初二四边形证明基本练习
(完整版)八年级数学四边形证明题专项练习
卓越个性化教案 GFJW0901学生姓名 彭 年级 初二 授课时间 教师姓名 刘 课时 2课 题 四边形证明题专题教学目标 熟悉四边形的性质和判定，了解线段和角度证明的方法。
重 点 掌握各种特殊四边形的性质和判定。
熟悉线段和角度数量关系的证明方法 难 点运用平行、三角形全等、特殊三角形性质、四边形性质进行证明。
【课堂练习】：1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、DC 的中点，求：EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是20cm, 求：AB 的长。
6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。
_ F_ B_ D_ C_ G_ A _ B_ D_ C_ E _ F_ D_ A _ B_ C_ E_ F_A _ B_ D_ C_ O_ D_ C_ H_ F_ G_ E7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E 若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ，使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF ∥AC 。
8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)含辅助线证明题训练(含答案)
人教版数学八年级下期第十八章平行四边形含辅助线证明题训练1.已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．2.在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D=30°，AB=6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF．求证：ED-AG=FC．3.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO，∠ADB的平分线DE交AB于点E．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝8，OC＝5，求AE的长．4.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E 作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．5.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC，CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC=120°，连接BG，CG，DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC=90°，AB=8，AD=14，M是EF的中点，求DM的长．6.已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．(1)求证：DP＝BF；(2)若正方形ABCD的边长为4，求DP的长；(3)求证：CP＝BM＋2FN．7.如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM=AE；（2）连接CM，DF=2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC=2∠MCF，求ME的长．8.在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点．且CF＝AE，连接BE、EF．（1）如图1，若E是线段AC的中点，求EF的长；（2）如图2．若E是线段AC延长线上的任意一点，求证：BE＝EF．AC，将菱形ABCD绕着点B （3）如图3，若E是线段AC延长线上的一点，CE＝12顺时针旋转α°（0≤α≤360），请直接写出在旋转过程中DE的最大值．9.如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN=1.（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；（2）求△BMN面积的最小值.10.如图，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分∠BAF，E为BC的中点．求证：AF=BC+CF．11.已知：如图（1），点E、F分别为正方形ABCD的边BC、DC上的点，线段AE和AF分别交BD于点M和点N，连接MF，MF⊥AE于点M．（1）求证：∠EAF＝45°；（2）如图（2），连接EF，当AD＝5，DF＝1时，求线段EF的长度；BD．（3）如图（3），作FR⊥BD于R．求证：RM=12BC，CE⊥AB于点E，F是AD的中点，连接12.如图，在平行四边形ABCD中，AB=12EF，CF．求证：（1）EF=CF；（2）∠EFD=3∠AEF．13.如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．（1）求∠EAF的度数；（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM．14.已知：如图，G为平行四边形ABCD中BC边的中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2．（1）求证：E是AD的中点；（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，得∠3＝∠2，求证：CD＝BF+DF．15.如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．(1)若ED⊥EF，求证：ED=EF：(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形．并证明你的结论(请先补全图形，再解答)：(3)若ED=EF，则ED与EF垂直吗?若垂直给出证明，若不垂直说明理由．16.在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。
沪教版八年级四边形证明题型
四边形证明题型（1）1. 如图，边长为1的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF GH 、分割成四个小矩形，EF 与GH 交于点P ． （1）若AG AE =，证明：AF AH =； （2）若45FAH ∠=°，证明：AG AE FH +=； （3）若Rt GBF △的周长为1，求矩形EPHD 的面积．AE D HGPBF C2．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点，求证：（1）ACE BCD △≌△；（2）222AD DB DE +=．3. 已知：的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F ．（1）如图l ，若为锐角三角形，且，过点F 作，交直线AB 于点G ，求证：；（2）如图 2，若，过点F 作，交直线AB 于点G ，则FG 、ABC △ABC △45ABC ∠=°FG BC ∥FG DC AD +=135ABC ∠=°FG BC ∥DC 、AD 之间满足的数量关系是 ；（3）在（2）的条件下，若，，将一个45°角的顶点与点B 重合并绕点B 旋转，这个角的两边分别交线段FG 于M 、N 两点（如图3），连接CF ，线段CF 分别与线段BM 、线段BN 相交于P 、Q 两点，若，求线段PQ 的长．52AG =3DC =32NG =AECDGBF（图1）AE CBDFG（图2）AECDB Q PMNGF（图3）4. 如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E ．（1）试找出一个与AED △全等的三角形，并加以证明；（2）若83AB DE P ==，，为线段AC 上任意一点，PG AE ⊥于G ，PH EC ⊥于H ．试求PG PH +的值，并说明理由．ABCDPGHE B ′5. 如图，在ABCD Y 中，32BAD ∠=°，分别以BC CD 、为边向外作BCE △和DCF △，使BE BC DF DC EBC CDF ==∠=∠，，．延长AB 交边EC 于点H ，点H 在E C 、两点之间，连结AE AF 、．（1）求证：ABE FDA △≌△．（2）当AE AF ⊥时，求EBH ∠的度数．AFCDBH E6. 两个长为2cm ，宽为1cm 的长方形，摆放在直线l 上（如图①），CE =2cm ， 将长方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角，将长方形EFGH 绕着点E 逆时针 旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点D 、H 重合时，连接AG （如图②），求点D 到AG 的距离； （2）当45α=°时（如图③），求证：四边形MHND 为正方形．7. 如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．图②A D BCG EFl图①ADBC HGE Fl图③ A D M C H G E FlCN（H ）（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？8. 如图①，四边形ABCD 是正方形， 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，AQ CDBPBF ⊥AG 于点F .（1） 求证：DE －BF = EF ．（2） 当点G 为BC 边中点时， 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明 理由．（3） 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写 出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．9. 如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转A DEFBG C图①CB GAD图②60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形；（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行 四边形？为什么？ADFCE GB。
八下数学第十八章平行四边形证明题专项·练习
