系解出求解点P 的参数坐标，得到参数方程.方法二：利用代数方法，设出点P 的坐标，再利用向量关系将M 的坐标用点P 的坐标表示，代入曲线C 的直角坐标方程，得到点P 的轨迹方程，最后化为参数方程.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥【解析】【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时a 的值可求.【详解】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.。
2024学年四川省泸州高级中学数学高三第一学期期末检测试题含解析
2024学年四川省泸州高级中学数学高三第一学期期末检测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为32c ，则双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．2y x =±2．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．845．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 6．已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（ ）A ．10110B ．9110C ．11111D ．122117．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ）AB ．1C ．2D8．在复平面内，复数z =i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A ．12-+ B ．122i -+ C ．122-- D ．122i -- 9．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD10．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ） A ．3.12B ．3.13C ．3.14D ．3.1511．已知函数()12xf x e -=，()ln 12xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A ．0B ．4C ．132e -D ．5+ln 6212．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B C ．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2014年普通高等学校招生统一考试数学试卷(四川.理)
做个会学习的人分水初中教育集团郭水凤【设计背景】从小怪心思很多，想成为这个想成为那个，却又不肯为实现自己的理想付出努力的学生很多。
凭借智力不差，自信满满，低年级成绩还可以；一旦上了初中，功课多了，作业多了，没有具体的学习计划，没有有效的学习方法，头疼医头，脚痛医脚，只会导致处处失败，最后只会从自信、自傲走上自暴自弃。
本活动课旨在对学生学习心理及学习行为方面做些辅导。
【活动目标】1. 引导学生认识制定学习目标的重要性及意义，并学会如何制定大目标及小目标；2. 帮助学生理解并掌握一些行之有效的学习方法，如“每日五件事、及时复习”等。
【活动对象】初中二年级【活动准备】1.准备若干条形纸以备游戏用；2.复印好学习方法测试题，人手一份；3.把班级学生分成若干组，按组围坐，便于讨论。
【活动过程】一、热身游戏——画一画、撕一撕（一）假设我们可以活到一百岁，将一张长纸条折成十等份，每等份代表十岁，象征我们人的一生。
1.找到你现在的年龄所对应的点，画一条竖线；2.通常男性在60岁退休，女性在55岁退休，找到那个年龄所对应的点，画一条竖线；3.设想你希望自己什么时候做到事业有成，找到那个年龄所对应的点，画一条竖线。
指令语：请大家拿起纸条，首先撕去已经过去的时段（如15），再撕去退休及以后的时段，最后撕去事业有成后面的一段。
这剩下的时间分为三份，其中三分之一时间用来睡觉，三分之一时间是吃喝拉撒等杂事，请继续撕去相应时段，看看你手中的纸条还有多长。
请在剩余纸条上撕去你每天因拖拉耗费的时间（如十分之一），最后剩下的代表什么？师：对，这是我们一生中实际可用于学习和干事业的时间！（二）谈感受——时间去哪儿了？师：其实，时间老人很公平，他每天都在我们每个人的“时间银行”里存下同样的数字——24小时，即86400秒。
可是每个人支配时间的方式都不同。
二、你的学习是否得法？请测试一下吧。
本测验共有25道题，每题有5个备选答案，请根据自己的实际情况，在题目后圈出相应的字母（每题只能选出一个答案），这5个字母所代表的意思是: A——很符合自己的情况；B——比较符合自己的情况；C——很难回答；D——不太符合自己的情况；E——很不符合自己的情况。
四川省泸州市泸州高中2014届高三上学期质量摸底考试数学(理)试题Word版含解析
四川省泸州市2014届高三上学期教学质量摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.⒈ 函数y =（ ）A ．{|2}x x ≤B ．{|02}x x ≤≤C ．{|2x x ≥或0}x ≤D ．{|0}x x ≥⒉ = （ ）A ．i -B ．iC ．iD ．i - 【答案】C 【解析】试题分析：32i ==，故选C .考点：复数的基本运算.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若318,S =则2a = （ ）A ．7B ．6C ．5D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：312322318,6S a a a a a =++==∴=，选B . 考点：等差数列.4．若函数()()2sin f x x =+ωϕ()0ω≠的图象关于直线6x π=对称，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 （ ） A ．0B ．3C ．2-D ．2或2-5．已知命题:0318≤-≤x p ，命题2:log 1<q x ，则p ⌝是q ⌝的 （ ）A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．向量a 、b 的夹角为60︒，且1a =，2b =，则2a b -等于 （ ）A ．1BC ．2D ．47．函数22ππcos ()cos ()44y x x =+--是 （ ） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为π的奇函数8. 