西安高新一中高一第一学期期末考试数学(必修四)试题-北师大版
完整版)高一数学必修四期末考试题
完整版)高一数学必修四期末考试题高一数学第一学期期末考试试题（必修4）一、选择题：共12题，合计60分1.下列命题中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同2.sin330°等于（）A．-3/2B．-1C．1D．33.若A(-1,-1)B(1,3)C(x,5)共线，且AB=λBC则λ等于（）A、1.B、2.C、3.D、44.若α是Δ___的一个内角，且sinα=1/2则α等于（）A、30°B、30°或150°C、60°D、60°或150°5.设<α<β<π/2，sinα=3/5，cos(α-β)=12/13，则sinβ的值为A.56/65B.16/65___D.63/656.若点P在4π/3的终边上，且|OP|=2，则点P的坐标（）A．(1,3)B．(3,-1)C．(-1,-3)D．(-1,3)7．设四边形ABCD中，有DC=1/2AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形8．把函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移π/4个单位，则所得图形对应的函数解析式为（）A.y=cos(1/2x+π/8)B.y=cos(2x+π/4)C.y=cos(1/x+π)D.y=cos(2x+π/2)9.函数y=sin(x+π/2)，x∈R是在（）A．[-π/2,π/2]上是增函数B．[0,π]上是减函数C．[-π,0]上是减函数D．[-π,π]上是减函数10.已知角α的终边过点P(-4m,3m)，(m≠0)，则2sinα+cosα的值是（）A．1或－1B．2或－2C．1或－2D．－1或211.下列命题正确的是（）A 若→a·→b=→a·→c，则→b=→cB 若|a+b|=|a-b|，则→a·→b=0C 若→a//→b，→b//→c，则→a//→cD 若→a与→b是单位向量，则→a·→b=cosα，其中α为它们的夹角高一数学第一学期期末考试试题（必修4）一、选择题：共12题，合计60分1.下列命题中正确的是（）A。
北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案
北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案北师大版高一数学必修四复习测试全套及答案第一章章末分层突破[自我校对]①弧度制②负角③零角④y＝cos x⑤y＝tan x三角函数的定义及三角函数函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．(1)点P 从点(2,0)出发，沿圆x 2＋y 2＝4逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为；(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域为．【精彩点拨】(1)先求∠POQ ，再利用三角函数定义求出Q 点坐标；(2)先列出三角函数的不等式组，再利用三角函数线求解．【规范解答】 (1)设∠POQ ＝θ，则θ＝π32＝π6，设Q (x ，y )，根据三角函数的定义，有x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，即Q 点的坐标为(3，1)．(2)要使函数有意义，必须有 ??2sin x －1>0，1－2c os x ≥0，即sin x >12，cos x ≤12，解得π6＋2k π<5<="" p="">6π＋2k π(k ∈Z )，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤x <5π6＋2k π(k ∈Z )．故所求函数的定义域为π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )．【答案】 (1)(3，1) (2)π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )[再练一题]1．求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域．【解】函数f (x )有意义，则－sin x ≥0，tan x －1≥0，即sin x ≤0，tan x ≥1. 如图所示，结合三角函数线知2k π＋π≤x ≤2k π＋2π(k ∈Z )，k π＋π4≤x <="" p="" π＋π2(k="" ∈z="">∴2k π＋5π4≤x <2k π＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为2k π＋5π4，2k π＋3π2(k ∈Z )．用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k 的奇偶．已知f (α)＝sin ? ????－α＋π2cos ? ??3π2－αtan (α＋5π)tan (－α－π)sin (α－3π)，(1)化简f (α)；(2)若α＝－25π3，求f (α)的值．【精彩点拨】直接应用诱导公式求解．【规范解答】(1)f (α)＝cos α·(－sin α)·tan α(－tan α)·sin (π＋α)＝cos α·sin α·sin αcos α－sin αcos α·sin α＝－cos α.(2)f ? ????－25π3＝－cos ? ????－25π3＝－cos ? ?8π＋π3 ＝－cos π3＝－12. [再练一题]2．若sin ? ????3π2＋θ＝14，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ).【解】因为sin ? ????3π2＋θ＝14，所以cos θ＝－14.所以cos (π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－2π)cos (θ＋2π)cos (θ＋π)＋cos (－θ)＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝cos θcos θ(cos θ＋1)－cos θcos θ(cos θ－1)＝1cos θ＋1－1cos θ－1＝1－14＋1－1－14－1＝3215.考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．如图1-1是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋kA >0，ω>0，φ<π2的一段图像．图1-1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的．【精彩点拨】(1)先确定A ，k ，再根据周期求ω，最后确定φ.(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．【规范解答】(1)由图像知，A ＝－12－? ???－322＝12，k ＝－12＋? ???－322＝－1，T ＝2×? ????2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ? ??2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ? ????x ＋π6，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ? ?2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ? ????2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ? ????2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ? ?2x ＋π6－1的图像．[再练一题]3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式，并说明怎样变换f (x )的图像能得到g (x )＝3sin ? ?2x －π6的图像．【解】因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3，又当x ＝π6时函数f (x )取得最大值，所以sin ? ??π3＋φ＝1.因为0<φ<π，故φ＝π6，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ? ?2x ＋π6，将f (x )的图像向右移π6个单位，即得g (x )＝3sin2?x －π6＋π6＝3sin ? ????2x －π6的图像．奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)，应引起重视．已知函数f (x )＝2sin ? ?2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求f (x )取最大值时，x 的取值集合．【精彩点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解．(2)先求x ∈0，π2时，2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值． (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】 (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调减区间为π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ? ??2x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1. (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )．∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π(k ∈Z )．∴当f (x )取最大值时， x的取值集合是x ?x ＝π6＋k π，k ∈Z . [再练一题]4．已知函数f (x )＝2sin ? ?2x －π4，(x ∈R ) (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间π8，34π上的最大值和最小值．【解】(1)∵f (x )＝2sin ? ?2x －π4，∴T ＝2πω＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.(2)f (x )＝2sin ? ????2x －π4在区间π8，3π8上是增函数，在区间3π8，3π4上是减函数，∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值．又f ? ????π8＝0，f ? ??3π8＝ 2.F ? ????34π＝2sin ? ??3π2－π4＝－2cos π4＝－1. 故函数f (x )在区间π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.问题转化为数量关系去求解，体现了数与形的联系．在三角函数中可以利用单位圆中的三角函数线或三角函数图像研究三角函数的求值、大小比较、最值、解三角不等式、单调区间、对称性等问题，其特点是直观形象．若集合M ＝?θsin θ≥12，0≤θ≤π，N ＝?θcos θ≤12，0≤θ≤π，求M ∩N .【精彩点拨】本题主要考查已知三角函数值范围求角，可以根据正弦函数图像和余弦函数图像，作出集合M 和N ，然后求M ∩N ，或利用单位圆中三角函数线确定集合M ，N .【规范解答】法一：首先作出正弦函数与余弦函数的图像以及直线y ＝12，如图：结合图像得集合M ，N 分别为M ＝?θ π6≤θ≤5π6，N ＝θπ3≤θ≤π，得M ∩N ＝θπ3≤θ≤56π. 法二：作出单位圆的正弦线和余弦线．如图：由单位圆三角函数线知：M ＝?θ π6≤θ≤5π6，N ＝θπ3≤θ≤π，得M ∩N ＝θπ3≤θ≤56π. [再练一题]5．(1)求满足不等式cos x <－12的角x 的集合； (2)求y ＝2sin x ? ??－π3≤x ≤2π3的值域．【解】 (1)作出函数y ＝cos x 在[0,2π]上的图像，如图所示：由于cos 2π3＝cos 4π3＝－12，故当2π3<－1<="" p="" x="">2.由于y ＝cos x 的周期为2π，∴适合cos x <－12的角x 的集合为x2π3＋2k π<="" ＝sin="">由图像可知，当－π3≤x ≤2π3时，－32≤sin x ≤1，∴－3≤2sin x ≤2，因此函数y ＝2sin x ? ??－π3≤x ≤2π3的值域为[－3，2].1．要得到函数y ＝sin ? 4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【解析】由y ＝sin ? ????4x －π3＝sin 4? ?x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B.【答案】 B2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图1-2所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．? ?k π－14，k π＋34，k ∈ZB.? ?2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．? ????k －14，k ＋34，k ∈ZD.? ?2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【解析】由图像知，周期T ＝2? ????54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ? ?πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<="">4，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为? ?2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.【答案】 D3．如图1-3，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ? ????π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图1-3A ．5B ．6D ．10【解析】根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 【答案】 C4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)? ?ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，且f (x )在? ??π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图像的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在? ????π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ? ????11x －π4，f (x )在? ????π18，3π44上单调递增，在? ??3π44，5π36上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ? ????9x ＋π4，满足f (x )在? ????π18，5π36上单调的条件．故选B.【答案】 B5．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)? ?ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)．．．．．．．．．．．)的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )图像的一个对称中心为? ??5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ? ???2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ? ?2x －π6，则g (x )＝5sin ? ?2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图像的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图像关于点? ????5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.第二章章末分层突破[自我校对]①单位向量②坐标表示③数乘向量④坐标⑤夹角公式。
(完整版)高一数学必修4期末试卷及答案,推荐文档
18．（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) cos2 x 1π2 ， g(x) 121 sin 2x ．
1 设 x x0 是函数 y f (x) 图象的一条对称轴，求 g(x0 ) 的值； 2 求函数h(x) f (x) g(x) 的单调递增区间．
参考答案一、选择题（每小题 4 分,共 40 分）
C．反向平行
D．既不平行也不垂直
11.
3 1
sin
70
12 cos210
．
12.
已知函数
f
(x)
2sin x
5
的图象与直线
y
1
的交点中最近的两个交点的距离为 3 ，则函数
f (x) 的最小正周期为
。
13. 已知函数 f (x) sin(x ) cos(x ) 是偶函数，且 [0, ] ，则 的值 为
高一年级数学《必修 4》试题
一、选择题（每小题 4 分,共 40 分）
E
D
1. 与 463 终边相同的角可以表示为(k Z) （ ）
A． k 360 463
B． k 360 103 C． k 360 257
D．k 360 257
2 如图，在正六边形 ABCDEF 中，点 O 为其中心，则下列判断错误的是 （ ）
A、B 的横坐标分别为 2 5 , 3 10 ．
5 10
（1）求 tan( )的值；
（2）求 的
值．
17．（本小题满分 12 分） 已知函数
f (x) 1 cos2 x 3 sin x cos x 1 , x R ．
2
2
（1） 求函数 f (x) 的最小正周期；
（2） 求函数 f (x) 在[ , ]上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量 x 的值． 12 4
高一数学(必修4)期末测试题及其答案
高中数学必修4 期末测试题班级： 姓名：一.选择题：（本大题共30小题，每小题2分，共60分）． 1.3π的正弦值等于（ A ） （A ）23 （B ）21 （C ）23- （D ）21- 2．215°是 （ C ）（A ）第一象限角（B ）第二象限角（C ）第三象限角 （D ）第四象限角 3．角α的终边过点P （4，－3），则αcos 的值为（ C ） （A ）4（B ）－3（C ）54（D ）53-4．若sin α<0，则角α的终边在（ D ）（A ）第一、二象限 （B ）第二、三象限 （C ）第二、四象限 （D ）第三、四象限 5．函数y=cos2x 的最小正周期是（ A ） （A ）π （B ）2π （C ）4π （D ）π26．给出下面四个命题：① =+；②=+B ；③=；④00=-。
其中正确的个数为（ B ） （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个7．向量)2,1(-=，)1,2(=，则（ B ） （A ）∥ （B ）⊥ （C ）与的夹角为60° （D ）与的夹角为30°8. ( B )（A ）cos160︒ （B ）cos160-︒ （C ）cos160±︒ （D ）cos160±︒9． 函数)cos[2()]y x x ππ=-+是 （ C ）（A ） 周期为4π的奇函数 （B ） 周期为4π的偶函数 （C ） 周期为2π的奇函数 （D ） 周期为2π的偶函数10．要得到函数y=sin(2x-3π)的图象，只需要将y=sin2x 的图象 （ A ）（A .向右平移6π个单位 B.向左平移6π个单位C.向右平移3π个单位 D.向左平移3π个单位11．cos3000的值等于（ A ）A ．21 B ．-21 C ．23 D ．-23 12．下列命题中正确的是（ C ） （A ）小于90°的角是锐角（B ）第一象限角是锐角（C ）钝角是第二象限角（D ）终边相同的角一定相等13．已知＝(3，0)等于( B )．A ．2B ．3C ．4D ．514．在0到2π范围内，与角－34π终边相同的角是( C )． A ．6π B ．3πC ．32π D ．34π 15．若cos α＞0，sin α＜0，则角 α 的终边在( D )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°的值等于( B )．A ．41B ．23 C ．21 D ．43 17．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是( C )．A ．＝B ．－＝C ．＋＝D ．＋＝18．已知向量a ＝(4，－2)，向量b ＝(x ，5)，且a ∥b ，那么x 等于( D )．A ．10B ．5C ．－25 D ．－1019．已知向量a=（1，2），b=（-4，x ），且a ⊥b ，则x 的值是（ C ） A ．-8 B ．-2 C ．2 D ．8 20．若tan α＝3，tan β＝34，则tan (α－β)等于( D )． A ．－3B ．3C ．－31D ．3121．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( B )．A ．2，－2B ．1，－3C ．1，－1D ．2，－1 22．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－1，0)，B (1，2)，C (0，c )，若⊥，那么c 的值是( D )．C (第17题)A ．－1B ．1C ．－3D ．323．下列函数中，在区间[0，2π]上为减函数的是( A )． A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝tan xD ．y ＝sin (x －3π) 24．已知0＜A ＜2π，且cos A ＝53，那么sin 2A 等于( D )．、 A ．254 B ．257 C ．2512 D ．2524 25．函数x y 2sin 4=是（ C ） A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为π的偶函数26．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“⊗”为a ⊗b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1，2)，p ⊗q ＝(－3，－4)，则向量q 等于( D )．A ．(－3，－2)B ．(3，－2)C ．(－2，－3)D ．(－3，2)27．已知a =（－2 , 4），b =（1 , 2）, 则a ·b 等于（ C ）（A ）0 （B ）10 （C ）6 （D ）－10 28．若a =（1 ，2），b =（－3 ，2），且（ka + b ）∥（a － 3b ），则实数k 的值是（ A ） （A ）31-（B ）19（C ）911（D ）2-29.已知平行四边形ABCD 满足条件0)()(=-⋅+→-→-→-→-AD AB AD AB ，则该四边形是( B ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.任意平行四边形 30.函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为 （ A ） （A ）)322sin(2π+=x y （B ）)32sin(2π+=x y（C ）)32sin(2π-=x y（D ）)32sin(2π-=x y二.填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)31．已知tan α＝－1，且 α∈[0，π)，那么 α 的值等于43π． 32．已知向量a ＝(3，2)，b ＝(0，－1)，那么向量3b －a 的坐标是 （-3，-5） ． 33．已知点A （2，－4），B （－6,2），则AB 的中点M 的坐标为（-2，-1） ； 34．若)3,2(=与),4(y -=共线，则y ＝ -6 ； 35．若21tan =α，则ααααcos 3sin 2cos sin -+= -3 ； 36.已知向量)8,(),,2(x b x a ==→→，若||||→→→→⋅=⋅b a b a ，则x 的值是 4 。
陕西省西安市高新一中2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)
（2）解关于 的不等式： （其中 ）．
【答案】（1）2；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂的运算法则和对数的运算性质计算即可；
（2）不等式化为 ，根据不等式对应方程的两根写出不等式的解集．
【详解】（1）
．
（2）不等式 可化为 ，
不等式对应方程的两根为 ， ，且 （其中 ）；
所以原不等式的解集为 ．
3.已知α为第二象限角， ，则cos2α=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
详解】 ，故选A.