八年级平行四边形专项练习1.如图在Rt△ABC中∠ACB＝90，过点C的直线MN∥AB；D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC交直线MN 于E垂足为F，连接CD、BE(1）求证：CE = AD(2）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由2. 如图在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC 的垂线，分别交射线AD、CB 于点E、F，连接AF、CE 求证：四边形AFCE 是菱形3．如图在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD 的中点，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC 于点G，连接AG(1）求证：△ABG ≌△AFG(2）求∠EAG 的度数；(3）求BG 的长4.如图▭ABCD 的对角线相交于点O,EF过点O分别与AD、BC相交于点E、F(1）求证：△AOE≌△COF(2）若AB =4 BC =7 OE =3试求四边形EFCD的周长5如图BD 是△ABC 的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB 交BC 于点F(1）求证：四边形BEDF是菱形；(2）若∠ABC =60°∠ACB =45°CD =6√2求菱形BEDF的面积6.如图在△ABC中中线BE、CD 交于点O，F、G 分别是OB、OC 的中点求证：(1) DE ∥FG(2) DG 和EF 互相平分．7. 如图在△ABC 中AB＝AC ,D为BC上一点以AB、BD 为邻边作平行四边形ABDE连接AD、EC(1）求证：△ADC ≌△ECD ;(2）若BD ＝CD 求证：四边形ADCE 是矩形8.如图在Rt△ABC 中∠ACB =90°，过点C 的直线MN ∥AB , D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC ，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE(1）求证：CE = AD(2）当D在AB中点时，四边BECD是什么特殊四边形？说明你的理由9.如图四边形ABCD是正方形，点E在BC延长线上，DF ⊥AE 于点F 点G在AE 上且∠ABG =∠E求证：AG = DF10. 如图是直角三角尺△ABC 和等腰直角三角尺△ BCD放置在同一平面内,斜边BC重合在一起∠A =∠BDC =90°∠ABC =30°BD = CD DE⊥AB 交AB 于点E 作DF⊥AC 交AC 的延长线于点F (1）求证：四边形AEDF 是正方形(2）当AC =4时，求正方形AEDF 的边长11．如图点0是口ABCD 对角线的交点，过点0作直线分别交AB、CD 的延长线于点E、F求证：BE = DF12. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD 于点F，交BC的延长线于点E(1）求证：BE = CD(2）若BF 恰好平分∠ABE ，连接AC、DE求证：四边形ACED 是平行四边形13.如图1在正方形ABCD 中，E、F分别是边AD、DC 上的点且AF⊥BE(1）求证：AF = BE(2）如图2在正方形ABCD 中，M、N、P、Q 分别是边AB、BC、CD、DA 上的点且MP⊥NQ 判断MP 与NQ 是否相等？并说明理由14.如图在平行四边形ABCD中，0为对角线交点，DP 平分∠ADC，CP 平分∠BCD，AB =6 AD =10则OP的长是多少？15. 如图矩形ABCD中延长AB至E,延长CD至F . BE = DF连接EF与BC、AD 分别相交于P、Q两点(1）求证：CP = AQ(2）若BP =1 PQ =2 ∠AEF =45°求矩形ABCD 的面积16.如图在Rt△ABC中∠BAC =90° AD⊥BC于D BG 平分∠ABC EF∥BC交AC 于F求证：AE = CF17.如图将矩形纸片ABCD沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E(1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明；(2）若AB =8 DE =3 , P为线段AC上的任意一点PG⊥AE 于G PH⊥EC于H 试求PG + PH的值并说明理由18.如图在△ABC 中AB = BC ，BD 平分∠ABC 四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点 F 连接CE求证：四边形BECD 是矩形19.如图1将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F 分别在边AB、CD上，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP (1）如图②若M 为AD 边的中点①△AEM 的周长＝cm②求证：EP = AE + DP(2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A、D 重合），△PDM的周长是否发生变化？若发生变化，直接写出△ PDM 的周长，若发生变化，请说明理由。
人教版八年级下册数学平行四边形证明题专题训练(含答案)
人教版八年级下册数学平行四边形证明题专题训练（含答案）1．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，1 2AB CD，点E是CD的中点．求证：四边形ABCE是平行四边形．2．如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．3．如图，将▱ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形．4．如图，▱ABCD中，E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于F．求证：DC＝DF．5．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE//AB交DF 的延长线于点E，连接AE，CD．(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；(2)若∠B ＝30°，∠CAB ＝45°，AC =，求AB 的长．6．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，点F 在线段BD 上，且DE ＝BF ．求证：AE ∥CF ．7．如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的平分线AF 交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．点E 恰是CD 的中点．求证：（1）△ADE ≌△FCE ；（2）BE ⊥AF ．8．如图，在平行四边形ABCD 中，2BC AB =，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点．（1）求证：C ABE DF ≌△△； （2）当AE CE =时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于B 的2倍的所有角．9．已知：如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是ABC 的角平分线，DE BC ⊥，DF AC ⊥，垂足分別为E 、F ．求证：四边形CEDF 是正方形．10．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AC ，AB 的中点，点F 是CB 延长线上的一点，且CF ＝3BF ，连接DB ，EF ．（1）求证：四边形DEFB 是平行四边形；（2）若∠ACB ＝90°，AC ＝12cm ，DE ＝4cm ，求四边形DEFB 的周长．11．已知：在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，,,CF OE OF ．求证：BCE DCF △≌△；12．如图，四边形ABCD 是正方形，点E 在BC 延长线上，DF ⊥AE 于点F ，点G 在AE 上，且∠ABG ＝∠E ．求证：AG ＝DF ．13．如图是直角三角尺（ABC ）和等腰直角三角尺（BCD △）放置在同一平面内，斜边BC 重合在一起，90A BDC ∠=∠=︒，30ABC ∠=︒，BD CD =．DE AB ⊥交AB 于点E ；作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ．(1)求证：四边形AEDF 是正方形．(2)当4AC =时，求正方形AEDF 的边长．14．如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别为边AD 和BC 上的点，BE ＝DF ，求证：DE ＝BF ．15．如图，点E 、F 在菱形ABCD 的对角线AC 上，且AF ＝CE ，求证：DE ＝BF ．16．已知：如图，▱ABCD中，延长BC至点E，使CE=BC，连接AE交CD于点O．(1)求证：CO=DO；(2)取AB中点F，连接CF，△COE满足什么条件时，四边形AFCO是正方形？请说明理由．17．在ABCD中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若点E为BC的中点，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长．18．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点(1)求证：四边形BDEG是平行四边形；(2)若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．19．已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF AD，点E，F分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：四边形AECF是矩形．20．已知：如图，在ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE．求证：BE DF∥．参考答案：1．证明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AB∥EC，∵点E是CD的中点，∴12EC CD=，∵12AB CD=，∴AB＝EC，∴四边形ABCE是平行四边形．2．证明：∵AB DE∥∴∠B=∠DEF，∵AC DF∥，∴∠ACB=∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC=EF，∴△ABC≌△DEF，∴AB=DE，∵AB DE∥，∴四边形ABED是平行四边形．3．证明：连接AC，设AC与BD交于点O．如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵BE =DF ，∴OE =OF ．∴四边形AECF 是平行四边形．4．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝DC ，∴∠F ＝∠EBA ，∵E 是AD 边的中点，∴DE ＝AE ，在△DEF 和△AEB 中，∵F EBA DEF AEB DE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△AEB （AAS ），∴DF ＝AB ，∴DC ＝DF ．5．(1)证明：∵AB //CE ，∴∠CAD ＝∠ACE ，∠ADE ＝∠CED ． ∵F 是AC 中点，∴AF ＝CF ．在△AFD 与△CFE 中，CAD ACE ADE CED AF CF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△AFD ≌△CFE （AAS ），∴DF ＝EF ，∴四边形ADCE 是平行四边形；(2)解：过点C 作CG ⊥AB 于点G ，∵∠CAB ＝45°，∴AG CG =，在△ACG 中，∠AGC ＝90°，∴222AG CG AC +=，∵AC =∴CG ＝AG ＝1 ，∵∠B ＝30°, ∴12CG BC = , ∴2BC = ,在Rt △BCG中，BG ==，∴1AB AG BG =+=．6．证：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝CB ，AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBF ，在△ADE 和△CBF 中，B A ADEC F F B E BD C D =⎧⎪⎨⎪∠==⎩∠ ∴△ADE ≌△CBF （SAS ），∴∠AED ＝∠CFB ，∴AE ∥CF ．7．证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠ECF ，∵E 为CD 的中点，∴ED ＝EC ，在△ADE 和△FCE 中，D ECF ED ECAED FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△FCE （ASA ）；（2）∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∴∠F AD ＝∠AFB ，又∵AF 平分∠BAD ，∴∠F AD ＝∠F AB ．