全国2018-2019学年高二数学选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.6.1
§2.6 曲线与方程2.6.1 曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点 曲线与方程的概念思考 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案 y ＝±x .在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M 的坐标(x 0，y 0)满足y 0＝x 0或y 0＝－x 0，即(x 0，y 0)是方程y ＝±x 的解；反之，如果(x 0，y 0)是方程y ＝x 或y ＝－x 的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理 如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解(条件①，即纯粹性)，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上(条件②，即完备性)，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C 的点集和方程f (x ，y )＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x ，y )建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．1．过点A (3,0)且垂直于x 轴的直线的方程为x ＝3.(√)2．到y 轴距离为2的点的直线方程x ＝－2.(×)3．方程＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线．(×)xy －2类型一 曲线与方程的概念例1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．(填序号)①方程f(x，y)＝0的曲线是C；②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；③f(x，y)＝0是曲线C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．答案 ②解析 不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以①，③，④错误．反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1 设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，给出下列命题：①坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0；③坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.其中判断正确的是________．(填序号)答案 ④解析 “坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故①③错，②显然错．类型二 点与曲线的位置关系例2 方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0表示的曲线经过点A(0，－3)，B(0,4)，C，D (8,0)中的________个．(53，－74)答案 2解析 由对数的真数大于0，得x ＋2y ＞0，∴A (0，－3)，C 不符合要求；(53，－74)将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．反思与感悟 点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)??f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可．跟踪训练2 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－2，2)是否在这个圆上．5解 (1)设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以＝5，也x 20＋y 20就是x ＋y ＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．2020(2)设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x ＋y ＝25，两边开方取算术平方根，得2020＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点．x 20＋y 20由(1)，(2)可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－2，2)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不等，5(－2，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．5类型三 曲线与方程关系的应用例3 判断下列结论的正误，并说明理由．(1)到x 轴距离为4的点的直线方程为y ＝－4；(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1；(3)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为x ＝0.解 (1)因到x 轴距离为4的点的直线方程还有一个y ＝4，即不具备完备性．所以结论错误．(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．(3)中线AD 是一条线段，而不是直线，应为x ＝0(－3≤y ≤0)，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－22＋.(a ＋12)12∴k ≤，12∴k 的取值范围是.(－∞，12]1．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么下列说法正确的是________．(填序号)①曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0；②凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上；③不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0；④不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0.答案 ③2．已知方程＋＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．(填序号)9(x －1)2y 24①(－2,0) ②(1,2) ③(4,0) ④(3,1)答案 ①③解析 将点(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合题意．3．若点M 在方程x 2＋(y －1)2＝10所表示的曲线上，则实数m ＝________.(m2，－m )答案 －或2185解析 依题意得2＋(－m －1)2＝10，(m2)解得m ＝2或m ＝－.185所以m 的值为2或－.1854．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________．答案 两条相交直线解析 原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0.5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．答案 4个点解析 由题意，得Error!∴Error!或Error!或Error!或Error!∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、填空题1．方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为________．(填序号)①一条直线②一条射线③一条线段④不能确定答案 ②解析 方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．2．曲线C的方程为y＝2x－1(1<x<5)，则下列四个点中在曲线C上的是________．(填序号)① (0,0) ②(7,15) ③(2,3) ④(4,4)答案 ③解析 由y＝2x－1(1<x<5)得①，②的横坐标不满足题意，④中坐标代入后不满足方程，故只有③符合题意．3．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________．答案 2解析 由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，故其面积为2.4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．(填序号)x23x3①y＝a log a x；②y＝；③y＝log a a x；④y＝.答案 ③④3x3解析 由y＝log a a x＝x，y＝＝x，得③④表示同一条曲线．y－25．方程(x－1)2＋＝0表示的是____________．答案 点(1,2)y－2y－2解析 由(x－1)2＋＝0，知(x－1)2＝0，且＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋＝0表示的是点(1,2)．y－26．若点M到两坐标轴的距离的积为2016，则点M的轨迹方程是________．答案 xy＝±2016解析 设M(x，y)，则由题意得|x|·|y|＝2016，所以xy＝±2016.7．直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由(kx＋1)2＝4x，得k2x2＋2(k－2)x＋1＝0，则当k ≠0时，Δ＝[2(k －2)]2－4k 2＝16(1－k )>0，得k <1且k ≠0，故“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的必要不充分条件．8．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆＋＝1有一个公共点，则k 的值为________．x 216y 24答案 ±54解析 联立方程组Error!消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)＝0，即k ＝±时，直线与椭圆有一个公共点．549．如果曲线C 上的点满足方程F (x ，y )＝0，有以下说法：①曲线C 的方程是F (x ，y )＝0；②方程F (x ，y )＝0的曲线是C ；③坐标满足方程F (x ，y )＝0的点在曲线C 上；④坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．其中正确的是________．(填序号)答案 ④10．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所围的面积为________．答案 4π解析 设P (x ，y )，∵PA ＝2PB ，∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，∴(x －2)2＋y 2＝4.∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，∴所围成的面积S ＝π·22＝4π.11．下列命题正确的是________．(填序号)①△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0；②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.答案 ③解析 对照曲线和方程的概念，①中“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而②中，动点的轨迹方程为|y |＝5.从而只有③是正确的．二、解答题12．已知曲线C 的方程为x ＝，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围4－y 2成的图形的面积．解 由x ＝，得x 2＋y 2＝4.4－y 2又x ≥0，∴方程x ＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C4－y 2与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝π·4＝2π.12所以所求图形的面积为2π.13．已知两曲线f (x ，y )＝0与g (x ，y )＝0的一个交点为P (x 0，y 0)．求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．证明 因为P (x 0，y 0)是两曲线的交点，所以点P 的坐标既满足方程f (x ，y )＝0，又满足方程g (x ，y )＝0，即f (x 0，y 0)＝0且g (x 0，y 0)＝0，故f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0，所以P (x 0，y 0)的坐标是方程f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的解，故点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．三、探究与拓展14．已知方程①x －y ＝0；②－＝0；③x 2－y 2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的x y xy 第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________．答案 ①解析 ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不x y 正确．如点(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程＝1.xy 15．方程(2x ＋3y －5)(－1)＝0表示的曲线是什么？x －3解 因为(2x ＋3y －5)(－1)＝0，x －3所以可得Error!或者－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为x －3一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.。
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1
§2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目标 1.掌握双曲线标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点双曲线的标准方程思考双曲线标准方程中的a，b，c的关系如何？与椭圆标准方程中的a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．梳理(1)两种形式的标准方程(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(4)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b 2＝c 2－a 2与椭圆中的b 2＝a 2－c 2相区别．1．方程x 2m －y 2n ＝1(m ·n ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)2．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .(×)3．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)中，焦距为2c ，则a 2＝b 2＋c 2.(×)类型一 求双曲线的标准方程例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)方法一 椭圆y 225＋x 216＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧10a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.方法二 由椭圆方程y 225＋x 216＝1知焦点在y 轴上，设所求双曲线方程为y 225－λ－x 2λ－16＝1(16<λ<25)．∵双曲线过点(－2，10)，∴1025－λ－4λ－16＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧n ＝116，m ＝－19，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)； ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1 (1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5两点，求双曲线的标准方程． 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b 2＝1.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.类型二 曲线方程的讨论例2 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．解 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜0，m 2－2m －3＞0，解得m ＞5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．反思与感悟 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn ＜0时，方程表示双曲线，当⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．跟踪训练2 (1)“3＜m ＜5”是“方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线”的_________条件．答案 充分不必要解析 (m －5)(m 2－m －6)＝(m －5)(m －3)(m ＋2)．①方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线⇒(m －5)(m 2－m －6)＜0，即(m －5)(m －3)(m ＋2)＜0 ⇒3＜m ＜5或m ＜－2 ⇏3＜m ＜5，∴3＜m ＜5不是“x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线”的必要条件．②3＜m ＜5⇒(m －5)(m －3)(m ＋2)＜0， 即(m －5)(m 2－m －6)＜0⇒x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线． ∴3＜m ＜5是x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1的充分条件．(2)讨论x 225－k ＋y 29－k＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．解 由于k ≠9，k ≠25，则k 的取值范围为k ＜9,9＜k ＜25，k ＞25，分别进行讨论． ①当k ＜9时，25－k ＞0,9－k ＞0，所给方程表示椭圆，此时a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．②当9＜k ＜25时，25－k ＞0,9－k ＜0，所给方程表示双曲线，此时a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)． ③当k ＞25时，所给方程没有轨迹． 类型三 双曲线的定义及标准方程的应用例3 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得PF 1－PF 2＝±6，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos60°， 所以102＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2， 所以PF 1·PF 2＝64，所以12F PF S＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2 ＝12×64×32＝16 3. 引申探究本例中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积． 解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， 由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ＝6，所以PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36，① 在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝(2c )2＝100，②将②代入①得PF 1·PF 2＝32， 所以12F PF S＝12PF 1·PF 2＝16. 反思与感悟 求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出|PF 1－PF 2|＝2a ；②利用余弦定理表示出PF 1，PF 2，F 1F 2之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体思想求出PF 1·PF 2的值； ④利用公式12PF F S ＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2求得面积． (2)方法二：利用公式S △PF 1F 2＝12F 1F 2×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．同理可求得双曲线y 2a 2－x 2b2＝1中焦点三角形的面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF 1－PF 2|＝2a的变形使用，特别是与PF 21＋PF 22，PF 1·PF 2间的关系． 跟踪训练3 如图所示，已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 为双曲线上一点，并且∠F 1MF 2＝θ，求△MF 1F 2的面积．解 在△MF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝MF 21＋MF 22－2MF 1·MF 2·cos θ.①∵F 1F 22＝4c 2，MF 21＋MF 22＝(MF 1－MF 2)2＋2MF 1·MF 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2， ∴①式化为4c 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2(1－cos θ)， ∴MF 1·MF 2＝2b 21－cos θ，∴12MF F S ＝12MF 1·MF 2·sin θ＝b 2sin θ1－cos θ＝b 2·2sin θ2·cosθ21－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝b 2tan θ2.1．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．答案 (－1,1)解析 依题意得(1＋k )(1－k )>0，即(k ＋1)(k －1)<0，解得－1<k <1. 2．双曲线x 2k 2＋8－y 28－k 2＝1的焦距为________．答案 8解析 依题意得焦距为2k 2＋8＋8－k 2＝8.3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________． 答案 x 24－y 212＝1解析 令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点． 令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝4， 则符合条件的双曲线中a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上， ∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1.4．已知双曲线2x 2－y 2＝k (k ≠0)的焦距为6，则k 的值为________． 答案 ±6解析 由题意知，k ≠0.当k >0时，方程化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴c 2＝k 2＋k ＝3k2，∴2×3k2＝6，解得k ＝6. 当k <0时，方程化为y 2－k －x 2－k2＝1，∴c 2＝－32k ，∴2×－3k2＝6，解得k ＝－6. 综上，k ＝－6或k ＝6.5．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．答案343解析 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，设M (x M ，y M )，将x M ＝5代入双曲线方程可得|y M |＝163，即为点M 到右焦点的距离，由双曲线的定义知M 到左焦点的距离为163＋2×3＝343.求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解．特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn <0.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋k －y 2b 2－k ＝1(－a 2＜k ＜b 2)．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ，可设双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)．一、填空题1．满足条件：a ＝2，且一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为________________． 答案 x 24－y 212＝1解析 由一个焦点(4,0)知双曲线焦点在x 轴上，且c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，a ＝2，可得b 2＝12，故双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.2．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a ＝________.答案 1解析 由题意知焦点在x 轴上，因此4－a ＝a ＋2， 所以a ＝1.经检验，a ＝1满足题意．故a ＝1.3．双曲线的焦点是(0，±6)，且过点A (－2，－5)，则双曲线的标准方程是________． 答案 y 220－x 216＝1解析 由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝6. 设F 1(0，－6)，F 2(0,6)分别为双曲线的焦点， AF 1＝(－2)2＋(－5＋6)2＝5， AF 2＝(－2)2＋(－5－6)2＝55，根据双曲线的定义，2a ＝|AF 1－AF 2|＝45， 所以a ＝25，b 2＝c 2－a 2＝16， 故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.4．若双曲线的两个焦点坐标分别是F 1(0，－5)，F 2(0,5)，双曲线上任意一点P 满足到两个焦点的距离之差的绝对值是6，则双曲线的标准方程是________． 答案 y 29－x 216＝1解析 由题意得，焦点位于y 轴上，且c ＝5,2a ＝6，所以a ＝3，b 2＝c 2－a 2＝16，因此所求双曲线的标准方程是y 29－x 216＝1.5．已知双曲线x 24－y 2m ＝1的一个焦点坐标为(3,0)，则m ＝________.答案 5 解析 因为c ＝4＋m ＝3，所以解得m ＝5.6．已知方程x 29－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是________．答案 (9，＋∞)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－k <0，k －3>0，解得k >9.7．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 13解析 设PF 1＝d 1，PF 2＝d 2，则d 1＋d 2＝26，① |d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18.①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－4c22d 1d 2＝18－166＝13.8．与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线方程为________________．答案 x 23－y 23＝1解析 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上，∴设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．又∵两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.① 又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，a b 由①②得，a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1. 9．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其左，右焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．答案 2 3解析 设P 在双曲线的右支上，PF 1＝2＋x ，PF 2＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以PF 2＋PF 1＝3－1＋3＋1＝2 3.10．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．答案 x 216－y 29＝1 解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1，∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线过点(42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 11．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|的值为________．答案 1或5解析 由题意得Q 为PF 的中点，设左焦点为F ′，其坐标为(－3,0)，2若P 在双曲线的左支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF －2a )＝12×(6－2×2)＝1； 若P 在双曲线的右支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF ＋2a )＝12(6＋2×2)＝5. 综上，|OQ →|＝1或5.二、解答题12．设F 1，F 2是双曲线x 24a －y 2a＝1(a >0)的两个焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，求双曲线的方程．解 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＝20a .①又||PF 1→|－|PF 2→||＝4a .②①－②2，得2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a .∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，∴a ＝1.∴双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左，右焦点为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设MF 1＝m ，MF 2＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴S △MF 1F 2＝12mn ＝4＝12F 1F 2·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1. 三、探究与拓展14．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m 的值为________． 答案 7或－2解析 (1)当焦点在x 轴上时，有m >5，则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；(2)当焦点在y 轴上时，有m <0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2.综上，m ＝7或m ＝－2.15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左，右焦点，且MF 1＋MF 2＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上， 且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有MF 1－MF 2＝23， 又MF 1＋MF 2＝63，故解得MF 1＝43，MF 2＝23， 又F 1F 2＝25，所以在△MF 1F 2中，MF 1边最长，cos ∠MF 2F 1＝MF 22＋F 1F 22－MF 212MF 2·F 1F 2<0， 又因为∠MF 2F 1∈(0°，180°)， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
全国2018-2019学年高二数学选修2-1讲义：第1部分 第1章 1.1 1.1.2 充分条件和必要条件
