第六章信道编码定理PPT课件
合集下载
信道编码的概念PPT课件
o 有些实际信道既有独立随机差错，也有突发性成串差错， 我们称它为混合信道。
o 从信道编码的构造方法看，信道编码的基本思路是根据一
定的规律在待发送的信息码中加入一些人为多余的码元，
以保证传输过程可靠性。信道编码的任务就是构造出以最
小多余度代价换取最大抗干扰性能的“好码”。
2021/6/4
3
信道编码通信系统的主要技术指标
根据监督元与信息元之间关系可分为：线性码 和非线性码
根据码的功能可分为：检错码和纠错码
2021/6/4
8
恒比码
非线性码
分组码
检 纠 错 码
线性码
群计数码 非循环码 循环码
奇偶校验码 汉明码 BCH码
信 道 编
卷积码
非系统卷积码
RS码
正交码
码
系统卷积码
W-A码
正
m序列
交 编
岩垂码
码
L序列
扩散码
信道编码的基本思想
2
o 信道编码的目的是为了改善数字通信系统的传输质量。由 于实际信道存在噪声和干扰，使得发送的码字与经信道传
输后所接收的码字之间存在差异，这种差异称为差错。信 道噪声、干扰越大，码字产生差错的概率也就越大。
o 在有记忆信道中，噪声、干扰的影响往往是前后相关的， 错误是成串出现的，在编码中称这类信道为突发差错信道 。实际的衰落信道、码间干扰信道均属于这类信道。
率p(R/C)。
n1
无记忆二进制信道：对任意的n都有 p(R/C) p(Ri /Ci)
则称为无记忆二进制信道。
i0
无记忆二进制对称信道/BSC/硬判决信道：无记忆二进制 信进道制的对转称移信概道率(见又下满页足)。p(0/1)=p(1/0)=pb，称为无记忆二
o 从信道编码的构造方法看，信道编码的基本思路是根据一
定的规律在待发送的信息码中加入一些人为多余的码元，
以保证传输过程可靠性。信道编码的任务就是构造出以最
小多余度代价换取最大抗干扰性能的“好码”。
2021/6/4
3
信道编码通信系统的主要技术指标
根据监督元与信息元之间关系可分为：线性码 和非线性码
根据码的功能可分为：检错码和纠错码
2021/6/4
8
恒比码
非线性码
分组码
检 纠 错 码
线性码
群计数码 非循环码 循环码
奇偶校验码 汉明码 BCH码
信 道 编
卷积码
非系统卷积码
RS码
正交码
码
系统卷积码
W-A码
正
m序列
交 编
岩垂码
码
L序列
扩散码
信道编码的基本思想
2
o 信道编码的目的是为了改善数字通信系统的传输质量。由 于实际信道存在噪声和干扰，使得发送的码字与经信道传
输后所接收的码字之间存在差异，这种差异称为差错。信 道噪声、干扰越大，码字产生差错的概率也就越大。
o 在有记忆信道中，噪声、干扰的影响往往是前后相关的， 错误是成串出现的，在编码中称这类信道为突发差错信道 。实际的衰落信道、码间干扰信道均属于这类信道。
率p(R/C)。
n1
无记忆二进制信道：对任意的n都有 p(R/C) p(Ri /Ci)
则称为无记忆二进制信道。
i0
无记忆二进制对称信道/BSC/硬判决信道：无记忆二进制 信进道制的对转称移信概道率(见又下满页足)。p(0/1)=p(1/0)=pb，称为无记忆二
《信息论与编码》课件第6章 信道编码理论
X
信源编码
Y
差错控制 编码
Z
调制
信息错误
数据错 误一定
物理信道
条件：实
信宿
重建 符号
Xˆ
信源译码
Yˆ 差错控制 Zˆ
接收 信息
译码
接收 数据
解调
注
际信息传 输速率不 大于信道
容量，
意 1.信道一定，数据出现差错的概率一定，这是无
法改变的，与差错控制编码/译码方式无关
2.数据出现差错的概率不可改变，但是可以通过引 入差错控制编码/译码，降低信息传递中的错误
即如何选择 译码规则和 编码方法
减少信道传 输中的信息 差错
由于信道噪声或者干扰的存在， 会产生数据传输错误。
信道编码定理，也 称为香农第二定理
通信原理告诉我们，信噪声为例， 介绍虚警概率、漏报概率，以及 计算错误概率的过程和方法
原始
数
符号
信息
据
信源
(4) 纠正t个随机错误, ρ个删除,则要求码的最小距离满足 d0 ≥ ρ +2t+1
分组码的最小汉明距离满足下列关系
d0 n k 1
奇偶校验码是只有一个检验元的分组码 最小汉明距离为2，只能检测一个错误， 不能纠错。
是不等式， 不能用于计
算d0