∴∠AFB ＝∠F AB ．∴AB ＝BF ，∵△ADE ≌△FCE ，∴AE ＝FE ，∴BE ⊥AF ．9．证明：∵CD 平分ACB ∠，DE BC ⊥，DF AC ⊥， ∴DE DF =，90DFC ∠=︒，90DEC ∠=︒， 又∵90ACB ∠=︒，∴四边形DECF 是矩形，∵DE DF =，∴矩形DECF 是正方形．10．（1）证明：∵点D ，E 分别是AC ，AB 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE //BC ，BC ＝2DE ，∵CF ＝3BF ，∴BC ＝2BF ，∴DE ＝BF ，∴四边形DEFB 是平行四边形；（2）解：由（1）得：BC ＝2DE ＝8（cm ），BF ＝DE ＝4cm ，四边形DEFB 是平行四边形，∴BD ＝EF ，∵D 是AC 的中点，AC ＝12cm ，∴CD ＝12AC ＝6（cm ），∵∠ACB ＝90°，∴BD=＝10（cm ），∴平行四边形DEFB 的周长＝2（DE +BD ）＝2（4+10）＝28（cm ）．11．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴B D ∠=∠，AB BC DC AD ===，∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE BE DF AF === 在BCE 和DCF 中，BE DF B D BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCE DCF SAS △△≌； 12． 证明：四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，//AD BC ，90BAD ∠=︒，E DAE ∴∠=∠，ABG E ∠=∠，DAE ABG ∴∠=∠，DF AE ⊥，90AFD ∴∠=︒，90BAG DAF ∠+∠=︒，90DAF ADF ∠∠=+︒，BAG ADF ∴∠=∠，在ABG ∆和ΔDAF 中，{ABG DAFAB DA BAG ADF∠=∠=∠=∠，ΔΔ()ABG DAF ASA ∴≅，AG DF ∴=．13．证明：∵DE AB ⊥，DF AC ⊥∴90AED F ∠=∠=︒∵90A ∠=︒∴四边形AEDF 是矩形∵90CDF CDE CDE BDE ∠+∠=∠+∠=︒∴CDF BDE ∠=∠在BDE 和CDF 中90BDE CDF F BED BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()BDE CDF AAS ≌△△∴DE DF =∴四边形AEDF 是正方形．(2)解：∵90A ∠=︒，30ABC ∠=︒，4AC =∴28BC AC ==，AB ==设CF BE x ==得4x x +=解得：2x =∴正方形AEDF的边长是242+=． 14．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝∠D ＝90°，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，BE CF AB CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △CDF （HL ），∴AE ＝CF ，∴DE ＝BF ．15． 证明：四边形ABCD 是菱形，CD AB ∴=，//CD AB ，DCA BAC ∴∠=∠，在DCE ∆和BAF ∆中，DC AB DCE BAF CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()DCE BAF SAS ∴∆≅∆，DE BF ∴=．16．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD //BC ，∴∠DAE =∠E ，∵CE =BC ，∴CE =AD ，又∵∠AOD =∠COE ，∴△AOD ≌△EOC （AAS ），∴CO =DO ；(2)解：当CO =EO ，∠COE =90°时，四边形AOCF 是正方形； 理由如下：∵CO =DO ，∴CO=1CD，2又∵F是AB的中点，∴AF=1AB，2∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴AF=CO，AF//CO，∴四边形AFCO是平行四边形，∵△AOD≌△EOC，∴AO=EO，∵CO=EO，∴AO=CO，∴平行四边形AFCO是菱形，∵∠COE=90°，∴菱形AFCO是正方形．17．∥，证明：在ABCD中，AD BC∴∠F AO=∠BEO，∵O为AE的中点，∴AO=EO，∵∠AOF=∠BOE，∴△AOF≌△BOE，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠F AE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；(2)解：过点O作OG⊥BC于G，∵点E为BC的中点，且BC＝8，∴BE=CE=4，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，∴∠OBE=30°，∠BOE=90°，∴OE=2，∠OEB=60°，∴GE=1，OG∴GC=5，∴OC=．18．证明：∵AC平分∠BAD，AB∥CD，∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝DC，又∵AB∥CD，AB＝AD，∴AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．(2)解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，∴CD ＝13，AO ＝CO ＝12，∵点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，∴EF ∥BD （中位线），∵AC 、BD 是菱形的对角线，∴AC ⊥BD ，OB ＝OD ，又∵AB ∥CD ，EF ∥BD ，∴DE ∥BG ，BD ∥EG ，∵四边形BDEG 是平行四边形，∴BD ＝EG ，在△COD 中，∵OC ⊥OD ，CD ＝13，CO ＝12，∴5OB OD ＝，∴EG ＝BD ＝10．19． 证明：四边形ABCD 是平行四边形，,AB CD B D ∴=∠=∠，,AE BC CF AD ⊥⊥，90AEB CFD ∴∠=∠=︒，在ABE △和CDF 中，90B D AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABE CDF AAS ∴≅．(2)证明：,AE BC CF AD ⊥⊥，90AEC AFC ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴，18090EAF AEC ∴∠=︒-∠=︒，∴在四边形AECF 中，90AEC AFC EAF ∠=∠=∠=︒， ∴四边形AECF 是矩形．20．证明：在ABCD 中，,AD BC AD BC ∥， ∴∠DAC =∠ACB ，∵AF ＝CE ．∴△ADF ≌△CBE （SAS ），∴∠AFD =∠BEC ，∴BE DF ∥．。
八年级数学四边形证明题专项练习.doc
卓越个性化教案 GFJW0901【课堂练习】：1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、DC 的中点，求：EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ，AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是20cm, 求：AB 的长。
6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。
_ B_ C_ A _ B_ A _B_ E_A _ B7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E 若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ，使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF ∥AC 。
8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边，在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。
10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)含辅助线证明 专项训练(含答案)
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形含辅助线证明训练一1.如图，□ABCD中，AC⊥AB，点E在线段AC上，AE=AB，BE的延长线交边AD于点F，AG⊥BC，且AG=AF，AG交BF于点O．（1）若AD=13，AC=12，求BE的长；（2）若点O恰好是线段AG的中点，连接GE，求证：AF=GE．2.已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠DAC的平分线AE交CD于点E，过点D作DM⊥AE于F，交AC于点M，共过点A作AN⊥AE交CB延长线于点N．(1)若AD=3，求△CAN的面积；(2)求证：AN=DM+2EF．3.如图1，已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F.图1 图2（1）如图1，连接AF，若AB＝4，BE＝1，求AF的长；（2）如图2，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF于点O、M，连接GO,求证：AG-BG=2GO4.如图，平行四边形ABCD中，BF⊥DC交DC于点F，且BF=AB，E点是BC边上一点，连接AE交BF于G；（1）若AE平分∠DAB，∠C=60∘，BE=3，求BG的长；（2）若AD=BG+FC，求证：AE平分∠DAB．5.如图，在□ABCD中，AD上有一点E，连接BE,AH⊥BC于H,AH、BE交于点G,连接CG并延长交AB于F,且GC=CD,∠GCD=90∘.(1) 若GC＝6，∠BAG＝30∘，求四边形AGCD的面积；(2) 求证：DE=2BG．6.如图，▱ABCD中，点E为BC边上一点，过点E作EF⊥AB于F，已知∠D=2∠AEF．（1）若∠BAE=70°，求∠BEA的度数；（2）连接AC，过点E作EG⊥AC于G，延长EG交AD于点H，若∠ACB=45°，求AC．证：AH=AF+227.如图，▱ABCD中，DF平分∠ADC交AC于点H，G为DH的中点．（1）如图①，若M为AD的中点，AB⊥AC，AC=9，CF=8，CG=25，求GM；（2）如图②，M为线段AB上一点，连接MF，满足∠MCD=∠BCG，∠MFB=∠BAC．求证：MC=2CG．8.如图，在▱ABCD中，连结BD，点E在BD上，且DE=DC，连结CE并延长它与AD交于点F，过点C作CG⊥BD垂足为G，交AD于点H．（1）若DG=3，CG=23，求△CDE的面积；（2）若∠DFC=45°，求证：EF+2FH=CF．9.如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．10.如图，▱ABCD中，E为平行四边形内部一点，连接AE，BE，CE．（1）如图1，AE⊥BC交BC于点F，已知∠EBC=45°，∠BAF=∠ECF，AB=5，EF=1，求AD的长；（2）如图2，AE⊥CD交CD于点F，AE=CF且∠BEC=90°，G为AB上一点，作GP⊥BE 且GP=CE，并以BG为斜边作等腰Rt△BGH，连接EP、EH．求证：EP=2EH．11.如图1，在等腰△ABO中，AB=AO，分别延长AO、BO至点C、点D，使得CO=AO、BO=BO，连接AD、BC．（1）如图1，求证：AD=BC；（2）如图2，分别取边AD、CO、BO的中点E、F、H，猜想△EFH的形状，并说明理由．12.已知，如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，（1）如图1，若AC=AD过点A作AE⊥BC于点E，若AE=3,BC=5，求AB边的长；（2）如图2，过点A作BD的垂线，垂足为F，且AF=BF，过点B作BC的垂线，两条垂线相交于点G，若∠BAG=∠BFC，连接DG.求证：GF=4FO13.已知，在平行四边形ABCD中，AB⊥BD,E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F，AB=BD.（1）如图1，若点E与点C重合，且AF=25，求AD的长；（2）如图2，若点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G,延长DG交BC于H，连接FH.求证：AF=DH+FH;（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G,M为AG的中点，点N在BC边上且BN=1，已知AB=42，请直接写出MN的最小值。
