高中数学人教A版选修4-4课后训练：1.1平面直角坐标系 Word版含解析
人教版数学选修4-4课后练 1.1 平面直角坐标系 课末 Word版含答案
第一讲
．已知两定点(－)，()，如果动点满足＝，则点的轨迹所围成的图形的面积等于( ) ．π．π．π．π
解析：设点的坐标为(，)，∵＝，∴(＋)＋＝[(－)＋]．即(－)＋＝.故点的轨迹是以()为圆心，以为半径的圆，它的面积为π.
．(·湖南高三质检)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换(\\(′＝，′＝))后，曲线变为曲线′＋′＝，则曲线的方程为＋＝.
解析：∵′＝，′＝，′＋′＝，∴()＋()＝，即＋＝.
．在平面直角坐标系上伸缩变换的表达式为(\\(′＝(π)，′＝(π)，))
正弦曲线＝在此变换下得到的曲线方程是＝).
解析：根据伸缩变换关系式(\\( ′＝(π)，′＝(π)))
整理得(\\( ′＝()，′＝(() )，))代入＝得′＝)′，也可写为＝).
．简述由曲线＝得到曲线＝的变化过程，并求出坐标伸缩变换．
解析：＝的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到＝，再将其纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，得到曲线＝.
设′＝′，变换公式为(\\(′＝λ(λ＞(，′＝μ(μ＞(，))
将其代入′＝′得(\\(λ＝()，,μ＝，))则(\\(′＝()，′＝.))。
2015年秋新人教A版高中数学选修4-4：1.1《平面直角坐标系》习题及答案
【金版学案】2015-2016学年高中数学 1.1平面直角坐标系练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．平面直角坐标系．在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了______________．它使平面上任一点P 都可以由________实数对(x ，y )确定．2．坐标法．根据几何对象的特征，选取适当的________，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的________．3．伸缩变换．设P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应点P ′(x ′，y ′)，称为平面直角坐标系中的__________________，简称伸缩变换．►预习思考1．到直角坐标系两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________． 2．将点(2，3)变成点(3，2)的伸缩变换是__________________, 预习梳理1．平面直角坐标系 唯一的 2．坐标系 坐标法 3．坐标伸缩变换 预习思考 1．y ＝x 或y ＝－x 2.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ，y ′＝23y一层练习1．点(2，3)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧2x ′＝x ，y ′＝3y 后得到点的坐标为________．1．解析：由伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧2x ′＝x y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ＝1，y ′＝3y ＝9，即变换后点的坐标为(1，9)． 答案：(1，9)2．到两定点的距离之比等于常数k (k ≠0)的点的轨迹是________． 2．直线或圆3．将椭圆x 225＋y29＝1按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝15x ，y ′＝13y变换后的曲线围成图形的面积为________．3．解析：设椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点的坐标为P (x ，y )，按φ变换后的对应的坐标为P ′(x ′，y ′)，由φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝15x y ′＝13y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5x ′，y ＝3y ′，代入椭圆方程，得（5x ′）225＋（3y ′）29＝1，即x ′2＋y ′2＝1，圆的半径为1，所以圆的面积为π.答案：π4．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是____________．4.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y5．到直线x －y ＝0和直线2x ＋y ＝0的距离相等的动点的轨迹方程为____________． 5．x 2＋6xy －y 2＝0二层练习6．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是________．6．圆7．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝0，则曲线C 的方程为________．7．25x 2＋9y 2＝08．△ABC 中，B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，求点A 的轨迹方程为________． 8.x 29＋y 25＝1(x ≠±3) 9．在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，则满足条件的伸缩变换是____________．9．解析：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －422－9y 2＝1.①x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－2＝x －42，y ′＝3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝3y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝3y10．在平面直角坐标系中，求下列曲线方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 后的图形形状．(1)y 2＝2x ； (2)x 2＋y 2＝1.10．解析：(1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′代入y 2＝2x ，可得4y ′2＝6x ′，即y ′2＝32x ′.即伸缩变换之后的图形还是抛物线．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′代入x 2＋y 2＝1得(3x ′)2＋(2y ′)2＝1 即x 1219＋y 1214＝1.即伸缩变换后的图形为焦点在y 轴上的椭圆． 答案：抛物线 三层练习11．在平面直角坐标系xOy 上，直线l ：x ＝－2交x 轴于点A .设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO ＝∠AOP .当点P 在l 上运动时，则点M 的轨迹E 的方程是____________．11．解析：如下图所示，连接OM ，则|PM |＝|OM |.∵∠MPO ＝∠AOP ，∴动点M 满足MP ⊥l 或M 在x 的负半轴上，设M (x ，y )，①当MP ⊥l 时，|MP |＝|x ＋2|，|OM |＝x 2＋y 2，|x ＋2|＝x 2＋y 2，化简得y 2＝4x ＋4(x ≥－1)．②当M 在x 的负半轴上时，y ＝0(x ＜－1)，综上所述，点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x ＋4(x ≥－1)或y ＝0(x ＜－1)．答案：y 2＝4x ＋4(x ≥－1)或y ＝0(x ＜－1)12．已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1，0)的距离的2倍．则动点M 的轨迹C 的方程是________．12．解析：点M (x ，y )到直线x ＝4的距离，是到点N (1，0)的距离的2倍，则|x －4|＝2（x －1）2＋y 2⇒x 24＋y 23＝1.所以，动点M 的轨迹为椭圆，方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝113．平面内有一固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 中点，求|OP |的最小值．13．解析：以AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线x 轴建立平面直角坐标系，如右图，∵|PA |－|PB |＝3<|AB |，则点P 的轨迹以A 、B 为焦点的双曲线的右支上． 由题意知2c ＝4，∴c ＝2. 由题意知2a ＝3，∴a ＝32.∴b 2＝c 2－a 2＝4－94＝74.∴点P 的轨迹方程为x 294－y 274＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥32.由图可知，点P 为双曲线右支与x 轴的交点时，|OP |最小，|OP | min ＝32.答案：3214．已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地听到晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸的轨迹方程．14．解析：由声速及在A 地听到的炮弹声比在B 地晚2 s ，可知A 地与爆炸点的距离比B 地与爆炸点的距离远680 m ．因为|AB |>680 m ，所以爆炸点的轨迹是以A 、B 为焦点的在靠近B 处的双曲线一支上．以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系xOy ，设爆炸点P 的坐标为(x ，y )，则|PA |－|PB |＝340×2＝680，即2a ＝680，a ＝340∵|AB |＝800，∴2c ＝800，c ＝400，b 2＝c 2－a 2＝44400，∵800>|PA |－|PB |＝680>0∴x >0因此炮弹爆炸点的轨迹方程为x 2/115600－y 2/44400＝1(x >0)答案：x 2/115600－y 2/44400＝1(x >0)1．建立直角坐标系的规律技巧．坐标系的建立，直接影响到方程的繁简，因此，在建立直角坐标系的过程中，要尽量研究所给图形的对称性，若是轴对称图形，一般选取对称轴为坐标轴；若是中心对称图形，一般以对称中心为原点；若存在两条互相垂直的直线，一般以这两条直线为坐标轴．总之，在建立直角坐标系时，原则上是使尽可能多的点在坐标轴上，有对称的尽可能使它们关于坐标轴或原点对称．在解题时，注意不断归纳总结，积累经验方法，针对题设条件建立恰当的坐标系，使运算简便，求得的方程形式简单．2．在求动点P 的轨迹方程时，用几何性质求解比用代数方法简单． 3．伸缩变换对图形的影响．(1)由伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0知，当0＜λ＜1时，原图形以原点为中心，沿x 轴向两侧拉伸到原来的1λ倍；当λ>1时，沿x 轴向两侧缩短到原来的1λ倍，其中纵坐标不变．(2)在伸缩变换过程中，图象与y 轴的交点是不动点．(3)在伸缩变换过程中，每个点随着坐标的伸缩而移动，整个图形就发生相应的伸缩变换．(4)因为伸缩变换把直线变成直线，所以伸缩变换把多边形变成边数一致的多边形：伸缩变换不能实现曲线段与直线段的互变．换句话说，它不能把圆变成正方形．【习题1.1】1．解析：设两定点为A ，B ，以线段AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．设动点为M (x ，y )，由已知得到|MA |2＋|MB |2＝26，即(x ＋3)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝26，整理得x 2＋y 2＝4，这就是点M 的轨迹方程，是以AB 的中点为圆心，2为半径的圆．2．解析：以直线l 为x 轴，过点A 与l 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则点A 的坐标为(0，3)，设△ABC 的外心为P (x ，y )，因为P 为线段BC 的垂直平分线上的点，所以B ，C 的坐标分别为(x －2，0)，(x ＋2，0)．因为P 也在线段AB 的垂直平分线上，所以|PA |＝|PB |，即x 2＋（y －3）2＝22＋y 2，整理得x 2－6y ＋5＝0，这就是所求的轨迹方程．3．证明：证法一 如图所示，AD ，BE ，CO 分别是三角形ABC 的三条高，取边AB 所在的直线为x 轴，边AB 上的高CO所在的直线为y 轴建立直角坐标系．设A ，B ，C 的坐标依次为(－a ，0)，(b ，0)，(0，c )，则k AC ＝ca ，k BC ＝－c b.