工程力学__第9章弹性杆件横截面上的切应力分析习题解
弹性力学课后习题及答案
弹性力学课后习题及答案弹性力学课后习题及答案弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律。
在学习弹性力学的过程中，课后习题是巩固所学知识、提高解题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些常见的弹性力学课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、弹性体的应力与应变1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下产生了长度为ΔL的形变。
求该弹性体的应变。
答案：根据胡克定律，应变ε等于形变ΔL与原始长度L的比值，即ε = ΔL / L。
2. 一个弹性体的应变为ε，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的应力。
答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
二、弹性体的应力分布1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力沿着截面的分布是否均匀？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成反比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力分布是不均匀的。
2. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力是否与截面的形状有关？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成正比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力与截面的形状有关。
三、弹性体的弹性模量1. 一个弹性体的应力为σ，应变为ε，求该弹性体的弹性模量E。
答案：根据胡克定律，应力σ等于弹性模量E与应变ε的乘积，即σ = E * ε。
由此可得，弹性模量E等于应力σ与应变ε的比值，即E = σ / ε。
2. 一个弹性体的弹性模量为E，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的形变。
答案：根据胡克定律，形变ΔL等于弹性模量E与受力F的乘积再除以截面积A，即ΔL = (E * F) / A。
工程力学材料力学部分课后习题详解
2-1 求下列结构中指定杆内的应力。
已知(a)图中杆的横截面面积A 1=A 2=1150mm 2； 解：（1）分析整体，作示力图∑=0)(i BF M：CB 041088=××−×A F AF N1F N2(c)40kN A F =（2）取部分分析，示力图见（b ）∑=0)(i CF M：02442.22=×+×−×q F F A N2(404402)36.36kN 2.2N F ×−×==3262236.361031.62MPa 115010N F A σ−×===×（3）分析铰E ，示力图见（c ）∑=0ix F ：0sin 12=−βN N F F1240.65kN N N F F == 3161137.961035.3MPa 115010N F A σ−×===×2-2 求下列各杆内的最大正应力。
（3）图(c)为变截面拉杆，上段AB 的横截面积为40mm 2，下段BC 的横截面积为30mm 2，杆材料的ρg =78kN/m 3。
解：1.作轴力图，BC 段最大轴力在B 处6N 120.530107812.0kN B F −=+×××AB 段最大轴力在A 处6N 12(0.5300.540)107812.0kN A F −=+×+×××3N 2612.010400MPa 30mm3010B B F σ−−×===× 3N 2612.010300MPa 40mm 4010AA F σ−−×===×杆件最大正应力为400MPa ，发生在B 截面。
EDF BF AF CxF N2(b)A120B120F NC2-4 一直径为15mm ，标距为200mm 的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加58.4kN 时，杆伸长了0.9mm ，直径缩小了0.022mm ，确定材料的弹性模量E 、泊松比µ。
工程力学第九章
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9.4
梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移， 通常用y表示。
一般规定向上的挠度为正，向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ 表
示。
一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max
(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
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max
小
结
max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁，横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上，计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
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9.2
梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够 的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ]，即 M max max ≤[σ ] （9.10） Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是， 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸式