初二下四边形证明题含答案
一：解答题1、已知：如图7，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。
求证：∠CDF＝∠ABE2、如图8，把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H．求证：HC=HF.3、已知：如图9，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△AB外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，猜想四边形ADCE的形状，并给予证明.4、如图10，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结C′E．求证：四边形CDC′E是菱形．答案：1、证明：(1)∵ ABCD 是平行四边形，∴DC=AB ，DC ∥AB,∴∠DCF=∠BAE ,∵ AE=CF ， ∴△ADF ≌△CBE ，∴∠CDF ＝∠ABE2、如图8，把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H ．求证：HC=HF.解：证明：连结AH ，∵四边形ABCD ，AEFG 都是正方形．∴90B G ∠=∠=°，AG AB =，BC=GF ，又AH AH =．Rt Rt ()AGH ABH HL ∴△≌△，HG HB =∴，∴HC=HF.3、解：猜想四边形ADCE 是矩形。
证明：在△A BC 中， AB =AC ，AD ⊥BC ． ∴ ∠BAD =∠DA C ．∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，∴ MAE CAE ∠=∠．∴ ∠DAE =∠DAC +∠CAE =⨯21180°=90°．又 ∵ AD ⊥BC ，CE ⊥AN ，∴ ADC CEA ∠=∠=90°，∴ 四边形ADCE 为矩形．4、证明：根据题意可知 DE C CDE 'ΔΔ≅则 '''CD C D C DE CDE CE C E =∠=∠=，，∵AD//BC ∴∠C ′DE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE ∴CD=C ′D=C ′E=CE ∴四边形CDC ′E 为菱形1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A•′OB ′C ′绕正方 形ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中． （1）四边形OECF 的面积如何变化．（2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积．解：在梯形ABCD 中由题设易得到：△ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．过点D 作DE ⊥BC ，则DE=12BD=23，BE=6。
四边形证明(习题及答案)
四边形证明（习题）➢例题示范例1：如图，在□ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接AE 并延长，交DC 的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE．（2）连接AC，BF，若∠AEC=2∠D，求证：四边形ABFC 为矩形．【思路分析】①读题标注：②梳理思路：（1）在□ABCD 中，AB∥CD，因为E 是BC 边的中点，平行夹中点结构，所以△ABE≌△FCE．（2）由（1）可得，AB=FC，因为AB∥FC，所以四边形ABFC 是平行四边形．要证四边形ABFC 为矩形，根据题目中已有的条件选择判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形．由三角形外角定理和等角对等边得到AE=BE=CE，由定理“如果三角形的一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，得∠BAC=90°，故四边形ABFC 为矩形．【过程书写】证明：如图，（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB∥CD∴∠1=∠2∵E 是BC 边的中点∴BE=CE∵∠3=∠4∴△ABE≌△FCE（ASA）（2）∵△ABE≌△FCE∴AB=FC∵AB∥FC∴四边形ABFC 为平行四边形∴∠D=∠1∵∠AEC=2∠D∴∠AEC=2∠1∵∠AEC 是△ABE 的一个外角∴∠AEC=∠1+∠5∴∠1=∠5∴AE =BE=CE∴∠BAC=90°∴四边形ABFC 为矩形➢巩固练习1.如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，点E，F 在边BC 上，且AB∥DE，AF∥DC，四边形AEFD 是平行四边形．（1）AD 与BC 有何等量关系？请说明理由．（2）当AB=DC 时，求证：平行四边形AEFD 是矩形．2.如图，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC，BD 的交点，过点O的直线分别交AB，CD 的延长线于点E，F．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．3.如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点．E 是CD 的中点，过点C 作CF∥AB，交AE 的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB=CF；（2）若AC=BC，试判断四边形CDBF 的形状，并证明你的结论．4.如图，在矩形ABCD 中，M，N 分别是AD，BC 的中点，P，Q 分别是BM，DN 的中点．（1）求证：△MBA≌△NDC；（2）四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由．5.如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点，过点O 作直线MN∥BC，直线MN 与∠ACB 的平分线相交于点E，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC 的长；（3）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论．【参考答案】➢巩固练习1.（1）BC=3AD，理由略（2）证明略2.（1）证明略（2）当EF⊥AC 时，以A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形证明略3.（1）证明略提示：证明△ADE≌△FCE，则DB=DA=CF（2）四边形CDBF 是矩形，证明略提示：先证四边形CDBF 是平行四边形，因为AC=BC，D 是AB 的中点，所以∠BDC=90°，进而得证4.（1）证明略（2）四边形MPNQ 是菱形，理由略提示：由△MBA≌△NDC 得，BM=DN连接MN，则四边形AMNB，四边形DMNC 均为矩形，可利用直角三角形中斜边中线等于斜边一半进行证明5.（1）证明略提示：由角平分线+平行线，可以得到OE=OC，OF=OC13（2）OC2（3）当点O 运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形，证明略。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)证明题专题训练(含答案)
人教版八年级下册数学第十八章平行四边形证明题专题训练1．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC所在直线上的两点，且AE=CF．求证：四边形EBFD 是平行四边形．2．如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF= 1AB，连接DE，AD，EF，DF．2（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=8，BC=10，求EF的长．的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，3．如图所示，ABCDF．求证：四边形AFCE是菱形．AC BD交于点,O过点O任作直线分别交4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线,AB CD于点E F,、．求证：OE OF =．5．已知：如图，在ABCD 中，,E F 是对角线BD 上两个点，且BE DF =．求证：.AE CF =6．已知：如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB 、CD 的延长线分别相交于点E 、F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A 、E 、C 、F 为顶点的四边形是菱形？并给出证明．7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//BE AC ，//AE BD ，OE 与AB 交于点F ．（1）求证：四边形AEBO 的为矩形；（2）若OE ＝10，AC ＝16，求菱形ABCD 的面积．8．已知：如图，在ABC 中，中线,BE CD 交于点,,O F G 分别是,OB OC 的中点．求证：（1）//DE FG ；（2）DG 和EF 互相平分．9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，且AB ＝AC ，CF 是∠ACB 的角平分线交AB 于点F ，在AD 上取一点E ，使AB ＝AE ，连接BE 交CF 于点P ．（1）求证：BP ＝CP ；（2）若BC ＝4，∠ABC ＝45°，求平行四边形ABCD 的面积．10．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．(1)求证：OD=OC．(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．11．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上两点，AE＝AF．（1）求证：CE＝CF；（2）若∠ECF＝60°，∠B＝80°，试问BC＝CE吗？请说明理由．12．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．13．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD 和CB于点E，F连接AF，CE．（1）求证：OE＝OF；（2）求证：四边形AFCE是菱形．14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC 于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求∠EAG的度数；（3）求BG的长．