2003考研数学一真题及答案解析

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2003年考研数学一试题及完全解析(Word版)

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee=-【详解2】因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ，所以原式=.121ee=-【评注】本题属常规题型（2）曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x . 【评注】本题属基本题型。

2003-数一真题大全及答案

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ = .（2）曲面22y x z +=与平面042=−+z y x 平行的切平面的方程是 . （3）设)(cos 02ππ≤≤−=∑∞=x nx ax n n，则2a = .（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P .（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞−∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) [ ]（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+−→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ] （4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.[ ]（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ ] （6）设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2−n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ ] 三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V . 四、（本题满分12分）将函数x xx f 2121arctan )(+−=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+−012)1(n n n 的和.五、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin −=−⎰⎰−−; (2).22sin sin π≥−−⎰dx ye dy xe x Ly 六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米.）七、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞−∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 八、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dv z y x f t F σ，⎰⎰⎰−+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>九、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1−=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=−−,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数F(x);(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年考研数学一真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1.【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e −进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020−=−==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee =− 【详解2】因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202−=−=+⋅−→→xxx x x x ，所以原式=.121ee=−（2）曲面22y x z +=与平面042=−+z y x 平行的切平面的方程是542=−+z y x .【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{−=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{−=n平行确定.【详解】令 22),,(y x z z y x F −−=，则x F x 2−='，y F y 2−='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x −−，其与已知平面042=−+z y x 平行，因此有11422200−=−=−y x ，可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=−−−+−z y x ，即 542=−+z y x .（3）设)(cos 02ππ≤≤−=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】将)()(2ππ≤≤−=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤−=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππcos )(2nxdx x f a n .【详解】根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅−πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰−=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. （4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−2132.【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,−n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],−αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+−=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=−⎰dx x x【评注】本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ−，由αμα−=<−1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设，95.01=−α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16,40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<−nX P μ，有 95.0}96.116140{=<−μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞−∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(D) 一个极小值点和两个极大值点. (E) 两个极小值点和一个极大值点. (F) 两个极小值点和两个极大值点.(D) [ C ]【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+−→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ]【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】由1)(),(lim2220,0=+−→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈− y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈−可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈−x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+−≈−x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想.（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ]【分析】本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)，则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).【例】齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件(A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵.(C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.（6）设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2−n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21X Y =，然后利用F 分布的定义即可.【详解】由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F XY =故应选(C).【评注】本题综合考查了t 分布、2χ分布和F 分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义.三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (3) 求D 的面积A;(4) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V .【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是 ).(1ln 000x x x x y −+=由该切线过原点知 01ln 0=−x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey = 平面图形D 的面积 ⎰−=−=1.121)(e dy ey e A y （2）切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy e e V y 2102)(⎰−=π，因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221+−=−−=−=⎰e e dy e e e V V V y πππ【评注】 . 也可考虑用微元法分析. 四、（本题满分将函数x xx f 2121arctan )(+−=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+−012)1(n n n 的和.【分析】幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数x−11的幂级数展开 +++++=−n x x x x2111即可，然后取x 为某特殊值，得所求级数的和. 【详解】因为).21,21(,4)1(2412)(202−∈−−=+−='∑∞=x x x x f nn n n 又f(0)=4π, 所以 dt t dt t f f x f n n xxn n ]4)1([24)()0()(20⎰⎰∑∞=−−='+=π=).21,21(,124)1(24120−∈+−−+∞=∑x x n n n n n π因为级数∑∞=+−012)1(n n n 收敛，函数f(x)在21=x 处连续，所以].21,21(,124)1(24)(120−∈+−−=+∞=∑x x n x f n n n n π令21=x ，得 ∑∑∞=+∞=+−−=⋅+−−=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n n n n f ππ, 再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=−=+−∑∞=f n n n五、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin −=−⎰⎰−−; (2).22sin sin π≥−−⎰dx ye dy xe x Ly 【分析】本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果.【详解】方法一：(1) 左边=dx e dy e x y ⎰⎰−−0sin 0sin ππππ=⎰−+ππ0sin sin )(dx e e x x ，右边=⎰⎰−−ππππ0sin sin dx e dy e x y=⎰−+ππ0sin sin )(dx e e x x ，所以dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin −=−⎰⎰−−. (2) 由于2sin sin ≥+−x xe e ，故由（1）得.2)(20sin sin sin sin πππ≥+=−⎰⎰−−dx e e dx ye dy xe x x x Ly 方法二：（1）根据格林公式，得⎰⎰⎰−−+=−Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ， ⎰⎰⎰+=−−−Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin .因为D 具有轮换对称性，所以 ⎰⎰−+Dx y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+−Dxy dxdy e e )(sin sin ，故dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin −=−⎰⎰−−. (2) 由(1)知⎰⎰⎰−−+=−Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin=dxdy e dxdy e DDxy ⎰⎰⎰⎰−+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰−+sin sin （利用轮换对称性） =.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰−dxdy dxdy e eDDx x【评注】本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米.）【分析】本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以22101221a k x k kxdx W x ===⎰， ).(2)(22222122221a x k x x k kxdx W x x −=−==⎰由12rW W =可得 2222ra a x =− 即 .)1(222a r x += ].)1([2)(22232223332a r x k x x k kxdx W x x +−=−==⎰由1223W r rW W ==可得 22223)1(a r a r x =+−，从而 a r r x 231++=，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下am r r 21++.（2）由归纳法，设a rr r x n n 121−++++= ，则)(222111n n x x n x x k kxdx W n n−==++⎰+=].)1([22121a r r x k n n −++++− 由于1121W r W r rW W nn n n ====−+ ，故得 22121)1(a r a r r x n n n =+++−−+ ,从而 .11111a rr a r r x n nn −−=+++=++于是 a rx n n −=+∞→11lim 1，即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下a r−11m. 【评注】本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度.但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单.七、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞−∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析】将dy dx 转化为dxdy 比较简单，dy dx =y dxdy '=11，关键是应注意： )(22dy dx dy d dyx d ==dy dxy dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''−='⋅'''−. 然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知y dy dx '=1，于是有 )(22dy dx dy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''−='⋅'''−. 代入原微分方程得.sin x y y =−'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=−''y y 的通解为 .21xxe C e C Y −+= 设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=，代入方程( * )，求得21,0−==B A ，故x y sin 21*−=，从而x y y sin =−''的通解是 .sin 2121*x e C e C y Y y xx −+=+=−由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121−==C C . 故所求初值问题的解为.sin 21x e e y xx −−=−【评注】本题的核心是第一步方程变换.八、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dv z y x f t F σ，⎰⎰⎰−+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数)(t F '的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】 (1) 因为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ttttrdrr f drr r f rdrr f d drr r f d d t F 0202220022022)()(2)(sin )()(πππθϕϕθ，202022])([)()()(2)(rdr r f drr t r r f t tf t F tt⎰⎰−='，所以在),0(+∞上0)(>'t F ，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.（2）因⎰⎰=ttdrr f rdrr f t G 0202)()()(π，要证明t>0时)(2)(t G t F π>，只需证明t>0时，0)(2)(>−t G t F π，即.0])([)()(0202222>−⎰⎰⎰tttrdr r f dr r f dr r r f令 ⎰⎰⎰−=tttrdr r f dr r f dr r r f t g 0202222])([)()()(，则 0)()()()(2022>−='⎰dr r t r f t f t g t，故g(t)在),0(+∞内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,因此，当t>0时，).(2)(t G t F π>【评注】本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：dx x g dx x f dx x g x f b ababa⎰⎰⎰⋅≤)()(])()([222，在上式中取f(x)为r r f )(2，g(x)为)(2r f 即可.九、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1−=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.【分析】可先求出1*,,−P A ，进而确定P A P B *1−=及B+2E ，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E 与A*+2E 相似求出其特征值与特征向量.【详解】方法一：经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=522252225*A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−1000011101P ，P A P B *1−==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−322452007.从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=+5224720092E B ，)3()9(522472009)2(2−−=−−−=+−λλλλλλE B E ，故B+2E 的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=−x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=η 所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数. 当33=λ时，解0)3(=−x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η，所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数.方法二：设A 的特征值为λ，对应特征向量为η，即 ληη=A . 由于07≠=A ，所以.0≠λ又因 E A A A =*，故有 .*ηληAA =于是有 )()(*)(1111ηληη−−−−==P AP P A P PB ，.)2()2(11ηλη−−+=+P APE B因此，2+λA为B+2E 的特征值，对应的特征向量为.1η−P由于)7()1(3222322232−−=−−−−−−−−−=−λλλλλλA E ，故A 的特征值为.7,1321===λλλ当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=−01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=−11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−11031ηP .因此，B+2E 的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=+−−11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数.【评注】设AP P B 1−=，若λ是A 的特征值，对应特征向量为η，则B 与A 有相同的特征值，但对应特征向量不同，B 对应特征值λ的特征向量为.1η−P本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力.不过利用相似矩阵有相同的特征值以及A 与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量.十、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+−=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A 由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cb cb a A −−−++++=−−−==])()())[((3222a c cb b ac b a −+−+−++, 但根据题设 0)()()(222≠−+−+−a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++−=−= =0]43)21[(222≠++−b b a ，故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cb cb a A −−−++++−===])()())[((3222a c cb b ac b a −+−+−++−, 但根据题设 0)()()(222≠−+−+−a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+−=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ⎩⎨⎧−=+−=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++−=−==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.十一、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【分析】乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组.【详解】 (1) X 的可能取值为0，1，2，3，X 的概率分布为36333}{C C C k X P k k −==， k=0,1,2,3. 即 X 0 1 2 3P201 209 209 201 因此.232013209220912010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====30}{}{)(k k X A P k X P A P=∑∑====⋅=3030}{616}{k k k X kP k k X P =.41236161=⋅=EX 【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：设,,,1,0件产品是次品从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第i i X i ⎩⎨⎧= 则i X 的概率分布为i X 0 1P 21 21 .3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以.23321=++=EX EX EX EX 十二、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=−−,,,0,2)()(2θθθx x e x f x 其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (4) 求总体X 的分布函数F(x);(5) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (6) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性. 【分析】求分布函数F(x)是基本题型；求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立. 【详解】 (1).,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧−==⎰∞−−−x x e dt t f x F xx (2) }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ =}),,,{min(121x X X X P n >−=},,,{121x X x X x X P n >>>−=nx F )](1[1−− =.,,0,1)(2θθθ≤>⎩⎨⎧−−−x x e x n (3) θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==−−x x ne dx x dF x f x n 因为 ⎰⎰+∞−−+∞∞−==θθθθdx nxe dx x xf E x n )(2ˆ2)(ˆ =θθ≠+n21，所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性. 【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.。