差错 控制 译码 已知 条件
任务
6.3 译码规则
p( y)
p( y)
﹝ ❖ 考虑y的取值 两者之间比较
P(0 | y 0)
(1 pe ) p
p(1 pe ) (1 p) pe
P(1| y 0)
(1 p) pe
p(1 pe ) (1 p) pe
﹝ 两者之间比较
信源编码
Y
差错控制 编码
Z
调制
信息错误
数据错 误一定
物理信道
条件：实
信宿
重建 符号
Xˆ
信源译码
Yˆ 差错控制 Zˆ
接收 信息
译码
接收 数据
解调
注
际信息传 输速率不 大于信道
容量，
意 1.信道一定，数据出现差错的概率一定，这是无
法改变的，与差错控制编码/译码方式无关
2.数据出现差错的概率不可改变，但是可以通过引 入差错控制编码/译码，降低信息传递中的错误
即如何选择 译码规则和 编码方法
减少信道传 输中的信息 差错
由于信道噪声或者干扰的存在， 会产生数据传输错误。
信道编码定理，也 称为香农第二定理
通信原理告诉我们，信噪声为例， 介绍虚警概率、漏报概率，以及 计算错误概率的过程和方法
原始
数
符号
信息
据
信源
(4) 纠正t个随机错误, ρ个删除,则要求码的最小距离满足 d0 ≥ ρ +2t+1
分组码的最小汉明距离满足下列关系
d0 n k 1
奇偶校验码是只有一个检验元的分组码 最小汉明距离为2，只能检测一个错误， 不能纠错。
是不等式， 不能用于计
算d0
差错 控制 译码 已知 条件
任务
6.3 译码规则
p( y)
p( y)
﹝ ❖ 考虑y的取值 两者之间比较
P(0 | y 0)
(1 pe ) p
p(1 pe ) (1 p) pe
P(1| y 0)
(1 p) pe
p(1 pe ) (1 p) pe
﹝ 两者之间比较
通信原理课件第6讲 信道编码：基本概念、汉明码编码、错误图样、纠检过程-文档资料
0100
110
1100
001
0101
101
1101
010
0110
011
1110
100
0111
000
1111
111
监督矩阵的推导
将监督关系式进行变换
u6 u5 u4 c2 0
u6 u5 u3 c1 0
1 u6 1 u5 1u4 0 u3 1 c2 0 c1 0 c0 0 1 u6 1 u5 0 u4 1 u3 0 c2 1 c1 0 c0 0
二、线性分组码
线性分组码的数学定义： 信道编码可表示为由编码前的信息码元空间Uk到编码后的码字
空间Cn的一个映射f，即： f： Uk → Cn 其中( n > k )
若f进一步满足线性关系：
f (u u ') f (u) f (u '), , GF(2) {0,1}, u,u 'U k
2）若信道中最多可以发生两位以内错误，消息A与消息B经过传输后发生一位或 两位错误后的情况分别可能为： A(0110)→ { 1110，0010，0100，0111，1010，0000，0101，1100，1111，0011 } B(1000)→ { 0000，1100，1010，1001 ，0100，1110，1011，1010，1001，1101 } 每个误码集合中前4个码组为误码一位的码组，后6个位误码两位的码组 若该种编码方法可以纠正t = 2个错误，即d < 2t + 1； 观察发现两个误码集合存在交集，交集中的码组用相应的颜色标出； 两个集合中黑色字体的码组都可以被正确的纠正，但对于其他颜色的码组，比如 1110，它在两个集合中都存在，此时接收端不知道该纠正为A还是B。 因此当d < 2t + 1时不能完全正确的进行纠错
6信道编码1-PPT课件
• 若 Pe 0 ，就必然存在一批码集 Pe ({c}m ) 0 即差错概率趋于零的好码一定存在 。
2019/3/9
Chapter 6 信道编码
4
6.1.3随机编码
• 码集点数M=qK占N维矢量空间总点数qN的比例是 F =qK / qN = q-(N-K) • 当K和N的差值拉大即冗余的空间点数增加时，平均而言 码字的分布将变得稀疏，码字间的平均距离将变大，平 均差错概率将变小。 • 当F0 即(N-K)时，能否让平均差错概率 Pe 0 ？
6.1.3随机编码
• 最典型的方法是计算统计平均，因为是平均，总有一部分
