2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 章末复习提升课 巩固提升训练 Word版含解析
巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修五模块质量检测2及答案解析
北师大版高中数学必修五模块质量检测(二)(江西专用)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180D ．300解析： ∵a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5， ∴由已知得5a 5＝450，∴a 5＝90 ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案： C2．在△ABC 中，若b ＝2asin B ，则角A 为( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60°D ．30°或150° 解析： 根据正弦定理sin B ＝2sin Asin B ， 所以sin A ＝12，所以A ＝30°或150°.答案： D3．a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞－a 3＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 3C ．－a 3＞a 2＞－aD ．a 2＞－a ＞－a 3解析： 由a 2＋a ＜0得－1＜a ＜0， ∴－a ＞a 2＞－a 3. 答案： B4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： a 4＋a 6＝2a 5＝－6∴d ＝a 5－a 15－1＝2∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2·2＝n 2－12n故n ＝6时S n 取最小值． 答案： A5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝( )A.1＋32B ．1＋ 3C.2＋32D ．2＋ 3解析： 2b ＝a ＋c ，S ＝12acsin B ＝32∴ac ＝6又∵b 2＝a 2＋c 2－2accos B ∴b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accos 30° ∴b 2＝4＋23，即b ＝1＋3，故选B. 答案： B6．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( )A ．102B ．101C ．100D ．99解析： 由lg x n ＋1＝1＋lg x n 得x n ＋1x n＝10，∴数列{x n }是公比为10的等比数列，又x 101＝x 1·q 100， x 102＝x 2·q 100，…，x 200＝x 100·q 100， ∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100) ＝10100·100＝10102.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102.7．已知△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，bsin B －csin C ＝0，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析： ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 是直角三角形，A ＝90°.又∵bsin B －csin C ＝0，即bsin B ＝csin C ， ∴sin 2B ＝sin 2C ，又∵A ＝90°，∴B ＝C. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 答案： C8．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤1表示的平面区域面积是( )A ．3B ．6 C.92D ．9解析： 如图所示，不等式组表示的平面区域为△ABC 边界及其内部的部分，由⎩⎨⎧x ＝1x －y ＋4＝0可得A(1,5)，同理可得B(－2，2)，C(1，－1)，故AC ＝6，△ABC 的高h ＝3，所以S △ABC ＝12·AC ·h ＝9.答案： D9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n－2(a 为常数且a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列解析： a n ＝⎩⎨⎧a －2 n ＝1，a n －1(a －1)n ≥2，当a ≠0，n ≥2，a n ＝an －1(a －1)，a ≠1是等比数列，当a ＝1，是等差数列． 答案： D10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)⊗(x ＋a)＜1对任意实数x 均成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： ∵(x －a)⊗(x ＋a)＝(x －a)(1－x －a)， ∴不等式(x －a)⊗(x ＋a)＜1对任意实数x 成立， 即(x －a)(1－x －a)＜1对任意实数x 成立， 即使x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立， 所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0， 解得－12＜a ＜32，故选C.答案： C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析： 因为cos C ＝13，得sin C ＝223.因为S △ABC ＝12absin C ＝12×32×b ×223＝43，所以b ＝2 3. 答案： 2 312．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程3x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 5的值为________． 解析： 由a 3a 7＝3，知a 52＝3，所以a 5＝± 3. 答案： ± 313．设点P(x ，y)在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x＋3y的最小值为________． 解析： ∵y ＝4－2x ， ∴9x＋3y＝9x＋34－2x＝9x＋819x≥281＝18. 答案： 1814．若不等式组⎩⎨⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0x －y ＋m ≤0表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是________．解析： 先画部分可行域⎩⎨⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0，设直线x －y ＋m ＝0与x 轴的交点为(－m,0)，另外A(3,0)，B(0,6)，由图形可知：当m ∈(－∞，－3]∪[0,6)时，可行域为三角形．故实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)． 答案： (－∞，－3]∪[0,6)15．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．解析： ∵三角形为钝角三角形，∴⎩⎨⎧a ＋a ＋1＞a ＋2－12≤a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)＜0，解得32≤a ＜3.答案：32≤a ＜3 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(12分)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．解析： 在△ACD 中，由余弦定理，得 cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝72＋32－522×7×3＝1114.∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11142＝5143. 在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin C ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝7×5143sin 45°＝562.17．(12分)数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t(S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．解析： (1)由S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1得a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ∈N *)；又a 1＝13，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．从而，S n ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．(2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327.从而由S 1，t(S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得： 13＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫49＋1327＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋49t ， 解得t ＝2.18．(12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋(a －1)x －a>0}，B ＝{x|(x ＋a)(x ＋b)>0(a ≠b)}，M ＝{x|x 2－2x －3≤0}．(1)若∁U B ＝M ，求a ，b 的值； (2)若－1<b<a<1，求A ∩B ；(3)若－3<a<－1，且a 2－1∈∁U A ，求实数a 的取值范围．解析： 由题意，得A ＝{x|(x ＋a)(x －1)>0}，∁U B ＝{x|(x ＋a)(x ＋b)≤0}，M ＝{x|(x ＋1)(x －3)≤0}．(1)若∁U B ＝M ，则(x ＋a)(x ＋b)＝(x ＋1)(x －3)， 所以a ＝1，b ＝－3，或a ＝－3，b ＝1. (2)若－1<b<a<1，则－1<－a<－b ＜1，所以A ＝{x|x<－a 或x>1}，B ＝{x|x<－a 或x>－b}． 故A ∩B ＝{x|x ＜－a 或x ＞1}． (3)若－3<a<－1，则1<－a<3，所以A ＝{x|x<1或x>－a}，∁U A ＝{x|1≤x ≤－a}． 又由a 2－1∈∁U A ，得1≤a 2－1≤－a ，即⎩⎨⎧a 2－2≥0a 2＋a －1≤0，解得－1－52≤a ≤－ 2.19．(12分)已知f(x)＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－3,2)时，f(x)>0； x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0. (1)求y ＝f(x)的解析式；(2)c 为何值时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R.解析： (1)由x ∈(－3,2)时，f(x)>0；x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0知：－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －ab a，⇒⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝5.∴f(x)＝－3x 2－3x ＋18.(2)由a<0，知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下．要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0⇔c ≤－2512.∴当c ≤－2512时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R.20.(12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问：(1)乙船每小时航行多少海里？(2)甲、乙两船是否会在某一点相遇，若能，求出甲从A 1处到相遇点共航行了多少海里？ 解析： (1)如图，连接A 1B 2，A 2B 2＝102， A 1A 2＝2060×302＝102，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 12＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200 B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝302海里/小时．(2)若能在C 点相遇，则显然A 1C ＜B 1C.因为甲、乙两船的航速恰好相等，因此不可能相遇．21．(15分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－a n ，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式； (3)设c n ＝n(3－b n )，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜8.解析： (1)∵n ＝1时，a 1＋S 1＝a 1＋a 1＝2， ∴a 1＝1.∵S n ＝2－a n ，即a n ＋S n ＝2， ∴a n ＋1＋S n ＋1＝2.两式相减：a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0. 即a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝0 故有2a n ＋1＝a n ，∵a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12(n ∈N ＋)，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵b n ＋1＝b n ＋a n (n ＝1,2,3，…)，∴b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.得b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝12，b 4－b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，…b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ＝2,3，…)．将这n －1个等式相加，得b n －b 1＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2. 又∵b 1＝1，∴b n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ＝1,2,3…)．(3)证明：∵c n ＝n(3－b n )＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.① 而12T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .② ①－②得12T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－2×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . T n ＝4×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－4×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝8－82n －4×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝8－8＋4n2n (n ＝1,2,3，…)．∴T n ＜8.。
2018秋新版高中数学北师大版必修5：第一章数列 1复习课1
∴S9=9(������12+������9) = 9×22������5=9a5=34π.
∴cos S9=cos34π=- 22.
答案:D
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
2.等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和. (1)若m,n,p,q,k是正整数,且m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak. (2)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为kd . (3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (4)若数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-
由①式得 1
������������
−
���������1���-1=2(n≥2).
∴
1 ������������
是等差数列,其中首项为���1���1
= ���1���1=2,公差为 2.
(2)
解∵ 1
������������
=
���1���1+2(n-1)=���1���1+2(n-1),∴Sn=21������.
答案:B
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【做一做 1-2】 已知数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若
a4+a5+a6=π4,则 cos S9 的值为(
)
A.12
B.