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(9.4)
工程力学 第9章 弹性杆件横截面上的切应力分析
● 正确判断扭转切应力的方向
圆轴扭横转时截面上的切应力分布力系的合力即为其上的扭矩，因此，根据 平衡条件可以由外力矩的方向确定扭矩的方向（方向相反） ，再根据力系与其合 力的关系，即可由扭矩方向判断切应力的方向（方向相同） 。
● 刚度计算时需要注意刚度条件中不等号两侧的计量单位 保持一致
3．关于切应力流方向的判断：
当轴上有两个以上外力偶作用时则必须应用截面法和平衡条件确定所要求的截面上的扭矩切不可将外力偶矩直接代人应力公式进行计正确判断扭转切应力的方向圆轴扭横转时截面上的切应力分布力系的合力即为其上的扭矩因此根据平衡条件可以由外力矩的方向确定扭矩的方向方向相反再根据力系与其合力的关系即可由扭矩方向判断切应力的方向方向相同
l 正确判断扭转切应力的方向
圆轴扭横转时截面上的切应力分布力系的合力即为其上的扭矩，因此，根据 平衡条件可以由外力矩的方向确定扭矩的方向（方向相反） ，再根据力系与其合 力的关系，即可由扭矩方向判断切应力的方向（方向相同） 。
4．薄壁梁横截面上的切应力流
对于薄壁截面梁，弯曲时与剪力相对应的切应力具有下列显著特征： n 根据切应力成对定理，若杆件表面无切向力作用，则薄壁截面上的切应 力作用线必平行于截面周边的切线方向，并形成切应力流 。 n 由于壁很薄，故切应力沿壁厚方向可视为均匀分布。
图 9－1 薄壁截面梁横截面上的切应力流
为了正确判断开口薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力流，需要从梁上先用 两相邻截面放取 dx 微段，然后再用纵向截面从小段上留出一部分，考察作用在 其横截面上的正应力所组成的合力与作用在纵截面上的切应力所组成的合力形 成平衡力系，可以判断纵截面上的切应力的方向并可求得其大小。最后应用切应 力互等定理即可得到横截面上相应处的切应力的方向，进而可以采用类似的方 法，判断出横截面上若干处切应力的方向，就可以求得整个横截面上的切应力流 方向。
名师讲义【赵堔】工程力学第9章扭转强度与刚度
d MTn x dx
GI p
AB 截面相对扭转角为：
l
d
l
MTn x dx
GI p
# 图示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为 d1、d2 。
从中取 dx 段，该段相邻两截 面的扭转角为：
d T dx
GI P (x)
AB 截面相对扭转角为：
d
T dx
L
L GI P ( x)
三、 扭转杆的刚度计算
圆管强度。
解：1. 计算扭矩作扭矩图
2. 强度校核
危险截面：截面 A 与 B
A
TA
2πR02d1
ml
2πR02d1
44.6
MPa [
]
ml
B
TB
2π 2
27.9
MPa [
]
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m，
d
5、切应力的计算公式：
dA 对圆心的矩 → dAr0
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
T
2r0 2t
薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
r0 即
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得 T
纵轴 T——
T
2r02t
核轴的刚度 解：1. 内力、变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
工程力学--材料力学(北京科大、东北大学版)第4版习题答案
第一章参考答案1-1：解：(a):N1=0,N2=N3=P(b):N1=N2=2kN(c):N1=P,N2=2P,N3= -P(d):N1=-2P,N2=P(e):N1= -50N,N2= -90N(f):N1=0.896P,N2=-0.732P注（轴向拉伸为正，压缩为负）1-2：解：σ1=2118504P kNS dπ==35.3Mpaσ2=2228504P kNS dπ==30.4MPa ∴σmax=35.3Mpa1-3：解：下端螺孔截面：σ1=19020.065*0.045P S =15.4Mpa上端单螺孔截面：σ2=2PS =8.72MPa上端双螺孔截面：σ3= 3PS =9.15Mpa∴σmax =15.4Mpa1-4：解：受力分析得：F1*sin15=F2*sin45F1*cos15=P+F2*sin45∴σAB=11FS=-47.7MPaσBC=22FS=103.5 MPa1-5：解:F=6PS1=h*t=40*4.5=180mm2S2=(H-d)*t=(65-30)*4.5=157.5mm2∴σmax=2FS =38.1MPa1-6:解: (1)σAC =-20MPa,σCD =0,σDB =-20MPa;△ l AC =NL EA =AC LEA σ=-0.01mm△ l CD =CD LEA σ=0△ L DB =DB LEA σ=-0.01mm(2) ∴AB l ∆=-0.02mm1-7:解:31.8127AC AC CB CB P MPa S P MPa S σσ==== AC AC AC L NL EA EA σε===1.59*104, CB CB CB L NL EA EA σε===6.36*1041-8:解:Nll EAl l ε∆=∆= ∴NEA ε=62.54*10N EA N ε∴==1-9：解：208,0.317E GPa ν==1-10：解：[][]max 59.5MPa σσ=<1-11：解：（1）当45oα=，[]11.2σσ=>强度不够 （2）当60oα=，[]9.17σσ=< 强度够 1-12：解：[]360,200200200*1013.3100*150*10Y p kNS P kNS MPa A σσ-==∴=====<∑1-13：解：[]max 200213MPa