已知函数23(0)()log (0)x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，下列结论正确的是 （ ）A ．函数()f x 为奇函数B ．11(())49f f =C ．函数()f x 的图象关于直线y =x 对称D ．函数()f x 在R 上是增函数【答案】B 【解析】试题分析：对A 、C 、D ，作出函数()f x 的图象，可知这三个选项均错.对B ．21log 2411(())339f f -===，正)9.[]0,π∈]上的零A10. 已知函数2()||f x x a =-在[1,1]-上的最大值为()M a ，则()M a 的最小值为 （ ）A ．14B ．1C ．12D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡的相应位置.11．在等比数列{}n a 中，28a =，564a =，则公比q 为 .12．在ABC ∆中, ,AB=2，AC=1，D 是边BC 的中点，则____AD BC =.13. 已知cos sin 6⎛⎫-+= ⎪⎝⎭παα7sin 6⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα .14．设集合{|,A x x N =∈且126}x ≤≤，{,,,,}B a b c z =，对应关系:f A B →如下表（即1 到26按由小到大顺序排列的自然数与按照字母表顺序排列的26个英文小写字母之间的一一对应）：又知函数2log (32)(2232)()4(022)x x g x x x -<<⎧=⎨+≤≤⎩，若12[()],((20)],(()]f g x f g f g x ，[(9)]f g 所表示的字母依次排列恰好组成的英文单词为“exam ”，则12x x +=______.15．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )不为常值函数，有以下命题： ①函数g (x )= f (x )＋f (－x )一定是偶函数；②若对任意x R ∈都有()(2)0f x f x +-=，则f (x )是以2为周期的周期函数； ③若f (x )是奇函数，且对任意x ∈R 都有f (x )＋ f (2＋x )=0，则f (x )的图像的对称轴方程为 x =2n ＋1 (n ∈Z )；④对任意x 1,x 2∈R 且12,x x ≠若1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则f (x )为(,)-∞+∞上的增函数.其中所有正确命题的序号是________________. 【答案】①③④ 【解析】试题分析：①()()()()()()g x f x f x f x f x g x -=-+=+-=，所以()g x 一定是偶函数.②由()(2)0f x f x +-=得()(2)f x f x =--。
2024届泸州市泸县一中高三数学(理)上学期期末考试卷附答案解析
2024届泸州市泸县一中高三数学（理）上学期期末考试卷试卷满分150分.考试用时120分钟.第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}3,2,1,0,1,2,3U =---，集合{}{}3,2,2,3,2,1A B =--=--，则)(B A C U =A．{}2,1,1,2,3--B．{}2,1,0,3--C．{}1,0,3-D．{}1,0-2．已知复数z 满足i 2i z =+，则z 的虚部为A．i-B．2-C．iD．23．树人中学田径队有男运动员30人，女运动员20人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为10的样本，则应抽取男运动员的人数为A．2B．4C．6D．84．根据如下样本数据，得到回归直线方程0.78.2y x =-+，则x 3579y6a32A．5a =B．变量x 与y 正相关C．可以预测当11x =时，0.4y =D．变量x 与y 之间是函数关系5．一个水平放置的平面图形OAB 用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角O A B '''△，其中A B ''=，则平面图形OAB 的面积为A．B．C．D．6．设x ∈R ，不等式|3|2x -<的一个充分不必要条件是A．15x <<B．0x >C．4x <D．23x ≤≤7．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()2f x f x -+=，()()11f x f x -=+，若1322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()522f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭A．2B．52C．12D．328．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，图象与x 轴的交点为5,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，与y 轴的交点为N ，最高点()1,P A ，且满足NM NP ⊥．若将()f x 的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为()g x ，则(1)g -=B．0C．102D．1029．已知1sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A．78-B．78C．10．陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺．如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱的组合体，其中圆柱的底面半径为2，圆锥与圆柱的高均为2，若该陀螺是由一个球形材料削去多余部分制成，则该球形材料的体积的最小值为A．8πB．64π3C．32πD．125π611．设抛物线24y x =的准线与x 轴交于点K ，过点K 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点．设线段AB 的中点为M ，过点M 作x 轴的平行线交抛物线于点N ．已知NAB △的面积为2，则直线l 的斜率为A．2±B．12±C．D．2±12．已知函数2()ln 2f x x m x=-+-（03m <<）有两个不同的零点1x ，2x （12x x <），下列关于1x ，2x 的说法正确的有（）个①221e m x x <②122x m >+③121x x >A．