4.函数 的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（）
A. 2， B. 2， C. 4， D. 4，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图象的两个点 、 的横坐标，得到四分之三个周期的值，得到周期的值，做出 的值，把图象所过的一个点的坐标代入方程做出初相，写出解析式，代入数值得到结果．
16.已知函数 .
(1)求 的最小正周期和最大值；
(2)求 在 上的单调区间
【答案】（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为 ；
（2）f(x)在 上单调递增；在 上单调递减．
【解析】
【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得 的最小正周期和最大值．
（2）根据 ，利用正弦函数的单调性，即可求得 在 上的单调区间．
试题解析：（1） ，求得 ，根据 是第一象限角，所以 ，且 ；
（2）
．
考点：正余弦差角公式，辅助角公式，同角三角函数关系式，倍角公式，三角不等式．
18.已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
2023-2024学年陕西省西安市西安市高一上册期末考试数学试题(含解析)
知函数
，则关于函数 g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数 C．g（x）是偶函数 三．填空题（共 4 小题）
13．函数
的定义域是
B．f（x）在 R 上是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数 D．g（x）的值域是{﹣1，0}
．
14．若 x＞0 时，指数函数 y＝（m2﹣3）x 的值总大于 1，则实数 m 的取值范围是
故选：A． 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
6．已知 tanθ＝﹣2，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】化简后利用弦化切可求得所求代数式的值．
解：
＝
＝
＝
＝﹣
．
故选：A． 【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属于基础题． 7．如图是杭州 2022 年第 19 届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着大潮的涌动和发展．如 图是会徽的几何图形．设弧 AD 的长度是 l1，弧 BC 的长度是 l2，几何图形 ABCD 面积为
C．“a＞1”是“
”的充分不必要条件
D．当 x∈R 时， 的最小值为
【分析】转化为∀x∈R，x2+4x+m≠0，计算Δ＝16﹣4m＜0，能判断 A；根据不等式的性
质判断 B；求出
的等价条件为 a＞1 或 a＜0，即可判断 C；利用特值法判断 D．
解：对于 A，等价于∀x∈R，x2+4x+m≠0 为真命题，
则 a+b+c 的取值范围是（ ）
A．[2，11]
B．（2，101）
C．（1，11）
D．（1，100）
二．多选题（共 4 小题）
（多选）9．如果幂函数 f（x）＝ (2m2 m 2)xm1，m N ，下列说法正确的有（ ）
2025届陕西省西安市高新第一中学数学高一上期末经典试题含解析
所以|2 a b | 2 的最大值，最小值分别是：16，0；
所以|2 a b | 的最大值，最小值分别是 4，0； 故选：D 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性
B.
y
sin
2x
6
C. y cos2x
D.
y
cos
2x
6
9．已知函数
f
x
1
2
x
1,
x
0
，若存在不相等的实数
a，b，c，d
满足
f a
f b
f c
f d ，则
lg x, x 0
.a b c d 的取值范围为（）
A 0,
C.
2,
61 10
B.
2,
81 10
D.
法错误的是（ ）
A.是奇函数且图象关于点
2
,
0
对称
B. 偶函数且图象关于点（π，0）对称
C.是奇函数且图象关于直线 x 对称
是2
D.是偶函数且图象关于直线 x 对称
8．将函数 y=sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为（ ）
6
6
A. y sin2x
x)
Asin(
x)
Acos x ，
g(
x)
A sin(
x)
Acos x ，
2
2
2
2
所以 g( x) g( x) ，因此函数 g(x) Asin x 关于直线 x 对称，因此选项 A 不正确，
2022-2021学年高一数学北师大版必修4 章末检测卷(一) Word版含答案
章末检测卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则α等于( )A ．390°B ．420°C ．450°D ．480° 答案 B2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵P (tan α，cos α)在第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，由tan α<0，得α在其次、四象限， 由cos α<0，得α在其次、三象限 ∴α的终边在其次象限． 3．函数y ＝tan x2是( )A ．周期为2π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数 答案 A4．已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，两边平方，得sin θcos θ＝a 2－12<0，故－π2<θ<0且cos θ>－sin θ，∴|cos θ|>|sin θ|，借助三角函数线可知－π4<θ<0，－1<tan θ<0，满足题意的值为－13.5．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图像关于原点成中心对称，则φ等于( ) A ．－π2B ．2k π－π2(k ∈Z )C ．k π(k ∈Z )D ．k π＋π2(k ∈Z )答案 D解析 若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图像关于原点成中心对称，则f (0)＝cos φ＝0， ∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．6．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f (x )的图像( ) A ．与g (x )的图像相同 B ．与g (x )的图像关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图像D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图像答案 D解析 由于f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，故将其图像向右平移π2个单位，得y ＝g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图像． 7．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4 答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，所以π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ， 即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以选B.8．函数f (x )＝－cos x ln x 2的部分图像大致是下列选项中的( )答案 A解析 函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝－cos(－x )ln(－x )2＝－cos x ln x 2＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，其图像关于y 轴对称，排解选项C 和D ；当x ∈(0,1)时，cos x >0,0<x 2<1，则ln x 2<0，于是f (x )>0，此时函数f (x )的图像位于x 轴的上方，排解选项B. 9．函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1] D ．以上均不对答案 C解析 ∵－1≤sin x ≤1，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 又∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan(－1)≤y ≤tan 1，即y ∈[－tan 1，tan 1]． 10．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 答案 D解析 ∵a ＝sin 5π7＝sin(π－5π7)＝sin 2π7.2π7－π4＝8π28－7π28>0. ∴π4<2π7<π2. 又α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，sin α>cos α. ∴a ＝sin2π7>cos 2π7＝b . 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α<tan α. ∴c ＝tan2π7>sin 2π7＝a . ∴c >a .∴c >a >b .11．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( ) A.π3 B.π2 C.3 D ．2答案 C解析 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ， 所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3.12．若α是第三象限角，则y ＝|sin α2|sin α2＋|cos α2|cos α2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2答案 A解析 ∵α是第三象限角， ∴2k π＋π<α<2k π＋32π(k ∈Z )，∴k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，∴角α2在其次象限或第四象限．当α2在其次象限时，y ＝sin α2sin α2－cos α2cos α2＝0， 当α2在第四象限时，y ＝－sin α2sin α2＋cosα2cos α2＝0， 综上，y ＝0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________ cm. 答案 6π＋40解析 ∵圆心角α＝54°＝3π10，∴弧长l ＝|α|·r ＝6π. ∴周长为(6π＋40) cm.14．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是________．答案310解析 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝2，∴tan θ＝3.∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310.15．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如图所示，则f (7π12)＝________.答案 0解析 方法一 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3，∴ω＝2πT ＝3.∴y ＝2sin(3x ＋φ)，将(π4，0)代入上式得sin(3π4＋φ)＝0. ∴3π4＋φ＝k π，k ∈Z ，则φ＝k π－3π4，k ∈Z . ∴f (7π12)＝2sin(7π4＋k π－3π4)＝0.方法二 由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3.又由正弦函数图像性质可知，f (x 0)＝－f (x 0＋T2)，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝－f (π4)＝0.16．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π2，k ∈Z ；③在同始终角坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点；④把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图像；⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是减函数． 其中，正确的说法是________． 答案 ①④解析 对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，由于k ＝0时，α＝0，角α的终边在x轴上，故②错；对于③，作出y ＝sin x 与y ＝x 的图像，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝3sin 2x ，故④对；对于⑤，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，在[0，π]上为增函数，故⑤错． 三、解答题(本大题共5小题，共70分)17．(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．解 (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.(2)∵r ＝x 2＋y 2＝5|a |，∴当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝－3a 5a ＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－3a －5a ＝35，cos α＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2；当点P 在其次象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.18．已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin αcos α＝18可知(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0. ∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－31π3·sin ⎝⎛⎭⎫－31π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3·sin ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝cos5π3·sin 5π3＝cos(2π－π3)·sin(2π－π3) ＝cos π3·⎝⎛⎭⎫－sin π3＝12·⎝⎛⎭⎫－32＝－34. 19.函数f (x )＝3sin(2x ＋π6)的部分图像如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间[－π2，－π12]上的最大值和最小值．解 (1)f (x )的最小正周期为π. x 0＝7π6，y 0＝3.(2)由于x ∈[－π2，－π12]，所以2x ＋π6∈[－5π6，0]．于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.20．在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，0<φ<π2)的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图像上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．21．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和． 解 (1)观看图像，得A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π6×43＝π. ∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的状况，相当于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6与g (x )＝m 的交点个数状况，且0<x <π，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图像．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2； 当－2<m <1时，此时两交点关于直线x ＝23π对称，两根和为43π；当1<m <2时，此时两交点关于直线x ＝π6对称，两根和为π3.。
【北师大版】高中数学必修四期末一模试卷(含答案)
一、选择题1．已知()2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2020π B ．1010π C ．505π D ．4040π2．已知()sin 2cos x x x ϕ+=+对x ∈R 恒成立，则cos 2ϕ=（ ） A ．25-B ．25C ．35D ．353．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ）A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)224．已知3sin 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2α＝（ ）A B ．50C D 5．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ）A 1B ．1C ．1-D 71-6．已知向量a ，b 满足||3,||2a b ==，且对任意的实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则tan θ的值为（ ）A B ．C ．D 7．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+等于（ ） A ．1 B ．12C ．13 D ．238．在ABC 中，2BAC π∠=，2AB AC ==，P 为ABC 所在平面上任意一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为（ ）A ．1B ．12-C ．－1D ．-29．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图像如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 10．已知实数a ，b 满足0<2a <b <3-2a ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．sin sin2ba < B ．()2cos >cos 3a b -C ．()2sin sin3a b +<D ．23cos >sin 2b a ⎛⎫-⎪⎝⎭11．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ）A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增 D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减12．已知函数()tan()0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（ ）A ．76π B ．56π C ．2πD ．3π 二、填空题13．已知6sin 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 14．若角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2=α______. 15．若tan 30,2tan 10αβ-=-=，则()tan αβ+=________.16．如图，边长为2的菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在线段BD 上运动，若1AB AO ⋅=，则AP PD ⋅的最大值为______.17．已知(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在a 方向上的投影为_________.18．如图所示，已知OAB ，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：①12=+OM OA OB ； ②23143OM OA OB =+；③33145=+OM OA OB ；④44899=+OM OA OB .对于点1M ，2M ，3M ，4M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）19．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，||2ϕπ<)的部分图象如图所示.则函数()y f x =的解析式为________.20．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与函数()f x 的图象重合，则下列结论正确的是______.①()f x 的一个周期为2π-； ②()f x 的图象关于712x π=-对称； ③76x π=是()f x 的一个零点； ④()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减；三、解答题21．设函数2()cos 22sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合； （2）若,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα，且2()5f α=，求sin 2α.22．已知函数()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调增区间； （2）当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，求实数m 的取值范围.23．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，若122F F =，椭圆的离心率为12e =．（1）求椭圆的标准方程．（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA⋅的取值范围． 24．已知()sin()(0,0)f x x ωϕϕπω=+<<>为偶函数，且()y f x =图像的两相邻对称中心点间的距离为2π． （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图像向右平移6π个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间．25．如图，在直角△ABC 中，点D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，点E 为AD 的中点，3,6AB AC ==（1）用,AB AC 表示AD 和EB ； （2）求向量EB 与EC 夹角的余弦值．26．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm 的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点1,0A 同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0180αβ︒︒<<<）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限．（1）求α，β的值．（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A 逆时针．．．匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A 顺时针．．．匀速爬行，求当它们从点A 出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．2．