MPa σ=<1-14：解： 1.78, 1.26d cm d cm ==拉杆链环1-15 解：BC F ==70.7 kN70.70.505140F S FS σσ=∴=== 查表得： 45*45*31-16解：(1)[]2401601.5ss n σσ===MPa[][]24P SP dσσπ≤∴≤24.4D mm∴=(2)2119.51602P P MPa MPa S d σπ===≤⎛⎫ ⎪⎝⎭1-17 解：（1） 2*250*6154402D F P A N π⎛⎫=== ⎪⎝⎭78.4AC F MPa S σ== 300 3.8378.4s n σσ∴===[][]''''60*3.14*15*1542390F S F S Nσσ===='61544014.521542390F n F ===≈1-18 解：P=119kN1-19 解：::3:4:535()44AB BC AB BC S P S S P S P =∴==拉，[][][]112841123484AB AB S A kN S P kN P kN σ=====同理所以最大载荷 84kN1-20 解： P=33.3 kN1-21 解：71,,12123A B C P F F P F P ===1-22 解：10MAX MPa σ=-1-23 解：A B X R R R =∴==∑t r l l ∆=∆ t A B l l tα∆= 21211111223533131.3cd R AC DB CD AC CD CD AF CD MAX Rl Rl l l l l EA EA Rl Rl Rl l EA EA EA EA t EA t R l S MPa A ααασ∆=∆+∆+∆=+=+=∴====第二章习题2-1 一螺栓连接如图所示，已知P=200 kN ， =2 cm ，螺栓材料的许用切应力[τ]=80Mpa ，试求螺栓的直径。
工程力学课后习题答案第9章题解g
( ) 10.5x − x2 = 10.5 ×140 ×106 × 875 ×10−6 62 ×103 = 20.75
x 2 − 10.5x + 20.75 = 0 x1 = 2.59 m ， x2 = 7.91 m l0 = x2 − x1 = 5.22 m
（2）校核加固部分强度
M max
=
M ⎜⎛ l ⎟⎞ ⎝2⎠
F E
D
3F / 2
68
F ≤ 28.9 ×103 N = 28.9 kN
9-5 一重量为 P 的均质钢条，长度为 l，截面宽为 b，厚为 t，放置在刚性平面上如图。 当在钢条一端用力 F = P 提起时，求钢条与刚性平面脱开的距离 a 及钢条内的最大正应力。
3
解（1） ∑ M C
=
0 , Fa −
M ⎜⎛ l ⎟⎞ Pl
σ max =
⎝ 3 ⎠ = 18 = Pl
W
bt 2 36t 2
6
9-6 ⊥ 型 截 面 铸 铁 悬 臂 梁 ， 尺 寸 及 载 荷 如 图 所 示 。 若 材 料 的 拉 伸 许 用 应 力
[σ t ] = 40 MPa ， 压 缩 许 用 应 力 [σ c ] = 160 MPa ， 截 面 对 形 心 轴 zC 的 惯 性 矩
思考题 9-5 图
答 (b)（从强度考虑，(b),(c)差不多，从工艺考虑，(b)简单些）
65
9-6 弯曲切应力公式τ = FSSz* 的右段各项数值如何确定？ Izb
答 FS 为整个横截面上剪力； I z 为整个横截面对中性轴的惯性矩； b 为所求切应力所
在位置横截面的宽度；
S
* z
为横截面上距中性轴为
I zC = 10 180 cm4 ， h1 =9.64 cm，求该梁的许可载荷 F。
工程力学材料力学部分课后习题详解
2-1 求下列结构中指定杆内的应力。
已知(a)图中杆的横截面面积A 1=A 2=1150mm 2； 解：（1）分析整体，作示力图∑=0)(i BF M：CB 041088=××−×A F AF N1F N2(c)40kN A F =（2）取部分分析，示力图见（b ）∑=0)(i CF M：02442.22=×+×−×q F F A N2(404402)36.36kN 2.2N F ×−×==3262236.361031.62MPa 115010N F A σ−×===×（3）分析铰E ，示力图见（c ）∑=0ix F ：0sin 12=−βN N F F1240.65kN N N F F == 3161137.961035.3MPa 115010N F A σ−×===×2-2 求下列各杆内的最大正应力。
（3）图(c)为变截面拉杆，上段AB 的横截面积为40mm 2，下段BC 的横截面积为30mm 2，杆材料的ρg =78kN/m 3。
解：1.作轴力图，BC 段最大轴力在B 处6N 120.530107812.0kN B F −=+×××AB 段最大轴力在A 处6N 12(0.5300.540)107812.0kN A F −=+×+×××3N 2612.010400MPa 30mm3010B B F σ−−×===× 3N 2612.010300MPa 40mm 4010AA F σ−−×===×杆件最大正应力为400MPa ，发生在B 截面。
EDF BF AF CxF N2(b)A120B120F NC2-4 一直径为15mm ，标距为200mm 的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加58.4kN 时，杆伸长了0.9mm ，直径缩小了0.022mm ，确定材料的弹性模量E 、泊松比µ。
工程力学课后习题答案
工程力学练习册学校学院专业学号教师姓名第一章静力学基础1-1 画出下列各图中物体A，构件AB，BC或ABC的受力图，未标重力的物体的重量不计，所有接触处均为光滑接触。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）1-2 试画出图示各题中AC杆（带销钉）和BC杆的受力图（a）（b）（c）（a）1-3 画出图中指定物体的受力图。
所有摩擦均不计，各物自重除图中已画出的外均不计。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）第二章 平面力系2-1 电动机重P=5000N ，放在水平梁AC 的中央，如图所示。
梁的A 端以铰链固定，另一端以撑杆BC 支持，撑杆与水平梁的夹角为30 0。