0B．1C．2D．3第II 卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线2221(0)x y a a -=>两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是.14．写出一个正整数1n >，使得n的展开式中存在常数项：．15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段AD 的中点，设平面11A BC 与平面1CC E 的交线为m ，则点A 到直线m 的距离为.16．如图，在ABC 中，90ABC ∠= ，1AB BC ==，P 为ABC 内一点，且PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则tan α=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．(12分)一台机器由于使用时间较长，生产的零件有可能会产生次品.设该机器生产零件的尺寸为E ，且规定尺寸()85,115E ∈为正品，其余的为次品.现从该机器生产的零件中随机抽取100件做质量分析，作出的频率分布直方图如图.(1)试估计该机器生产的零件的平均尺寸；(2)如果将每5件零件打包成一箱，若每生产一件正品可获利30元，每生产一件次品亏损80元.若随机取一箱零件，求这箱零件的期望利润.18．(12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12111111112n n S S S +++=-+++ .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()()111nn n na b aa +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．(12分)如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面,,ABC AB BC PA AC ⊥⊥.(1)证明：平面PAB ⊥平面PBC (2)若1,2AB BC PA D ==为PC 的中点，求平面ABD 与平面PBD 所成角的余弦值.20．(12分)已知函数()33f x x ax a =-+.(1)若R a ∈，讨论函数()f x 的单调性；(2)若09a <<，[]12,0,3x x ∀∈，求()()12max f x f x -的取值范围.21．(12分)已知动圆M经过定点()1F ，且与圆2F：(2216x y +=内切.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B 的动点，设PB 交直线4x =于点T ，连接AT 交轨迹C 于点Q ，直线AP ，AQ 的斜率分别为AP k ，AQ k .①求证：·AP AQ k k 为定值；②证明：直线PQ 经过x 轴上的定点，并求出该定点的坐标.（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，已知直线2cos :sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩，（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴交于点P ，与y 轴正半轴交于点Q ，且OPQ △(1)求α；(2)若l 与曲线22:1C x y -=交于,A B 两点，求11PA PB+的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()()22f x x a x a R =++-∈，集合{}|12A x x =≤≤，集合(){}|4,B x f x x a R =≤-∈.（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若A B ⊆，求a 的取值范围.理科数学参考答案1．C2．D3．C4．A5．B6．D7．D 8．D 9．A 10．D 11．A 12．D13．3y x =±.14．5（答案不唯一）1516．1217．（1）生产线生产的产品平均尺寸为：0.12800.24900.361000.201100.0812098.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）次品的尺寸范围()85,115Z ∉，故生产线生产的产品次品率为0.012100.008100.20⨯+⨯=.设生产一箱零件（5件）中的正品数为X ，正品率为10.20.8-=，故()5,0.8X B ，则()50.84E X =⨯=.设生产一箱零件获利为Y 元，则()30805110400Y X X X =--=-，则()()11040040E Y E X =-=（元），所以这箱零件的期望利润为40元.18．（1）由题意，数列{}n a 满足12111111112n n S S S +++=-+++ ，所以当2n ≥时，1121111111112n n S S S --+++=-+++ ，两式相减可得()11212nn n S =≥+，因为11111122S =-=+，符合上式，所以()*1112n n n S =∈+N ，故21n n S =-，当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时，111a S ==，符合上式，所以数列{}n a 的通项公式为()12n n a n N -*=∈.（2）由（1）得()()11121121212121n n n n nn b ---==-++++，所以1121111111112121212121n n n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221n =-+()21221nn -=+12122n n +-=+.19．（1）证明：因为平面PAC ⊥平面ABC ，且两平面相交于,AC PA AC ⊥，PA ⊂平面PAC ，所以PA ⊥平面ABC .因为BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为,AB BC AB PA A ⊥⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PAB ⊥平面PBC .（2）以B 为坐标原点，,BC BA 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设2AB =，则()()0,0,0,0,2,0B A ，()()()2,0,0,0,2,4,1,1,2C P D ，所以()()()0,2,0,1,1,2,0,2,4BA BD BP === .