码的性能优于平均值而另一部分劣于平均值。因此只要求 出统计平均，就可断言必然存在着一些优秀的编码，其性 能优于平均值。 • 用这种方法不能得知最优码是如何具体编出来的，却能得 知最优码可以好到什么程度，并进而推导出有扰离散信道 的编码定理，对指导编码技术具有特别重要的理论价值。
2019/3/9 Chapter 6 信道编码 10
R 0
R1 < R2 C1 < C2
增大E(R)的途径
减小差错概率的措施
• 增大信道容量C （传统设计方法）
– 扩展带宽 – 加大功率 – 降低噪声
• 减小码率R （纠错编码方法的基础）
– Q、N不变而减小K – Q、K不变而增大N – N、K不变而减小Q
2019/3/9
Chapter 6 信道编码
8
6.2 纠错编译码的基本原理与分析
• 纠错编码的基本思路
• 译码方法－最优译码与最大似然译码
2019/3/9
Chapter 6 信道编码
9
6.2.1纠错编码的基本思路
Pe e
Chapter 6 信道编码.pptx
靠性为零。
E(R)
•
2020/4/13
CR
0
R0 -45
E(R)和R的关系曲线
Chapter 6 信道编码
7
信道编码定理
• 正定理：只要传信率R小于信道容量C，总存在一 种信道码（及解码器），可以以所要求的任意小 的差错概率实现可靠的通信。
• 逆定理：信道容量C是可靠通信系统传信率R的上 边界，如果R >C，就不可能有任何一种编码能使 差错概率任意小。
• 由于基底不是唯一的，所以G也就不是唯一的。 • 不同的基底有可能生成同一码集，但因编码涉及
码集和映射两个因素，码集一样而映射方法不同 也不能说是同样的码。
2020/4/13
Chapter 6 信道编码
25
系统形式的生成矩阵
(n,k)码的任何生成矩阵都可以通过行运算 （以及列置换）简化成“系统形式” 。
• E(R)为可靠性函数，也叫误差指数 • 码率：R =( ln M) / N
➢ M是可能的信息组合数，M=qK ➢ N是每码字的码元数， ➢ R表示每码元携带的信息量，单位是每符号奈特（nat /
symbol）
2020/4/13
Chapter 6 信道编码
6
E(R)~R
• R在[0,R0]区间时E(R)~R曲线是斜率为-1（-45） 的直线，E(R)反比于R；而当R=C时E(R)=0即可
间是一一对应的 ，这就等价于译码器根据r 对c 的估计。
3) 最佳译码
在已知接收字r 的条件下 , 找出可能性最大的发送码字ci
作为译码的估值 cˆi , 令 cˆi max P(ci | r)
这种译码方法叫做最佳译码或最大后验概率译码(MAP)。
第信道编码定理PPT课件
收到1时译成1，那么译码错误
1
1 - pb
1
概率为0.9。
• 反之，如果规定在接收到符号0 时译成1；接收到1时译成0，则 译码错误概率为0.1。
二元对称信道
• 可见，错误概率既与信道统计特
5
第5页/共53页
无记忆二进制对称信道（BSC）
消息
码字 c
m 信源编码 ci{0,1}
二进制信道 p(r/c)
定义6.1.2 选择译码函数F( y j ) x*,使之满足条件
p x * y j p xi y j 对i
则称为最大后验概率译码准则. 最大后验概率译码准则是选择这样一种译码函数, 对于每一个输出符号y j , j 1, 2,..., m,均译成具有最大
后验概率p xi y j 的那个输入符号x *.则信道译码
的，因此要讨论选择译码规则的准则，这些准则总的
原则是使译码平均错误概率最小。
10
第10页/共53页
1、译码平均错误概率
•
若 则
译 信
码 道
规则为 输出端
接F收(y到j ) 符x号i ,i
1, 2, yj时，
, n; j 1, 2, 一定译成
x
,m i。
，
• 如果发送端发的就是xi，这就是正确译码，因此条
• 有线通信中的如调制解调器、电缆等全体；
4
• 互联网的多个路由器、第节4页点/共、53电页缆、低层协议等全体；
错误概率和译码规则
• 考虑一个二元对称信道，单符号
错误传递概率是pb=0.9，其输入 符号为等概率分布。
0
1 - pb
0
pb
• 如果规定在信道输出端接收到符
第六章 信道编码
BSC编码信道
BSC输入输出关系等效为
e=1表示差 错,e=0表示正确
rce mod2 p(e1)pb,p(e0)1pb
差错图案：指n长的随机序列e=(e0,e1,…, en-1).