武汉理工大学考研真题数学分析2003

武汉理工大学 2003 年研究生入学考试试题课程数学分析（共页，共题，答题时不必抄题，标明题目序号）一、计算下列各题（12′×6=72分）1．求极限x t x x t x t sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫ ⎝⎛，记此极限为)(x f ，求函数)(x f 的间断点，并指出其类型。

2．求dx e e x x2arctan ⎰3．计算二重积分dxdy e y x D },max{22⎰⎰，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=1010),(y x y x D 4．计算曲线积分224y x ydx xdy I L +-=⎰，其中L 是以点（1，0）为中心，R 为半径的圆周（R ＞1），取逆时针方向。

5．设xdx x I n n cos sin 40⎰=π，n =0，1，2，…，求n n I ∑∞=06．计算dxdy z z ydzdx xdydz )2(2-++⎰⎰∑，∑为曲面22y x z +=介于z =0与z =1之间的部分，取下侧。

二（15分）、设)(x f 在0=x 的某邻域内的二阶导数存在且连续，0))(3sin (lim 230=+→xx f x x x ，求)0(f ，)0(f '，)0(f ''。

三（15分）、假设f 是一可微函数，求曲面)(x y xf z =上任一点)0(),,(0000≠x z y x M 处的切平面方程，并指出该切平面是否过坐标原点。

四（15分）、设),,(z y x F 的一阶偏导数处处存在且连续，且0>≥∂∂+∂∂-∂∂αzF y F x x F y （α为常数），令)0(),sin ,cos ()(≥-=t t t t F t f ，求证+∞=+∞→)(lim t f t 。

2003-数一真题、标准答案及解析

(3)2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)的平均值为40 (cm)，贝U 的置信度为0.95的置信区间是(注：标准正态分布函数值(1.96) 0.975, (1.645) 0.95.)二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)一个极小值点和两个极大值点两个极小值点和一个极大值点两个极小值点和两个极大值点已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim f (x, y)―xyx 0, y 0(1)lim (cos x)x 0(2)曲面z x 2(3) 设x 21ln(1 x 2)2x 4y z 0平行的切平面的方程是a n cosnx()，则 a2 =(4) 从R 2的基到基1 的过渡矩阵为(5) 设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为 f (x, y)6x, 0 0,x y 其他,1,则 P{X Y 1}(6) 已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布 N(,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度(1) 设函数f(x)在()内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) (B) (C) 0, lim b nn1 ,lim c nn，则必有(A) a nb n 对任意n 成立.(B) b n C n 对任意(C) 极限lim a n C n 不存在. n(D)极限lim b n C n 不存在.n1，则2 2 2(x y )n y 2与平面 0n(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.(4)设向量组I:1, 2, , r可由向量组II:1? 2 ,,s线性表示，则(A)当r s时, 向量组II必线性相关•(B)当(r s 时，向量组II必线性相关(C)当r s时，向量组I必线性相关•(D)当j r s 时，向量组1必线性相关[](5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m n矩阵，现有4个命题:①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；②若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A)①②•(B)①③•(C)②④•(D)③④•[ ](6) 设随机变量X~t(n)(n1),Y 1X2，则(A)2Y~ (n )•(B)Y〜2(n 1).(C)Y ~ F(n,1)・(D)Y〜F(1, n).[]三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形 D.(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四、(本题满分12分)1 2x ( i)n将函数f (x) arctan 展开成x的幕级数，并求级数的和•1 2x n 02n 1五、(本题满分10分)已知平面区域D {(x, y) 0 x ,0 y }，L为D的正向边界•试证：sin y . sin x . sin y . sin x .(1) ;xe dy ye dx xe dy ye dx；sin y . sin x . - 2(2) ；xe dy ye dx 2 .六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层•汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k>0)•汽锤第一次击打将桩打进地下根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1).问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？.设土a m.(注：m 表示长度单位米.) 七、(本题满分12分)A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵. 十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1 : ax2by 3c 0， 2 : bx2cy 3a 0， 3: cx2ay 3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为十一、(本题满分10分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率 .十二、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为设函数y=y(x)在()内具有二阶导数，且y 0, x x(y)是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程第(ydydxsin x)(-dx)3 0变换为y=y(x)满足的微分方程; dy求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0, y (0)、(本题满分12分) 设函数f(x)连续且恒大于零，2 2 2f (x y z )dv(t)y 2)dF(t))d，G(t)f(x 2D(t)t 2，1f(x )dx(t) {( x, y, z) x 2 2 y 2 .2-1z t }，D(t){(x, y) x 22 .2,yt}(1)讨论F(t)在区间 (0, )内的单调性(2)证明当t>0时， F(t)-G(t).九、(本题满分10分)3 2 2 0 1 0设矩阵A 2 3 2， P 1 0 1， B P 1A P ，求 B+2E 2 2 3 0 0 1a b c 0.其中的特征值与特征向量，其中A *为D(t)0是未知参数•从总体X 中抽取简单随机样本 X 1,X 2, ,X n ，记? min (X^X ?, ,X n ).(1) 求总体 X 的分布函数 F(x); (2) 求统计量 ?的分布函数 F ?(x)；(3) 如果用 ?作为的估计量，讨论它是否具有无偏性f(x)2e 2(x ),x0, x其中2003年考研数学一真题评注、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)1ln(1 x 2)lim 1_ ln cosx【详解 1】lim(cosx)ln(1 x )= e x 0ln(1 x)x 0sin x1所以原式=e 2故所求的切平面方程为2(x 1) 4(y 2) (z 5) 0,即卩 2x 4y z 5._ 1= ,e .(1) i|m (cos x)【分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式lim f (x)g(x) (1 ) = e lim(f(x) 1)g(x)进行计算求极限均而lim x 0 ln(1In cos xx 2) lim 竺空x 0x 2limcosxx 02x，故原式=e1 e"【详解2】因为lim (cos x 1)x 0ln(1 x 2)1 2xlim 2—x 0 x 2(2) 曲面z2y 与平面2x4yz 0平行的切平面的方程是 2x 4y z 5. 【分析】待求平面的法矢量为 n {2,4, 1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程，而切点坐标可根据曲面z 2 2x y 切平面的法矢量与 n{2,4, 1}平行确定•【详解】22令 F (x, y, z) z x y ,则F x 2x ， F y 2y ， F z 1 .设切点坐标为(x 0,y °,Z 0)，则切平面的法矢量为 { 2x 。