设平面ABD 的法向量为()111,,n x y z =，则00BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以11112020y x y z =⎧⎨++=⎩，取11z =，则()2,0,1n =- .设平面PBD 的法向量为()222,,m x y z =，则00BP m BD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以2222224020y z x y z +=⎧⎨++=⎩，取21z =，则()0,2,1m =-.1cos ,||||5n m n m n m ⋅〈〉=== .所以平面ABD 与平面PBD 所成角的余弦值为15.20．（1）由题意可知：()33f x x ax a =-+的定义域为R ，()()22333f x x a x a '=-=-，①当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，当x <x >()0f x ¢>，()f x在(,-∞和)+∞上单调递增；当x <<()0f x '<，()f x在(上单调递减；故当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()f x在(,-∞和)+∞上单调递增，()f x在(上单调递减；（2）因为[]12,0,3x x ∀∈，()()12max f x f x -等于函数()f x 在区间[]0,3上的最大值与最小值之差，由（1）可知：当09a <<，即03<时，()f x在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，故()min 2f x fa ==-，又()0f a =，()3278f a =-.故当0<<3a 时，()()30f f >，()max 278f x a =-，()()12max 2792f x f x a -=-+；当39a ≤<时，()()03f f ≥，()max f x a =，()()12max 2f x f x -=即：()()()12max2792329a a f x f x g a a ⎧-+<<⎪-==⎨≤<⎪⎩.当0<<3a 时，()990g a '=-+<-+<，()g x 在()0,3上单调递减，此时()()()30g g a g <<，即()27g a <<；当39a ≤<时，()0g a '=>>，()g x 在[)3,9上单调递增，此时()()()39g g a g ≤<，即()54g a ≤<.综上所述：()()12max 54f x f x ≤-<所以，()()12max f x f x -的取值范围是)⎡⎣.21．（1）设动圆的半径为r ，由题意得圆2F的圆心为)2F ，半径4R =，所以1MF r =，2MF R r =-，则12124MF MF F F +=>=所以动圆圆心M 的轨迹C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆.因此动圆圆心M 的轨迹C 的方程为2214x y +=.（2）①设()11,P x y ，()22,Q x y ，()4,T m .由（1）可知()2,0A -，()2,0B ，如图所示，所以112Ap y k x =+，6AQ AT mk k ==，又因为BP BT k k =，即1122y m x =-，于是1122y m x =-，所以()()2111121111·2623234AP AQy y y y m k k x x x x =⨯=⨯=++--，又221114x y +=，则()2211144y x =-，因此()()21211414·1234AP AQ x k k x -=-=--为定值.②设直线PQ 的方程为x ty n =+，由①中知()11,P x y ，()22,Q x y ，由2214x ty n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240t y tny n +++-=，()221640t n ∆=-+>，由根与系数的关系得12221222-4-4.4tn y y t n y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，由①可知，1·12AP AQ k k =-，即12121212122(2)(2)12y y y y x x ty n ty n ⨯==-++++++，代入化简得22414161612n n n -=-++，解得1n =或2n =-(舍去)，所以直线PQ 的方程为1x ty =+，所以直线PQ 经过x 轴上的定点，定点坐标为()1,0.22．（1）由l 的参数方程知()2,0P -，由题意知112223OPQ S OP OQ OQ ==⨯=△，所以3OQ =，即230,3Q ⎛ ⎝⎭，则l 的斜率为()03tan 02α-==--0πα≤<，所以π6α=．（2）由（1）知2:12x l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入221x y -=，得到260t -+=．设,A B 对应的参数分别为12,t t，则121260t t t t +==>，故1212113t t PA PB t t ++==．23．（1）3a =-时，不等式()3f x ≥可化为：2323x x -+-≥，∴22323x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩或3222323x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≥⎩或323223x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≥⎩，∴283x x ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩或3224x x ⎧<<⎪⎨⎪≥⎩或3223x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，∴83x ≥或x ∈∅或23x ≤，∴不等式的解集为{8|3x x ≥或23x ⎫≤⎬⎭.（2）∵A B ⊆，∴12x ≤≤时不等式224x a x x ++-≤-成立，即224x a x x ++-≤-成立，所以22x a +≤，即222x a -≤+≤，∴1122a a x --≤≤-.所以112122a a ⎧--≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，即42a -≤≤-，a 的取值范围是{}|42a a -≤≤-.。