2018年高中数学北师大版必修五达标练习第1章 章末综合检测(一) Word版含解析
章末综合检测(一)(时间：分钟，满分：分)一、选择题：本题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．已知实数－，，，，－成等比数列，则等于( )．－．±．－．±解析：选.因为＝(－)×(－)＝，＝，所以＝－(＝不合题意，舍去)，所以＝－.．有穷数列，，，，…，＋的项数是( )．＋．＋．＋．＋解析：选.此数列的次数依次为，，，，…，＋，为等差数列，且首项＝，公差＝，设＋是第项，＋＝＋(－)×，所以＝＋.故选.．某种细胞开始有个，小时后分裂成个并死去个，小时后分裂成个并死去个，小时后分裂成个并死去个，…，按此规律进行下去，小时后细胞存活的个数是( ) ．个．个．个．个解析：选.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{}．则即＝.所以－＝·－，＝－＋，＝.．等差数列{}的公差不为零，首项＝，是和的等比中项，则数列的前项之和是( )．．．．解析：选.设公差为，所以(＋)＝×(＋)，因为≠，所以＝，从而＝.．已知是等差数列{}的前项和，下列选项中不可能是{}的图像的是( )解析：选.因为是等差数列{}的前项和，所以设＝＋(，为常数，∈＋)，则其对应函数＝＋的图象是过原点的一条曲线．当＝时，该曲线是过原点的直线，如选项；当≠时，该曲线是过原点的抛物线，如选项，；选项中的曲线不过原点，不符合题意．选.．设＝()是一次函数，若()＝，且()，()，()成等比数列，则()＋()＋…＋()等于( ) ．(＋) ．(＋)．(＋) ．(＋)解析：选.设＝＋(≠)，因为()＝，所以＝.又因为()，()，()成等比数列，所以(＋)＝(＋)·(＋)，所以＝，所以＝＋.所以()＋()＋…＋()＝(×＋)＋(×＋)＋…＋(×＋)＝(＋＋…＋)＋＝＋＋＝(＋)．故选.．已知是数列{}的前项和，＝(＝，，，…)，则数列{}( )．是公比为的等比数列．是公差为的等差数列．是公比为的等比数列．既非等差数列，也非等比数列解析：选.因为＝，所以＝，则＝.当≥时，＝－－＝－－＝－.因为＝不适合上式，所以{}既非等差数列，也非等比数列．．数列{}满足递推公式＝－＋－(≥)，又＝，则使得为等差数列的实数λ等于( )．．．－．解析：选＝，＝，＝，令＝，则＝，＝，＝，因为＋＝，所以λ＝－.．已知等差数列{}的前项和为，若＋＝，则())＝( )．．．－．－解析：选.在等差数列{}中，＝＝(＋)＝(＋)＝，所以())＝－)＝－)＝－＝－.故选.．设数列{}是以为首项，为公差的等差数列，{}是以为首项，为公比的等比数列，则＋＋…＋等于( )．．．．解析：选.由已知可得＝＋，＝－，于是＝＋，因此＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋＝＋＝.．设是数列{}的前项和，且＝－，＋＝＋，则＝( )。
2018秋新版高中数学北师大版必修5习题：第一章数列 1.2.2.2
{ } ������
2
25
(2)设 cn=log2������������,数列 ������������������������ + 2 的前 n 项和为 Tn,求满足 Tn<21(n∈N+)的 n 的最大值.
( )1 ������ - 1
(1)证明:在 Sn=-an- 2 +2 中,
1
令 n=1,可得 S1=-a1-1+2=a1,解得 a1=2.
答案:B
7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=-6,S18-S15=18,则 S18= . 解析:∵S3=a1+a2+a3=-6,S18-S15=a18+a17+a16=18,
∴(a1+a18)+(a2+a17)+(a3+a16)=12,即 a1+a18=4.
18(������1 + ������18)
A.30
B.45
C.90
D.186
答案:C
5.在等差数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和.若 S16>0,且 S17<0,则当 Sn 最大时,n 的值为( )
A.8
B.9
C.10
D.16
16(������1 + ������16)
17(������1 + ������17)
解析:由 S16>0,且 S17<0,知 2 >0,且 2 <0,得 a1+a16>0,且 a1+a17<0,所以 a8+a9>0,2a9<0, 所以 a8>0,a9<0,故当 Sn 最大时,n=8. 答案:A
2018-2019版数学学导练必修五北师大版试题：第一章 数列1.3.1.2 Word版含答案
第2课时 等比数列的性质及应用课后篇巩固探究A 组1.在等比数列{a n }中,a 5=3,则a 2·a 8=( )A.3B.6C.8D.9解析:a 2·a 8=a 52=32=9.答案:D2.若1,a 1,a 2,4成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则a 1-a2b 2的值等于( ) A.-12B.12C.±12D.14解析:∵b 22=1×4=4,∴b 2=2或b 2=-2(舍去).又a 2-a 1=4-14-1=1,∴a 1-a2b 2=-12=-12.答案:A3.若互不相等的实数a ,b ,c 成等差数列,c ,a ,b 成等比数列,且a+3b+c=10,则a 等于( ) A.4B.2C.-2D.-4解析:由{2b =a +c ,a 2=bc ,a +3b +c =10,解得a=-4或a=2.又当a=2时,b=2,c=2,与题意不符,故a=-4. 答案:D4.在等比数列{a n }中,a 1=1,公比|q|≠1.若a m =a 1a 2a 3a 4a 5,则m=( ) A.9B.10C.11D.12解析:因为{a n }是等比数列,所以a 1a 5=a 2a 4=a 32,于是a 1a 2a 3a 4a 5=a 35.从而a m =a 35=(q 2)5=q 10=1×q 11-1,故m=11.答案:C5.在正项等比数列{a n }中,1a 2a 4+2a 42+1a 4a 6=81,则1a 3+1a 5等于( )A.19B.3C.6D.9解析:∵1a2a4+2a42+1a4a6=81,∴1a32+2a3a5+1a52=81,∴(1a3+1a5)2=81.∵数列各项都是正数,∴13+15=9.答案:D6.在等差数列{a n}中,公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则a1+a3+a9a2+a4+a10=. 解析:由题意知a3是a1和a9的等比中项,∴a32=a1a9,∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),得a1=d,∴a1+a3+a9 a2+a4+a10=13d16d=1316.答案:13167.在1和100之间插入n个正数,使这(n+2)个数成等比数列,则插入的这n个正数的积为. 解析:设插入的n个正数为a1,a2,…,a n.设M=1·a1·a2·…·a n·100,则M=100·a n·a n-1·…·a1·1,∴M2=(1×100)n+2=100n+2,∴M=100n+22=10n+2,∴a1·a2·…·a n=10n.答案:10n8.导学号33194020在表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵行成等比数列,所有公比相等,则a+b+c的值为.解析:设公比为q,由题意知q=2,q2=c.第四行最后一个数为cq =c2b=bc2.因为每一行成等差数列,所以2×2=1+bc2,即bc=6.。
【高二数学试题精选】2018北师大版高中数学必修五第1章 2
所以当n＝20时，Sn取最大值．
答案20
9．在等差数列{an}中，a3＝2，3a2＋2a7＝0，其前n项和为Sn求
(1)等差数列{an}的通项式；
(2)Sn，n为何值时，Sn最大．
解(1)设等差数列{an}的差为d，
根据题意，得a1＋2d＝2，5a1＋15d＝0，
解得a1＝6，d＝－2
所以数列{an}的通项式为an＝－2n＋8
(2)由第一问可知Sn＝6n＋n（n－1）2·(－2)＝－n2＋7n＝－n－722＋494
因为S3＝－9＋21＝12，S4＝－16＋28＝12，
所以当n＝3或n＝4时，Sn最大．
10．已知数列{an}的通项式an＝31－3n，求数列{|an|}的前n项和Hn
解设{an}的前n项和为Sn
由an＝31－3n可得Sn＝－32n2＋592n
由an≥0，解出n≤313≈103
当n≤10时，Hn＝Sn＝－32n2＋592n；
当n≥11时，Hn＝2S10－Sn＝32n2－592n＋290
所以Hn＝－32n2＋592n，n≤10，32n2－592n＋290，n≥11
[B能力提升]
3．已知数列{an}的通项式an＝26－2n，则使其前n项和Sn最大的n的值为( )
A．11或12 B．12
c．13 D．12或13
解析选D因为an＝26－2n，所以an－an－1＝－2，所以数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，所以Sn＝24n＋n（n－1）2×(－2)＝－n2＋25n＝－n－2522＋6254又n∈N＋，所以当n＝12或13时，Sn最大．
6．已知数列{an}满足an＋1＝an－57，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为________．
2017-2018学年高中数学北师大版必修5课时作业：第1章 数列 章末检测 Word版含答案
第一章章末检测班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10题，每题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1，(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．22．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 2＋a 6＝( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．283．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝( )A ．16B ．24C ．36D ．484．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 165．设数列{a n }是等差数列且a 4＝－4，a 9＝4，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 5＝S 6 B ．S 5＝S 8 C ．S 7＝S 5 D ．S 7＝S 66．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝( ) A. －16 B. 16 C. 31 D. 327．在等比数列{a n }中，若a 4a 7＋a 5a 6＝20，则此数列的前10项之积等于( ) A ．50 B ．2010C ．105D ．10108．数列12，24，38，…，n2n ，…的前n 项和为( )A ．2－n ＋22nB ．1－12nC ．n (1－12n )D ．2－12n －1＋n 2n 9．在△ABC 中，a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，则( )A ．a ，b ，c 依次成等差数列B ．b ，a ，c 依次成等差数列C ．a ，c ，b 依次成等差数列D ．a ，b ，c 既成等差数列，也成等比数列10．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上． 11．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 12．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 3＋a 7＝3，a 2·a 8＝2，则a 11a 7＝________. 13．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________；a 2 014＝________.三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ＝1,2,3…)． 求证：数列{S n n}是等比数列．15．等差数列{a n }中a 7＝4，a 19＝2a 9， (1)求{a n }的通项公式． (2)设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n .16．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－3n ，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.17．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．18．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n(n ≥2且n ∈N ＋)． (1)求证：数列{a n2n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n2n >2n －3.一、选择题1．A 由递推关系得：a 1＝1，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1.2．A3．D 设公差为d ，由 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12S 4＝20⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝124a 1＋6d ＝20⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12d ＝3⇒S 6＝6a 1＋6×52×3＝48.4．B 由a n a n －1＝16n，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得q 2＝16，∴q ＝±4.∵a 1a 2＝a 21q ＝16>0，∴q >0.∴q ＝4.5．C 由题意知a 1＋3d ＝－4，a 1＋8d ＝4， ∴5d ＝8，d ＝85，a 1＝－445.∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝85n －525，S 5＝5 a 1＋a 5 2＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤－445＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1252＝－28，S 7＝7 a 1＋a 7 2＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫－445＋452＝－28.6．