如忽略撑杆与梁的重量，求绞支座A 、B 处的约束反力。
题2-1图解得: N P F F B A 5000===2-2 物体重P=20kN ，用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另一端接在绞车D 上，如图所示。
转动绞车，物体便能升起。
设滑轮的大小及轴承的摩擦略去不计，杆重不计，A 、B 、C 三处均为铰链连接。
当物体处于平衡状态时，求拉杆AB 和支杆BC 所受的力。
题2-2图解得: P F PF AB BC 732.2732.3=-=2-3 如图所示，输电线ACB 架在两电线杆之间，形成一下垂线，下垂距离CD =f =1m ，两电线杆间距离AB =40m 。
电线ACB 段重P=400N ，可近视认为沿AB 直线均匀分布，求电线的中点和两端的拉力。
题2-3图以AC 段电线为研究对象，三力汇交2-4 图示为一拔桩装置。
在木桩的点A 上系一绳，将绳的另一端固定在点C ，在绳的点B 系另一绳BE ，将它的另一端固定在点E 。
然后在绳的点D 用力向下拉，并使绳BD 段水平，AB 段铅直；DE 段与水平线、CB 段与铅直线成等角α=0.1rad （弧度）（当α很小时，tanα≈α）。
如向下的拉力F=800N ，求绳AB 作用于桩上的拉力。
题2-4图 作BD 两节点的受力图 联合解得：kN F F F A80100tan 2=≈=α 2-5 在四连杆机构ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，，机构在图示位置平衡。
工程力学 第9章 杆件横截面上的切应力分析
第 9 章 弹性杆件横截面上的切应力分析
对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有 扭矩（Mx）或剪力（FQy 或 FQz）时，与这些内力分量相对应的分布 内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为 切应力。 分析与扭矩和剪力对应的切应力方法不完全相同。对于扭矩存 在的情形，依然借助于平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力 分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前提下，则仅借助于平衡 方程。 本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁 杆件的弯曲切应力分析。
§ 9-1 圆轴扭转时横截面上的切应力
９－１－１ 圆轴扭转变形特征 －反对称性论证圆轴扭转时横截面保持平面 ９－１－２ 变形协调方程 ９－１－３ 物性关系－剪切胡克定律 ９－１－４ 静力学方程 ９－１－５ 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式
§ 9-2 非圆截面杆扭转时的切应力
图 9－8 例 9－2 图
解： 1．各轴所承受的扭矩 各轴所传递的功率分别为 P1 ＝14 kw ， P 2 ＝ P3 ＝P 1 ／2＝7 kw 转速分别为 n1 ＝ 120 r／min
n 3＝n1 ×
据此，算得各轴承受的扭矩：
z1 36 ＝120 × r/min ＝360r/min z3 12
14 M x1 = M e1 = 9549 × N ⋅ m = 1114 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 557 N ⋅ m 120 7 M x2 = M e2 = 9549 × N ⋅ m = 185 .7 N ⋅ m 360
2．计算最大切应力 E 、H、C 轴横截面上的最大切应力分别为
工程力学--材料力学(北京科大、东北大学版)第4版习题答案第二到九章
第二章习题2-1 一螺栓连接如图所示，已知P=200 kN， =2 cm，螺栓材料的许用切应力[τ]=80Mpa，试求螺栓的直径。
2-2 销钉式安全离合器如图所示，允许传递的外力偶距 m=10kN·cm，销钉材料的剪切强度极限=360 Mpa，轴的直径D=30mm，为保证m＞30000 N·cm 时销钉被剪切断，求销钉的直径 d。
2-3 冲床的最大冲力为400 kN，冲头材料的许用应力[σ]=440Mpa，被冲剪钢板的剪切强度极限=360 Mpa。
求在最大冲力作用下所能冲剪圆孔的最小直径D和钢板的最大厚度。
2-4 已知图示铆接钢板的厚度=10 mm，铆钉的直径为[τ]=140 Mpa，许用挤压应力[]=320 Mpa，P=24 kN，试做强度校核。
2-5 图示为测定剪切强度极限的试验装置。
若已经低碳钢试件的直径D=1 cm，剪断试件的外力P=50.2Kn，问材料的剪切强度极限为多少？2-6一减速机上齿轮与轴通过平键连接。
已知键受外力P=12 kN，所用平键的尺寸为b=28 mm，h=16 mm，l=60 mm，键的许用应力[τ]=87 Mpa，[]=100 Mpa。
试校核键的强度。
2-7图示连轴器，用四个螺栓连接，螺栓对称的安排在直径D=480 mm的圆周上。
这个连轴结传递的力偶矩m=24 kN·m，求螺栓的直径d需要多大？材料的许用切应力[τ]=80 Mpa。
（提示：由于对称，可假设个螺栓所受的剪力相等）2-8 图示夹剪，销子C的之间直径为0.6 cm，剪直径与销子直径相同的铜丝时，若力P=200 N，a=3 cm，b=15 cm，求铜丝与销子横截面上的平均切应力。
2-9 一冶炼厂使用的高压泵安全阀如图所示，要求当活塞下高压液体的压强达到p=3.4 Mpa时，使安全销沿1-1和2-2两截面剪断，从而使高压液体流出，以保证泵的安全。
已知活塞直径D=5.2cm，安全销采用15号钢，其剪切强度极限=320 Mpa，试确定安全销的直径d。
材料力学答案第九章
第九章 强度理论第九章答案9.1 直径d =100mm 的圆截面钢杆受轴向拉力F = 2kN 和矩M e =10Nm 的力偶作用。
[σ] =1 60MPa ，试用第三强度理论校核该杆的强度。
(σ3r = 105 MPa)解：拉伸扭转组合变形，危险点是圆周上各点， 应力状态见图安全。