四川泸州市高2014级第三次教学质量诊断性考试
四川泸州市高2014级第三次教学质量诊断性考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一.选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|lgx≤0}，则A∩B=（）A．{1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2}2．i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．153．如图，某组合体的三视图是由边长为2的正方形和直径为2的圆组成，则它的体积为（）A．4+4πB．8+4πC．D．4．为了得到函数的图象，只需把函数y=log2x的图象上所有的点（）A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度5．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，圆锥的高，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）8．三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A ﹣BCD的侧面积为S，则S的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．169．已知a=（﹣ex）dx，若（1﹣ax）2017=b0+b1x+b2x2+…+b2017x2017（x∈R），则的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．e10．由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M ∪N=Q ，M ∩N=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称（M ，N ）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M ，N ），下列选项中不可能恒成立的是（ ）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素11．已知函数，其中m ∈{2，4，6，8}，n ∈{1，3，5，7}，从这些函数中任取不同的两个函数，在它们在（1，f （1））处的切线相互平行的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．以上都不对12．若存在正实数x ，y ，z 满足≤x ≤ez 且zln =x ，则ln 的取值范围为（ ） A ．[1，+∞） B ．[1，e ﹣1] C ．（﹣∞，e ﹣1] D ．[1， +ln2]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.5(12)x -展开式中，3x 项的系数为．14.设不等式组4000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是．15.若函数6,2()3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是．16.已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式n a =．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos b c b A =-.（1）求证：2A B =；（2）若53b c =，46a =，求BC 边上的高.18. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于95为正品，小于95为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标[85,90) [90,95) [95,100) [100,105) [105,110) 机床甲8 12 40 32 8 机床乙 7 18 40 29 6（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为正品的概率；（2）甲机床生产一件零件，若是正品可盈利160元，次品则亏损20元；乙机床生产一件零件，若是正品可盈利200元，次品则亏损40元，在（1）的前提下，现需生产这种零件2件，以获得利润的期望值为决策依据，应该如何安排生产最佳？19. 如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，1AD AB BC ===，3ADC π∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，1AE =，点M 在线段EF 上.（1）当FM EM为何值时，//AM 平面BDF ？证明你的结论；（2）求二面角B EF D --的平面角的余弦值.20. 已知点C 是圆22:(1)16F x y ++=上的任意一点，点F 为圆F 的圆心，点'F 与点F 关于平面直角系的坐标原点对称，线段'CF 的垂直平分线与线段CF 交于点P .（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若轨迹E 与y 轴正半轴交于点M ，直线:23l y kx =+交轨迹E 于,A B 两点，求ABM ∆面积的取值范围.21. 已知函数()(1)x f x e a x =++（其中e 为自然对数的底数）（1）设过点(0,0)的直线l 与曲线()f x 相切于点00(,())x f x ，求0x 的值；（2）若函数2()1g x ax ex =++的图象与函数()f x 的图象在(0,1)内有交点，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换''2x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）,A B 是曲线2C 上两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x a =+++，若()f x 的最小值为2.（1）求实数a 的值；（2）若0a >，且,m n 均为正实数，且满足m n a +=，求22m n +的最小值.试卷答案一.