一类二次曲面在正交变换作用下的几何解释
二次曲面方程
二次曲面方程一、引言二次曲面方程是数学中非常重要的一类曲面方程。
它们具有丰富的几何性质和广泛的应用领域，如物理学、工程学和计算机科学等。
本文将从二次曲面的定义和性质、几何图形以及实际应用三个方面，生动全面地介绍二次曲面方程。
二、定义和性质二次曲面是由二次方程表示的曲面。
一般地，二次曲面方程可以写成Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0的形式。
其中A、B、C不全为零，D、E、F、G、H、I、J是常数。
这种方程描述了空间中的一个曲面，其形状和性质与方程的系数有关。
对于二次曲面方程，有一系列重要的性质。
首先，二次曲面在三维空间中通常表示一个曲面，形状可以是椭圆、双曲线或抛物面。
其次，二次曲面可能有中心或焦点等特殊点，这些点对于曲面的性质和几何特征具有重要意义。
最后，通过调整方程的系数，可以改变二次曲面的形状和方向，从而产生不同的几何图形。
三、几何图形根据二次曲面方程的不同形式，我们可以了解到不同的几何图形。
首先是椭球面，当A、B、C都为正数时，方程描述了一个椭球体。
椭球体在三维空间中呈现出类似于地球的形状，可以用来表示行星、人工卫星等球状物体。
其次是双曲面，当A、B、C中有一个为负数时，方程描述了一个双曲体。
双曲体的形状类似于双曲线，可以用来表示一些物理现象，如电场分布和透镜等。
最后是抛物面，当A或B为零，且C不为零时，方程描述了一个抛物体。
抛物体可以用来描述抛物运动，也可以用于建模天文、航空等领域的问题。
四、实际应用二次曲面方程在现实生活中有广泛的应用。
首先，它们在物理学中发挥着重要作用。
例如，抛物面方程可以用来描述物体的运动轨迹，从而对物体的运动进行预测和分析。
其次，二次曲面方程在工程学中也有重要应用。
通过使用椭球面方程，工程师可以设计出符合实际需求的复杂三维结构，如建筑物、车辆和飞机等。
此外，二次曲面方程还在计算机科学领域得到了广泛应用。
高等数学二次曲面
高等数学二次曲面引言在高等数学中，二次曲面是一类重要的曲面，它们在空间中具有特定的几何性质和数学定义。
本文将介绍二次曲面的定义、分类以及一些重要的性质和应用。
定义二次曲面是定义在三维空间中的曲面，它可以用一个二次方程的方程来表示。
二次曲面的方程一般具有以下形式：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J是实数。
当方程中的系数满足一些条件时，可以得到不同种类的二次曲面。
分类根据方程中系数的特点，可以将二次曲面分为以下几类：1. 椭球面当A、B和C的系数都为正时，方程表示一个椭球面。
椭球面具有两个主轴，其中两个主轴的长度由A、B和C的值决定。
椭球面在物理学、天文学和工程学等领域有广泛的应用。
2. 单叶双曲面当A、B和C的系数分别为正、负和负时，方程表示一个单叶双曲面。
单叶双曲面有一个中心点，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
3. 双叶双曲面当A、B和C的系数分别为负、负和正时，方程表示一个双叶双曲面。
双叶双曲面同样有一个中心点，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
4. 椭圆抛物面当D、E和F的系数都为零时，方程表示一个椭圆抛物面。
椭圆抛物面具有一个焦点和一条对称轴，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
5. 双曲抛物面当D、E和F的系数至少有一个不为零时，方程表示一个双曲抛物面。
双曲抛物面同样具有一个焦点和一条对称轴，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
6. 椭圆锥面当A、B、C的系数满足一个特定的条件时，方程表示一个椭圆锥面。
椭圆锥面可以看作是椭球面在一个主轴的方向上无限延伸而成的曲面。
7. 双曲锥面当A、B、C的系数满足另一个特定的条件时，方程表示一个双曲锥面。
双曲锥面同样可以看作是椭球面在一个主轴的方向上无限延伸而成的曲面。
性质和应用二次曲面具有许多重要的性质和应用，以下是其中的一些：•二次曲面对称性：对于大多数二次曲面，它们都具有某种对称性，可以通过变换来描述这种对称性。
解析几何中的二次曲面方程
解析几何中的二次曲面方程在解析几何中，二次曲面是指满足二次方程的曲面。
它们可以是平面、圆锥曲面、圆柱曲面、椭球面、双曲面、抛物面等各种曲面。
在本文中，我们将主要探讨二次曲面方程的一些基本性质和解法。
首先，我们来看一下二次曲面方程的形式。