因为AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，所以k AD ＝－1k BC＝b c，k BE ＝－1k AC＝－a c.由直线的点斜式方程得直线AD 的方程为y ＝b c(x ＋a )，①直线BE 的方程为y ＝－a c(x －b )，②由方程①与②解得x ＝0.所以AD ，BE 的交点H 在y 轴上．因此，三角形的三条高线相交于一点．证法二 同上建立直角坐标系，设A ，B ，C 的坐标依次为(－a ，0)，(b ，0)，(0，c )，BC 边与AC 边的高线交于点H (x ，y )，则BH →＝(x －b ，y )，AH →＝(x ＋a ，y )，BC →＝(－b ，c )，AC→＝(a ，c )．因为AC →⊥BH →⇔AC →·BH →＝0，所以a (x －b )＋cy ＝0.①因为BC →⊥AH →⇔BC →·AH →＝0，所以 (－b )(x ＋a )＋cy ＝0.②由①－②得(a ＋b )x ＝0.因为a ＋b ≠0，所以x ＝0.所以点H 在AB 边的高线上，即△ABC 的三条高线交于一点．4．(1)x ′2＋y ′2＝1. (2)x ′22－y ′23＝1(3)y ′2＝32x ′.5．解析：把x ′＝3x ，y ′＝y 代入x ′2＋9y 2＝9得(3x )2＋9y 2＝9，化简得x 2＋y 2＝1，这就是曲线C 的方程(图略)．6．解析：(1)设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），代入2x ′－y ′＝4得2λx －μy ＝4.①将①与x －2y ＝2即2x －4y ＝4比较得λ＝1，μ＝4，故所求的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .(2)设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），代入x ′2－16y ′2－4x ′＝0得(λx )2－16(μy )2－4λx ＝0，即λ2x 2－16μ2y 2－4λx ＝0.①将①与x 2－y 2－2x ＝0比较得λ＝2，μ＝12.故所求的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y。
高中数学人教A版选修4-4课后训练：1.2极坐标系 Word版含解析
课后训练1．下列各点中与极坐标π57⎛⎫⎪⎝⎭，表示同一个点的是( )． A ．6π57⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．15π57⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．6π57⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．π57⎛⎫- ⎪⎝⎭， 2．在极坐标系内，点π32⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于直线π6θ＝(ρ∈R )的对称点的坐标为( )． A ．(3,0) B ．π32⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．2π33⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．11π36⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3．已知点M 的极坐标为π53⎛⎫- ⎪⎝⎭，，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )．A ．π53⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．4π53⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．2π53⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．5π53⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 4．已知A ，B 的极坐标分别是π33⎛⎫ ⎪⎝⎭，和⎝⎛⎭⎫3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )．A ．2B ．2C ．2D ．25．写出与直角坐标系中的点(－表示同一个点的所有点的极坐标__________．6．直线l 过点π33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π36B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则直线l 与极轴的夹角等于________． 7．已知A ，B 的极坐标分别为2π83⎛⎫ ⎪⎝⎭，，π63⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求线段AB 的中点的极坐标． 8．在极轴上求与点π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，的距离为5的点M 的坐标． 9．(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标：①π4⎫⎪⎭；②π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；③(5，π)． (2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)：①；②(－1，－1)；③(－3,0)．10．△ABC 的顶点的极坐标为4π43A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，5π66B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π86C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(1)判断△ABC 的形状；(2)求△ABC 的面积；(3)求△ABC 的边AB 上的高．参考答案1. 答案：B2. 答案：D3. 答案：A解析：化为直角坐标可知，点M 在第三象限，而选项A 中的点在直角坐标系中的第四象限．4. 答案：C解析：A ，B 在极坐标中的位置，如图，则由图可知13ππ5π1246AOB ∠＝－＝. 在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3， 所以，由余弦定理，得 |AB |2＝|OB |2＋|OA |2－2|OB |·|OA |·cos5π6＝9＋9－2×9×2⎛- ⎝⎭＝2918(12＋＝.∴||AB 5. 答案：2π42π3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，＋(k ∈Z )解析：4ρ，tan 2y x θ-＝＝ ∴2π3θ＝.∴点(－用极坐标表示为2π42π3k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(k ∈Z )． 6. 答案：π4解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3， πππ 366AOB ∠＝－＝， 所以ππ5π6212OAB ∠－＝＝， 所以π5πππ3124ACO ∠＝－－＝. 7. 解：A ，B两点的直角坐标分别为(－，．线段AB的中点的直角坐标为12⎛- ⎝⎭.则ρtan θ-＝所以线段AB的中点的极坐标为)θ，其中tan θ＝－8. 解：设M (r,0)，则M 的直角坐标为(r,0)． 因为π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则A 的直角坐标为(4,4)，5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7.所以点M 的坐标为(1,0)或(7,0)．9.解：(1)①πcos 14x＝， πsin 14y ＝， 所以点π4⎫⎪⎭的直角坐标为(1,1)． ②x ＝6·cos π3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3， y ＝6·sin π3⎛⎫-⎪⎝⎭＝－所以点π3⎫-⎪⎭的直角坐标为(3，－． ③x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sin π＝0，所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．(2)①ρtan θ又因为点在第一象限，所以π3θ＝.所以点的极坐标为π3⎛⎫ ⎪⎝⎭，.②ρtan θ＝1．又因为点在第三象限， 所以5π4θ＝.所以点(－1，－1)的极坐标为5π4⎫⎪⎭.③3ρ，极角为π，所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．10. 解：4π5ππ362AOB ∠＝－＝，7π5ππ663BOC ∠＝－＝，4π7ππ366COA ∠＝－＝.(O 为极点)(1)||AB |BC |＝＝|AC |＝＝∴△ABC 是等腰三角形．(2)S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12，S △BOC ＝12|OB |·|OC |sin ∠BOC ＝ S △COA ＝12|OC |·|OA |sin ∠COA ＝8.∴S △ABC ＝S △BOC ＋S △COA －S △AOB ＝ 4.(3)设AB 边上的高为h ，则2||13ABC S h AB ∆＝＝.。
高中数学人教A版选修4-4学案第1讲-1 平面直角坐标系 Word版含解析
一平面直角坐标系．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用．．了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．(重点、难点)．能够建立适当的直角坐标系解决数学问题．[基础·初探]教材整理平面直角坐标系阅读教材～“探究”及以上部分，完成下列问题．．平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)方、曲线与程建立了联系，从而实现了的结合．数与形．坐标法：根据几何对象的特征，通，选择适当的坐标系，建立它的方程方程过研究它的及．与其他几何图形的关系性质．坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．点(－)关于点(，－)的对称点坐标为( )．()．(，－)．(，－)．(－)【解析】设对称点的坐标为(，)，则－＝，且＋＝－，∴＝，且＝－.【答案】教材整理平面直角坐标系中的伸缩变换阅读教材～“习题”以上部分，完成下列问题．设点(，)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：(\\(′＝λ·(λ>(，′＝μ·(μ>())的作用下，点(，)对应到点′(′，′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )．比原来大的圆．椭圆．双曲线．比原来小的圆【解析】由伸缩变换的意义可得．【答案】．＝经过伸缩变换(\\(′＝，′＝))后，曲线方程变为( )．′＝′．′＝．′＝′．′＝【解析】由(\\(′＝′＝))，得(\\(＝()′＝()′))，又∵＝，∴′＝，即′＝.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：。
新人教A版高二数学选修4-4第一章坐标系 1.1.1 平面直角坐标系
2．将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是( B )
栏
目
链
x′＝23x， A.
y′＝32y
x′＝32x， B.
y′＝23y
接
x′＝y， C.y′＝x
x′＝x＋1， D.y′＝y－1
栏 目 链 接
题型1 轨迹探求
例1 线段 AB 的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，且
则点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支上．
由题意知 2c＝4，∴c＝2.
由题意知 2a＝3，∴a＝32.
∴b2＝c2－a2＝4－94＝74.
栏 目 链
接
∴点 P 的轨迹方程为x92－y72＝1x≥32.
44
由图可知，点 P 为双曲线右支与 x 轴的交点时，|OP|最小，
|OP|min＝32.
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栏 目 链 接
1.体会直角坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中刻画 点的位置的方法和坐标法的解题步骤.
2.会运用坐标法解决实际问题与几何问题.
栏
目
链
3.通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换下平 接
面图形的变化情况及作用.
