微积分证明不等式方法
「用微积分理论证明不等式的方法02762」
「用微积分理论证明不等式的方法02762」微积分作为数学的一个重要分支,广泛应用于各个领域。
在证明不等式时,微积分理论可以提供很多有用的方法和手段。
下面,将介绍一些常用的用微积分理论证明不等式的方法。
一、用函数的单调性函数的单调性是研究不等式的一个重要工具。
对于单调递增的函数,可以利用其性质来证明不等式。
设函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,若有a≤x<y<b,则有f(a)≤f(x)<f(y)≤f(b)。
同时,根据单调递增函数的性质,对于任意的a<b,有f(x)<f(y),那么对应的不等式也成立。
例如,要证明在区间[0,1]上,f(x)=x(1-x)<1/4,可以利用函数f(x)在该区间上的单调递增性。
当x<1/2时,有f(x)<f(1/2)=1/4;当x>1/2时,有f(x)<f(1/2)=1/4,因此不等式f(x)<1/4在区间[0,1]上成立。
二、用导数或微分的性质导数和微分是微积分的基本概念,它们对研究不等式也起到很大的作用。
通过研究函数的导数或微分的性质,可以得到不等式的证明。
例如,要证明在区间(a,b)上f(x)≤g(x),可以研究函数h(x)=f(x)-g(x),若能证明h(x)≤0,则不等式成立。
对h(x)求导,然后研究导数的正负性即可。
又如,要证明不等式f(x)≥g(x),可以考虑函数h(x)=f(x)-g(x),若能证明h'(x)≥0,则不等式成立。
通过导数或微分的性质,可以简化不等式的证明过程。
三、用积分的性质积分是微积分的重要工具之一,它在证明不等式中也有广泛的应用。
常用的方法有利用积分的性质来证明不等式的区间逐点性、平均值和中值定理等。
例如,若要证明在区间[a,b]上的函数f(x)满足不等式f(x)≥0,可以考虑利用积分的区间逐点性。
即对于任意一个x∈[a,b],都有f(x)≥0成立。
又如,若要证明函数f(x)在[a,b]上的平均值大于等于左端点和右端点的函数值之间的平均值,即(∫[a,b]f(x)dx)/(b-a)≥(f(a)+f(b))/2,可以利用积分的性质,将该不等式转化为函数f(x)-(f(a)+f(b))/2的积分大于等于0,然后再进行证明。
积分不等式证明
积分不等式证明
摘要:
1.积分不等式的基本概念
2.积分不等式的证明方法
3.积分不等式的应用案例
正文:
一、积分不等式的基本概念
积分不等式是微积分学中的一个重要分支,主要研究函数在一定区间上的积分值与其在某些子区间上的积分值之间的关系。
积分不等式在数学分析、物理学、经济学等领域中有着广泛的应用。
二、积分不等式的证明方法
积分不等式的证明方法有多种,主要包括以下几种:
1.直接证明法:通过直接计算和化简,得到积分不等式的证明。
2.间接证明法:通过构造辅助函数或引入参数,将积分不等式转化为简单的不等式或恒等式,从而证明原积分不等式。
3.反证法:假设积分不等式不成立,通过推导出矛盾的结论,从而证明原积分不等式成立。
三、积分不等式的应用案例
积分不等式在实际应用中有很多案例,以下举一个简单的例子:
设函数f(x) = x^2 - x + 1,求解以下积分不等式:
∫(x^2 - x + 1) dx >= 2
解:首先对函数f(x) 求积分,得到F(x) = 1/3 * x^3 - 1/2 * x^2 + x +
C。
将上界和下界代入F(x),得到F(2) = 7/3,F(0) = 1。
因此,∫(x^2 - x + 1) dx >= 2 等价于∫(x^2 - x + 1) dx - 2 >= 0。
将F(x) 代入得到:(1/3 * x^3 - 1/2 * x^2 + x) | - 2 >= 0,化简得到x^2 - x + 1 >= 0。
由于该不等式恒成立,所以原积分不等式也成立。
微积分法证明不等式
微积分法证明不等式
微积分法是一种强大的工具,可以用来证明各种不等式,包括在数学中最常见的不等式。
下面我们将着重介绍微积分法证明不等式的步骤和方法。
首先,给出待证明的不等式,并按照其数学符号和形式写出来,例如:f(x)≥g(x)。
其次,使用微积分法证明不等式,可以使用下面这几种方法:
(1)定积分法:
定积分法是指定义一个函数的积分,根据不等式的给定条件来确定积分的范围,然后用定积分公式,即积分的上下限,把函数的积分计算出来,从而证明不等式。
例如,当下限是a,上限是b时,可以用定积分法证明不等式:f(x)≥g(x),可以把它写成∫a b f(x)dx
≥∫a b g(x)dx。
(2)不定积分法:
不定积分法是指不确定积分的范围,而是采用一些技巧来求解一个未给定的积分。
通常是不定积分,但也有一些情况可以使用定积分,从而证明不等式。
例如,当未给定积分的范围时,可以用不定积分法证明不等式:f(x)≥g(x),可以把它写成∫f(x)dx≥∫g(x)dx。
(3)柯西不等式:
柯西不等式是一种常用的证明不等式的方法,例如,可以使用柯西不等式来证明不等式:f(x)≥g(x),可以把它写成f(x)-g(x)≥0。
该不等式只要满足柯西不等式的条件,就可以证明f(x)≥g(x)。
最后,以上是微积分法证明不等式的步骤和方法。
只要使用此方法,就可以更准确地证明不等式,从而解决一些严苛的数学问题。
构造函数法证明泰勒展开不等式的八种方法
构造函数法证明泰勒展开不等式的八种方
法
泰勒展开定理是微积分中一个非常重要的定理,它可以将一个函数在某一点附近展开为无穷的多项式和。
在实际应用中,我们经常需要保留部分项,将函数近似表示,而泰勒展开就可以很好地满足我们的需求。