二次曲面方程的形式一般地，二次曲面的方程可以写成如下形式：Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数。
该式的形式比较复杂，不便于直接分析，所以我们需要通过一些方法将其化简。
二次曲面方程的化简化简二次曲面方程的常用方法有以下几种。
1. 移项将方程左右两边同时加上或减去某一项，使方程中的一项可以消去。
例如：Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0可以移项为：Ax² + Dxy + Gx + By² + Fyz + Hy + Cz² + Exz + Iz + J = 02. 合并同类项将方程中的同类项合并，减少方程中的项数。
例如：Ax² + Dxy + Gx + By² + Fyz + Hy + Cz² + Exz + Iz + J = 0可以合并同类项为：A(x² + y²) + B(y² + z²) + C(z² + x²) + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 03. 正交变换通过正交变换，将二次曲面旋转、平移或缩放成为标准形式。
常用的标准形式包括：点(x,y,z)在平面上的情形、点(x,y,0)在柱面上的情形、点(x,y,0)在双曲面的情形等。
二次曲面方程的解法在化简完二次曲面方程后，我们可以采用以下方法求解方程。
空间解析几何二次曲面
二次曲面的性质
封闭性
01
二次曲面是封闭的，即它包围着一个确定的区域。
连续性
02
二次曲面在三维空间中是连续的，没有断裂或突起。
可微性
03
二次曲面在三维空间中是可微的，这意味着它的表面是平滑的。
02
二次曲面方程
二次曲面方程的建立
定义
二次曲面是三维空间中通过两个二次方程定义的 几何体。
形式
二次曲面的一般方程为 (Ax^2 + By^2 + Cz^2 + 2Fxy + 2Gxz + 2Hyz = D)。
优化方法
常用的优化方法包括数学规划、遗传算法、 模拟退火等，通过这些方法可以找到最优的 设计方案，提高产品的性能和降低成本。
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特点
二次曲面具有独特的形状和性质，其 形状由二次函数的系数决定。
二次曲面的分类
1 2
椭球面
当 $f$ 为正时，二次曲面呈现为椭球形状，其长 轴和短轴分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴平行或垂直。
抛物面
当 $f$ 为一次函数时，二次曲面呈现为抛物线形 状，其开口方向与 $z$ 轴平行。
3
双曲面
当 $f$ 为负时，二次曲面呈现为双曲形状，其形 状取决于 $x$ 轴和 $y$ 轴的方向。
工程设计
二次曲面在工程设计中用于描述各种形状的表面，如球面、抛物 面等。
物理模拟
在物理模拟中，二次曲面用于描述粒子在力场中的运动轨迹和分 布。
数据分析
在数据分析中，二次曲面用于拟合数据，以揭示数据之间的内在 关系和规律。
03
二次曲面在三维空间中的 表示
二次曲面在三维空间中的投影
曲面第一第二基本形式
曲面第一第二基本形式曲面的第一第二基本形式是曲面微分几何中的重要概念，用于描述曲面的局部性质。
曲面的第一基本形式是一个二次型，描述了曲面上的长度和角度的变化；而第二基本形式是一个线性映射，描述了曲面上的曲率信息。
对于一个曲面上的点，可以通过两个正交曲线来描述它的局部性质。
这两条曲线称为曲面上的曲线坐标线，在该点处与坐标轴相切。
通过这两条曲线，可以定义曲线的长度、角度和曲率等重要几何量。
曲面的第一基本形式是一个二次型，可以表示为：[ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2]其中，(E)、(F) 和 (G) 是曲面上的度量系数。
它们描述了曲线坐标线上的长度和夹角变化。
具体而言，(E) 表示曲线坐标线在 (u) 方向上的长度的平方，(G) 表示曲线坐标线在 (v) 方向上的长度的平方，而 (F) 则表示曲线坐标线在 (u) 和 (v) 方向上的长度乘积。
曲面的第二基本形式是一个线性映射，可以表示为：[dN = L du^2 + 2M du dv + N dv^2]其中，(L)、(M) 和 (N) 是曲面上的切向量与法向量之间的内积。
它们描述了曲面上的曲率信息。
具体而言，(L) 表示曲面的法向量在 (u) 方向上的变化率，(N) 表示曲面的法向量在 (v) 方向上的变化率，而 (M) 则表示曲面的法向量在 (u) 和 (v) 方向上的变化率乘积。
通过第一第二基本形式，我们可以计算曲面上的各种几何量，如曲率、高斯曲率和平均曲率等。