称e=(e0,e1,…, en-1)中ei=1为第i位上的一个随机错误.
第i至第j位之间有很多错误时,称为一个j-i+1长的 突发错误.
i
•如:
发送序列c: (1111011000)
接收序列的r: (0110010110)
比较c和r，可写出另一个序列e：1001001110
r = c + e (mod 2)或e = r+c (mod 2)
对于一个BSC信道总有转移概率 p b 1/2，n比
特传输中发生差错数目越少，概率越大，即
i 1 p b n p b 1 p b n 1 p b t 1 p b n t p b n
冗余编码：为了实现检纠错,所以码字c的长度
n一定大于消息m的长度k。
纠错编码
m m 0 ,m 1 , ,m k 1
c c 0 ,c 1 , ,c n 1
编码码率R ：每个码字的序列符号（或码元） 平均传送的消息比特数,称为编码码率:
Rk/n
对检纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强； 编码效率尽量高；编码规律尽量简单。 实际中要根 据具体指标要求， 保证有一定纠、 检错能力和编 码效率，并且易于实现。
•编码码率: Rs tsstt 1 1 1s st t1
t 1
pi,t mi, j mod2, j 0
s1
ps, j mi, j mod2, i 0
s1
t 1
ps,t mi,t ms, j
第六章：信道编码定理
错误概率与译码准则、编码方法－ 错误概率与译码准则、编码方法－6
• 译码准则二：最大似然译码准则 译码准则二：
p( y | g( y)) = m p( y | xm) ax
m
• 最大后验概率译码准则 最大似然译码准则 最大后验概率译码准则&最大似然译码准则
– 输入等概时－－二者是一致的 输入等概时－－二者是一致的 －－
传输信息量大－－传输要有效 传输信息量大－－传输要有效 －－ 传输信息无差错－－传输要可靠 传输信息无差错－－传输要可靠 －－ 可靠性？ 可靠性？
§6.1:问题引出与定理描述
• 提出的与信道传输可靠性有关的问题： 提出的与信道传输可靠性有关的问题： 可靠性有关的问题
– 如何能使信息传输后发生的错误最少？ 如何能使信息传输后发生的错误最少？ • 错误概率与那些因素有关？ 错误概率与那些因素有关？ • 有无办法控制？ 有无办法控制？ 具体信道编码技术 • 能控制到什么程度？ 能控制到什么程度？ – 无误传输可达的最大信息率是多少？ 无误传输可达的最大信息率是多少？
错误概率与译码准则、编码方法－ 错误概率与译码准则、编码方法－8
• 选择好的译码规则可以降低错误概率 • FANO不等式说明 无论什么译码规则 对减少误码 不等式说明,无论什么译码规则 不等式说明 无论什么译码规则,对减少误码 率的作用有限,误码率受信道特性的影响严重。 误码率受信道特性的影响严重 率的作用有限 误码率受信道特性的影响严重。 • 增加码空间 ，并选择适当的编码方法,可以既使 增加码空间M，并选择适当的编码方法 可以既使 错误概率降低,又使码率保持较大 又使码率保持较大。 错误概率降低 又使码率保持较大。 • 适当的编码方法就是适应信道特性的方法即 信道 适当的编码方法就是适应信道特性的方法即:信道 编码
信息论与编码第6章信道编码
素(既约)多项式
若 p( x) f ( x), deg( p( x)) 1且p( x)在F[ x] 中只有因式 c和cp( x) 则称 p( x) 为域F上的不可约多项式。
的集合
余类环
多项式剩余类环 n n1 f ( x) an x an1x ... a1x a ai Fq 用 Fq [ x] 或者 GF (q)[ x] 表示所有这样多项式
纠错码的分类
根据监督码元与信息组之间的关系 系统码 信息码元是否发生变化 非系统码 代数码 几何码 算术码 线性码 非线性码 分组码 卷积码
构造编码的数学方法
根据监督码元和信息码元的关系
根据码的功能
按纠误的类型
检错码 纠错码 纠删码 纠随机差错码 纠突发差错码 纠混合差错码 二元码 多元码 等保护纠错码 不等保护纠错码
3 3 2 2 3 2 3 2
x x , x x, x x 1, x 1, x ,
3 3 3 3
x x 1, x x, x 1, x , x 1, x,1, 0
