2003考研数学一真题及答案解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷答案解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1） )

1ln(1

2)

(cos lim x x x +→ =

e

1 .

【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)

()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行

计算求极限均可.

【详解1】 )

1ln(1

2

)

(cos lim x x x +→=x

x x e

cos ln )

1ln(1

lim

20+→,

而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim

02

020-=-==+→→→x x x

x x x x x x x ， 故 原式=.12

1

e

e

=

-

【详解2】 因为 2121lim )1ln(1

)1(cos lim 2

20

2

-=-

=+⋅

-→→x

x

x x x x ， 所以 原式=.12

1e

e

=

-

【评注】 本题属常规题型

（2） 曲面2

2

y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是

542=-+z y x .

【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n

，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面2

2y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n

平行确定.

【详解】 令 2

2

),,(y x z z y x F --=，则

x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .

设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面

042=-+z y x 平行，因此有

1

1

422200-=

-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .52

0200=+=y x z

故所求的切平面方程为

0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x . 【评注】 本题属基本题型。

（3） 设)(cos 0

2

ππ≤≤-=

∑∞

=x nx a

x n n

，则2a = 1 .

【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 0

2

ππ≤≤-=

∑∞

=x nx a

x n n

，

其系数计算公式为⎰

=

π

π0

cos )(2

nxdx x f a n .

【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 1

2cos 2

20

2

2⎰

⎰

=

⋅=π

π

ππ

=⎰⋅-π

π

π

2]22sin 2sin [1

xdx x x

x

=

⎰⎰

-=π

π

π

π

π

]2cos 2cos [1

2cos 1

xdx x

x x xd

=1.

【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.

（4）从2

R 的基

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--2132

. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[1

21],,,-n ααα [],,,21n βββ .

【详解】根据定义，从2

R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩

阵为

P=[1

21],-αα[⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],1

21ββ.

=.213221111011⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡- 【评注】 本题属基本题型。

（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,

10,

0,6),(≤≤≤⎩⎨

⎧=

则=≤+}1{Y X P

4

1 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率

}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=

⎰⎰≤0

),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.

【详解】 由题设，有 =

≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰

≤+-=1210

16),(y x x

x

xdy dx dxdy y x f

=

.4

1)126(210

2=

-⎰

dx x x

【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P .14第一大题第（5）小题.

（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .

(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12

=σ

，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据