栏 目 链 接
1．平面直角坐标系．
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并
高中数学第一讲坐标系1.1平面直角坐标系练习(含解析)新人教A版选修44
高中数学第一讲坐标系1.1平面直角坐标系练习（含解析）新人教A版选修44课时过关·能力提升基础巩固1点P(1,-2)关于点A(-1,1)的对称点P'的坐标为()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)答案B2给出下列曲线:①直线;②圆;③椭圆;④双曲线;⑤抛物线.在平面直角坐标系中,经过伸缩变换,以上曲线类型可能发生变化的是()A.②③B.①④⑤C.①②③D.②③④⑤解析只有圆和椭圆在伸缩变换中是可以互相转变的,其他三种曲线在伸缩变换后仍属于同类型的曲线.答案A3若△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2),B(2,3),C(3,1),则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析|AB||BC||AC||BC|=|AC|≠|AB|,故△ABC为等腰三角形.答案A4在平面直角坐标系中,经过伸缩变A.49x2+16y2=1B.49x2C解析将伸缩变x'2+y'2=1,答案C5已知有相距1 400 m的甲、乙两个观测站,在甲站听到爆炸声的时间比在乙站听到爆炸声的时间早4 s.若当时声音的传播速度为340 m/s,建立适当的平面直角坐标系,则爆炸点所在的曲线为()A.双曲线的一支B.直线C.椭圆D.抛物线答案A6在平面直角坐标系中,将点P(-2,2)变换为P'(-6,1)的伸缩变换公式为()AC解析由伸缩变换公答案C7在平面直角坐标系中,方程3x-2y+1=0所对应的直线经过伸缩变解析由伸缩变3x-2y+1=0,得9x'-y'+1=0.答案9x'-y'+1=08已知函数f(x)解析f(x)可看作是平面直角坐标系中x轴上的一点(x,0)到两定点(1,1)和(-1,1)的距离之和,结合图形可得,f(x)的最小值答案9在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=2.解(1)由伸缩变将其代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x'+3y'=0.所以经过伸缩变,直线5x+2y=0变成直线5x'+3y'=0.(2)x2+y2=2,得到经过伸缩变换后的图形的方程所以经过伸缩变,圆x2+y2=2变成椭10在△ABC中,底边BC的长为12,其他两边AB和AC上的中线CE和BD的和为30,建立适当的平面直角坐标系,求△ABC的重心G的轨迹方程.解以BC边所在的直线为x轴,BC边上的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则B(6,0),C(-6,0).由|BD|+|CE|=30,得|GB|+|GC|所以重心G的轨迹是椭圆.设G(x,y),则其轨迹方程易知a=10,c=6,由此可得b=8.因为点G不可能位于x轴上,所以x≠±10.故重心G的轨迹方程≠±10).能力提升1在平面直角坐标系中,经过伸缩变A.50x2+72y2=1B.9x2+100y2=1C.10x2+24y2=1 D解析2x'2+8y'2=1,得2×(5x)2+8×(3y)2=1,即50x2+72y2=1.故所求曲线C的方程为50x2+72y2=1.答案A2若点P(-2 017,2 016)经过伸缩变A.1B.-1C.2 016D.-2 017解析∵P(-2017,2016),∴x=-2017,y=2016,将其代入y'k=x'y'=-1.答案B★3已知点A(-1,3),点B(3,1),点C在坐标轴上,∠ACB=90°,则满足条件的点C的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4解析若点C在x轴上,可设点C的坐标为(x,0).由∠ACB=90°,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,所以有(-1-3)2+(3-1)2=(x+1)2+32+(x-3)2+12,解得x1=0,x2=2.所以点C的坐标为(0,0)或(2,0).若点C在y轴上,可设点C的坐标为(0,y).由∠ACB=90°,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,所以有(-1-3)2+(3-1)2=(0+1)2+(y-3)2+(0-3)2+(y-1)2,解之,得y1=0,y2=4.所以点C的坐标为(0,0)或(0,4).故满足条件的点C的个数为3.答案C4将双曲线C经过伸缩变解析由条件知x2-y2=1上,∴4x2∵a2∴c答5在平面直角坐标系中,经过伸缩变换,将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x'2-y'2-4x'+3=0,求满足条件的伸缩变换.解x2-36y2-8x+12=0可化x'2-y'2-4x'+3=0可化为(x'-2)2-y'2=1.②比较①②,可故满足条件的伸缩变换6在△ABC中,D是BC边上的任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,建立适当的平面直角坐标系,求证:△ABC为等腰三角形.证明如图,作AO⊥BC,垂足为O,以BC边所在直线为x轴,以OA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0).因为|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,所以由两点间的距离公式得b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).又d-b≠0,所以-b-d=c-d,即-b=c.故△ABC为等腰三角形.7某河上有抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽为8 m,一艘木船的宽为4 m,高为2 m,载货后木船露在水面上的部分高解根据题意建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0).因为A(4,-5)在抛物线上,所以42=-2p(-5),p=1.6.所以x2=-3.2y.设当水面上涨到与抛物线拱顶相距h m时船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,于是可设木船宽BB'的端点B的坐标为(2,y1).由22=-3.2y1,得y1=2m时,船开始不能通航.★8有一种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍.已知A,B两地间的距离为10 km,顾客选择从A 地或B地购买这种商品的标准是:运费和价格的总费用较低,试建立适当的平面直角坐标系,求从A,B两地购买的区域的分界线的形状,并指出线上、线内、线外的居民应如何选择购买地点?解以A,B所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.因为|AB|=10,所以A(-5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择从A地购买商品,并设从A地购买的运费为3a元/千米,则从B地购买的运费为a元/千米.因为P地居民购买总费用满足条件:价格+A地运费≤价格+B地运费,即有3a>0,所,得9(x+5)2+9y2≤(x-5)2+y2,所以以,圆C上的居民可从A,B两地之一购买,圆C内的居民从A地购买,圆C外的居民从B地购买.。
人教A版高中数学选修4-4：1.1平面直角坐标系 课件
当的平面直角坐标系探究 BE 与 CF 的位置关系。
问题2.平面直角坐标系中的伸缩变换有什么意义？
1.怎样由正弦曲线 y sin x 得到曲线 y sin 2x, y 3sin x, y 3sin 2 x ？
x y
' '
1 3 1 2
x y
后的图形。
(1) x2 y2 1;(2) x2 y2 1;(3) y2 2 x
94
18 12
问题2.平面直角坐标系中的伸缩变换有什么意义？
3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
x'
y
'
3x y
后，曲线
C
变为曲线
x
'2
9
y
'2
9
，求曲线
C
的方程
例：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
x y
' '
2x 3y
后的图形。
（1）2x+3y=0
(2)x2+y2=1
(3)y2=4x
x2
(4)
y2
1
43
练习： 1.已知点 A 为定点，线段 BC 在定直线上滑动，已知，点 A 到直线的距离为 3，求的外心的 轨迹方程。
2.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
并画出图形。 4.在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换： （1）直线 x-2y=2 变成直线 2x’-y’=4； （2）曲线 x2-y2-2x=0 变成曲线 x’2-16y’2-4x’=0。
人教版数学选修4-4课后练 1.1 平面直角坐标系 课后 含答案
第一讲 1.1一、选择题1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋4y ′2＝1，则曲线C 的方程为( A )A ．25x 2＋36y 2＝1B ．9x 2＋100y 2＝1C ．10x ＋24y ＝1D ．225x 2＋89y 2＝1解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入x ′2＋4y ′2＝1，得25x 2＋36y 2＝1，所得方程即为所求曲线C 的方程．故选A ．2．在平面直角坐标系中，方程x 2＋y 2＝1所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后的图形所对应的方程是( C )A ．4x ′2＋9y ′2＝1B ．9x ′2＋4y ′2＝1C ．x ′24＋y ′29＝1D ．x ′29＋y ′24＝1解析：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3x得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′①，将①代入x 2＋y 2＝1可得x ′24＋y ′29＝1.3．椭圆C ：x 23＋y 24＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y 得到椭圆C ′的一个焦点是( A )A ．(11，0)B ．(0,3)C ．(0，43)D ．(0，－43)解析：椭圆C ：x 23＋y 24＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，得到椭圆C ′为x ′227＋y ′216＝1.∵c 2＝a 2－b 2＝11，∴c ＝11，焦点又在x 轴上．故选A ．4．已知平面上两定点A ，B ，且A(－2,0)，B(2,0)，动点P 与两定点A ，B 连线斜率之积为－1，则动点P 的轨迹是( B )A ．直线B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．双曲线的一部分解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则由k PA ·k PB ＝－1，得y x －2·yx ＋2＝－1，整理得x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．故选B ． 5．已知f 1(x)＝cos x ，f 2(x)＝cos ωx(ω>0)，f 2(x)的图象可以看作是把f 1(x)的图象的横坐标压缩到原来的12(纵坐标不变)而得到的，则ω＝( B )A ．12B ．2C ．3D ．13解析：由伸缩变换公式可知ω＝2，故选B ．6．点P 是边长为a 的正△ABC 所在平面内一点，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值是( A )A ．a 2B ．2a 2C ．3a 2D ．4a 2解析：如图，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，32a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2，0.设P(x ，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y 2－3ay ＋54a 2＝3x 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时取等号．故选A ．二、填空题7．在同一平面直角坐标系中，使曲线y ＝2sin 3x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y .解析：对照比较曲线y ＝2sin 3x 和曲线y ′＝sin x ′得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y.8．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA→＋3PB →|的最小值为5.解析：以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，A(2,0)，设C(0，c)，P(0，y)，则B(1，c)．PA→＝(2，－y)，PB →＝(1，c －y)． PA→＋3PB →＝(5,3c －4y)． ⎪⎪⎪⎪PA→＋3PB →＝52＋(3c －4y )2≥5，当且仅当y ＝3c 4时，等号成立．于是，当y ＝3c 4时，⎪⎪⎪⎪PA →＋3PB →有最小值5.。
高中数学人教A版选修4-4学案第一讲 一 平面直角坐标系 Word版含答案