这些几何量对于曲面的形状和性质具有重要的意义，并在计算机图形学、物理学和工程学等领域中得到广泛应用。
总之，曲面的第一第二基本形式是描述曲面局部性质的重要工具，它们提供了曲面上的长度、角度和曲率等几何信息。
通过研究这些信息，我们可以深入理解曲面的形状和性质，并应用于各种实际问题的解决中。
第一类正交变换和第二类正交变换
第一类正交变换和第二类正交变换正交变换是一种线性变换，它可以保持向量的长度不变，并且保持向量之间的夹角不变。
正交变换广泛应用于几何、物理和工程学领域，它们具有很多有用的性质和应用。
正交变换可以分为两类：第一类和第二类正交变换。
下面我们将对这两类正交变换进行详细讨论。
第一类正交变换第一类正交变换也称为旋转矩阵或正交矩阵。
它是一个n×n的矩阵，它的行和列都是单位向量，并且它的行和列两两正交。
这意味着，它可以将任意向量旋转一个角度，而不改变向量的长度。
因为行和列都是单位向量，所以每个向量的长度都是1，这保证了正交变换可以保持向量的长度不变。
第一类正交变换有许多重要的应用。
例如，在3D计算机图形学中，它通常用于旋转3D模型，更改视角或实现相机移动。
在机器学习中，它可以被用于特征提取、降维和分类等问题。
第二类正交变换第二类正交变换也称为反射矩阵或镜像矩阵。
它是一个n×n的矩阵，它的行和列都是单位向量，并且它包含一个或多个平面反射。
这意味着，它可以将任意向量沿某个平面反射，并且保持向量的长度不变。
第二类正交变换也有一些重要的应用。
例如，在计算机图形学中，它通常用于处理细节问题，如凹凸映射和地形。
在机器学习中，它可以用于数据增强，这是一种增加训练数据量的方法。
正交变换的性质正交变换具有许多非常有用的性质，这些性质使得它们在许多问题中都是必不可少的。
以下是其中一些常见的性质：1.正交变换保持向量长度不变。
2.正交变换保持向量之间的夹角不变。
3.正交变换的逆矩阵等于其转置矩阵。
4.正交变换的行列式等于1或-1。
5.正交变换的特征值的模是1。
总结正交变换是一种非常有用的线性变换，它可以保持向量长度不变，同时保持向量之间的夹角不变。
正交变换可以分为第一类和第二类，分别用于旋转和反射。
它们具有许多重要的应用，例如计算机图形学和机器学习。
正交变换还具有许多有用的性质，这些性质使得它们在计算中经常被使用。
正交变换的几何意义及其应用
ｌ
ｌ ＝ （ Ｔ Ｙ， Ｔ ｒ ）＝ ￣ ／ （ Ｙ， ｙ ） ＝ｌ ｌ ， ｌ
正 交变 换保 持 了 向量 的 内积和 长度 不 变 ， 也 就 保
标 系下做 正 交变换 Ｘ ＝Ｔ Ｙ （ １ ｌ：１ ）的充要 条 件 是对 坐 标 系 Ｏ ｘ ｙ ｚ绕 原 点 进 行 一 定 角 度 的 旋
通过 矩 阵 这 个 工 具 ， 与 形 象 的 几 何 图形 联 系起
来．
［ 兰 兰 篓 篓 ］ ， ： ） 由 实 对 称 矩 阵 的 性 质 ，
存 在正 交矩阵Ｔ ， 使 得Ｔ Ａ Ｔ：｝ ０ Ａ ０ Ｉ ， 这
１ 正 交 变换 与 二次 型
在 三维 欧式 空间 中 ， 向量 的内积 为 （ Ｘ， ｙ ）＝ ｙ， 其中 Ｘ ＝（ ， ｙ ， ｚ ） ， Ｙ ＝（ 。 ， Ｙ 。 ， ｚ 。 ） ， 相 应
标系。 下 可 以令 ・：
［ ］ Ｊ ＝ ［ 曩 ］ ， － ＝
【 摘 要】阐述正交变换与二次型的关系， 以形 象的分析给 出正交变换的几何 意义 ， 并说明此几何意义在判断二次齐次方程型曲面类型 中的应用 ， 并将此类应 用
推 广 到一般 的二 次 曲面表 达式．
【 关键词 】二次型； 正交变换 ； 二次曲面
０ 引 言
在线 性代 数 中 ， 由二 次 型 知 道 ， 对 于 任 何 一
地， 向量的长度为 Ｉ Ｉ ＝￣ ／ ， （ ， Ｘ ） ， 设有正交变 换 ＝ Ｔ Ｙ， 则 由正交 变换 定义有
（ Ｔ Ｙ 。 ， ｙ ２ ）＝ （ ｙ 。 ， ｙ ２ ） ，
２ 正 交 变换 的几 何 意 义
定理 １ 设 有 空 间直角 坐标 系 Ｏ ｘ ｙ ｚ ， 则 此坐
二次曲面部分内容总结归纳
二次曲面部分内容总结归纳在数学中，二次曲面是一类重要的曲线图形，具有广泛的应用。
本文将对二次曲面的定义、性质以及常见的二次曲面进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、二次曲面的定义和特点二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为系数。
1. 定义：二次曲面是在三维空间中满足以上方程的点的集合。
它是由平面或曲线与另外一个平面所构成的立体。
2. 分类：根据系数之间的关系，二次曲面可以分为椭球面、双曲面、抛物面和圆锥曲面等。