本文将介绍泰勒展开不等式的八种证明方法,其中均使用了构造函数的方法。
1. 利用 $(1+x)^n$ 的二项式展开式证明。
2. 利用 $e^x$ 的泰勒展开式证明。
3. 利用 $\ln (1+x)$ 的泰勒展开式证明。
4. 利用 $\int_0^x \cos t^2 dt$ 的收敛性证明。
5. 利用 $\int_0^x e^{-t^2} dt$ 的平方证明。
6. 利用 $\tan^{-1} x$ 和 $\tanh^{-1} x$ 的泰勒展开式证明。
7. 利用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的泰勒展开式证明。
8. 利用 $\int_0^1 x^p (1-x)^q dx$ 的收敛性证明。
这八种证明方法各有不同的特点和难度,涉及到的数学知识也
各有侧重。
但它们都使用了构造函数的方法,通过寻找适当的函数,将展开式转化为极限形式或积分形式,然后进一步证明不等式的成立。
总之,泰勒展开定理和泰勒展开不等式是数学中非常重要的工具,它们不仅有着重要的理论价值,在工程和自然科学中也有着广
泛的应用。
用拉格朗日中值定理证明不等式
用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理,它通常用于证明不等式。
下面我们将介绍如何用拉格朗日中值定理证明不等式。
首先,让我们回顾一下拉格朗日中值定理的表述:设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上具有一阶和二阶导数,则存在一个$xiin(a,b)$,使得$f(b)-f(a)=f'(xi)(b-a)$,或者写成$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$,其中$c$介于$a$和$b$之间。
现在,我们来考虑如何用拉格朗日中值定理证明不等式。
假设我们要证明一个形如$a<b$的不等式,我们可以先将不等式化简为$f(b)-f(a)>0$的形式,其中$f(x)$是某个函数。
然后,我们可以找到一阶导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$,并使用拉格朗日中值定理来得到:$f(b)-f(a)=f'(xi)(b-a)$由于$a<b$,所以$b-a>0$,因此我们可以将式子改写为:$frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(xi)>0$由此可见,不等式成立当且仅当$f'(xi)>0$,即函数$f(x)$在$(a,b)$上单调递增。
因此,我们可以通过证明函数$f(x)$在$(a,b)$上单调递增来证明不等式。
例如,考虑证明$x^2+1>2x$。
我们可以定义$f(x)=x^2-2x+1$,则不等式可以写成$f(x)>0$的形式。
我们发现$f'(x)=2x-2$和$f''(x)=2$都存在,因此我们可以使用拉格朗日中值定理得到:$f(x)-f(0)=f'(xi)x$当$x>0$时,由于$f'(x)=2x-2>0$,因此$f(x)>f(0)$,即$f(x)-f(0)>0$。
当$x<0$时,由于$f'(x)=2x-2<0$,因此$f(x)<f(0)$,即$f(x)-f(0)<0$。
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧导数是微积分中的一个重要概念。
它可以描述函数在各个点上的变化率,也可以用来求函数的最大值、最小值以及拐点等重要信息。
而构造函数则是数学中一种非常常见的证明不等式的方法。
本文将介绍一些常用的导数和构造函数证明不等式的技巧。
一、使用导数证明不等式1. 求导数确定函数的单调性对于一个函数$f(x)$,如果它在某个区间上的导数$f'(x)$大于0,说明它在该区间上单调递增;如果导数$f'(x)$小于0,则说明它在该区间上单调递减。
因此,如果要证明一个不等式在某个区间上成立,可以先求出函数在该区间上的导数,确定其单调性,然后再比较函数在两个端点处的取值即可。
例如,对于函数$f(x)=x^2-4x+3$,我们可以求出它的导数为$f'(x)=2x-4$。
由于$f'(x)>0$时$f(x)$单调递增,因此当$x<2$时,$f(x)<f(2)$,当$x>2$时,$f(x)>f(2)$,即$f(x)$在$x<2$和$x>2$的区间上都小于$f(2)$,因此我们可以得到不等式$f(x)<f(2)$,即$x^2-4x+3<1$。
2. 求导数判断函数的最值对于一个函数$f(x)$,如果它在某个点$x_0$处的导数$f'(x_0)=0$,且$f^{''}(x_0)>0$(即$f(x)$的二阶导数大于0)则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最小值;如果$f^{''}(x_0)<0$,则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最大值。
因此,如果要证明一个不等式最值的存在性,可以先求出函数的导数,再找出导数为0的点即可。
3. 构造特殊的函数如果一个不等式的两边都是多项式,可以考虑构造一个较为特殊的函数,来证明不等式的成立性。
例如,对于不等式$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\leq\dfrac{3}{2\sqrt[3]{abc}}$,我们可以考虑构造一个函数$f(x)=\dfrac{1}{a+b+x}+\dfrac{1}{b+c+x}+\dfrac{1}{c+a+x}-\dfrac{3}{2\sqrt[3]{(a+x)(b+x)(c+x)}}$,并证明$f(x)\leq 0$。