一平面直角坐标系．平面直角坐标系()平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．()坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．．平面直角坐标系中的伸缩变换()平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．()平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点(，)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：(\\(′＝λ(λ＞(′＝μ(μ＞())的作用下，点(，)对应到点′(′，′)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[例] 已知△中，＝，、分别为两腰上的高．求证：＝.[思路点拨]由于△为等腰三角形，故可以为轴，以中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．[证明]如图，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．设(－)，()，(，)．则直线的方程为＝－＋，即：＋－＝.直线的方程为＝＋，即：－＋＝.由点到直线的距离公式：得＝，＝.∴＝，即＝.建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点，②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．．求证等腰梯形对角线相等．已知：等腰梯形.求证：＝.证明：取、所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立如图所示的直角坐标系．设(－，)，(－)，则(，)，()．∴＝，＝.∴＝，即等腰梯形中，＝.．已知△中，＝，求证：＋＝(＋)．。
2017-2018学年人教A版数学选修4-4检测：第一讲一平面直角坐标系 Word版含解析
第一讲 坐标系 一、平面直角坐标系A 级 基础巩固一、选择题1．动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2，2)的距离，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：因为M (2，2)在直线x ＋y －4＝0上，所以点P 的轨迹是过M 与直线x ＋y －4＝0垂直的直线． 答案：A2．将点P (－2，2)变换为P ′(－6，1)的伸缩变换公式为( )A.⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝2yB.⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝3yC.⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12yD.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y 解析：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，则⎩⎪⎨⎪⎧－6＝λ·（－2），1＝μ·2，解得⎩⎨⎧λ＝3，μ＝12，所以⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y . 答案：C3．已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设P 点的坐标为(x ，y )， 因为|PA |＝2|PB |，所以(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹是以(2，0)为圆心、2为半径的圆，它的面积为4π.答案：B4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后为( ) A ．y ′＝cos x ′ B ．y ′＝3cos 12x ′C ．y ′＝2cos 13x ′D ．y ′＝12cos 3x ′解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′，所以y ′＝cos x ′. 答案：A5．在同一坐标系下，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y后，曲线C 变为曲线x ′216＋y ′29＝1，则曲线C 的方程为( )A ．2x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x ＋y ＝1D ．4x ＋3y ＝1解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y代入曲线x ′216＋y ′29＝1.得x 2＋y 2＝1.所以曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1. 答案：B 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点(－1，0)的距离是到点(1，0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程是________________．解析：设P (x ，y )，则（x ＋1）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2，即x 2＋2x ＋1＋y 2＝2(x 2－2x ＋1＋y 2)，整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0. 答案：x 2＋y 2－6x ＋1＝07．若点P (－2 016，2 017)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2 017，y ′＝y2 016后的点在曲线x ′y ′＝k 上，则k ＝________．解析：因为P (－2 016，2 017)经过伸缩变换 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2 017，y ′＝y 2 016，得⎩⎨⎧x ′＝－2 0162 017，y ′＝2 0172 016， 代入x ′y ′＝k ，得k ＝－1. 答案：－18．在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，则满足条件的伸缩变换是________．解析：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －422－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得⎩⎨⎧x ′－2＝x －42，y ′＝3y ，即⎩⎨⎧x ′＝x 2，y ′＝3y . 答案：⎩⎨⎧x ′＝x 2，y ′＝3y三、解答题9．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.证明：以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B ，C 两点的坐标分别为(b ，0)，(0，c )．则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2.由于|BC |＝b 2＋c 2，|AM |＝ b 24＋c 24＝12b 2＋c 2， 故|AM |＝12|BC |.10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝14y后，曲线C 变为曲线x ′216＋4y ′2＝1，求曲线C 的方程并画出图形．解：设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，变换后的点为 M ′(x ′，y ′)．由⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝14y ，且M ′(x ′，y ′)在曲线x ′216＋4y ′2＝1上， 得4x 216＋4y 216＝1， 所以x 2＋y 2＝4.因此曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，表示以O (0，0)为圆心、2为半径的圆(图略)．B 级 能力提升1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝2，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋36y 2＝1B ．9x 2＋100y 2＝1C ．10x ＋24y ＝1D.225x 2＋89y 2＝1 解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入2x ′2＋8y ′2＝2中，得50x 2＋72y 2＝2，即25x 2＋36y 2＝1. 答案：A2．在平面直角坐标系中，动点P 和点M (－2，0)，N (2，0)满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为__________________．解析：设P (x ，y )，由题意可知MN →＝(4，0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP→＝(x －2，y )，由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 可知4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0， 化简，得y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x3．已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地听到晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸的轨迹方程．解：由声速及在A 地听到的炮弹声比在B 地晚2 s ，可知A 地与爆炸点的距离比B 地与爆炸点的距离远680 m.因为|AB |>680 m ，所以爆炸点的轨迹是以A 、B 为焦点的在靠近B 处的双曲线一支上．以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系xOy ，设爆炸点P 的坐标为(x ，y )， 则|PA |－|PB |＝340×2＝680， 所以2a ＝680，a ＝340， 因为|AB |＝800，所以2c ＝800，c ＝400，b 2＝c 2－a 2＝44 400， 因为800>|PA |－|PB |＝680>0， 所以x >0，因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 x 2115 600－y 244 400＝1(x >0)．。
高中数学人教A版选修4-4优化练习：第一讲 一 平面直角坐标系 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．▱ABCD 中三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则D 点的坐标为( ) A ．(9，－1) B ．(－3,1) C ．(1,3)D ．(2,2)解析：设D 点坐标为(x ，y )， 根据AC 的中点与BD 的中点重合，得 ⎩⎨⎧x ＋32＝－1＋52，y ＋02＝2＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.故选C. 答案：C2．将点P (－2,2)变换为P ′(－6,1)的伸缩变换公式为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝13x ，y ′＝2y B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y 解析：因为P (－2,2)，P ′(－6,1)， 而－6＝－2×3,1＝2×12，故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .故选C. 答案：C3．动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2,2)的距离，则点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线 解析：因为点M (2,2)在直线x ＋y －4＝0上，故动点P 的轨迹是过点M 且垂直于直线x ＋y －4＝0的直线，选A.答案：A4．在平面直角坐标系上伸缩变换的表达式为⎩⎨⎧x ′＝x sin π6，y ′＝y cos π6，正弦曲线y ＝sin x 在此变换下得到的曲线的方程是( )A ．y ＝2sin 2xB ．y ＝32sin 2x C ．y ＝233sin 2xD ．y ＝ 3 sin 2x解析：由题知⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝32y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝23y ′. 代入y ＝sin x 得23y ′＝sin 2x ′. ∴y ′＝32sin 2x ′， 即是y ＝32sin 2x 为所求，故选B. 答案：B5．给出以下四个命题，其中不正确的一个是( )A ．点M (3,5)经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝5x ，5y ′＝3y ，变换后得到点M ′的坐标为(5,3)B ．函数y ＝2(x －1)2＋2经过平移变换φ 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －1，y ′＝y －2后再进行伸缩变换φ 2：⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝18y ，最后得到的函数解析式为y ＝x 2C ．若曲线C 经过伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y变换后得到的曲线方程为x 2－y 2＝1，则曲线C 的方程是4x 2－9y 2＝1D ．