2 2 2 2
4．有限域的性质和代数结构
1）有限域 Fq 的结构 对 a Fq , a 0, 满足 na 0, 的最小正整 数 n ，称为元素 a 的周期。 定理6-6：在有限域 Fq中 (1) ( Fq , ) 是循环加群，它的非零元素的周期等于其 域的特征； (2) ( Fq* , ) 是循环乘群，共有 (q 1) 个乘群的生成 元。 a 乘群 ( Fq* , ) 的生成元 a 称有限域 Fq 的本原元， 的阶为 q 1 ，即 a q 1 e ，且 F * a
q
本原元性质定理6-7
* F (1) q
的元素的阶都是 q 1 的因子， Fq* 的所 q 1 x e 0 的根。 有元恰是 (2) 若 a 是 Fq 的本原元，则当且仅当(k , q 1) 1 k k a 时， 也是本原元。非本原元 a 的阶是
信道编码10-15上课-PPT文档资料65页
2019/11/26
3
6.1 用于可靠传输和存储数据的编码
信道编码的引入 信道编码的基本思想 编码系统模型
2019/11/26
4
6.1 用于可靠传输和存储数据的编码 ——信道编码的引入
移动通信
通信网
小张
2019/11/26
小李
5
6.1 用于可靠传输和存储数据的编码 ——信道编码的引入
通信的目的在于传输信息 通信系统主要质量指标是通信的有效性和可靠性
2019/11/26
16
6.2 错误类型与信道模型
二进制对称信道（Binary Symmetric Channel, BSC）
0
1-p
0
p
X
Y
p
1
1-p
1
P(1/0)=p P(0/1)=p P(1/1)=1-p P(0/0)=1-p
输入符号取值集合 X={0，1}
2019/11/26
输出符号取值集合 Y={0，1}
工作原理：结合前向纠错和ARQ的系统，在纠 错能力范围内，自动纠正错误，超出纠错范围 则要求发送端重新发送。
——折衷方案。
检纠错码
发
收
判决信号
2019/11/26
26
6.4 信道编码的分类
按差错控制编码的不同功能：
检错码：发现错误的码 纠错码：自动纠正错误的码
按信息码元与附加监督码元间检验关系：
2019/11/26
21
6.3 差错控制的基本方式
反馈重传方式 前向纠错方式 混合方式
2019/11/26
22
6.3 差错控制的基本方式
反馈重传方式(Automatic Repeat reQuest, ARQ)
信道编码定理ppt课件
p
(
y
)
2
(
1
)
2
N
[(
H
Y
)
]
|
G
(
Y
)
|
2
N
[(
H
Y
)
]
§6.3:信道编码定理的证明及其物理意义
N
• 结合AEP定理：
p(x,y) p(xn, yn)
n1
• 设随机序列对 ( X , Y ) 的
，那么对恣意小的
数δ >0，我们总能找到足够大的N使全体序列对的集合能
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
§6.2:信道编码的作用及本质
匹配信道特性： －信道编码的本质
抗白噪声：
优秀的调制、信道编码方案，
扩频方式等。
抗衰落和多径干扰：
功控抗慢衰落，
空间分集抗平滑瑞利〔空间选择〕衰落，
Rake接纳机及自顺应平衡抗频率选择性，
交错编码抗时间选择性衰落等。
抗多址干扰与远近效应：
正交码型设计，
• 资源指的提供信息传输所付出的代价
• 包括频率、时间、空间、功率等等。但不包括
实现复杂度
• 一个好的编码就是要充分利用资源，传送尽能
够多的信息
§6.2:信道编码的作用及本质
－信道编码的三种情
形
– 给定资源和可靠性要求，经过信道编码尽量提
高传输速率〔例：多电平编码〕
– 给定对信息传输的速率和可靠性要求，经过信
信道编码定理
错误概率与译码准那么、编码方法－1
(
y
)
2
(
1
)
2
N
[(
H
Y
)
]
|
G
(
Y
)
|
2
N
[(
H
Y
)
]
§6.3:信道编码定理的证明及其物理意义
N
• 结合AEP定理：
p(x,y) p(xn, yn)
n1
• 设随机序列对 ( X , Y ) 的
，那么对恣意小的
数δ >0，我们总能找到足够大的N使全体序列对的集合能
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