D解析：D 【分析】利用两角和的正弦公式进行展开，结合恒成立可得cos ϕ，最后根据二倍角公式得结果. 【详解】由题可知，cos sin sin 2cos x x x x ϕϕ+=+， 则cosϕ=，sin ϕ=， 所以283cos22cos 1155ϕϕ=-=-=，故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦以及二倍角公式的应用，通过恒成立求出cos ϕ是解题的关键，属于中档题.3．B解析：B 【分析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈， 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦ 所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤，所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】由平方关系得cos 8πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后由二倍角得出sin 24απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由两角差的余弦公式求得cos2α．【详解】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5,888πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，若,828πππα5⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则23sin sin 8325ππα⎛⎫+>=> ⎪⎝⎭，∴,882πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴4cos 85πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 24sin 22sin cos 48825πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，237cos 2124525πα⎛⎫⎛⎫+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7242525==． 故选：A ． 【点睛】本题考查两角差的余弦公式，考查平方关系同、二倍角公式，解题时需要确定角的范围，才能在由平方关系求函数值时确定是否是唯一解．5．C解析：C 【分析】计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】2222222cos123AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π+=++⋅=++⋅=，所以，23AB AC += 由平面向量模的三角不等式可得()()231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立.因此，AP 的最小值为1. 故选：C. 【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a b a b a b -≤±≤+.6．B解析：B 【分析】因为对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，所以242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立，则0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，结合已知可得cos θ的值，进而可求出sin θ的值，从而可求出答案. 【详解】由题意，a xb a b +≥⇔+22a xb a b +≥⇔+222220x b a bx a b b +⋅-⋅-≥， 对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，且||3,||2a b ==，∴242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立， ∴0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，又cos 6cos a b a b θθ⋅==，∴2144cos 16(12cos 4)0θθ++≤，即29cos 12cos 40θθ++≤，∴2(3cos 2)0θ+≤，则2(3cos 2)0θ+=，解得2cos 3θ=-， 又0πθ≤≤，∴sin 3θ==， ∴sin 3tan 2cos 3θθθ===-.故选：B . 【点睛】本题主要考查了求三角函数值，考查向量数量积的运算，考查一元二次不等式的解与判别式的关系，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】根据题设条件求得13BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+，得到11,26λμ==，即可求解.【详解】 在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高， 可得1sin 212BD AB ABC =∠=⨯=， 又由3BC =，所以13BD BC =,由向量的运算法则，可得13AD AB BD AB BC =+=+, 又因为O 为AD 的中点，111226AO AD AB BC ==+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26λμ==，则23λμ+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得1126AO AB BC =+是解答的关键，着重考查推理与运算能力.8．C解析：C 【分析】以,AB AC 为,x y 建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值． 【详解】如图，以,AB AC 为,x y 建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2)A B C ，设(,)P x y ，(,)PA x y =--，(2,)PB x y =--，(,2)PC x y =--，(22,22)PB PC x y +=--，∴()22(22)(22)2222PA PB PC x x y y x x y y⋅+=----=-+-22112()2()122x y =-+--，∴当11,22x y ==时，()PA PB PC ⋅+取得最小值1-．故选：C ．【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示．9．C解析：C 【分析】 本题首先可根据33π44T 求出ω，然后根据当43x π=时函数()f x 取最大值求出ϕ，最后代入30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可求出A 的值. 【详解】因为4π7π3π3124，所以33π44T ，T π=，因为2T πω=，所以2ω=，()sin(2)f x A x ϕ=+，因为当43x π=时函数()sin(2)f x A x ϕ=+取最大值， 所以()42232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，()26k k Z πϕπ=-+∈，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，()sin 26f x A x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 代入30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，3sin 26A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3A =，()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数图像求函数解析式，对于()sin()f x A x ωϕ=+，可通过周期求出ω，通过最值求出A ，通过代入点坐标求出ϕ，考查数形结合思想，是中档题.10．D解析：D 【分析】对各个选项一一验证：对于A.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出2ba <，借助于正弦函数的单调性判断； 对于B.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b <-，借助于余弦函数的单调性判断； 对于C.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b +<，借助于正弦函数的单调性判断； 对于D.先用诱导公式转化为同名三角函数，借助于余弦函数的单调性判断； 【详解】 因为0<2a <b <3-2a 对于A. 有0<2b a <， 若22b a π<<，有sin sin 2b a <；若22b a π<<，有sin sin 2ba >，故A 错；对于B.有 23a b <-，若232a b π<<-，有()2cos >cos 3a b -，故B 错；对于C. 23a b +<，若232a b π<+<，有()2sin sin 3a b +>，故C 错；对于D. 222333sin cos cos 2222a a a ππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为b <3-2a <3，所以2cos >cos(3)b a - ∵22332a a π+-<-∴()223cos 3cos 2a a π+⎛⎫->-⎪⎝⎭∴()22233cos cos 3cos sin 22a a b a π+⎛⎫⎛⎫>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 对. 故选：D. 【点睛】利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．11．A解析：ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【详解】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭， 对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误； 对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确； 对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误.故选：ABD. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间.12．A解析：A 【分析】先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和. 【详解】因为()f x 的最小正周期为2π，所以22πωπ==，又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以2,3k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=且此时1k =，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即tan 2cos 21033x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又因为tan 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 213x π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭时，23x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π=， 所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所有解的和为57366πππ+=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭的情况. 二、填空题13．【分析】构造角再用两角和的余弦公式及二倍公式打开【详解】故答案为：【点睛】本题是给值求值题关键是构造角应注意的是确定三角函数值的符号解析：26- 【分析】 构造角22643πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开. 【详解】()50,,,444πππαπα⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，sin 42πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，22cos 22cos 1443ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 22sin cos 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 6434343πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2132⎛=⨯+= ⎝⎭故答案为：26【点睛】本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.14．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得再利用二倍角公式求得的值【详解】由题意角的终边与单位圆的交点为可得解得即又由故答案为：【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义二倍角的正弦公式的应用其解析：79【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cos α，再利用二倍角公式求得cos2α的值. 【详解】由题意，角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 可得2119m +=，解得3m =±，即cos 3α=±， 又由287cos 22cos 12199αα=-=⋅-=. 故答案为：79. 【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，结合余弦的倍角公式求解是解答的关键，属于基础题.15．【分析】由题得再利用两角和公式求解即可【详解】因为所以所以故答案为:【点睛】本题考查正切函数的两角和公式属于基础题 解析：7-【分析】由题得tan 3α=,1tan 2β=,再利用两角和公式求解即可. 【详解】因为tan 30,2tan 10αβ-=-=, 所以tan 3α=,1tan 2β=, 所以()1t 32731n 2a αβ++==--, 故答案为:7-. 【点睛】本题考查正切函数的两角和公式,属于基础题.16．【分析】以为原点和分别为和轴建立的平面直角坐标系求得设得到即可求解【详解】以为原点和分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系设则因为可得联立方程组解答所以设则当时取得最大值最大值为故答案为：【点睛】本解析：34【分析】以O 为原点，OC 和OD 分别为x 和y 轴建立的平面直角坐标系，求得(1,0),(0,3)A D -，设(0,),[3,3]P t t ∈-，得到233()24AP PD t ⋅=--+，即可求解. 【详解】以O 为原点，OC 和OD 分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设(,0),(0,),0,0A a B b a b -->>，则224a b +=， 因为1AB AO ⋅=，可得2(,)(,0)1a b a a -⋅==， 联立方程组，解答1,3a b ==，所以(1,0),(0,3)A D -，设(0,),[3,3]P t t ∈-，则22333(1,)(0,3)3()44AP PD t t t t t ⋅=⋅-=-+=--+≤， 当32t =时，AP PD ⋅取得最大值，最大值为34.故答案为：34.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，此类问题通常采取建立直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解，着重考查转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题.17．【分析】根据向量的数量积的坐标运算求得结合向量的投影的概念即可求解【详解】由向量可得所以向量在方向上的投影数列为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算以及向量的投影的概念其中解答中熟 13【分析】根据向量的数量积的坐标运算，求得13,13a b a ⋅==，结合向量的投影的概念，即可求解. 【详解】由向量(2,3),(4,7)a b ==-，可得222(4)3713,23a b a ⋅=⨯-+⨯==+=，所以向量b 在a 方向上的投影数列为cos ,13a b b a b a⋅===【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的概念，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.18．①②④【分析】射线与线段的公共点记为根据平面向量基本定理可得到由在阴影区域内可得实从而且得出结论【详解】解：设在阴影区域内则射线与线段有公共点记为则存在实数使得且存在实数使得从而且又由于故对于①中解解析：①②④ 【分析】射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到(1)ON tOA t OB =+-，由M 在阴影区域内可得实1r ≥，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥得出结论【详解】解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ， 则存在实数(0,1]t ∈，使得(1)ON tOA t OB =+-，且存在实数1r ≥，使得OM rON =，从而(1)OM rtOA r t OB =+-，且(1)1rt r t r +-=≥．又由于01t ≤≤，故(1)0r t -≥． 对于①中1,(1)2rt r t =-=，解得313,r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故①满足条件． 对于②中31,(1)43rt r t =-=，解得139,1213r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故②满足条件， 对于③31,(15)4rt r t =-=，解得19,152019r t ==，不满足1r ≥，故③不满足条件， 对于④,(189)49rt r t =-=，解得,4133r t ==，满足1r ≥也满足(1)0r t -≥，故④满足条件．故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于中档题．19．【分析】由最值求得由周期求得由最高点的坐标求得【详解】由题意所以又所以所以故答案为：【点睛】方法点睛：由函数图象确定三角函数的解析式主要参考正弦函数图象中五点法由最大值和最小值确定由周期确定利用点的解析：2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【分析】由最值求得A ，由周期求得ω，由最高点的坐标求得ϕ． 【详解】由题意2A =，4312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以22πωπ==，2sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2,62k k Z ππϕπ+=+∈，又2πϕ<，所以3πϕ=．所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 故答案为：2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：由函数图象确定三角函数的解析式，主要参考正弦函数图象中“五点法”，由最大值和最小值确定A ，由周期确定ω，利用点的坐标确定ϕ，这样可得出表达式()sin()f x A x ωϕ=+．20．①②③【分析】先由图像的平移变换推导出的解析式再分析函数的周期零点对称性单调性判断是否正确【详解】解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合的一个周期为故①正确；的对称轴满足：当时的图象关于对称解析：①②③ 【分析】先由图像的平移变换推导出()f x 的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确． 【详解】解：函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位后与函数()f x 的图象重合，()sin 2sin 2333f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()f x ∴的一个周期为2π-，故①正确； ()y f x =的对称轴满足：232x k ππ-=π+，k Z ∈， ∴当2k =-时，()y f x =的图象关于7πx 12=-对称，故②正确； 由()sin 203f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，23x k ππ-=得26k x ππ=+， 76x π∴=是()f x 的一个零点，故③正确； 当5,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2,322x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ()f x ∴在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故④错误．故答案为：①②③． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．三、解答题21．（1）,3x x x k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =；（2. 【分析】（1）利用两角和的余弦展开和正弦的降幂公式化简，再利用两角和的正弦写成()()sin f x A x ωϕ=+形式可求最值及对应的x 的值；（2）由3sin 265πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭和α的范围利用平方关系求出cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用凑角sin 2sin 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得答案.【详解】（1）1()cos 221cos 222f x x x x =-+-1sin 26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=-+，即,3x xx k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =. （2）21sin 265πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，3sin 265πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，272,636πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，4cos 265πα⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭341sin 2sin 266552ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-=-⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角函数的化简求值，关键点是正用两角和的余弦、正弦公式和逆用两角和的正弦公式，利用凑角求三角函数值，考查了学生的基础知识、基本运算能力.22．