椭圆x 216＋y 29＝1经过伸缩变换φ变换后得到的图形仍为椭圆，并且焦点一定还在x轴上解析：对于A ：将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝5代入⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ′＝5x ，5y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5，y ′＝3，故M ′(5，3)，正确；对于B ：y ＝2(x －1)2＋2经φ1变换后得到y ＝2x 2，再将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝8y ′代入得8y ′＝8x ′2即y ′＝x ′2，因此最后所得函数解析式为y ＝x 2正确；对于C ：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 代入x ′2－y ′2＝1得4x 2－9y 2＝1，故变换前方程为4x 2－9y 2＝1也正确．对于D ：设伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，则当λ＝4，μ＝3时变换后的图形是圆x 2＋y 2＝1，当λ＝4，μ＝1时变换后的图形为椭圆x 2＋y 29＝1，此时焦点在y 轴上，故D 不正确． 答案：D6．若曲线C 1：x 2－y 2＝0与C 2：(x －a )2＋y 2＝1的图象有3个交点，则a ＝________. 解析：x 2－y 2＝0⇔(x ＋y )(x －y )＝0⇔x ＋y ＝0或x －y ＝0，这是两条直线． 由题意，要使C 1与C 2有3个交点，必有如图所示情况：由图(x －a )2＋y 2＝1过原点，则a 2＝1，即a ＝±1. 答案：±17．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则点A 的轨迹方程为________________．解析：∵△ABC 的周长为10， ∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，其中|BC |＝4， 则有|AB |＋|AC |＝6>4，∴点A 的轨迹为除去两点的椭圆，且2a ＝6,2c ＝4. ∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴点A 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．答案：x 29＋y 25＝1(y ≠0)8．已知函数f (x )＝(x －1)2＋1＋(x ＋1)2＋1，则f (x )的最小值为________． 解析：f (x )可看作是平面直角坐标系中x 轴上的一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之和，数形结合可得f (x )的最小值为2 2.答案：2 29．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，求A 点的轨迹方程．解析：取B ，C 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系(图略)，则D (0,0)，B (－2, 0)，C (2，0)．设A (x ，y )为所求轨迹上任意一点， 则|AD |＝x 2＋y 2， 又| AD |＝3，∴x 2＋y 2＝3，即x 2＋y 2＝9(y ≠0)． ∴A 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)．10．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的图形所对应的方程．解析：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，将其代入4x 2－9y 2＝1， 得4·(12x ′)2－9·(13y ′)2＝1.整理得：x ′2－y ′2＝1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x ′2－y ′2＝1.[B 组 能力提升]1．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|－MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：由题意，得MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，由|MN →|·|MP →|－MN →·NP →＝0得4(x ＋2)2＋y 2－4(x －2)＝0，整理得y 2＝－8x .答案：B2．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13yC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′y ＝3y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 解析：设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)，则μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx .比较y ＝3sin 2x 与y ＝1μsin λx ，可得1μ＝3，λ＝2，∴μ＝13，λ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y . 答案：B3．把圆x 2＋y 2＝16沿x 轴方向均匀压缩为椭圆x 2＋y 216＝1，则坐标变换公式是________．解析：设变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，(λ>0)，y ′＝μy ，(μ>0)，代入x ′2＋y ′216＝1中得λ2x 2＋μ2y 216＝1，即：16λ2x 2＋μ2y 2＝16，与x 2＋y 2＝16比较得⎩⎪⎨⎪⎧16λ2＝1，μ2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，μ＝1.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14x ，y ′＝y4．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为________h.解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40,0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ， N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2. 求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)， 故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h. 答案：15．已知AD ，BE ，CF 分别是△ABC 的三边上的高，求证：AD ，BE ，CF 相交于一点．证明：如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，BC 边上的高所在直线AD 为y 轴，建立直角坐标系．不妨设点的坐标分别为A (0，a )，B (b,0)，C (c ，0)．根据斜率公式得k AB ＝－a b ，k AC ＝－ac，k BC ＝0，又根据两直线垂直的充要条件及直线点斜式方程，容易求出三条高所在的直线方程分别为AD ：x ＝0，BE ：cx －ay －bc ＝0，CF ：bx －ay －bc ＝0.这三个方程显然有公共解x ＝0，y ＝－bca，从而证明了三角形的三条高相交于一点．6．求证：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >1)上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.证明：证法一 将椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >1)上的点(x ，y )按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝a b y ，变换为x ′2a 2＋⎝⎛⎭⎫b a y ′2b 2＝1，即得圆x ′2＋y ′2＝a 2，椭圆上的点 P (x 0，y 0)的对应点为P ′(x ′，y ′)，即 P ′⎝⎛⎭⎫x 0，ab y 0在圆x ′2＋y ′2＝a 2上． 可得过圆x ′2＋y ′2＝a 2上的点 P ′⎝⎛⎭⎫x 0，ab y 0的切线方程为 x 0x ′＋aby 0y ′2＝a 2，该切线方程按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝a b y 变换前的直线方程为x 0x ＋a b y 0·a b y ＝a 2，即x 0x a 2＋y 0yb2＝1，这就是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >1)上一点P (x 0，y 0)的切线方程．证法二 由椭圆的对称性，只需证明椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1在x 轴上方部分即可，由题意，得y ＝b aa 2－x 2，y ′＝－b a ·xa 2－x2，所以k ＝y ′|x ＝x 0＝－b a ·x 0a 2－x 20＝－b a ·x 0a 2b 2·y 20＝－b 2a 2·x 0y 0.由直线的点斜式方程，得切线的方程为 y －y 0＝－b 2a 2·x 0y 0(x －x 0)，即b 2x 0x ＋a 2y 0y ＝b 2x 20＋a 2y 20＝a 2b 2，所以x 0x a 2＋y 0yb 2＝1为切线方程．。
数学人教A版选修4-4课后导练 第一讲一平面直角坐标系
课后导练基础达标1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 3,5后,曲线C 变为曲线2x′2+8y′2=1,则曲线C 的方程为( )A.50x 2+72y 2=1B.9x 2+100y 2=1C.25x 2+36y 2=1D.252x 2+98y 2=1 解析:把伸缩变换公式代入2x′2+8y′2=1,知A 成立.答案:A2.将曲线x 2+y 2=1伸缩变换为9422y x '+'=1的伸缩变换公式为( ) A.⎩⎨⎧='='y y x x 32 B.⎩⎨⎧='='yy x x 23 C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121 D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 2131 解析:观察知x=2x ',y=3y ',∴⎩⎨⎧='='yy x x 32选A. 答案:A 3.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x 2+y 2=1.解:由伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121,得⎩⎨⎧'='=y y x x 32①将⎩⎨⎧>='>=')0(),0(μμλλy y x x ①代入5x+2y=0得5x′+3y′=0, 经后仍为直线.(2)将①代入x 2+y 2=1中得914122y x '+'=1,圆变成了椭圆.综合运用4.在同一平面直角坐标系中,将曲线x 2-36y 2-8x+12=0变成曲线x′2-y′2-4x′+3=0,求满足图象变换的伸缩变换.解:设伸缩变换为⎩⎨⎧>='>=')0(),0(μμλλy y x x 将其代入方程x′2-y′2-4x′+3=0,得 λ2x 2-μ2y 2-4λx+3=0,与x 2-36y 2-8x+12=0比较系数得1238436122===λμλ,∴λ=21,μ=3. ∴变换为⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 321.5.△ABC 中,若BC 的长度为4,中线AD 的长为3,则点A 的轨迹方程是____________. 解析:A 点在以D(0,0)为圆心,以DA=3为半径的圆上.答案:x 2+y 2=9(y≠0)拓展探究6.在平面直角坐标系中,有一个以F 1(0,3-)和F 2(0,3)为焦点,离心率为23的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P 在C 上,C 在点P 处的切线与x,y 轴的交点分别为A,B,且向量+=.求:(1)点M 的轨迹方程; (2)|OM |的最小值.解:(1)椭圆方程可写为2222a x a y +=1,式中b<a, 且⎪⎩⎪⎨⎧==-,233,322a b a ,得a 2=4,b 2=1,故曲线C 的方程为x 2+42y =1(x>0,y>0). y=212x -(0<x<1),y′=212x x--.设P(x 0,y 0),因P 在C 上,有0<x 0<1,y 0=2201x -,y′0x x ==004y x -,得切线AB 的方程为 y=004y x -(x-x 0)+y 0.设A(x,0),B(0,y),由切线方程得x=01x ,y=04y . 由OB OA OM +=得M 的坐标为(x,y),由x 0,y 0满足C 的方程,得点M 的轨迹方程为2241yx ==1(x>1,y>2). (2)∵|OM |2=x 2+y 2且y 2=2114x -=4+142-x , ∴|OM |2=x 2-1+142-x +5≥4+5=9. 且当x 2-1=142-x 时,即x=3>1时,上式等号成立. 故||的最小值为3.。
数学人教A版选修4-4素材教材习题点拨第一讲一平面直角坐标系Word版含解析