选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|lgx≤0}，则A∩B=（）A．{1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|lgx≤0}={x|0＜x≤1}，∴A∩B={1}．故选：A．2．i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简，再依据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即得乘积ab的值．【解答】解：∵===﹣1+3i=a+bi，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣1×3=﹣3．故选B．3．如图，某组合体的三视图是由边长为2的正方形和直径为2的圆组成，则它的体积为（）A．4+4πB．8+4πC．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是正方体与球的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体的下面是棱长以2的正方体，上面是半径为1的球的组合体，结合图中数据，计算它的体积为V=V球+V正方体=π•13+23=π+8故选：D．4．为了得到函数的图象，只需把函数y=log2x的图象上所有的点（）A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【考点】函数的图象与图象变化；程序框图．【分析】利用对数的运算性质化简平移目标函数的解析式，然后根据“左加右减，上加下减”的原则，可得答案．【解答】解：∵函数=log2（x+1）﹣log24=log2（x+1）﹣2，故其图象可由函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个长度单位得到，故选C．5．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=2°+21+22+…+2n+n+1的值，根据输出的结果不大于20，得n≤3，由此可得判断框内i的最大值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=2°+21+22+…+2n+n+1的值，∵输出的结果不大于20，∴n≤3，∴判断框的条件n＜i，i的最大值为4．故选：B．6．如图，圆锥的高，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则直线OC和平面PAC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由已知易得AC⊥OD，AC⊥PO，可证面POD⊥平面PAC，由平面垂直的性质考虑在平面POD中过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC，∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角，在Rt△OHC中，求解即可．【解答】解：因为OA=OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD，又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO，而OD，PO是平面内的两条相交直线所以AC⊥平面POD，又AC⊂平面PAC所以平面POD⊥平面PAC在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC连接CH，则CH是OC在平面上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角在Rt△ODA中，OD=DA•sin30°=，在Rt△POD中，OH==，在Rt△OHC中，sin∠OCH=，故直线OC和平面PAC所成的角的正弦值为．故选C．7．若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】圆的一般方程；圆方程的综合应用．【分析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx ﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m 的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．8．三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A ﹣BCD的侧面积为S，则S的最大值为（）A．4 B．6 C．8 D．16【考点】球内接多面体．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后利用基本不等式解答即可．【解答】解：设AB，AC，AD分别为a，b，c，则三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，∴a2+b2+c2=16，S=（ab+bc+ac）≤（a2+b2+c2）=8，故选C．9．已知a=（﹣ex）dx，若（1﹣ax）2017=b0+b1x+b2x2+…+b2017x2017（x∈R），则的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．e【考点】二项式定理的应用．【分析】利用微积分基本定理可得：a=﹣=2．因此（1﹣2x）2017=，分别令x=0，1=b0；x=，则0=b0+，即可得出．【解答】解：=﹣=﹣=2．∵（1﹣2x）2017=，令x=0，则1=b0．x=，则0=b0+，∴=﹣1，故选：B．10．由无理数引发的数学危机已知延续带19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割（M，N），下列选项中不可能恒成立的是（）A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素【考点】子集与真子集．【分析】由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．【解答】解：若M={x∈Q|x＜0}，N={x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若M={x∈Q|x＜}，N={x∈Q|x≥}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确；若M={x∈Q|x≤0}，N={x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确；故选C．