2003年考研数学真题与答案

c 2a − 3b
= 3(a + b + c)[(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ] ,
但根据题设 (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≠ 0 ，故 a + b + c = 0.
充分性：由 a + b + c = 0 ，则从必要性的证明可知， A = 0 ，故秩 ( A) < 3.
⎢⎣ 1 −1 1 ⎥⎦
α Tα =
3
.
⎡ 1 −1 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤
⎡1⎤
【详解】由αα T = ⎢⎢−1 1 −1⎥⎥ = ⎢⎢−1⎥⎥[1 −1 1]，知α = ⎢⎢−1⎥⎥ ，于是
⎢⎣ 1 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎡1⎤
α Tα = [1 −1 1]⎢⎢−1⎥⎥ = 3.
其中A的逆矩阵为B，则a= -1 .
【详解】由题设，有
于是有
AB = (E − αα T )(E + 1 αα T ) a
= E − αα T + 1 αα T − 1 αα T ⋅αα T
a
a
= E − αα T + 1 αα T − 1 α (α Tα )α T
a
a
= E − αα T + 1 αα T − 2aαα T a
⎢⎣− 2 − 2 3 ⎥⎦
从而
⎡9 0 0⎤ B + 2E = ⎢⎢− 2 7 − 4⎥⎥ ，
⎢⎣− 2 − 2 5 ⎥⎦
λ−9 0 0 λE − (B + 2E) = 2 λ − 7 4 = (λ − 9)2 (λ − 3) ，

2003年考研数学(一)试题及答案解析

2003年考研数学（一）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee=-【详解2】因为 2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ，所以原式=.121ee=-【评注】本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例1.30-31】.（2）曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .【评注】本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例10.28】和《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例8.13】.（3）设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.62第一大题第（6）小题和《数学复习指南》P.240 【例8.37】.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-【评注】本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.429 【例3.35】. （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x xy1DO211 x【评注】本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ【分析】已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N n X μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . 【评注】本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.608 【例6.16】.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] yO x【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是 .)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想，类似分析思想的例题见《数学复习指南》P.43 【例1.71】.（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。

考研数学一(多元函数微分学)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)

考研数学一（多元函数微分学）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1992年)在曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线A．只有1条．B．只有2条．C．至少有3条．D．不存在．正确答案：B解析：曲线x=t，y=一t2，z=t3的切线向量为τ={1，一2t，3t2}而平面x+2y+z=4的法线向量为n={1，2，1}由题设知τ⊥n，则τ·n=1—4t+3t2=0．此方程只有两个实根，所以所求切线只有两条．知识模块：多元函数微分学2．(1994年)二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)存在是f(x，y)在该点连续的A．充分条件而非必要条件．B．必要条件而非充分条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件义非必要条件．正确答案：D解析：多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”．所以应选 D. 知识模块：多元函数微分学3．(1996年)已知为某函数的全微分，则a等于A．一1．B．0．C．1．D．2．正确答案：D解析：令由于Pdx+Qdy为某个函数的全微分，则即(a一2)x-ay=一2y，(a一2)x=(a一2)y仅当a=2时，上式恒成立．知识模块：多元函数微分学4．(1997年)二元函数在点(0，0)处A．连续，偏导数存在．B．连续，偏导数不存在．C．不连续，偏导数存在．D．不连续，偏导数不存在．正确答案：C解析：令y=kx，则当k不同时，便不同，故极限不存在，因而f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知同理可得f’y(0，0)=0由此可见，在点(0，0)处f(x，y)的偏导数存在．知识模块：多元函数微分学5．(2002年)考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有A．B．C．D．正确答案：A解析：由于f(x，y)在点(x0，y0，)处的两个偏导数连续是f(x，y)在点(x0，y0)处可微的充分条件，而f(x，y)在点(x0，y0)可微是f(x，y)在点(x0，y0)处连续的充分条件，故应选A. 知识模块：多元函数微分学6．(2003年)已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A解析：由f(x，y)在点(0，0)的连续性及知f(0，0)=0．且其中则f(x，y)=xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)2令y=x，得f(x，x)=x2+4x4+4αx4=x2+o(x2)令y=一x，得f(x，一x)=一x2+4x4+4αx4=一x2+o(x2)从而f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又f(0，0)=0，由极值定义可知f(x，y)在(0，0)点没有极值，故应选(A)．知识模块：多元函数微分学7．(2005年)设有三元方程xy一zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x．y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D解析：令F(x，y，z)=xy—zlny+exz一1 显然，F(x，y，z)在点(0，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且F(0，1，1)=0，F’x(0，1，1)=2≠0，f’y(0，1，1)=一1≠0，由隐函数存在定理知方程xy—zlny+exz=1可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=(x，z)，故应选(D)．知识模块：多元函数微分学填空题8．(1989年)已知曲面z=4一x2一y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z 一1=0，则点P的坐标是______________．正确答案：(1，1，2)解析：设P点的坐标为(x0，y0，z0)，则曲面在P点的法向量为n={一2x0，一2y0，一1}又因为切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则从而可得x0=1，y0=1．代入曲面方程解得z0=2．知识模块：多元函数微分学9．(1991年)由方程所确定的函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的全微分dz=___________．正确答案：解析：解1 由隐函数求导法求出△解2 方程两边求微分得将x=1，y=0，z=一1代入上式得故知识模块：多元函数微分学10．(1992年)函数u=ln(x2+y2+z2)在点M(1，2，一2)处的梯度正确答案：解析：因为所以知识模块：多元函数微分学11．(1993年)由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_________．正确答案：解析：旋转面方程为3(x2+z2)+2y2=12 令F(x，y，z)=3(x2+z2)+2y2一12=0 则F’x=6x，F’y=4y．F’z=6z从而所得旋转面在点处向外侧的法向量为将其单位化得知识模块：多元函数微分学12．(1994年)曲面z一ez+2xy=3在点(1，2．0)处的切平而方程为____________．正确答案：2x+y一4=0解析：令F(x，y，z)=z—ez一2xy一3则F’x=2y，F’z=1一ez=，F’y=2x 曲面z—ez+xy=3在点(1，2．0)处的法向量为n={4，2，0}故所求切平面方程为4(x一1)4-2(y一2)=0即2x+y一4=0 知识模块：多元函数微分学13．(1994年)设则在点处的值为___________．正确答案：解析：知识模块：多元函数微分学14．(1996年)函数在点A(1．0，1)处沿点A指向点B(3，一2，2)方向的方向导数为_______．正确答案：解析：而的单位向量为故u沿的方向导数为知识模块：多元函数微分学15．(1998年)设f，φ具有二阶连续导数，则正确答案：yf”(xy)+φ’(x+y)+yφ”(z+y)．解析：由复合函数求导法知知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(整理)2003年数学一试题评析.

2003年考研数学（一）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee=-【详解2】因为 2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ，所以原式=.121ee=-【评注】本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例1.30-31】. （2）曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .【评注】本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例10.28】和《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例8.13】.（3）设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.62第一大题第（6）小题和《数学复习指南》P.240 【例8.37】.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-【评注】本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.429 【例3.35】. （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x y1DO211 x【评注】本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ【分析】已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u n X P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .【评注】本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.608 【例6.16】.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] yO x【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想，类似分析思想的例题见《数学复习指南》P.43 【例1.71】.（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。

