三维冲击动力接触问题数值分析的一种高效算法

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（/）
若把阻尼取为 0%12"34 阻尼， 即（ 物体的 ’ ’ ) )， *） 阻尼矩阵为 ［ 0’ ］) 1［ ， 其中 1 ) 3 .， 1* ) 2 ’ ］$ 1［ * -’ ］ 则有效刚度矩阵为 3 . 为比例系数。 1 )# ) , ’ ］)（) $ 0*#） ［［ -’ ］$（ ） ［ 2’ ］ （5） * $ " !! !! " !! " 有效载荷矩阵为 ) ,（ ｝ ) ｛. （ ｝$［ 2’ ］ ［ （ ｛ . ’ " $ ! "） ’ " $ ! "） * $ ! ! " 1 )# 1 )# 1 ) ) %（ ｛& （ ｝$ （ ｛ ｝ （ $ )# & $ ! 1)） $ ’ "） ’ "） * !! " !! " ! ! * ! # ｛& (（ ｛ ｝ ］ $ ［ -$ （ ｝ $（# ! & ! 1 ) ! )） ’ "） ’ （ * ’ "） !! " ! # % ( ｛ （ "） ｝$（ ｛ （ "） ｝ ］ （6） & & )） ! )） ! "） * !
［!］ 分方法加以解决 。目前对多体系统冲击 : 动力接 触问题数值方法的研究及计算机仿真程序的研制已
引起了广泛的关注， 本文将用三维冲击 : 动力接触有 限元法研究两体冲击接触问题。由于动力接触面边 界条件的非线性， 有限元数值方法的计算效率对冲击 : 动力接触问题的求解非常重要。考虑到动力接触 面边界区域相对很小， 一般将接触面接触状态的迭代 计算凝缩到接触区域上进行， 以提高计算效率。
6,
振
动
与
冲
击
*... 年第 )7 卷
逐步积分格式。对于冲击 ! 动力接触问题， 在物体初 始接触和初始分离时， 由于接触压力发生突变， 不满 足 !"#$%&’ ( ! 法关于加速度在 " # " $ ! " 内线性变 化的假设， 必须作适当的修正 。修正的方法可采用拉
［)］ 、 等效节点力面积加权系数法等。本 格朗日乘子法
利用 !"#$%&’ ( ! 直接积分公式可得关于 ｛& （" ｝ 的动力接触有限元方程 $ ! "） ,) . ,（ . &（ ) " $ ! "） ) " $ ! "） ) $ , * &（ ,（ . . * " $ ! "） * " $ ! "）
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’+( （’!） ) $ (（ * #+ &） 式中，* — — — 杆长。 由所给参数可得 ) $ - % 04 ’ ’! ( 4 秒， 由计算结果可知两杆冲击接触时间为 ) $ - % "$ ’ ( 4 秒， 两者仅相差 ( % -, ， 表明了本文的动力接触有 ’!
文综合上述两种方法， 给出如下简化修正公式。 （)）初始接触 $ %（ (（ %（ 设｛ ｝ 、 ｛ ｝和｛ & & & ’ " $ ! "） ’ " $ ! "） ’ " $ $ (（ ｝ 、 ｛ ｝ 分别为第 （ 个物体修 & ’ ’ ) )， *） ! "） ’ " $ ! "） 正前与修正后的速度、 加速度。 上标 * ， +， " 分别表示 接触点的三个局部坐标方向。 当接触点对的接触状态为连续时， 修正公式为 ) % $ %（ %（ ｛ ｝) （｛ ｝$ ｛ ｝ ） & &（ & ’ " $ ! "） ) " $ ! "） * " $ ! "） * ) ( $ (（ (（ ｛ ｝) （｛ ｝$ ｛ ｝ ） & &（ & ’ " $ ! "） ) " $ ! "） * " $ ! "） * （*） 当接触点对的接触状态为滑动时， 修正公式为 ) %* * $ %* %（ ｝) （｛ ｝ ｝ ） ｛ & &（ & $｛ ’ （ " $ ! "） ) " $ ! "） * " $ ! "） * + $ $ % +’（ %（ %* ｛ ｝) ｛ ｝$ " ｛ ｝ & & & " $ ! "） ) " $ ! "） )（ " $ ! "） * %（ ｝ ） & !｛ ) " $ ! "）