（1）5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈（2m <<【分析】（1）化简()f x 的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；（2）转化为221()216h t t mt m =-+-在(2内有两个零点，根据二次函数列式可得结果. 【详解】（1）()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭12sin sin cos cos sin 1cos 2332x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21cos sin 1cos 22x x x x =-++-212cos cos 22x x x =++-1cos 212cos 222x x x +=++-32cos 222x x =+)3x π=+，由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈.（2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，52(0,)36x ππ+∈，())3f x x π=+∈， 因为函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，令()t f x =，则(t ∈且221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，所以2214401600m m m h h ⎧⎛⎫∆=--> ⎪⎪⎝⎭<<⎨⎪>⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，即22316043160m m m <<⎪⎪+->⎨⎪⎪-+->⎪⎩，解得m <<⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1144m <<， 所以实数mm <<. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 23．（1）22143x y +=；（2）[0,12]. 【分析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得1,2c a ==，b =（2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；【详解】解：（1）由题意，∵122F F =，椭圆的离心率为12e =，∴1,2c a ==， ∴b =∴椭圆的标准方程为22143x y +=． （2）设()00,P x y ，(2,0)A -，1(1,0)F -，∴()()22200001001232PF P x x y x A x y ⋅----+=+++=， ∵P 点在椭圆上，∴2200143x y +=，2200334y x =-， ∴21001354PF PA x x ⋅=++， 由椭圆方程得022x -≤≤，二次函数开口向上，对称轴062x =-<-，当02x =-时，取最小值0，当02x =时，取最大值12．∴1PF PA ⋅的取值范围是[0,12]． 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题. 24．（1）()cos 2f x x =；（2）42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）根据函数()sin()f x x ωϕ=+为偶函数求出ϕ，根据()y f x =图像的两相邻对称中心点间的距离求出ω，则可得()f x 的解析式；（2）根据图象变换规律求出()g x ，再根据余弦函数的递减区间列式可解得结果.【详解】（1）由于函数()sin()f x x ωϕ=+为偶函数，则,2k k πϕπ=+∈Z ．又0ϕπ<<，则2ϕπ=．又函数()f x 图象的两相邻对称中心点间的距离为2π，从而22T T ππ=⇒=，故22Tπω==． 故()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． （2）函数()y f x =图象向右平移6π个单位得()cos 2cos 2663h x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 再由伸缩变换可得：()cos 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 由223k x k ππππ-+．得4223k x k πππ≤≤+，k Z ∈， 故()g x 的单调递减区间为：42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ． 【点睛】 关键点点睛：掌握三角函数的图象变换规律以及余弦函数的递减区间是解题关键.25．（1）2133AD AB AC =+，2136EB AB AC =-，（2） 【分析】（1）利用平面向量基本定理和向量的加减法法则进行求解即可（2）如图，以AC ，AB 所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，然后表示出向量EB 与EC 的坐标，再利用向量夹角的坐标公式求解【详解】解：（1）因为D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点， 所以1111()3333BD BC AC AB AC AB ==-=-， 所以2133AD AB BD AB AC =+=+， 因为E 为AD 的中点，所以112111223336AE AD AB AC AB AC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭， 所以2136EB AB AE AB AC =-=-, （2）1536EC AC AE AB AC =-=-+, 如图，以AC ，AB 所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则(0,3),(6,0)B C ,所以21(1,2)36EB AB AC =-=-，15(5,1)36EC AB AC =-+=- ，所以(1)52(1)7EB EC ⋅=-⨯+⨯-=-， 2222(1)25,5(1)26EB EC =-+==+-= 设向量EB 与EC 夹角为θ，则7130cos 130526EB ECEB EC θ⋅===-⨯⋅ 【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，考查向量夹角公式的应用，考查计算能力，属于中档题26．（1）3607α⎛⎫=⎪⎝⎭，5407β⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）45πcm . 【分析】（1）根据题中条件，先设()36140k k Z α=⋅∈，()14360m m Z β=⋅∈，再由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，0180αβ︒︒<<<，列出不等式求解，得出k 和m 的值，即可得出结果；（2）先设它们从点A 出发后第一次相遇时，所用的时间为t 秒，根据题中条件求出t ，根据弧长的计算公式，即可求出结果.【详解】（1）由题意可得，14α与14β都是360的整数倍，不妨设()36140k k Z α=⋅∈，()14360m m Z β=⋅∈， 则()1807k k Z α=⋅∈，()1807m m Z β=⋅∈， 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，所以902180902180αβ⎧<<⎨<<⎩，即()()29018018072901801807k k Z m m Z ⎧<⋅<∈⎪⎪⎨⎪<⋅<∈⎪⎩，所以()()77427742k k Z m m Z ⎧<<∈⎪⎪⎨⎪<<∈⎪⎩， 因为0180αβ︒︒<<<，所以k m <，所以2k =，3m =， 即3607α⎛⎫= ⎪⎝⎭，5407β⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A 逆时针．．．匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A 顺时针．．．匀速爬行，设它们从点A 出发后第一次相遇时，所用的时间为t 秒， 则()360t αβ+=，即36054036077t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得145t =， 所以红蚂蚁爬过的角度为144t α=，因为圆的半径为1cm ， 所以红蚂蚁爬过的距离为1444213605ππ⋅⋅=cm . 【点睛】关键点点睛：求解本题第一问的关键在于根据任意角的概念以及题中条件，得到14α与14β都是360的整数倍，利用题中所给限制条件：第2秒时均位于第二象限，即可求解.。
【北师大版】高中数学必修四期末一模试题含答案
一、选择题1．如下图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点,C B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,,,55AOC α⎛⎫-∠= ⎪⎝⎭若1BC =，则233cos sin cos 222ααα--的值为（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．352．已知()3sin 2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2020π B ．1010π C ．505π D ．4040π 3．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 4．已知()1sin 30cos 3αα︒+=+，则()sin 230α+︒=（ ） A ．79-B ．79C 43D ．39-5．过点()3,1P 的直线l 与函数21()26x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则()OA OB OP +⋅=（ ）A 10B ．210C ．10D ．206．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ）A ．12或32B ．1C ．1或12D ．327．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭9．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()(),23f f ππ=-2()()23f f ππ=，则ω=（ ） A ．6 B ．3 C ．2D ．110．设函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线3x π=对称，则下列说法正确是（ ）A ．()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； C ．()f x 的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭； D ．将()f x 的图象向左平移12ϕ个单位长度得到函数3sin 21y x =+ 的图象. 11．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，将()y f x =的图象向右平移π6个单位长得到函数y g x 的图象，则()g x 的单调增区间为（ ）A ．()ππ2π,2π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()π5π2π,2π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 12．如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m 设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m ，则在转动一周的过程中，高度H 关于时间t 的函数解析式是（ ）A ．()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭B ．()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭C ．()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭D ．()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数2()23sincos2cos (0)222xxxf x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________. 14．已知2sin 3α=，()1cos 3αβ+=-，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin β=_____.15．已知cosα17=，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2π<，则sinβ=_____. 16．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭； ② A 、B 两点间的距离为()()221212x x y y -+-；③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）17．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.18．已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB 和AC 的交点分别为M 和N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为2554，则实数λ=__________. 19．在ABC 中，2AB =，32AC =，135BAC ∠=︒，M 是ABC 所在平面上的动点，则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________．20．如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++，则这段曲线的函数解析式为______________．三、解答题21．①角α的终边上有一点()2,4M ；②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13；③2α为锐角且22sin 42cos 22sin 2ααα=-.在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答.问题：已知角α的顶点在原点O ，始边在x 轴的非负半轴上，___________.求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分.22．已知函数2()2cos 23sin 1(0)2f x x x x πωωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，其最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位得到函数()y g x =，求函数()y g x =在区间70,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域.23．已知平面非零向量a ，b 的夹角是23π. （1）若1a =，27a b +=，求b ；（2）若()2,0a =，(),3b t =，求t 的值，并求与a b -共线的单位向量e 的坐标. 24．如图，在ABC 中，1AB AC ==，120BAC ∠=.（Ⅰ）求AB BC 的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC →→→=+，其中,x y R ∈. 求xy 的最大值.25．已知()442sin cos cossin f x x x x x ωωωω=+-（其中ω>0）．（1）若()f x 的最小正周期是π，求ω的值及此时()f x 的对称中心； （2）若将()y f x =的图像向左平移4π个单位，再将所得的图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，得到()g x 的图像，若yg x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求ω的取值范围．26．已知函数()3π2sin 24⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ，R x ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期T 及()f x 的图象的对称轴；（2）完成表格，并在给定的坐标系中，用五点法作出函数()f x 在一个周期内的图象.x3π24u x =+()f x【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 ∵点B 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭，设AOB θ∠=， ∴325sinπθ-=-（），425cos πθ-=（）， 即35sin θ=，45cos θ=， ∵AOC α∠=，若1BC =，∴3πθα+=，则3παθ=-，则213sincossin cos cos sin 222222625αααππαααθθ⎛⎫⎛⎫--=-=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于α的表达式，设AOB θ∠=，当角α的终边与单位圆的交点坐标为(),u v 时，sin v α=，cos u α=，可先求出关于θ的三角函数式，结合等边三角形寻找,αθ之间的关系即可.2．B解析：B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．3．C解析：C 【分析】根据三角恒等变换化简函数()f x ，再由图象的平移得到函数()g x 的解析式，利用函数()g x 的值域，可知12x x -的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，从而得出选项.【详解】函数2()22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭， 将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，所以函数()y g x =的值域为[1,3]-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由42()62x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈； 其中1x ､2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平移，以及函数的值域和周期，属于中档题.4．B解析：B 【分析】根据条件展开化简得到()1sin 303α-︒=，再利用角的变换，得到()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒，再利用二倍角公式化简求值.【详解】由()1sin 30cos 3αα︒+=+，得11cos cos 23ααα=+， 化简得()1sin 303α-︒=； ()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒ ()21712sin 301299α=--︒=-⨯=故选:B ． 【点睛】本题考查三角恒等变换，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.5．D解析：D 【分析】判断函数()f x 的图象关于点P 对称，得出过点()3,1P 的直线l 与函数()f x 的图象交于A ，B 两点时，得出A ，B 两点关于点P 对称，则有 2OA OB OP +=，再计算()OA OB OP +⋅的值．【详解】()52121263x f x x x -==+-- ，∴函数21()26x f x x -=-的图象关于点()3,1P 对称，∴过点()3,1P 的直线l 与函数()2126x f x x -=-的图象交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于点()3,1P 对称，∴ 2OA OB OP +=，则()()222223120OA OB OP OP +⋅==⨯+=．故选D ． 【点睛】本题主要考查了函数的对称性，以及平面向量的数量积运算问题，是中档题．6．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =，即()(15m n =，求得m =，∴D ⎝⎭；则OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭，5,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭； ∵34OE EA ⋅=，∴234⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为))411ED OD OE λλ⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭， 当34λ=时，12ED⎛== ⎝⎭；当14λ=时，32ED ==⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 7．B解析：B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ， 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.8．D解析：D 【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x的取值范围. 【详解】 设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为()1AO xAB x AC =+-， 所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.9．B解析：B 【分析】 由2()()23f f ππ=求出函数的一条对称轴，结合()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()()23f f ππ=-，可得函数的四分之一周期，即可求出ω的值．【详解】解：由2()()23f f ππ=，可知函数()f x 的一条对称轴为2723212x πππ+==， 则2x π=离最近对称轴距离为712212πππ-=． 又()()23f f ππ=-，则()f x 有对称中心5,012π⎛⎫⎪⎝⎭， 由于()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性， 则1232T ππ-，所以3T π≥，从而7512124T ππ-=，所以23T π=，因为2T πω=，所以3ω=．故选：B 【点睛】本题考查()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的应用，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力．10．D解析：D 【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上可判断A ，求得函数的单调区间及对称中心即可判断选项BC ，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可判断D. 【详解】函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π 所以22πωπ==，则()()3sin 21f x x ϕ=++，()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线3x π=对称,对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈,代入可得2,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得,6k k Z πϕπ=-+∈，因为,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以当0k =时, 6πϕ=-， 则()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 对于A,当0x =时,()3103sin 11622f π=-+=-+=- ，所以错误； 对于B,()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤， 解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因为123ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数,所以错误； 对于C ，773sin 213sin 11012126f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心，所以错误；对于D ，1212πϕ=，将()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度得到可得3sin 213sin 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以能得到3sin 21y x =+的图象,所以正确. 