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．（1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．19．在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接BE、CE，EB平分∠AEC，（1）如图1，判断△BCE的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠A=90°，BC=5，AE=1，求线段BE的长．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．参考答案：1．解：证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形．2．（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=12 AB，∵AF=12 AB，∴DE=AF，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：由（1）得：四边形ADEF是平行四边形，∴EF=AD，∵AB=6，AC=8，BC=10，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∵点D是BC的中点，∴AD=12BC=5，∴EF=AD=5．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AE FC ，AO CO =，∴EAC FCA ∠=∠，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴EF AC ⊥，在AOE △与COF 中，EAO FCO AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA AOE COF ≌△△，∴EO FO =，∴四边形AFCE 为平行四边形，又∵EF AC ⊥，∴四边形AFCE 为菱形．4．解：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠EAO =∠FCO ，在△AEO 和△CFO 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OE =OF ．5．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ．∴∠ABE =∠CDF ．在△ABE 和△CDF 中AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CDF （SAS ）∴AE =CF ．6．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，∵AE //CF ，∴∠E =∠F ，∠OBE =∠ODF ，在△BOE 与△DOF 中，E F OBE ODF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）当EF ⊥AC 时，四边形AECF 是菱形． 证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OE =OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．7．解：（1）证明：∵//BE AC ，//AE BD ，∴四边形AEBO 为平行四边形，又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，∴90AOB ∠=︒，∴平行四边形AEBO 为矩形；（2）∵四边形AEBO 为矩形，∴AB ＝OE ＝10，又∵四边形ABCD 为菱形，∴AO ＝12AC ＝8，∴90AOB ∠=︒，∴6BO ==，∴BD ＝2BO ＝12，∴菱形ABCD 的面积＝12121696⨯⨯=．8．（1）在△ABC 中，∵BE 、CD 为中线∴AD =BD ，AE =CE ，∴DE ∥BC 且DE =12BC ．在△OBC 中，∵OF =FB ，OG =GC ，∴FG ∥BC 且FG =12BC ．∴DE ∥FG（2）由（1）知：DE ∥FG ，DE =FG ．∴四边形DFGE 为平行四边形．∴DG 和EF 互相平分9．解：（1）设AP 与BC 交于H ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AEB＝∠CBE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，∴AP平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AH垂直平分BC，∴PB＝PC；（2）∵AH垂直平分BC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝12BC＝2，∵∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．10．证明：（1）∵AC∥DB，∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD；（2）∵E是OC中点，F是OD中点，∴OE=12OC，OF=12OD，∵OC=OD，∴OE=OF，又∵OA=OB，∴四边形AFBE是平行四边形．11．（1）证明：∵ABCD是菱形，∴AB ＝AD ，BC ＝CD ，∠B ＝∠D ，∵AE ＝AF ，∴AB ﹣AE ＝AD ﹣AF ，∴BE ＝DF ，在△BCE 与△DCF 中，∵BE DF B D BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF ，∴CE ＝CF ；（2）结论是：BC ＝CE ．理由如下：∵ABCD 是菱形，∠B ＝80°，∴∠A ＝100°，∵AE ＝AF ，∴180100402AEF AFE ︒-︒∠=∠==︒由（1）知CE ＝CF ，∠ECF ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴∠CEF ＝60°，∴∠CEB ＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠B ＝∠CEB ，∴BC ＝CE ．12．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =DC ，∠A =∠D =90°，∵M 为AD 中点，∴AM =DM ，在△ABM 和△DCM ，AM DM A D AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△DCM （SAS ）；（2）解：当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形，理由：当四边形MENF 是正方形时，则∠EMF =90°，∵△ABM ≌△DCM ，∴∠AMB =∠DMC =45°，∴△ABM 、△DCM 为等腰直角三角形，∴AM =DM =AB ，∴AD =2AB ，即当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形．13．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∵AC 的中点是O ，∴OA ＝OC ，在EOA △和FOC 中，AOE COF AO COEAO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EOA FOC ASA ∴ ≌，∴OE ＝OF ；（2）∵OE ＝OF ，AO ＝CO ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．14．证明：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBF ，∵BD平分∠ABC，∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝12∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，DF，DH，∴FH＝12∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC DH＝6，∴DF＝，∴菱形BEDF的边长为15．（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG=AG AB=AF ⎧⎨⎩，∴△ABG ≌△AFG （HL ）；（2）∵△ABG ≌△AFG ，∴∠BAG ＝∠FAG ，∴∠FAG ＝12∠BAF ，由折叠的性质可得：∠EAF ＝∠DAE ，∴∠EAF ＝12∠DAF ，∴∠EAG ＝∠EAF ＋∠FAG ＝12（∠DAF ＋∠BAF ）＝12∠DAB ＝12×90°＝45°；（3）∵E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ＝12CD ＝12×6＝3，设BG ＝x ，则CG ＝6﹣x ，GE ＝EF ＋FG ＝x ＋3，∵GE 2＝CG 2＋CE 2∴（x ＋3）2＝（6﹣x ）2＋32，解得：x ＝2，∴BG ＝2．16．（1）证明：∵DE ⊥BC ，∴∠DFB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB ，∴AC ∥DE ，∵MN ∥AB ，即CE ∥AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴CE ＝AD ；（2）解：四边形BECD 是菱形，理由是：∵D 为AB 中点，∴AD ＝BD ，∵CE ＝AD ，∴BD ＝CE ，∵BD ∥CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴CD ＝BD ，∴四边形BECD 是菱形．17．（证明：（1）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴AB ∥DE ，AB ＝DE （平行四边形的对边平行且相等）；∴∠B ＝∠EDC （两直线平行，同位角相等）；又∵AB ＝AC （已知），∴AC ＝DE （等量代换），∠B ＝∠ACB （等边对等角），∴∠EDC ＝∠ACD （等量代换）；∵在△ADC 和△ECD 中，AC ED ACD EDC DC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△ECD （SAS ）；（2）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴BD ∥AE ，BD ＝AE （平行四边形的对边平行且相等），∴AE ∥CD ；又∵BD ＝CD ，∴AE ＝CD （等量代换），∴四边形ADCE 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC （等腰三角形的“三合一”性质），∴∠ADC ＝90°，∴▱ADCE 是矩形．18．证明：（1）∵BF=DE ，∴BF EF DE EF -=-，即BE=DF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt △ABE 与Rt △CDF 中，AB CD BE DF =⎧⎨=⎩,∴Rt ABE Rt CDF ∆∆≌（HL ）；（2）如图，连接AC 交BD 于O ，∵Rt ABE Rt CDF ∆∆≌，∴ABE CDF ∠=∠，∴//D AB C ，∵=D AB C ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．19．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，∴∠CBE=∠AEB ，∵EB 平分∠AEC ，∴∠CBE=∠BEC ，∴CB=CE ，∴△CBE 是等腰三角形；（2）如图2中，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠D=90°，BC=AD=5，在Rt △ECD 中，∵∠D=90°，ED=AD-AE=4，EC=BC=5，3AB CD ∴====，在Rt AEB 中，∵∠A=90°，AB=3．AE=1，BE ∴===20．(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，AB AD CB CD AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中,AB AD BAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△ADF(SAS)，∴∠AFB=∠AFD ，∵∠CFE=∠AFB ，∴∠AFD=∠CFE ，∴∠BAC=∠DAC ，∠AFD=∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD ，∵∠BAC=∠DAC ，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD=∠EFD.。