B 因为S 4＝2a n －1(n ∈N *)，则a n ＝2a n －1，且a 1＝1，故a 5＝24＝16. 7．C8．A S n ＝12＋24＋38＋…＋n2n ，①12S n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② 由①－②，得12S n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12 1－12n1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴S n ＝2－n ＋22n.9．A ∵a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，∴a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，∴12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A )＝32b ， ∵a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴12(a ＋c )＋12b ＝32b . ∴a ＋c ＝2b ，∴a ，b ，c 依次成等差数列．10．B 由a 1＋a 3＋a 5＝105得3a 3＝105，即a 3＝35，由a 2＋a 4＋a 6＝99得3a 4＝99，即a 4＝33，∴d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1<0得n ＝20，故选B.二、填空题 11．2解析：由题意得2q 2－2q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }单调递增，得q ＞1，∴q ＝2. 12．2解析：由等比数列的性质有a 2·a 8＝a 3a 7＝2，∵a 3＋a 7＝3，∴a 3，a 7是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a 7＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 7＝1，(舍)，∴a 11a 7＝a 7a 3＝2. 13．1 0解析：依题意，得a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.∴应填1,0. 三、解答题14．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＝2(n ＋1)S n ， 所以S n ＋1n ＋1＝2S n n .故{S nn}是以2为公比的等比数列． 15．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d∵a 7＝4，a 19＝2a 9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4a 1＋18d ＝2 a 1＋8d解得：a 1＝1，d ＝12，∴a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋12.(2)∵b n ＝1na n＝2n n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 16．解：当a n ＝10－3n ≥0时，n ≤3， 所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋…＋a n n ≤3a 1＋a 2＋a 3－a 4－…－a n n ≥4＝⎩⎪⎨⎪⎧n a 1＋a n 2 n ≤32 a 1＋a 2＋a3 － a 1＋a 2＋…＋a n n ≥4＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n 2＋17n2n ≤3 ，3n 2－17n ＋482n ≥4 .17．解：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1.所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．18．解：(1)∵a n ＝2a n －1＋2n(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴a n 2＝a n －12＋1，即a n 2－a n －12＝1(n ≥2且n ∈N ＋)， ∴数列{a n 2n }是等差数列，且公差d ＝1，首项a 121＝12.(2)由(1)得a n 2n ＝12＋(n －1)·1＝n －12，∴a n ＝(n －12)·2n.(3)∵S n ＝12×21＋32×22＋52×23＋…＋(n －12)·2n，∴2S n ＝12×22＋32×23＋52×24＋…＋(n －12)·2n ＋1，两式相减得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(n －12)·2n ＋1＝2＋22＋23＋…＋2n －(n －12)·2n ＋1－1＝2 1－2n1－2－(n －12)·2n ＋1－1＝(3－2n )·2n －3，得S n ＝(2n －3)·2n＋3>(2n －3)·2n，∴S n2n >2n －3.。
2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 章末综合检测一 含解析 精品
章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz 等于( )A ．－4B ．±4C ．－22D ．±2 2解析：选C.因为xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2，所以y ＝－2(y ＝2不合题意，舍去)，所以xyz ＝－2 2.2．有穷数列1，23，26，29， (23)＋6的项数是( ) A ．3n ＋7B ．3n ＋6C ．n ＋3D ．n ＋2解析：选C.此数列的次数依次为0，3，6，9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0，公差d ＝3，设3n ＋6是第x 项，3n ＋6＝0＋(x －1)×3，所以x ＝n ＋3.故选C.3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…， 按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个解析：选B.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }．则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n－1，即a n ＋1－1a n －1＝2. 所以a n －1＝1·2n －1，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65. 4．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．190解析：选B.设公差为d ，所以(1＋d )2＝1×(1＋4d )，因为d ≠0，所以d ＝2，从而S 10＝100.5．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，下列选项中不可能是{S n }的图像的是( )解析：选D.因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N ＋)，则其对应函数y ＝ax 2＋bx 的图象是过原点的一条曲线．当a ＝0时，该曲线是过原点的直线，如选项C ；当a ≠0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A ，B ；选项D 中的曲线不过原点，不符合题意．选D.6．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析：选A.设y ＝kx ＋b (k ≠0)，因为f (0)＝1，所以b ＝1.又因为f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，所以(4k ＋1)2＝(k ＋1)·(13k ＋1)，所以k ＝2，所以y ＝2x ＋1.所以f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2(2＋4＋…＋2n )＋n ＝2n 2＋2n ＋n ＝n (2n ＋3)．故选A.7．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1，2，3，…)，则数列{a n }( )A ．是公比为2的等比数列B ．是公差为2的等差数列C ．是公比为12的等比数列 D ．既非等差数列，也非等比数列解析：选D.因为log 2S n ＝n ，所以S n ＝2n ，则a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1. 因为a 1＝2不适合上式，所以{a n }既非等差数列，也非等比数列．8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n －1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ3n 为等差数列的实数λ等于( )A ．2B ．5C ．－12D ．12解析：选C.a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ， 则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，因为b 1＋b 3＝2b 2，所以λ＝－12. 9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 10＋a 11＝10，则ln S 20ln 110＝( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选D.在等差数列{a n }中，S 20＝（a 1＋a 20）×202＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)＝100，所以ln S 20ln 110＝ln 100ln 10－1＝－ln 100ln 10＝－lg 100＝－2.故选D. 10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10等于( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058解析：选A.由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1，因此ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝1－2101－2＋10＝1 033. 11．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝( )A ．nB ．－nC ．－1nD ．1n解析：选C.因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，所以S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.因为 S n ≠0，所以1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1. 又1S 1＝－1，所以{1S n}是首项为－1，公差为－1的等差数列． 所以1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n. 12．对于正项数列{a n }，定义G n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n n为数列{a n }的“匀称”值．已知数列{a n }的“匀称”值为G n ＝n ＋2，则该数列中的a 10等于( )A ．2 3B ．45C ．1D ．2110解析：选D.因为G n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n n， 数列{a n }的“匀称”值为G n ＝n ＋2，所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋2)，①所以n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)，②①－②得na n ＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1n，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝G 1＝3满足上式． 所以a n ＝2n ＋1n ，a 10＝2110. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则a 5＝________；前8项的和S 8＝________(用数字作答)．解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知a 5＝a 1q 4＝16，S 8＝a 1（1－q 8）1－q ＝1·（1－28）1－2＝255. 答案：16 25514．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝________．解析：由a n ＋1＝3S n ，得S n ＋1－S n ＝3S n ，即S n ＋1＝4S n ，所以数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，所以S n ＝4n －1， 所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44＝768.答案：76815．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________． 解析：因为a n ＋1＝11－a n， 所以a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， 所以周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3.