3. 对称性：二次曲面通常具有一定的对称性，例如椭球面关于三个坐标轴对称，双曲面关于两个坐标轴对称，抛物面则关于一个坐标轴对称。
二、常见的二次曲面下面将介绍几种常见的二次曲面及其特点：1. 椭球面：椭球面是指A、B、C系数均为正数的二次曲面。
它可以是一个三维椭球，具有三个轴，其中有一个是最大的主轴。
2. 双曲面：双曲面是指A、B、C系数有正有负的二次曲面。
它可以是两个相交的曲面，呈现典型的双曲线形状。
3. 抛物面：抛物面是指A、B系数有一个为零的二次曲面。
它可以是开口向上或向下的形状，对称于坐标轴。
4. 圆锥曲面：圆锥曲面是指除了A、B、C系数外，D、E、F系数都为零的二次曲面。
它可以是圆锥的侧面，或者是圆锥的顶部和底部。
三、二次曲面的应用二次曲面具有广泛的应用，其中一些常见的领域包括：1. 几何学：二次曲面在几何学中的应用非常广泛，如描述平面、曲线和曲面之间的关系，解决几何问题等。
2. 物理学：在物理学中，二次曲面可以用来描述电磁场、电荷分布和光学等现象。
3. 工程学：二次曲面在工程学中常用于描述悬索桥、天线接收器的覆盖范围等。
4. 经济学：二次曲面可以用于描述经济模型中的供需曲线、成本函数等。
二次曲面形的性质及求法
二次曲面形的性质及求法二次曲面是一个重要的数学概念，它在图像处理、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
本文将介绍二次曲面的性质及其求法。
一、二次曲面的定义二次曲面是指具有二次项（或更高次项）的二元多项式所构成的曲面。
一般二次曲面的方程可以写为以下形式：$$ax^2+by^2+cz^2+2fxy+2gxz+2hyz+d=0$$其中，$a,b,c,f,g,h$和$d$均为实数，并且至少其中一项系数不为零。
二、二次曲面的性质1.对称性对于任意一个二次曲面，它都具有以下三种对称性：（1）关于$x$轴的对称性当$a=b$且$f=g=h=0$时，二次曲面具有关于$x$轴的对称性。
（2）关于$y$轴的对称性当$a=c$且$f=h=g=0$时，二次曲面具有关于$y$轴的对称性。
（3）关于$z$轴的对称性当$c=b$且$h=g=f=0$时，二次曲面具有关于$z$轴的对称性。
2.焦点和直线二次曲面的焦点是指使二次曲面上的所有点到其确定的两个固定点的距离之比等于一个定值的点对。
二次曲面的焦线是指对于二次曲面上的任一点，都满足其到焦点的距离与到焦线的距离之比等于一个定值。
3.标准形式通过线性代数的方法，可以将任意一个二次曲面通过坐标变换，化为以下标准形式：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$其中，$a,b,c$为正实数，分别代表$x,y,z$轴上的半轴长。
三、二次曲面的求法1.第一种方法：配方法配方法是求解二次曲面的一种基本方法。
通过将二次曲面的方程变形为一个平方差式，来实现对二次曲面的求解。
例如，对于方程$4x^2+y^2+z^2+4xy+4xz+2yz=1$，可以通过配方法将其变为以下形式：$$\bigg(2x+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\bigg)^2+\frac{3}{4}y^2+\frac{3} {4}z^2=1$$我们最终得到的形式就是一个椭球面的标准形式。
二次曲面的分类
二次曲面的分类在空间直角坐标系下，二次曲面的一般方程可以写成222111222333121213132323141242343442222220a x a x a x a x x a x x a x x a x a x a x a +++++++++=即()11121311232122232141242343443132333,,2220a a a x x x x a a a x a x a x a x a a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 其中，ij ji a a =. 记123x X x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，那么实二次型()111213112312321222323132333(,,),,a a a x x x x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪Φ= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，通过正交线性替换X TY =，其中123y Y y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，有 122221122333(,,)''(')'x y z X AX Y T AT Y Y Y y y y λλλλλλ⎛⎫ ⎪Φ====++ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中123,,λλλ是实对称矩阵A 的全部特征值，它们与正交矩阵T 无关，由矩阵A 唯一确定. 