八年级数学秋季班第6讲四边形证明基础练习(北师版)(含答案)
八年级数学秋季班第6讲四边形证明基础练习（北师版）试卷简介:本试卷为八年级数学秋季班第6讲四边形证明讲义的相应题目，共9道题，7道选择题，2道证明题。
学习建议:11一、填空题(共7道，每道10分)1.平行四边形ABCD中，E、F为AD、BC上任一点，S△ABP=10，S△CQD=20，求S四边形PFQE=______．答案：解：连接EF，则△ABE和△AEF同底等高∴∴即：同理：则：四边形PFQE的面积=解题思路：将不规则四边形分成三角形问题来解决易错点：辅助线EF的添加试题难度：四颗星知识点：化归转换思想2.（2009杭州）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD 于点P，则∠FPC= _______．答案：55°解题思路：解：连接AC，延长EF，DC交于点G∵ABCD为菱形，∠A=110°∴∠B=70°，∠BAC=∠BCA=55°∵E为AB的中点，F为BC的中点∴EF为中位线∴∠BEF=∠BAC=55°在△BEF和△CGF中∴△BEF≌△CGF（AAS）∴∠FGC=∠BEF=55°∴EF=FG ∵PF为Rt△EPG的斜边中线∴FP=FG（直角三角形斜边中线等于斜边一半）∴∠FPG=∠FGC=55°易错点：辅助线的做法试题难度：四颗星知识点：菱形的判定与性质3.2010义乌）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的是________ ．①△BDF是等腰三角形②③四边形ADFE是菱形④ ∠BDF+∠FEC=2∠A答案：①②④解题思路：解：∵DE∥BC∴∠1=∠2，∠3=∠4∵DE为折痕∴∠1=∠4∴∠2=∠3∴△BDF是等腰三角形故①正确由△BDF是等腰三角形得：BD=DF∵△ADE和△DFE为折叠前后重合的两个图形∴AD=DF∴AD=DB∵DE∥BC∴DE为△ABC的中位线从而②正确由DE为△ABC的中位线得：∵△ABC不一定是等腰三角形，即AB不一定等于AC∴AD不一定等于AE，进而四边形ADFE不一定是菱形③错误连接AF，则∠BDF为△ADF的一个外角，∠FEC为△AEF的一个外角∴∠BDF=∠DAF+∠DFA，∠FEC=∠FAE+∠AFE 且∠DAF+∠FAE=∠DFA+∠AFE=∠A ∴∠BDF+∠FEC=2∠A易错点：第③的判断试题难度：四颗星知识点：翻折变换（折叠问题）4.如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC 于F，那么PE+PF的值为___________.答案：解题思路：解：过点A作AG⊥BD于点G，连接PO，则△AOD被PO分割为△APO和△DOP即：∵四边形ABCD为矩形∴AO=OD其中从而对照两个式子可得：PE+PF=AG由AD=12，AB-5，及勾股定理得：BD=13有等积公式可得：从而PE+PF=易错点：转化思想试题难度：五颗星知识点：矩形的性质5.如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，若∠DAE：∠BAE=3:1，则∠EAC=______.答案：45°解题思路：解：∵∠BAD=90°，∠DAE：∠BAE=3:1 ∴，∠DAE=67.5°，∠BAE=22.5°在Rt△ABE 中，∠BAE=22.5°，从而∠ABE=67.5°∵AC，BD为矩形的两条对角线∴∠BAC=∠ABD=67.5°从而∠EAC=∠BAC-∠BAE=67.5°-22.5°=45°易错点：∠ABD的度数试题难度：三颗星知识点：矩形的性质6.【2009哈尔滨】若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为_______．答案：或解题思路：解：由于原题中没有给出图形，需要自己画图，这个时候要特别注意是否有多种情况第一种情况：点F落到线段CD上，如图：则在Rt△ABE和Rt△BCF中∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL）∴∠EAB=∠FBC∵∠EAB+∠AEB=90°∴∠FBC+∠AEB=90°即∠BME=90°从而BM为Rt△ABE斜边上的高由等积公式得：其中AB=4，BE=3，由勾股定理得：AE =5代入得：BM=第二种情况：点F落在线段AD上，如图此时可得：BM=AE=易错点：忘记一种情况试题难度：四颗星知识点：正方形的性质7.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF 给出下列五个结论：①AP =EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC．其中正确结论的序号是_______答案：①②④⑤解题思路：过P作PG⊥AB于点G，过P做PH∥EF∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PG⊥AB∴BEPG为正方形，BP为对角线在△GPB中，∠GPB=45°，GB=GP=PE=BE，∵AB=BC=GF，∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，∴AG=PF，∴△AGP≌△FPE，∴AP=EF (①正确)∴∠PFE=∠BAP (④正确)PH∥EF，所以∠PFE=∠FPH=∠BAP故有∠BAP+∠APG=∠FPH+∠APG=90°因为GF为平角，所以∠APH=90°，AP⊥EF(②正确)∵GF‖BC，∴∠DPF=∠DBC，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC，∴在Rt△DPF中，DP=PF∴DP=EC(⑤正确)．③若△APD是等腰三角形；∠ADP=45°，P点为BD上动点，∴∠DAP=∠APD；∵AD∥GF，∴∠DAP=∠APG=∠APD ∵∠DPF=45°∴∠DPA=∠DAP=62.5°∵P为BD上动点，∠APD不可能恒为62.5°∴△APD不一定是等腰三角形，③错误；∴其中正确结论的序号是①②④⑤易错点：拿题后没有一个命题一个命题的判断，思维受阻。
八年级 四边形经典证明题
1. 已知：如图，点E、G在平行四边形ABCD的边AD上，EG＝ED，延长CE到点F，使得EF＝EC。
求证：AF∥BG。
2. 如图所示，平行四边形ABCD内有一点E，满足ED⊥AD于D，∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45°。
请找出与BE相等的一条线段，并给予证明。
3. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，点E是AB边的中点。
（1）求∠EDB的度数；（2）求DE的长。
4. 已知：如图，等边△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE＝CD，连接DE，交BC于点P。
（1）求证：DP＝PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长。
5. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝32°。
分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点G，点G在E、C两点之间，连接AE、AF。
（1）求证：△ABE≌△FDA；（2）当AE⊥AF时，求∠EBG的度数。
6. 如图所示，在△ABC中，AC＝4cm，把△ABC沿AC方向平移1cm到△A'B'C'的位置，则四边形ABB'C'的面积是△ABC面积的多少倍？7. 已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED。
求证：AE平分∠BAD。
8 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC。
（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形。
9. 如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别另作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF。
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）在△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；（3）对于任意△ABC，四边形ADEF是否总存在？10. 如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG。
八年级四边形证明题(已整理)
四边形解答证明题1、已知：如图，E、F是平行四边形ABCD•的对角线AC•上的两点，AE=CF．求证：四边形DEBF是平行四边形2、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG.观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；3、在□ABCD中，E、F分别是AB、CD中点连接DE、BF、BD⑴求证：△AED≌△CBF⑵若AD⊥BD，猜想四边形BFDE是什么特殊四边形？并证明D F CA E B4、如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°,过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD是等腰梯形。
D CA B E5、菱形周长是24㎝，其中一个内角60°，求菱形对角线的长和面积6、如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连接DP 交AC 与点Q.⑴ 试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ;⑵ 当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的61；7. 已知：如图Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，DE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F.求证：四边形CEDF 是正方形.8. 已知，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于 点F. 求证：四边形AEDF 是菱形.C BCABFCD EABECF D 9、如图，已知点F 是正方形ABCD 的边BC 的中点，CG 平分∠DCE ，GF ⊥AF.求证：AF=FG .10、已知：如图，⊿ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 平分∠ABC 交AD 于M ，AN 平分∠DAC ，求证：平行四边形AMNE 是菱形。
11、在ABCD 中，E 、F 分别在DC 、AB 上，且DE ＝BF 。
求证：四边形AFCE 是平行四边形。
八年级数学四边形证明题专项练习