所以a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2.而a 2＝11－a 1，所以a 1＝12. 答案：1216．已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，则通项为a n ＝82an 2＋bn的数列{a n }的前n 项和为________．解析：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋a ＋b ，故b ＝2a .因为a ，b ，ab 成等比数列，所以b 2＝a 2b ，又b ≠0，故b ＝a 2，所以a 2＝2a ，又a ≠0，所以a ＝2，b ＝4，所以a n ＝82an 2＋bn ＝84n 2＋4n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以{a n }的前n 项和S n ＝2(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.答案：2n n ＋1三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }(n ∈N ＋)满足a 1＝2，a 3＝6.(1)求该数列的公差d 和通项公式a n ；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ≥2n ＋12，求正整数n 的取值范围．解：(1)由题意得d ＝a 3－a 12＝2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ，n ∈N ＋.(2)S n ＝a 1＋a n 2×n ＝n 2＋n ，由S n ≥2n ＋12， 解得n ≥4或n ≤－3.所以n ≥4且n ∈N ＋.18．(本小题满分12分)已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2. 所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12.(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即q ＝3.所以数列{b n }的前n 项和为b 1（1－q n ）1－q＝4(1－3n )． 19．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .设c n ＝a n －1，(1)求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＋S n ＝n ，①所以a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，所以2a n ＋1＝a n ＋1，所以2(a n ＋1－1)＝a n －1，所以a n ＋1－1a n －1＝12，所以{a n －1}是等比数列． 又a 1＋a 1＝1，所以a 1＝12， 因为c 1＝a 1－1，所以c 1＝－12. 又c n ＝a n －1，所以{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列． (2)由第一问可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， 所以a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n .所以当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n. 又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，所以b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . 20．(本小题满分12分)某地现有居民住房的面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x 是多少(可取1.110≈2.6)?(2)在(1)的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少(保留到小数点后第1位)?解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为1.1a －x ；2年后住房总面积为1.1(1.1a －x )－x ＝1.12a －1.1x －x ；3年后住房总面积为1.1(1.12a －1.1x －x )－x ＝1.13a －1.12x －1.1x －x ；…10年后住房总面积为1．110a －1.19x －1.18x －…－1.1x －x＝1.110a －1.110－11.1－1x ≈2.6a －16x . 由题意，得2.6a －16x ＝2a .解得x ＝380a (m 2)． (2)所求百分比为a 2－380a ×102a ＝116≈6.3%. 即过10年未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%.21．(本小题满分12分)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 2a 3a 4＝64. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当数列{S n ＋λ}也是等比数列时，求实数λ的值．解：(1)因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列， 所以数列{a n }也是等比数列．设等比数列{a n }的公比为q ，则a 33＝a 2a 3a 4＝64，解得a 3＝4.所以q 2＝a 3a 1＝4，解得q ＝2或q ＝－2. 当q ＝2时，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1； 当q ＝－2时，数列{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n －1. (2)当q ＝2时，S n ＋λ＝1－2n1－2＋λ＝2·2n －1＋λ－1， 当且仅当λ－1＝0，即λ＝1时，数列{S n ＋λ}是首项为2，公比为2的等比数列．同理当q ＝－2时，S n ＋λ＝1－（－2）n 1－（－2）＋λ＝23·(－2)n －1＋λ＋13，当且仅当λ＋13＝0，即λ＝－13时，数列{S n ＋λ}是首项为23，公比为－2的等比数列． 所以λ的值为1或－13. 22．(本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N ＋)，a 2＝6.(1)求c 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n －22n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若2T n ＞m －2对任意n ∈N ＋恒成立，求正整数m 的最大值．解：(1)因为S n ＝12na n ＋a n －c ， 所以当n ＝1时，S 1＝12a 1＋a 1－c ，解得a 1＝2c . 当n ＝2时，S 2＝a 2＋a 2－c ，即a 1＋a 2＝a 2＋a 2－c . 解得a 2＝3c ，所以3c ＝6，解得c ＝2.则a 1＝4， 数列{a n }的公差d ＝a 2－a 1＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2.(2)因为b n ＝a n －22n ＋1＝2n ＋2－22n ＋1＝n 2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，① 12T n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1，② 由①－②可得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝1－12n －n 2n 1，所以T n ＝2－2＋n 2n . 因为T n ＋1－T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2＋n ＋12n ＋1－⎝⎛⎭⎫2－2＋n 2n ＝n ＋12n ＋1＞0， 所以数列{T n }单调递增，T 1最小，最小值为12. 所以2×12＞m －2.所以m ＜3， 故正整数m 的最大值为2.。
2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §3-3.2 第2课时 数列求和习题课 Word版含解析
[A 基础达标]1．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( )A.14B ．512 C.34 D ．712解析：选B.依题意b n ＝1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以{b n }的前10项和为S 10＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎫111－112＝12－112＝512，故选B. 2．若数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n 2－2解析：选 C.S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝2（1－2n ）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2. 3．数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9解析：选B.数列{a n }的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，所以n ＝9，于是直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0即为10x ＋y ＋9＝0.所以其在y 轴上的截距为－9.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n 等于( )A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18 C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3 D ．⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ，n >3 解析：选C.因为由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.所以a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7，n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3. 5．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝( ) A ．2n B ．2n －nC ．2n ＋1－nD ．2n ＋1－n －2 解析：选D.因为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于________． 解析：a n ＝2n －12n ＝1－12n ， 所以S n ＝n －12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n －1＋12n ＝32164＝5＋164， 所以n ＝6.答案：67．已知ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110，则ln x ＋ln 2 x ＋ln 3 x ＋…＋ln 10 x ＝________． 解析：由ln x ＋ln x 2＋…＋ln x 10＝110.得(1＋2＋3＋…＋10)ln x ＝110，所以ln x ＝2.从而ln x ＋ln 2 x ＋…＋ln 10 x ＝2＋22＋23＋…＋210＝2（1－210）1－2＝211－2＝2 046. 答案：2 0468．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于________．解析：由题意，a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.答案：1009．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N ＋. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）2，n ∈N ＋； (1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)证明：因为S n ＝a n （a n ＋1）2，n ∈N ＋， 所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1（a 1＋1）2， 所以a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1， 得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，因为a n ＋a n －1＞0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列．(2)由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2， b n ＝12S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.[B 能力提升]。
2018年高中数学北师大版必修五：第1章 章末复习提升课 巩固提升训练含解析