11．已知函数，其中m∈{2，4，6，8}，n∈{1，3，5，7}，从这些函数中任取不同的两个函数，在它们在（1，f（1））处的切线相互平行的概率是（）A．B．C．D．以上都不对【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意列举斜率相等的情况，得到共有多少组，求得总的基本事件，由古典概率的计算公式即可得到所求值．【解答】解：函数，导数为f′（x）=mx2+nx+1，可得在（1，f（1））处的切线斜率为m+n+1．则切线相互平行即有斜率相等，即有（m，n）为（2，7），（8，1），（4，5），（6，3），（2，5），（4，3），（6，1），（2，3），（4，1），（4，7），（6，5），（8，3），（8，5），（6，7）共++1++1=6+3+1+3+1=14组，总共有=120组，则它们在（1，f（1））处的切线相互平行的概率是=．故选：B．12．若存在正实数x，y，z满足≤x≤ez且zln=x，则ln的取值范围为（）A．[1，+∞）B．[1，e﹣1]C．（﹣∞，e﹣1]D．[1， +ln2]【考点】简单线性规划．【分析】由已知得到ln=，求出的范围，利用函数求导求最值．【解答】解：由正实数x，y，z满足≤x≤ez且zln=x，得到，∈[，e]，ln=，设t=，则，t∈[，2]，f'（t）=，令f'（t）=0，得到t=1，所以当时，f'（t）＜0，函数f（t）单调递减；当1＜t≤2时，函数f（t）单调递增；当t=1时函数的最小值为f （1）=1+ln1=1； 又f （2）=+ln2，f （）=e ﹣1，．又f （）﹣f （2）=e ﹣ln2﹣＞e ﹣lne ﹣=e ﹣2.5＞0， 所以f （）＞f （2），所以ln 的取值范围为[1，e ﹣1]； 故选B ．二、填空题13. 80- 14.8π-15.(1,2] 16.2n n na =三、解答题17.解：（1）因为2cos b c b A =-， 所以sin sin 2sin cos B C B A =-， 因为()C B A π=-+，所以sin sin(())2sin sin B B A B A π=-+- 所以sin sin cos cos sin 2sin cos B B A B A B A =+- 即sin cos sin sin cos B B A B A =-， 即sin sin()B A B =-，因为0B π<<，0A π<<，所以A B ππ-<-<， 所以B A B =-或()B A B π=--， 故2A B =；（2）由53b c =及2cos b c b A =-得，1cos 3A =， 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得222551(46)()2333b b b b =+-⨯⨯， 解得：6,10b c ==，由1cos 3A =得，2sin 23A =， 设BC 边上的高为h ，则11sin 22bc A ah ⨯=⨯，即26102463h ⨯⨯=， 所以1033h =. 18.解：（1）因为甲机床为正品的频率为4032841005++=，乙机床为正品的频率约为4029631004++=， 所以估计甲、乙两机床为正品的概率分别为43,54；（2）若用甲机床生产这2件零件，设可能获得的利润1X 为320元、140元、-40元，它们的概率分别为14416(320)5525P X ==⨯=，1418(140)25525P X ==⨯⨯=，1111(40)5525P X =-=⨯=，所以获得的利润的期望11681()320140(40)248252525E X =⨯+⨯+-⨯=， 若用乙机床生产这2件零件，设可能获得的利润为2X 为400元、160元、-80元，它们的概率分别为2339(400)4416P X ==⨯=，2316(160)24416P X ==⨯⨯=，2111(80)4416P X =-=⨯=，让你以获得的利润的期望2961()400160(80)280161616E X =⨯+⨯+-⨯=； 若用甲、乙机床各生产1件零件，设可能获得的利润3X 为360元、180元、120元、-60元，它们的概率分别为34312(360)5420P X ==⨯=，3133(180)5420P X ==⨯=，3414(120)5420P X ==⨯=，3111(60)5420P X =-=⨯=所以获得的利润的期望312341()360180120(60)26420202020E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=，∵231()()()E X E X E X >>， 所以安排乙机床生产最佳. 19.解： （1）当12FM EM =时，//AM 平面BDF ，证明如下： 在梯形ABCD 中，设AC BD O = ，连接FO ， 因为1AD BC ==，060ADC ∠=， 所以2DC =，又1AB =， 因为AOB ∆∽CDO ∆, 因此:2:1CO AO =， 所以12FM AO EM CO ==，因为ACFE 是矩形， 所以四边形AOFM 是平行四边形， 所以//AM OF ，又OF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ， 所以//AM 平面BDF ；（2）在平面ABCD 内过点C 作GC CD ⊥， 因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，且交线为AC ， 则CF ⊥平面ABCD ，即CF GC ⊥，CF DC ⊥，以点C 为原点，分别以,,CD CG CF 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则13(,,0)22B ，(2,0,0)D ，33(,,1)22E ，(0,0,1)F ， 所以(1,0,1)BE = ，13(,,1)22BF =-- ，13(,,1)22DE =-- ，(2,0,1)DF =- ，设平面BEF 的法向量为(,,)m x y z = ，则0m BE m BF ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩， ∴013022x z x y z +=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取(1,3,1)m =-- ， 同理可得平面DEF 的法向量(1,3,2)n =-，所以210cos ,10522m n m n m n∙===∙， 因为二面角B EF D --是锐角，所以其余弦值是1010.20.