卓越个性化教案 GFJW0901学生姓名 彭 年级 初二 授课时间 教师姓名 刘 课时 2课 题 四边形证明题专题教学目标 熟悉四边形的性质和判定,了解线段和角度证明的方法.重 点 掌握各种特殊四边形的性质和判定。
熟悉线段和角度数量关系的证明方法 难 点运用平行、三角形全等、特殊三角形性质、四边形性质进行证明.【课堂练习】:1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E,∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数.2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒,E 、F 分别为梯形的腰AB 、DC 的中点，求:EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC,E 、F 分别为AD 、BC 的中点,BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求:等腰梯形ABCD 的周长.4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED,DC 延长线 交BE 于F,求证:F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是20cm, 求：AB 的长。
6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。
_ F_ B_ D_ C_ G_ A _ B_ D_ C_ E _ F_ D_ A _ B_ C_ E_ F_A _ B_ D_ C_ O_ D_ C_ H_ F_ G_ E7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E 若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ，使S ABC ∆=S EBF ∆,求证：DF ∥AC.8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。
八年级数学下册四边形分类证明题(20201124002636)
平行四边形如图，Y ABCD 勺对角线AC , BD 相交于点Q EF 过点Q 与BG AD 分别相交 于点E ，F ，?求证：OE=OF如图，在平行四边形 ABCD 中, DB= DC / C = 70°, AE!BD 于E ,求/ DAE 的度数.已知：如图所示，平行四边形 ABC □的对角线AC BD 相交于点Q EF 经过点 Q 并且分别和AB, CD 相交于点E, F ，点G, H 分别为OA OC 的中点.求证： 四边形EHFG 是平行四边形.D如图所示，在四边形ABCD中, M是BC中点，AM BD互相平分于点Q那么请说明AM二DC且AIM/ DCM C矩形如图所示，在△ ABC中，/ ABC=90 , BD>^ABC的中线，延长BD到E,使DE=BD连结AE CE求证：四边形ABCE是矩形.如图，矩形ABCD中，AB=3, BC=4,点E是BC边上一点，连接AE,把/ B 沿AE折叠，使点B落在点B处，当△ CEB为直角三角形时，求BE的长DB E C菱形 如图，在菱形ABCD^ , E 是AB 的中点，且DE AB,AB 度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABC 啲面如图，在Rt △ ABC 中，ACB 90 , E 为AB 的中点，四边形BCDE 是平行四边如图，折叠长方形的一边二匚，使点二 落 三匚边上的点夕处，，匚-1\，二-：工'；， （1） 的长；（2） EF 的长.在 求:正方形如图所示不，在正方形ABCD K M 是BC 上一点，连结AM 作AM 的垂直平分 线GH 交AB 于G,交CD 于 H 若AM= 10cm 求GH 的长形.求证：AC与DE互相垂直平分例6、如图，在是△ ABC中，/ACB=90 , BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,点F在直线DE上, AF=CE (1)说明，四边形ACEF是平行四边形；(2) 当/ B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？说明理由.(3) 四边形ACEF可能是正方形吗？说明理由.A 3 D。
初二下四边形证明专题
中考四边形证明题汇编1.(2013南京)如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足为M、N。
(1) 求证：ADB=CDB；(2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形2.(2013扬州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置,连接AE (1)求证:AB⊥AE(2)若BC2=AD·AB,求证:四边形ADCE为正方形3．（2013 苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G． (1)求证：△APB≌△APD；(2)已知DF：FA＝1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式； ②当x＝6时，求线段FG的长．4．（2013 连云港）在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E，将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F （1）求证：四边形BFDE为平行四边形（２）若四边形BFDE为菱形，且AB=2，求BC的长5．（2013南通 12分）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式；ABCDEF（第27题）（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？6. (2013盐城)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB （1）求证：∠ABE=∠EAD（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形。
沪教版初二数学暑假作业四边形证明题有答案
四边形证明题1、已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，∠BAE =∠DAF ． （1）求证：BE = DF ；（2）联结AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，联结EM 、FM ．求证：四边形AEMF 是菱形．2、如图8，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥， E 、G 分别是AB 、CD 的中点，点F 在边BC 上，且)(21BC AD BF +=． （1）求证：四边形AEFG 是平行四边形； （2）联结AF ,若AG 平分FAD ∠，求证：四边形AEFG 是矩形．3、如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =AB =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE=CF ，AF 、BE 交于点P 。
（1）求证：AF=BE ；（2）请猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论。
4、如图，在矩形ABCD 中，BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，M 、N 是垂足.（1）求证：AN =CM ；（2）如果AN =MN =2，求矩形ABCD 的面积.5.如图.在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点A DBEF O CM第1题图B EA D GC F（第2题图）E 为线段BC 延长线上的一点，且BC CE 21=.过点E 作EF ∥CA ，交CD 于点F ，联结OF .（1）求证：OF ∥BC ；（2）如果梯形OBEF 是等腰梯形，判断四边形ABCD 的形状， 并给出证明.6、如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，DE 与CF 相交于G ，DE 、CB 的延长线相交于点H ，点M 是CG 的中点． 求证：（1）BM//GH ； （2）BM ⊥CF ．7．已知：如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAD ，交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，交AE 于点D ，联结CD .求证：四边形ABCD 是菱形．8．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，DE 与CF 相交于G ，DE 、CB 的延长线相交于点H ，点M 是CG 的中点.求证：（1）//BM GH (2)BM CF ⊥（第6题）FO EDC BA第21题图9．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，点E 、F 在边BC 上，BE =CF ，EF =AD ．求证：四边形AEFD 是矩形．10．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边ABCD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AG //DB 交CB 的延长线于点G ．（1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G ＝90 ，求证：四边形DEBF 是菱形．11．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =2AD ，AC ⊥AB ，点E 是AC 的中点，DE的延长线与边BC 相交于点F ．求证：四边形AFCD 是菱形．12．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）（1）试判断线段AD 与BC 的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；w W w . （2）现有三个论断：①AD = AB ；②∠B +∠C= 90°；③∠B = 2∠C ．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD 是菱形．四边形证明题答案1．证明：（1）∵正方形ABCD ，∴AB=AD ，∠B =∠D =90°…………………………（2分）∵∠BAE = ∠DAFA E F C D （第9题）（第11题图）F∴△ABE ≌△ADF ……………………………………………………………（1分） ∴BE = DF ……………………………………………………………………（2分） （2）∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠DAC ………………………………………（1分） ∵∠BAE =∠DAF ∴∠EAO =∠FAO ……………………………………（1分）∵△ABE ≌△ADF ∴AE = AF …………………………………………（1分） ∴EO=FO ，AO ⊥EF …………………………………………………………（2分） ∵OM = OA ∴ 四边形AEMF 是平行四边形……………………………（1分） ∵AO ⊥EF ∴四边形AEMF 是菱形……………………………………（1分） 2．（1）证明：联结EG ，∵ 梯形ABCD 中，AD BC ∥，且E 、G 分别是AB 、CD 的中点， ∴ EG //B C ，且)(21BC AD EG +=，…………………………（2分） 又∵)(21BC AD BF +=- 第-一-网 ∴ EG =BF ．