故选: D. 【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，关键点是根据已知条件先求出正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.11．C解析：C 【分析】根据()f x 的图象，可求出()f x 的解析式，进而根据图象平移变换规律，可得到()g x 的解析式，然后求出单调增区间即可. 【详解】由()f x 的图象，可得1A =，311ππ4126T =-，即πT =，则2ππT ω==，所以2ω=，由π16f ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得πsin 216ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以ππ22π62k ϕ⨯+=+()k ∈Z ，则π2π6k ϕ=+()k ∈Z ， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=，故()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将()f x 的图象向右平移π6个单位长得到函数πππsin 22sin 2666y x x ⎛⎫⎛⎫=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()πsin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令πππ2π22π262k x k -≤-≤+()k ∈Z ，解得()ππππ63k x k k -≤≤+∈Z ， 所以()g x 的单调增区间为()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象性质，考查三角函数图象的平移变换，考查三角函数的单调性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】先判断游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10min ，结合摩天轮最高点距离地面高度为120m ，可得10t =时，120H =，再利用排除法可得答案. 【详解】因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min ，所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ， 所以10t =时，120H =，对于A ，10t =时，55cos 106555cos 65651022H πππ⎛⎫=⨯-+=+= ⎪⎝⎭，不合题意；对于B ，10t =时，55sin 106555sin 651201022H πππ⎛⎫=⨯-+=+= ⎪⎝⎭，符合题意；对于C ，10t =时，355cos 106555cos65651022H πππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭，不合题意； 对于D ，10t =时，355sin 106555sin65101022H πππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭，不合题意； 故选：B. 【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型： (1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.二、填空题13．【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式结合周期为求得然后将时函数恰有两个不同的零点转化为时恰有两个不同的根在同一坐标系中作出函数的图象利用数形结合法求解【详解】函数因为函数的周期为所以因为时函数恰有两 解析：(3,2]--【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式，结合周期为23π求得()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后将0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，转化为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象，利用数形结合法求解. 【详解】函数2()cos2cos 222xxxf x ωωω=+，cos 1x x ωω=++， 2sin 16x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x的周期为，所以23 23πωπ==，()2sin316f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭因为0,3xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k=+恰有两个不同的零点，所以0,3xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k=-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k==-的图象如图所示：由图象可知：23k≤-<，即2k-3<≤-，所以实数k的取值范围是(3,2]--，故答案为：(3,2]--【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．14．【分析】由已知分别求得再由展开两角差的正弦得答案【详解】解：∵∴∴∴又∴则故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数间的关系正弦的差角公式给值求值型的问题属于中档题解析：429【分析】由已知分别求得cosα，()sinαβ+，再由()sin sinβαβα=+-⎡⎤⎣⎦，展开两角差的正弦得答案.【详解】解：∵sin 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1cos 3α==， ∴,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0,αβπ+∈，又()1cos 3αβ+=-，∴()sin 3αβ+==. 则()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦1133339⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭.故答案为：9. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，正弦的差角公式，给值求值型的问题，属于中档题.15．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<，则02πβ>->-，所以02παβ<-<，所以sin α==，()sin αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---131147=-==故答案为：2【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++ ∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 12e ，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题 解析：511-【分析】易得函数周期为4，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数为奇函数可得222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由01x 时，()21xf x =-即可求解 【详解】()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 又222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，[]216log 0,111∈， 则216log 112165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：511- 【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题18．5或【分析】利用重心的性质把AG 用AMAN 表示再由MGN 三点共线得关于的方程再由三角形面积比得关于的另一方程联立即可求得实数入的值【详解】如图设因为G 为的重心所以因为三点共线所以即①②由①②解得或故解析：5或54【分析】利用重心的性质，把AG 用AM 、AN 表示，再由M ，G ，N 三点共线得关于,u λ的方程，再由三角形面积比得关于,u λ的另一方程，联立即可求得实数入的值. 【详解】 如图，设AN AC μ→→=， 因为G 为ABC 的重心， 所以11111(1)3333AG AB AC AM AN λμ=+=++，因为,,M G N三点共线，所以111(1)133λμ++=，即112uλ+=①，5425ABCAMNSS∆∆=，1sin542125sin2AB AC AAM AN A⋅⋅∴=⋅⋅，1154(1)25uλ∴+⋅=②，由①②解得，559uλ=⎧⎪⎨=⎪⎩或5456uλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故答案为：5或54【点睛】关键点点睛：根据重心及三点共线可求出λ和u的关系，再根据三角形的面积比得出λ和u的另一关系，联立方程求解是关键，属于中档题.19．【分析】以A为原点AC所在直线为x轴建系如图所示根据题意可得ABC 坐标设可得的坐标根据数量积公式可得的表达式即可求得答案【详解】以A为原点AC所在直线为x轴建立坐标系如图所示：因为所以设则所以=当时解析：283-【分析】以A为原点，AC所在直线为x轴，建系，如图所示，根据题意，可得A、B、C坐标，设(,)M x y，可得,,MA MB MC的坐标，根据数量积公式，可得w的表达式，即可求得答案.【详解】以A为原点，AC所在直线为x轴，建立坐标系，如图所示：因为2AB =，AC =135BAC ∠=︒， 所以(0,0),(2,2),(32,0)A B C -，设(,)M x y ，则(,),(2,2),(32,)MA x y MB x y MC x y =--=---=--， 所以()(w MA MB MB MC MC MA x x y y =⋅+⋅+⋅=++2)(((x x y y x x y -++-+=2222283363()3()333x y x y -+--=-+--，当,33x y ==时，w 有最小值，且为283-， 故答案为：283- 【点睛】解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.20．【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值可得结合图象求得该函数的最小正周期可得出再将点代入函数解析式求出的值即可求得该函数的解析式【详解】由图象可知从题图中可以看出从时是函数的半个周期则又得取所以解析：310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[]6,14x ∈ 【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得max min 2y y A -=，max min2y y b +=，结合图象求得该函数的最小正周期T ，可得出2Tπω=，再将点()10,20代入函数解析式，求出ϕ的值，即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知，max 30y =，min 10y =，max min 102y y A -∴==，max min202y y b +==， 从题图中可以看出，从614时是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期，则()214616T =⨯-=，28T ππω∴==. 又10228k πϕππ⨯+=+，k Z ∈，得()324k k Z πϕπ=+∈，取34πϕ=， 所以310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[]6,14x ∈．故答案为：310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[]6,14x ∈． 【点睛】本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．答案见解析 【分析】选条件①，则根据三角函数定义得cosα=，sin α=，进而根据二倍角公式得3cos25α=-，4sin 25α=，再结合余弦的和角公式求解即可；选条件②，由三角函数单位圆的定义得1cos 3α=，sin 3α=，进而根据二倍角公式得7cos 29α=-，sin 2α=，再结合余弦的和角公式求解即可； 选条件③，由二倍角公式得222sin 42tan 22cos 22sin 212tan 2ααααα==--，并结合题意得1tan 22α=，故cos 2α=，sin 2α=【详解】解：方案一：选条件①. 由题意可知2cos ||OM α===4sin ||OM α===. 所以23cos 22cos 15αα=-=-，4sin 22sin cos 5ααα==.所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭314525=-⨯-= 方案二：选条件②.因为角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13，所以1cos 3α=，sin 3α==.所以27cos 22cos 19αα=-=-，sin 22sin cos ααα==所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭7192=-⨯-718+=-. 方案三：选条件③.22222sin 42sin 2cos 22tan 22cos 22sin 2cos 22sin 212tan 2ααααααααα===---， 结合2α为锐角，解得1tan 22α=， 所以cos 2α=，sin 2α=. 所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭122=10=. 【点睛】本题解题的关键在于根据三角函数的定义求得cos ,sin αα，进而根据三角恒等变换求解，考查运算求解能力，是基础题.22．（1）1ω=，单调递增区间为2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2）(2]. 【分析】（1）化简得()2cos 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据最小正周期得1ω=，进而整体代换求解得()f x 的单调递增区间为2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦； （2）根据题意得()2cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由于70,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故52336x πππ-<-<，故cos 2123x π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，()2g x <≤，进而得函数值域. 【详解】（1）因为2()2cos sin 1(0)2f x x x x πωωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭22cos 1cos x x x ωωω=--cos 22x x ωω=-12cos 2222x x ωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以2|2|T πππωω===，即1ω=， ()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222()3k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得2()36k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 所以()f x 的单调递增区间为2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦. （2）()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移3π个单位得到()2cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当70,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52336x πππ-<-<，所以cos 2123x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，()2g x <≤，所以函数()y g x =的值域为(2⎤⎦. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，三角函数的性质等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据三角恒等变换化简得函数()2cos 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而根据三角函数的性质求解.23．（1）32；（2）1t =-，31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】 （1）对27a b +=进行平方，利用数量积公式可求得b ；（2）根据向量坐标运算的夹角公式可求得t ，设单位向量e 的坐标根据模长和共线可得答案. 【详解】（1）向量a ，b 的夹角是23π，由27a b +=得()()()22222224144cos73a b a b a b b b π+=++⋅=++=， 解得32b =，1b =-舍去，所以32b =. （2）()2,0a =，(),3b t =，由向量a ，b 的夹角是23π得221cos 322ta bπ===-⨯⨯，解得1t =-，1t =舍去，因为(2,3)(3,a b t -=--=，设单位向量(,)e x y =，所以221x y +=，又e 与a b -共线，所以3y =，求得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了向量的数量积、夹角、模长的运算，考查了向量的坐标运算及单位向量. 24．（Ⅰ）32- ；（Ⅱ）1. 【分析】(I ）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算； (II ）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值. 【详解】（Ⅰ）()AB BCAB AC AB →→→→→⋅=⋅-213122AB AC AB →→→=⋅-=--=-.（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B ，1(2C -. 设(cos ,sin )P θθ，[0,]3θ2π∈，由AP x AB y AC →→→=+， 得13(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ=+-. 所以3cos ,sin 22y x y θθ=-=. 所以3cos sin 3x θθ=+，33y θ=， 2232311cos sin 2cos 2333xy θθθθθ+=+- 2311(2cos 2)3223θθ=-+ 21sin(2)363πθ=-+， 因为2[0,]3πθ∈，72[,]666πππθ-∈-. 所以，当262ππθ-=，即3πθ=时，xy 的最大值为1.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于中档题．25．（1）=1ω，对称中心是(,0),82k k Z ππ-+∈，（2）1524ω≤≤【分析】（1）先对函数化简变形得(22+4f x x πω（），由函数的周期为π，得=1ω，再由2+=4x k ππ，可求出对称中心的横坐标，进而可得对称中心；（2）由题意得到()2)24g x x ωππω=++，由0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得424244x ωππωπππωωπ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，，而y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以可得322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，从而可求出ω的取值范围 【详解】解：（1）()sin 2+cos 22+4f x x x x πωωω=（），()f x 的最小正周期是π，2==12ππωω∴∴，此时()2+4f x x π=（），令2+=4x k ππ，得,82k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心是(,0),82k k Z ππ-+∈. （2）由题知())24g x x ωππω=++， 0,4824244x x πωππωπππωωπ⎡⎤⎡⎤∈∴++∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，又()y g x =在08π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤∴++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，即32154242,242242k k k k Z k ππωππωωππππ⎧+≤+⎪⎪⇒+≤≤+∈⎨⎪+≥+⎪⎩， 150,24ωω>∴≤≤【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的图像和性质，第2问解题的关键是求出424244x ωππωπππωωπ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，，再由y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，从而可求出ω的取值范围，属于中档题26．（1）最小正周期为π，对称性ππ28k x =-，Z k ∈；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用函数siny A =()x ωϕ+的周期性和对称性，求得()f x 的最小正周期和对称轴.（2）利用五点法作图，结合题意即可列表，进而作出函数的一个周期内的图象. 【详解】解：（1）∵()3π2sin 24⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ，故它的最小正周期为2ππ2=， 令3ππ2π42x k +=+，Z k ∈， ππ28k x =-，Z k ∈（2）由题意可得表格如下：x38π-8π-8π 38π 58π 3π24u x =+0 2π π32π 2π()f x22-【点睛】本题考查求正弦型函数的周期与对称性，考查“五点法”画图，掌握正弦函数的性质是解题关键．。
陕西省西安市高新一中19-20学年高一上学期期末数学试卷 (含答案解析)