教材习题点拨思考：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题？答：建立直角坐标系的原则是使直线或曲线的方程尽可能的简单，一般有以下一些规则．如：(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上．思考：我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点P 的位置．这种方法与用直角坐标刻画点P 的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？答：点P 的直角坐标为(－6805，6805)，即巨响的位置在信息中心的西680 5 m ，北680 5 m 处，还可以说，巨响在信息中心的西偏北45°方向，距离68010 m 处，从以上的两种表述可以看出，对这个问题而言，第二种角与距离的方法更简单些．探究：你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？解：如图，以点F 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴建立直角坐标系．由已知，点A ，B ，F 的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫－c 2，0，B ⎝⎛⎭⎫c2，0，F (0，0)．设点C 的坐标为(x ，y )，则点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22，y 2，即⎝⎛⎭⎫x 2－c 4，y 2. 由b 2＋c 2＝5a 2，可得|AC |2＋|AB |2＝5|BC |2，即⎝⎛⎭⎫x ＋c22＋y 2＋c 2 ＝5⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2. 整理得，2x 2＋2y 2－3cx ＝0. 因为BE ＝⎝⎛⎭⎫x 2－3c 4，y 2，CF ＝(－x ，－y )，所以BE ·CF ＝－x 22＋3cx 4－y 22＝－14(2x 2＋2y 2－3cx )＝0.因此，BE 与CF 互相垂直．以上这种建立直角坐标系的方法也可以，但是不如教科书上提供的建系方式好，因此在运算过程中出现了较多的分数，增加了运算的难度，也就增加了出错的概率．思考：在伸缩变换④下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线？答：由伸缩变换公式()()0,0x x y y λλμμ'=⋅>⎧⎪⎨'=⋅>⎪⎩可知，在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，曲线(包括直线)的形状不变，直线、双曲线、抛物线还是变为直线、双曲线、抛物线．虽然圆可以变椭圆、椭圆也可以变成圆，但这是因为我们可以认为圆是椭圆的特例．习题1.11．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹． 解：设两个定点分别为A ，B ，以直线AB 为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (－3,0)，B (3,0)．设M (x ，y )是轨迹上任意一点，则有|MA |2＋|MB |2＝26，即(x ＋3)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝26，化简得x 2＋y 2＝4.因此点M 的轨迹是以AB 的中点为圆心，以2为半径的圆．2．已知点A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知|BC |＝4，点A 到直线l 的距离为3，求△ABC 的外心的轨迹方程．解：以直线l 为x 轴，过点A 与l 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则点A 的坐标为(0,3)．设△ABC 的外心为P (x ，y )，因为P 是线段BC 的垂直平分线上的点，所以B ，C 的坐标分别为(x －2,0)，(x ＋2,0)．因为P 也在线段AB 的垂直平分线上，所以|P A |＝|PB |，即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，整理得x 2－6y ＋5＝0，这就是所求的轨迹方程．3．用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点．证法一：如图，AD ，BE ，CO 分别是三角形ABC 的三条高，取边AB 所在的直线为x 轴，边AB 上的高CO 所在的直线为y 轴建立直角坐标系．设A ，B ，C 的坐标依次为(－a,0)，(b,0)，(0，c )，则k AC ＝c a ，k BC ＝－cb ，因为AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，所以k AD ＝－1k BC ＝b c ，k BE ＝－1k AC ＝－ac.由直线的点斜式方程，得直线AD 的方程为y ＝bc (x ＋a )，①直线BE 的方程为y ＝－ac (x －b )．②由方程①与②，解得x ＝0.所以，AD ，BE 的交点H 在y 轴上． 因此，三角形的三条高线相交于一点．证法二：同上建立直角坐标系，设A ，B ，C 的坐标依次为(－a,0)，(b,0)，(0，c )，BC 边与AB 边的高线交于点H (x ，y )，则BH ＝(x －b ，y )，AH ＝(x ＋a ，y )，BC ＝(－b ，c )，AC ＝(a ，c )．因为AC ⊥BHAC ·BH ＝0，所以a (x －b )＋cy ＝0.① 因为BC ⊥AHBC ·AH ＝0，所以(－b )(x ＋a )＋cy ＝0.② ①－②得到(a ＋b )x ＝0. 因为a ＋b ≠0，所以x ＝0.所以点H 在AB 边的高线上，即△ABC 的三条高线交于一点．4．在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换1',31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后的图形．(1)x 29＋y 24＝1；(2)x 218－y 212＝1； (3)y 2＝2x .解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′代入方程化简即可．(1)19(3x ′)2＋14(2y ′)2＝1，整理得x ′2＋y ′2＝1； (2)118(3x ′)2－112(2y ′)2＝1，整理得x ′22－y ′23＝1；(3)(2y ′)2＝2(3x ′)，整理得y ′2＝32x ′.5．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋9y ′2＝9，求曲线C 的方程并画出图象．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 代入曲线方程x ′2＋9y ′2＝9得(3x )2＋9y 2＝9.整理得x 2＋y 2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.即曲线C 是以原点为圆心，以1为半径的圆．(图略)6．在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换： (1)直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4；(2)曲线x 2－y 2－2x ＝0变成曲线x ′2－16y ′2－4x ′＝0.解：(1)设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝kx (k ＞0)，y ′＝hy (h ＞0)代入2x ′－y ′＝4得2kx －hy ＝4，即kx －12hy ＝2.这与x －2y ＝2是同一个函数．所以k ＝1，h ＝4.所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .(2)设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝kx (k ＞0)，y ′＝hy (h ＞0)，代入曲线x ′2－16y ′2－4x ′＝0得k 2x 2－16h 2y 2－4kx ＝0，即x 2－16h 2k 2y 2－4x k ＝0.这与x 2－y 2－2x ＝0是同一个函数，所以16h 2k 2＝1，4k＝2，所以k ＝2，h ＝12. 所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y .。
【同步练习】2020人教A版选修4-4优化练习：1.1 《平面直角坐标系》(含答案解析)
2020人教A 版选修4-4优化练习：1.1 平面直角坐标系一、选择题1.点M ⎝⎛⎭⎪⎫ρ，π4(ρ≥0)的轨迹是( ) A ．点 B ．射线 C ．直线 D ．圆2.极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫5，5π6关于极轴所在直线的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，11π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－11π63.在极坐标系中与点A ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，4π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫3，5π64.在极坐标平面内，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，200π，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，201π，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－200π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，200π中互相重合的两个点是( )A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H5.在极坐标系中，ρ1=ρ2且θ1=θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.▱ABCD 中三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则D 点的坐标为( )A ．(9，－1)B ．(－3,1)C ．(1,3)D ．(2,2)7.将点P(－2,2)变换为P′(－6,1)的伸缩变换公式为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x′＝13x ，y′＝2yB.⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝12y D.⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝2y8.动点P 到直线x ＋y －4=0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线9.若函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x≤0，x 3－3x ＋a ，x>0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)10.一个三角形的一个顶点在极点，其他两个顶点的极坐标分别为P 1(－5,109°)，P 2(4,49°)，则这个三角形P 1OP 2的面积为( )A ．5 3B ．10 3 C.523 D ．1011.在极坐标系中，已知点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π4，P 2⎝⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( )A ．9B ．10C ．14D ．212.给出以下四个命题，其中不正确的一个是( )A ．点M(3,5)经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧3x′＝5x ，5y′＝3y ，变换后得到点M′的坐标为(5,3)B ．函数y=2(x －1)2＋2经过平移变换φ 1：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x －1，y′＝y －2后再进行伸缩变换φ 2：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y′＝18y ，最后得到的函数解析式为y=x 2C ．若曲线C 经过伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y变换后得到的曲线方程为x 2－y 2=1，则曲线C的方程是4x 2－9y 2=1D ．椭圆x 216＋y29=1经过伸缩变换φ变换后得到的图形仍为椭圆，并且焦点一定还在x 轴上二、填空题13.极坐标系中，极坐标为(6,2)的点的极角为________．14.若曲线C 1：x 2－y 2=0与C 2：(x －a)2＋y 2=1的图象有3个交点，则a=________.15.△ABC 中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC 的周长为10，则点A 的轨迹方程为____________．16.关于极坐标系的下列叙述：①极轴是一条射线；②极点的极坐标是(0,0)； ③点(0, 0)表示极点；④点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4与点N ⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4表示同一个点；⑤动点M(5，θ)(θ>0)的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆．其中，所有正确叙述的序号是________．三、解答题17.设点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：(1)点A 关于极轴的对称点； (2)点A 关于直线l 的对称点；(3)点A 关于极点的对称点．(限定ρ>0，－π<θ≤π)．18.求证：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2=1(a>b>1)上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2=1.答案解析1.答案为：B ；解析：由于动点M ⎝⎛⎭⎪⎫ρ，π4的极角θ=π4，ρ取一切非负数，故点M 的轨迹是极角为π4的终边，是一条射线，故选B.2.答案为：A ；解析：由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，5π6关于极轴所在直线的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－5π6，根据终边相同的角的概念，此点即⎝⎛⎭⎪⎫5，7π6.3.答案为：B ；解析：与A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎪⎫3，2k π＋π3(k ∈Z)，只有B 满足．4.