],[MPa MPa )(MPa(στσσπτπσ≤=+==⋅⋅⋅===⋅⋅⋅==1054150101010155251010242233323r p e .W M .)A F9.2 炮筒横截面如图所示。
在危险点处 ，t σ= 550 MPa 。
τσ= -350 MPa ，第三个主应力垂直于图面是拉应力，且其大小为420MPa 。
试按第三和第四强度理论，计算其相当应力。
解：危险点是三向越应力状态])()()[(MPa MPaMPaMPa 222219003505503504205553332214313321=-+-+-==+=-=-=====σσσσσσσσσσσσσσστr r tτ9.3图示圆截面铸铁杆， 承受轴向载荷F 1，横向载荷F 2和矩为M 1的扭力偶作用，试用第一强度理论校核杆的强度。
已知载荷F 1 = 30 kN ， F 2 = 1．2 kN ， M 1 = 700 Nm ，杆径d = 80 mm ，杆长l = 800 mm ，许用应力[σ] = 35 MPa 。
解：拉弯扭组合变形。
A 截面上边缘为危险点1. 应力分析：MPaMPa 69680107001616125808001021328010304324333133233221.d M W T..d l F d F W M A F p Z A N =⋅⋅⋅=⋅⋅===⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=+=ππτππππσ2. 强度校核安全。
，〈核杆的强度一采用第一强度理论校∴∴>==⋅+-==⋅++=][-.8MPa,-]6.69425.1[25.126.8MPa,]6.69425.1[25.12222σσσσσσσ131231012121 ,, 9.4图示皮带轮传动轴，传递功率P = 7kW ，转速n =200r/min 。
工程力学 第9章 应力状态分析 习题及解析
习题9-1图 x15-'x x'σy'x'τ 1.25MPa15 (b-1)15a 4MP15-y'x'τx'x'σa1.6MP x (a-1) 习题9-2图302MPa 0.5MPa-60x'σ'x ''y x τ 工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答第9章 应力状态分析9－1 木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。
试求： 1．面内平行于木纹方向的切应力；2．垂直于木纹方向的正应力。
知识点：平面应力状态、任意方向面上的应力分析 难度：易 解答：（a ）平行于木纹方向切应力6.0))15(2cos(0))15(2sin(2)6.1(4=︒-⨯⋅+︒-⨯---=''y x τMPa 垂直于木纹方向正应力84.30))15(2cos(2)6.1(42)6.1(4-=+︒-⨯---+-+-='x σMPa （b ）切应力08.1))15(2cos(25.1-=︒-⨯-=''y x τMPa正应力625.0))15(2sin()25.1(-=︒-⨯--='x σMPa9－2 层合板构件中微元受力如图所示，各层板之间用胶粘接，接缝方向如图中所示。
若已知胶层切应力不得超过1MPa 。
试分析是否满足这一要求。
知识点：平面应力状态、任意方向面上的应力分析 难度：易 解答：55.1))60(2cos(5.0))60(2sin(2)1(2-=︒-⨯⋅+︒-⨯---=''y x τMPa 1MPa 55.1||>=''y x τMPa ，不满足。
9－3 结构中某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果。
试求叠加后所得应力状态的主应力、面内最大切应力和该点处的最大切应力。
知识点：平面应力状态分析 难度：难 解答：习题9-2图yσxσxyτ=yσxσxyτx=yσxσxyτ=左微元⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-='-='-=-='+=--+='000000022cos 122sin )2sin(222cos 10)2cos(22σθσσσσθθστσθθσσσx y xy x 叠加 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+'=-=+=+=+'=''000022cos 1022sin 022cos 3σθσσσθττσθσσσy y y x xy x x0)cos 1()cos 1( )22sin (4)22cos 122cos 3(21222cos 122cos 330020202021=⎩⎨⎧-+=-+--+±-++=⎭⎬⎫σσθσθσθσθθσθθσσ 面内最大切应力：θσσστcos 2021max=-='该点最大切应力：031max2cos 12σθσστ+=-=左微元0023))30(2sin()(ττσ=︒-⨯-='x ，0230τσσ-='-='x y ，2))30(2cos(00τττ=︒-⨯='xy 右微元0023)302sin()(ττσ=︒⨯-=''x，0230τσσ-=''-=''x y ，2))30(2cos()(00τττ-=︒⨯-=''xy 叠加 03τσσσ='+'=y x x ，03τσσσ-=''+'=y y y ，0=''+'=xyxy xy τττ 013τσ=，02=σ，033τσ-= 面内031max32||τσστ=-='xABOσOσαα(a)习题9-4图A60CB60100-x σxσyxτxyτ92MPa(a)习题9-5图该点031max 32||τσστ=-=叠加[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒-⨯--+==--+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒-⨯--+-++=MPa 30))45(2sin(2)30(5070MPa 1010)3050(0MPa 90))45(2cos(2)30(502)30(5080xy y x σσσ主应力0MPa 0MPa100304)]100(90[212109022231=⎩⎨⎧=⨯+-±+=⎭⎬⎫σσσ面内及该点：5021002||||31max max=-=-=='σσττMPa9－4 已知平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面AB 相垂直的面上，其值为0σ。