这样，在上述正交线性替换X TY =下（即所谓的转轴变换），原二次曲面的方程变成了 222112233141242343442220y y y b y b y b y a λλλ++++++=.最后，再通过适当的平移变换消去一次项，二次曲面的一般方程可以化成下列十七种标准形之一，并且它们分别表示十七种曲面：（一）假设123,,λλλ都非零，即0A ≠，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去一次项后可以变为2221122330z z z d λλλ+++=的形式。
《I二次曲面介绍》课件
二次曲面的切线和法平面
1
切线
切线方程式是确定点切线方向的关键工具，可以帮助我们理解二次曲面的基本特 征。
2
法平面
法平面相切于曲面上的点，并垂直于该点的切线，是描述曲面矢量值和方向的基 本方法。
3
应用
对于计算两个表面之间的夹角和反射光线，有着应用上的力量，也是了解曲面空 间特征的重要手段。
二次曲面的焦点和准线
《二次曲面介绍》PPT课 件
欢迎来到《二次曲面介绍》课程！二次曲面是数学中一个重要的概念，也具 有广泛应用。在此课程中，我们将深入了解二次曲面的分类、性质、公式和 应用，希望你享受这次学习！
什么是二次曲面？
定义
由二元二次方程$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$所确定的曲面称为一般二次曲面。
工程领域
2
对于数学知识结构的完备和优化起着重 要的推进作用。
在多种物理和工程应用中，二次曲面有
着广泛的实际用途。谷歌、苹果等大型IT
公司也在开发利用二次曲面技术的产品。
3
学术研究
二次曲面仍然是数学与物理学研究领域 的重要研究对象，对未来科学教育的贡 献巨大。
二次曲面的实践应用案例分析
医学成像
二次曲面在体绘制和定义了新 的医学成像方法。它可以为医 师提供三维数据，从而进行更 高质量的检查和诊断。
二次曲面的思考与总结
1 对数学的重要性
了解二次曲面的形式，有助于人们理解和应用数学知识，可以使数学这一抽象的学科更 加形象化、通透化。
2 对科学的启示
二次曲面的理论和应用研究有助于开拓科学领域的新思路，推动科学的不断发展和进步。
3 对未来的期许
二次曲面的一般理论
第六章-二次曲面的一般理论(总24页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第六章 二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类. 研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a（1）所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。
正交变换在几何学中的应用
Ａ＝
æ ｃｏｓθ
ç
è ｓｉｎθ
－ ｓｉｎθ ö
÷ꎬ
ｃｏｓθ ø
æ æ ｘ１ ö æ ｘ２ ö ö
æ ｘ２ ö
( σ ( β １ ) ꎬσ ( β ２ ) ) ＝ ç Ａ ç ÷ ꎬＡ ç ÷ ÷ ＝ ( ｘ １ ｙ １ ) Ａ′Ａ ç ÷ ＝ ｘ １ ｘ ２ ＋ ｙ １ ｙ ２ ＝ ( β １ ꎬβ ２ ) ꎬ
è ｙ１ ø
è ｙ２ ø
σ ( β １ ) ＋ σ ( β ２ ) ＝ β １ ＋ β ２ ＋ ２α０ ≠ σ ( β １ ＋ β ２ ) ꎬ
故平移变换不是线性变换ꎬ所以它不是正交变换.
证毕
平移变换虽然保持向量的长度不变ꎬ保持向量的夹角不变ꎬ但它不是线性变换ꎬ因而平移变换不是
正交变换.
例 ３ 设 η 是 ｎ 维 欧 式 空 间 Ｖ 的 一 个 单 位 向 量ꎬ 对 任 意 α ∈ Ｖꎬ 定 义 线 性 变 换 σ ( α ) ＝ α －
(１) Ａ 为可逆矩阵ꎬ且 Ａ － １ ＝ Ａ′ ꎻ
(２) Ａ′ 也为正交矩阵( 从而 Ａ － １ 也为正交矩阵) ꎻ
(３) 对任意 ｎ 维列向量 Ｘ ꎬ ＡＸ 保持向量 Ｘ 的长度ꎬ即 ＡＸ ＝ Ｘ ꎻ ＡＸ 和 ＡＹ 保持向量 Ｘ 和 Ｙ 的内
积ꎬ即 ( ＡＸꎬＡＹ ) ＝ ( ＸꎬＹ ) ꎻ
(４) Ａ 的 ｎ 列( 行) 向量构成 Ｒ ｎ 的一个标准正交基.
在直角坐标系下向量的坐标关系式为 ç ÷ ＝ ç
÷ ç ÷ ꎬ证明旋转变换 σ 是正交变换.