答案为：A ；解析：把极坐标化成最简形式M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3，0， 故M ，N 是相互重合的点．5.答案为：A ；解析：前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．6.答案为：C ；解析：设D 点坐标为(x ，y)，根据AC 的中点与BD 的中点重合，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＝－1＋52，y ＋02＝2＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.故选C.7.答案为：C ；解析：因为P(－2,2)，P′(－6,1)，而－6=－2×3,1=2×12，故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y′＝12y.故选C.8.答案为：A ；解析：因为点M(2,2)在直线x ＋y －4=0上，故动点P 的轨迹是过点M 且垂直于直线x ＋y －4=0的直线，选A.9.答案为：A ；解析：当x≤0时，1>f(x)=1－2x≥0；当x>0时，f(x)=x 3－3x ＋a ，f′(x)=3x 2－3， 当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x=1时，函数f(x)取得最小值f(1)=1－3＋a=a －2. 由题意得1≥a－2≥0，解得2≤a≤3，选A.10.答案为：A ；解析：点P 1的坐标可写为(5，－71°)，则∠P 1OP 2=120°，S △P 1OP 2=12×4×5sin 120°=5 3.11.答案为：B ；解析：∵∠P 1OP 2=3π4－π4=π2，∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|=OP 21＋OP 22=62＋82=10，故选B.12.答案为：D ；解析：对于A ：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5代入⎩⎪⎨⎪⎧3x′＝5x ，5y′＝3y得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝5，y′＝3，故M′(5，3)，正确；对于B ：y=2(x －1)2＋2经φ1变换后得到y=2x 2，再将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝8y′代入得8y′=8x′2即y′=x′2，因此最后所得函数解析式为y=x 2正确；对于C ：将⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y代入x′2－y′2=1得4x 2－9y 2=1，故变换前方程为4x 2－9y 2=1也正确．对于D ：设伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λx，y′＝μy，则当λ=4，μ=3时变换后的图形是圆x 2＋y 2=1，当λ=4，μ=1时变换后的图形为椭圆x2＋y29=1，此时焦点在y 轴上，故D 不正确．13.答案为：2；解析：极坐标系中，极坐标为(6,2)的点的极角为2.14.答案为：±1；解析：x 2－y 2=0⇔(x ＋y)(x －y)=0⇔x ＋y=0或x －y=0，这是两条直线． 由题意，要使C 1与C 2有3个交点，必有如图所示情况：由图(x －a)2＋y 2=1过原点，则a 2=1，即a=±1.15.答案为：x 29＋y25=1(y≠0)；解析：∵△ABC 的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|=10，其中|BC|=4， 则有|AB|＋|AC|=6>4，∴点A 的轨迹为除去两点的椭圆，且2a=6,2c=4.∴a=3，c=2，b 2=5.∴点A 的轨迹方程为x 29＋y 25=1(y≠0)．16.答案为：①③⑤；解析：结合极坐标系概念可知①③⑤正确，其中，②极点的极坐标应为(0，θ)，θ为任意实数；④中点M ，N 的终边互为反方向．17.解：如图所示：(1)关于极轴的对称点为B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－π3， (2)关于直线l 的对称点为C ⎝⎛⎭⎪⎫1，2π3，(3)关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫1，－2π3.18.证明：证法一将椭圆x 2a 2＋y2b 2=1(a>b>1)上的点(x ，y)按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ，y′＝ab y ，变换为x′2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a y′2b2=1，即得圆x′2＋y′2=a 2， 椭圆上的点P(x 0，y 0)的对应点为P′(x′，y′)，即P′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，a b y 0在圆x′2＋y′2=a 2上．可得过圆x′2＋y′2=a 2上的点P′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，a b y 0的切线方程为x 0x′＋a b y 0y′2=a 2，该切线方程按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ，y′＝ab y 变换前的直线方程为x 0x ＋a b y 0·a by=a 2，即x 0x a 2＋y 0y b 2=1，这就是过椭圆x 2a 2＋y2b2=1(a>b>1)上一点P(x 0，y 0)的切线方程．证法二由椭圆的对称性，只需证明椭圆x 2a 2＋y2b2=1在x 轴上方部分即可，由题意，得y=b a a 2－x 2，y′=－b a ·x a 2－x 2，所以k=y′|x=x 0=－b a ·x 0a 2－x 20=－b a ·x 0a 2b2·y 20=－b 2a 2·x 0y 0. 由直线的点斜式方程，得切线的方程为y －y 0=－b 2a 2·x 0y 0(x －x 0)，即b 2x 0x ＋a 2y 0y=b 2x 20＋a 2y 20=a 2b 2，所以x 0x a 2＋y 0yb 2=1为切线方程．。
数学人教A版选修4-4课后导练第一讲一平面直角坐标系含解析
课后导练基础达标1。
在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 3,5后，曲线C 变为曲线2x′2+8y′2=1，则曲线C 的方程为（ ） A 。
50x 2+72y 2=1 B.9x 2+100y 2=1 C.25x 2+36y 2=1 D.252x 2+98y 2=1解析：把伸缩变换公式代入2x′2+8y′2=1，知A 成立。
答案：A2。
将曲线x 2+y 2=1伸缩变换为9422y x '+'=1的伸缩变换公式为（ ）A.⎩⎨⎧='='yy x x 32 B 。
⎩⎨⎧='='yy xx 23 C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 2131解析:观察知x=2x '，y=3y '，∴⎩⎨⎧='='yy x x 32选A 。
答案：A3。
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 3121后的图形。
(1）5x+2y=0;(2)x 2+y 2=1.解:由伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='yy x x 3121,得⎩⎨⎧'='=y y x x 32①将⎩⎨⎧>='>=')0(),0(μμλλy y x x ①代入5x+2y=0得5x′+3y′=0，经后仍为直线. (2)将①代入x 2+y 2=1中得914122y x '+'=1，圆变成了椭圆.综合运用4。
在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2—36y 2-8x+12=0变成曲线x′2—y′2—4x′+3=0,求满足图象变换的伸缩变换。
解:设伸缩变换为⎩⎨⎧>='>=')0(),0(μμλλy y x x 将其代入方程x′2-y′2—4x′+3=0，得λ2x 2-μ2y 2-4λx+3=0，与x 2-36y 2—8x+12=0比较系数得1238436122===λμλ,∴λ=21,μ=3。
数学人教A版选修4-4学案：第一讲一平面直角坐标系含解析
一平面直角坐标系1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用．2．通过具体例子，了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况．1．平面直角坐标系（1）平面直角坐标系的作用:使平面上的点与________________、曲线与______建立了联系，从而实现了________的结合．(2)坐标法：根据几何对象的______，选择适当的坐标系，建立它的______，通过______研究__________及____________________．(3）坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步:建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的______元素，将几何问题转化成______问题;第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译"成几何结论．【做一做1－1】已知平面内三点A(2，2），B(1,3），C（7，x），且满足错误!⊥错误!,则x的值为（）．A．3 B．6 C．7 D．9【做一做1－2】设平行四边形ABCD的顶点为A(0,0），B(0,b），C（a,c）,则第四个顶点D的坐标是（）．A．(a,b＋c) B．(－a，b＋c）C．（a，c－b）D．(－a，b－c）【做一做1－3】 已知平行四边形ABCD ,求证：AC 2＋BD 2＝2（AB 2＋AD 2）2．平面直角坐标系中的伸缩变换（1）平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归结为______伸缩变换，这就是用__________研究______变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换________________的作用下,点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′）,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．【做一做2－1】 如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 错误!x 的图象（ ）．A ．将横坐标压缩为原来的错误!，纵坐标也压缩为原来的错误!B ．将横坐标压缩为原来的错误!,纵坐标伸长为原来的2倍C ．将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标也伸长为原来的2倍D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的错误!【做一做2－2】 将正弦曲线y ＝sin x 作如下变换:错误!得到的曲线方程为( ）．A ．y ′＝3sin 错误!x ′B ．y ′＝错误!sin 2x ′C ．y ′＝错误!sin 2x ′D ．y ′＝3sin 2x ′答案:1．(1）坐标(有序实数对) 方程数与形(2)特征方程方程它的性质与其他几何图形的关系（3）几何代数【做一做1－1】 C 错误!＝(1，－1），错误!＝(5，x－2），∵错误!⊥错误!，∴错误!·错误!＝5－(x－2)＝0.∴x＝7.【做一做1－2】 C 设D（x，y)，由题意,错误!＝错误!，即（0，b)＝（a－x，c－y),∴x＝a，y＝c－b。
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二 极坐标系练习1若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )．A ．关于极轴所在的直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．重合2下列的点在极轴上方的是( )．A ．(3,0)B ．(3，76π) C ．(4，74π) D ．(4，174π) 3已知点M 的极坐标为(－5，3π)，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )．A ．(5，3π-)B ．(5，43π)C ．(5，23π-)D ．(－5，53π-) 4点P 的直角坐标为(2,2-)，那么它的极坐标可表示为( )．A ．(2，4π) B ．(2，34π) C ．(2，54π) D ．(2，74π) 5已知两点的极坐标A (3，2π)，B (3，6π)，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．6若A (3，3π)，B (4，6π-)，则|AB |＝__________，S △AOB ＝________.(其中O 是极点) 7极坐标系中，点A 的极坐标是(3，6π)，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ＞0，θ∈[0,2π))8已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)．9某大学校园的部分平面示意图如图用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝|BC |，|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))．10在极坐标系中，若A (3，3π)，B (4，76π)，求△ABO (O 为极点)的面积． 参考答案1. 答案：B2. 答案：D 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上，点(3，76π)，(4，74π)在极轴下方，点(4，174π)在极轴上方，故选D.3．答案：A 化为直角坐标可知，点M 在第三象限，而选项A 中的点在直角坐标系中的第四象限．4. 答案：D ∵ρ＝22(2)(2)-+＝2，tan θ＝22-＝－1，点P 在第四象限， ∴θ＝74π.∴点P 的极坐标为(2，74π)． 5. 答案：356π根据极坐标的定义可得|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝60°，即△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，∠ACx ＝56π(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 6. 答案：5 67. 答案：(1)(3，116π) (2)(3，76π) (3)(3，56π) 8. 答案：解：由题意知，|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝2，∠xOA ＝4π，∠xOB ＝34π，∠xOC ＝54π，∠xOD ＝74π. ∴正方形的顶点的极坐标分别为A (2，4π)，B (2，34π)，C (2，54π)，D (2，74π)．9. 答案：解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝6π，∠OAC ＝2π，得|AC |＝300 m ，|OA |＝3003m ，又|AB |＝|BC |，所以|AB |＝150 m. 同理，得|OE |＝2|OG |＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，C (600，6π)，D (300，2π)，E (3002，34π)，F (300，π)，G (1502，34π)． 10. 答案：解：在△ABO 中，|OA |＝3，|OB |＝4，∠AOB ＝75636πππ-=，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12×3×4×sin 56π＝3.。