2003-2012年考研数学真题

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(coslim x x x +→ = .(2)曲面22yx z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 .(3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx axn n,则2a =.(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为. (5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P.(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点(2)设}{},{},{n n nc b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)nnb a<对任意n 成立(B)nnc b<对任意n 成立(C)极限n n n c a ∞→lim不存在(D)极限n n n c b ∞→lim不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim222,0=+-→→y x xy y x f y x ,则(A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点(C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点(4)设向量组I:12,,,rααα 可由向量组II:12,,,sβββ 线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关(C)当s r <时,向量组I 必线性相关 (D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~XY n n t X =>,则(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线lny x=的切线,该切线与曲线lny x=及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A.(2)求D绕直线ex=旋转一周所得旋转体的体积V. 将函数xxxf2121arctan)(+-=展开成x的幂级数,并求级数∑∞=+-12)1(nnn的和.五、(本题满分10分)已知平面区域}0,),{(ππ≤≤≤≤=yxyxD,L为D的正向边界.试证:(1)sin sin sin sine e e ey x y xL Lx dy y dx x dy y dx---=-⎰⎰.(2)sin sin2e e2.y xLx dy y dxπ--≥⎰六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k>).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r<<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m表示长度单位米.)设函数()y y x=在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0yxxy=≠'是()y y x=的反函数.(1)试将()x x y=所满足的微分方程0))(sin(322=++dydxxydyxd变换为()y y x=满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=yy的解.八、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y x f dvz y x f t F σ,⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t zy xz y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t yx y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,01010101⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B PA P,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分).0=++cba十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分)设总体X的概率密度为()f x=2()2exθ--xxθ>≤其中0>θ是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本n XXX,,,21,记).,,,min(ˆ21nXXX=θ(1)求总体X的分布函数()F x.(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆxFθ.(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e)exxf x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+yx 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydxxdy 2的值为__________. (4)欧拉方程)0(024222>=++x y dxdy xdxy d x的通解为__________ .(5)设矩阵21012001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABABA E,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把+→0x 时的无穷小量dtt dt t dt t xxx⎰⎰⎰===32sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(A)若n n na ∞→lim=0,则级数∑∞=1n na 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na 发散(C)若级数∑∞=1n na 收敛,则0lim2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n na 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=ttydxx f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f (C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11001010 (D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001110(12)设,A B 为满足=A B O 的任意两个非零矩阵,则必有(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (13)设随机变量X服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x XP ,则x 等于 (A)2αu(B)21α-u (C)u(D)u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni iX nY11,则(A)21C ov(,)X Y nσ=(B)21C ov(,)XY σ=(C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y XD +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224lnln ()eb a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz xI ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y xz 的上侧.(18)(本题满分11分) 设有方程10nxnx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根nx ,并证明当1α>时,级数1nn x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分) 设(,)z z x y =是由2226102180xxy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分) 设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧=.,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XYρ(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,11),(≤>⎪⎨⎧-=x x xx F ββ求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线122+=x xy 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222zyxz y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(n u ∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22yx z +=与半球面222yx R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数nnn xx f 31lim)(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数(B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dtt y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222yu xu ∂∂-=∂∂ (B)2222yu xu ∂∂=∂∂(C)222yu yx u ∂∂=∂∂∂(D)222xu yx u ∂∂=∂∂∂(10)设有三元方程ln e 1xzxy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y =(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B AB分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B(B)交换*A 的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b ==(D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X Xn 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n(B)22~()nSn χ(C))1(~)1(--n t SXn(D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x yx y x D,]1[22y x ++表示不超过221yx++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y xxy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n nn xn n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分) 如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明: (1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f . (2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx yφ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式.(20)(本题满分9分) 已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2. (1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分) 已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=A B O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y = 101,02x y x <<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x fY X.(2)YX Z -=2的概率密度).(z fZ设)2(,,,21>n X X Xn 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)iY 的方差n i DYi,,2,1, =.(2)1Y 与nY 的协方差1Cov(,).nY Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.(2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . (3)设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足2=+B A B E,则B= . (6)设随机变量X与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdrπθθθ⎰⎰等于(A)0(,)xf x y dy⎰⎰(B)0(,)f x y dy⎰⎰(9)若级数1nn a ∞=∑收敛,则级数(A)1nn a ∞=∑收敛 (B)1(1)nnn a ∞=-∑收敛(C)11n n n aa ∞+=∑收敛(D)112nn n aa ∞+=+∑收敛(10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0yx y ϕ≠.已知00(,)xy 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0xf xy '=,则00(,)0y f x y '= (B)若00(,)0x f xy '=,则00(,)0y f x y '≠ (C)若00(,)0xf xy '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0xf xy '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα 均为n维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A)若12,,,,s ααα 线性相关,则12,,,,s A αA αA α 线性相关 (B)若12,,,,s ααα 线性相关,则12,,,,s A αA αA α 线性无关(C)若12,,,,s ααα 线性无关,则12,,,,s A αA αA α 线性相关 (D)若12,,,,s ααα 线性无关,则12,,,,s A αA αA α 线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则 (A)1-=C P AP(B)1-=C PAP(C)T=C PAP(D)T=C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A > (B)()()P A B P B >(C)()()P A B P A =(D)()()P A B P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y服从正态分布222(,)N μσ,且12{||1}{||1},P XP Y μμ-<>-<则(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdyx y+=++⎰⎰.(16)(本题满分12分) 设数列{}nx 满足()110,sin 1,2,...n xx x n ππ+<<==.求:(1)证明lim nx x →∞存在,并求之.(2)计算211lim nx n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.(17)(本题满分12分) 将函数()22x f x x x=+-展开成x 的幂级数.(18)(本题满分12分)设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式2222zz xy∂∂+=∂∂.(1)验证()()0f u f u u'''+=.(2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式.(19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有(,)(,)Lyf x y d x x f x yd y-=⎰ .(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T T=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量. (2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A.(22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Yf y .(2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭.(23)(本题满分9分)设总体X的概率密度为(,0)F X =10θθ-0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x xx 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内) (1)当0x +→时,(A)1-(B)ln(C)1(D)1cos -(2)曲线1ln(1e )xy x=++,渐近线的条数为(A)0 (B)1 (C)2(D)3(3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0()()x F x f t dt =⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =--(B)5(3)(2)4F F =(C)3(3)(2)4F F =(D)5(3)(2)4F F =--(4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是 (A)若0()lim x f x x →存在,则(0)0f = (B)若0()()lim x f x f x x →+- 存在,则(0)0f = (C)若0()limx f x x→ 存在,则(0)0f '=(D)若()()limx f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=(5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,nuf n n == 则下列结论正确的是 (A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12uu >,则{nu }必发散(C)若12uu <,则{n u }必收敛(D)若12uu <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是 (A)(,)x y dxΓ⎰(B)(,)f x y dyΓ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰(D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dyΓ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是(A),,122331---αααααα(B),,122331+++αααααα(C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p -(B)26(1)p p -(C)223(1)pp -(D)226(1)pp -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()Xfx ,()Yfy 分别表示,X Y的概率密度,则在Yy=的条件下,X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为(A)()Xfx (B)()Yf y(C)()Xf x ()Y f y(D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)31211e x dx x⎰=_______.