终稿 微积分在证明不等式中的应用
Key words: Calculus; proof ;Inequality; Application
引言 不等式是数学中的重要内容之一,它反映了各个变量之间很重要的一种关
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系。它的证明在数学中起着重要作用,既能丰富数学知识,又能发展数学逻辑思 维能力。证明不等式没有固定的模式,方法因题而异,灵活多变,技巧性强。 运用初等数学知识能证明一些不等式,但对于另一些不等式的证明,比如 积分不等式,以及简化一些不等式证明,则需要借助高等数学知识。作为高等数 学的核心 ———微积分就是一种实用的证明不等式的方法。 1. 证明不等式的常用方法 证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒等不等式进行合乎逻辑 的等价变换。具体的方法很多,下面着重介绍最基本两种———比较法、公式法.。 1.1 比较法 欲证 A ≥ B , (ⅰ)只要证明 A − B ≥ 0 ; (ⅱ)如果 A > 0, B > 0 ,只要证明
目 录
摘要 ............................................................................................ 1 引言 ............................................................................................ 1 1. 证明不等式的常用方法 ....................................................... 2 1.1 比较法 ........................................................................... 2 1.2 公式法 ........................................................................... 3 2. 微分在证明不等式中的应用 ............................................... 5 2.1 利用函数的单调性 ....................................................... 5 2.2 利用函数的极值与最值 ............................................... 7 2.3 利用微分中值定理 ....................................................... 8 2.4 利用函数的凹凸性 ..................................................... 11 2.5 利用泰勒公式 ............................................................. 13 3. 积分在证明不等式中的应用 ............................................. 16 3.1 利用积分性质 .............................................................. 16 3.2 利用积分中值定理 ..................................................... 17 3.3 利用变限积分函数 ..................................................... 18 3.4 利用柯西—施瓦兹不等式 ......................................... 19 参考文献 .................................................................................. 21 致谢 .......................................................................................... 21
最新利用微积分证明不等式
利用微积分证明不等式摘要对于不等式证明的方法有很多,利用微积分的知识来证明不失为一个简单易掌握的方法,本文应用微积分的有关概念、定理、典型实例,对不等式证明的微积分方法进行了探究与归纳。