ｃｏｓθ ø è ｙ ø
è ｙ′ ø è ｓｉｎθ
证明
σ:Ｒ ２ → Ｒ ２ ꎬ即 ∀α ＝
æ ｘ１ ö
æ ｘ２ ö
曲面变换之正交变换
曲面变换应用正交变换之详讲摘要：曲面变换之正交变换，保持变换前后的向量内积不变，从而保持向量的长度与夹角不变。
这一刚性性质决定着正交变换有着广泛的应用。
多元函数积分中，运用正交变换进行变量替换是将数学分析与代数方法结合的例证。
本文着重论述正交变换在积分中的应用。
关键词：正交变换变量替换曲线积分曲面积分Surface transform applicationDetails of orthogonal transformation told Abstract：The orthogonal transform, curved transformation of vector before andafter keeping transformation, so as to keep the product remains within the length and Angle vector invariant.This determines a rigid properties of orthogonal transform a wide range of applications.Multivariate function points, the use of orthogonal transform variable replacement is mathematical analysis and algebra to the method and combining with examples.This paper focuses on the application of orthogonal transform in integral.Keywords：Orthogonal transformation Variable replacement Curvilinear integral Surface integral引言：曲线积分和曲面积分中，通过正交变换进行变量替换使得非平面曲线和非平面曲面上的积分化为二维空间上的曲线和曲面积分。
二次曲面方程正交变换
二次曲面方程正交变换
二次曲面方程的正交变换是指将一个二次曲面方程通过线性变换转化成另一个二次曲面方程，而保持二次曲面上任意两条相交曲线的垂直性。
设原二次曲面的方程为：
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 其中 A, B, C, D, E, F, G, H, I, J 是常数。
现在要通过线性变换将指定的二次曲面方程转化成正交的二次曲面方程。
设该线性变换矩阵为 T，原二次曲面方程经过 T 变换后为：
A'x'^2 + B'y'^2 + C'z'^2 + D'x'y' + E'x'z' + F'yz' + G'x' + H'y' + I'z' + J' = 0
其中 A', B', C', D', E', F', G', H', I', J' 是新的常数。
则正交变换的条件是：
D' = E' = F' = 0
也就是说，通过线性变换将一个二次曲面转化成正交的二次曲面方程，需要将原二次曲面方程中的交叉项 Dxy, Exz 和 Fyz 的系数设为零。
这样可以保证新的二次曲面上任意两条相交曲线是垂直的。
一类二次曲面在正交变换作用下的几何解释
一类二次曲面在正交变换作用下的几何解释孙卫卫【摘要】证明并给出了二维空间中一类正交变换的几何意义,并将这一结论推广到三维空间中的一类正交变换;通过三维空间中的此类正交变换的几何意义,得到了一类二次曲面如何由标准的二次曲面旋转而得到的具体过程.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2015(031)005【总页数】3页(P51-53)【关键词】二次曲面;正交变换;二维空间;三维空间;几何意义;特征值;特征向量【作者】孙卫卫【作者单位】青岛理工大学琴岛学院【正文语种】中文【中图分类】O131 二维空间中一类正交变换的几何意义设正交矩阵，并给出正交变换 Y=PX，其中则有如下定理.定理1 正交变换Y=PX相当于在平面直角坐标系中将以原点为起点的向量X沿逆时针方向旋转角度θ得到以原点为起点的向量Y，且‖X‖ =‖Y‖.图1证明如图1所示，逆时针旋转角度θ而得到并保持长度不变，又X=，故Y=PX是将向量X沿逆时针方向旋转角度θ而得到，且‖X‖=‖Y‖.证毕.例1 xy=1是由什么样的二次曲线，并且从几何角度解释它是如何由标准的二次曲线旋转得到的.解令，则xy=1可写为XTAX=1，因为为实对称矩阵，故存在正交矩阵P=有，令X=PY，其中Y=，代入XTAX=1得到，为了方便，去掉变量的下标，即有因此由定理1知xy=1为双曲线，并且它是由双曲线1绕原点逆时针旋转45°而得.2 三维空间中一类正交变换的几何意义设正交矩阵P即向量X、Y为:并给出正交变换Y=PX，则有如下定理.定理2 正交变换Y=PX相当于在空间直角坐标系中保持与x轴夹角不变的情况下，从x轴正向看去，将以原点为起点的向量X沿逆时针方向旋转角度θ得到以原点为起点的向量Y，且‖X‖ =‖Y‖.