(12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)yxz f x y =,则z x∂∂=______.(13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e xy y y -+=的通解为y =____________. (14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰=_____________.(15)设矩阵01000010000100⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分11分) 求函数 2222(,)2f x y x y x y=+-在区域22{(,)|4,0}D x y xy y =+≤≥上的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中∑为曲面221(01)4yz xz =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分) 设函数(),()f xg x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=.(20)(本题满分10分) 设幂级数 0nnn ax ∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0y x y y y y ''''--=== (1)证明:22,1,2,.1n n aa n n +==+(2)求()y x 的表达式.(21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程 12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)Tλλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B AA E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y的概率密度为2,01,01 (,)0,x y x yf x y--<<<<⎧=⎨⎩其他(1)求{2}.P X Y>(2)求Z X Y=+的概率密度.(24)(本题满分11分)设总体X的概率密度为1,021(;),12(1)0,xf x xθθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12,,nX X X是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值(1)求参数θ的矩估计量ˆθ.(2)判断24X是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数(A)0 (B)1(C)2(D)3(2)函数(,)arctan x f x y y=在点(0,1)处的梯度等于 (A)i (B)-i (C)j(D)-j(3)在下列微分方程中,以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是(A)440y y y y ''''''+--= (B)440y y y y ''''''+++= (C)440y y y y ''''''--+=(D)440y y y y ''''''-+-=(4)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}nx 为数列,下列命题正确的是 (A)若{}nx 收敛,则{}()nf x 收敛(B)若{}nx 单调,则{}()nf x 收敛(C)若{}()nf x 收敛,则{}nx 收敛(D)若{}()nf x 单调,则{}nx 收敛(5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则(A)-E A 不可逆,+E A 不可逆(B)-E A 不可逆,+E A 可逆(C)-E A 可逆,+E A 可逆(D)-E A 可逆,+E A 不可逆(6)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(,,)1x x y z y z ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A 在正交变换下的标准方程的图形如图,则A 的正特征值个数为(A)0(B)1 (C)2(D)3(7)设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ,则{}max ,ZX Y =分布函数为(A)()2F x(B) ()()F x F y(C) ()211F x --⎡⎤⎣⎦(D)()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(8)设随机变量()~0,1XN ,()~1,4Y N 且相关系数1X Y ρ=,则(A){}211P Y X =--= (B){}211P Y X =-= (C){}211P Y X =-+=(D){}211P YX =+=二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y =.(10)曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .(11)已知幂级数()02nnn a x ∞=+∑在0x =处收敛,在4x =-处发散,则幂级数()3nnn a x ∞=-∑的收敛域为 . (12)设曲面∑是z =的上侧,则2xydydz xdzdx xdxdy ∑++=⎰⎰ .(13)设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 .(14)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}2P X EX==.三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)求极限()40sin sin sin sin lim x x x xx→-⎡⎤⎣⎦.(16)(本题满分10分) 计算曲线积分()2sin 221Lxdx x ydy +-⎰,其中L是曲线s in y x =上从点()0,0到点(),0π的一段.(17)(本题满分10分)已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩,求曲线C 距离X O Y 面最远的点和最近的点.(18)(本题满分10分) 设()f x 是连续函数, (1)利用定义证明函数()()0xF x f t dt=⎰可导,且()()F x f x '=.(2)当()f x 是以2为周期的周期函数时,证明函数()22()()x G x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数.(19)(本题满分10分)()21(0)f x x xπ=-≤≤,用余弦级数展开,并求()1211nnn-∞=-∑的和.(20)(本题满分11分)T T=+Aααββ,Tα为α的转置,Tβ为β的转置.证明:(1)()2r≤A. (2)若,αβ线性相关,则()2r<A.(21)(本题满分11分) 设矩阵2221212n na a a aa ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A,现矩阵A满足方程=A XB ,其中()1,,Tn x x =X ,()1,0,,0=B ,(1)求证()1nn a=+A.(2)a 为何值,方程组有唯一解,求1x .(3)a 为何值,方程组有无穷多解,求通解.(22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-,Y 的概率密度为()1010Yy f y ≤≤⎧=⎨⎩其它,记ZX Y=+,(1)求102P ZX ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭. (2)求Z 的概率密度.(23)(本题满分11分)设12,,,nX X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11ni i XX n==∑,2211()1ni i S X X n ==--∑,221TXSn=-(1)证明T 是2μ的无偏估计量.(2)当0,1μσ==时 ,求D T .2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小,则(A)11,6a b ==-(B)11,6a b ==(C)11,6a b =-=-(D)11,6a b =-=(2)如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4kD k =,cos kkD Iy xdxdy =⎰⎰,则{}14m ax kk I ≤≤=(A)1I(B)2I(C)3I(D)4I(3)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt=⎰的图形为(A) (B)(C)(D)(4)设有两个数列{}{},nna b ,若lim 0nn a →∞=,则(A)当1n n b ∞=∑收敛时,1nnn ab ∞=∑收敛.(B)当1nn b ∞=∑发散时,1nnn ab ∞=∑发散.(C)当1nn b ∞=∑收敛时,221nnn ab∞=∑收敛.(D)当1nn b ∞=∑发散时,221nn n ab ∞=∑发散. (5)设123,,ααα是3维向量空间3R的一组基,则由基12311,,23ααα到基12233,,+++αααααα的过渡矩阵为 (A)101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)120023103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C)111246111246111246⎛⎫-⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==AB ,则分块矩阵O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A)**32O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭(B)**23O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭(C)**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭(D)**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭(7)设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX = (A)0 (B)0.3(C)0.7(D)1(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====,记()ZF z 为随机变量ZX Y=的分布函数,则函数()ZF z 的间断点个数为 (A)0 (B)1(C)2(D)3二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2z x y∂=∂∂ .(10)若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12exy CC x =+,则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = . (11)已知曲线(2:0L y x x =≤≤,则Lxds =⎰.(12)设(){}222,,1x y z x y z Ω=++≤,则2zdxdydz Ω=⎰⎰⎰.(13)若3维列向量,αβ满足2T=αβ,其中Tα为α的转置,则矩阵Tβα的非零特征值为 . (14)设12,,,m XX X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2XkS+为2np 的无偏估计量,则k = .三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分9分) 设na 为曲线ny x=与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积,记122111,nn n n SaS a∞∞-====∑∑,求1S 与2S 的值.(17)(本题满分11分) 椭球面1S 是椭圆22143xy+=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143xy+=相切的直线绕x 轴旋转而成.(1)求1S 及2S 的方程. (2)求1S 与2S 之间的立体体积.(18)(本题满分11分)(1)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A+→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=(19)(本题满分10分) 计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰,其中∑是曲面222224xy z ++=的外侧.(20)(本题满分11分)设111111042--⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪--⎝⎭A ,1112-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ (1)求满足21=A ξξ的2ξ.231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ. (2)对(1)中的任意向量2ξ,3ξ证明123,,ξξξ无关.(21)(本题满分11分) 设二次型()()2221231231323,,122f x xx ax ax a x x x x x =++-+-.(1)求二次型f 的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f 的规范形为2212yy +,求a的值.(22)(本题满分11分)袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. (1) 求{}10p X Z ==.(2)求二维随机变量(),X Y 概率分布(23)(本题满分11 分) 设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他,其中参数(0)λλ>未知,1X ,2X ,…nX是来自总体X 的简单随机样本.(1)求参数λ的矩估计量. (2)求参数λ的最大似然估计量.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限2lim ()()xx xx a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦= (A)1(B)e (C)e a b-(D)eb a-(2)设函数(,)z z x y =由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则z z x yx y∂∂+∂∂=(A)x (B)z (C)x -(D)z -(3)设,m n 为正整数,则反常积分0⎰的收敛性(A)仅与m 取值有关 (B)仅与n 取值有关(C)与,m n 取值都有关(D)与,m n 取值都无关(4)2211lim ()()n nx i j nn i n j →∞==++∑∑=(A)121(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰(B)101(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰(C)1101(1)(1)dx dyx y ++⎰⎰(D)1121(1)(1)dx dyx y ++⎰⎰(5)设A 为m n ⨯型矩阵,B 为n m ⨯型矩阵,若,=AB E 则 (A)秩(),m =A 秩()m =B (B)秩(),m =A 秩()n =B(C)秩(),n =A 秩()m =B(D)秩(),n =A 秩()n =B (6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=AA 若A的秩为3,则A 相似于(A)1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(C)1110⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D)1110-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(7)设随机变量X的分布函数()F x =00101,21e 2xx x x -<≤≤->则{1}P X ==(A)0(B)1(C)11e 2--(D)11e --(8)设1()fx 为标准正态分布的概率密度2,()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,()f x =12()()af x bf x00x x ≤> (0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 (A)234a b += (B)324a b +=(C)1a b +=(D)2a b +=二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设2e,ln(1),t tx y u du -==+⎰求220t d y dx== .(10)2π⎰= .(11)已知曲线L 的方程为1{[1,1]},y x x =-∈-起点是(1,0),-终点是(1,0),则曲线积分2Lxydx x dy+⎰= .(12)设22{(,,)|1},x y z x y z Ω=+≤≤则Ω的形心的竖坐标z = .(13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),TTTα=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则α= .(14)设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,),!C P X k k k === 则2EX = .三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)求微分方程322e xy y y x '''-+=的通解.(16)(本题满分10分)求函数221()()extf x x t dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(1)比较10ln [ln(1)]nt t dt +⎰与1ln (1,2,)n t t dt n =⎰ 的大小,说明理由(2) 记1ln [ln(1)](1,2,),nnu t t dt n =+=⎰求极限lim .n x u →∞(18)(本题满分10分) 求幂级数121(1)21n nn xn -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分) 设P 为椭球面222:1S xy z yz ++-=上的动点,若S在点P 的切平面与xoy 面垂直,求。