关键词不等式;导数;定积分引言不等式中蕴藏着丰富的数学思想和方法.例如,数形结合的思想,转化的思想,类比的思想,分类讨论思想,建模的思想.不等式同时也是高中知识的一个重要的章节,高中时就学习了很多基本的不等式证明方法.例如,求导证明,利用简单的微积分证明.不等式的证明在高等数学中占有很重要的地位,是教学的一个重点,也是学习的一个难点,本文应用微积分的有关概念,定理,结合典型实例,对不等式证明的微积分方法进行了探究与归纳.1.利用微分中值定理(拉格朗日中值定理)证明不等式定理1[1]若函数f满足如下条件:(ⅰ)f在闭区间[,]a b上连续,a b内可导,(ⅱ)f在开区间(,)则在(,)a b内至少存在一点 ,使得'()()()f b f a f b aξ-=- 这里没有给出ξ的确切位置,而对于不等式而言,也不必精确.因此可用中值定理证,这时的关键是选择()f x 及区间[,]a b .例1.1 若0b a <≤,试证ln a b a a b a b b--≤≤. 证 设()ln f x x =.当0b a <≤时,()f x 在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理, 所以1ln ln ()a b f a b ξξ-'==- ()b a ξ<≤, 而111a bξ≤≤ (0)b a <≤, 1ln ln 1a b a a b b-≤≤-. ln ln a b a b a b a b--≤-≤, 于是ln a b a a b a b b--≤≤. 例1.2 若x>0,试证:ln(1)1x x x x<+<+. 证 设()ln(1)f x x =+ (0)x >,因()f x 在[0,]x 上满足拉格朗日中值定理,1ln(1)ln(10)ln(1)()10x x f x xξξ+-++'===+-所以. 又111x ξ<+<+,11111x ξ<<++于是1ln(1)11x x x +⇔<<+. 即ln(1)1x x x x<+<+. 利用微分中值定理证明不等式时,要抓住定理的核心,在满足定理的两个条件下,主要是利用“存在一点(,)a b ξ∈”,即a b ξ<<来确定不等式关系,关键是根据'()()()f b f a f b aξ-=-对照要证的不等式来确定函数()f x 和区间[,]a b . 2.利用函数的单调性证明不等式函数的单调性,在微积分中用导数来判定.定理2[2] 设函数在区间[,]a b 上可导,如果对任意的(,)x a b ∈,恒有()0f x '>(或()0f x '<)则f(x)在(,)a b 内单调增加(或单调减少).例2.1[3] 证明不等式2ln(1)2x x x x -<+<,其中0()ln(1)x g x x x >=+-设. 证 (i)设2()ln(1)2x f x x x =--+. 当x>0时,21()1011x f x x x x'=--=-<++. ()f x ∴∞在(0,+)单调减少. (0)0f =又 2()(0),ln(1)2x f x f x x ∴<-<+即. (ii)()ln(1)g x x x =+-设 当101x x'-=-<+1x>0时,g (x)=1+x , ()(0,)g x ∴+∞在单调递减.()(0),()(0,)g x g g x ∴<+∞即在上单调减少.ln (1)0x x x +-<即,20,ln(1)2x x x x x >-<+<因此时. 例2.2[4] 证明:30,sin 3!x x x x ≥≥-当时有. 证 设3()sin 3!x f x x x -+=.2()cos 12x f x x '∴-+=. (无法判断()f x '的符号) ()sin f x x x ''=+又 0sin x x x ≥≤而时()0f x ''≥0x =(只当时等号成立).()(0,)f x '+∞所以在单调增加,()(0)0f x f '>=有,()(0,)f x +∞在单调增加,0,()(0)0x f x f >>=, 即3sin 3!x x x ≥-. 利用函数的单调性证明不等式时,首先要根据不等式构造函数()y f x =,这是解题的关键.此时,只须证明()0f x >或()0f x <,而要证明()0f x >或()0f x <,首先求()f x ',判断()0f x '>还是()0f x '<再使用定理.3.利用泰勒公式证明不等式一般涉及到高阶导数时可用泰勒公式(或麦克劳林公式).定理3[1](泰勒定理) 若函数f 满足如下条件:(i)在开区间(,)a b 上函数f 存在直到n 阶导数,(ii) 在闭区间[,]a b 上存在 f 的n+1阶导数,则对任何(,)x a b ∈,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得2()()()()()()...2!f a f x f a f a x a x a '''=+-+-+ (1)1()()()().!(1)!n n n n f a f x a x a n n ξ+++-+-+ 例 3.1 若在(,)a b 内()0f x ''≥,则对(,)a b 任意几个点12,,...n x x x ,试证有不等式1212...1()(()()...())n n x x x f f x f x f x n n+++≤+++. 证 将()f x 介在120...n x x x x n+++=展开,0x x ξ介于与之间, 有200001()()()()()()2f x f x f x x x f x x ξ'''=+-+-. ()0f x ''≥因,000()()()()f x f x f x x x '∴≥+- (1)对(1)式中分别取12,,...n x x x ,得到000()()()()i i f x f x f x x x '≥+- i =1,2,…n. 将上面的n 个不等式两边分别相加得00011()()()()n n i i i i f x nf x f x x x =='≥+-∑∑001200()()(...)()n nf x f x x x x nx nf x '=++++-=011()()ni i f x f x n =∴≤∑, 即1212...1()(()()...())n n x x x f f x f x f x n n+++≤+++. 例3.2 设x >-1,证明(i )在01α<<,(1)1x x αα+≤+;(ii)在a<0或a>1时,(1)1x x αα+≥+.