陕西省西安市高新一中19-20学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={a,0}，N={1,2}且M∩N={2}，那么M∪N=()A. {a,0，1，2}B. {1,0，1，2}C. {2,0，1，2}D. {0,1，2}2.已知函数y=x2−2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A. [1,+∞)B. [0,2]C. [1,2]D. (−∞,2]3.已知α为第二象限角，sinα+cosα=√33，则cos2α=()A. −√53B. −√59C. √59D. √534.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别是()A. ω=2，φ=π4B. ω=2，φ=−π4C. ω=12，φ=π8D. ω=12，φ=−π85.已知函数f(x)在[3,+∞)上单调递减，且f(x+3)是偶函数，则a=f(log32)，b=f(30.5)，c=f(log264)的大小关系是()A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>aD. b>a>c6.将函数y=cos(x−π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π3个单位，所得函数的一条对称轴为()A. x=π4B. x=π3C. x=π2D. x=π7.函数y=2sin(π3−2x)的单调递增区间是()A. [kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z) B. [kπ+5π12,kπ+11π12](k∈Z)C. [kπ−π3,kπ+π6](k∈Z) D. [kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z)8.幂函数y=x a，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图).设点A(l,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x a，y=x b的图象三等分，即有BM =MN =NA.那么a −1b =( )A. 0B. 1C. 12D. 29. 已知函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)，若f (x )在[0,2π3]上恰有两个零点，则ω的取值范围是( )A. (1,52)B. [1,52)C. (52,4)D. [52,4)10. 若函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图象关于直线x =π6对称，则φ的值为( )A. π6B. π4C. π3D. 2π3二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11. 已知集合A =[3,9),B =[a,+∞).若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________． 12. 在△ABC 中，已知asinA =2bcosAcosC +2ccosAcosB ，则__________．13. 设α为锐角，若cos (α+π6)=45，则sin (2α+π12)的值为_______．14. 若关于x 的方程mx 2+(2m +1)x +m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分） 15. 化简求值：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512(2)12lg25+lg2+(13)log 32−log 29×log 32.16. 已知函数f(x)=(sinx −cosx) 2+m ，x ∈R ．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)的最大值为3，求m 的值．17.已知f(x)=2cos x2(√3sin x2+cos x2)−1，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期；(2)设α、β∈(0,π2)，f(α)=2，f(β)=85，求f(α+β)的值．18.已知sin x2−2cos x2=0．(1)求tanx的值；(2)求22√2(√22cosx−√22sinx)sinx的值．19.已知函数f(x)在(−1,1)上有定义，f(12)=−1，当且仅当0<x<1时，f(x)<0，且对于任意x,y∈(−1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，试证明：①f(x)是奇函数；②f(x)在(−1,1)上单调递减。
北师大版高中数学必修四第一学期高一年级期末考试.docx
鑫达捷南昌市2013—2014学年度第一学期高一年级期末考试数学（甲卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内）1．已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin α的值等于A ．35-B ．35C ．45D ．45-2．若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ=A.53 B. 53- C. 54 D. 54- 3．已知扇形的弧长8，半径是4，则扇形的中心角的弧度数是A ．1B ．2C ．12或2 D ．124．若函数()2sin(2)4f x x π=+，则它的图象的一个对称中心为A ．(,0)8π-B. (,0)8π C ．()0,0 D. (,0)4π- 5．已知函数()2f x x b =-的零点为0x ，且()01,1x ∈-，那么b 的取值范围是A ．()2,2-B ．()1,1-C ．11(,)22- D ．()1,0- 6．为了得到函数sin(2)6y x π=+的图象，可以将函数sin(2)3y x π=+的图象 A.向左平移12π个单位 B.向左平移6π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向右平移6π个单位7．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数][x y =（][x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为A ．]10[x y = B ．]102[+=x y C ．]103[+=x y D ．]104[+=x y 8．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 的递增区间是A ．]65,3[ππB ．],3[ππC ．]127,12[ππ D ．]3,6[ππ-9. 若)10lg(tan x =α，)1lg(tan x =β，且4πβα=+，则实数x 的值为A ．1B. 1或110C ．110D ．1或10鑫达捷座 位 号题号 得分 一 二 三 总分10.已知函数)(x f y =是)1,1(-上的偶函数，且在区间)0,1(-是单调递增的，C B A ,,是锐角 三角形ABC 的三个内角，则下列不等式中一定成立的是A ．)(cos )(sin A f A f >B ．)(cos )(sin B fC f > C ．)(cos )(sin B f A f >D ．)(sin )(cos B f C f > 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填空在答卷上） 11．cos36cos6sin36sin 6o o o o += 12．若2tan =α，则ααααcos 3sin 2cos sin -+=13. 若x x f cos )(=，则)211()21(--+f f =______14．1tan ,1cos ,1sin 的大小关系是15．若m x x f ++=)sin(2)(ϕω，对任意实数t 都有)8()8(t f t f -=+ππ，且3)8(-=πf ，则实数m 的值等于______三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分8分）计算：化简：020(13)1sin 15-17. （本小题满分10分）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数10log 52Qv =，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量． (1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 18．（本小题满分10分）已知函数()sin()f x A x ωφ=+(0,0,)22A ππωφ>>-<<一个周期的图象如图所示． （1）求函数()f x 的表达式； （2）若24()()325f f παα+-=，且α为△ABC 的一个内角，求sin cos αα+的值．19．（本小题满分10分）已知2()2sin cos 33f x x x x =⋅-+（1）求)4(πf 的值； （2）若1310)(=αf ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππα,2，求α2sin 的值． 题目 12345678910答案鑫达捷20．（本小题满分12分） 已知()12sin f θθ=-，2()34cos g θθ=-．记()()()F a f b g θθθ=⋅+⋅（其中,a b 都为常数，且0b >）．（1）若4=a ，1=b ，求()F θ的最大值及此时的θ值； （2）若[0,]2πθ∈，证明：()F θ的最大值是|2|b a b -+；2013—2014学年度第一学期南昌市高一年级期末考试数学（甲卷）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填写在横线上）12．3； 13. 0； 14. cos1sin1tan1<<； 15．5m =-或1m =- 三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．解：原式=0012(=……………………………………………………4分0002sin 45cos15cos15==……………………………………………………………………8分 17．解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10， 即燕子静止时的耗氧量为10个单位．…………………………5分(2)将耗氧量Q ＝80代入公式得 v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)，…………………………9分即当一只燕子耗氧量为80个单位时，它的飞行速度为15m/s. ……………………………10分 18．解：（1）从图知，函数的最大值为1，则A=1．………………………………………1分 函数f （x ）的周期为4()126T πππ=⨯+=．所以ω=2………………………………………2分又6x π=-时，0y =。
2023-2024学年陕西省西安市高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年陕西省西安市高一上册期末数学试题一、单选题1．“,k k αβ=π+∈Z ”是“tan tan αβ=”成立的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B由题意分别考查充分性和必要性即可求得最终结果.【详解】当tan tan αβ=时，一定有,k k αβ=π+∈Z ，即必要性满足；当3,22ππαβ==时，其正切值不存在，所以不满足充分性；所以“,k k αβ=π+∈Z ”是“tan tan αβ=”成立的必要不充分条件，故选：B.关键点点睛：该题主要考查的是有关充分必要条件的判断，正确解题的关键是要注意正切值不存在的情况.2．若110a b<<，则下列不等式中，正确的是（）A ．a b <B ．22a b >C ．a b ab +<D ．11a b a b-<-【正确答案】C【分析】利用不等式的基本性质判断.【详解】由110a b <<，得110,0,0a b a b abb a <<--=<，即0b a <<，故A 错误；则0b a ->->，则()()22b a ->-，即22a b <，故B 错误；则0a b +<，0ab >，所以a b ab +<，故C 正确；则11b a -<-，所以11b a b a-<-，故D 错误；故选：C3．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（）A ．y =B ．211x y x +=-C ．121xy =-D ．lg 10xy =【正确答案】D【分析】求出各选项中函数的定义域与值域，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数y =[)1,+∞，值域为[)0,∞+；对于B 选项，函数()2132132111x x y x x x -++===+---，定义域为{}1x x ≠，值域为{}2y y ≠；对于C 选项，对于函数121x y =-，有210x -≠，可得0x ≠，该函数的定义域为{}0x x ≠，当0x <时，021x <<，则1210x -<-<，此时1121xy =<--，当0x >时，21x >，则210x ->，1021x y =>-，故函数121xy =-的值域为()(),10,-∞-⋃+∞；对于D 选项，函数lg 10x y x ==的定义域为()0,∞+，值域也为()0,∞+.故选：D.4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()22xy x x R =-∈的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】先研究函数的奇偶性，排除选项BD ，再通过计算(0)10=>f 确定答案.【详解】解：设()222()2()22()xxx f x x x R f x x x f x -=-∈∴-=-=-=，，所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项BD.当0x =时，02(0)2010=-=>f ，所以排除C ，选择A.故选：A5．已知点()tan ,sin P θθ是第三象限的点，则θ的终边位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】根据三角函数在各象限的符号即可求出．【详解】因为点()tan ,sin P θθ是第三象限的点，所以tan 0sin 0θθ<⎧⎨<⎩，故θ的终边位于第四象限．故选：D ．6．已知函数()()log 8a f x ax =-满足1a >，若()1f x >在区间[]1,2上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()4,+∞B ．8,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()81,4,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】首先判断函数的单调性，依题意()21f >恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为()()log 8a f x ax =-且1a >，又8y ax =-单调递减，log a y x =在定义域上单调递增，所以()()log 8a f x ax =-在定义域上单调递减，因为()1f x >在区间[]1,2上恒成立，所以()()2log 821log a a f a a =->=恒成立，所以821a a a ->⎧⎨>⎩，解得813a <<，即81,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；故选：C7．设21log 3a =，0.412b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.513c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．a b c<<D ．b a c<<【正确答案】B【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、幂函数的单调性比较即可求解.【详解】2log y x = 是增函数，221log log 103a ∴=<=，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，0.5y x =在(0,)+∞上是增函数，0.40.50.51110223b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=>>=> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a c b∴<<故选：B8．已知函数()2020sin ,01log ,1x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是（）A ．()1,2020B ．()1,2021C ．()2,2021D ．[2]2021,【正确答案】C在同一个坐标系内作出()y f x =和y=m ,根据有三个交点，判断0<m <1，分析出a b c ++的范围.【详解】如图示，由sin x π的图像关于12x =对称，知1a b +=，而由()2020log 01c m m =<<，得：12020c <<，所以22021a b c <++<.故选：C已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．二、多选题9．下列各式中，值可取1的是（）A ．22cos 15sin 15-B ．2sin cos()3x x π-C ．1sin cos cos sin 662ππ⎛⎫⎛⎫+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x D ．tan10tan 35tan10tan 35++ 【正确答案】BD【分析】利用余弦的二倍角公式化简可判断A ；由两角和与差的正弦公式化简可判断BC ；.由正切的两角和的展开公式化简可判断D.【详解】22cos 15sin 15cos 30-==，故A错误；212sin cos 2sin cos sin cos 32⎛⎫π⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x x x xx 11sin 2cos 2sin 222232π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭x x x ，由1sin 213π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭x得1sin 213π⎛⎫--++ ⎪⎝⎭x 可得B 正确；.11sin cos cos sin sin 066262πππ⎛⎫⎛⎫+-++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x ，故C 错误；()tan10tan 35tan10tan 35tan 451tan10tan 35tan10tan 351++=-+=，故D 正确.故选：BD.10．下列结论正确的是（）A ．若0,0a b >>，则2112a b a b +≤+B ．函数2πsin ((0,))sin 2y x x x =-∈的最小值为C ．函数222023()log (1)f x mx m x m ⎡⎤=-++⎣⎦的值域为R ，则实数m 的取值范围是RD ．若函数27()f x x -=，则()f x 在区间(,0)-∞上单调递增.【正确答案】ACD【分析】A 选项利用差比较法判断；B 选项利用换元法以及函数的单调性进行判断；C 选项利用判别式进行判断；D 选项根据幂函数的单调性进行判断.【详解】A 选项，0a >，0b >，()()242211222a b aba b a b ab a b a b a b+-++-=-=+++()()22a b a b -=≥+，当且仅当a b =时等号成立，所以2112a ba b+≤+，故A 选项正确.B 选项，令πsin ,0,2t x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()0,1t ∈，函数2y t t=-在区间()0,1上递增，没有最小值.所以B 选项错误.C 选项，函数222023()log (1)f x mx m x m ⎡⎤=-++⎣⎦的值域为R ，当0m =时，()()2023log f x x =-，值域为R ，符合题意.当0m ≠时，()()2222422142110m m m m m ∆=+-=-+=-≥，所以()f x 的值域为R ，符合题意.综上所述，实数m 的取值范围是R ，C 选项正确.D选项，函数27271)(f xx x-==={}|0x x ≠，()()f x f x -===，()f x 是偶函数，在()0,∞+上递减，所以在区间(,0)-∞上单调递增，D 选项正确.故选：ACD11．已知函数()()23log 2f x x x =-，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的单调递增区间是[)1,+∞B ．函数()f x 的值域是RC ．函数()f x 的图象关于1x =对称D ．不等式()1f x <的解集是()1,3-【正确答案】BC【分析】根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.【详解】对A ：令220x x ->，解得2x >或0x <，故()f x 的定义域为()(),02,I ∞∞=-⋃+，∵3log y u =在定义域内单调递增，22u x x =-在(),0∞-上单调递减，在()2,∞+上单调递增，故()f x 在(),0∞-上单调递减，在()2,∞+上单调递增，A 错误；对B ：∵()222111x x x -=--≥-，即22y x x =-的值域[)1,M =-+∞，∵()0,M +∞⊆，故函数()f x 的值域是R ，B 正确；对C ：∵()()()()()32232log 222log 2f x x x x x f x ⎡⎤-=---=⎣-=⎦，即()()2=f x f x -，故函数()f x 的图象关于1x =对称，C 正确；对D ：()()233log 21log 3f x x x =-<=，且3log y x =在定义域内单调递增，可得2023x x <-<，解得23x <<或10x -<<，故不等式()1f x <的解集是()()1,02,3- ，D 错误.故选：BC.12．已知函数()2|1|22x a f x x x +=+++，R a ∈，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 图象为轴对称图形B ．函数()f x 在(),1-∞-单调递减C ．存在实数m ，使得()f x m =有三个不同的解D ．存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),20,-∞-+∞ 【正确答案】ABD【分析】根据函数的对称性、单调性、方程的解、不等式的解等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】()()212|1|22121x x x f x x a x a ++=+++=+++-，()2121x f x x a -+=++-，()()21211x f x x a f x --=++-=-+，所以()f x 的图象关于直线=1x -对称，A 选项正确.由于函数()21y x =+在区间(),1-∞-上递减，12x y +=在区间(),1-∞-上递减，所以函数()()21121x x x a f +=+++-在(),1-∞-单调递减，B 选项正确.由上述分析可知：()f x 的图象关于直线=1x -对称，()f x 在区间(),1-∞-上递减，在区间()1,-+∞上递增，所以不存在实数m 使得()f x m =有三个不同的解，C 选项错误.有上述分析可知：()f x 的图象关于直线=1x -对称，()f x 在区间(),1-∞-上递减，在区间()1,-+∞上递增，令()()112121501215f a f a ⎧-=++-=⎪⎨=++-=⎪⎩，解得3a =，此时不等式()5f x ≥的解集为(][),20,-∞-+∞ ，D 选项正确.故选：ABD 三、填空题13．已知命题p ：2R,0x x ax a ∃∈-+<，若命题P 为假命题，则实数a 的取值范围是___．【正确答案】[0，4]【分析】命题P 为假命题，则p ⌝为真命题，进而求出a 的范围.【详解】根据题意，2R,0x x ax a ∀∈-+≥恒成立，所以[]2Δ400,4a a a =-≤⇒∈.故答案为.[]0,414．已知函数πtan (0)6y ax a ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的最小正周期为π2，则a 的值为___________.【正确答案】2±【分析】根据正切型三角函数确定最小正周期的表达式，即可求a 的值.