最新整理高中数学人教A版选修4-4自我小测：第一讲一 平面直角坐标系 (1) Word版含解析.doc
自我小测1．已知平面上两定点A ，B ，且A (－1,0)，B (1,0)，动点P 与两定点连线的斜率之积为－1，则动点P 的轨迹是( )．A ．直线B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．双曲线的一部分2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换5,3x'x y'y ⎧⎨⎩＝＝后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )．A ．25x 2＋9y 2＝1B ．9x 2＋25y 2＝1C ．25x ＋9y ＝1D ．221259x y ＋＝ 3．有相距1 400 m 的A ，B 两个观察站，在A 站听到爆炸声的时间比在B 站听到爆炸声的时间早4 s ．已知当时声音速度为340 m/s ，则爆炸点所在的曲线为( )．A ．双曲线B ．直线C ．椭圆D ．抛物线4．将点P (－2,2)变换为P ′(－6,1)的伸缩变换公式为( )．A ．132x'x y'y⎧⎪⎨⎪⎩＝＝ B ．123x'x y'y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝ C ．312x'x y'y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝ D ．32x'x y'y ⎧⎨⎩＝＝ 5．已知函数22()1111f x x x ()()＝－＋＋＋＋，则f (x )的最小值为__________．6．已知平面内三点A (2,2)，B (1,3)，C (7，x )，且满足BA AC ⊥，则x 的值为__________．7．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则点A 的轨迹方程为____________．8．已知圆的半径为6，圆内一定点P 到圆心的距离为4，A ，B 是圆上的两个动点，且满足∠APB ＝90°，求矩形APBQ (顺时针)的顶点Q 的轨迹方程． 9．通过平面直角坐标系中的平移与伸缩变换，可以把椭圆2212194x y ()()－＋＋＝变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换．10．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽8 m ，一木船宽4 m ，高2 m ，载货后木船露在水面上的部分高为3 m 4，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？参考答案1. 答案：B解析：设点P 的坐标为(x ，y )，因为k P A ·k PB ＝－1， 所以111y y x x ⋅＝－＋－， 整理得x 2＋y 2＝1(x ≠±1)．2. 答案：A解析：将伸缩变换5,3x'x y'y ⎧⎨⎩＝＝ 代入x ′2＋y ′2＝1，得25x 2＋9y 2＝1．3. 答案：A4. 答案：C解析：由伸缩变换公式0,0,x'x y'y λλμμ(>)⎧⎨(>)⎩＝＝ 得62,12,λμ-⨯(-)⎧⎨⨯⎩＝＝ ∴λ＝3，12μ＝，故伸缩变换公式为3,1.2x'x y'y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝ 5. 答案：22解析：f (x )可看作是平面直角坐标系下x 轴上一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之和，结合图形可得．6. 答案：7解析：BA ＝(1，－1)，AC ＝(5，x －2)．∵BA AC ⊥，∴BA AC ⋅＝5－(x －2)＝0.∴x ＝7.7. 答案：22195x y ＋＝(y ≠0) 解析：∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，其中|BC |＝4，则有|AB |＋|AC |＝6＞4，∴点A 的轨迹为椭圆除去B ，C 两点，且2a ＝6，2c ＝4，∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5，∴点A 的轨迹方程为22195x y ＋＝(y ≠0)． 8. 解：如图，以圆心O 为原点，OP 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则圆的方程为x 2＋y 2＝36，P (4,0)．设Q (x ，y )，PQ 与AB 相交于点P 1， 则14,22x y P ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋， 由|PQ |＝|AB |＝2212||r OP －， 得224x y ()－＋ 22423622x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦＋＝－＋，化简得x 2＋y 2＝56，即所求顶点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝56.9. 解：先通过平移变换1,2,x'x y'y ⎧⎨⎩＝－＝＋把椭圆2212194x y ()()－＋＋＝变为椭圆22194x'y'＋＝，再通过伸缩变换32x'x''y'y''⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，＝，把椭圆22194x'y'＋＝变为单位圆x ″2＋y ″2＝1．由上述两种变换合成的变换是11312.2x''x y''y ⎛() () ⎝＝－，＝＋ 10. 解：根据题意，建立下图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．∵A (4，－5)在抛物线上，∴42＝－2p (－5)，p ＝1.6.∴x 2＝－3.2y .设当水面上涨到与抛物线拱顶相距h m 时船开始不能通航，这时木船两侧与抛物线接触，于是可设木船宽BB ′的端点B 的坐标为(2，y 1)，由22＝－3.2y 1，得154y -＝，1353||2(m)444h y -＝＋＝＋＝，所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m 时，船开始不能通航．。
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课后训练
1．已知平面上两定点A ，B ，且A (－1,0)，B (1,0)，动点P 与两定点连线的斜率之积为－1，则动点P 的轨迹是( )．
A ．直线
B ．圆的一部分
C ．椭圆的一部分
D ．双曲线的一部分
2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换5,3x'x y'y ⎧⎨⎩＝＝
后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )．
A ．25x 2＋9y 2＝1
B ．9x 2＋25y 2＝1
C ．25x ＋9y ＝1
D ．22
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x y ＋＝ 3．有相距1 400 m 的A ，B 两个观察站，在A 站听到爆炸声的时间比在B 站听到爆炸声的时间早4 s ．已知当时声音速度为340 m/s ，则爆炸点所在的曲线为( )．
A ．双曲线
B ．直线
C ．椭圆
D ．抛物线
4．将点P (－2,2)变换为P ′(－6,1)的伸缩变换公式为( )．
A ．132x'x y'y
⎧⎪⎨⎪⎩＝＝ B ．123x'x y'y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝ C ．312
x'x y'y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝ D ．32x'x y'y ⎧⎨⎩＝＝ 5
．已知函数()f x f (x )的最小值为__________． 6．已知平面内三点A (2,2)，B (1,3)，C (7，x )，且满足BA AC ⊥u u u r u u u r ，则x 的值为__________．
7．△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则点A 的轨迹方程为____________．
8．已知圆的半径为6，圆内一定点P 到圆心的距离为4，A ，B 是圆上的两个动点，且满足∠APB ＝90°，求矩形APBQ (顺时针)的顶点Q 的轨迹方程．
9．通过平面直角坐标系中的平移与伸缩变换，可以把椭圆22
12194
x y ()()－＋＋＝变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换．
10．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽8 m ，一木船宽4 m ，高2 m ，载货后木船露在水面上的部分高为
3 m 4
，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？
参考答案
1. 答案：B
解析：设点P 的坐标为(x ，y )，
因为k P A ·k PB ＝－1， 所以111
y y x x ⋅＝－＋－， 整理得x 2＋y 2＝1(x ≠±1)．
2. 答案：A
解析：将伸缩变换5,3x'x y'y ⎧⎨
⎩＝＝
代入x ′2＋y ′2＝1，
得25x 2＋9y 2＝1．
3. 答案：A
4. 答案：C 解析：由伸缩变换公式0,0,x'x y'y λλμμ(>)⎧⎨
(>)⎩＝＝ 得62,12,λμ-⨯(-)⎧⎨⨯⎩
＝＝ ∴λ＝3，12μ＝，故伸缩变换公式为3,1.2
x'x y'y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝ 5.
答案：
解析：f (x )可看作是平面直角坐标系下x 轴上一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之和，结合图形可得．
6. 答案：7 解析：BA u u u r ＝(1，－1)，AC u u u r ＝(5，x －2)． ∵BA AC ⊥u u u r u u u r ， ∴BA AC ⋅u u u r u u u r ＝5－(x －2)＝0.∴x ＝
7.
7. 答案：22
195
x y ＋＝(y ≠0) 解析：∵△ABC 的周长为10，
∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，其中|BC |＝4，则有|AB |＋|AC |＝6＞4，
∴点A 的轨迹为椭圆除去B ，C 两点，且2a ＝6，2c ＝4，
∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5，
∴点A 的轨迹方程为22
195
x y ＋＝(y ≠0)． 8. 解：如图，以圆心O 为原点，OP 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则圆的方程为x 2＋y 2＝36，P (4,0)．
设Q (x ，y )，PQ 与AB 相交于点P 1，
则14,22x y P ⎛⎫ ⎪⎝
⎭＋， 由|PQ |＝|AB |
＝
＝， 化简得x 2＋y 2＝56，即所求顶点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝56.
9. 解：先通过平移变换1,2,x'x y'y ⎧⎨⎩
＝－＝＋把椭圆22
12194x y ()()－＋＋＝变为椭圆22194x'y'＋＝，再通过伸缩变换32
x'x''y'y''⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝，＝，把椭圆22194x'y'＋＝变为单位圆x ″2＋y ″2＝1． 由上述两种变换合成的变换是11312.2
x''x y''y ⎛() () ⎝＝－，＝＋ 10. 解：根据题意，建立下图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．
∵A (4，－5)在抛物线上，
∴42＝－2p (－5)，p ＝1.6.
∴x 2＝－3.2y .
设当水面上涨到与抛物线拱顶相距h m 时船开始不能通航，这时木船两侧与抛物线接触，于是可设木船宽BB ′的端点B 的坐标为(2，y 1)，由22＝－3.2y 1，得154
y -＝，1353||2(m)444
h y -＝＋＝＋＝，所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m 时，船开始不能通航．。