证 设()(1)f x x α=+, 1()(1)f x x αα-'=+则.2()(1)(1)f x a x αα-''=-+,则()f x 的麦克劳林展式为21()(0)(0)()2f x f f x f x ξ'''=++ ξ介于0与x 之间. 即221(1)1(1)(1)2x x x αααααξ-+=++-+ . (2) (i )01α<<时,(2)式第三项非正.∴(1)1x x αα+≤+.(ii) 在a<0或a>1时, (2)式第三项非负.泰勒定理的适用范围是不等式中含有的函数易求出它的泰勒展开式,从而利用它的局部展开式证明不等式.4.利用函数的凹凸性证明不等式由定义及判别法有:()f x 在某区间上凹(或下凹)⇔ ()0(()0)f x f x ''''><或,也即122...()[()()...()]n n x x x f f x f x f x n+++<+++ (或122...()[()()...()]n n x x x f f x f x f x n +++>+++), 由此可证明一些不等式,特别是含两个或两个以上变元的.例4.1[3] 已知0,1,2....i x i n >=,且123...1n x x x x =.试证:123...n x x x x n ++++≥.证 令()ln (0)f x x x =>, 1()f x x '=则,21()0f x x''=-<. ()(0,)f x ∴+∞在下凹.1212...()[()()...()n n x x x f f x f x f x n+++≥+++即, 1212...11ln()(ln ln ...ln )ln10n n x x x x x x n n n+++≥+++==, 12...1n x x x n+++∴≥. 123...n x x x x n ++++≥.例4.2 证明:1()(),0,0,,122n n n x y x y x y x y n +<+>>≠>证 设()n f u u = , 2()(1)0n f u n n u -''=->()(0,),f x x y x y ∴+∞≠在上凹的对,两点有,1()(()())22x y f f x f y +<+,即1()()22n n n x y x y +<+. 5.利用积分知识证明不等式性质1[3] 设(),()f x g x 在区间[,]a b 上都是可积函数,如果在区间[,]a b 上满足()()f x g x ≤,则有()()b ba a f x dx g x dx ≤⎰⎰.例5.1 ln(ln(1x -≥-+(1)x ≥.证 11|1x x t ==+⎰11ln(|ln(ln(1xx t x =+=+-+⎰.1t ≥≥又, 根据性质1,1x⎰≥1x ⎰.ln(ln(1x ≥-+(1)x ≥.使用性质1证明不等式时,要将不等式两端的式子表示成同一区间上两个函数的定积分,这时,只须比较这两个函数在区间上的大小,在利用定积分的性质.性质2 如果()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值分别为M 和m ,则()()()ba mb a f x dx M b a -≤≤-⎰. 例 5.2[2] 已知()f x 在x -∞≤≤+∞内连续,1()()(0)2x a x a F x f t dt a a+-=>⎰,设()f x 在区间[,]x a x a -+内的最大值和最小值分别为M ,m .试证:|()()|F x f x M m -≤-.证 当1x a x a -<<+时,由性质2得2()2x ax a m a f t dt M a +-⋅≤≤⋅⎰.()m F x M ∴≤≤.又()m f x M ≤≤()M f x m ∴-≤-≤-.()()()M m F x f x M m ∴--≤-≤-.即|()()|F x f x M m -≤-.结语:高等数学中证明不等式的方法很多,利用微积分证明有时候可以将复杂繁冗的问题变的简单明了.本文针对微积分学中证明不等式的5种方法,进行了初步的思考与探究,并对运用某种方法给出了一定的结论.其实,对于一个不等式来说,可以用多种方法予以证明,对于一个学习数学的人来说,能够找到解决问题的最简单的方法就是好方法,而利用微积分往往能让问题变的简单起来.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.10.[2]尹建华.利用微积分证明不等式[J]. 承德民办师专学报.2001,5.第21卷2期:8-9.[3]吴江.微积分在不等式证明中的应用[J].北京市计划劳动管理干部学院学报.2001.第9卷(3期):44-46.[4]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1992,7.TheProveOfInequationByMeamsOfCalculous AndDifferentialYu Jian Sheng Tutor, Wu XiaoAbstract: There are many ways to prove inequation. It is a simply way to use the knowledgeof calculous and differential to prove inequation.This paper is adopted some concepts, theorems of calculous and differential, and typical examples, and the conclusion to explore and summarize the prove of inequation by means of using calculous is obtained.Keywords: inequation; derivative; calculous;differential论文题目利用微积分证明不等式院别数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级 2004级学号 200424011138学生姓名余建生指导教师吴晓完成时间2008 年 4月。