【详解】解：函数πtan (0)6y ax a ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的最小正周期为ππ2a =，所以2a =±.故答案为.2±15．已知α，β满足π04α<<，π4π34β<<，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π12sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ-=______．【正确答案】5665-【分析】根据题意得到,ππs o 4s 4in c αβ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，然后由正弦的和差角公式，代入计算即可得到结果.【详解】因为π04α<<，则πππ442α<+<，因为π4π34β<<，则πππ24β<+<，所以445πsin α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5413πcos β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()ππsin sin 44αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππcos cos sin 444sin 4αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭453125651351365⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭故答案为:5665-16．定义{}max ,a b 为a ，b 中的最大值，函数(){}1max 2,2x f x x -=-的最小值为c ，如果函数()()321,4,x m x x cg x m x c ⎧-+≥⎪=⎨⎪<⎩在R 上单调递减，则实数m 的取值范围为___________．【正确答案】10,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据图象，将函数()f x 写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得c 的值，进而可得()()321,14,1x m x x g x m x ⎧-+≥⎪=⎨⎪<⎩，由减函数的定义可得()()210013214m m m m⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-+≤⎩＜＜＜，解得m 的范围，即可得答案．【详解】由题意，在同一坐标系下画出12,2x y y x -==-的图象，可知()12,12,1x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩，且(1)1c f ==则()()321,1g 4,1x m x x x m x ⎧-+≥⎪=⎨⎪<⎩，因为()g x 为减函数，必有()()210013214m m m m⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-+≤⎩＜＜＜，解可得：104m ≤＜，即m 的取值范围为10,4⎛⎤ ⎝⎦；故答案为10,4⎛⎤⎥⎝⎦．四、解答题17．计算下列各式的值．(1)121log 210.12lg5112log log 2+-．(2)()sin501⋅．【正确答案】(1)2(2)1【分析】（1）利用指数幂的运算法则、对数恒等式及对数运算性质，化简求解；（2）利用同角关系式、辅助角公式得到2sin40sin50cos10⋅，再利用诱导公式及二倍角公式，化简求解．【详解】（1）解：121log 210.12lg5112log log 2+-，()1211log 22lg51212log lg2=+++，l lg5g 12++=，2=；（2）()sin501⋅，sin501cos10⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭，sin50=⋅⎝⎭，2sin40sin50cos10=⋅，2sin40cos40cos10=，sin80cos101cos10cos10===．18．已知(),0,a b ∈+∞，函数()2f x ax x b =-+的一个零点为1.(1)求41a a b++的最小值；(2)解x 关于的不等式()0f x ≤【正确答案】(1)10(2)见解析【分析】（1）根据函数零点可得1a b +=，又(),0,a b ∈+∞，结合基本不等式即可求得41a a b++的最小值；（2）解含参一元二次不等式不等式，由方程()0f x =的两根11x =，21ax a-=，比较两根大小，即可求得不等式的解集.【详解】（1）函数()2f x ax x b =-+的一个零点为1，得()10f =即1a b +=，又(),0,a b ∈+∞，所以()414141411141610a b a a b a b a b a b a b +⎛⎫+=++=+++=++++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即23a =，13b =时取等号，所以41a a b++的最小值为10；（2）由()0f x ≤整理得()()110x ax a ⎡⎤---≤⎣⎦，因为(),0,a b ∈+∞，方程()0f x =的两根11x =，21a x a-=①当12a =时，原不等式为()210x -≤，则其解集为{}1；②当112a <<时，则11a a -<，所以不等式的解集为1,1a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③当102a <<时，则11a a ->，原不等式的解集为11,a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19．某同学用“五点法”作函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：x ωϕ+02ππ32π2πx12π712π()sin A x ωϕ+02-(1)根据上表数据，直接写出函数()f x 的解析式，并求函数的最小正周期和()f x 在[]0,2π上的单调递减区间.(2)求()f x 在区间2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【正确答案】(1)答案见解析(2)2-【分析】（1）直接利用五点法的应用求出函数的关系式；（2）利用（1）的结论,进一步利用函数的定义域求出函数的值域,进一步求出最大值和最小值.【详解】（1）根据五点法的表格，所以()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期22T ππ==令3222232k x k πππππ+≤+≤+，Z k ∈解之得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈又[]0,2x π∈，所以71212x ππ≤≤或13191212x ππ≤≤即()f x 在[]0,2π上的单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎣⎦，1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）由于203x π-≤≤所以233x πππ-+≤≤所以1sin 23x π⎛⎫-≤+⎪⎝⎭所以22sin 23x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭当232x ππ+=-即512x π=-时，函数()f x 的最小值为2-;当233x ππ+=即0x =20．设()2cos sin cos 1f x x x x =++．（1）求使不等式()32f x ≥成立的x 的取值集合；（2）先将()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移4π个单位；最后向下平移32个单位得到函数()h x 的图象．若不等式()21cos 03h x x m +->在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；（2）13m ≤．【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得()3sin 2242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因此()32f x ≥等价于sin 204x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质可求不等式的解集.（2）根据图象变换可得()2h x x =，从而原不等式可化为2111cos cos 232x x m -++>在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，换元后利用二次函数的性质可求m 的取值范围.【详解】解.()cos 2111133sin 21sin 2cos 2sin 222222242x f x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭（1）()32f x ≥即：332sin 2024224x x ππ⎛⎫⎛⎫++≥⇔+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3222488k x k k x k k Z ππππππππ⇔≤+≤+⇔-+≤≤+∈，所以原不等式的解集为.3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭（2）()32242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变,得3sin 242y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；再向右平移4π个单位，得32y x =+；最后向下平移32个单位得到函数()2h x x =，∴()222111111cos sin cos cos cos 323232h x x x x x x +=+=-++.设cos t x =，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得：()0,1t ∈，则原不等式等价于：2111232t t m -++>在()0,1上恒成立；设()2111232g t t t =-++，()0,1t ∈，则()g t 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，所以()()113g t g >=，所以13m ≤．形如()22sin sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()sin 2f x A x B ωϕ''=++的形式，再根据正弦函数的性质求与()f x 相关的不等式或方程的求解问题．另外，含cos x 的二次式的恒成立问题，常通过换元转化为一元二次不等式在相应范围上的恒成立问题.21．在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x 千件需另投入成本()C x ，当年产量不足60千件时，()21102C x x x =+（万元），当年产量不小于60千件时，()6400511000C x x x=+-（万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完．(1)写出利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？【正确答案】(1)()2140200,0602,1000N 6400800,60x x x L x x x x x *⎧-+-≤<⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)当年产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.【分析】（1）分060x ≤<、60x ≥两种情况讨论，结合利润=销售收入-成本，可得出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）利用二次函数的基本性质、基本不等式可求得函数()L x 的最大值及其对应的x 值，由此可得出结论.【详解】（1）由题意可知()()50200L x x C x =-+⎡⎤⎣⎦，当060x ≤<时，()221110200402500220L x x x x x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭=-，当60x ≥时，()6400640050511000200800L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故有()2140200,0602,1000N 6400800,60x x x L x x x x x *⎧-+-≤<⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当060x ≤<时，()()21406006002L x x =-⋅-+≤，即40x =时，max 600y =，当60x ≥时，有()6400800800640L x x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭=-+-=，当且仅当80x =时，max 640y =,因为640600>，所以80x =时，max 640y =，答：当产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.22．已知a ∈R ，函数()()22log f x x x a =++(1)若函数()f x 过点()1,1，求此时函数()f x 的解析式；(2)设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.【正确答案】(1)()()22log f x x x =+(2)94a ≥【分析】（1）将点()1,1代入()()22log f x x x a =++可求出a ，进而得到解析式；（2）由复合函数的单调性知()()22log f x x x a =++在区间[],1t t +上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由已知得到问题的等价不等式22t t a -++≤对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.【详解】（1）解：因为函数()f x 过点()1,1，即()()21log 21f a =+=，解得0a =，故()()22log f x x x =+；（2）因为()()22log f x x x a =++是复合函数，设2()u x x x a =++，()2log ()f x u x =，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2()u x x x a ∴=++在区间[],1t t +单调递增，()2log ()f x u x =单调递增，故函数()f x 在区间[],1t t +上单调递增，()()()()2222min max ()log ,(1)log 32f x f t t t a f x f t t t a ∴==++=+=+++，由题意(1)()1f t f t +-≤对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即()()2222log 32log 1t t a t t a +++-++≤对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即2232222t t a t t a +++≤++对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即22t t a -++≤对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，设2()2g t t t =-++，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，只需max ()g t a ≤即可，因为2()2g t t t =-++的对称轴为12t =，图像是开口向下的抛物线，故2()2g t t t =-++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故max 19()()24g t g ==，故94a ≥.。
北师大高一数学必修四测试题附标准答案
必修1第四章石油中学 席静一、选择题 1已知)(x f 唯一地零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误地（） A 函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B 函数)(x f 在(3,5)内无零点 C 函数)(x f 在(2,5)内有零点 D 函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点 2求函数132)(3+-=x x x f 零点地个数为（） A 1B C 3 D 4 3已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （） A 有且仅有一个根 B 至多有一个根 C 至少有一个根D 以上结论都不对 4如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同地零点，则m 地取值范围是（ ） A ()6,2- B []6,2- C {}6,2- D )(),26,-∞-+∞ 5若函数)(x f y =在区间[],a b 上地图象为连续不断地一条曲线，则下列说法正确地是（） A 若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B 若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； C 若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D 若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； 6方程0lg =-x x 根地个数为（） A 无穷多 B 3 C 1D 0 7若1x 是方程lg 3x x +=地解，2x 是310=+x x 地解，则21x x +地值为（）A 23B 32CD 31 8设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解地过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程地根落在区间（ ） A (1,1.25) B (1.25,1.5) C (1.5,2) D 不能确定 9下列函数均有零点，其中不能用二分法求近似解地是（ ）．10函数2-=x y 在区间]2,21[上地最大值是（ ） A 41B 1-C D 4- 11直线3y =与函数26y x x =-地图象地交点个数为（ ） A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 12若方程0x a x a --=有两个实数解，则a 地取值范围是（ ）A (1,)+∞B (0,1)C (0,2)D (0,)+∞ 二、填空题：13用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内地实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根地区间是 14设函数)(x f y =地图象在[],a b 上连续，若满足，方程0)(=x f在[],a b 上有实根. 15已知函数2()1f x x =-，则函数(1)f x -地零点是__________16函数()f x对一切实数x都满足11()()22f x f x+=-，并且方程()0f x=有三个实根，则这三个实根地和为17已知函数()f x地图象是连续不断地，有如下,()x f x对应值表：则函数()f x在区间有零点.18函数222()(1)(2)(23)f x x x x x=-+--地零点是（必须写全所有地）四、解答题：19．有一块长为20cm，宽为12cm地矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x地小正方形，然后折成一个无盖地盒子，写出这个盒子地体积V与边长x地函数关系式，并讨论这个函数地定义域.20．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a地取值范围．21、纳税是每个公民应尽地义务，从事经营活动地有关部门必须向政府税务部门交纳一定地营业税.某地区税务部门对餐饮业地征收标准如下表（1）写出每月征收地税金y（元）与营业额x（元）之间地函数关系式；（2）某饭店5月份地营业额是35000元，这个月该饭店应缴纳税金多少？22．某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品地最佳售价应为多少？命题意图本试卷意在考察学生对如下要求地掌握程度：1、正确认识函数与方程之间地关系，求0f地实数解就是求函数地零点.体x)(会函数地核心作用.2、能够利用函数地性质判断解地存在性.3、能够利用二分法求方程地近似解，认识求方程近似解方法地意义.4、尝试用函数刻画实际问题.通过研究函数地性质解决实际问题.通过体验数学建模地数学基本思想，能初步运用函数地思想和方法去理解和处理其他学科与现实生活中地简单问题.试卷结构：1——12题为单选试题，每题5分，共60分；13——18题为填空题，每题5分共30分；19——22题为解答题，共60分.全卷共10分，考试时间90分钟.答 案一、 选择题：1 C 唯一地零点必须在区间(1,3)，而不在[)3,52 C 332()2312212(1)(1)f x x x x x x x x x =-+=--+=---2(1)(221)x x x =-+-，22210x x +-=显然有两个实数根，共三个；3 B 可以有一个实数根，例如1y x =-，也可以没有实数根，例如2x y =4 D 24(3)0,6m m m ∆=-+>>或2m <-5 C 对于A 选项：可能存在；对于B 选项：必存在但不一定唯一6 C 作出123lg ,3,10x y x y x y ==-=地图象，23,y x y x =-= 交点横坐标为32，而123232x x +=⨯= 7 D 作出12lg ,y x y x ==地图象，发现它们没有交点8 B ()()1.5 1.250f f ⋅<9 C10 C 21,y x =]2,21[是函数地递减区间，max 12|4x y y === 11 A 作出图象，发现有4个交点12 A 作出图象，发现当1a >时，函数x y a =与函数y x a =+有2个交点二填空题：13..[2,2.5) 令33()25,(2)10,(2.5) 2.5100f x x x f f =--=-<=->14．()()0f a f b≤见课本地定理内容15．0,222(1)(1)120,0,f x x x x x-=--=-==或2x=16．32对称轴为12x=，可见12x=是一个实根，另两个根关于12x=对称17．.( -2, -1) (0,1) (5,6)18．. -2 -1,1,3四、解答题：19、V= x(20-2x)(12-2x)......6分定义域(0,6).............12分20．解：设f（x）=x2-2ax＋a，则方程f（x）=0地两个根α，β就是抛物线y=f （x）与x轴地两个交点地横坐标，如图0＜α＜1，β＞2地条件是：....7分＜1，β＞2．...............................................14分300 (0≤x≤1000)21.(1) y =0.04x+260 (x>1000)...........10分(2) 1660元...........................16分22．解：设最佳售价为(50)x+元，最大利润为y元，........3分(50)(50)(50)40y x x x=+---⨯240500x x=-++........................10分当20x=时，.............................13分y取得最大值900元，.........................16分所70元以应定价为..........................18分Zzz6Z版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.dvzfv。
陕西省西安市高新一中2022年高一上数学期末预测试题含解析
（3）方法一，设直线 ： ，与圆的方程联立，利用韦达定理表示 ，即可求解 ；方法二，设圆系方程，利用圆心在直线 ，以及圆经过原点，即可求解参数.