《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第9章 应力状态分析
MPa
MPa
2．
MPa
MPa
9－13图示外径为300mm的钢管由厚度为8mm的钢带沿20°角的螺旋线卷曲焊接而成。试求下列情形下，焊缝上沿焊缝方向的切应力和垂直于焊缝方向的正应力。
1．只承受轴向载荷FP = 250kN；
2．只承受内压p=5.0MPa（两端封闭）
3．同时承受轴向载荷FP = 250kN和内压p=5.0MPa（两端封闭）
难度：一般
解答：
（1）当 = 40℃
mm＜
mm＜
所以铝板内无温度应力，
（2）当 = 80℃
mm＞
mm＞
∴ （1）
（2）
所以解得qx = qy=70MPa（压）
， MPa
MPa
9－18对于一般平面应力状态，已知材料的弹性常数E、 ，且由实验测得 和 。试证明：
知识点：广义胡克定律、 三者之间的关系
难度：一般
难度：一般
解答：
正确答案是C。
（A）不满足切应力互等定律；
（B）不满足平衡；
（C）既可满足切应力互等，又能达到双向的平衡；
（D）不满足两个方向的平衡。
9－27微元受力如图所示，图中应力单位为MPa。试根据不为零主应力的数目，它是：
（A）二向应力状态；
（B）单向应力状态；
（C）三向应力状态；
（D）纯切应力状态。
MPa
9－7受力物体中某一点处的应力状态如图所示（图中p为单位面积上的力）。试求该点处的主应力。
知识点：应力圆的应用
难度：难
解答：
应力圆半径
9－8从构件中取出的微元，受力如图所示。试：
1．求主应力和最大切应力；
2．确定主平面和最大切应力作用面位置。
《工程力学》课后习题解答
1-1试画出以下各题中圆柱或圆盘的受力图。
与其它物体接触处的摩擦力均略去。
解：1—2 试画出以下各题中AB 杆的受力图。
(a) B(b)(c)(d)A(e)A(a)(b) A(c)A(d)A(e)(c)(a)(b)解：1-3 试画出以下各题中AB 梁的受力图。
(d)(e)BB(a)B(b)(c)F B(a)(c)F (b)(d)(e)解：1-4 试画出以下各题中指定物体的受力图。
（a) 拱ABCD;(b ） 半拱AB 部分；(c ） 踏板AB ；（d) 杠杆AB;（e) 方板ABCD ；（f) 节点B 。
解：(a)F (b)W(c)(d)D(e)F Bx(a)(b)(c)(d)D(e)W(f)(a)D(b) CB(c)BF D1-5 试画出以下各题中指定物体的受力图。
（a ） 结点A ,结点B ；（b ） 圆柱A 和B 及整体；(c) 半拱AB ，半拱BC 及整体；(d ） 杠杆AB ,切刀CEF 及整体；(e ） 秤杆AB ,秤盘架BCD 及整体。
解:(a)(d)FC(e)WB(f)F FBC(c)(d)AT F BAF (b)(e)(b ）(c)(d)（e)CAA C’CDDB2—2 杆AC 、BC 在C 处铰接，另一端均与墙面铰接，如图所示,F 1和F 2作用在销钉C 上，F 1=445 N ，F 2=535 N ，不计杆重，试求两杆所受的力。
解：（1） 取节点C 为研究对象，画受力图，注意AC 、BC 都为二力杆，(2） 列平衡方程：12140 sin 600530 cos 6005207 164 o y AC o x BC AC AC BC F F F F F F F F F N F N=⨯+-==⨯--=∴==∑∑ AC 与BC 两杆均受拉。
2-3 水平力F 作用在刚架的B 点，如图所示.如不计刚架重量，试求支座A 和D 处的约束力。
解：(1） 取整体ABCD 为研究对象,受力分析如图，画封闭的力三角形：(2）F 1F FDF F AF D211 1.1222D A D D A F F FF F BC AB AC F F F F =====∴===2-4 在简支梁AB 的中点C 作用一个倾斜45o 的力F ，力的大小等于20KN ，如图所示.若梁的自重不计，试求两支座的约束力。
工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件1
梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
1、梁横截面上的切应力
（1）、矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式
b
I S F τz z *S = （10−11） 式（10−8）即为。
式中：F S 为横截面上的剪力；S z *为面积A 1对中性轴的静矩；I z 横截面对中性轴的惯性矩；b 为截面的宽度。
矩形截面梁横截面上的最大切应力 A
F bh F I h F τz 23238S S 2S max === (10-12) （2）工字形截面梁横截面上的最大切应力为
d I S F τz z *max
,S max = （10−13）
其中d 为腹板的宽度，S z *,max 为半截面对中性轴的静矩。
(3)薄壁环形截面梁衡截面上的最大切应力
A
F τ23S max = （10-14） （1） 圆截面梁横截面上的最大切应力
A
F τ34S max =
（10-15） 1、 梁的切应力强度条件 []τb I S F τz z ≤=*max
,max S,max （10−16）
其中，F S,max 为全梁的最大剪力；S z *,max 为横截面上中性轴一侧的面积对中性轴的静矩。
3.弹性杆件横截面上的应力分析与计算
弹性杆件横截面上的应力分析与计算一、概念题1．判断题：（以下结论对者画√，错者画×）（1）应力分为正应力、负应力与切应力。
（）（2）应力所反映的是分布内力在截面上某一点处的密集程度。
（）（3）应变所反映的是构件在某一段的变形程度。
（）（4）根据拉压胡克定律，在某一方向上有正应力存在，该方向就有线应变存在，反之，某一方向上有线应变存在，该方向就必然有正应力存在。
（）（5）杆件受力变形时，其横截面上的应力不仅与其所受外力有关，而且还与截面的几何量、杆件的材料有关。
（）（6）圆轴扭转或直梁弯曲时，在相同内力的情况下，面积大的截面其应力的最大值不一定就大。