微积分中不等式的证明方法
微积分中不等式的证明方法微积分中的不等式证明方法有很多种,下面将介绍其中一些常见的方法。
1.代数证明法代数证明法是一种以代数运算为主要手段来证明不等式的方法。
在证明中,可以使用代数运算的性质,如加减乘除、平方、开方等。
例如,要证明一些不等式:a + b ≥ 2√(ab),可以通过代数推导来证明。
首先,将不等式两边平方,得到(a + b)² ≥ 4ab。
展开并化简之后,得到a² + 2ab + b² ≥ 4ab,再将其中的2ab移到左边,得到a² -2ab + b² ≥ 0,即(a - b)² ≥ 0。
由于平方的结果非负,所以不等式成立。
2.数列证明法数列证明法是一种通过构造适当的数列来证明不等式的方法。
在证明中,可以通过构造递推式或者利用数列的性质来得到结论。
例如,要证明一些不等式:n² ≥ n,可以通过构造递推数列来证明。
考虑数列an = n,其中n为正整数。
可以发现,数列an是单调递增的。
当n = 1时,显然有1² ≥ 1成立。
假设当n = k时,不等式成立,即k² ≥ k。
则当n = k + 1时,由于an是单调递增的,显然有(k + 1)²≥ k + 1、因此,根据数列证明法,不等式n² ≥ n成立。
3.函数证明法函数证明法是一种通过构造适当的函数来证明不等式的方法。
在证明中,可以通过研究函数的性质,如函数的单调性、极值等来得到结论。
例如,要证明一些不等式:(1+x)²≥1+2x,可以通过构造适当的函数来证明。
考虑函数f(x)=(1+x)²-1-2x,可以研究函数f(x)的性质。
首先计算函数f(x)的导数,得到f'(x)=2(1+x)-2=2x。
由于导数为正,说明函数f(x)单调递增。
此外,由于f(0)=0,所以函数f(x)在x=0处取得最小值。
因此,对于所有x≥0,有f(x)≥0,即(1+x)²≥1+2x。
微积分在不等式证明中的应用探究
微积分在不等式证明中的应用探究微积分是一门非常重要的数学分支,其在数学、物理、工程以及经济学等各个领域都有广泛的应用。
在不等式证明中,微积分也有着很大的作用,可以帮助我们更好地理解和证明不等式。
本文将探讨微积分在不等式证明中的应用。
一、不等式证明的基本思路不等式证明是数学中的一个重要问题,它的基本思路是通过变形来证明不等式的成立。
通常,我们可以将不等式转化成一个函数的形式,然后利用微积分的思想对函数进行研究,进而得到不等式的证明。
二、微积分在不等式中的应用微积分在不等式证明中有着广泛的应用,下面列举几个例子来说明。
1. 极值法极值法是一种常用的证明不等式的方法。
当我们要证明一个不等式时,我们可以先找到函数的极值点,然后利用函数在极值点处的取值来说明不等式成立。
具体实现方法如下:假设有不等式a≤f(x)≤b,其中f(x)为函数,a、b为已知数。
我们可以通过求解f(x)的导数来找到极值点。
假设f(x)的导数为0,即f'(x)=0,则f(x)在x处取得极值。
根据极值的定义,我们知道当f(x)在极值点处取到最大值或最小值时,不等式a≤f(x)≤b都会成立。
例如,要证明不等式sinx≤x(0≤x≤π/2),我们可以定义函数f(x)=x-sinx,然后求出f'(x)=1-cosx。
当f'(x)=0时,即cosx=1,这时f(x)的极小值为0,因此sinx≤x成立。
2. 积分法积分法也是证明不等式的一种重要方法。
具体方法如下:假设有不等式a≤f(x)≤b,其中f(x)为函数,a、b为已知数。
我们可以通过积分来获得f(x)在[a,b]上的取值。
具体来说,我们可以定义函数g(x)为a≤g(x)≤b且f(x)≤g(x),然后计算g(x)在[a,b]上的积分,即∫[a,b]g(x)dx。
由于a≤f(x)≤g(x)且g(x)在[a,b]上的积分一定小于等于f(x)在[a,b]上的积分,因此就能证明不等式的成立。
微积分的妙用——不等式的证明的又一利器
不 足. 有其 他 方 法 吗 ?笔 者 通 过 反 复 摸 索 , 终 发 还 最
现, 只要将 微 积 分 的相 关 知 识 用 来 证 明 不 等 式 , 得 用 恰 到好处 , 会 让 人 产生 茅 塞 顿 开 的 感 觉. 者 在 3 就 笔
个方 面进 行 了…些 尝试 : 一 1 巧 用 极 限 来 证 明 不 等 式
例 2 设 。 0 + 6=1 q 0 求 证 : ,> , = ,> , =
( + a
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2 i z— sn 一 2 i 1 ( sn i sn 1
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即
1 2 i s n z 、 3 sn 1z— i
类 似 的试 题在 高考 中 已频 频 出现 . 类 试 题 多借 这
助于 导数 的正负 来判 断 函数 的增 减性 ( 引导 题 中 的 如
() , 1 )或极点来解答( 如该题中的( ). 2 ) 也有将二者兼