证明由Y=PX知x1=x，故向量Y与x轴的夹角与向量X与x轴的夹角相同，对于向量X、Y其余的两个分量则有，故由定理1知Y=PX相当于在空间直角坐标系中保持与x轴夹角不变的情况下，从x轴正向看去，将以原点为起点的向量X沿逆时针方向旋转角度θ得到以原点为起点的向量Y，且‖X‖ =‖Y‖.证毕.设正交矩阵:可以将此定理2的结论推广到如下的正交变换Y=P1X与Y=P2X，可有如下结论:正交变换Y=P1X(Y=P2X)相当于在空间直角坐标系中保持与y(z)轴夹角不变的情况下，从y(z)轴正向看去，将以原点为起点的向量X沿逆时针方向旋转角度θ1(θ2)得到以原点为起点的向量 Y，且‖X‖ =‖Y‖.3 一类二次曲面在正交变换下的几何解释给定二次曲面方程为:设方程(1)可等价为:通过计算，A的特征值必有0，并设A的其他两个特征值为λ1、λ2，A为实对称矩阵，故必定存在正交矩阵P，有当A的特征值为0时，可得0的特征向量必定会有一个为，故此正交矩阵可写为以下形式:令X=PY代入方程(2)中得:为了方便可将变量的下标去掉，即有:由定理2的结论可得如下定理.定理3 方程(1)所表示的图形，可由方程(3)所表示的图形按照从z轴正向看去逆时针旋转角度α1而得到.也可将此结论推广到以下形式的二次曲面方程:通过具体例题看定理3如何运用.例2 分析下列方程分别表示什么样的二次曲面，并且从几何角度解释它是如何由标准的二次曲面旋转得到的:解 (1)z=xy，设:则z=xy可写为z=XTAX，因为A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，有:其中通过计算p可写为如下形式:令X=PY，代入z=XTAX得到:把下标去掉即有:因此由定理3知z=xy为双曲抛物面，并且它是由双曲抛物面按照从z轴正向看去逆时针旋转角度45°而得.(2)x=y2+z2+yz+1，设:则x=y2+z2+yz+1可写为x=XTAX+1，因为A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，有:其中通过计算P可写为如下形式:令X=PY，代入x=XTAX+1，得到:把下标去掉即有:因此由定理3知x=y2+z2+yz+1为椭圆抛物面，并且它是由椭圆抛物面按照从x 轴正向看去逆时针旋转角度45°而得.参考文献［1］同济大学数学系.高等数学:下册［M］.北京:高等教育出版社，2007. ［2］华东师范大学数学系.数学分析:下册［M］.北京;高等教育出版社，2010. ［3］徐森林.数学分析:第三册［M］.北京:清华大学出版社，2007.［4］吴赣昌.线性代数:理工类［M］.北京:中国人民大学出版社，2011.［5］黄益生.高等代数［M］.北京:清华大学出版社，2014.［6］杨文茂.空间解析几何［M］.武汉:武汉大学出版社，2004.。
曲面变换之正交变换
曲面变换应用正交变换之详讲摘要：曲面变换之正交变换，保持变换前后的向量内积不变，从而保持向量的长度与夹角不变。
这一刚性性质决定着正交变换有着广泛的应用。
多元函数积分中，运用正交变换进行变量替换是将数学分析与代数方法结合的例证。
本文着重论述正交变换在积分中的应用。
关键词：正交变换变量替换曲线积分曲面积分Surface transform applicationDetails of orthogonal transformation told Abstract：The orthogonal transform, curved transformation of vector before andafter keeping transformation, so as to keep the product remains within the length and Angle vector invariant.This determines a rigid properties of orthogonal transform a wide range of applications.Multivariate function points, the use of orthogonal transform variable replacement is mathematical analysis and algebra to the method and combining with examples.This paper focuses on the application of orthogonal transform in integral.Keywords：Orthogonal transformation Variable replacement Curvilinear integral Surface integral引言：曲线积分和曲面积分中，通过正交变换进行变量替换使得非平面曲线和非平面曲面上的积分化为二维空间上的曲线和曲面积分。
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哈尔滨师范大学 自然科学学报
ＮＡＴ ＵＲ ＡＬ Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ ＮＣＥ Ｓ Ｊ ＯＵＲＮ ＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢＩ Ｎ Ｎ ＯＲＭＡＬ ＵＮ Ｉ ＶＥＲ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