（）（7）梁横截面上的中性轴必然通过截面的形心，是截面惯性矩最小的轴线。
（）（8）梁纯弯曲变形时，任一横截面上，中性轴一侧的拉应力的总和必等于另一侧压应力的总和。
（）（9）圆轴扭转时，扭矩最大的截面就是该轴的危险面。
（）（10）直径与长度相同而材料不同的两根实心轴，在相同的外力偶的作用下，它们的最大切应力相同。
（）（11）梁弯曲时，横截面上切应力的最大值在距离中性轴最远的点上。
（）（12）根据切应力互等定理，如果过某点有一个平面上没有切应力，则与该平面垂直的平面切应力也必然为零。
（）2．选择题：（1）A、只有等截面的拉杆横截面的应力才是均匀分布的。
B、变截面的拉杆横截面的应力不一定是均匀分布的。
C、受轴向拉压的杆件横截面的应力都是均匀分布的。
D、不论何种变形，横截面上只要有正应力就必然是均匀分布的。
（2）A、截面上的应力只与该截面上的内力、截面积有关。
B、截面上的应力只与该截面上的内力、截面的尺寸有关。
C、截面上的应力不仅与该截面上的内力、截面的尺寸有关，还与截面的形状有关。
D、截面上的应力只与该截面上的内力、截面的形状有关。
（3）A、只有横截面上有轴力时，该截面上才会有正应力。
B、只有横截面上有剪力时，该截面上才会有切应力。
C 、横截面上有弯矩时，该截面上既会有正应力，也会有切应力。
工程力学第8章第9章作业答案
max
* Fs max S z 113 103 3.85224 104 max 20.3 MPa 8 3 Iz d 11900 10 9 10 2
因此，该梁满足正应力和切应力强度条件。
9-13 由工字钢做的简支梁受力如图所示。已知材料的许用应力
20kN.m
2kN/m
(e) A C
1m
FA
9kN
解：求得支座约束力
B
FA 9kN
4m
FB
FB 1kN
Fs x1 9 2 x1
2 M x1 9 x1 x1
0.5m
1kN 12kN.m
Fs x2 9 2 x2
2 M x2 9 x2 x2 20
1 1m
D
B y
50
M1 20kN
2-2截面
M2 25kN
M yA M y A 25 103 150 103 20 103 150 103 A 7.4 MPa A 9.26 MPa 0.180 0.33 0.180 0.33 Iz Iz 12 12
故选择28a号工字钢。
ql2/2 — + ql2/2
FA
9-6
A x
q
FB
B
FA
l/2
F=ql
FB
B
A
C
l
l
ql/2
ql 2
+
ql 2
+ ql/2
+
l 2
ql 8
2
+
ql2/4
9-7(a)
槽钢平放
A B
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1n 2 1 n 2
9 －8
直径 d = 25mm 的钢轴上焊有两个凸台，凸台上套有外径 D = 75mm、壁厚
=1.25mm 的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩 T = 73.6N· m 时，将薄壁管与凸台焊在一起，
然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量 G = 40MPa。试： 1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。 解：设轴受 T = 73.6N· m 时，相对扭转角为 0 且
1 ( 75 ) 10
393922 10 12 m
4
将 Ip1 、 Ip2 值代入（ 6）得 管： h max
6.38 MPa
轴： s m ax
M x d
I p2 T d
25 73.6 393922 103 2 (38349.5 393922) 38349.5 1012 I p1 2 I p1 ( I p1 I p 2 ) 2
1 ()
4
2(1)4 1 2
1 15
6.67%
9 －6 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直 径均为 D 、壁厚均为 ，横截面上的扭矩均为 T = Mx。 试： 1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力
max 2M xπD 23M x 2πD
2．证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力
2πM x Ip
0
r4 4
4I p Mx Wp
16 r 4 d4
1 15 4 ) 6.25% 60 16
3． 2 m ax
πd
3
1 14 ( ) 16 2 4
1
4
=75.4MPa
习题 9-5 图
2 max
8kN m
习题 9-15 图
y
q
20 80 20 45.45 2
2
C
60 20 54.55 2
A
FR A
B
FRB (a)
z
C d
60 20 3 12
10 3
22 (k N)
(d)
M max 16.2 I z 10 3 55.45 103 7.855758 10 6 114 MPa 64.55 10 3 133 MP a M max Iz
Mx WP T WP T πd 3 16
Ip
3 103 16 π 0.06 3
70.7 MPa
2． M r
Mr Mx
2π r 4
A1
dA 2π r 4 πd 4 4 32
r
Mx
2π d 16 ( T
(a)
(b) 习题 9-13 图
(c)
(d)
9 －14 四种不同截面的悬臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如图所示，图中 O 为 弯曲中心。试分析哪几种情形下可以直接应用 x M z y / I z 和 FQ S z* /(bI z ) 计算横截面上的 正应力和切应力。 （A ）仅（a）、（b ）可以； （B）仅（b ）、（c）可以； （C）除（c ）之外都可以； （D）除（d ）之外都不可能。 正确答案是 D 。
D2 ( d 2 / D2 ) 的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（ W1 / W2 ）有