……………………………………………………（1分） ∴ 四边形AEFG 是平行四边形．…………………（2分）（2）证明：设AF 与EG 交于点O ， ∵ EG //AD ，∴∠DAG =∠AGE∵AG 平分FAD ∠，∴∠DAG =∠GAO ∴∠GAO =∠AGE∴ AO=GO ．………………………………（2分）∵四边形AEFG 是平行四边形，∴ AF =EG ，四边形AEFG 是矩形…………………………（2分）3．证明：（1）∵梯形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC∴ ∠BAE=∠ADF ………………………………………………（1分）∵AD = DC ∴ AE=DF …………………………………………（1分）∵BA=AD ∴△BAE ≌△ADF ， …………………………………（1分） ∴BE=AF ． …………………………………………………………（1分） （2）猜想∠BPF=120°．……………………………………………………（1分）∵由（1）知△BAE ≌△ADF ，∴∠ABE=∠DAF ．…………………（1分） ∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE ．……………………………………（1分） 而AD ∥BC ，∠C=∠ABC=60°，∴=120°．∴∠BPF=∠BAE =120°．………………………………………………（1分）4、证：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD =BC . ∴∠DAC =∠BCA .又∵DN ⊥AC ，BM ⊥AC ， ∴∠DNA =∠BMC .∴⊿DAN ≌⊿BCM , ---------------------------------------------------（3分）∴AN =CM . ---------------------------------------------------------------（1分）（2）联结BD 交AC 于点O ， ∵AN = NM =2,∴AC = BD =6,又∵四边形ABCD 是矩形， ∴AO =DO =3，在⊿ODN 中，OD =3，ON =1，∠OND =︒90,∴DN =2222=-ON OD ,--------------------------------------（2分） ∴矩形ABCD 的面积=212=⨯DN AC .-----------------------（1分）5.解：（1）方法1：延长EF 交AD 于G （如图1）.……………1分 在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AD =. ∵EF ∥CA ，EG ∥CA ， ∴四边形ACEG 是平行四边形. ∴ CE AG =.……………1分|又∵BC CE 21=，BC AD =，∴ GD AD BC CE AG ====2121.……………1分∵AD ∥BC ，∴ECF ADC ∠=∠. 在CEF △和DGF △中，∵DFG CFE ∠=∠，ECF ADC ∠=∠，DG CE =，∴CEF △≌DGF △（A.A.S ）. ∴DF CE =.…………………1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD OB =.∴OF ∥BE . ………………1分 方法2：将线段BC 的中点记为G ，联结OG （如图2）. ………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD OB =.∴OG ∥CD . …………1分 ∴FCE OGC ∠=∠.∵EF ∥CA ，∴FEC OCG ∠=∠.∵BC GC 21=，BC CE 21=，∴CE GC =.在OGC △和FCE △中，∵FEC OCG ∠=∠，CE GC =，FCE OGC ∠=∠，AB（第5题图1）DCOEFGAB（第5题图2）DC OEFG∴OGC △≌FCE △（A.S.A ）. …………………1分 ∴FC OG =. 又∵OG ∥CF ，∴四边形OGCF 是平行四边形. …………………1分∴OF ∥GC . …………………1分 其他方法，请参照上述标准酌情评分.（2）如果梯形OBEF 是等腰梯形，那么四边形ABCD 是矩形. ……………1分 ∵OF ∥CE ，EF ∥CO ，∴四边形OCEF 是平行四边形. ∴OC EF =.……………1分又∵梯形OBEF 是等腰梯形，∴EF BO =. ∴OC OB =.（备注：使用方法2的同学也可能由OGC △≌FCE △找到解题方法；使用方法1的同学也可能由四边形ACEG 是平行四边形找到解题方法）. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OC AC 2=，BO BD 2=. ∴BD AC =.……………1分∴平行四边形ABCD 是矩形. ……………1分6．证明：（1）∵在正方形ABCD 中，AD //BC ，∴∠A =∠HBE ，∠ADE =∠H ，…（1分）∵AE =BE ，∴△ADE ≌△BHE ．………………………………………（1分） ∴BH =AD =BC ．…………………………………………………………（1分） ∵CM =GM ，∴BM //GH ．………………………………………………（1分）（2）∵在正方形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠A =∠ADC =90º，又∵DF =21AD ，AE =21AB ，∴AE =DF ．∴△AED ≌△DFC ．………（1分） ∴∠ADE =∠DCF ．………………………………………………………（1分） ∵∠ADE +∠GDC =90º，∴∠DCF +∠GDC =90º．∴∠DGC =90º．…（1分） ∵BM //GH ，∴∠BMG =∠DGC =90º，即BM ⊥CF ．…………………（1分）7、证明：∵AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC=∠CAD .又 ∵AE ∥BF ， ∴∠BCA=∠CAD . --------------------------1分 ∴∠BAC=∠BCA .∴ AB=BC . --------------------1分 同理可证AB=AD .∴ AD=BC . ----------------------1分 又 AD ∥BC ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形. -----1分 又AB=BC ，∴□ABCD 是菱形. -----1分 8. 证明：（1）∵正方形ABCD ∴90A EBH ∠=∠=︒AD BC =…………1′∵E 是AB 的中点 ∴ AB BE =…………1′ ∵AED BEH ∠=∠∴AED BEH ≅…………1′∴AD BH = ∴BC BH =…………1′ ∵M 是CG 的中点 ∴//BM GH …………1′(2)证AED CDF ≅ …………1′ ∴ADE DCF ∠=∠ ∵90DCF CDE ∠+∠=︒ ∴90CGH ∠=︒ ………1′ ∵//BM GH ∴90CMB CGH ∠=∠=︒ ∴BM CF ⊥ …………1′9．证法一： ∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，又∵EF =AD∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………………………（1分） ∴AD //DF ，∴∠AEF =∠DFC ．………………………………………（1分）∵AB =CD ，∴∠B =∠C ．………………………………………………（1分） 又∵BE =CF ，∴△ABE ≌△DCF ．……………………………………（1分） ∴∠AEB =∠DFC ，……………………………………………………（1分） ∴∠AEB =∠AEF ．………………………………………………………（1分） ∵∠AEB +∠AEF =180º，∴∠AEF =90º．……………………………（1分） ∴四边形AEFD 是矩形．………………………………………………（1分）证法二： 联结AF 、DE ．…………………………………………………………（1分）∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，又∵EF =AD ，∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………………………（1分）∵AB =CD ，∴∠B =∠C ．………………………………………………（1分） ∵BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ，即BF =CE ，…………………………（1分） ∴△ABF ≌△DCE ．……………………………………………………（1分） ∴AF =DE ，………………………………………………………………（2分） ∴四边形AEFD 是矩形．………………………………………………（1分）10、证明：（1）∵□ABCD ，∴A B ∥CD ，AB ＝CD -----------------------------------1分 ∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB∴DF ∥BE ，DF ＝BE ---------------------------------------------------------------------1分 ∴四边形DEBF 为平行四边形∴DE ∥BF -----------------------------------------------------------------------------------1分 (2)证明：∵AG ∥BD ，∴∠G ＝∠DBC ＝90°，∴∆DBC 为直角三角形---1分 又∵F 为边CD 的中点．∴BF ＝12DC ＝DF ------------------------------------------1分又∵四边形DEBF 为平行四边形，∴四边形DEBF 是菱形----------------------1分11．证明：∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，∴∠DAE =∠FAE ，∠ADE =∠CFE ．……（1分）又∵AE =EC ，∴△ADE ≌△CFE ．…………………………………………（1分） ∴AD =FC ，…………………………………………………………………（1分） ∴四边形AFCD 是平行四边形．……………………………………………（1分）∵BC =2AD ，∴FC =AD =21BC ．……………………………………………（1分） ∵AC ⊥AB ，∴AF =21BC ．…………………………………………………（1分） ∴AF =FC ，……………………………………………………………………（1分） ∴四边形AFCD 是菱形．……………………………………………………（1分）12．（1）解：线段AD 与BC 的长度之间的数量为：3BC AD =．…………………（1分）证明：∵ AD // BC ，DE // AB ，∴ 四边形ABED 是平行四边形．∴ AD = B E ．………………………………………………………（2分） 同理可证，四边形AFCD 是平行四边形．即得 AD = FC ．……（1分） 又∵ 四边形AEFD 是平行四边形，∴ AD = EF ．……………（1分） ∴ AD = BE = EF = FC ．∴ 3BC AD =．……………………………………………………（1分）（2）解：选择论断②作为条件．…………………………………………………（1分）证明：∵ DE // AB ，∴ ∠B =∠DEC ．…………………………………（1分）∵ ∠B +∠C = 90°，∴ ∠DEC +∠C = 90°．即得 ∠EDC = 90°．………………………………………………（2分） 又∵ EF = FC ，∴ DF = EF ．……………………………………（1分） ∵ 四边形AEFD 是平行四边形，∴ 四边形AEFD 是菱形．…………………………………………（1分）。