【沪科版】2018八年级数学上册作业第14章全等三角形14.2三角形全等的判定第5课时两个直角三角形全等的判定

第5课时两个直角三角形全等的判定
知识要点基础练
知识点1判定两直角三角形全等的方法——“HL”
1.如图所示,已知△ABC与△ABD中,∠C=∠D=90°,要利用“HL”判定△ABC≌△ABD,还需添加的条件是(B)
A.∠BAC=∠BAD
B.BC=BD或AC=AD
C.∠ABC=∠ABD
D.AB为公共边
【变式拓展】如图,已知AB⊥CD,垂足为B,BC=BE,若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE,则需要添加的一个条件是AC=DE .
2.如图,已知AD⊥BC于点O,且O是BC的中点,添加一个条件后可利用“HL”证明Rt△AOB≌Rt△DOC,则所添加的条件是AB=CD .
知识点2“HL”的简单实际应用
3.如图,有两个长度相等的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向上的长度DF相等,若∠ABC=32°,则∠DFE的度数为(C)
A.32°
B.28°
C.58°
D.45°
4.如图,C是路段AB的中点,甲、乙两人从C同时出发,以相同的速度分别沿CD和CE行走,并同时到达D,E两地,DA⊥AB,EB⊥AB.D,E两地与路段AB的距离相等吗?为什么?
解:相等.
理由:由已知得CD=CE.
∵DA⊥AB,EB⊥AB,∴∠A=∠B=90°.
在Rt△ADC和Rt△BEC中,
∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL),
∴AD=BE.
∴D,E两地与路段AB的距离相等.
知识点3“HL”的简单推理证明的应用
5.如图,在△ABC中,AB=AC,AE是经过点A的一条直线,且B,C在AE的两侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E,AD=CE,则∠BAC的度数是(C)
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
6.如图,AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC.求证:∠ABD=∠ACD.
证明:∵AC⊥CB,DB⊥CB,
∴∠ACB=∠DBC=90°.
在Rt△ACB和Rt△DBC中,
∴Rt△ACB≌Rt△DBC(HL),∴∠1=∠2,
∴∠DBC-∠1=∠ACB-∠2,即∠ABD=∠ACD.
综合能力提升练
7.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是(D)
A.一锐角对应相等
B.两锐角对应相等
C.一条边对应相等
D.两条直角边对应相等
8.在平面直角坐标系内,点O为坐标原点,A(-4,0),B(0,3).若在该坐标平面内有以点P(不与点A,B,O重合)为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等,且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边,则所有符合条件的三角形个数为(A)
A.9
B.7
C.5
D.3
提示:以AB,OA,OB为公共边的符合条件的三角形各有3个.
9.如图,两棵大树间相距13 m,小华从点B沿BC走向点C,行走一段时间后他到达点E,此时他仰望两棵大树的顶点A和D,两条视线的夹角正好为90°,且EA=ED.已知大树AB的高为5 m,小华行走的速度为1 m/s,则这时小华行走的时间是(B)
A.13 s
B.8 s
C.6 s
D.5 s
10.(镇江中考)如图,AD,BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90°.
(1)求证:△ACB≌△BDA;
(2)若∠ABC=35°,则∠CAO=20°.
解:(1)在Rt△ACB和Rt△BDA中,
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL).
11.如图,AD为△ABC的高线,E为AC上的一点,BE交AD于点F,且BF=AC,FD=CD,求证:BE⊥AC.
证明:∵AD为△ABC的高,
∴∠BDA=∠ADC=90°,
在Rt△BDF和Rt△ADC中,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL),∴∠BFD=∠C.
∵∠DBF+∠BFD=90°,∴∠DBF+∠C=90°,
∴∠BEC=90°,∴BE⊥AC.
12.如图,AB=AC,AD⊥BC于点D,AD=AE,AB平分∠DAE交DE于点F,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.
解:(1)△ADB≌△ADC,△ABD≌△ABE,△AFD≌△AFE,△BFD≌△BFE,△ABE≌△ACD.(写出其中的三对即可) (2)以△ADB≌△ADC为例证明.
∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADB和Rt△ADC中,
∵AB=AC,AD=AD,
∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).
13.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;
(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.
解:(1)∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵AE=CF,AB=BC,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠ACB=45°,
∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴∠BCF=∠BAE=15°,
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.
14.如图,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O.
(1)求证:AD=AE;
(2)连接OA,BC,试判断直线OA与BC的位置关系并说明理由.
解:(1)在△ACD与△ABE中,
∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90°,AB=AC,
∴△ACD≌△ABE(AAS),∴AD=AE.
(2)互相垂直.
理由:连接AO并延长交BC于点F.
在Rt△ADO与Rt△AEO中,
∵OA=OA,AD=AE,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠DAO=∠EAO.
在△ABF和△ACF中,
∴△ABF≌△ACF(SAS),
∴∠AFB=∠AFC=90°,
∴直线OA与BC互相垂直.。