§6.2:信道编码的作用及本质
匹配信道特性： －信道编码的本质
抗白噪声：
优秀的调制、信道编码方案，
扩频方式等。
抗衰落和多径干扰：
功控抗慢衰落，
空间分集抗平滑瑞利〔空间选择〕衰落，
Rake接纳机及自顺应平衡抗频率选择性，
交错编码抗时间选择性衰落等。
抗多址干扰与远近效应：
正交码型设计，
• 资源指的提供信息传输所付出的代价
• 包括频率、时间、空间、功率等等。但不包括
实现复杂度
• 一个好的编码就是要充分利用资源，传送尽能
够多的信息
§6.2:信道编码的作用及本质
－信道编码的三种情
形
– 给定资源和可靠性要求，经过信道编码尽量提
高传输速率〔例：多电平编码〕
– 给定对信息传输的速率和可靠性要求，经过信
信道编码定理
错误概率与译码准那么、编码方法－1
第6章信道编码(2)PPT课件
在双射或一一对应下，B中任一元素b必是A中某一元素a的 像，且a是b的唯一的原像，特别当A和B都是有限集合时，所含 元素的个数必相等 。
第六章 信道编码
[定义] 设φ是集合A到A自身的映射，则称φ是A中的变换。A到A 的满射称为满变换，单射称为单变换，一一映射称为一一变换
或置换。如果一种变换τ，它保持A中任一元素不变， a ，对a 所
a1H:
a1
……
h1
a1h1 …
h2 … hn
a1h2 … a1hn ……
aj-1H: aj-1 aj-1h1 aj-1h2 … aj-1hn
则G中的所有元素都在此阵列中，无一遗漏。若有一元素 b∈G不在该阵列中，则我们可再作陪集bH，若它与上述某 一陪集重合，则b含于该陪集中，否则便得到第j+1个陪集， 而这与仅有j个倍集的假设相矛盾。
第六章 信道编码
它们可以表示成：
11 12 23 3,21 22 33 1,31 32 12 3
或简写成： φ1=(1，2，3)， φ2=(2，3，1)，φ3=(3，1，2)
φ2 φ3=(2，3，1) (3，1，2)=(1，2，3)=φ1
第六章 信道编码
一般而言
φi φj=φj φi
在上述置换运算下，3个置换元素集S={φ1，φ2，φ3}组成了1 个 三阶有限群，像这种由置换元素φi组成的有限群称为置换群。
[定义] 由n个元素组成的有限集合A={1,2,…,n}到自身的所有置 换有n！个，这n！个置换组成的集合Sn={φ1,φ2,…,φn！}，在置 换运算下，是一个n！阶有限群，称它为对称群。
可知对称群一定是置换群，但置换群不一定是对称群，如 3个元素的例中，共有3！=6种置换，其中{φ1,φ2,φ3}组成了一个 置换群，但不是对称群，仅只有S3={φ1,φ2, …,φ6}集合才称为对 称群。
第六章 信道编码
[定义] 设φ是集合A到A自身的映射，则称φ是A中的变换。A到A 的满射称为满变换，单射称为单变换，一一映射称为一一变换
或置换。如果一种变换τ，它保持A中任一元素不变， a ，对a 所
a1H:
a1
……
h1
a1h1 …
h2 … hn
a1h2 … a1hn ……
aj-1H: aj-1 aj-1h1 aj-1h2 … aj-1hn
则G中的所有元素都在此阵列中，无一遗漏。若有一元素 b∈G不在该阵列中，则我们可再作陪集bH，若它与上述某 一陪集重合，则b含于该陪集中，否则便得到第j+1个陪集， 而这与仅有j个倍集的假设相矛盾。
第六章 信道编码
它们可以表示成：
11 12 23 3,21 22 33 1,31 32 12 3
或简写成： φ1=(1，2，3)， φ2=(2，3，1)，φ3=(3，1，2)
φ2 φ3=(2，3，1) (3，1，2)=(1，2，3)=φ1
第六章 信道编码
一般而言
φi φj=φj φi
在上述置换运算下，3个置换元素集S={φ1，φ2，φ3}组成了1 个 三阶有限群，像这种由置换元素φi组成的有限群称为置换群。
[定义] 由n个元素组成的有限集合A={1,2,…,n}到自身的所有置 换有n！个，这n！个置换组成的集合Sn={φ1,φ2,…,φn！}，在置 换运算下，是一个n！阶有限群，称它为对称群。
可知对称群一定是置换群，但置换群不一定是对称群，如 3个元素的例中，共有3！=6种置换，其中{φ1,φ2,φ3}组成了一个 置换群，但不是对称群，仅只有S3={φ1,φ2, …,φ6}集合才称为对 称群。