Ｖ ｏ １ ． ３ １ ， Ｎ ｏ ． ５ ２ ０ １ ５
第 ５期
一
类 二 次 曲面 在 正 交 变 换 作 用 下 的 几 何 解 释
＝
，
特征值 为 Ａ 、 Ａ ， ４为实对 称矩 阵 ， 故 必 定存 在 正
角坐 标系 中保 持与 轴 夹 角 不变 的情 况 下 ， 从 方 向旋转 角 度 ０得 到 以原 点 为起 点 的 向量 Ｙ ， 且
ｐ ｒ Ａ ｐ＝ ｌ ０ Ａ ２ ０ ｌ ， ０ ０ ０ ０／ Ｉ ｌ
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４— ０ ６— ０ ３
去 掉 变 量 的 下 标 ， 即 有 ： 譬 一 等 ２ ＝ １ ． 因 此 由 定 理
１ 知 ： １ 为 双 曲 线 ， 并 且 它 是 由 双 曲 线 等 ２ ～ 等 ２ ：
５ ２
哈尔滨师范大学 自然科学学报
２ ０ １ ５年 第 ３ ｌ卷
称 矩 阵， 故 存 在 正 交 矩 阵 Ｐ ＝
（ － ｓ ｉ ｎ ０ ，
‘
（
／‘ ｓ
． ．
） ＝ ｃ ｏ ｓ ４ ５ ｏ － 。 ｓ ｉ ｎ ４ ５ ） ， 有
－ ‘ 一
尸 Ｐ ＝ （ ／ ２ 一 ／ ２ ） ， 令 ＝ Ｐ ｙ ， 其 中 ｌ ， ＝
ｆ ， ０ １
Ｌ 、 １ ／
Ｘ 、 Ｙ 其 余 的 两 个 分 量 则 有
Ｐ ｌ ｓ ｉ ｎ ａ １ Ｃ Ｏ Ｓ ｔ ？ ／ １ ０ ｌ
０ ０ １
（ － ｓ ｉ ｎ ０ ／ （ ｙ ／ 故 由 定 理 １ 知 ｌ ， ＝ Ｐ Ｘ Ｓ Ｎ
ｒ ， ｃ 。 ｓ ｚ — ｓ ｉ ｎ ｚ ０ １
Ｐ ２＝ｌ ｓ ｉ ｎ ０ ７ ｃ ｏ ｓ ０ ２ ０ ｌ
于在 空 间直 角 坐 标 系 中保 持 与 轴 夹 角不 变 的 情况下 ， 从 轴 正 向看 去 ， 将 以原 点 为起 点 的 向 量 沿 逆 时针方 向旋 转 角度 得 到 以原 点 为起点
的 向量 ｙ ， 且 ｌ Ｉ ｌ ｌ＝ ｌ Ｉ ｙ ｌ １ ． 证 毕． 设正 交矩 阵 ：
孙 卫 卫
（ 青岛理工大学琴岛学院 ）
【 摘
要】证明并给 出了二维空间中一类正交变换的几何意义， 并将这一结论
推 广到 三 维 空间 中的一 类正 交变换 ； 通过 三维 空 间 中的 此 类正 交 变换 的 几何 意 义 ，
得 到 了一 类二 次 曲面如何 由标准 的二 次 曲面旋 转 而得 到 的具体 过 程．
ｆ 、 １ ， １ ， ， Ｉ Ｌ ＆Ａ Ｘ ＝ １ 得 到 等 一 ＿ Ｙ ， ２ Ｌ ＝ ｌ ， 为 了 方 便 ，
．
０
ｌ
一
，
图 １
证 明Ｐ （ ） 一 （ ｃ ｉ ｏ ｎ ｓ Ｏ ／ ， ， Ｐ （ ） ＝ （ － 。 ｓ ｉ ｎ ） ．
１ 绕 原点 逆时针 旋 转 ４ ５ 。 而得．
２ 三维 空 间 中一类 正 交 变换 的几
何 意义
＝ ｌ ａ ≯ ｌ ａ １ ： ２
ｚ＝Ｘｒ Ａ Ｘ ＋ｄ １
＝ Ｉ Ｉ
（ ２ ）
ｆ ， ０ 一 ｏ Ｐ ＝ ｔ Ｉ ． ０ ｏ ｃ ｓ ｏ ｉ ｎ ｓ 一 ｃ ｏ ｓ ｉ ｎ ０ ／ ， ， Ｘ ＝ （ Ｉ Ｙ ］ Ｉ ， ＝ ｃ Ｉ ＼ ｙ ｚ ］ ／ Ｉ
ｃ ｏ ｓ Ｏ １ ０ 一ｓ ｉ ｎ ０ １ 、
Ｊ
：Ａ １ ＋Ａ ２ ＋ｄ １
（ ３ ）
Ｐ ｌ＝１ ０
．
１
０ Ｉ ，
ｃ ｏ ｓ ０ １
＝
￣ ｓ ｉ ｎ ０ｌ ０
ｂ ｎ Ｙ 。＋６ ２ ２ ｚ ＋２ ｂ １ ２ ｙ ｚ＋ｄ ２
（ ４ ） （ ５ ）
【 关键词 】 二 次曲面； 正交变换 ； 二维空间； 三维空间； 几何意 义； 特征值 ； 特征
向量
中图分类号 ： Ｏ １ ３ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ０— ５ ６ １ ７ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ５—０ ０ ５ １ — ０ ３
如 图 所 示 ， Ｐ （ ） ， Ｐ （ ） 是 将 （ 三 ） ， （ ） 逆 时
１ 二维 空间 中一类正 交变换 的几何
意 义
针旋转 角度 ０而得到并保持长度不变 ， 又Ｘ＝
（ ） ＋ ｙ （ ） ， 故 ｙ ＝ 是 将 向 量 沿 逆 时 针 方
ｌ Ｊ Ｘ Ｊ ｌ＝ Ｉ Ｊ ｙ ｌ Ｊ ． 证 毕．
且 设 正 交 矩 阵 Ｐ ＝ （ 、 。 ｓ ｉ ｎ 一 Ｃ Ｏ ｓ Ｓ ｉ １ ／ ， 并 给 出 正 向旋转 角度 而得 到 ，
方 向旋转 角度 ０得 到 以原 点 为起 点 的 向量 Ｙ ， 且
ｌ Ｉ Ｘ Ｉ ｌ： Ｉ ｌ Ｙ ｌ Ｉ ．
／Ｊ
解令 ＝ （ ＼ 。 １ ／ ２ ０ ） ， ， ＝ （ ＼ ： ｖ ） ， ， 贝 ｕ ， ， ＝
ｌ 可 写 为 ＝ １ ， 因 为 Ａ ： （ ： ／ ２ ／ ２ ） 为 实 对
交 变 换 Ｙ ＝ Ｐ Ｘ ， 其 中 ｙ ＝ （ ： ） ， ＝ （ ） ， 则 有 如
下定 理．
例１ ｘ ｙ＝１ 是 由什么样 的二次曲线 ， 并且 从几何角度解 释它是如何 由标准 的二次 曲线旋 转 得到 的．
定理 １ 正交变换 Ｙ＝Ｐ Ｘ相 当于在平面直 角 坐标 系 中将 以 原 点 为起 点 的 向量 Ｘ沿 逆 时针