1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n ＋1解析：选B.由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1. 2．若在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －1(n ∈N ＋)，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0D ．2解析：选A.由递推关系式得a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝－1， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1.3．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10等于( ) A.172 B ．192C ．10D ．12解析：选B.因为公差为1，所以S 8＝8a 1＋8×（8－1）2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.因为 S 8＝4S 4，所以8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27. 答案：275．等比数列{a n }中，a 2＋a 4＋…＋a 20＝6，公比q ＝3，则前20项和S 20＝________． 解析：S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 20， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 19，则S 偶S 奇＝q ，所以S 奇＝S 偶q ＝63＝2.所以S 20＝S 偶＋S 奇＝6＋2＝8.答案：8赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。
2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §1-1.1 数列的概念 Word版含解析 (31)
模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n 可能是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n －1解析：选C.取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 2．若a ＜1，b ＞1，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a ＞1b B ．b a ＞1C ．a 2＜b 2D ．ab ＜a ＋b解析：选D.利用特值法，令a ＝－2，b ＝2，则1a ＜1b ，A 错；ba ＜0，B 错；a 2＝b 2，C 错．3．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <3解析：选A.因为f (x )＝－x 2＋mx －1有正值， 所以Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )A ．－9B ．－15C ．15D ．±15解析：选D.因为a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，所以a 1＋a 10＝±3， 所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝±15.5．若log a 5<log a 2，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <a C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1a 或x <a D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x >a 解析：选A.由log a 5<log a 2知0<a <1，所以a <1a；不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0⇔(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0， 解得a <x <1a.6．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5D ．3 5解析：选A.依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理b sin B ＝asin A ，得b＝a sin B sin A ＝5sin 135°sin 30°＝5 2. 7．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2 B ．32C.322D ．2解析：选B.由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B 、C 两点横坐标分别为－1、12，A 、D两点纵坐标分别为1，－1.所以S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪12－（－1）＝32.8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( ) A ．小于10 g B ．大于10 g C ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：选B.设左、右臂长分别为t 1，t 2(t 1≠t 2)，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝ 5⎝⎛⎭⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10，即大于10 g.9．已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1解析：选B.因为S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，所以sin B ＝22，所以B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.10．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( ) A.a （1＋γ）（1＋γ）5－1万元 B ．aγ（1＋γ）5（1＋γ）5－1万元C.aγ（1＋γ）5（1＋γ）4－1万元 D ．aγ（1＋γ）5万元解析：选B.设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，所以x ＝aγ（1＋γ）5（1＋γ）5－1.11．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－23，35 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－35，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞ 解析：选C.直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－23，且两直线的交点坐标为(3，3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 经过点(3，3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <23，故选C.12．在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0，1)．若a 3＋a 5＝5，a 2·a 6＝4，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn 取最大值时，n 的值为( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17解析：选C.因为a 2·a 6＝a 3·a 5＝4，且a 3＋a 5＝5， 所以a 3，a 5是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根． 又因为等比数列{a n }各项均为正数且q ∈(0，1)， 所以a 3＝4，a 5＝1. 所以q 2＝a 5a 3＝14，所以q ＝12.所以a n ＝4·⎝⎛⎭⎫12n －3，所以b n ＝log 2a n ＝5－n .所以S n ＝（9－n ）·n 2，所以S n n ＝9－n2.T n ＝S 11＋S 22＋…＋S n n ＝14(－n 2＋17n )＝14⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫n －1722＋2894. 所以当n ＝8或9时，T n 取得最大值． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________． 解析：因为{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，解得q ＝1，a n ＝2， 所以S n ＝2n . 答案：2n14.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为________海里． 解析：如图，连接AC ，由题意知，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC为等边三角形，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13. 答案：1315．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确不等式的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤（a ＋b ）24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥（a ＋b ）24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b a ＋b2＝1＋a 2b ＋b2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确． 答案：①③④16．在△ABC 中，AC →·AB →＝|BC →|＝2，则△ABC 面积的最大值为________． 解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ， 由题意得bc cos A ＝a ＝2，即cos A ＝2bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －42bc ，即cos A ≥1－2bc ＝1－cos A ，所以cos A ≥12，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π3.S ＝12bc sin A ＝1cos A sin A ＝tan A ≤ 3. 答案： 3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a ，b 的值； (2)解不等式ax 2＋bx －1>0.解：(1)因为方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－12＋2＝－ba ，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3.(2)易知ax 2＋bx －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.所以不等式ax 2＋bx －1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <1. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，sin B＝3sin C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＝3sin C ，所以32cos C ＋12sin C ＝3sin C ，即3 2cos C ＝52sin C ，得tan C ＝35. (2)由b sin B ＝csin C，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c . 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×12＝7c 2，又因为a ＝7，所以c ＝1，b ＝3，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝334.19．(本小题满分12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？解：设种植甲种蔬菜x 吨，乙种蔬菜y 吨，利润为z 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝700x ＋1 200y ，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y ＝0，即7x ＋12y ＝0，平移直线，当直线过A 点时目标函数取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得x ＝20，y ＝24. 所以点A 的坐标为(20，24)．所以z max ＝700×20＋1 200×24＝42 800.即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图像过点(0，1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1，所以m ＝3. (2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)． 由x 2－4x ＋3＞0，得x ＜1或x ＞3， 所以函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 因为log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数， 所以0＜x 2－4x ＋3≤3， 所以0≤x ＜1或3＜x ≤4，所以不等式的解集为{x |0≤x ＜1或3＜x ≤4}．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N ＋)． (1)求a n 与b n 的表达式；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式． 解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N ＋)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，所以b n ＝n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1. 故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N ＋)．22．(本小题满分12分)为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．解：(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N ＋)，所以y ＝25n －n [6＋（2n ＋4）]2－36＝－n 2＋20n －36＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元．(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n＋20＝－⎝⎛⎭⎫n ＋36n ＋20≤－2× n ×36n＋20＝8(当且仅当n ＝36n ，即n ＝6时取“＝”号)．故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．。