容起来 的( ( ) 先 观 察 f ( ) ( 1 一i 可 如 3: z 一 z一 ) nz, 发 现其在 ( , 0 ) 为 减 函数 , 而 n 3时 , < 内 从 ≥ o
z ()… < 寻。 , ,
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n 3 ,( 吉 > ,理 n +)iz音 ・  ̄ 1 f 1 )0 得ln 1 n< ) J z+ J 同 ( 一,
除此 之外 , 数 在 证 明 不 等 式 方 面 , 有 2个 方 导 还
泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用
泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用泰勒公式和拉格朗日中值定理是微积分中常用的重要工具,它们在证明不等式中有很多简单应用。
下面将分别介绍泰勒公式和拉格朗日中值定理,并给出一些简单的不等式应用例子。
一、泰勒公式泰勒公式是描述函数在一些点附近的近似表达式。
对于一个函数f(x),如果它在一些点a处具有n+1阶可导,那么根据泰勒公式,我们可以得到以下的展开式:f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中,R_n(x)是拉格朗日余项,并且满足以下形式:R_n(x)=f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!泰勒公式的一个直接应用就是可以用它来证明不等式,我们可以通过展开函数,对比系数,再将恒等式转化为不等式,来获取我们想要的结论。
例如,我们想要证明在[0,1]区间上,e^x>=1+x+x^2/2,可以使用泰勒公式展开e^x,然后对比系数:e^x=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+R_n(x),(n≥2)对于n=2,展开式为:e^x=1+x+x^2/2+R_2(x)我们知道e^x是递增的函数,所以对于x∈[0,1],e^x的取值在[1,e]之间。
而对于1+x+x^2/2,将x替换为1,可以得到2.5、所以我们只需要证明对于[0,1]区间内的x,有2.5>=e^x即可。
假设在[0,1]区间内存在一些点c,使得R_2(c)=e^c-(1+c+c^2/2)>0,即e^c>1+c+c^2/2、由于R_2(c)的形式具有e^c的余项特征,我们可以使用拉格朗日中值定理来讨论。
根据拉格朗日中值定理,存在一个点d∈(0,c),使得R_2(d)=R_2(c)-R_2(0)=e^c-(1+c+c^2/2)-2<=0。
e的x次方大于x加一的证明
e的x次方大于x加一的证明
要证明e的x次方大于x加一,我们可以采用多种方法,下面
我将从不同角度来回答这个问题。
首先,我们可以使用微积分的知识来证明这个不等式。
考虑函
数f(x) = e的x次方 x 1。
我们可以计算f'(x)(即f(x)的导数)
为e的x次方 1。
根据导数的定义,当x大于0时,f'(x)大于0,
这意味着f(x)在x大于0的区间上是单调递增的。
另外,当x等于
0时,f(0) = e的0次方 0 1 = 1大于0。
因此,根据导数的性质
和函数在特定点的取值,我们可以得出结论,对于所有的x大于0,e的x次方都大于x加一。
其次,我们还可以使用级数展开来证明这个不等式。
根据级数
展开,e的x次方可以表示为1 + x + x的平方/2 + x的立方/6
+ ...。
而x加一可以表示为1 + x。
显然,e的x次方的级数展开
包含了更多的正数项,因此e的x次方大于x加一。
此外,我们还可以利用e的定义来证明这个不等式。
e是自然
对数的底,它的数值约等于2.71828。
当x大于0时,e的x次方表
示的是增长的量,而x加一只是x增加了1。
由于e是一个超越数,
它的增长速度是非常快的,因此e的x次方会迅速超过x加一。
综上所述,我们可以从微积分、级数展开和e的定义三个角度来证明e的x次方大于x加一。
这些方法都充分证明了这个不等式的成立。
希望这些解释能够帮助你理解并满足你的要求。
微积分在不等式中的应用
微积分在不等式中的应用摘要微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科,内容主要包括:微分、积分及其应用。
微积分是与应用联系着发展起来的,微积分的发展极大的推动了数学的发展。
不等式是数学学科中极为重要的内容,证明不等式的方法多种多样,有些不等式用以前学习的方法来证明比较麻烦,其证明通常不太客易。
本文回顾了几种常用的证明不等式的初等方法,利用微分中值定理、函数的单调性、极值(最值)的判定法、函数凸凹性质、泰勒公式、定积分的性质等一些微积分知识探究了不等式的证明方法,本文探讨了如何巧妙利用微积分中的知识和方法来解决一些不等式的问题。
用微积分证明不等式成立, 基本思路是构造一个辅助函数,把不等式的证明转化为利用微积分来研究函数的形态,然后利用微积分求出该函数的性质来证明不等式。
希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与不等式的密切关系,让大家能意识到理论与实际结合的重要性。