1．1.2充分条件和必要条件如图：p：开关A闭合，q：灯泡B亮．问题1：p与q有什么关系？提示：命题p成立，命题q一定成立．p：两三角形相似，q：对应角相等．问题2：p与q有什么关系？提示：命题p成立，命题q一定成立．一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．已知p：整数x是6的倍数；q：整数x是2和3的倍数．问题1：“若p，则q”是真命题吗？提示：是．问题2：“若q，则p”是真命题吗？提示：是．问题3：p是q的什么条件？提示：充要条件．1．如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件．简称p是q的充要条件，记作p⇔q.2．如果p⇒q，且q ⇒/p，那么称p是q的充分不必要条件．3．如果p ⇒/q，且q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件．4．如果p ⇒/q，且q ⇒/p，那么称p是q的既不充分又不必要条件．原命题“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，则p与q的关系有以下四种情形：[对应学生用书P6][例1]对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是________．①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．[思路点拨]逐一分析Δ，根据二次函数与Δ的关系，判断结论是否正确．[精解详析]①是正确的，因为Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c 有零点；②是正确的，因为Δ＝b2－4ac＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，但是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，有可能Δ>0；③是错误的，因为函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，但未必有Δ＝b2－4ac>0，也有可能Δ＝0；④是正确的，因为Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．[答案]①②④[一点通]充分、必要条件判断的常用方法：(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断．(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的等价命题判断．1．从“⇒”、“⇒/”与“⇔”中选出适当的符号填空：(1)x>1________x>0；(2)a>b________a2>b2；(3)a2＋b2＝2ab________a＝b；(4)A⊆∅________A＝∅.解析：(1)由于命题“若x>1，则x>0”为真命题，则x>1⇒x>0；(2)由于命题“若a>b，则a2>b2”为假命题，则a>b⇒/ a2>b2；(3)由于命题“若a2＋b2＝2ab，则a＝b”为真命题，且逆命题也为真命题，故a2＋b2＝2ab⇔a＝b；(4)由于命题“若A⊆∅，则A＝∅”为真命题，且逆命题也为真命题，故A⊆∅⇔A＝∅.答案：(1)⇒(2) ⇒/(3)⇔(4)⇔2．(福建高考改编)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B ⇒/a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选一个作答)：(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(4)p：a>b，q：ac>bc.解：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 ⇒/x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．(2)两个三角形相似⇒/两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件．(4)a >b ⇒/ ac >bc ，且ac >bc ⇒/ a >b ，故p 是q 的既不充分又不必要条件.[例2] 已知p ：2x 2－3x －2≥0，q ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 先利用不等式的解法确定命题p 、q 成立的条件，再根据p 是q 的充分不必要条件确定a 的不等式组，求得a 的范围．[精解详析] 令M ＝{x |2x 2－3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0} ＝{x |x ≤－12或x ≥2}，N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0} ＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0} ＝{x |x ≤a －2或x ≥a }．由已知p ⇒q 且q ⇒/ p ，得M N . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －2≥－12，a <2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2 ⇔32≤a <2或32<a ≤2 ⇔32≤a ≤2. 即所求a 的取值范围是[32，2]．[一点通] 根据充分条件或必要条件求参数范围： (1)记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}； (2)若p 是q 的充分不必要条件，则M N ， 若p 是q 的必要不充分条件，则N M ，若p 是q 的充要条件，则M ＝N ； (3)根据集合的关系列不等式(组)； (4)求参数范围．4．已知p ：关于x 的不等式3－m 2<x <3＋m2，q ：x (x －3)<0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：记A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 3－m 2<x <3＋m 2， B ＝{x |x (x －3)<0}＝{x |0<x <3}， 若p 是q 的充分不必要条件，则AB .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，分两种情况讨论： (1)若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m2，求得m ≤0，此时AB ，符合题意；(2)若A ≠∅，即3－m 2<3＋m2，求得m >0，要使AB ，应有⎩⎪⎨⎪⎧3－m2>0，3＋m2<3，m >0解得0<m <3.综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3)．5．已知条件p ：x 2＋x －6＝0，条件q ：mx ＋1＝0，且q 是p 的充分不必要条件，求m 的值．解：由题意得p ：A ＝{x |x ＝－3或x ＝2}， 当m ＝0时，p ＝B ＝∅， 当m ≠0时，P ：B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＝－1m .∵q 是p 的充分不必要条件，∴B A .易知m ＝0适合题意．当－1m ＝－3或－1m ＝2，即m ＝13或m ＝－12时，也适合题意．∴m 的值为－12或13或0.[例3] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，p ≠1)，求数列{a n }是等比数列的充要条件．[思路点拨] 根据数列的前n 项和S n 与数列通项a n 的关系，先求出数列的通项a n ，根据数列{a n }为等比数列，探求q 所满足的条件，同时要注意充分性的证明．[精解详析] a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，∵p ≠0，p ≠1，∴p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .若{a n }为等比数列，则a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，∴p (p －1)p ＋q＝p ， ∵p ≠0，∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.∴{a n }为等比数列的必要条件是q ＝－1. 下面证明q ＝－1是{a n }为等比数列的充分条件． 当q ＝－1时，S n ＝p n －1(p ≠0，p ≠1)， ∴a 1＝S 1＝p －1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －p n －1＝p n －1(p －1)，∴a n ＝(p －1)p n －1(p ≠0，p ≠1)，a n a n －1＝(p －1)p n －1(p －1)p n －2＝p 为常数， ∴q ＝－1时，数列{a n }为等比数列．即数列{a n }是等比数列的充要条件为q ＝－1. [一点通] 求充要条件一般有两种方法：(1)等价转化法．将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的充要条件，求解的过程同时也是证明的过程，因为求解的过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．(2)非等价转化法．先寻找必要条件，即将求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．6．使函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数的充分不必要条件为________． 解析：由函数f (x )＝|x －a |的图像知，函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数的充要条件为a ≤1，所以使“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件即求使“a ≤1”成立的充分不必要条件，即填写形如a ≤p ，且p <1即可，故答案不唯一，可填a ≤0.答案：a ≤07．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 解析：由于方程都是正整数解，由判别式“16－4n ≥0”得“1≤n ≤4”，逐个分析，当n ＝1、2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1、3；当n ＝4时，方程有正整数解2.答案：3或41．关于充分条件、必要条件、充要条件以及既不充分又不必要条件的关系有如下四种情形：(1)若p q ，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若q p ，则p 是q 的必要不充分条件；(3)若p ＝q ，则p 是q 的充分必要条件，既充要条件； (4)若pq ，且qp ，则p 是q 的既不充分又不必要条件．2．根据充分条件、必要条件、充要条件的关系求参数的取值范围，往往运用等价转化的思想，利用互为逆否命题的等价性来解决．[对应课时跟踪训练(二)]1．(安徽高考改编)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的________条件．解析：由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或x ＝0，因为“x ＝12或x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．答案：必要不充分2．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________.解析：由1×3－a ×(a －2)＝0，得a ＝3或－1，而a ＝3时，两条直线重合，所以a ＝－1.答案：－13．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件； ②“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ③“a <5”是“a <3”的必要条件；④“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件． 其中真命题的序号为________．解析：①“a ＝b ”是ac ＝bc 的充分不必要条件，故①错，②a >b 是a 2>b 2的既不充分也不必要条件，故②错．③④正确．答案：③④4．(北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的________条件． 解析：由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件．答案：充分不必要5．若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 解析：p ：0<x <3，q ：x <3＋m 2，若p 是q 的充分不必要条件，则3＋m2≥3，即m ≥3.答案：[3，＋∞)6．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明：(1)必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca<0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac <0. (2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝ca <0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 7．求直线l ：ax －y ＋b ＝0经过两直线l 1：2x －2y －3＝0和l 2：3x －5y ＋1＝0交点的充要条件．解：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y －3＝0，3x －5y ＋1＝0，得交点P ⎝⎛⎭⎫174，114. 若直线l ：ax －y ＋b ＝0经过点P ，则a ×174－114＋b ＝0.∴17a ＋4b ＝11.设a ，b 满足17a ＋4b ＝11，则b ＝11－17a4，代入方程ax －y ＋b ＝0，得ax －y ＋11－17a4＝0，整理，得⎝⎛⎭⎫y －114－a ⎝⎛⎭⎫x －174＝0. ∴直线l ：ax －y ＋b ＝0恒过点⎝⎛⎭⎫174，114，此点即为l 1与l 2的交点．综上，直线l ：ax －y ＋b ＝0经过两直线l 1：2x －2y －3＝0和l 2：3x －5y ＋1＝0交点的充要条件为17a ＋4b ＝11.8．已知p ：－6≤x －4≤6，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：p ：－6≤x －4≤6⇔－2≤x ≤10.q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)⇔1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为q 是p 的充分不必要条件．即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，如图，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的范围为{m |0<m ≤3}．。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.2 1.2.3 简单复合函数的导数含答案解析
1．2.3 简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2. 问题1：这两个函数是复合函数吗？ 提示：是复合函数．问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2是如何复合的？提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2是由 g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2复合而成的． 问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2，g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2的导数．提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2]′＝[9x 2＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3. 问题4：观察问题3中导数有何关系？ 提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量． 2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．[对应学生用书P11]复合函数的求导[例1] (1)y ＝1(2x ＋3)3；(2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)； (4)y ＝log 2(5－3x )．[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解． [精解详析] (1)y ＝1(2x ＋3)3＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －32，u ＝2x ＋3的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －32)′·(2x ＋3)′＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.(2)y ＝e －0.05x ＋1是函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(－0.05x＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05e－0.05x ＋1.(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1u ln 2＝－3(5－3x )ln 2＝3(3x －5)ln 2. [一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f (x )＝ln 1x ，则f ′(x )＝________.解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1x的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·⎝⎛⎭⎫1x ′ ＝1u ·⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x . 答案：－1x2．函数y ＝sin 3x ＋sin x 3的导数为________． 解析：y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2 ＝3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3. 答案：3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3 3．求下列函数的导数： (1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝1(1－3x )4.解：(1)y ＝e u ，u ＝2x 2＋3x ， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2＋3x )′＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2＋3x . (2)∵y ＝1(1－3x )4＝(1－3x )－4， ∴可设y ＝u －4，u ＝1－3x ，∵y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5×(－3)＝12(1－3x )－5.求导法则的综合应用[例2] (1)y ＝31－x sin(2x －1)；(2)y ＝ln (2x －1)2x －1.[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解． [精解详析] (1)y ′＝(31－x )′sin(2x －1)＋31－x ·[sin(2x －1)]′＝－31－x ln 3·sin(2x －1)＋31－x ·2cos(2x －1)＝31－x [2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．(2)y ′＝[ln (2x －1)]′·2x －1－ln (2x －1)·(2x －1)′(2x －1)2＝22x －12x －1－ln (2x －1)·12(2x －1)－12·22x －1＝22x －1－ln (2x －1)2x －12x －1＝2－ln (2x －1)(2x －1)·2x －1. [一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．4．若函数f (x )＝x cos 2x ，则f ′(x )＝________. 解析：f ′(x )＝x ′cos 2x ＋x (cos 2x )′ ＝cos 2x －2x sin 2x . 答案：cos 2x －2x sin 2x 5．求下列函数的导数： (1)y ＝2x －1x ；(2)y ＝12sin 2(1－x )．解：(1)y ′＝(2x －1)′x －2x －1·x ′x 2＝x2x －1－2x －1x 2＝1－x x 22x －1. (2)∵y ＝12sin 2(1－x )＝14[1－cos(2－2x )]＝14－14cos(2－2x )＝14－14cos(2x －2)． ∴y ′＝12sin(2x －2)．复合函数导数的应用[例3] f (1))处的切线为l ，若l与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．[思路点拨] 求函数f (x )的导数→求f ′(1)得切线l 的斜率→写出直线l 的点斜式方程→由l 与圆C 相切列方程→解方程求a .[精解详析] ∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′＝2ax －22－x，∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ， ∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)， 即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14 相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，所以有|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.∴a 的值为118.[一点通] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．6．函数y ＝cos 2x 在点⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线方程是________．解析：∵y ′＝－2sin 2x ，∴k ＝－2sin π2＝－2.∴切线方程为y －0＝－2⎝⎛⎭⎫x －π4， 即2x ＋y －π2＝0.答案：2x ＋y －π2＝07．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角． 解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在⎝⎛⎭⎫－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1， 所以倾斜角为π4.8．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式． 解：∵y ＝e －x ，∴y ′＝(e －x )′＝－e －x ，∴y ′|x ＝t ＝－e －t .故切线方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )，即x ＋e t y －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0得x ＝t ＋1. 令x ＝0得y ＝e －t (t ＋1)．∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t (t ≥0)．求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．[对应课时跟踪训练(五)]一、填空题1．设函数f (x )＝sin(4x －2)，则f ′(x )＝________. 解析：∵f (x )＝sin(4x －2)，∴f ′(x )＝[sin(4x －2)]′＝4cos(4x －2)． 答案：4cos(4x －2)2．(全国大纲卷改编)曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：y ′＝e x －1＋x e x －1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y ′|x ＝1＝2. 答案：23．设曲线y ＝f (x )＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 解析：∵切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k ＝2. 又∵f ′(x )＝(e ax )′＝a e ax ， ∴k ＝f ′(0)＝a ＝2. 答案：24．函数y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的导数为________． 解析：∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x2sin 4x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫－x 2′sin 4x ＋⎝⎛⎭⎫－x2·(sin 4x )′ ＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． 解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1， 且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a， 则1x 0＋a＝1，x 0＋a ＝1，② 由①②可得x 0＝－1，所以a ＝2. 答案：2 二、解答题6．求下列函数的导数．(1)y ＝5log 2(2x ＋1)； (2)y ＝cos(53π－7x )；(3)y ＝(2x －1)5.解：(1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u ln 2×2＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.(2)设y ＝cos u ，u ＝53π－7x .则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin ⎝⎛⎭⎫53π－7x . (3)设y ＝u 5，u ＝2x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4×2＝10u 4＝10(2x －1)4.7．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． 解：f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.8．已知A (1，f ′(x ))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x ，ln(2－x ))－(1，f ′(1)) ＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))， a ＝(1,1)，∴f (x )＝AB ―→·a ＝x －1＋ln(2－x )－f ′(1) ＝ln(2－x )＋x －f ′(1)－1∴f ′(x )＝12－x ·(2－x )′＋1＝1x －2＋1，∴f ′(1)＝0，∴f (x )＝ln(2－x )＋x －1.。
2018-2019学年高二数学精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2-2.6.3
2.6.2 求曲线的方程 2.6.3 曲线的交点学习目标 1.了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程.2.掌握求两条曲线交点的方法.3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系．知识点一 坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？ 答案 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．梳理 (1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法． (2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质． 知识点二 求曲线的方程的步骤 1．建系：建立适当的坐标系．2．设点：设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y )． 3．列式：列出符合条件p (M )的方程f (x ，y )＝0. 4．化简：化方程f (x ，y )＝0为最简形式．5．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 知识点三 曲线的交点已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x 0，y 0)＝0.f 2(x 0，y 0)＝0，(2)求两曲线的交点，就是求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．1．x 2＋y 2＝1(x ＞0)表示的曲线是单位圆．(×)2．若点M (x ，y )的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，则点M 在曲线f (x ，y )＝0上．(√) 3．方程y ＝x 与方程y ＝x 2x 表示同一曲线．(×)4．曲线xy ＝2与直线y ＝x 的交点是(2，2)．(×)类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则|8－x |＝2P A . 则|8－x |＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|， 又P A ＝(x －2)2＋(y －0)2， 故|y －8|＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系； ②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列式；对所求的方程化简、证明． 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练1 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列．求点P 的轨迹方程． 解 设点P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)， 得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)．∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，即⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0)． 类型二 相关点法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ， 又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练2 已知△ABC 的两顶点A ，B 的坐标分别为A (0，0)，B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．解 设G (x ，y )为△ABC 的重心，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .因为顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以3y ＝(3x －6)2＋3， 整理，得y ＝3(x －2)2＋1.故ΔABC 重心的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M (1,2)的直线与曲线y ＝ax (a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a 的取值范围．解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点． 设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，y ＝a x ，消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点． ∴Δ＝(2－k )2＋4ka >0.设方程①的两根分别为y 1，y 2， 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k . 又∵y 1＋y 2＝a ，∴k ＝2－a ， 代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0， 解得0<a <83.又∵k ≠0， ∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0,2)∪⎝⎛⎭⎫2，83. 反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．若两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0的解来确定．跟踪训练3 已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A ，B 两点，若AB ＝5，求实数b 的值． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2，消去y ，整理得2x 2＋bx －2＝0.①∵x 1，x 2是关于x 的方程①的两根， ∴x 1＋x 2＝－b2，x 1x 2＝－1.又AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k ＝2，代入则有AB ＝1＋22·b 2＋162＝5，∴b 2＝4，则b ＝±2.故所求b 的值为±2.1．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－178，158 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x 2－y 2＝1得x 2－(x ＋4)2－1＝0，即⎩⎨⎧x ＝－178，y ＝158.2．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 2，则直线l 与椭圆的交点坐标为________．答案 (0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43解析 因F 2(1,0)，l 方程为y ＝2x －2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 25＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝53，y ＝43，故所得交点坐标为(0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43.3．直线x a ＋y 2－a ＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________________．答案 x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1)解析 设直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.4．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________． 答案 x ＝32解析 设动点P (x ，y )， 则x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简整理得x ＝32.5．M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP →＝3PM →，求动点P 的轨迹方程．解 设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.求解轨迹方程常用方法：(1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程．(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．(4)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．一、填空题1．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设中点的坐标为(x ，y )，则相应圆x 2＋y 2＝4上的点的坐标为(2x －4,2y ＋2)， 所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 答案 π3或5π3解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α<2π， 所以α＝π3或α＝5π3.3．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围为________． 答案 [1，2)解析 在同一直角坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图象，如图所示，可得b 的范围为1≤b < 2.4．直线y ＝mx ＋1与椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，则m 2的值为________． 答案 34解析 因为直线与椭圆只有一个交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1，消去y 得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＋3＝0，所以由Δ＝(8m )2－12(1＋4m 2)＝16m 2－12＝0， 解得m 2＝34.5．已知定点A (0,1)，直线l 1：y ＝－1，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C .则动点C 的轨迹E 的方程为________． 答案 x 2＝4y解析 设动点C (x ，y )，根据题意可知，点C 到点A 的距离与到直线l 1：y ＝－1的距离相等，所以x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，两边平方整理得x 2＝4y .6．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是________． 答案 x 2＋y 2＝1解析 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y ).由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0, 即x 2＋y 2＝1.7．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.则动点P 的轨迹C 的方程是________． 答案 y 2＝4x解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )． 由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )， 所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2， 化简得y 2＝4x .8．已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且P A →·PB →＝2PQ →2，则动点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2－x 2＝2解析 设动点P 的坐标为(x ，y )， 则点Q 的坐标为(0，y )，PQ →＝(－x,0)，P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )， P A →·PB →＝x 2－2＋y 2.由P A →·PB →＝2PQ →2，得x 2－2＋y 2＝2x 2， 所以所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2.9．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得方程ax 2－x ＋1＝0. 令Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为________． 答案33解析 由题意得PF 2＝b 2a ，PF 1＝2b 2a ，由椭圆定义得3b 2a ＝2a,3b 2＝3a 2－3c 2＝2a 2，则此椭圆的离心率e 为33. 11．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________． 答案 45°或135°解析 由y 2＝6x 得焦点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0， 设直线方程y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －32， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，得k 2x 2－(6＋3k 2)x ＋94k 2＝0，设直线与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝6＋3k 2k 2， ∵弦长为12，∴6＋3k 2k 2＋3＝12， ∴k ＝±1，∴直线的倾斜角为45°或135°.二、解答题12．在平面直角坐标系中，已知点F (0,2)，一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．解 设点M (x ，y )是所求曲线上任意一点，因为曲线在x 轴的上方，所以y >0.过点M 作MB ⊥x 轴，垂足是点B ，则MF －MB ＝2， 即x 2＋(y －2)2－y ＝2，整理得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2，化简得y ＝18x 2， 所以所求曲线的方程是y ＝18x 2(x ≠0)． 13．已知线段AB ，B 点的坐标为(6,0)，A 点在曲线y ＝x 2＋3上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解 设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，点A (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋62，y ＝y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y . 由题知点A (x 1，y 1)在曲线y ＝x 2＋3上，所以2y ＝(2x －6)2＋3，所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为y ＝2(x －3)2＋32. 三、探究与拓展14．过点P (0,1)的直线与曲线|x |－1＝1－(1－y )2相交于A ，B 两点，则线段AB 长度的取值范围是____________．答案 [22，4]解析 曲线|x |－1＝1－(1－y )2可化为x ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1，或x <－1，(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，图象如图所示，线段AB 长度的取值范围是[22，4]．15．已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，M 为直角坐标平面内一动点，过点M 作圆O 的切线，切点为N ，若MN 和MQ 的比值等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解 连结ON ，OM ，则ON ⊥MN ，设M (x ，y )．∵圆的半径是1，∴MN 2＝OM 2－ON 2＝OM 2－1.由题意，MN MQ＝λ(λ＞0)，∴MN ＝λMQ ， 即x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2，整理得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0.∵λ>0，∴当λ＝1时，方程化为x ＝54， 该方程表示一条直线；当λ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2λ2λ2－12＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2， 该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2λ2－1，0为圆心，以1＋3λ2|λ2－1|为半径的圆．。
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2(一)
2.2.2 椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考 观察椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )． 梳理 椭圆的几何性质知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？答案 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． 梳理 (1)焦距与长轴长的比ca 称为椭圆的离心率．记为：e ＝ca.(2)对于x 2a 2＋y 2b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×)2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则MF 的最大值为a ＋c .(c为椭圆的半焦距)(√)类型一 由椭圆方程研究其几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解 由已知得椭圆标准方程为x 219＋y 2116＝1，于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74.焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－712，0和⎝⎛⎭⎫712，0， 顶点坐标为⎝⎛⎭⎫±13，0，⎝⎛⎭⎫0，±14. 反思与感悟 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，焦点坐标为(0,62)，(0，－62)，顶点坐标为(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)． 离心率e ＝c a ＝223.类型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.解 (1)由题意知，2c ＝8，∴c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48， ∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由e ＝c a ＝23得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80， 所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.反思与感悟 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为12. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求椭圆的方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，2c ＝12，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程． 解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝⎛⎭⎫0，32的距离为d ， 则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3， 令f (y )＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3. 当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7， 解得b ＝－32±7，与0＜b ＜12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 2＝22－2y 20＋y 2＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2. 类型三 求椭圆的离心率例4 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a ，b ，c . 则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，23b ， 且△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中，F 1F 22＋MF 22＝MF 21，即4c 2＋49b 2＝MF 21.而MF 1＋MF 2＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.反思与感悟 求椭圆离心率的方法(1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca，也可利用e ＝1－b 2a2求解． (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解．跟踪训练4 已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求椭圆C 的离心率． 解 若焦点在x 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝52－12＝26，∴e ＝c a ＝265；若焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，∴c ＝a 2－b 2＝252－52＝106， ∴e ＝c a ＝10625＝265.故椭圆C 的离心率为265.1．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为________． 答案33解析 由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，又∵0＜e ＜1，∴e ＝33.2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是________． 答案 x 2＋y 26＝1解析 由已知得c ＝5，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 又椭圆的焦点在y 轴上， 故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 答案 35解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，又∵0＜e ＜1，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案 32解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2， ∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ，又e ＝c a ＝12，∴2－m 2＝12，解得m ＝32. 5．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置． 2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状． 3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论．4．与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有相同焦点的椭圆可设为x 2a 2＋m ＋y 2b 2＋m＝1.一、填空题1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是________． 答案 14,4，357解析 先将椭圆方程化为标准形式，得x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为________． 答案 x 236＋y 216＝1解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10， 又a 2＝b 2＋c 2从而解得a ＝6，b ＝4.3．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为________． 答案5－12解析 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝ca ，即1－e 2＝e .∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值)．4．已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2＝2，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为________________． 答案 x 24＋y 23＝1解析 因为F 1F 2＝2，离心率e ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________． 答案 x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1解析 若焦点在x 轴上，则a ＝2. 又e ＝32，∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴方程为x 24＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14，∴a 2＝4b 2＝16，∴方程为x 24＋y 216＝1.6．椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点P的纵坐标是________． 答案 ±32解析 设椭圆的右焦点为F 2，由题意知PF 2⊥x 轴， 因为a 2＝12，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3. 所以点P 和点F 2的横坐标都为3. 故将x ＝3代入椭圆方程，可得y ＝±32.7．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是________． 答案2mm解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2m m. 8．已知椭圆C 的上，下顶点分别为B 1，B 2，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e ＝________. 答案 22解析 因为四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 9．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________．答案 x 25＋y 24＝1 解析 ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线．∴椭圆的右焦点为A (1,0)，即c ＝1.设P ⎝⎛⎭⎫1，12，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2)．∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．考点 椭圆的离心率问题题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 33解析 由题意可设PF 2＝m ，结合条件可知PF 1＝2m ，F 1F 2＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝3m 2m ＋m ＝33. 11．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．答案 34解析 设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°， 在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c ， 故cos60°＝F 2M PF 2＝3a 2－c 2c ＝12， 解得c a ＝34，故离心率e ＝34.二、解答题12．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10， 短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35. (2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)，焦点坐标(0,6)，(0，－6)；④离心率：e ＝35. 13．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)．由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)． 如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且OF ＝c ，A 1A 2＝2b ， ∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1. 三、探究与拓展14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过点E ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，则椭圆的离心率为________． 答案 33解析 由F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，得EF 2EF 1＝F 2B F 1A ＝12， 从而a 2c －c a 2c ＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2.故离心率e ＝c a ＝33. 15．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围． 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32. ∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。
2018-2019版高中数学北师大版选修2-1文档：第一章 §1
§1命题学习目标 1.了解命题的概念(重点).2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式(重点).3.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系(重、难点).4.会判断四种命题的真假(重、难点).知识点一命题(1)概念：可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.(2)真假命题：命题中判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题. 知识点二命题的结构一般地，每一个命题都可以写成“若p，则q”的形式，其中命题中的p叫作命题的条件，q叫作命题的结论，也就是说，命题由条件和结论两部分组成.【预习评价】1.表述命题的语句有什么特点？提示必须是陈述句，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.2.语句“x＞0”可以判断真假吗？提示由于不知道x的范围，所以无法判断真假.知识点三四种命题的定义(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫作互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题.(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，把这样的两个命题叫作互否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作原命题的否命题.(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这样的两个命题叫作互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作原命题的逆否命题.【预习评价】1.如何确定命题的条件和结论？提示命题中已知的事项为条件，由已知推出的事项为结论.2.如何确定“若p，则q”为真？提示能够利用公理、定理等已有知识和条件p推出结论q，则说明“若p，则q”为真.知识点四四种命题间的关系知识点五四种命题的真假判断(1)原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假.(2)原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假.(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.(4)互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假.【预习评价】1.四种命题中原命题是否是固定的？提示原命题不是固定的，任何一个命题都可以作为原命题，从而有另外的三种命题.2.由原命题写出逆命题、否命题、逆否命题的关键是什么？提示关键是分清楚原命题的条件和结论，然后按照逆命题、否命题、逆否命题的定义来写.题型一命题的判断【例1】(1)下列语句为命题的是()A.x－1＝0B.2＋3＝8C.你会说英语吗？D.这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________.①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22 015是一个很大的数；④4是集合{2，3，4}的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.解析(1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假.(2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句.答案(1)B(2)①④规律方法并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.【训练1】判断下列语句是不是命题.(1)求证3是无理数；(2)x2＋2x＋1≥0；(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果；(5)一个正整数不是质数就是合数；(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0；(7)x＋3>0.解(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题.题型二四种命题的关系及真假判断【例2】下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题.其中是真命题的是________.解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题.所以真命题是①②③.答案①②③规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.【训练2】下列命题为真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④解析①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，故为真命题.②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.③原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题.④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x－2不是有理数”.∵x不是无理数，∴x是有理数.又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题.正确的命题为①③④，故选B.答案 B【探究1】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假.解原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”.判断真假如下：函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图像开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真.【探究2】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的逆命题的真假.解原命题的逆命题为“已知a，x为实数，若a＜2，则关于x的不等式x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集”.判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a －7，因为a＜2，所以4a－7＜1，当0≤Δ＜1时，抛物线与x轴有交点，当Δ＜0时，抛物线与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不一定是空集，故原命题的逆命题为假命题.【探究3】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＞0的解集是R，则a＜74”的逆否命题的真假.解先判断原命题的真假如下：因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＞0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0.所以a＜7 4.所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题.规律方法“正难则反”的处理原则(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题.(3)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视.课堂达标1.命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A.若a∉A，则b∉BB.若a∈A，则b∉BC.若b∈B，则a∉AD.若b∉B，则a∉A解析命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互为否定形式.答案 B2.命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是()A.若A∪B＝B，则A∩B＝AB.若A∩B≠A，则A∪B≠BC.若A∪B≠B，则A∩B≠AD.若A∪B≠B，则A∩B＝A解析注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”.答案 C3.命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________________________，它是________命题(填“真”或“假”).答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假4.给出以下命题：①“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题.其中为真命题的是________.解析①否命题是“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”.假命题.②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题.③∵Δ＝1＋4m，m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真.∴逆否命题为真.答案③5.写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题、逆否命题.解原命题的否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”；原命题的逆否命题为：“若x，y不全为0，则x2＋y2≠0”.课堂小结1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定和结论q的否定；(3)按照四种命题的结构写出所求命题.2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论.3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.基础过关1.下列语句不是命题的个数为()①2<1；②x<1；③若x<1，则x<2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数.A.0B.1C.2D.3解析①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题.答案 B2.下列命题为真命题的是()A.互余的两个角不相等B.相等的两个角是同位角C.若a2＝b2，则|a|＝|b|D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析由平面几何知识可知A，B，D三项都是错误的.答案 C3.已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析原命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题.当x2－8x＋15＝0时，x＝3或x＝5.故其逆命题：“若x2－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题. 答案 B4.“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是________命题(填“真”或“假”).解析逆否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”是假命题.答案若α≠π6，则sin α≠12假5.“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________________________.解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”.答案若x，y不全为零，则xy≠06.判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假.解∵m>0，∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真.又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真.7.判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假.解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ＝－4b≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b ＝0无实根，则b>－1”.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真.能力提升8.与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A.能被3整除的整数，一定能被6整除B.不能被3整除的整数，一定不能被6整除C.不能被6整除的整数，一定不能被3整除D.不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析互为逆否命题的两个命题是等价的.答案 B9.已知α，β，γ是不同的平面，l，m，n是不同的直线，则下列命题是真命题的是()A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB.若m⊥α，β⊥α，则m∥βC.若l⊥m，l⊥n，则m∥nD.若l⊥α，m⊥α，则l∥m解析当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行，也可能相交，故A不正确；当m⊥α，β⊥α时，m可能平行β，也可能在β内，故B不正确；当l⊥m，l⊥n时，m与n的位置关系是平行或异面或相交，故C不正确.故选D.答案 D10.下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号).答案②和③①和③①和②11.已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________.解析由已知得，若1<x<2成立，则m－1<x<m＋1也成立.∴⎩⎨⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 答案 [1，2]12.有下列命题：①mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程；②函数y ＝ax 2＋2x －1的图像与x 轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集.其中有哪些是真命题？解 ①当m ＝0时，方程是一元一次方程；②方程ax 2＋2x －1＝0(a ≠0)的判别式Δ＝4＋4a ，其值不一定大于或等于0，所以与x 轴至少有一个交点不能确定；③④正确.13.(选做题)给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅；命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数.(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙有且只有一个是真命题.分别求出符合(1)(2)的实数a 的取值范围.解 甲为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >13或a <－1； 乙为真时，2a 2－a >1，即B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >1或a <－12. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，解集为A ，B 的并集，这时实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >13或a <－12. (2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，13<a ≤1；当甲假乙真时，－1≤a <－12.所以甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |13<a ≤1或－1≤a <－12.。
2018～2019学年度高中数学选修2-1教师用书配套课件整理2.3.2.2
3
3
双曲线有两个交点;当k=±1或k=±2 3 时,直线与双曲
3
线只有一个交点;当k> 2 3 或k<- 2 3 时,直线与双曲
3
3
线没有交点.
【方法总结】直线与双曲线的位置关系及其判定方法 (1)直线与双曲线的位置关系有三种:①直线与双曲线 相交(包括有两个不同的公共点和当直线与双曲线的 渐近线平行时有一个公共点两种情况);②直线与双曲 线相切(直线与双曲线有两个重合的公共点);③直线 与双曲线相离(没有公共点).
核心提示 重点:双曲线渐近线的意义与应用,直线和双曲线的位 置关系中的弦长、中点弦问题 难点:应用渐近线方程求双曲线方程及离心率,与双曲 线有关的综合问题 易错点:利用点差法解题时忽略验证致误
【知识衔接】
1.双曲线
x2 a2
y2 b2
=1(a>0,b>0)的渐近线方程为
__y____ba_x__,双曲线
a2
解得a2=4,b2=5,
则C的方程为 x2 y2 1.
45
(3)当m>0,n>0时, n 4，
m3
所以
n m
b2 a2
16，e 9
1 (b)2 a
1 16 5 ; 93
当m<0,n<0时, m 4，m a2 16，
n 3 n b2 9
e 1 (b)2 1 9 5.
(3)与双曲线
x2 y2 a2 b2
=1共渐近线的双曲线方程可设为
x2 a2
y2 b2
=λ (λ ≠0).
2.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系
(1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意e=
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.6 2.6.1 曲线与方程
_2.6曲线与方程2．6.1曲线与方程[对应学生用书P38]在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中．问题1：直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？提示：相等．问题2：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？提示：不对．问题3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y＝±x.曲线的方程和方程的曲线如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．正确理解曲线与方程的概念(1)定义中的条件(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性)，即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程而毫无例外；条件(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性)，即适合条件的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．[对应学生用书P39][例1]如果曲线C上的点满足方程F(x，y)＝0，有以下说法：①曲线C的方程是F(x，y)＝0；②方程F(x，y)＝0的曲线是C；③坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线C上；④坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线C上．其中正确的是________．(填序号)[思路点拨]根据曲线与方程的概念进行判断．[精解详析]依据曲线的方程及方程的曲线的定义，曲线上的点应具备纯粹性和完备性．由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性．[答案]④[一点通]判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．1．判断下列结论的正误，并说明理由．(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3；(2)到y轴距离为2的点的直线方程为x＝－2.解：(1)正确．理由如下：∵满足曲线方程的定义．∴结论正确．(2)错误．理由如下：∵到y轴距离为2的点的直线方程还有一个，∴结论错误．2.下列方程表示如图所示的直线c，对吗？为什么？(1)x－y＝0；(2)x2－y2＝0；(3)|x|－y＝0.解：第(1)题中，曲线C 上的点不全都是方程x －y ＝0的解，如点(－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第(2)题中，尽管“曲线C 上的坐标都是方程的解”，但以方程x 2－y 2＝0的解为坐标的点不全在曲线C 上，如点(2，－2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：[例2] 方程(x －4y －12)[(－3)＋log 2(x ＋2y )]＝0的曲线经过点A (0，－3)、B (0,4)、C ⎝⎛⎭⎫53，－74、D (8,0)中的________个． [思路点拨] 方程表示两条直线x －4y －12＝0和x ＋2y －8＝0，但应注意对数的真数大于0，即x ＋2y >0.[精解详析] 由对数的真数大于0，得x ＋2y >0， ∴A (0，－3)、C (53，－74)不符合要求；将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求． [答案] 2[一点通] 点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可．3．已知直线l ：x ＋y ＋3＝0，曲线C ：(x －1)2＋(y ＋3)2＝4，若P (1，－1)，则点P 与l 、C 的关系是________．解析：由1－1＋3≠0，∴P 不在l 上，即P ∉l ；又(1－1)2＋(－1＋3)2＝4， ∴点P 在曲线C 上，即P ∈C . 答案：P ∉l ，P ∈C4．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)、M 2(－25，2)是否在这个圆上．解：(1)设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以x 20＋y 20＝5，也就是x 20＋y 20＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．(2)设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x 20＋y 20＝25，两边开方取算术平方根，得x 20＋y 2＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点．由(1)、(2)可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－25，2)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不等，(－25，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．[例3] 如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高为55 m ．试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．[思路点拨] 按照对称建系，把中心放在坐标原点上，焦点放在坐标轴上，然后用待定系数法求解．[精解详析] 如图，建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标系xOy ，使小圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC ′，BB ′都平行于x 轴，且CC ′＝13×2，BB ′＝25×2.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，易知a ＝12，令点C 的坐标为(13，y )，则点B 的坐标为(25，y －55)． 因为点B ，C 在双曲线上，所以⎩⎨⎧252122－(y －55)2b 2＝1， ①132122－y2b 2＝1. ②由方程②，得y ＝5b12(负值舍去)，代入方程①，得252122－⎝⎛⎭⎫5b 12－552b 2＝1，化简得19b 2＋275b －18 150＝0.③ 用计算器解方程③，得b ≈25.所以，所求双曲线的方程为x 2144－y 2625＝1.[一点通] 对于此类已知曲线类型求曲线方程的实际应用问题，求解的关键是建立适当的平面直角坐标系，利用待定系数法求解．采用此法要善于联系平面图形的性质，建立恰当的直角坐标系．5.一种卫星接收天线的轴截面如图，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为4.8 m ，深度为0.5 m ．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程．解： 如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合．设抛物线的标准方程是 y 2＝2px (p ＞0)．由已知条件可得，点A 的坐标是(0.5，2.4)，代入方程，得2.42＝2p ×0.5，即p ＝5.76.所以，所求抛物线的标准方程是y 2＝11.52x .1．理解曲线的方程与方程的曲线的概念必须注意： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，二者缺一不可．2．点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件是f (x 0，y 0)＝0.[对应课时跟踪训练(十五)]1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的序号是________． ①(0,0)；②⎝⎛⎭⎫15，15；③(1,5)；④(4,4)． 解析：∵y ＝x (1≤x ≤5)， ∴(4,4)在曲线C 上． 答案：④2．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________． 解析：∵P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上， ∴4－9a ＝1，解得a ＝13.答案：133．以下各组方程表示的曲线相同的是________(填序号)． ①x 2＝y 2与y ＝|x | ②y ＝x 2与y ＝10lg x ③xy ＝1与y ＝|x |x 2 ④x y ＝1与yx＝1解析：①、②、③中方程表示的曲线不相同． 答案：④4．方程(x ＋y －1)x －1＝0所表示的曲线是________．解析：由题意，得⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x ≥1或x ＝1，故方程表示的是一条射线与一条直线．答案：一条射线与一条直线5．若点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，则m 的值为________． 解析：∵点M 在曲线x －y 2＝0上， ∴m －m 2＝0， 解得m ＝0或m ＝1. 答案：0或16．下列命题是否正确？若不正确，说明原因． (1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是|x |＝2； (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y ＝x .解：(1)错误，因为以方程|x |＝2的解为坐标的点，不都在直线l 上，直线l 只是方程|x |＝2所表示的图形的一部分．(2)错误，因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线y ＝x 和y ＝－x ，故命题错误． 7．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断P (1，－2)，Q (2，3)两点是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M (m2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10，而(2)2＋(3－1)2≠10.所以点P (1，－2)在方程表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程表示的曲线上．(2)因为点M ⎝⎛⎭⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以⎝⎛⎭⎫m22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.8. 如图，直线l1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，AM ＝17，AN ＝3，且BN ＝6，建立适当的坐标系，求曲线C 的方程．解：如图，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，点O 为坐标原点．依题意可设曲线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，则p ＝MN .由题意知x 1≤x ≤x 2，y >0，其中x 1、x 2分别为A 、B 的横坐标． ∵M ⎝⎛⎭⎫－p 2，0、N ⎝⎛⎭⎫p2，0， AM ＝17，AN ＝3，∴⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x 1＋p22＋2px 1＝17，⎝⎛⎭⎫x 1－p 22＋2px 1＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，p ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，p ＝2.∵△AMN 为锐角三角形，∴p2>x 1，故舍去⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，p ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，p ＝4. 由点B 在曲线C 上，得x 2＝BN －p 2＝4.综上得，曲线C 的方程为y 2＝8x (1≤x ≤4，y >0)．。
全国2018-2019学年高二数学选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.3 2.3.1 双曲线的标准方程
_2.3双_曲_线2．3.1 双曲线的标准方程[对应学生用书P25]在平面直角坐标系中A (－3,0)，B (3,0)，C (0，－3)，D (0，3)．问题1：若动点M 满足|MA －MB |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：x 24－y 25＝1.问题2：若动点M 满足|MC －MD |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：y 24－x 25＝1.双曲线的标准方程1．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x ，y 项的平方差，右边是1. 2．在双曲线中，a >0且b >0，但a 与b 的大小关系不确定． 3．在双曲线中a 、b 、c 满足c 2＝a 2＋b 2，与椭圆不同．[对应学生用书P26][例1][思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a 、b 、c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，将两点代入，简化运算过程．[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2两点在双曲线上． ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－(－3)2b 2＝1，⎝⎛⎭⎫1532a 2－(2)2b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝1，1b 2＝13，即a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2a 2－(－2)2b 2＝1，(2)2a 2－⎝⎛⎭⎫1532b 2＝1.解得⎩⎨⎧1a 2＝－13，1b 2＝－1，(不符合题意，舍去)．综上：所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.法二：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 因为双曲线过两点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎫153，2，得⎩⎪⎨⎪⎧m (－2)2＋n (－3)2＝1，m ⎝⎛⎭⎫1532＋n (2)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－13， 所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.[一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a 2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝4，c ＝5，焦点在y 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解：(1)由题设知，a ＝4，c ＝5， 由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.因为双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.[例2] 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 由双曲线的焦点在y 轴上，得关于m 的不等式组，进而解不等式组求m 的范围．[精解详析] 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m <0，m 2－2m －3>0.解得m >5. 所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．[一点通] 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn <0时，方程表示双曲线，当⎩⎨⎧m >0，n <0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎨⎧m <0，n >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．3．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充要条件是(9－k )·(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4.因为k ＞9是k ＞9或k ＜4的充分不必要条件．即k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要4．若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．解析：①若表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0|m |－3<0⇒－3<m <2.②若该方程表示双曲线，则 (2－m )(|m |－3)<0. 解得－3<m <2或m >3.答案：(－3,2) (－3,2)∪(3，＋∞)[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路点拨] 本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F 1PF 2的大小．由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果．[精解详析] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[一点通] 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF 1－PF 2|＝2a ，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于PF 1、PF 2、F 1F 2的方程，解方程组可求得PF 1、PF 2或PF 1·PF 2，再解决相关问题．5．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN －MO ＝________.解析：如图，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以MO ＝12PF ′，又FN ＝OF 2－ON 2＝5，由双曲线的定义知PF －PF ′＝8，故MN －MO ＝－12PF ′＋MF －FN ＝12(PF－PF ′)－FN ＝12×8－5＝－1.答案：－16．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴F 1(－5,0)，半径r 1＝1；F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3＜F 1F 2＝10.∴动圆圆心M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支， 且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝25－94＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为4x 29－4y 291＝1(x ≤－32)．1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支．2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．[对应课时跟踪训练(十)]1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.答案：212．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F2⇒12×PF 2×r ＝12×PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：453．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3. 答案：－3<k <34．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF ·2MF ＝0，|1MF |·|2MF |＝2，则该双曲线的方程是________． 解析：∵1MF ·2MF ＝0，∴1MF ⊥2MF .∴|1MF |2＋|2MF |2＝40. ∴(|1MF |－|2MF |)2＝|1MF |2－2|1MF |·|2MF |＋|2MF |2 ＝40－2×2＝36.∴||1MF |－|2MF ||＝6＝2a ，a ＝3. 又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2| ＝| (5＋5)2＋(94－0)2－(5－5)2＋(94－0)2|＝|(414)2－ (94)2|＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9. 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝ a 2＋b 2＝5，由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120° 即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2 ∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33.8. 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解： 以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。
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[对应学生用书P17]一、命题及其关系1．命题能判断真假的陈述句叫命题，感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等语句都不是命题．2．四种命题原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假．正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．二、充分条件、必要条件与充要条件关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定：若“p⇒q”，且“p ⇐/q”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”；若“p⇔q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；若“p ⇔/q”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”．三、逻辑联结词1．“且”“或”“非”这些词叫逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题有“p∨q”“p∧q”“綈p”三种形式．2．含逻辑联结词的命题的真假判断：“p∨q”中有真为真，“p∧q”有假为假，綈p与p真假相反．3．注意命题的否定与否命题的区别．否命题既否定条件又否定结论；而命题的否定只否定结论．四、全称命题和存在性命题1．全称命题“∀x∈M，p(x)”强调命题的一般性，因此，(1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断它是假命题，只要在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )不成立即可． 2．存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”强调结论的存在性，因此，(1)要证明它是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )成立即可． (2)要判断它是假命题，需对集合M 中每一个元素x ，证明p (x )不成立． 五、含有一个量词的命题的否定 1．全称命题的否定一定是存在性命题． p ：∀x ∈M ，p (x )成立； 綈p ：∃x ∈M ，綈p (x )成立．2．存在性命题的否定一定是全称命题． p ：∃x ∈M ，p (x )成立； 綈p ：∀x ∈M ，綈p (x )成立．3．含有一个量词的命题的否定首先要改变量词，把全称量词改为存在量词；把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(一) 见8开试卷 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．命题：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是____________________________． 答案：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠02．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”的否定是___________________________________． 解析：原命题是全称命题，其否定是存在性命题． 答案：∃x ∈R ，x 2－2x ＋1<03．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的________条件．解析：l 1与l 2平行的充要条件是a (a ＋1)＝2×1，且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a ＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．答案：充分不必要4．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是________(填所有真命题的序号)．①(綈p )∨q ；②p ∧q ；③p ∨q ；④(綈p )∨(綈q )．解析：命题p 真，命题q 假，因此綈p 假，綈q 真，①是假命题，②假命题，③真命题，④真命题．答案：③④5．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个角均为60°”的否命题；③“若k <0，则方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k ＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是________个．解析：显然①假，②真，对于③，当k <0时，Δ＝(2k ＋1)2－4k ＝4k 2＋1>0，故③为真． 答案：26．(上海高考改编)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的________条件．解析：便宜⇒没好货，等价于其逆否命题，好货⇒不便宜，∴“不便宜”是“好货”的必要不充分条件．答案：必要不充分7．(湖南高考改编)“1<x <2”是“x <2”成立的________条件． 解析：设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <2}， 故AB ，即当x 0∈A 时，有x 0∈B ，反之不一定成立．因此“1<x <2”是“x <2”成立的充分不必要条件 答案：充分不必要8．命题“若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．又∵它的逆命题若“x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”是真命题，∴它的否命题也是真命题．答案：49．(辽宁高考改编)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为________．解析：设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n ＝1＋1n 是递减数列，所以p 3为假命题；由于a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题．答案：p 1，p 410．命题p ：任意两个等边三角形都是相似的．①它的否定是________________________________________________________； ②否命题是__________________________________________________________． 答案：①存在两个等边三角形不相似②如果两个三角形不都是等边三角形，那么它们不相似11．已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集是R ，命题q ：f (x )＝2－m x 在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是________．解析：命题p ：m <0，命题q ：m <2. ∵p 与q 一真一假，∴⎩⎨⎧m <0，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m <2，解得0≤m <2. 答案：[0,2)12．下列结论中正确命题的个数是________．①命题p ：“∃x ∈R ，x 2－2≥0”的否定形式为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”； ②若綈p 是q 的必要条件，则p 是綈q 的充分条件； ③“M >N ”是“(23)M >(23)N ”的充分不必要条件．解析：对于①，易知是正确的；对于②，由綈p 是q 的必要条件知：q ⇒綈p 则p ⇒綈q ，即p 是綈q 的充分条件，正确；对于③，由M >N 不能得知(23)M >(23)N ，因此③是错误的．综上所述，其中正确的命题个数是2.答案：213．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中，选出适当的一种填空：(1)记集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的_____________； (2)“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为增函数”的________________．解析：(1)当p ＝3时，A ＝{－1,2,3}，此时A ∩B ＝B ；若A ∩B ＝B ，则必有p ＝3.因此“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为增函数”的充分不必要条件．答案：(1)充要条件 (2)充分不必要条件14．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝42－4a ≥0，解得a ≤4，从而a 的取值范围为[e,4]．答案：[e,4]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p ：末位数字为9的整数能被3整除； (2)p ：有的素数是偶数；(3)p ：至少有一个实数x ，使x 2＋1＝0； (4)p ：∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝0.解：(1)綈p ：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．綈p 为真命题． (2)綈p ：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故綈p 为假命题． (3)綈p ：对任意的实数x ，都有x 2＋1≠0.綈p 为真命题．(4)綈p ：∃x 0，y 0∈R ，x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋5≠0.綈p 为真命题．16．(本小题满分14分)把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若α＝β，则sin α＝sin β；(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；(3)已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d .解：(1)逆命题：若sin α＝sin β，则α＝β； 否命题：若α≠β，则sin α≠sin β； 逆否命题：若sin α≠sin β，则α≠β.(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等．(3)逆命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ； 否定题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ； 逆否命题：已知a ，b ，c ，d 都是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a ≠b 或c ≠d .17．(本小题满分14分)已知p ：2x 2－9x ＋a ＜0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，且綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0，x 2－6x ＋8＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ＜4.即2＜x ＜3. ∴q ：2＜x ＜3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a ＜0}，B ＝{x |2＜x ＜3}， ∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A . 即2＜x ＜3满足2x 2－9x ＋a ＜0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2＜x ＜3满足不等式2x 2－9x ＋a ＜0，需有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0，f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0.∴a ≤9.∴实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．18．(本小题满分16分)设有两个命题：p ：关于x 的不等式x 2＋2x －4－a ≥0对一切x∈R 恒成立；q ：已知a ≠0，a ≠±1，函数y ＝－|a |x 在R 上是减函数，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．解：∵不等式x 2＋2x －4－a ≥0对x ∈R 恒成立， ∴x 2＋2x －4≥a 对x ∈R 恒成立， 令y ＝x 2＋2x －4， ∴y min ＝－5，∴a ≤－5， ∴命题p 即为p ：a ≤－5，函数y ＝－|a |x (a ≠0，a ≠±1)在R 上是减函数， ∴|a |>1，∴a >1或a <－1， ∵p ∧q 为假，p ∨q 为真， ∴p ，q 一真一假，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－5，－1<a <1，或⎩⎪⎨⎪⎧a >－5，a >1或a <－1，∴－5<a <－1或a >1.即实数的取值范围是(－5，－1)∪(1，＋∞)．19．(本小题满分16分)已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2；q ：x 2－2x ＋1≤m 2(m >0)．若綈p 是綈q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：法一：由x 2－2x ＋1≤m 2(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m .∴綈q ：A ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10.∴綈p ：B ＝{x |x <－2或x >10}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，且m >0， ∴AB .∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0， ①1－m ≤－2， ②1＋m ≥10. ③解得m ≥9.注意到当m ≥9时，③中等号成立，而②中等号不成立．∴实数m 的取值范围是[)9，＋∞. 法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件 ∴q 是p 的必要不充分条件 ∴p 是q 的充分不必要条件 ∴CD ，又∵p ：C ＝{x |－2≤x ≤10}， q ：D ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10.解得m ≥9.故实数m 的取值范围是[)9，＋∞.20．(本小题满分16分)已知命题p ：不等式(m －1)x 2＋(m －1)x ＋2>0的解集是R ，命题q ：sin x ＋cos x >m .如果对于任意的x ∈R ，命题p 是真命题且命题q 为假命题，求m 的范围．解：对于命题p ：(1)当m －1＝0时，原不等式化为2>0恒成立，满足题意．(2)当m －1≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，Δ＝(m －1)2－8(m －1)<0.得1<m <9，所以，m ∈[1,9)． 对于命题q ：sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，若对于任意的x ∈R ，命题q ：sin x ＋cos x >m是假命题，则m ≥ 2.综上，m 的取值范围是[2，9)．。
全国2018-2019学年高二数学选修2-1讲义：第1部分 第3章 章末小结 知识整合与阶段检测
[对应学生用书P72]一、空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时，可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．二、空间向量的数量积由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可知，利用该公式可求夹角、距离．还可由a·b＝0来判定垂直问题，要注意数量积是一个数，其符号由〈a，b〉的大小确定．三、空间向量与平行和垂直空间图形中的平行与垂直问题是立体几何中最重要的问题之一，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量解决．利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法有：(1)线线平行．证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直．证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，且a⊥b⇔a·b＝0.(3)线面平行．用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来．(4)线面垂直．用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行．①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直．①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 四、空间向量与空间角利用空间向量求空间角，一般有两种方法：即几何法和向量法，利用向量法只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可．(1)求两异面直线所成的角可利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2 ，而两向量之间的夹角的范围是[0，π]． 故实质上应有cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|. (2)求线面角．求直线与平面所成的角时，一种方法是先求出直线及此直线在平面内的射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成的角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线的方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin θ＝|cos φ|.(3)求二面角．基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做向量运算；坐标法：建立空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量n 1，n 2，利用cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|结合图形求得．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(三) 见8开试卷 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是________． 解析：a ·b ＝－3＋2x －5＝2，∴x ＝5. 答案：52．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB ·AC ＝0，AC ·AD ＝0，AB ·AD ＝0，则△BCD 的形状是________．解析：△BCD 中，BC ·BD ＝(AC －AB )·(AD －AB )＝AB 2＞0，∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形． 答案：锐角三角形3．已知直线l 与平面α垂直，直线的一个方向向量为u ＝(1,3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.解析：∵平面α的法向量u ＝(1,3，z )，v 与平面α平行，∴u ⊥v ， ∴u·v ＝1×3＋3×(－2)＋z ×1＝0， ∴z ＝3. 答案：34．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB ，AC 垂直，则向量a 为__________．解析：设a ＝(x ，y ，z )，AB ＝(－2，－1,3)，AC ＝(1，－3,2)．则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，解得a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．答案：(1,1,1)或(－1，－1，－1)5．已知A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (x,3，y ＋2)，且A 、B 、C 三点共线，则实数x ，y 的值分别为________、________.解析：若A 、B 、C 三点共线，则AB ，BC 也共线．AB ＝(1，－1,3)，BC ＝(x －2，－1，y ＋1)，∴1x －2＝1＝3y ＋1.∴x ＝3，y ＝2. 答案：3 26．已知向量p 关于基底{a ，b ，c }的坐标为(3,2，－1)，则p 关于基底{2a ，－b ，12c }的坐标是________．解析：由已知得p ＝3a ＋2b －c ， 则p ＝32(2a )＋(－2)(－b )＋(－2)⎝⎛⎭⎫12c .故p 关于基底⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，－b ，12c 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－2，－2. 答案：⎝⎛⎭⎫32，－2，－2 7．已知直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，且a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为________．解析：∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b .∴a ·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×m ＝4－2m ＝0. ∴m ＝2. 答案：28．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 解析：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝(cos 2α＋sin 2α＋1)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．答案：90°9．已知向量a ＝(cos θ，sin θ，1)，b ＝(3，－1,2)，则|2a －b |的最大值是________． 解析：因为2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1,0)， 所以|2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8sin (θ－π3)≤4.答案：410．平面α的法向量为u ＝(－1，－2，－1)，平面β的法向量为v ＝(2,4,2)，则不重合的平面α与平面β的位置关系为________．解析：∵v ＝－2(－1，－2，－1)＝－2u ， ∴v ∥u ，∴α∥β. 答案：平行11．已知直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝ 13，则二面角A －CD －B 的大小为________．解析：如图，取CD 中点E ，在平面BCD 内过B 点作BF ⊥CD ，交CD 延长线于F .据题意知AE⊥CD，AE＝BF＝3，EF＝2，AB＝13.且〈EA，FB〉为二面角的平面角，由AB2＝(AE＋EF＋FB)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos〈AE，FB〉，∴cos〈EA，FB〉＝－12，∴〈EA，FB〉＝120°.即所求的二面角为120°.答案：120°12.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，若以{AB，AC，AD}为基底，则GE＝________.解析：GE＝AE－AG＝AD＋DE－23AM＝AD＋14DB－13(AB＋AC)＝AD＋14AB－14AD－13AB－13AC＝－112AB－13AC＋34AD.答案：－112AB－13AC＋34AD13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为________．解析：以D为原点，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为1，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，则1BB＝(0,0,1)．∵B1D⊥平面ACD1，∴1DB＝(1,1,1)为平面ACD1的法向量．设BB1与平面ACD1所成的角为θ，则sin θ＝|1BB ·DB 1||1BB ||1B D |＝13＝33，∴cos θ＝63. 答案：6314．已知OA ＝(1,2,3)，OB ＝(2,1,2)，OP ＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA ·QB 取得最小值时，点Q 的坐标为________．解析：∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )， 则QA ＝(1－x,2－x,3－2x )，QB ＝(2－x,1－x,2－2x )． ∴QA ·QB ＝6x 2－16x ＋10， ∴x ＝43时，QA ·QB 最小，这时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 答案：⎝⎛⎭⎫43，43，83二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)如图，已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体．(1)化简12AA '＋BC ＋23AB ，并在图中标出其结果；(2)设M 是BD 的中点，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN ＝αAB ＋βAD ＋γAA '，试求α、β、γ的值．解：(1)取DD ′的中点G ，过点G 作DC 的平行线GH ， 使GH ＝23DC ，连接AH ，则AH ＝12AA '＋BC ＋23AB .AH 如图所示．(2)MN＝MB＋BN＝1 2DB＋34BC'＝1 2(AB－AD)＋34(AA'＋AD)＝1 2AB＋14AD＋34AA'.∴α＝12，β＝14，γ＝34.16．(本小题满分14分)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC.(1)求a和b的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a＋b与k a－2b互相垂直，求k的值．解：a＝AB＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，b＝AC＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．(1)cos θ＝a·b|a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a与b的夹角θ的余弦值为－1010.(2)k a＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，k a－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.即2k2＋k－10＝0，∴k＝－52或k＝2.17．(本小题满分14分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D是AB的中点，AC＝BC＝BB1.(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC 1∥平面CA 1D .证明：如图所示，以C 1点为原点，建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于1BC ＝(0，－2，－2)，1AB ＝(－2,2，－2)， ∴1BC ·1AB ＝0－4＋4＝0， 即1BC ⊥1AB ，故BC 1⊥AB 1. (2)取A 1C 的中点E ，连结DE . 由于E (1,0,1)，∴ED ＝(0,1,1)，又1BC ＝(0，－2，－2)， ∴ED ＝－121BC ，且ED 与BC 1不共线，∴ED ∥BC 1，又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .18．(本小题满分16分)正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B .(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E －DF －C 的余弦值；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BPBC 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 中点， 得EF ∥AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ， ∴AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (0,23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，DF ＝(1，3，0)，DE ＝(0，3，1)，DA ＝(0,0,2)．平面CDF 的法向量为DA ＝(0,0,2)， 设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ DF ·n ＝0， DE ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，取n ＝(3，－3，3)，cos 〈DA ，n 〉＝DA ·n | DA ||n |＝217，所以二面角E －DF －C 的余弦值为217. (3)存在．设P (s ，t,0)，则AP ·DE ＝3t －2＝0， ∴t ＝233，又BP ＝(s －2，t,0)，PC ＝(－s,23－t,0)， ∵BP ∥PC ，∴(s －2)(23－t )＝－st ， ∴3s ＋t ＝2 3.把t ＝233代入上式得s ＝43，∴BP ＝13·BC ， ∴在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE . 此时BP BC ＝13.19．(北京高考)(本小题满分16分)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由． 解：(1)证明：因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ， 所以DE ⊥AC .所以ED ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC . 所以DE ⊥A 1C .又因为A 1C ⊥CD ，且CD ∩DE ＝D ， 所以A 1C ⊥平面BCDE .(2)如图，以C 为坐标原点， CB 、CD 、CA 1为x 、y 、z 轴， 建立空间直角坐标系C －xyz ， 则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)， M (0,1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·1A B ＝0，n ·BE ＝0.又1A B ＝(3，0，－23)，BE ＝(－1,2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝ 3.所以n ＝(2,1，3)． 设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ. 因为CM ＝(0,1，3)所以sin θ＝|cos 〈n ，CM 〉|＝|n ·CM |n ||CM ||＝48×4＝22. 所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4. (3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]．设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·1A D ＝0，m ·DP ＝0.又1A D ＝(0，2，－23)，DP ＝(p ，－2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2y －2 3z ＝0，px －2y ＝0. 令x ＝2，则y ＝p ，z ＝p 3.所以m ＝⎝⎛⎭⎫2，p ，p 3. 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．20．(山东高考)(本小题满分16分) 如图所示，在三棱锥P －ABQ中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .(1)求证：AB ∥GH ；(2)求二面角D －GH －E 的余弦值．解：(1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF ∥AB ，DC ∥AB .所以EF ∥DC .又EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH .(2)在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°.又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)．所以EQ ＝(－1,2，－1)，FQ ＝(0,2，－1)， DP ＝(－1，－1，2)，CP ＝(0，－1,2)．设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·EQ ＝0，m ·FQ ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由n ·DP ＝0，n ·CP ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0，取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝45. 因为二面角D －GH －E 为钝角，所以二面角D －GH －E 的余弦值为－45.。
全国2018-2019学年高二数学选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.4 2.4.1 抛物线的标准方程
2.4抛_物_线2．4.1 抛物线的标准方程[对应学生用书P30]平面直角坐标系内，有以下点和直线A (3,0)，B (－3,0)，C (0,3)，D (0，－3)；l 1：x ＝－3，l 2：x ＝3，l 3：y ＝－3，l 4：y ＝3.问题1：到定点A 和定直线l 1距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y 2＝12x .问题2：到定点B 和定直线l 2距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y 2＝－12x .问题3：到定点C 和定直线l 3或到定点D 和定直线l 4距离相等的点的轨迹方程呢？ 提示：x 2＝12y ，x 2＝－12y.抛物线的标准方程1．平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹是抛物线．定点F 不在定直线l 上，否则点的轨迹是过点F 垂直于直线l 的垂线．2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上．[对应学生用书P31][例1] 已知抛物线的方程y ＝ax 2(a ≠0)，求它的焦点坐标和准线方程．[思路点拨] 由题意y ＝ax 2，(a ≠0)，可化为x 2＝1a y ，再依据抛物线的标准方程得焦点和准线方程．[精解详析] 将抛物线方程化为标准方程 x 2＝1a y (a ≠0)，显然抛物线焦点在y 轴上，(1)当a >0时，p ＝12a ，∴焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，14a ， 准线方程y ＝－14a .(2)当a <0时，p ＝12a ，∴焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，14a ， 准线方程y ＝－14a，综合(1)(2)知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a . [一点通] 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线．1．(北京高考)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.答案：2 x ＝－12．已知抛物线的方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程． (1)x 2＝4y ； (2)2y 2＋5x ＝0.解：(1)由抛物线标准方程知抛物线焦点在y 轴正半轴上，开口向上． ∵p ＝2，∴焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1. (2)将2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－52x ，∴2p ＝52，p ＝54，开口向左．∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－58，0，准线方程为x ＝58.[例2] 根据下列条件求抛物线的标准方程． (1)已知抛物线的准线方程为x ＝－3； (2)已知抛物线的焦点坐标是(52，0)．[思路点拨] 根据题目中给出的焦点或准线，可以确定抛物线的开口方向，然后设出抛物线的标准方程．[精解详析] (1)设抛物线标准方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p 2，则－p2＝－3，∴p ＝6.∴抛物线标准方程为y 2＝12x .(2)设抛物线标准方程为y 2＝2px (p >0)焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴p 2＝52，∴p ＝5. ∴抛物线标准方程为y 2＝10x .[一点通] 待定系数法求抛物线标准方程的步骤： (1)依据题目中的条件确定抛物线的标准形式；(定形)(2)充分利用数形结合确定抛物线的开口方向；(定位) (3)利用题中所给数据确定p .(定量)3．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为____________________．解析：双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x .答案：y 2＝16x4．根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点．解：(1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)， 则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)， 则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y .(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .[例3] 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60 cm ，灯深40 cm ，求抛物线的标准方程和焦点的位置．[思路点拨] 建立直角坐标系，设出标准方程为y 2＝2px (p >0)，然后根据条件，找出点的坐标，求出p .[精解详析] 如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程为 y 2＝2px (p >0)．由已知条件可知点A (40,30)，代入方程，得p ＝454.∴所求抛物线的标准方程是y 2＝452x ，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫458，0. [一点通] 将实际问题转化为数学问题，需要建立适当的直角坐标系，再根据条件确定抛物线的标准方程的类型．这里，直角坐标系的建立非常重要，同学们要认真观察实物的形状，根据实物形状“适当”建立．5．若抛物线y 2＝2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求点M 的坐标．解：由抛物线定义，抛物线上一点到焦点的距离和它到准线的距离相等，及抛物线方程y 2＝2px (p >0)，可知其准线为x ＝－p 2，即p2＋9＝10，则p ＝2，所以抛物线为y 2＝4x ，当x ＝9时，y 2＝36，得y ＝±6，所以点M 的坐标为(9,6)或(9，－6)．6．已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，则由题意可得M 到C (0，－3)的距离与到直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .7．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a4，如图所示． 设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ， 则⎝⎛⎭⎫a 22＝m ·⎝⎛⎭⎫－a 4， ∴m ＝－a .即抛物线方程为x 2＝－ay .将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ， 即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －⎝⎛⎭⎫－a4>3， 即a 4－0.82a >3. ∵a >0，∴a >12.21. ∴a 应取13.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0)．[对应课时跟踪训练(十二)]1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是________．解析：由抛物线方程x 2＝8y 知，抛物线焦点在y 轴上，由2p ＝8，得p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)．答案：(0,2)2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上的点P (－3，m )到焦点的距离为5，则抛物线方程为________．解析：因为抛物线顶点在原点、焦点在x 轴上，且过p (－3，m )，可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，由抛物线的定义可知，3＋p2＝5.∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，由p2＝2，得p ＝4.答案：44．抛物线x 2＝－ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值是________． 解析：由条件知，a ＞0，且a4＝2，∴a ＝8.答案：85．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为________．解析：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，则c ＝1，ca ＝2，∴a ＝12，即m ＝a 2＝14，n ＝c 2－a 2＝34，∴mn ＝14×34＝316.答案：3166．根据下列条件，分别求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5.解：(1)双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，且－p2＝－3，∴p ＝6，∴方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)， 由抛物线定义，得5＝AF ＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2.又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9， 故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .7．设抛物线y 2＝mx (m ≠0)的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程． 解：当m ＞0时，由2p ＝m ，得p 2＝m 4，这时抛物线的准线方程是x ＝－m 4.∵抛物线的准线与直线x ＝1的距离为3， ∴1－⎝⎛⎭⎫－m4＝3，解得m ＝8， 这时抛物线的方程是y 2＝8x .当m ＜0时，⎝⎛⎭⎫－m4－1＝3，解得m ＝－16. 这时抛物线的方程是y 2＝－16x .综上，所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .8．一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶2 m 时，水宽4 m ，若水面下降1 m ，求水的宽度．解：如图建立直角坐标系．设抛物线的方程为x 2＝－2py ， ∵水面离拱顶2 m 时， 水面宽4 m ，∴点(2，－2)在抛物线上， ∴4＝4p ，∴p ＝1.∴x 2＝－2y ，∵水面下降1 m ，即y ＝－3，而y ＝－3时，x ＝±6， ∴水面宽为2 6 m.即若水面下降1 m ，水面的宽度为2 6 m.。
全国2018-2019学年高二数学选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.6 2.6.2 求曲线的方程
2．6.2 求曲线的方程[对应学生用书P40]在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(2，－3)，(4，－1)．问题1：求平面上任一点M(x，y)到A点的距离．(x－2)2＋(y＋3)2提示：MA＝.问题2：试列出到点A、B距离相等的点满足的方程．提示：MA＝MB，即(x－2)2＋(y＋3)2＝.(x－4)2＋(y＋1)2求曲线方程的一般步骤正确认识求曲线方程的一般步骤：(1)“建立适当的坐标系”所谓“适当”是指若曲线是轴对称图形，则可以选它的对称轴为坐标轴；其次，可以选曲线上的特殊点作为原点．(2)“设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)”．这一步实际上是在挖掘形成曲线的条件中所含的等量关系．(3)“列出符合p(M)的方程f(x，y)＝0.”这里就是等量关系的坐标化，完成这一步需要使用解析几何的基本公式及平面几何、三角等基础知识．(4)“化方程f(x，y)＝0为最简形式”．化简时需要使用代数中的恒等变形的方法．(5)“说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上”．这一步的证明是必要的．从教材内容看，这一步不作要求，可以省略，但在完成第(4)步时，所用的变形方法应都是可逆的，否则要作适当说明．[对应学生用书P41]直接法求曲线方程[例1] △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a >c >b ，且a ，c ，b 成等差数列，AB ＝2，求顶点C 的轨迹方程．[思路点拨] 由a ，c ，b 成等差数列可得a ＋b ＝2c ；由a >c >b 可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB ＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解.[精解详析] 以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C 点坐标为(x ，y )，由已知得AC ＋BC ＝2AB .即 ＋＝4，(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y 2整理化简得3x 2＋4y 2－12＝0，即＋＝1.x 24y 23又∵a >c >b ，∴x <0且x ≠－2.所以顶点C 的轨迹方程为＋＝1(x <0且x ≠－2)．x 24y 23[一点通] 1．“直接法”求曲线方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步，即：建系、设点→根据条件列方程→化简；2．其中“建系”是指建立适当的直角坐标系．所谓“适当”应使计算量较小，且所得的方程形式较简单．若坐标系建立不当，计算量就会大大增加，有时很可能得不到正确的结果．1．若将本例已知条件“a >c >b 且a ，c ，b 成等差数列”改为“△ABC 的周长为6且AB ＝2”，求顶点C 的轨迹方程．解：以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )，由已知得AC ＋BC ＋AB ＝6.即＋＝4.(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y 2化简整理得3x 2＋4y 2－12＝0，即＋＝1.x 24y 23∵A 、B 、C 三点不能共线，∴x ≠±2.综上，点C 的轨迹方程为＋＝1(x ≠±2)．x 24y 232．已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|＋MBMA |＝OM ·(OA ＋OB)＋2.求曲线C 的方程．解：由MA ＝(－2－x,1－y )，MB＝(2－x,1－y )，得|MA ＋MB|＝，(－2x )2＋(2－2y )2又OM ·(OA ＋OB)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得 ＝2y ＋2，(－2x )2＋(2－2y )2化简得曲线C 的方程是x 2＝4y .定义法求曲线方程[例2] 已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．[思路点拨] 利用平面几何的知识，分析点P 满足的条件为抛物线，可用定义法求解．[精解详析] 如图，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则KQ ＝1，所以PQ ＝r ＋1，又AP ＝r ＋1，所以AP ＝PQ ，故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线．∴＝2，∴p ＝4，p2∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .[一点通] 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征．3．点P 与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解：设d 是点F 到直线x ＝8的距离，根据题意，得＝.PFd 12由圆锥曲线的统一定义可知，点P 的轨迹是以F (2,0)为焦点，x ＝8为准线的椭圆，则Error!解得Error!∴b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.故点P 的轨迹方程为＋＝1.x 216y 2124.如图所示，已知点C 为圆(x ＋)2＋y 2＝4的圆心，点A (，0)，P 是圆上的动点，22点Q 在圆的半径CP 上，且MQ ·AP＝0，AP ＝2AM .当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程．解：圆(x ＋)2＋y 2＝4的圆心为C (－，0)，半径r ＝2，∵MQ·22AP ＝0，AP ＝2AM，∴MQ ⊥AP ，点M 为AP 的中点，即QM 垂直平分AP .连结AQ, 则AQ ＝QP ，∴|QC －QA |＝|QC －QP |＝CP ＝r ＝2.又|AC |＝2＞2，根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以C (－，0)，A (，0)为焦点，222实轴长为2的双曲线，由c ＝，a ＝1，得b 2＝1，2因此点Q 的轨迹方程为x 2－y 2＝1.代入法求曲线方程[例3] 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．[思路点拨] 设出点P 、M 的坐标，用M 的坐标表示P 的坐标，再借助M 满足的关系即可得到P 的坐标所满足的关系．[精解详析] 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴Error!即Error!又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1.∴P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.[一点通] 代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标(x ，y )来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线方程，由此即可求得所求动点坐标的轨迹方程．5．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设直线m 与y 轴的交点为N ，若OQ ＝OM＋ON ，求动点Q 的轨迹方程．解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)．因为OQ ＝OM＋ON ，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)，则x 0＝x ，y 0＝.y2又因为点M 在圆C 上，所以x ＋y ＝4.2020即x 2＋＝4(y ≠0)．y 24所以动点Q 的轨迹方程是＋＝1(y ≠0)．x 24y 2166．已知曲线C ：y 2＝x ＋1，定点A (3,1)，B 为曲线C 上的任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP ∶PA ＝1∶2，当B 点在曲线C 上运动时，求点P 的轨迹方程．解：设P 点坐标为(x ，y )，B 点坐标为(x 0，y 0)，由BP ∶PA ＝1∶2，得PA ＝2BP，即(3－x,1－y )＝2(x －x 0，y －y 0)．∴Error!∴Error!∵点B (x 0，y 0)在曲线y 2＝x ＋1上，∴2＝＋1.(3y －12)3x －32化简得：2＝.(y －13)23(x －13)即点P 的轨迹方程为2＝.(y －13)23(x －13)1．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷．2．求曲线的方程常用的方法．(1)直接法；(2)定义法；(3)相关点代入法；(4)待定系数法等．[对应课时跟踪训练(十六)] 1．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________．解析：设动点M (x ，y )，到两坐标轴的距离为|x |，|y |.则|x |＝|y |，∴x 2＝y 2.答案：x 2＝y 22．等腰三角形底边的两个顶点是B (2,1)，C (0，－3)，则另一顶点A 的轨迹方程是________．解析：设点A 的坐标为(x ，y )．由已知得AB ＝AC ，即＝.(x －2)2＋(y －1)2x 2＋(y ＋3)2化简得 x ＋2y ＋1＝0.∵点A 不能在直线BC 上，∴x ≠1，∴顶点A 的轨迹方程为x ＋2y ＋1＝0(x ≠1)．答案：x ＋2y ＋1＝0(x ≠1)3．已知两定点A (－1,0)，B (2,0)，动点P 满足＝，则P 点的轨迹方程是PAPB 12________．解析：设P (x ，y )，由已知得＝，(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y 212化简得：x 2＋4x ＋y 2＝0.即(x ＋2)2＋y 2＝4.答案：(x ＋2)2＋y 2＝44．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．解析：设P (x ，y )，由题知(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π.答案：4π5．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为1∶2两部分，则Q 点的轨迹方程是________．解析：据题意，OP ＝3OQ，设P (x ′，y ′)，Q (x ，y )，则Error!又∵P (x ′，y ′)在2x ＋4y ＋3＝0上，∴2×(3x )＋4×(3y )＋3＝0，即2x ＋4y ＋1＝0，即点Q 的轨迹方程为2x ＋4y ＋1＝0.答案：2x ＋4y ＋1＝06．若动点P 在曲线y ＝2x 2＋1上移动，求点P 与Q (0，－1)连线中点M 的轨迹方程．解：设P (x 0，y 0)，中点M (x ，y )，则Error!∴Error!又P (x 0，y 0)在曲线y ＝2x 2＋1上，∴2y ＋1＝2(2x )2＋1，即y ＝4x 2.∴点M 的轨迹方程为y ＝4x 2.7．已知双曲线2x 2－2y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，P 为动点，若PF 1＋PF 2＝6，求动点P 的轨迹E 的方程．解：依题意双曲线方程可化为－＝1，x 212y 212则F 1F 2＝2.∴PF 1＋PF 2＝6>F 1F 2＝2，∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其方程可设为＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2由2a ＝6,2c ＝2得a ＝3，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝8.则所求椭圆方程为＋＝1.x 29y 28故动点P 的轨迹E 的方程为＋＝1.x 29y 288.如图所示，A (m ，m )和B (n ，－n )两点分别在射线OS ，OT 上移33动，且OA ·OB ＝－，O 为坐标原点，动点P 满足OP ＝OA ＋OB.12(1)求mn 的值；(2)求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解：(1)由OA ·OB＝(m ，m )·(n ，－n )＝－2mn .33得－2mn ＝－，即mn ＝.1214(2)设P (x ，y )(x >0)，由OP ＝OA ＋OB，得(x ，y )＝(m ，m )＋(n ，－n )＝(m ＋n ，m －n )，3333∴Error!整理得x 2－＝4mn ，y 23又mn ＝，14∴P 点的轨迹方程为x 2－＝1(x >0)．y 23它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2－＝1的右y 23支．。
全国2018-2019学年高二数学选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.1 空间向量及其线性运算
3．1空间向量及其运算_3．1.1空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算OB＝OA＋AB＝a＋b，BA＝OA－OB＝a－b，OC＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49][例1]下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨]根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析]对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案](1)(2)(3)(4)[一点通]1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。
全国2018-2019学年高二数学选修2-1讲义：第1部分 第1章 1.2 第二课时 含逻辑联结词的命题的真假判断
第二课时含逻辑联结词的命题的真假判断[对应学生用书P10][例1]分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：函数y＝x2＋x＋2的图像与x轴没有公共点．q：不等式x2＋x＋2<0无解；(3)p：函数y＝cos x是周期函数．q：函数y＝cos x是奇函数．[思路点拨]先判断命题p、q的真假，再判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．[精解详析](1)∵p为假命题，q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．(2)∵p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．(3)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．[一点通]判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)确定复合命题的构成形式，是“p∧q”、“p∨q”还是“綈p”形式；(2)判断其中简单命题p，q的真假；(3)根据真值表判断含逻辑联结词的命题的真假．1．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”的形式的命题的真假：(1)p：a2＋1≥1，q：2＞3；(2)p：2＋2＝5，q：3＞2；(3)p：1∈{1,2}，q：{1}⊆{1,2}；(4)p：∅⊆{0}，q：∅＝{0}．解：2.分别指出下列命题的构成形式及各命题的真假： (1)全等三角形周长相等或对应角相等； (2)9的算术平方根不是－3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两段弧．解：(1)这个命题是p ∨q 的形式，其中p ：全等三角形周长相等，q ：全等三角形对应角相等，因为p 真q 真，所以p ∨q 为真．(2)这个命题是綈p 的形式，其中p ：9的算术平方根是－3，因为p 假，所以綈p 为真． (3)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦，q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p 真q 真，所以p ∧q 为真.[例2] 已知p ：函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，q ：函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．[思路点拨] 由p 或q 为真，p 且q 为假，可判断p 和q 一真一假，进而求m 的范围． [精解详析] 若函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，则－m 2≤－1，解得m ≥2，即p ：m ≥2；若函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1恒大于零，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3. 因为p 或q 为真，p 且q 为假， 所以p 、q 一真一假，当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥3或m ≤1，得m ≥3，当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m <2，1<m <3，得1<m <2.综上可知，m 的取值范围是{m |m ≥3或1<m <2}． [一点通]1．含有逻辑联结词的命题p ∧q 、p ∨q 的真假可以用真值表来判断，反之根据命题p ∧q 、p ∨q 的真假也可以判断命题p 、q 的真假．2．解答这类问题的一般步骤：(1)先求出构成命题p ∧q 、p ∨q 的命题p 、q 成立时参数需满足的条件； (2)其次根据命题p ∧q 、p ∨q 的真假判定命题p 、q 的真假； (3)根据p 、q 的真假求出参数的取值范围．3．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：由Δ＝4a 2－16<0，得－2<a <2， 故命题p ：－2<a <2. 由5－2a >1，得a <2， 故命题q ：a <2.若p 或q 为真，p 且q 为假，则①p 真，q 假．则由⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥2，得a ∈∅.②p 假，q 真.⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <2，∴a <－2.综上可知，符合条件的a 的取值范围为(－∞，－2)4．已知a ＞0，且a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减，q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．解：当0＜a ＜1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a ＞1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的．曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点等价于(2a －3)2－4＞0，即a ＜12或a ＞52.(1)若p 为真且q 为假，即函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴不交于不同的两点，则a ∈(0,1)∩⎣⎡⎦⎤12，52，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1.(2)若p 为假且q 为真，即函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的，曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，则a ∈(1，＋∞)∩⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上可知，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.1．含逻辑联结词的综合问题，一般会出现“p 或q ”为真，“p 或q ”为假，“p 且q ”为真，“p 且q ”为假等这些条件，解题时应先将这些条件翻译成p ，q 的真假，p ，q 的真假有时是不确定的，需要讨论，然后当它们为假时，取其补集即可．2．相关结论：使“p 或q ”为真的参数范围为使命题p ，q 分别为真的参数范围的并集，使“p 且q ”为真的参数范围为使命题p 、q 分别为真的参数范围的交集．[对应课时跟踪训练(四)]1．若p 是真命题，q 是假命题，则下列说法错误的是________． ①p ∧q 是真命题 ②p ∨q 是假命题 ③綈p 是真命题 ④綈q 是真命题解析：p 是真命题，则綈p 是假命题．q 是假命题，则綈q 是真命题．故p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题．答案：①②③2．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)，则下面为真命题的是________．①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q . 解析：当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2， 此时，a x <log a x ，故p 为假命题． 命题q ，由等差数列的性质，当m ＋n ＝p ＋q 时，a n ＋a m ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题．故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨((綈q )为真命题．答案：②3．已知命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x－b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p 或q ”“p 且q ”和“非p ”形式的命题中，真命题为________．解析：命题p 是假命题，因为当a <0或a ＝0时解集与已知不同；命题q 也是假命题，因为不知道a ，b 的大小关系．所以只有非p 是真命题．答案：非p4．已知命题p ：所有自然数都是正数，命题q ：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①綈p 且q ；②p 或q ；③綈p 且綈q ；④綈p 或綈q .解析：因为命题p 为假命题，命题q 为假命题，所以綈p 且綈q 为真命题，綈p 或綈q 为真命题．答案：③④5．(湖北高考改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为________．①(綈p )∨(綈q )；②p ∨(綈q )；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨q .解析：由题意可知，“至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或乙没有降落在指定范围”，使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈p )∨(綈q )．答案：①6．写出下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p ：5是有理数，q ：5是整数；(2)p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)， q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)． 解：(1)p 或q ：5是有理数或5是整数； p 且q ：5是有理数且5是整数； 非p ：5不是有理数．因为p 假，q 假，所以p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真．(2)p 或q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；p 且q ：不等式x 2－2x －3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x 2－2x －3＞0的解集是(3，＋∞)；非p ：不等式x 2－2x －3＞0的解集不是(－∞，－1)． 因为p 假，q 假，所以p 或q 假，p 且q 假，非p 为真．7．命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若q ⇒綈p ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由于a ＝1，则x 2－4ax ＋3a 2<0⇔x 2－4x ＋3<0⇔1<x <3. 所以p ：1<x <3. 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|≤2，x ＋3x －2≥0得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3.由于p ∧q 为真，所以p ，q 均是真命题，解不等式组⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3得2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)綈p ：x 2－4ax ＋3a 2≥0，a >0， x 2－4ax ＋3a 2≥0⇔(x －a )(x －3a )≥0⇔ x ≤a 或x ≥3a ，所以綈p ：x ≤a 或x ≥3a ，设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， 由(1)知q ：2<x ≤3， 设B ＝{x |2<x ≤3}． 由于q ⇒綈p ，所以BA ，所以3≤a 或3a ≤2，即0<a ≤23或a ≥3，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23∪[3，＋∞)． 8．命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x为增函数，分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围．(1)p ∨q 为真命题；(2)“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假． 解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0， 即a ＞13或a ＜－1.①命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12.②(1)当p ∨q 为真时，即p 、q 至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＜－12或a ＞13；∴“p ∨q ”为真时，a 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ＜－12或a ＞13.(2)当“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，即p ，q 有且只有一个是真命题时，有两种情况：当p 真q 假时，13＜a ≤1；当p 假q 真时，－1≤a ＜－12.∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假时，a 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | 13＜a ≤1或－1≤a ＜－12.。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第2部分 高考八大高频考点例析含解析
高考八大高频考点例析[对应学生用书P74] 命题及其关系考查方式 以四种命题、逻辑联结词为主要内容，考查四种命题之间的关系及含有逻辑联结词的命题的真假，主要以填空题为主，属容易题．备考指要 1.要掌握互为逆否的两个命题是等价的，对某些命题的判断可以转化为判断其逆否命题．2.命题p ∨q 中，p 、q 有真则真；命题p ∧q 中，p 、q 有假则假.[考题印证][例1](1)(重庆高考改编)命题“若p 则q ”的逆命题是________．(2)(山东高考改编)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为；命题q ：函数y ＝cos x π2的图像关于直线x ＝对称．则下列判断正确的是________(填序号)．π2①p 为真 ②綈q 为假 ③p ∧q 为假 ④p ∨q 为真[解析] (1)根据定义，只需将条件与结论交换即可．(2)函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π，故p 为假命题，函数y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π(x ∈Z )，故q 为假命题．所以p ∧q 为假．[答案] (1)若q 则p (2)③[跟踪演练]1．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是________．答案：若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数2．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是________．解析：若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1.若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2.依题意，得p 假q 真，或p 真q 假，即Error!或Error!∴1<a ≤2.答案：(1,2]充分条件与必要条件考查方式 充要条件与各章节内容相结合是历年高考考查的热点之一，题型主要以填空题为主．备考指要 1.要分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性．(1)若“p ⇒q ”，且“pq ”，则p 是q 的“充分不必要条件”，同时q 是p 的“必要不充分条件”；(2)若“p ⇔q ”，则p 是q 的“充要条件”，同时q 是p 的“充要条件”；(3)若“p ⇔ q ”，则p 是q 的“既不充分也不必要条件”，同时q 是p 的“既不充分也不必要条件”．2.要注意转换命题的判定，可以利用互为逆否命题的等价性进行判断.[考题印证][例2] (福建高考改编)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的________条件．[解析] “x ＝2且y ＝－1”满足方程x ＋y －1＝0，故“x ＝2且y ＝－1”可推得“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”；但方程x ＋y －1＝0有无数多个解，故“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”不能推得“x ＝2且y ＝－1”，故“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的充分不必要条件．[答案] 充分不必要[跟踪演练]3．(天津高考改编)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的________条件．解析：若(a －b )a 2<0，则a ≠0，且a <b ，所以充分性成立；若a <b ，则a －b <0，当a ＝0时，(a －b )a 2＝0，所以必要性不成立．故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(浙江高考改编)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝”的________条件．π2解析：若f (x )是奇函数，则φ＝＋k π(k ∈Z )，且当φ＝时，f (x )为奇函数．π2π2答案：必要不充分全称量词与存在量词考查方式 主要考查全称命题与存在性命题的真假的判定以及含有一个量词的命题的否定．题型主要是填空题．备考指要 1.全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x 验证p (x )成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．2.存在性命题的真假判定：要判定一个存在性命题为真，只要在限定集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可．否则，这一存在性命题为假．3.全称命题的否定一定是存在性命题，存在性命题的否定一定是全称命题，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定．4.注意命题的否定与否命题的区别.[考题印证][例3] (四川高考改编)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 为________．[解析] 由命题的否定易知綈p ：∃x ∈A ，2x ∉B ，注意要把全称量词改为存在量词．[答案] ∃x ∈A,2x ∉B[跟踪演练]5．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________．答案：任意一个无理数，它的平方不是有理数6．命题“对任何x ∈R ，|x －1|＋|x －3|≥3”的否定是__________________________．解析：由题意知命题的否定为“存在x ∈R ，使|x －1|＋|x －3|<3”．答案：存在x ∈R ，使得|x －1|＋|x －3|<3圆锥曲线的定义与性质考查方式 主要考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及待定系数法求圆锥曲线的方程．圆锥曲线定义的应用，尤其是离心率是高考的热点，双曲线的渐近线也是高考重要内容．题型上填空、解答题都有可能出现．备考指要 对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意数形结合思想、方程思想的运用.[例4] (1)(湖南高考)设F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C x 2a 2y 2b2上一点．若PF 1＋PF 2＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．(2)(天津高考改编)已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)x 2a 2y 2b2的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为，3则p ＝________.[解析] (1)设点P 在双曲线的右支上，F 1为左焦点，F 2为右焦点，则PF 1－PF 2＝2a ，又PF 1＋PF 2＝6a ，∴PF 1＝4a ，PF 2＝2a ，∵在双曲线中c >a ，∴在△PF 1F 2中PF 2所对的角最小且为30°，由余弦定理得PF ＝PF ＋F 1F －2PF 1·F 1F 2·cos 30°.2212即4a 2＝16a 2＋4c 2－8ac ，化简得(a －c )2＝0，33∴c ＝ a ，即＝，∴e ＝.3c a 33(2)已知＝2，所以＝4，＝，渐近线方程为y ＝±x ，而抛物线准线方程为x ＝－c a a 2＋b 2a2b a 33，于是A ，B ，从而S △AOB ＝·p ·＝，得p ＝2.p 2(－p 2，－32p )(－p 2，3p 2)123p 23[答案] (1) (2)23[跟踪演练]7．双曲线－＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么点P 到左准线的距离x 264y 236是__________．解析：由已知，双曲线中，a ＝8，b ＝6，所以c ＝10，由于点P 到右焦点的距离为4,4<a ＋c ＝18，所以点P 在双曲线右支上．由双曲线第一定义，可知点P 到左焦点的距离为2×8＋4＝20，设点P 到双曲线左准线的距离为d ，再根据双曲线第二定义，有＝＝，故d ＝16.20d c a 108答案：168．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，AF ＝3，则AB ＝________.解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1,0)，AF ＝x 1＋1＝3，x 1＝2，y 1＝±2，直线AF 的方程是y ＝±2 (x －1)，代入y 2＝4x 得2x 2－5x ＋2＝0，22∴x 1＋x 2＝，AB ＝x 1＋x 2＋2＝.5292答案：92直线与圆锥曲线的位置关系考查方式 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的热点，涉及求弦长、焦点弦、中点弦、取值范围，最值、定点、定值等问题，题型以解答题为主、这类题目综合性强，难度较大，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合．备考指要 处理直线与圆锥曲线的位置关系时，常用联立方程组消元法得到一元二次方程，要注意直线的斜率不存在的情形，分析解决这类问题，往往利用数形结合的思想，以及“设而不求”的方法，由于运算量较大，要注意运算结果的准确性.[考题印证][例5] (北京高考)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为.直x 2a 2y 2b 222线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为时，求k 的值．103[解] (1)由题意得Error!解得b ＝，2所以椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 22(2)由Error!得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，4k 21＋2k 22k 2－41＋2k 2所以|MN |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝.2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝，|k |1＋k 2所以△AMN 的面积为S ＝|MN |· d ＝.12|k |4＋6k 21＋2k 2由＝，化简得7k 4－2k 2－5＝0，|k |4＋6k 21＋2k 2103解得k ＝±1.[跟踪演练]9．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点到直线x －y ＋2＝02的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M 、N .当AM ＝AN 时，求m 的取值范围．解：(1)依题意可设椭圆方程为＋y 2＝1，x 2a 2则右焦点F (，0)，a 2－1由题设＝3，|a 2－1＋22|2解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为＋y 2＝1.x 23(2)设P 为弦MN 的中点，由Error!得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即m 2＜3k 2＋1. ①∴x P ＝＝－，x M ＋x N 23mk 3k 2＋1从而y P ＝kx P ＋m ＝，m 3k 2＋1∴k AP ＝＝－，y P ＋1x P m ＋3k 2＋13mk又AM ＝AN ，∴AP ⊥MN ，则－＝－，即2m ＝3k 2＋1. ②m ＋3k 2＋13mk1k把②代入①得2m ＞m 2，解得0＜m ＜2，由②得k 2＝＞0，2m －13解得m ＞，故所求m 的取值范围是.12(12，2)10．(天津高考)设椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为，过点F 且与x 轴x 2a 2y 2b 233垂直的直线被椭圆截得的线段长为.433(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若·DB ＋AD ·CB ＝8，求k 的值．AC 解：(1)设F (－c,0)，由＝，知a ＝c .c a 333过点F 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝－c ，代入椭圆方程有＋＝1，解得y ＝±，(－c )2a 2y 2b 26b 3于是＝，解得b ＝，26b 34332又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝，c ＝1，3所以椭圆的方程为＋＝1.x 23y 22(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由过点F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组Error!消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.6k 22＋3k 23k 2－62＋3k 2因为A (－，0)，B (，0)，33所以AC ·DB ＋AD ·CB ＝(x 1＋，y 1)·(－x 2，－y 2)＋(x 2＋，y 2)·(－x 1，－y 1)3333＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋.2k 2＋122＋3k 2由已知得6＋＝8，解得k ＝±.2k 2＋122＋3k 22圆锥曲线的标准方程与轨迹问题考查方式 求圆锥曲线的标准方程与轨迹方程也是高考重点内容之一，题型以解答题为主．备考指要 1.根据圆锥曲线的焦点位置，来确定标准方程的形式，利用待定系数法求解即可．2.求轨迹方程的几种常用方法：(1)直接法；(2)代入法；(3)定义法；(4)消参法．3.要注意轨迹方程与轨迹的区别.[考题印证][例6] (辽宁高考)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－时，切线MA 的斜率为－.212(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．[解] (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝，且切线MA 的x 2斜率为－，12所以A 点坐标为.(－1，14)故切线MA 的方程为y ＝－(x ＋1)＋.1214因为点M (1－，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是2y 0＝－(2－)＋＝－，①122143－224y 0＝－＝－.②(1－\r(2))22p3－222p 由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ，B ，x 1≠x 2，(x 1，x 214)(x 2，x 24)由N 为线段AB 中点知x ＝，③x 1＋x 22y ＝.④x 21＋x 28切线MA ，MB 的方程为y ＝(x －x 1)＋，⑤x 12x 214y ＝(x －x 2)＋.⑥x 22x 24由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝，y 0＝.x 1＋x 22x 1x 24因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x ＝－4y 0，20所以x 1x 2＝－.⑦x 21＋x 26由③④⑦得x 2＝y ，x ≠0.43当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝y .43因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝y .43[跟踪演练]11．(湖南高考)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD ·EB 的最小值．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.(x －1)2＋y 2当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x ＜0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由Error!得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋，x 1x 2＝1.4k 2因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－.1k设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故AD ·EB ＝(AF ＋FD )·(EF ＋FB )＝AF ·EF ＋AF ·FB ＋FD ·EF ＋FD ·FB ＝|AF |·|FB |＋|FD |·|EF |＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1(2＋4k 2)＝8＋4≥8＋4×2＝16.(k 2＋1k 2)k 2·1k 2当且仅当k 2＝，即k ＝±1时，AD ·EB 取最小值16.1k 212．(福建高考)如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)．(1)求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1，求直线l 的方程．解：(1)法一：依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝x .i 10设P i 的坐标为(x ，y )，由Error!得y ＝x 2，即x 2＝10y .110所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .法二：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝x .i10由Error!解得P i 的坐标为.(i ，i 210)因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .(2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由Error!得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则Error!因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|.又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得Error!解得k ＝±.32所以直线l 的方程为y ＝±x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.32利用空间向量解决平行、垂直问题考查方式 空间向量是高考的重点内容之一，尤其是在立体几何的解答题中．建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系，特别是平行与垂直问题，常作为一个大题的某一小问，属于中档题．备考指要 利用空间向量证明平行、垂直问题主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助立体几何中关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决，建立适当的空间直角坐标系，准确写出有关点的坐标是解题关键.[考题印证][例7] (福建高考改编)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：以A 为原点，AB ，AD，1AA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E (，1,0)，B 1(a ，0,1)，a2故1AD ＝(0,1,1)，1B E ＝，(－a2，1，－1)∵1AD ·1B E ＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，a2∴B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥平面B 1AE ，1AB＝(a,0,1)，AE ＝.(a 2，1，0)∴n ⊥1AB，n ⊥AE ，得Error!取x ＝1，则y ＝－，z ＝－a ，a2得平面B 1AE 的一个法向量n ＝.(1，－a2，－a )要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP ，即－az 0＝0，a2解得z 0＝.12又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝.12[跟踪演练]13．如图，在空间图形P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，∠B ＝∠C ＝90°，A B ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，∠PBC ＝30°，求证：CM ∥平面PAD .证明：法一：建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ，∵∠PBC ＝30°，PC ＝2，∴BC ＝2，PB ＝4.3于是D (1,0,0)，C (0,0,0)，A (4,2，0)，P (0,0,2)．3∵PB ＝4PM .∴PM ＝1，M .(0，32，32)∴CM ＝，DP ＝(－1,0,2)，(0，32，32)DA＝(3,2，0)．3设CM ＝x DP ＋y DA，其中x ，y ∈R ，则＝x (－1,0,2)＋y (3,2，0)．(0，32，32)3∴Error!解得x ＝，y ＝.3414∴CM ＝DP ＋DA .∴CM ，DP ，DA共面．3414∵CM ⊄平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .法二：同法一，得到CM ＝，(0，32，32)DP ＝(－1,0,2)，DA＝(3,2，0)．3设平面PAD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有Error!即Error!令x ＝1，解得z ＝，y ＝－.1232故n ＝.(1，－32，12)又CM ·n ＝·＝0，(0，32，32)(1，－32，12)∴CM⊥n ，又CM ⊄平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .14．如图所示，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝，OA ⊥底面ABCD ，O A ＝2，π4M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．求证：直线MN ∥平面OCD .证明：作AP ⊥CD 于点P .如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ，D ，(0，22，0)(－22，22，0)O (0,0,2)，M (0,0,1)，N .(1－24，24，0)MN ＝，(1－24，24，－1)OP ＝，(0，22，－2)OD ＝.(－22，22，－2)设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP ＝0，n ·OD ＝0.即Error!取z ＝，解得n ＝(0,4，)．22∵MN ·n ＝·(0,4，)＝0，(1－24，24，－1)2又MN ⊄平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .利用空间向量求空间角考查方式 利用空间向量求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角是高考的重点和热点，主要以解答题考查，属于中档题，每年必考．备考指要 利用空间向量只要求出直线的方向向量和平面的法向量即可求解．(1)若两条异面直线的方向向量分别为a ，b ，所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.(2)若直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，直线与平面所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|.(3)若二面角的平面角为θ，两个半平面的法向量分别为n 1，n 2，则θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，根据情况确定.[考题印证][例8] (陕西高考)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝.2(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．[解] (1)证明：法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1＝，2∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．由11A B ＝AB，易得B 1(－1,1,1)．∵1A C ＝(－1,0，－1)，BD＝(0，－2,0)，1BB ＝(－1,0,1)，∴1A C ·BD＝0，1A C ·1BB ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，又BD ∩BB 1＝B ，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD .又底面ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，又∵A 1O ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C .又OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝，且AC ＝2，∴AC 2＝AA ＋A 1C 2，221∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C .又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，又BB 1∩BD ＝B ，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .(2)设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵OC＝(－1,0,0)，1OB ＝(－1,1,1)，∴Error!∴Error!取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1A C＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量，∴cos θ＝|cos 〈n ，1A C〉|＝＝.12×212又0≤θ≤，∴θ＝.π2π3[跟踪演练]15.如图，已知点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC 1所成角的大小；(2)求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小．解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D －xyz .则DA＝(1,0,0)，1CC＝(0,0,1)．连接BD ，B 1D 1.在平面BB 1D 1D 中，延长DP 交B 1D 1于H .设DH＝(m ，m,1)(m ＞0)，由已知〈DH ，DA〉＝60°，由DH ·DA ＝|DA ||DH |cos 〈DA ，DH〉可得2m ＝.2m 2＋1解得m ＝，所以DH ＝.22(22，22，1)(1)因为cos 〈DH ，1CC 〉＝＝，22×0＋22×0＋1×11×222所以 〈DH ，1CC〉＝45°.即DP 与CC 1所成的角为45°.(2)平面AA 1D 1D 的一个法向量是DC＝(0,1,0)．因为cos 〈DH ，DC 〉＝＝，22×0＋22×1＋1×01×212所以〈DH ，DC〉＝60°，可得DP 与平面AA 1D 1D 所成的角为30°.16.如图所示，在三棱锥S －ABC 中，SO ⊥平面ABC ，侧面SAB 与SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，求二面角A －SC －B 的余弦值．解：以O 为坐标原点，射线OB ，OA ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)，A (0,1,0)，S (0,0,1)，设SC 的中点为M ，则M .(－12，0，12)故MO ＝，MA ＝，(12，0，－12)(12，1，－12)SC＝(－1,0，－1)，所以MO ·SC ＝0，MA ·SC＝0.即MO ⊥SC ，MA ⊥SC .故〈MO ，MA〉为二面角A －SC －B 的平面角．cos 〈MO ，MA 〉＝＝.·| |||33即二面角A －SC －B 的余弦值为.3317．(重庆高考)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .π3(1)求PA 的长；(2)求二面角B －AF －D 的正弦值．解：(1)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB ，OC ，AP的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD cos ＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，π3又OD ＝CD sin ＝，故A (0，－3,0)，B (，0,0)，C (0,1，0)，D (－，0,0)．π3333因PA ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 的中点，知F .(0，－1，z2)又AF ＝，PB ＝(，3，－z )，(0，2，z2)3因AF ⊥PB ，故AF ·PB ＝0，即6－＝0，z ＝2(舍去－2)，所以|PA |＝2.z 22333(2)由(1)知AD ＝(－，3,0)，AB＝(，3,0)，AF ＝(0,2，)．设平面FAD 的法向333量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD ＝0，n 1·AF＝0，得Error!因此可取n 1＝(3，，－2)．3由n 2·AB＝0，n 2·AF ＝0，得Error!故可取n 2＝(3，－，2)．3从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝＝.n 1·n 2|n 1|·|n 2|18故二面角B －AF －D 的正弦值为.378。
2018-2019学年高中数学人教B版选修2-3讲义：第1部分 第二章 2.2 2.2.3 独立重
姓名，年级：时间：2．2.3 独立重复试验与二项分布错误!独立重复试验要研究抛掷硬币的规律,需做大量的掷硬币试验．试想每次试验的前提是什么？提示：条件相同．1．在相同条件下重复地做n次试验，各次实验的结果相互独立,则称它们为n次独立重复试验．2．一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中,事件A 恰好发生k次的概率为P n(k）＝C k n p k(1－p）n－k(k＝0,1，2,…，n）.二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0。
8.用A i(i ＝1,2，3）表示第i次投篮命中这件事,用B1表示仅投中1次这件事．问题1:试用A i表示B1。
提示：B1＝(A1∩错误!2∩错误!3)∪（错误!1∩A2∩错误!3)∪(错误!1∩错误!2∩A3）．问题2：试求P（B1）．提示：因为P(A1)＝P(A2）＝P(A3)＝0。
8，且A1∩A2∩错误!3,错误!1∩A2∩错误!3，错误!1∩错误!2∩A3两两互斥，故P（B1)＝P（A1∩错误!2∩错误!3)＋P(错误!1∩A2∩错误!3)＋P（错误!1∩错误!2∩A3)＝0.8×0.22＋0.8×0。
22＋0。
8×0.22＝3×0.8×0.22。
问题3：用B k表示投中k次这件事，试求P（B2)和P(B3)．提示：P(B2）＝3×0.2×0。
82，P（B3）＝0.83。
问题4：由以上结果你能得出什么结论？提示：P(B k)＝C k，30。
8k0。
23－k，k＝0，1,2，3.若将事件A发生的次数记为X,事件A不发生的概率为q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝C错误!p k q n－k，其中k＝0,1，2，…，n.于是得到X的分布列X01…k…nP C错误!p0q nC错误!p1q n－1…C错误!p k q n－k…C n，np n q0由于表中的第二行恰好是二项式展开式(q＋p）n＝C错误!p0q n＋C错误!p1q n－1＋…＋C错误!p k q n－k＋…＋C错误!p n q0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n,p）．1．独立重复试验满足的条件：(1)每次试验是在相同的条件下进行的;（2）各次试验的结果互不影响,即每次试验是相互独立的；(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2．二项分布中各个参数的意义：n表示试验的总次数；k表示在n次独立重复试验中成功的次数;p表示试验成功的概率;1－p表示试验不成功的概率．3．二项分布的特点：(1）对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；（2）重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次,保证每一次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变．错误!独立重复试验的概率[例1] 2位）(1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．［思路点拨］由于5次预报是相互独立的,且结果只有两种(或准确，或不准确),符合独立重复试验模型．［精解详析] (1）记“预报1次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验,2次准确的概率为P＝C错误!0.82×0。
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2．2.2 椭圆的几何性质[对应学生用书P22]建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．以方程＋＝1(a ＞b ＞0)为例，试着完成下列问题：x 2a 2y 2b 2问题1：方程中对x ，y 有限制的范围吗？提示：由＝1－≥0，得－a ≤x ≤a .y 2b 2x 2a 2同理－b ≤y ≤b .问题2：在方程中，用－x 代x ，－y 代y ，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x ＝0，得y ＝±b ； 令y ＝0，得x ＝±a ；与x 轴的交点为(a,0)，(－a,0)，与y 轴的交点为(0，b )，(0，－b )．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程＋＝1(a ＞b ＞0)x 2a 2y 2b 2＋＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2x 2b 2范围－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b－a ≤y ≤a ，－b ≤x ≤b顶点(±a,0)，(0，±b )(0，±a )，(±b,0)轴长短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c )焦距F 1F 2＝2c对称性对称轴x 轴，y 轴，对称中心(0,0)离心率e ＝∈(0,1)c a1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x 轴成轴对称，关于y 轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0<e <1，e 越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．(2)当e →0，c →0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e ＝0时的特例．(3)当e →1，c →a ，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F 1F 2，此时也可认为F 1F 2为椭圆在e ＝1时的特例．[对应学生用书P23]已知椭圆方程求几何性质[例1] 求椭圆81x 2＋y 2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．[思路点拨] 本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a ，b ，c ，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析] 椭圆的方程可化为x 2＋＝1，∴a ＝9，b ＝1，y 281∴c ＝＝＝4 ，81－1805∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦点在y 轴上，故其焦点坐标为F 1(0，－4 )，F 2(0,4 )，55顶点坐标为A 1(0，－9)，A 2(0,9)，B 1(－1,0)，B 2(1,0)，e ＝＝.c a 4 59[一点通] 求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a ，b 的值，进而求出c ，写出椭圆的几何性质参数．1．若椭圆＋＝1的离心率为，则m 的值为________．x 2m y 2413解析：当m >4时，由c 2＝a 2－b 2＝m －4，得＝.解得m ＝.m －4m 1392当m <4时，由c 2＝a 2－b 2＝4－m ，得＝，解得m ＝.4－m 213329答案：或923292．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：椭圆方程变形为＋＝1，x 29y 24∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝＝＝.a 2－b 29－45∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝2，5焦点坐标为F 1(－，0)，F 2(，0)，55顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝＝.ca 53由椭圆的几何性质求标准方程[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长为20，离心率等于；45(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨] 先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a 、b 、c ，得到椭圆的标准方程．[精解详析] (1)∵2a ＝20，e ＝＝，c a 45∴a ＝10，c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝36.由于椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.x 2100y 236y 2100x 236(2)设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2y 2a 2x 2b 2由已知a ＝2b ，①且椭圆过点(2，－6)，从而有＋＝1或＋＝1.②22a 2(－6)2b 2(－6)2a 222b 2由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13.故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.x 2148y 237y 252x 213[一点通] 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．3．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且G 上一点到G 的32两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：由题意得2a ＝12，＝，所以a ＝6，c ＝3，b ＝3.ca 323故椭圆方程为＋＝1.x 236y 29答案：＋＝1x 236y 294．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.513解：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝＋＝8，32＋(2＋2)232＋(2－2)2所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.y 216x 212(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又e ＝＝，所以c ＝5，ca 513所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.x 2169y 2144y 2169x 2144与椭圆离心率有关的问题[例3] 已知椭圆M ：＋＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.P 是椭圆M 上的x 2a 2y 2b 2任一点，且PF 1·PF 2的最大值的取值范围为，其中c 2＝a 2－b 2，求椭圆的离心率[12c 2，3c 2]的取值范围．[思路点拨] 由P 是椭圆上一点，知PF 1＋PF 2＝2a ，进而设法求出PF 1·PF 2的最大值，再由已知的范围求出离心率e 的范围．[精解详析] ∵P 是椭圆上一点，∴PF 1＋PF 2＝2a ，∴2a ＝PF 1＋PF 2≥2 ，PF 1·PF 2即PF 1·PF 2≤a 2，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号．∴c 2≤a 2≤3c 2，∴≤≤2，1213c 2a 2∴≤e 2≤2，∴≤e ≤.13332∵0<e <1，∴≤e <1，33∴椭圆的离心率的取值范围是.[33，1)[一点通] 1．椭圆的离心率的求法：(1)直接求a ，c 后求e ，或利用e ＝，求出后求e .1－b 2a 2ba (2)将条件转化为关于a ，b ，c 的关系式，利用b 2＝a 2－c 2消去b .等式两边同除以a 2或a 4构造关于(e )的方程求e .ca 2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则由已知得2a ＋2c ＝4b .即a ＋c ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝b ，c ＝b ，e ＝.543435答案：356．椭圆M ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，x 2a 2y 2b 2且·2PF的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝，则椭圆M 的离心率e 的取1PF a 2－b 2值范围是________．解析：设P (x ，y )、F 1(－c,0)、F 2(c,0)，则1PF ＝(－c －x ，－y )，2PF＝(c －x ，－y )，1PF ·2PF＝x 2＋y 2－c 2，又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max＝a 2，(1PF ·2PF)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即≤e 2≤，1412所以≤e ≤.1222答案：[12，22]与椭圆相关的应用问题[例4] 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是R 、R ，求此宇宙飞船运行的轨道方程．11513[思路点拨] 根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．[精解详析] 如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x 轴建立坐标系，且令地心F 2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，不妨设为＋＝1(a >b >0)，则地心F 2的坐标为(c,0)，x 2a 2y 2b 2其中a 2＝b 2＋c 2，则Error!解得Error!∴b 2＝a 2－c 2＝2－2＝R 2.(65R)(215R)6445∴此宇宙飞船运行的轨道方程为＋＝1.x 23625R 2y 26445R 2[一点通] 解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a ，b ，c 的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：(1)椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；(2)最后要将数学模型还原回实际问题作答．7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．解析：可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得2a ＝1 700＋2×1 800＋200，∴a ＝2 750.又a ＋2c ＝1 700＋1 800，∴c ＝375.∴e ＝＝＝.ca 3752 750322答案：3228．已知某荒漠上F 1、F 2两点相距2 km ，现准备在荒漠上开垦出一片以F 1、F 2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；(2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F 1F 2所在直线为x 轴，F 1F 2的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P (x ，y )，Q (x ′，y ′)，则由已知得PF 1＋PF 2＝4.由椭圆定义知点P 在以F 1、F 2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a ＝2，c ＝1，则b ＝.3∴P 点的轨迹方程为＋＝1(y ≠0)，x 24y 23同理Q 点轨迹方程同上．(2)S ▱PF 1QF 2＝F 1F 2·|y P |≤2c ·b ＝2(km 2)，3所以当P 为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 km 2.31．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论．[对应课时跟踪训练(九)] 1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为x 2a 2y 2b 2F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝m ，故离心率3e ＝＝＝＝＝.c a 2c2a |F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|3m2m ＋m 33法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±，所b 2a 以|PF 2|＝.又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝|PF 2|，故2c ＝·，变形可得(a 2－c 2)b 2a 33b 2a 3＝2ac ，等式两边同除以a 2，得(1－e 2)＝2e ，解得e ＝或e ＝－(舍去)．3333答案：332．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于，则C 12的方程是________________________________________________________________________．解析：依题意，设椭圆方程为＋＝1(a ＞b ＞0)，所以Error!解得a 2＝4，b 2＝3.x 2a 2y 2b 2答案：＋＝1x 24y 233．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或x 225y 29x 225－k y 29－k “短轴长”或“离心率”或“焦距”)解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4.故两条曲线有相同的焦距．答案：焦距4．已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率是，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别x 2a 2y 2b 263交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－，y ＝b 2－.b 2x 2a 221b 2x 21a 2所以k 1·k 2＝·＝＝－＝－1y －y 1x －x 1y ＋y 1x ＋x 1y 2－y 21x 2－x 21b 2a 2c 2a 2＝e 2－1＝－，13即k 1·k 2的值为－.13答案：－135．设F 1，F 2是椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝上一点，x 2a 2y 2b 23a2△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．解析：设直线x ＝与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.3a2由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝－c .3a2在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝PF 2，即－c ＝c .123a2∴e ＝＝.c a 34答案：346．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝，经过点A (，－2)，求椭圆的标准方35 5 32程．解：设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)，则＋＝1.①x 2a 2y 2b 2754a 24b 2由已知e ＝，∴＝，∴c ＝a .35c a 3535∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(a )2，即b 2＝a 2.②351625把②代入①，得＋＝1，754a 24×2516a 2解得a 2＝25，∴b 2＝16，∴所求方程为＋＝1.x 225y 2167．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的32长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为＋＝1，x 2m y 2m m ＋3由m >0，易知m >，m m ＋3∴a 2＝m ，b 2＝.m m ＋3∴c ＝＝.a 2－b 2m (m ＋2)m ＋3由e ＝，得 ＝，解得m ＝1，32m ＋2m ＋332∴椭圆的标准方程为x 2＋＝1.y 214∴a ＝1，b ＝，c ＝.1232∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1，F 2，(－32，0)(32，0)顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1，B 2.(0，－12)(0，12)8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于－，试求椭圆的离心率及其方程．105解：令x ＝－c ，代入＋＝1(a ＞b ＞0)，x 2a 2y 2b 2得y 2＝b 2(1－)＝，∴y ＝±.c 2a 2b 4a 2b 2a 设P (－c ，)，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．b 2a ∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－＝－，b 2ac ba ∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝c ，∴e ＝＝.2c a 22又∵a －c ＝－，解得a ＝，c ＝，∴b ＝，1051055∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 210y 25。