北师大版高中数学必修五本章练测：第一章数列(含答案解析).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第一章 数 列（北京师大版必修5）建议用时 实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.等差数列{ }的前n 项和为 ， ＝－18， ＝－52，等比数列{ }中， = ， = ，则 的值为A.64B.－64C.128D.－1282.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( ) A.(－72,+∞) B.(0,+∞)C.(－2,+∞)D.(－3,+∞) 3.设数列{ }是以2为首项，1为公差的等差数列，数列{ }是以1为首项，2为公比的等比数列，则 = A.1033B.1034C.2057D.20584.等比数列{ }的前n 项和为 ， =1，若4 ，2 ， 成等差数列，则 ＝A.7B.8C.16D.155.已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（）项.A ．2B ．4C ．6D ．8 6.在ABC ∆中,tan A 是以－4为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对 7.等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=，则31lo gl oa a +++3l o g a =（ ） A.12 B.10C.31log 5+D.32log 5+ 8.在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ） A.513B.512 C.510D.82259.已知数列｛ ｝的通项公式为 =1(1)n -- •(4n －3),则它的前100项之和为( ) A.200 B.－200 C.400 D.－40010.若数列{ }的前n 项和S n =n 2－2n +3，则此数列的前3项依次为 ( ) A.－1,1,3 B.2,1,3 C.6,1,3 D.2,3,611.等差数列｛ ｝中，a 1＞0，S 5＝S 11，则第一个使a n ＜0的项是（ ）A.a 7B.a 8C.a 9D.a 10 12.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ） A.)41(16n -- B.)21(16n -- C.)41(332n -- D.)21(332n --二、填空题（每小题4分，共16分）13.三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c =_________.14.在数列{ }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ，点（n a ，1-n a ）在直线x －y －3=0上，则 =_________.15.等比数列{}n a 的前n 项和为21n-，则数列{}2na 的前n 项和为______________.16.等差数列{ }的前n 项和为 ，且 - =8，+ =26.记 =，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ， ≤M 都成立，则M 的最小值是.三、解答题（本大题共6题，共74分）17.有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数.18.在数列{ }中， =，并且对任意n ∈ ，n≥2都有 = - 成立，令 =（n ∈ ）.（1）求数列{ }的通项公式；（2）求数列{}的前n 项和 .19.已知{}为各项都为正数的等比数列，=1，=256，为等差数列{}的前n项和，=2，5=2.（1）求{}和{}的通项公式；（2）设=++…+，求.20. 互不相等的三个数之积为-8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列.21.已知数列{a n }满足a 1=1,1n a +=2a n +1(n ∈N *).（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足114b -•214b -•…•14n b -=(1)n b n a + (n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列.22.已知函数f （x ）=-2x 2+22x ，数列{ }的前n 项和为 ，点 （n ， ）（n ∈ ）均在函数y =f （x ）的图象上.（1）求数列{ }的通项公式 及前n 项和 ；（2）存在k ∈ ，使得++…+<k 对任意n∈ 恒成立，求出k 的最小值.第一章数列（北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13. ； 14. ；15.；16..三、解答题17.18.19.20.21.22.第一章数列（北京师大版必修5）参考答案1.B解析：因为＝（+）=9=-18，=（+）=13=-52，所以=-2，=-4.又=，=，所以=2，=·=-4×16=-64.2.D 解析：由｛a n ｝为递增数列得1n a +－a n =2n +1+λ＞0恒成立,即λ＞－2n －1在n ≥1时恒成立，只需λ＞(－2n －1)max =－3,故选D.3.A 解析：由题意知 =n +1， = ，则 = +1，所以 + +…+ =10+=1033.4.D 解析：设公比为q ，则4 ，2 q ， 成等差数列，∴4q =4+ ，∴q =2， ∴ =（ ）=16-1=15.5.B 解析：由题意得 ,得x =-1或x =-4, 当x =-1时，2x +2=0，故舍去，所以,所以-13，所以n =4.6.B 解析：设等差数列为｛a n ｝，公差为d ,则 =-4, =4,所以d =2，所以设等比数列为｛b n ｝，公比为q ，则, =9,所以q =3，所以 所以tan tan()1C A B =-+=，所以,,A B C 都是锐角，即此三角形为锐角三角形.7.B 解析：313231031210log log log log ()a a a a a a +++=5103563log ()log (3)10a a ===.8.C 解析：332112131(1)18,()12,,2,22q a q a q q q q q q ++=+====+得或 而q ∈Z ,∴q =2,-2=510.9.B 解析：S 100=a 1+a 2+…+a 100=1－5+9－13+17－…+(4×99－3)－(4×100－3)=(1－5)+(9－13)+…+［(4×99－3)－(4×100－3)］=－4×50=－200.10.B 解析：当n =1时，a 1=S 1=12－2×1+3=2;当n =2时，由S 2=a 1+a 2=22－2×2+3=3,得a 2=1;当n =3时，由S 3=a 1+a 2+a 3=32－2×3+3=6,得a 3=3.11.C 解析：由S 5＝S 11 得2a 1＋15d ＝0.又a 1＞0，所以d ＜0．而2 ＝2a 1＋2（n －1）d ＝（2n －17）d ＜0，所以2n －17＞0，即n ＞8.5．12.C 解析： 41252==a a ，，∴.21,41==q a ∴=++++13221n n a a a a a a )41(332n --.13.)2(:1:4- 解析：22222,2,(2),540a cbc b a a b c b a a a b b +==-==--+=，又,4,2a b a b c b≠∴==-. 14.3n 2解析：将点代入直线方程得n a －1-n a =3，由定义知{n a }是以3为首项，以3为公差的等差数列，故n a =3n ，即a n =3n 2.15.413n -解析：1121121,21,2,4,n n n n n n n n S S a a ----=-=-==21144-11,4,=143n n n a q S -==∴=-. 16.2 解析：∵{ }为等差数列，由 - =8， + =26，得a 1=1，d =4，可解得 =2 -n ，∴ =2-.若 ≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需 的最大值≤M 即可. 又 =2-<2，∴只需2≤M ，故M 的最小值是2.17.解：设这四个数为，a ，aq ，2aq －a ,则216,(2)36,a a aq qa aq aq a ⎧=⎪⎨⎪++-=⎩①② 由①，得a 3=216,a =6, ③将③代入②，得q =2 , ∴ 这四个数为3，6，12，18.18.解：（1）当n =1时， ==3.当n ≥2时，由 = － ，得－=1，所以 － =1.所以数列{ }是首项为3，公差为1的等差数列， 所以数列{ }的通项公式为 =n +2. （2）因为== (－)，=(1－ +－ +－+…+－ + － )= [ －( +)]=. 19.解：（1）设{ }的公比为q ，由 = ，得q =4，所以 = .设{ }的公差为d ，由5 =2 及 =2得d =3， 所以 = +（n -1）d =3n -1.（2）因为 =1×2+4×5+ ×8+…+ （3n -1），① 4 =4×2+ ×5+…+ （3n -1），②由②-①，得3 =-2-3（4+ +…+ ）+ （3n -1）=2+（3n -2）· . 所以 =(n -)· +.20.解：设这三个数为 ，a ，aq ，∴ =－8，即a =-2，∴这三个数为－，－2，－2q .（1）若－2为－和－2q 的等差中项，则+2q =4，∴ －2q +1=0，∴q =1，与已知矛盾；（2）若－2q 为－与－2的等差中项，则+2=4q ，∴2 －q －1=0，∴q =－或q =1（舍去），∴这三个数为4，1，－2；（3）若－为－2q 与－2的等差中项，则2q +2=，∴ +q －2=0，∴q =－2或q =1（舍去），∴这三个数为4，1，－2.综合（1）（2）（3）可知，这三个数排成的等差数列为4，1，-2. 21.（1）解: ∵ =2 +1（n ∈ ），∴1+1=2+1n n a a +（），即1+1=2+1n n a a +， {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列.12.n n a ∴+=即 -1（ ).（2）证法1：12(...)42.n n b b b n nb +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-=①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+②②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=③21(1)20.n n nb n b ++-++=④④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+=即2120,n n n b b b ++-+= , 故{b n }是等差数列.22.解：（1）因为点 （n ， ）（n ∈ ）均在函数y =f （x ）的图象上，所以 =-2 +22n .当n =1时， = =20;当n ≥2时， = - =-4n +24. 所以 =-4n +24（n ∈ ）.（2）存在k ∈ ，使得 + +…+<k 对任意n ∈ 恒成立， 只需k >，由（1）知 =-2 +22n ，所以＝-2n+22=2（11-n）.当n<11时，>0；当n=11时，=0；当n>11时，<0. 所以当n=10或n=11时，++…+有最大值是110.所以k>110.又因为k∈，所以k的最小值为111.。
2018秋新版高中数学北师大版必修5习题：第一章数列 1.2.1.1
2.1 等差数列第1课时 等差数列的概念和通项公式课时过关·能力提升1.在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为( )B.50 C.51 D.52an+1-a n =,∴数列{a n }是首项为2,公差为的等差数列,则a n =2+(n-1).121212a 101=2+×100=52.12n }是公差为正数的等差数列,若a 1+a 2+a 3=15,a 1a 2a 3=80,则a 11+a 12+a 13的值为( )B.120 C.90 D.75a 1+a 2+a 3=15,得a 2=5,所以a 1+a 3=10,a 1a 3=16,解得a 1=2,a 3=8或a 1=8,a 3=2.{a n }的公差为正数,所以数列{a n }是递增数列.所以a 1=2,a 3=8,其公差d=a 2-a 1=5-2=3,a 11+a 12+a 13=(a 1+10d )+(a 2+10d )+(a 3+10d )=(a 1+a 2+a 3)+30d=15+30×3=105.n a 1=7,公差d=5的等差数列,若a n =2 017,则序号n 等于( )B.401C.402D.403a 1=7,d=5,∴a n =7+5(n-1)=5n+2.5n+2=2 017,解得n=403.4.设等差数列{a n }的公差为d ,若数列{}为递减数列,则( )2a 1a nB.d>0C.a 1d<0D.a 1d>0{}为递减数列,且y=2x 是增函数,所以{a 1a n }是递减数列,2a 1a n a 1a n+1-a 1a n =a 1(a n+1-a n )=a 1d<0.32,log 3(2x -1),log 3(2x +11)成等差数列,则x 的值为( )-3 B.log 37 C.log 27 D.4log 3(2x +11)-log 3(2x -1)=log 3(2x -1)-log 32,∴,即22x -4·2x -21=0,解得2x =7或2x =-2x +112x -1=2x -12),∴x=log 27.{a n }中,a 1=70,d=-9,则这个数列中绝对值最小的一项为( )B.a 9C.a 10D.a 11{a n }中,由a 1=70,d=-9,得a n =-9n+79,∴数列{a n }是首项为正数的递减等差数列.