当接触点对的接触状态为混合时， 若 + 向连续， " 向滑动 （ " 向连续， ， 修正公式为 + 向滑动时同理可得） ) %* * $ %* %（ ｛ ｝) （｛ ｝ ｝ ） & &（ & $｛ ’ （ " $ ! "） ) " $ ! "） * " $ ! "） * ) %+ + $ % +’（ %（ ｛ ｝) （｛ ｝ ｝ ） & &（ & " $ ! "） $｛ ) " $ ! "） * " $ ! "） * " $ $ % "’（ %（ %* ｛ ｝) ｛ ｝$ " ｛ ｝ " $ ! "） & & & ) " $ ! "） )（ " $ ! "） * %（ ｝ ） & !｛ ) " $ ! "） ) (* * $ (* (（ ｛ ｝) （｛ ｝ ｝ ） & &（ & $｛ ’ （ " $ ! "） ) " $ ! "） * " $ ! "） * ) (+ + $ ( +’（ (（ ｛ ｝) （｛ ｝ ｝ ） & " $ ! "） &（ & $｛ ) " $ ! "） * " $ ! "） * " $ $ ( "’（ (（ (* ｛ ｝) ｛ ｝ ｛ ｝ & " $ ! "） & & $" ! ’ " $ ! "） )（ " $ ! "） * (（ ｛ ｝ ） （,） & ) " $ ! "） （*）初始分离 当 " $ ! " 时刻接触点对的接触状态为分离时， 修 万方数据 正公式为
模型如图 ( 所示。杆 ’ 以 #! $ ’ % ! ) * + 的初速度冲击 两杆的弹性模量 & $ ( % ’ ’ ’!’’ , * )( ， 泊 静止的杆 (， 松比" $ ! % -， 密度# . / & 0 1 ’! 23 * ) ， 取 !" $ ( ’ ( / 秒。 ’! 图 - 给出了两自由度杆冲击时接触面的冲击力、 速度和位移随时间变化曲线。 两杆冲击接触时间的解析解为
9 引
言
初始条件为 * ( *9 时 式中 ［ !!］ ［ !8］ ， — — — 物体 !， 8 的质量矩阵； ［ %!］ ［ %8］ ， — — — 物体 !， 8 的阻尼矩阵； ［ ’8］ ， — — — 物体 !， ［ ’!］ 8 的刚度矩阵； ｛)（ ｝ ， ｛)（ ｝ — — — 物体 !， 8 的外载荷向量； ! *） 8 *） ｛+（ ｝ ， ｛+（ ｝ — — — 物体 !， 8 的接触力向量； ! *） 8 *） & !｝ " !｝ & 8｝ " 8｝ ， ｛ ， ｛ ， ｛# 8｝ ｛ ， ｛ — — — 物体 !， ｛# !｝ # # # # 8的 位移向量， 速度向量， 加速度向量 。 & !｝( ｛ & !9｝ ｛# !｝( ｛# !9｝ ｛ # # & 8｝( ｛ & 89｝ ｛# 8｝( ｛# 89｝ ｛ # #
三维冲击 : 动力接触问题数值分析的一种高效算法 "
李润方
摘 要
林腾蛟
陈兵奎
陶泽光
#999##）
（重庆大学机械传动国家重点实验室， 重庆
［;］ 本文在二维冲击 : 动力接触问题 和三维弹性接触有限元混合法的基础上， 给出了三维冲击 : 动力接触
问题的有限元混合算法。该方法将整个系统的等效刚度方程凝缩到接触边界， 建立关于接触面的等效柔度方程， 在采用 本文给出了修正方法。由于用直接积分法进行每一时间步动 (<=>?@A 直接积分法求解动力接触问题时必须作适当修正， 力接触迭代计算时， 只震反复求解接触面有效柔度方程， 因此具有很高的计算效率。 关键词： 冲击， 动力响应， 接触问题， 有限元法 中图分类号： %;88
" $ $ % "’（ %（ %* ｛ ｝) ｛ ｝$ " ｛ ｝ " $ ! "） & & & ) " $ ! "） )（ " $ ! "） * % ｝ ） &（ !｛ ) " $ ! "）
显然， 通过以上各式的修正可以保证两物体初始 接触和初始分离时动力接触面的加速度线性变化。
+ 动力接触问题有限元混合法
’ （ )） $ %（ %（ %（ ｝) ｛ ｝$ ! （｛ ｛ & & & ’ " $ ! "） ’ " $ ! "） ) " $ * %（ ｝$ ｛ ｝ ） & ! "） * " $ ! "） ’ （ )） $ (（ (（ (（ ｝) ｛ ｝$ ! （｛ ｛ & & & ’ " $ ! "） ) " $ ’ " $ ! "） * (（ ｝$ ｛ ｝ ） （-） & ! "） * " $ ! "）