解：（1）由题意知圆F 的圆心为(1,0)F -，半径为4，所以''42PF PF CF FF +==>=，由椭圆的定义知，动点P 的轨迹是以',F F 为焦点，4为长轴长的椭圆，设椭圆E 的方程为22221x y a b+=（0a b >>），且焦距为2c (0)c >，则：222241a c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，即213a c c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆E 的方程为22143x y +=； （2）把直线:23l y kx =+，代入椭圆方程消去y 得：22(34)163360k x kx +++=， 由0∆>得：32k <-或32k >， 因为直线与椭圆相交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则12216334kx x k -+=+，1223634x x k =+，因为点(0,3)M ，直线l 与y 轴交于点(0,23)DABM ∆的面积12121322ABM S MD x x x x ∆=∙-=- 2212121233()()422x x x x x x =-=∙+- 222223163436649()2343443k k k k k -⨯-=-=+++ 226631222124949k k =≤=-+-， 当且仅当22124949k k -=-，即212k =±时取等号， 212k =±满足0∆> 所心ABM ∆面积的取值范围是3(0,]2. 21.解：（1）因为函数()(1)x f x e a x =++，所以'()(1)xf x e a =++， 故直线l 的斜率为0'0()(1)x f x e a =++，点00(,())x f x 的切线l 的方程为000()((1))()x y f x e a x x -=++-， 因直线过(0,0)，所以000()((1))()x x e a x -=++-， 即0000(1)((1))xxe a x e a x ++=++ 解之得，01x =（2）令2()()()(1)1xhx f x g x e a x a e x =-=-+-+-，所以'()21xh x e ax a e =-+-+，设()21xk x e ax a e =-+-+，则'()2xk x e a =-，因函数2()1g x ax ex =++的图象与函数()f x 的图象在(0,1)内有交点， 设0x 为()h x 在(0,1)内的一个零点， 由()0,(1)0h x h ==，所以()h x 在0(0,)x 和0(,1)x 上不可能单增，也不可能单减， 所以()k x 在0(0,)x 和0(,1)x 上均存在零点， 即()k x 在(0,1)上至少有两个零点，当12a ≤时，'()0k x >，()k x 在(0,1)上递增，()k x 不可能有两个及以上零点； 当2ea ≥时，'()0h x <，()k x 在(0,1)上递减，()k x 不可能有两个及以上零点；当122ea <<时，令'()0k x =，得ln(2)(0,1)x a =∈， ∴()k x 在(0,ln(2))a 上递减，在(ln(2),1)a 上递增，所以1(ln(2))22ln(2)(1)32ln(2)1()22ek a a a a e a a a a e a =----=-+-<< 设3()ln 1(1)2x x x x e x e ϕ=-+-<<，则'1()ln 2x x ϕ=-， 令'()0x ϕ=，得x e =，当1x e <<时，'()0x ϕ>，()x ϕ递增， 当e x e <<时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减， 所以max ()10x e e ϕ=+-<， ∴(ln(2))0k a <恒成立，若()k x 有两个零点，则有(ln(2))0k a <，(0)0k >，(1)0k >， 由(0)20k a e =+->，(1)10k a =->，得21e a -<<，当21e a -<<，设()k x 的两个零点为12,x x ，则()h x 在1(0,)x 递增，在12(,)x x 递减，在2(,1)x 递增，∴1()()0h x h x >=，2()(1)0h x h <=，所以()h x 在12(,)x x 内有零点，即函数2()1g x ax ex =++的图象与函数()f x 的图象在(0,1)内有交点， 综上，实数a 的取值范围是(2,1)e -. 22.解：（1）曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩化为普通方程为：22(2)14x y -+=， 又''2x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即''2x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入上式可知： 曲线2C 的方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=， ∴曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）设1(,)A ρθ，2(,)3B πρθ+（(,)26ππθ∈-）， ∴122cos 2cos()3OA OB πρρθθ+=+=++23cos()6πθ=+，因为()(,)633πππθ+∈-， 所以OA OB +的取值范围是(3,23] 23.解：（1）①当12a ->-时，即2a >时，3(1),2()1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x ⎧--+≤-⎪⎪⎪=+--<<-⎨⎪++≥-⎪⎪⎩则当2a x =-时，min ()()1222a af x f a a =-=-++-+=， 解得6a =或2a =-（舍）；②当12a -<-时，即2a <时，3(1),1()1,123(1),2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪--+≤⎪⎪=-+--<<-⎨⎪⎪++≥-⎪⎩ 则当2a x =-时，min ()()1222a a f x f a a =-=-++-+=， 解得6a =（舍）或2a =- ③当12a -=-时，即2a =，()31f x x =+， 此时min ()0f x =，不满足条件，综上所述，6a =或2a =-；（2）由题意知，6m n +=，∵222()2m n m n mn +=++2222()()m n m n ≤+++222()m n =+当且仅当3m n ==时取“=”， ∴2218m n +≥，所以22m n +的最小值为18。