-9n+79≥0,解得n ≤,且a 8=7,a 9=-2,a 10=-11,a 11=-20,∴这个数列中绝对值最小的一项为a 9.799{a n },若a n =10-2n (n ∈N +),且a 1+a 2+…+a m =|a 1|+|a 2|+…+|a m |,则正整数m 的最大值是( )B.5C.6D.7a n =10-2n ,得{a n }为递减数列.∵a m =10-2m ≥0,m ∈N +,1≤m ≤5.∴m 的最大值为5.8.等差数列{a n }的图像是平行于x 轴的直线上的均匀分布的一群孤立的点,则数列{a n }的公差d ”“<”或“=”).{a n }是等差数列,知a n =a 1+(n-1)d=dn+a 1-d.由其图像是平行于x 轴的直线上的孤立的点,可知0,故d=0.{a n }中,a 1=1,对任意的n ∈N +,有a n+1=,则= . a n1+a n 1a 2 017a n+1=,得=1,a n 1+a n1a n +1‒1a n 故是首项为1,公差为1的等差数列,{1a n}所以=1+(n-1)=n.1a n =2 017.1a 2 017{a n }中,a 3=2,a 7=1,且数列是等差数列,则a 11= . {1a n +1}a 3=2,a 7=1,所以.1a 3+1=13,1a 7+1=12设等差数列的公差为d ,则+4d ,{1a n +1}1a 7+1=1a 3+1即+4d ,解得d=,12=13124+4d=,解得a 11=.1a 11+1=1a 7+112+16=2312★11.(1)求等差数列3,7,11,…的第4项与第10项.是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.由a 1=3,d=7-3=4,得当n=4时,a 4=3+(4-1)×4=15;当n=10时,a 10=3+(10-1)×4=39.(2)是.由a 1=2,d=9-2=7,得这个数列的通项公式为a n =2+(n-1)×7=7n-5.令7n-5=100,解得n=15∈N +,因此100是这个数列的第15项.★12.在数列{a n }中,a 1=,a n =2-(n ≥2,n∈N +),数列{b n }满足b n =(n ∈N +).351a n -11a n -1(1)求证:数列{b n }是等差数列;{a n }中的最大项和最小项,并说明理由.a n =2-(n ≥2,n ∈N +),b n =,1a n -11a n -1∴当n ≥2时,b n -b n-1=1a n -1‒1a n -1-1=1(2-1a n -1)-1‒1a n -1-1==1.a n -1a n -1-1‒1a n -1-1又b 1==-,1a 1-152数列{b n }是以-为首项,1为公差的等差数列.52(1)知,b n =n-,则a n =1+=1+.721b n 22n -7设函数f (x )=1+,易知f (x )在区间上是减少的.22x -7(-∞,72)和(72,+∞)故当n=3时,a n 取得最小值-1;当n=4时,a n 取得最大值3.。
2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §1-1.1 数列的概念 Word版含解析 (6)
[A 基础达标]1．在数列{a n }中，a 1＝15，3a n ＋1＝3a n －2，则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是( )A ．a 21和a 22B ．a 22和a 23C ．a 23和a 24D ．a 24和a 25解析：选C.因为a n ＋1＝a n －23，所以数列{a n }是等差数列，且公差为－23， 所以a n ＝15＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－23.因为a 23＝13，a 24＝－13，所以a 23a 24<0. 2．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使S n 取得最小值的正整数n 的值是( )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或8解析：选C.依题意得a 5<0，a 9>0，且a 5＋a 9＝0⇒2a 1＋12d ＝0⇒a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故前6项与前7项的和相等，且最小．3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 最大的n 的值为( )A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13解析：选D.因为a n ＝26－2n ，所以a n －a n －1＝－2，所以数列{a n }为等差数列．又a 1＝24，d ＝－2，所以S n ＝24n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋6254.又n ∈N ＋，所以当n ＝12或13时，S n 最大．4．数列{a n }满足：a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2 018＝( ) A ．0B ．－ 3 C. 3D ．32 解析：选B.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1，令n ＝1，得a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3；令n ＝2，得a 3＝a 2－33a 2＋1＝3；令n ＝3，得a 4＝a 3－33a 3＋1＝0＝a 1，所以数列{a n }是周期为3的数列，所以a 2 018＝a 3×672＋2＝a 2＝－3，故选B.5．已知数列{a n }：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n }，则b 2 018＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.将数列1，1，2，3，5，8，13，…的每一项除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即新数列{b n }是周期为6的周期数列，所以b 2 018＝b 336×6＋2＝b 2＝1.故选B.6．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为________．解析：由题意可知数列{a n }的首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取最大值时，n ＝7或8.答案：7或87．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________．解析：法一：S 9＝S 4，即9（a 1＋a 9）2＝4（a 1＋a 4）2， 所以9a 5＝2(a 1＋a 4)，即9(1＋4d )＝2(2＋3d )，所以d ＝－16， 由1－16(k －1)＋1＋3·⎝⎛⎭⎫－16＝0，得k ＝10. 法二：S 9＝S 4，所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，所以a 7＝0，从而a 4＋a 10＝2a 7＝0，所以k ＝10. 答案：108．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n ＝________．解析：由a 1＋a 3＋a 5＝105，得3a 3＝105，即a 3＝35.由a 2＋a 4＋a 6＝99，得3a 4＝99，即a 4＝33.所以d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，则a 1＝39.所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （39＋41－2n ）2＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.所以当n ＝20时，S n 取最大值．答案：209．在等差数列{a n }中，a 3＝2，3a 2＋2a 7＝0，其前n 项和为S n .求：(1)等差数列{a n }的通项公式；(2)S n ，n 为何值时，S n 最大．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，根据题意，得a 1＋2d ＝2，5a 1＋15d ＝0，解得a 1＝6，d ＝－2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋8.(2)由第一问可知S n ＝6n ＋n （n －1）2·(－2)＝－n 2＋7n ＝－⎝⎛⎭⎫n －722＋494. 因为S 3＝－9＋21＝12，S 4＝－16＋28＝12，所以当n ＝3或n ＝4时，S n 最大．10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝31－3n ，求数列{|a n |}的前n 项和H n .解：设{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝31－3n 可得S n ＝－32n 2＋592n . 由a n ≥0，解出n ≤313≈10.3. 当n ≤10时，H n ＝S n ＝－32n 2＋592n ； 当n ≥11时，H n ＝2S 10－S n ＝32n 2－592n ＋290. 所以H n＝⎩⎨⎧－32n 2＋592n ，n ≤10，32n 2－592n ＋290，n ≥11. [B 能力提升]11．设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，则前n 项和S n 中最大的是( )A ．S 10B ．S 11C ．S 20D ．S 21解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，由3a 8＝5a 13，即3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )，得a 1＝－392d >0，所以d <0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－392d ＋(n －1)d .由a n <0，得n >412＝20.5，即从第21项开始为负数，故S 20最大．12．“等和数列”的定义：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________．解析：由题意可得a n ＋a n ＋1＝5，所以a n ＋1＋a n ＋2＝5.所以a n ＋2－a n ＝0.因为a 1＝2，所以a 2＝5－a 1＝3.所以当n 为偶数时，a n ＝3；当n 为奇数时，a n ＝2.所以a 18＝3.答案：313．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解：(1)因为a 3＝12，所以a 1＝12－2d ，因为S 12>0，S 13<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，所以－247<d <－3. (2)因为S 12>0，S 13<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，所以⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，所以a 6>0， 又由第一问知d <0.所以数列前6项为正，从第7项起为负．所以数列前6项和最大．14．(选做题)在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－18，其前n 项和为S n ，(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值；(2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.解：(1)因为a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－18，所以a 17＝－6.又a 9＝－18，所以d ＝a 17－a 917－9＝32. 首项a 1＝a 9－8d ＝－30.所以a n ＝32n －632.若前n 项和S n 最小，则⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0， 即⎩⎨⎧3n 2－632≤0，32（n ＋1）－632≥0，所以n ＝20或21. 这表明：当n ＝20或21时，S n 取最小值．最小值为S 20＝S 21＝－315.(2)由a n ＝32n －632≤0⇒n ≤21. 所以当n ≤21时，T n ＝－S n ＝34(41n －n 2)， 当n >21时，T n ＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋…＋a n＝S n －2S 21＝34(n 2－41n )＋630. 故T n＝⎩⎨⎧34（41n －n 2），n ≤21，34（n 2－41n ）＋630，n >21.。
2018学年高中数学北师大版必修5课件：第1章 章末分层突破 精品
[再练一题] 3．在数列{an}中，an＝n＋1 1＋n＋2 1＋…＋n＋n 1，又 bn＝ana2n＋1，求数列{bn} 的前 n 项和．
【解】 an＝n＋1 1＋n＋2 1＋…＋n＋n 1＝n2，因为 bn＝ana2n＋1， 所以 bn＝nn8＋1＝81n－n＋1 1， 所以数列{bn}的前 n 项和为 Sn＝81－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝81－n＋1 1＝n8＋n1.
定义法
an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列 aan＋n 1＝q(非零常数)⇔{an}是等比数列
中项公 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列
式法 a2n＋1＝an·an＋2(an＋1、an＋2≠0)⇔{an}是等比数列
通项公 an＝pn＋q(p、q 为常数)⇔{an}是等差数列
【解析】 ∵a2，a3，a7 成等比数列，∴a23＝a2a7， ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即 2d＋3a1＝0. ① 又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1. ② 由①②解得 a1＝23，d＝－1.