【小问1详解】
根据题意，设直线 的方程为：
联立直线与圆的方程并整理得：
所以 ， ，
从而，直线 的方程为： 或 ；
12、B
【解析】解：分别作出y=cosx，x∈（ ，3π）与y=m的图象，如图所示，结合图象可得则﹣1＜m＜0，故排除C，D，再分别令m=﹣ ，m=﹣ ，求出x1，x2，x3，验证x22=x1•x3是否成立；
【详解】解：分别作出y=cosx，x∈（ ，3π）与y=m的图象，如图所示，方程cosx=m在区间（ ，3π）上恰有三个解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则﹣1＜m＜0，故排除C，D，
则圆心坐标 ，圆心在直线 上，
得 ①
且该圆过原点，得 ②
由①②，求得 或
所以直线 的方程为： 或 .
18、（1） ；（2）
【解析】（1）用二次函数法求函数的最小值，要注意定义域，同时由于 不确定，要根据对称轴分类讨论
（2）首先用单调性定义证明 单调性，可将“函数 在区间 上是增函数”转化为恒成立问题求即可
则 ， ，
实数 的取值范围是 .
22、（1）点 的坐标为 ．（2）24
【解析】（1）先根据中点坐标公式以及直线垂直斜率的积等于 列方程组求出点 关于直线 的对称点 的坐标，根据两点式或点斜式可得直线 的方程，与角平分线 的方程联立可得顶点 的坐标；（2）根据两点间的距离公式可得 的值，再利用点到直线距离公式可得 到直线 ： 的距离，由三角形面积公式可得结果.
（2）利用两角和差的三角公式、二倍角公式，化简所给的式子，可得结果
陕西省西安高级中学2022-2022学年第一学期期末考试高一数学试题
陕西省西安高级中学2022-2022学年第一学期期末考试高一数学试题一、选择题(此题共10小题，每题4分，共40分) 1．设正方体的外表积为24，那么其内切球的体积是〔〕 A ．34πB ．π6C ．38πD ．332π 2．水平放置的△ABC 是按斜二测画法得到如下图的直观图，其中''''1B O C O ，''AO＝32，那么△ABC 是一个( )． A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边互不相等的三角形3．直线m 、n 与平面α、β给出以下三个结论：①假设m ∥α，n ∥α，那么m ∥n ；②假设m ∥α，n ⊥α，那么n ⊥m ；③假设m ⊥α，m ∥β，那么α⊥β． 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．空间直角坐标系中，点(3,4,0)A 与点(,1,6)B x 的距离为86，那么x 等于〔 )A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或2 5．过圆x 2＋y 2＝4上的一点(1，3)的圆的切线方程是( )A ．x ＋3y －4＝0 B.3x －y ＝0 C ．x ＋3y ＝0 D ．x －3y －4＝06．三视图如下图的几何体的全面积是( )． A ．2＋2B ．1＋2 C ．2＋3D ．1＋37．如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，那么以下结论中不成立的是( ) A ．EF 与BB 1垂直B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与A 1C 1异面8．两点A (－1,3)，B (3,1)，当C 在坐标轴上，假设∠ACB ＝90°，那么这样的点C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 9．假设直线1l ：(4)y k x 与直线2l 关于点(2,1)对称，那么直线2l 恒过定点( )A ． (0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)10．如果直线ax+by =4与圆C ：x 2+y 2=4有两个不同的交点，那么点〔a ，b 〕和圆C 的位置关系是 ( ) A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定 二、填空题(此题共5小题，每题4分，共20分)11．l 1：2x ＋my ＋1＝0与l 2：y ＝3x －1，假设两直线平行，那么m 的值为________． 12．如下图，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，那么图中互相垂直的平面有_________．13．圆C 的圆心在直线l ：210x y 上，并经过A(2, 1)、B(1, 2)两点，那么圆C 的标准方程.________．14．过点P (1，2)的直线l 将圆C ：(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k 为________．15．一个三棱锥S -ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为1，6，3，该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，那么这个球的外表积为_____． 三、解答题(此题共4小题，共40分)16．〔本小题总分值10分〕如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在的直线方程为220x y ，点C (2,0)．(1)求直线CD 的方程；(2)求AB 边上的高CE 所在的直线方程．17．〔本小题总分值10分〕如下图的四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点，求证： 〔1〕//PA 平面BDE ； 〔2〕平面PAC ⊥平面PBD . 18．〔本小题总分值10分〕如图，三棱锥V —ABC 中， VA=VB ＝AC=BC=2，AB ＝23，VC=1． 〔1〕证明： AB ⊥VC ；AB CDP EAＣＢＶ〔2〕求三棱锥V —ABC 的体积．19．〔本小题总分值10分〕在平面直角坐标系xoy 中，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)假设直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．陕西省西安高级中学2022-2022学年第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题：1、A 2. A3. C 4. C 5. A 6. A 7. D 8. C 9. B 10. A 二、填空题：11、23- 12、平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面ACD . 13、22(1)(1)13x y 14、215、16 三、解答题：16、解：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AB CD .∴2CD ABk k .∴直线CD 的方程为2(2)yx ，即240x y .(2)∵CEAB ，∴112CDABk k . ∴直线CE 的方程为y ＝－12(x －2)，即x ＋2y －2＝0.17、证明：〔1〕连结AC 交BD 于点O,连结OE. ∵四边形ABCD 是菱形，∴AO=CO.∵E 为PC 的中点，∴EO ∥PA 。
陕西省西安市第一中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
西安市第一中学2021-2022学年度高一第一学期期末考试高一数学试题命题人曾卫鹏一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．假如直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为()A．－3 B．－6 C ．－32 D.232、经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）A、0个B、1个C、很多个D、一个或很多个3．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )A．7 B．5 C．3 D．24、有下列说法：①梯形的四个顶点在同一个平面内；②三条平行直线必共面；③有三个公共点的两个平面必重合.其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.35、在如图所示的空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB,BC,CD,AD的中点，则图中共有多少对线面平行关系？答：（）A、2对B、4对C、6对D、8对6．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．相离B．外切C．内切D．相交7．已知点A(1，2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为()A．2 2 B．4 C．2 5 D．278、下列说法正确的是（）A、底面是正多边形，侧面都是正三角形的棱锥是正棱锥B、各个侧面都是正方形的棱柱肯定是正棱柱C、对角面是全等的矩形的直棱柱是长方体D、两底面为相像多边形，且其余各面均为梯形的多面体必为棱台9．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为()A．－3或7 B．－2或8 C．0或10 D．1或11 10、如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，线段11B D上有两个动点E，F，且22EF=，给出下列结论：（1）AC BE⊥；（2）//EF ABCD平面；（3）三棱锥A BEF-的体积为定值；（4）异面直线,AE BF所成的角为定值。
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西安高新一中2012-2013学年度第一学期期末考试
高一数学（必修四）试题 命题人：何招军
一：选择题（每小题5分，共50分） 1. 已知(3,0)AB =，那么AB 等于（ ）
A .2
B .3
C .4
D .5 2. 下列各组的两个向量，平行的是（ ）
A 、(2,3)a =-，(4,6)b =
B 、(1,2)a =-，
(7,14)b =
C 、(2,3)a =，(3,2)b =
D 、
(3,2)a =-，(6,4)b =- 3. AB BC AD +-=（ ）
A 、AD
B 、CD
C 、DB
D 、DC
4.已知(6,0)a =，(5,5)b =-，则a 与b 的夹角为（ ）
A 、045
B 、060
C 、0135
D 、0120
5.已知i ，j 都是单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A 、1i j ⋅=
B 、2
2
i j = C 、i ∥j i j ⇒= D 、
0i j ⋅= 6. 已知a =(1,－2),b =(1,x),若a ⊥b ,则x 等于 （ ）
A ．2
1 B.
2
1- C. 2 D. －2
7. sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）
A .
14 B C .1
2
D
8. 已知点O 为三角形ABC 所在平面内一点，若0=++OC OB OA ，
则点O 是三角形ABC 的 ( )
A ．重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心
9. 函数)4
21sin(2π
+=x y 的周期，振幅，初相分别是（ ）
A ．4
,2,4
ππ B ．4
,2,4ππ-- C ．4
,2,4ππ D ．4
,2,2ππ
10. 已知02A π
<<
，且3
cos 5
A =
，那么sin 2A 等于（ ）
A .425
B .725
C .1225
D .2425
11. 下列函数中，在区间[0,]2
π
上为减函数的是（ ）
A .cos y x =
B .sin y x =
C .tan y x =
D .sin()3
y x π
=-
12. 若tan 3α=，4
tan 3
β=
，则tan()αβ-等于（ ） A .3- B .3 C .13- D .1
3
二：填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知角α的终边经过点)12,5(-P ，则=α2cos 。
14. 已知2
1tan =
α，则ααααsin 4cos 3sin 3cos 2+-的值为_____.
15. 已知)8,7(A ，)5,3(B ，则向量AB 方向上的单位向量坐标是______.
16. 已知向量(3,2)=a ，(0,1)=-b ，那么向量3-b a 的坐标是_______.
三：解答题（每小题14分，共70分）
17..已知02πα<< ,4
sin 5
α=.
（1）求tan α的值；
（2）求cos 2sin()2
π
αα++的值.
18.已知非零向量a 、b 满足1=a ，且1
()()2
-=a b a +b ⋅.
（1）求b ；
（2）当1
2
a b =⋅时，求向量a 与b 的夹角θ的值.
19. 已知角x 的终边过点P （1，3）．
（1）求sin()sin()2x x ππ--+的值; （2）求sin()6x π
+的值．
20. 已知函数.3cos )4
cos()4sin(32sin )(22---+
+=x x x x x f π
π
（I ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间； （II ）求函数)(x f 在]32,
12[π
π-上的最大值和最小值并指出此时
相应的x 的值。
21.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)
（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底 （2）求|a －b |的取值范围
西安高新一中2012-2013学年度第一学期期末考试
高一数学（必修四）答题卡
二：填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知角α的终边经过点)12,5(-P ，则=α2cos 。
14. 已知2
1tan =
α，则ααααsin 4cos 3sin 3cos 2+-的值为_____.
15. 已知)8,7(A ，)5,3(B ，则向量AB 方向上的单位向量坐标是
______.
16. 已知向量(3,2)=a ，(0,1)=-b ，那么向量3-b a 的坐标是
_______.
三：解答题（每小题14分，共70分） 17. 已知02πα<< ,4
sin 5
α=.
（1）求tan α的值； （2）求cos 2sin()2π
αα++的值.
18.已知非零向量a 、b 满足1=a ，且1
()()2
-=a b a +b ⋅.
（1）求b ； （2）当1
2
a b =⋅时，求向量a 与b 的夹角θ的值.
19. 已知角x 的终边过点P （1，3）．
（1）求sin()sin()2x x ππ--+的值; （2）求sin()6x π+的值．
20. 已知函数
.3cos )4
cos()4sin(32sin )(22---+
+=x x x x x f π
π
（I ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间； （II ）求函数)(x f 在]3
2,12[π
π-上的最大值和最小值并指出此时
相应的x 的值。
21. 已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)
（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组
基底
（2）求|a －b |的取值范围
西安高新一中2012-2013学年度第一学期期末考试
高一数学（必修四）参考答案
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0 1
1 1
2
13 1
4 1
5 16
答案
A D
D
C
B
A B A
C D
A
D
)5
3,54(--
(3,5)
--
（1-16每小题5分，17-21每小题14分） 17. 解：（1）因为02π
α<<
，4sin 5α=
， 故3
cos 5
α=，所以34tan =α.
（2）23238
cos 2sin()12sin cos 1225525
παααα+-=-+=-+=.
18. 解：（1）因为1()()2-=a b a +b ⋅ ，即221
2
-=a b ，
所以22
1111222
=-=-=b a ，故22=b .
（2）因为cos θ=a b
a b ⋅=2
2，故45θ=.
19. 解：（1）∵角x 的终边过点P （1，3）,∴ 3sin x =
,1
cos 2
x =; ∴sin()sin()sin cos 2x x x x π
π--+=-=
2
1
3－. (2) 由(1)得2,3
x k k Z π
π=+∈ (8分) ,
(3)∴ 2,6
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈
∴sin(
)6x π
+=sin(2)2
k ππ+=sin 12π
= ．
20. 解：（I ）3cos )4
cos()4sin(32sin )(22---+
+=x x x x x f π
π
32cos )4
(sin 322--+
=x x π
x x 2cos 2sin 3-=
)6
2sin(2π
-=x
所以ππ
==2
2T 由)(2
326
22
2Z k k x k ∈+
≤-
≤+
π
ππ
π
π得
)(6
53Z k k x k ∈+≤≤+ππππ
所以函数)(x f 的最小正周期是)](6
5,3
[,Z k k k ∈+
+
π
ππ
ππ单调递减区间为 （II ）由（I ）有).6
2sin(2)(π
-=x x f
因为],32,
12[π
π-∈x 所以]67,3
[6
2π
ππ
-∈-
x
因为,12
sin ,2167sin ,23)3sin(=-=-
=-π
ππ 所以当)(,3
;3)(,12
x f x x f x 函数时当取得最小值函数时π
π
=
--
=取
得最大值2
21. 解：（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线
∴ 3
3tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+
=π
πθ，即当)(6
Z k k ∈+
=π
πθ时，向量a 、b 不能
作为平面向量的一组基底
（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ。