高中数学人教A版选修2-3课件：1.2.2 组合

题型一
题型二
题型三
题型四
易错辨析 易错点:曲解题意而致错 【例4】 有编号分别为1,2,3,4的4个盒子和4个小球,要求把小球全 部放入盒子中.问: (1)共有多少种放法? (2)恰有1个空盒,有多少种放法?
题型一
题型二
题型三
题型四
(1)错解:由已知,相当于对 1,2,3,4 全排列,故有A4 4 种放法. 错因分析:没有理解题意,这里的任务是把小球放入盒中即可,并 没有要求每盒中放 1 个小球. 3 (2)错解:从 4 个小球中任取 3 个,有C4 种取法,从 4 个盒子中任取 3 3 个,有C4 种取法,将 3 个小球放到取出的 3 个盒子中,有A3 3 种放法.再 3 把余下的小球放到 3 个盒子中的 1 个,有 3 种放法,所以放法共有C4 · 3 C4 ·A3 3=288 种. 3· 错因分析:错解属于重复计数问题.若取出的 3 个小球为 1 号,2 号,3 号,则 4 号小球放入盒中时,其中一种方式为 1,4 2 3;若取出的 3 个小球为 2 号,3 号,4 号,则 1 号小球放入盒中时,其中也有一种方式 为 2 3 1,4,故出现重复计数.
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������ +1 【变式训练 2】 求证:(1)C������ + C������
������ -1
������! (������ + 2)! = (������ + 2)(������ + 1) = (������ + 1)!(������-������ + 1)! (������ + 1)!(������-������ + 1)!
������ +1 ������ + 2C������ = C������ +2 ;
(2)m!+
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有限制条件的组合问题 【例3】 (1)某组织从4名男运动员、6名女运动员中各选一名运动 员作为最佳运动员,不同的选法种数为( ) A.12 B.30 C.15 D.24 (2)从(1)中的4名男运动员、6名女运动员中选出3人参加某公益 活动,则至多有2名男运动员的选法有 . 1 1 解析:(1)第一步选男运动员有C4 种选法,第二步选女运动员有C6 1 1 种选法.所以共有C4 C6 = 24 种选法. (2)“至多有 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况. 3 ①没有男运动员时,有C6 种选法; 1 2 ②有 1 名男运动员时,有C4 C6 种选法; 2 1 ③有 2 名男运动员时,有C4 C6 种选法. 3 1 2 2 1 所以共有C6 + C4 C6 + C4 C6 = 20 + 60 + 36 = 116 种选法. 答案:(1)D (2)116种
11 × 10 × 9 × 8 = = 11 × 10 × 3 = 330. 4×3×2×1
(3)330
答案:(1)466 (2)124
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反思组合数公式的连乘形式体现了组合数与相应排列数的关系,在 计算具体的组合数时会经常用到.组合数公式的阶乘形式主要作用 是对含有字母的组合数的式子变形或证明. 组合数的性质1可以用来进行转化,减少计算量;组合数的性质2 主要用于计算或化简多个组合数连加,此时往往需要先用性质1进 行适当的转化,使得有两个组合数为下标相同,上标差1的形式,再反 复运用性质2即可化成最简形式.
和 3,则商为 和 = 3 两个不同结果,是排列问题.问题(2)所求的解 与取出元素的先后顺序无关,如取出 1 和 3,相乘后得的积是 3,与 1,3 的顺序无关,是组合问题.
1 3
3 1
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组合数的计算、化简与证明 【例2】 填空:
(1)C3������
38 -������
3������ + C21+ ������ = _____________; 3������ -1 3������ -2 17 -������
3������ (2)C13+ ������ + C12+������ + C11+������ + ⋯ + C2������ = _____________; 3 3 3 3 (3)C3 + C4 + C5 + ⋯ + C10 = _____________.
3������ ≥ 38-������ ≥ 0, 解析:(1)原式中的自然数 n 应满足: 21 + ������ ≥ 3������ ≥ 0, ������∈N * , 解得 n=10. 38 -������ 3������ 28 30 2 1 故C3 ������ + C21+������ = C30 + C31 = C30 + C31 = 466.
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【变式训练3】 车间有11名工人,其中5名男工是钳工,4名女工是 车工,另外2名老师傅既能当车工又能当钳工.现在要在这11名工人 中选派4名钳工,4名车工修理一台机床,则有多少种选派方法?
4 4 解法一:5 名男钳工有 4 名被选上的方法有C5 C6 = 75 种; 3 4 1 3 3 2 5 名男钳工有 3 名被选上的方法有C5 C4 C2 + C5 C4 A2 = 100 种; 2 2 4 5 名男钳工有 2 名被选上的方法有C5 C2 C4 = 10 种. 故一共有 75+100+10=185 种选法. 4 4 解法二:4 名女车工都在内的选派方法有C4 C7 = 35 种; 3 1 4 3 3 2 4 名女车工有 3 名在内的选派方法有C4 C2 C5 + C4 C5 A2 = 120 种; 2 2 4 4 名女车工有 2 名在内的选派方法有C4 C2 C5 = 30 种.故一共有 35+120+30=185 种选法.
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组合的概念及其简单应用 【例1】 判断下列问题是排列问题,还是组合问题. (1)从1,2,3,…,9这9个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三 位数共有多少个? (2)从1,2,3,…,9这9个数字中任取3个,然后把这3个数字相加得到 一个和,这样的和共有多少个? (3)从a,b,c,d这4名学生中选2名学生,去完成同一件工作有多少种 不同的选法? (4)规定每两人相互通话一次,5人共通了多少次电话? (5)5个人相互各写一封信,共写了多少封信?
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解:(1)取出3个数字后,如果改变3个数字的顺序,会得到不同的三 位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是 排列问题. (2)取出3个数字之后,无论怎样改变这3个数字之间的顺序,其和 均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组 合问题. (3)2名学生完成的是同一件工作,没有顺序,是组合问题. (4)甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,无顺序区别,是 组合问题. (5)发信人与收信人是有区别的,是排列问题. 反思区别排列与组合的关键是看取出元素之后,在安排这些元素 时,是否与顺序有关,“与顺序有关”则为排列,“与顺序无关”则为组 合.
(������+1)! (������+2)! (������+������)! ������ + + ⋯+ = ������! C������ +������ +1 . 1! 2! ������! ������! ������! 2· ������! 证明:(1)左边 = + + (������+1)!(������-������-1)! (������-1)!(������-������+1)! ������!(������-������)! ������! = · [(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)] (������+1)!(������-������+1)!
2.在解决排列和组合问题的过程中都用到了“树形图”,它起到什 么作用 剖析: “树”是图论中的一个概念,它指的是一个连通的无圈图.“树 形图”就是“数”的图形,好像一棵树一样,从树干上长出几个主枝,主 枝又可分叉长出分枝,分枝再分叉成小分枝……利用树形图可以把 排列组合问题直观化、形象化、具体化,起到了“数形结合”中“形” 的作用,从而很容易不遗漏、不重复地写出所有的排列或组合,一 般适用于数字不太大的情况.对于数字较大的排列组合问题,先缩 减数字,用树形图帮助我们思考,找出规律,也不失为一种较好的方 法.
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【变式训练1】 (1)从1,3,5,7中任取两个数相除,可以得到多少个 不同的商? (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘,可以得到多少个不同的积? (3)请指出问题(1)和问题(2)的不同之处. 解:(1)从 1,3,5,7 中任取两个数相除,因为取出的两个数若先后顺 序不同,得到的商不同,所以不同的商的个数为A2 4 = 4 × 3 = 12. (2)从 1,3,5,7 中任取两个数相乘,所得不同的积为 1×3=3,1×5=5,1×7=7,3×5=15,3×7=21,5×7=35.共 6 个. (3)问题(1)所求的解与取出元素的先后顺序有关.如取出元素 1
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题型四
0 ≤ 3������ ≤ 13 + ������, (2)由原式知,n 应满足 即 17 0 ≤ 17-������ ≤ 2������, ������ ≥ .