转化与化归思想
转化与归纳思想实质是在研究和解决数学问题时采用某种手段将问题通过 变换使之转化，进而得到解决的一种方法．由递推公式求通项公式，要求掌握 的方法有两种：一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后 证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．
已知数列{an}中，a1＝5 且 an＝2an－1＋2n－1(n≥2 且 n∈N＋). 【导 学号：67940029】
已知等差数列{an}满足 a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列2an－n 1的前 n 项和．
【精彩点拨】 (1)利用 a1 和 d 建立方程组求解． (2)利用错位相减法求和．
2018年高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 章末复习提升课 巩固提升训练 含解析 精品
1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1≥0，x ∈R }，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |x ≤－1或1≤x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |1≤x <2}解析：选D.因为A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x ≥1或x ≤－1}，所以A ∩B ＝{x |1≤x <2}．2．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z 的最大值是最小值的4倍，则实数a 的值是( )A.13B ．14 C.15 D ．16解析：选B.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当相应直线分别经过该平面区域内的点(a ，a )与(1，1)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小与最大，此时z ＝2x ＋y 取得最小值与最大值，于是有2×1＋1＝4(2a ＋a )，a ＝14. 3．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab ＞acB ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．a (a －b )＞0解析：选C.由已知可得，c ＜0，a ＞0，b 不一定，若b ＝0时，C 不一定成立，故选C.4．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2， 即|xy |＝22时等号成立． 答案：95．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，则该厂日产量为__________时，日获利不少于1 300元． 解析：由题意，得(160－2x )x －(500＋30x )≥1 300，化简得x 2－65x ＋900≤0，解之得20≤x ≤45.因此，该厂日产量为20件至45件时，日获利不少于1 300元．答案：20件至45件6．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥12x ＋m ，且z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值为2，求实数m 的取值范围．解：画出可行域如图所示(阴影部分)，由题意，知z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2，过点(－1，1)作直线y ＝x 的垂线，垂足为原点O ，点(－1，1)与点O 之间距离的平方恰好为2，说明点O 一定在可行域内，则直线y ＝12x ＋m 在y 轴上的截距m ≤0.。
2018年北师大版高中数学必修五第2章 章末复习提升课 巩固提升训练练习含解析
1．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，B ＝45°，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150°解析：选C.由正弦定理得：sin A ＝a sin B b ＝32， 因为a >b ，所以A ＝60°或A ＝120°，故选C.2．在△ABC 中，若lg sin A －lg sin C ＝lg sin B ＝－lg 2，且B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形解析：选C.由lg sin A －lg sin C ＝lg sin B ＝－lg 2可得lg sin A sin C ＝lg sin B ＝lg 22，所以a c ＝22＝sin B ，又B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以B ＝π4，c ＝2a .由余弦定理可知b 2＝a 2＋2a 2－2a ×2a ×22，整理可得b ＝a ，因此△ABC 为等腰直角三角形．3．为维护国家主权和领土完整，我海监船310号奉命赶赴钓鱼岛海域执法巡航．当我船航行到A 处时测得钓鱼岛在我船北偏东45°方向上，我船沿正东方向继续航行20海里到达B 处后，又测得钓鱼岛在我船北偏东15°方向上，则此时B 处到钓鱼岛的距离为( )A ．20海里B ．10海里C ．20 2 海里D ．20 3 海里解析：选C.设钓鱼岛在C 处，则在△ABC 中，AB ＝20，∠BAC ＝45°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°，由正弦定理得：BC ＝AB sin ∠CAB sin ∠ACB ＝20sin 45°sin 30°＝202，故选C. 4．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C＝________． 解析：由正弦定理得sin A sin C ＝a c， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， 因为 a ＝4，b ＝5，c ＝6，所以 sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1. 答案：15.如图，l 1，l 2，l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是3，正三角形ABC 的三个顶点分别在l 1，l 2，l 3上，则正三角形的边长是________．解析：如图，过点C 作l 1的垂线，交直线l 1于点H ，交直线l 2于点M .设∠ACH ＝θ，则∠BCH ＝60°－θ.在Rt △ACH 中，CH ＝4，故AC ＝CH cos ∠ACH ＝4cos θ； 在Rt △BCM 中，CM ＝3，故BC ＝CM cos ∠BCM ＝3cos （60°－θ）. 所以4cos θ＝3cos （60°－θ）， 解得sin θ＝123cos θ.又sin 2θ＋cos 2θ＝1，代入求得cos θ＝1213， 故AC ＝41213＝2393. 答案：23936．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋b sin A ＋sin B的值； (2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积S △ABC .解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin 60°＝232＝433，所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，所以a ＋b sin A ＋sin B ＝433（sin A ＋sin B ）sin A ＋sin B＝433. (2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，又a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.。
2018秋新版高中数学北师大版必修5习题：第一章数列 等差数列复习课
等差数列复习课课时过关·能力提升1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 4=15,S 5=55,则数列{a n }的公差是( )A. B.4 C.-4D.-314{a n }是等差数列,a 4=15,S 5=55,所以a 1+a 5=22.所以2a 3=22,a 3=11.所以公差d=a 4-a 3=4.2.等差数列0,-,-7,…的第n+1项是( )72A .-nB .-(n-1)7272.-(1)D .-n+17272,得数列的公差d=--0=-,7272所以数列的通项公式为a n =0-(n-1)=-n+,727272故a n+1=-(n+1)+=-n.7272723.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 6+a 10为一个确定的常数,则下列各个和中,也为确定的常数的是( )B.S 11 C.S 12 D.S 13a 2+a 6+a 10=3a 6,∴a 6是定值.==11a 6,∴S 11是确定的常数.11(a 1+a 11)24.已知数列{a n }是等差数列,a 1=1,a 5=13,设S n 为数列{(-1)n a n }的前n 项和,则S 2 017等于( )B .-2 017C .3 025D .-3 0255.在等差数列{a n }中,有3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=48,则此数列前13项之和为( )B.39C.52D.104{a n }是等差数列,∴3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=6a 4+6a 10=48.∴a 4+a 10=8.∴a 1+a 13=8.∴S 13==52.13(a 1+a 13)26.在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n 等于( )A.9B.10C.11D.12a 3+a 5=2a 4=14,∴a 4=7,d==2.a 4-a 14-1∴S n =na 1+d=n+n (n-1)=100.n(n -1)2∴n 2=100,n=10.7.在等差数列{a n }中,S 9=18,S n =160,a n-4=30(n ≥5且n ∈N +),则n= .S 9==9a 5=18,9(a 1+a 9)2∴a 5=2,S n ==160.n (a 1+a n )2=n (a 5+a n -4)2∴=160.n (2+30)2∴n=10.是等差数列{a n }的前n 项和,若=2,则的值为 . a 7a 4S 13S 7.=a 1+a 132×13a 1+a 72×7=13a 77a 4=2679.在等差数列{a n }中,a 1>0,a 10·a 11<0,若S 10=36,S 18=12,则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 .{a n }中,a 1>0,a 10·a 11<0,所以前10项为正,从第11项开始为负.所以T 18=|a 1|+|a 2|+…+|a 18|=(a 1+a 2+…+a10)-(a 11+a 12+…+a 18)10-(S 18-S 10)=2S 10-S 18=2×36-12=60.★10.已知函数f (x )=x 2+x ,数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n )(n ∈N +)均在函数f (x )的图1212像上.(1)求数列{a n }的通项公式;g (x )=,令b n =g (n ∈N +),求数列{b n }的前2 016项和T 2 016.4x 4x +2(a n2 017)∵点(n ,S n )在函数f (x )的图像上,∴S n =n 2+n.1212当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n ;当n=1时,a 1=S 1=1,适合上式.∴a n =n.(2)∵g (x )=,4x4x +2∴g (x )+g (1-x )=1.又由(1)知a n =n ,∴b n =g .(n2 017)∴T 2 016=b 1+b 2+…+b 2 016=g +g +…+g .①(12 017)(22 017)(2 0162 017)又T 2 016=b 2 016+b 2 015+…+b 1=g +g +…+g .②(2 0162 017)(2 0152 017)(12 017)①+②得2T 2 016=2 016=2 016.[g (12 017)+g (2 0162 017)]∴T 2 016=1 008.★11.在数列{a n }中,a 1=1,3a n a n-1+a n -a n-1=0(n ≥2,n ∈N +).(1)证明:数列是等差数列;{1a n }(2)求数列{a n }的通项公式;(3)若λa +≥λ对任意的n ≥2恒成立,求实数λ的取值范围.1a n3a n a n-1+a n -a n-1=0(n ≥2,n ∈N +)整理得=3(n ≥2,n ∈N +).1a n ‒1a n -1所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列.{1a n }(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,所以a n =.1a n 13n -2a n +≥λ对任意的n ≥2恒成立,1a n 即+3n-2≥λ对任意的n ≥2恒成立,λ3n -2整理得λ≤对任意的n ≥2恒成立.(3n -2)23n -3令f (n )=,(3n -2)23n -3则f (n+1)-f (n )==3-.(3n +1)23n ‒(3n -2)23n -3=9n 2-9n -13n (n -1)13n (n -1)因为n ≥2,所以f (n+1)-f (n )>0,即f (2)<f (3)<f (4)<…,所以f (2)最小.又f (2)=,所以λ≤.163163所以λ的取值范围为.(-∞,163]。