如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A ） (1 4 ) 3 2 ； （B） (1 4 ) 3 2 (1 2 ) ； （C） (1 4 )(1 2 ) ； （D） (1 4 ) 2 3 /(1 2 ) 。 正确答案是 D 。 解：由 1 max 2 max 得
21.86 MPa
9 －9 关于弯曲切应力公式 FQ S z* /(bI z ) 应用于实心截面的条件，有下列论述，试分析 哪一种是正确的。 （A ）细长梁、横截面保持平面；
— 46 —
（B）弯曲正应力公式成立，切应力沿截面宽度均匀分布； （C）切应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面； （D）弹性范围加载，横截面保持平面。 正确答案是 B 。 解：公式 FQ S z (bI z ) 推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力，该正应力 x 则要求 弯曲正应力公式成立；另外推导时在 Fx 0 时，应用了 沿截面宽度均匀分布假设。 9 －10 试判断梁横截面上的切应力作用线必须沿截面边界切线方向的依据是： （A ）横截面保持平面； （B）不发生扭转； （C）切应力公式应用条件； （D）切应力互等定理。 正确答案是 D 。 9 －11 槽形截面悬臂梁加载如图示。图中 C 为形心，O 为弯曲中心。关于自由端截面 位移有下列结论，试判断哪一种是正确的。 （A ）只有向下的移动，没有转动； （B）只绕点 C 顺时针方向转动； （C）向下移动且绕点 O 逆时针方向转动； （D）向下移动且绕点 O 顺时针方向转动。 正确答案是 D 。
16 M x π d13 16 M x π D 23 (1 4 )
1
即
d1 D2
W1 W2
(1 4 ) 3
A
1
（1）
d 12
A2
D2 (1 2 )
2
2
（2）
（1）代入（ 2），得
W1 W2 (1 4 ) 1 2
3
9－ 4 由两种不同材料组成的圆 轴，里层和外层材料的切变模量分别 为 G1 和 G2 ，且 G1 = 2G2 。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间
max
（3）
由（2 ）、（ 3）式
Ts Th R03
3 R2 (1n 4
（4）
)
由（1 ） 代入（4）
R02 R22R12
3 3 3
Ts Th
( R 22R 12 ) 2 R 23 (1 n 4 )
(1 n 2 ) 2 1n 4
(1n 2 ) 2 (1 n 2 )(1 n 2 )
习题 9-14 图
— 47 —
9－ 15 梁的受力及横截面尺寸如图所示。试： 1．绘出梁的剪力图和弯矩图； 2．确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力； 3．确定梁内横截面上的最大切应力； 4．画出横截面上的切应力流。 解：1 ．图（a ）：M A 0
8 q 4 2 FR B 4 0 FR B 18 kN
π 32
(25) 4 101 2 38349.5 101 2
72.5 4
12
D2 4 π 75 4 1 ( ) 32 D 75 10 3 2 (38349.5 393922) 10 12 73.6
max
习题 9-6 图
3．画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。
d A π D 解：1 ． M x A2 2
2M x
D
D
max
π D 2
即： max
2M x
πD 2
3M x max (a-1) (a-2) (b-1) (b-2)
d 0 dx T GIp 1
（1）
T 撤消后，管受相对扭转角 2 ，则轴受相对扭转角
1 0 2 ，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，
习题 9-8 图
整个系统平衡。
1 2 0 Tl M x l Mx l GI p 1 GI p 1 GI p 2
2．由课本（ 8－ 18）式
3Mx 3Mx hb
2
π D
2
2
9 －7
由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为
R0 ，空心圆轴的内、外半径分别为 R1 和 R2 ，且 R1 /R2 = n ，二者所承受的外扭转力偶矩分别 为 Ts 和 Th 。若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：
— 44 —
习题 9-4 图
无相对滑动。关于横截面上的切应力 分布，有图中所示的四种结论，试判 断哪一种是正确的。 正确答案是 C 。 解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等 1 2 ，因 G1 2 G2 ，由剪切胡 克定律得交界面上：1 2 2 。 9 －5 图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩 T = 3kN· m。试求： 1．轴横截面上的最大切应力； 2．轴横截面上半径 r = 15mm 以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3．去掉 r = 15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。 解：1． 1 m ax
Fy 0 ， FRA 22 kN
剪力与弯矩图如图（b ）、（c）； 2．形心 C 位置
d 80 20 10 80 20 60 60 20 110 80 20 2 60 20 55.45 mm
I z 80 2 0 3 80 3 12 12 20 80 4.55 7.855758 10 mm4 655.45
Th Ts 1 n 2 1 n 2
2R
解：由已知长度和质量相等得面积相等：
— 45 —
Th
TS
TS
R2
R1
Th
πR02 π(R22R12 ) max
Ts πd3 16 π(2R2 )3 16 Ts π Th (1 n 4 ) R3
0
（1） （2）
2
M x M x
（2） （3） （4）
T
T I p2 T D I p1 I p2 W p2 I p1 I p 2 2
0 1
2
M x
I p2 I p1 I p2
Mx Wp2