2003考研数学一答案

2003考研数学一答案【篇一：2003年考研数学一真题】p class=txt>一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1（1） lim(cosx)ln(1?x) . x?0（2）曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是.（3）设x?2?an?0?ncosnx(???x??)，则a2.（4）从r的基?1???0??,?2????1??到基?1???1??,?2???2??的过渡矩阵为 . ????????（5）设二维随机变量(x,y)的概率密度为f(x,y)??2?1??1??1??1??6x,0?x?y?1,则p{x?y?1}? . 其他，?0,（6）已知一批零件的长度x (单位：cm)服从正态分布n(?,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则?的置信度为0.95的置信区间是 .,?(1.645)?0.95.) (注：标准正态分布函数值?(1.96)?0.975二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(a) 一个极小值点和两个极大值点.(b) 两个极小值点和一个极大值点.(c) 两个极小值点和两个极大值点.(d)[ ]（2）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有 n??n??n??(a) an?bn对任意n成立.(b) bn?cn对任意n成立.(c) 极限limancn不存在. (d) 极限limbncn不存在. [ ] n??n??（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limx?0,y?0f(x,y)?xy?1，则 (x2?y2)2(a) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(b) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(c) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(d) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ]（4）设向量组i：?1,?2,?,?r可由向量组ii：?1,?2,?,?s线性表示，则(a) 当r?s时，向量组ii必线性相关. (b) 当r?s时，向量组ii必线性相关.(c) 当r?s时，向量组i必线性相关.(d) 当r?s时，向量组i必线性相关.[ ]（5）设有齐次线性方程组ax=0和bx=0, 其中a,b均为m?n矩阵，现有4个命题：①若ax=0的解均是bx=0的解，则秩(a)?秩(b)；②若秩(a)?秩(b)，则ax=0的解均是bx=0的解；③若ax=0与bx=0同解，则秩(a)=秩(b)；④若秩(a)=秩(b)，则ax=0与bx=0同解.以上命题中正确的是(a) ①②. (b) ①③.(c) ②④. (d) ③④. [ ]（6）设随机变量x~t(n)(n?1),y?(a) y~1，则 2x?2(n). (b) y~?2(n?1).(c) y~f(n,1). (d) y~f(1,n). [ ]三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形d.(1) 求d的面积a;(2) 求d绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积v.四、（本题满分12分） ?1?2x(?1)n将函数f(x)?arctan展开成x的幂级数，并求级数?的和.1?2xn?02n?1五、（本题满分10分）已知平面区域d?{(x,y)0?x??,0?y??}，l为d的正向边界. 试证： (1)(2) siny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx;llxelsinydy?ye?sinxdx?2?2.六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米.）七、（本题满分12分）设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程?(y?sinx)()?0变换为y=y(x)满足的微分方程； 2dydy(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?八、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零， 3的解. 2???f(t)??(t)f(x2?y2?z2)dv2d(t)??f(x?y)d?2，g(t)?d(t)??f(x2?y2)d??t， ?1f(x)dx22222222其中?(t)?{(x,y,z)x?y?z?t}，d(t)?{(x,y)x?y?t}.(1) 讨论f(t)在区间(0,??)内的单调性.(2) 证明当t0时，f(t)?九、（本题满分10分） 2?g(t).?322??010??????1**设矩阵a?232，p?101，b?pap，求b+2e 的特征值与特征向量，其中a为???????223???001??a的伴随矩阵，e为3阶单位矩阵.十、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为l1: ax?2by?3c?0，l2: bx?2cy?3a?0，l3: cx?2ay?3b?0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.十一、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、（本题满分8分）设总体x的概率密度为?2e?2(x??),x??, f(x)?? x??,?0,??min(x,x,?,x). 其中??0是未知参数. 从总体x中抽取简单随机样本x1,x2,?,xn，记?12n(1) 求总体x的分布函数f(x);(2) 求统计量??的分布函数f??(x)；(3) 如果用??作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年考研数学一真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1（1） lim(cosx)ln(1?x) =x?0?1e. g(x)【分析】 1型未定式，化为指数函数或利用公式limf(x)可.1(1?)=elim(f(x)?1)g(x)进行计算求极限均【详解1】 lim(cosx)x?0ln(1?x)=ex?0ln(1?x)lim1lncosx,?sinx1?lncosxlncosx112?lim?lim??而 lim，故原式=e?.22x?0ln(x?0x?02x21?x)xe?12x1??， 22x【详解2】因为lim(cosx?1)?x?01?lim2ln(1?x)x?0所以原式=e?12?1e.（2）曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是2x?4y?z?5.【分析】待求平面的法矢量为n?{2,4,?1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标22可根据曲面z?x?y切平面的法矢量与n?{2,4,?1}平行确定.22??【详解】令 f(x,y,z)?z?x?y，则fx???2x，fy???2y， fz??1.设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为 {?2x0,?2y0,1}，其与已知平面2x?4y?z?0平行，因此有?2x0?2y01??， 24?122可解得x0?1,y0?2，相应地有 z0?x0?y0?5.故所求的切平面方程为2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即 2x?4y?z?5.【篇二：2003年数学二考研试题与答案】=txt>一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1（1）若x?0时，(1?ax)4?1 与xsinx是等价无穷小，则a=.（2）设函数y=f(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） y?2x的麦克劳林公式中xn项的系数是 .（4）设曲线的极坐标方程为??ea?(a?0) ，则该曲线上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .?1???1???1?11?11???1，则 ?1??2（5）设?为3维列向量，?t是?的转置. 若??tt??= .（6）设三阶方阵a,b满足a2b?a?b?e，其中e为三阶单位矩阵，若?1?a?0????20201??0，则b?. ?1??二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有n??n??n??(a) an?bn对任意n成立.(b) bn?cn对任意n成立.(c) 极限limancn不存在. (d) 极限limbncn不存在. [ ] n??n??（2）设an?3nn?1?232xn?1?xdx, 则极限limnan等于n??n3?1(a) (1?e)?1. (b) (1?e)2?1.3?13(c) (1?e)2?1. (d)(1?e)2?1. [ ]（3）已知y?xlnx22是微分方程y??xx??()的解，则?()的表达式为 xyyyxxy22y（a） ?yxxy22. (b) .22(c) ?.(d) .[ ]（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (a) 一个极小值点和两个极大值点. (b) 两个极小值点和一个极大值点.(c) 两个极小值点和两个极大值点.(d) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]??（5）设i1??4tanxxdx,i2??4xtanx, 则(a) i1?i2?1. (b) 1?i1?i2.(c) i2?i1?1. (d) 1?i2?i1. [ ] （6）设向量组i：?1,?2,?,?r可由向量组ii：?1,?2,?,?s线性表示，则 (a) 当r?s时，向量组ii必线性相关. (b) 当r?s时，向量组ii必线性相关. (c) 当r?s时，向量组i必线性相关. (d) 当r?s时，向量组i必线性相关. [ ]三、（本题满分10分）?3?ln(1?ax),x?0,??x?arcsinx6,x?0, 设函数 f(x)??ax2?e?x?ax?1x?0,,?x?xsin4?问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）?x?1?2t2,2dy?u1?2lnte设函数y=y(x)由参数方程?(t?1)所确定，求2y?dudx??1u?x?9.五、（本题满分9分）计算不定积分?xearctanx3.2(1?x)2六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.dxdy22(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程分方程；?(y?sinx)(dxdy)?0变换为y=y(x)满足的微3(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?七、（本题满分12分）讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?ln八、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(交点为q，且线段pq被x轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；432的解.x的交点个数.21,)，其上任一点p(x,y)处的法线与y轴的22(2) 已知曲线y=sinx在[0,?]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s. 九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x??(y)(y?0)绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以3m/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以?m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系式； (2) 求曲线x??(y)的方程.23(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.) 十、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f?(x)?0. 若极限lim?f(2x?a)x?a存在，证明：x?a(1) 在(a,b)内f(x)0; (2) 在(a,b)内存在点?，使b?a22?b?2?f(?)；af(x)dx(3) 在(a,b) 内存在与(2)中?相异的点?，使f?(?)(b2?a2)?十一、（本题满分10分） ?2?若矩阵a?8???0p?12????abaf(x)dx.2200??a相似于对角阵?，试确定常数a的值；并求可逆矩阵p使?6??ap??.十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1: ax?2by?3c?0， l2: bx?2cy?3a?0， l3: cx?2ay?3b?0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.1一．（1）. 【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知lim(1?ax)4xsinx2x?0?1，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.12【详解】当x?0时，(1?ax)4?1~?142ax，xsinx~x.221于是，根据题设有 lim(1?ax)xsinx24??limx?01x?042x??14a?1，故a=-4.【评注】本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》p.38 【例1.62】. （2）.. 【分析】先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可. 【详解】等式xy?2lnx?y4两边直接对x 求导，得 y?xy??2x?4yy?，3将x=1,y=1代入上式，有 y?(1)?1. 故过点(1,1)处的切线方程为y?1?1?(x?1)，即 x?y?0.【评注】本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似例题见《数学复习指南》p.55 【例2.13】和【例2.14】.（3）.. 【分析】本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值f f(n)(n)(0)，则麦克劳林公式中x项的系数是n(0)n!.【详解】因为 y??2xln2，y???2x(ln2)2，?,y(x)?2x(ln2)n，于是有y(n)y(n)(0)?(ln2)，故麦克劳林公式中x项的系数是nn(0)n!?(ln2)n!.【评注】本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案. （4.）. 【分析】利用极坐标下的面积计算公式s?【详解】所求面积为s?=114a12????(?)d?即可.2?22??(?)d??2?021?22?e2a?d?e2a??14a(e4?a?1).【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂. 完全类似例题见《数学复习指南》p.200 【例7.38】.（5）.. 【分析】本题的关键是矩阵??的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.?1???1???1?11?11??1?????1=?1?1???1????1???1????11?，知???1，于是????1??t【详解】由??t????1t?1????11??1?3.????1??【篇三：最新考研数学三(2003-2013年)历年真题+答案详解】s=txt>数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1???xcos,若x?0,（1）设f(x)?? 其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是x若x?0,??0,（2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2?________. （3）设a0，f(x)?g(x)???a,若0?x?1,而d表示全平面，则i???f(x)g(y?x)dxdy=_______.?0,其他，d（4）设n维向量??(a,0,?,0,a)t,a?0；e为n阶单位矩阵，矩阵a?e???t， b?e?1??t， a其中a的逆矩阵为b，则a=______.（5）设随机变量x 和y的相关系数为0.9, 若z?x?0.4，则y与z 的相关系数为________.（6）设总体x服从参数为2的指数分布，x1,x2,?,xn为来自总体x 的简单随机样本，则当n??1n时，yn??xi2依概率收敛于______.ni?1二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)? f(x)x(a) 在x=0处左极限不存在.(b) 有跳跃间断点x=0.(c) 在x=0处右极限不存在.(d) 有可去间断点x=0.[ ] （2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是(a) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. （b）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. (c) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零.(d) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在.[ ]（3）设pn??an?an2，qn??an?an2?，n?1,2,?，则下列命题正确的是(a) 若?an?1n条件收敛，则?pn?1n与?qn?1都收敛.(b) 若?an?1?n绝对收敛，则 ?pn?1?n与?qn?1?n都收敛.(c) 若?an?1??n条件收敛，则 ?pn?1??n与?qn?1??n敛散性都不定.(d) 若?an?1n绝对收敛，则n?1n与?qn?1n敛散性都不定. [ ]?abb???（4）设三阶矩阵a?bab，若a的伴随矩阵的秩为1，则必有 ????bba??(a) a=b或a+2b=0. (b) a=b或a+2b?0.(c) a?b且a+2b=0.(d) a?b且a+2b?0. [ ] （5）设?1,?2,?,?s均为n维向量，下列结论不正确的是(a) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s线性无关.(b) 若?1,?2,?,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0.(c) ?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(d) ?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：a1={掷第一次出现正面}，a2={掷第二次出现正面}，a3={正、反面各出现一次}，a4={正面出现两次}，则事件(a) a1,a2,a3相互独立. (b) a2,a3,a4相互独立.(c) a1,a2,a3两两独立. (d) a2,a3,a4两两独立. [ ]三、（本题满分8分）设f(x)?1111??,x?[,1). ?xsin?x?(1?x)2试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连续.四、（本题满分8分）12?2f?2f12设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又??1g(x,y)?f[xy,(x?y2)],求222?u?v?2g?2g?. ?x2?y2五、（本题满分8分）计算二重积分i??(xe??d2?y2??)sin(x2?y2)dxdy.其中积分区域d={(x,y)x2?y2??}.六、（本题满分9分）x2n求幂级数1??(?1)(x?1)的和函数f(x)及其极值.2nn?1?n七、（本题满分9分）设f(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在(??,??)内满足以下条件：f?(x)?g(x)，g?(x)?f(x)，且f(0)=0, f(x)?g(x)?2ex.(1) 求f(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出f(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在??(0,3)，使f?(?)?0.九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax112233nn?? ?a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn??????????????a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xn?0,?0,?0, ?0,其中?ai?1ni?0. 试讨论a1,a2,?,an和b满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分）设二次型222f(x1,x2,x3)?xtax?ax1?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)，中二次型的矩阵a的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分）设随机变量x的概率密度为?1,若x?[1,8],?f(x)??3x2其他;??0,f(x)是x的分布函数. 求随机变量y=f(x)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量x与y独立，其中x的概率分布为x~??0.30.7??，??而y的概率密度为f(y)，求随机变量u=x+y的概率密度g(u).?12?2003年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1???xcos,若x?0,（1）设f(x)?? 其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是??2. x 若x?0,??0,【分析】当x?0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当??1时，有11???1??xcos?x??2sin,若x?0,f?(x)?? xx若x?0,?0,?显然当??2时，有limf?(x)?0?f?(0)，即其导函数在x=0处连续. x?0（2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2? 4a6 .【分析】曲线在切点的斜率为0，即y??0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b2与a的关系.【详解】由题设，在切点处有2y??3x2?3a2?0，有 x0?a2.又在此点y坐标为0，于是有30?x0?3a2x0?b?0,222故b2?x0(3a2?x0)?a2?4a4?4a6.【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设a0，f(x)?g(x)???a,若0?x?1,而d表示全平面，则i???f(x)g(y?x)dxdy=a2 .?0,其他，d【分析】本题积分区域为全平面，但只有当0?x?1,0?y?x?1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 i? =a??f(x)g(y?x)dxdy=d0?x?1,0?y?x?1??a2dxdy2?1dx?x?1xdy?a2?[(x?1)?x]dx?a2.1【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设n维向量??(a,0,?,0,a)t,a?0；e为n阶单位矩阵，矩阵a?e???t， b?e?其中a的逆矩阵为b，则a= -1 .【分析】这里??t为n阶矩阵，而?t??2a2为数，直接通过ab?e 进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有1??t， a1??t) a11=e???t???t???t???taa11=e???t???t??(?t?)?taa1=e???t???t?2a??ta1=e?(?1?2a?)??t?e,a11于是有 ?1?2a??0，即 2a2?a?1?0，解得 a?,a??1. 由于a0 ,故a=-1.2aab?(e???t)(e?。

2003考研数学一真题及答案解析(统编)

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim 20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee=-【详解2】因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ，所以原式=.121ee=-【评注】本题属常规题型（2）曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .【评注】本题属基本题型。

2003年考研数学一真题及答案详解

n n n

(A) an bn 对任意 n 成立 (C)极限 lim a n c n 不存在
n
(B) bn cn 对任意 n 成立 (D)极限 lim bn cn 不存在
n
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(3)已知函数 f ( x, y) 在点 (0, 0) 的某个邻域内连续,且 lim
x 0
1 lim ln( 1 x 2 ) x 0

1 2 x 1 2 ， 2 2 x
所以
原式= e

1 e
.
【评注】本题属常规题型（ 2 ）曲面 z x 2 y 2 与平面 2x 4 y z 0 平行的切平面的方程是
2x 4 y z 5 .

L
x esin y dy y e sin x dx

L
x e sin y dy y esin x dx .
L
x esin y dy y e sin x dx 2 2 .
六、(本题满分 10 分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层 .汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 (比例系数为 k .k 0 ).汽锤第一次击打将桩打进地下 a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r (0 r 1) .问 (1)汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.) 七、(本题满分 12 分) 设函数 y y ( x) 在 (,) 内具有二阶导数 , 且 y 0, x x( y ) 是 y y ( x) 的反函数.

2003年考研数学一真题

2
P{ X Y 1}
x y 1
f ( x, y)xdy
1 1 2 (6 x 12 x2 )dx . 0 4
（6）已知一批零件的长度 X (单位： cm)服从正态分布 N ( ,1) ，从中随机地抽取 16 个零件，得到长度的平均值为 40 (cm)，则的置信度为 0.95 的置信区间是 _______ (注：标准正态分布函数值 (1.96) 0.975, (1.645) 0.95.) 【分析】本题考查分位数概念及置信区间的求法。已知方差
x 0, y 0
f ( x, y) xy 1 ，则 (x2 y 2 )2
(A) 点 (0,0) 不是 f ( x, y ) 的极值点. (B) 点 (0,0) 是 f ( x, y ) 的极大值点. (C) 点 (0,0) 是 f ( x, y ) 的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点 (0,0) 是否为 f ( x, y ) 的极值点. 【分析】本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。由题设，容易推知 f (0, 0) 0 ，因此点 (0, 0) 是否为 f ( x, y ) 的极值，关键看在点 (0, 0) 的充分小的邻域内 f ( x, y ) 是恒大于零、恒小于零还是变号.

2 x 4 y z 0 平行，因此有
可解得
2 x0 2 y 0 1 ， 2 4 1
2 2 y0 5. x0 1, y0 2 ，相应地有 z 0 x0
故所求的切平面方程为（3）设 x
2
2( x 1) 4( y 2) ( z 5) 0 ，即 2 x 4 y z 5 .

考研数学一解答题专项强化真题试卷25(题后含答案及解析)

考研数学一解答题专项强化真题试卷25(题后含答案及解析)题型有：1.1．(2000年)求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性．正确答案：解1 由于则R=3，收敛区间为(一3，3)．当x=3时，且发散，则原级数在x=3处发散．当x=一3时，且与都收敛，所以原级数在x=一3处收敛．△解2 由于而则以下同解1．涉及知识点：无穷级数2．(2004年)设e＜a＜b＜e2，证明正确答案：证1 设则所以当x＞e时，φ”(x)＜0，故φ’(x)单调减少，从而当e＜x＜e2时，即当e＜x＜e2时，φ(x)单调增加．因此当e＜a＜b＜e2时，φ(b)＞φ(a)，即故证2 对函数ln2x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得设则当t＞e时，φ’(t)＜0，所以φ(t)单调减少，从而φ(ξ)＞φ(e2)，即涉及知识点：一元函数微分学3．设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。

证明：(Ⅰ)秩r(A)≤2；(Ⅱ)若α，β线性相关，则r(A)＜2。

正确答案：(Ⅰ) r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)≤2。

(Ⅱ)若α，β线性相关，则存在不全为零的k1，k2使k1α+k2β=0，不妨设k2≠0，则β=kα，那么r(A)=r[ααT+(kα)(kα)T]=r[(1+k2)ααT]=r(ααT)≤1＜2。

4．设λ1，λ2分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、X2分别为对应于λ1和λn的特征向量，记f(X)=，X∈Rn，X≠0求三元函数f(x1，x2，x3)=3x12+2x22+3x32+2x2x3在x12+x22+x32=1条件下的最大及最小值，并求出最大值点及最小值点．正确答案：f的最小值=f()=f(0，1，0)=2，f的最大值=f()=4．涉及知识点：二次型5．(2003年试题，九)设矩阵B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．正确答案：由题设，不难算出从而A可逆，由初等行变换可求出则由公式A*=｜A｜A-1，可求得又由已知则易求得综上又由特征方程可求出λ1=9，λ2=9，λ3=3．当λ1=λ2=9时，由(B+2E一9E)x=0，可求得相应特征向量为ξ1=(一l，1，0)T，ξ2=(一2，0，1)T即对应于特征值9的所有特征向量为k1ξ1+k2ξ2=k1(一1，1，0)T+k2(一2，0，1)T当λ3=3时，由(B+2E一3E)x=0，可求得相应特征向量为ξ3=(0，1，1)T故对应于特征值3的所有特征向量为k3ξ3=k3(0，1，1)T以上k1，k2，k3皆为不为零的任意常数．解析二令则得A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7．当λ1=λ2=1时，对应的线性无关的特征向量可取为当λ3=7时，对应的特征向量为记λ，η分别为矩阵A的特征值和特征向量，则A*η=于是(B+2E)(P-1η)=P-1A*P(P-1η)+2P-1η，=|P-1A*η+2P-1η因而可知，和P-1η分别为B+2E的特征值和特征向量．又｜A｜=λ1λ2λ3=7，则B+2层的特征值分别为9，9，3．又则即有B+2E对应于特征值9的全部特征向量为：k1P-1η1+k2P-1η2=其中k1，k2是不全为零的任意常数；其对应于特征值3的全部特征向量为：k2P-1η3=其中k3是不为零的任意常数．涉及知识点：特征值与特征向量6．(00年)计算曲线积分其中L是以点(1，0)为中心、R为半径的圆周(R＞1)取逆时针方向．正确答案：作椭圆C：4x2+y2=δ2 (C取逆时针方向，δ是足够小的正数，使4x2+y2=δ2全含在L内)．由格林公式知其中S为椭圆域4x2+y2≤δ2的面积涉及知识点：高等数学7．(94年)将函数f(x)=展开成x的幂级数．正确答案：且f(0)=0,故f(x)=f(x)一f(0)=∫0xf’(t)dt 涉及知识点：高等数学8．[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt的单调区间与极值．正确答案：(1) f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt=x2∫1x2e-t2dt—∫1x2te-t2dt，f’(x)=2xe∫1x2e-t2dt+2x3e-x4—2x3e-x4=2x∫1x2e-t2dt. ①令f(x)=0，由式①得到驻点x=0，x=±1．下面分别考察f(x)在区间(一∞，一1)，[一1，0)，[0，1)，[1，+∞)上的单调性．进一步，易求得因此f(x)的单调减少区间是(一∞，一1]∪[0，1]，单调增加区间是[一1，0]∪[1，+∞)．(2)求出驻点x=0，x=±1后，再求驻点处的二阶导数．又因f’’(x)=2∫1x2e-t2dt+4x2e-x4，故f’’(0)=2∫01e-t2dt ＜0，f’’(±1)=4e-1＞0．于是f(0)=∫01(0一t)e-t2dt=为极大值，f(±1)=0为极小值．涉及知识点：一元函数积分学[2007年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为9．求P(X＞2y)；正确答案：涉及知识点：二维随机变量及其分布10．求Z=X+Y的概率密度fZ(z)．正确答案：直接用卷积公式求之．将f(x，y)改写成在xOz平面上给出f(x，y)取正值的区域为0＜x＜1，z-x=1，z-x=0所围成的区域记为D(见图中阴影部分)fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z—x)dx．下面只需在f(x，y)取正值的区域D对x积分．为此，将区域D分成两部分D1与D2，即当0≤z＜1时，fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z —x)dx=∫0z(2一x)dx=z(2一z)；当1≤z＜2时，fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z—x)dx=∫z-11(2一z)dx=(2—z)2．当z取其他值时，由于不同时满足0＜x＜1，0＜z-x ＜1，f(x，x—x)=0，则fZ(z)=0．综上所述，涉及知识点：二维随机变量及其分布。

考研数学一(大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念)历年

考研数学一（大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2002年] 设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，X2，…，Xn( )．A．有相同的数学期望B．有相同的方差C．服从同一指数分布D．服从同一离散型分布正确答案：C解析：列维一林德伯格中心极限定理成立的条件之一是X1，X2， (X)具有相同的、有限的数学期望和非零方差，而选项A、B不能保证同分布．可排除．而选项D虽然服从同一离散型分布，但不能保证E(Xi)与D(Xi)均存在，也应排除．仅C入选．知识模块：大数定律和中心极限定理2．[2005年] 设X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为λ(λ＞1)的指数分布．记ф(x)为标准正态分布函数，则( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：由于随机变量序列X1，X2，…，Xn独立同服从参数为λ的指数分布，有E(Xi)=1／λ，D(Xi)=1／λ2(i=1，2，…，n)，由列维一林德伯格中心极限定理知，当n→∞时，随机变量的极限分布为标准正态分布，即=P(Un≤x)=ф(x)．仅C入选．知识模块：大数定律和中心极限定理3．设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则( )．A．X+Y服从正态分布B．X2+Y2服从χ2分布C．X2和Y2都服从χ2分布D．X2／Y2服从F分布正确答案：C解析：因X～N(0，1)，Y～N(0，1)，故X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念4．[2017年] 设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论不正确的是( )．A．(Xi一μ)2服从χ2分布B．2(Xn一X1)2服从χ2分布C．服从χ2分布D．n(—μ)2服从χ2分布正确答案：B解析：若总体X～N(μ，σ2)，则因为总体X～N(μ，1)，所以再由得，从而综上所述，不正确的是B．仅B入选．知识模块：数理统计的基本概念5．[2003年] 设随机变量X～t(n)(n＞1)，Y=1／X2，则( )．A．Y～χ2(n)B．Y～χ2(n一1)C．Y～F(n，1)D．Y～F(1，n)正确答案：C解析：因X～t(n)(n＞1)，故存在随机变量U～N(0，1)，V～χ2(n)，且U与V独立，使即因V～χ2(n)，U～N(0，1)，因而U2～χ2(1)，又V与U独立，得到．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念6．[2005年] 总体X～N(0，1)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个简单随机样本，，S2分别为样本均值和样本方差，则( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：因X12～χ2(1)，Xi2～χ2(n一1)，且X12与相互独立，可知仅D 入选．知识模块：数理统计的基本概念7．[2013年] 设随机变量X～t(n)，Y~F(1，n)，给定α(0＜α＜0．5)，常数c满足P(X＞c)=α，则P(Y＞c2)=( )．A．αB．1一αC．2αD．1—2α正确答案：C解析：因X～t(n)，故X2～F(1，n)，因而Y=X2．因t分布的概率密度函数为偶函数，所以给定α(0＜α＜0．5)，存在c＞0使P(X＞c)=α时，必有P(X＞c)=P(X＜一c)=α，则P(Y＞c2)=P(X2＞c2)=P(X＞c)+P(X＜一c)=2P(X＞c)=2α．仅C入选．知识模块：数理统计的基本概念填空题8．[2001年] 设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计P(｜X—E(X)｜≥2)≤______．正确答案：解析：由切比雪夫不等式即得知识模块：大数定律和中心极限定理9．[2003年] 设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时，Yn=依概率收敛于______．正确答案：1/2解析：利用辛钦大数定律求之．由于X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机变量样本，X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从参数为2的指数分布．因而知X12，X22，…，Xn2也相互独立，且同分布．又X服从参数为2的指数分布，故E(Xi)=E(X)=1／2，D(Xi)=D(X)=(1／2)2=1／4 (i=1，2，…，n)，则E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1／4+(1／2)2=1／2 (i=1，2，…，n)．根据辛钦大数定律知，一组相互独立、同分布且数学期望存在的随机变量X12，X22，…，Xn2，其算术平均值依概率收敛于数学期望：即表示依概率收敛于)，亦即依概率收敛于1／2．知识模块：大数定律和中心极限定理10．设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1一2X2)2+6(3X3-4X4)2，则当a=______，b=______时，统计量X服从χ2分布，自由度为______．正确答案：a=1／20，b=1／100，χ2解析：因X1，X2，X3，X4为正态总体的简单随机样本，故X1，X2，X3，X4相互独立，且X1-2X2与3X3-4X4都服从正态分布：X1—2X2～N(0.5×22)=N(0，20)，3X3—4X4～N(0，100)，因独立，由题目知，即所以a=1／20，b=1／100，且X服从自由度为2的χ2分布．知识模块：数理统计的基本概念11．设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0，32)，而X1，X2，…，X9和Y1，Y2，…，Y9分别为来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量服从______分布，参数为______．正确答案：t，9解析：将U的分子分母同除以9，则分子为=(X1+X2+…+X9)／9～N(0，9／9)=N(0，1)．或由X1，X2，…，X9相互独立且Xi～N(0，32)知，X1+X2+…+X9～N(0，9×32)=N(0，92)，故(X1+X2+…+X9)／9～N(0，1)．而分母为又(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2～χ2(9)．这是因为Yi／3～N(0，1)，且Y1，Y2，…，Y9相互独立；又由X，Y相互独立知，(X1+X2+…+X9)／9与(Y1／3)2+(Y2／3)2+…+(Y9／3)2相互独立．于是由t分布的典型模式知，即U服从t分布，参数为9．知识模块：数理统计的基本概念解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2003考研数学一真题及答案解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）)1ln(12)(cos lim x x x +→=e1.【分析】∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】)1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee =-【详解2】因为2121lim )1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→xxx x x x ，所以原式=.121ee=-【评注】本题属常规题型（2）曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='，1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为}1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z 故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即542=-+z y x .【评注】本题属基本题型。

（3）设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a =1.【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】根据余弦级数的定义，有xd x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx =⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd =1.【评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132.【分析】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-【评注】本题属基本题型。