关键词:微积分;不等式;证明;应用AbstractThe calculus is study on the function of Higher Mathematics in the differential, integral and relevant concepts and applications of mathematics branch. It is a basic discipline of mathematics, mainly including: differential, integral and its application. Calculus develops with the application, the development of calculus greatly promoted the development of mathematics. Inequality is a very important content in mathematics, the various methods to prove inequality, some methods of inequality by the previous study to prove troublesome, it is usually not too easy.This paper reviews the elementary methods to prove inequality, the use of differential mean value theorem, the monotone of the function, extreme( maximum ) determination method, convex-concave function, the Taylor formula, the definite integral, some knowledge of calculus method to prove inequality, this paper discusses how to skillfully use the knowledge and method of the calculus to solve some of the problems of inequality. Using calculus to prove inequality, the basic idea is to construct an auxiliary function, the proof of inequality into to study function using calculus form, then use the calculus calculate the properties of the function to prove inequality. Hope that through this paper can make people aware of the close relationship between calculus and inequality, Let us be aware of the importance of integrating theory with practice.Keywords: calculus; inequality; prove; application目录摘要 (I)Abstract (II)1绪论 (4)1.1学术背景 (4)1.2微积分的实践意义 (4)1.3国内外研究现状 (5)1.4课题研究的主要内容 (5)2微积分 (6)2.1微积分定义 (6)2.2微积分的发展史 (7)2.3本章小结 (8)3微积分在不等式中的应用 (9)3.1利用微分中值定理证明不等式 (9)3.1.1微分中值定理(拉格朗日中值定理) (9)3.1.2微分中值定理在不等式中的应用 (9)3.2利用函数的单调性证明不等式 (10)3.2.1函数的单调性 (10)3.2.2函数单调性在不等式中的应用 (10)3.3利用函数的极值(最值)证明不等式 (11)3.3.1函数的极值定理 (11)3.3.2函数极值在不等式中的应用 (12)3.4利用函数的凹凸性质证明不等式 (13)3.4.1函数的凹凸性质 (13)3.4.2函数的凹凸性质在不等式中的应用 (13)3.5利用泰勒公式证明不等式 (15)3.5.1泰勒公式 (15)3.5.2泰勒公式在不等式中的应用 (15)3.6利用定积分的性质证明不等式 (16)3.6.1定积分的性质 (16)3.6.2定积分在不等式中的应用 (16)3.7本章小结 (17)4结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)1 绪论1.1 学术背景微积分的产生是数学上的伟大创造,它是从生产技术和理论科学的需要中产生,又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。
微积分课程教学中不等式的证明方法
9 0
第 2 4卷 第 5期
21 年 1 01 O月
高等 函授 学报 ( 然科 学版 ) 自
J u n lo g rCo r s o e c u ain( t r l in e ) o r a fHihe r e p nd n eEd c to Na u a e c s Sc
式 的 证 明方 法 以及 应 用 的知 识 点 。
关键词 : 等式 ; 调性 ; 不 单 极值 ; 中值 定 理
中 图 分 类 号 : 4 G6 2
文 献 标识 码 : A
文章 编 号 :o 6 7 5 ( 0 1 0 —0 9 - 0 lo— 3321)5 00 2
1 利 用 函数 的 单 调 性 证 明 不 等 式
2 利 用 函数 的 极 值 与 最 值 证 明 不 等 式
[ ,] 是 凹的 , 口6上 且 ( ) , 6 , 么对 任意 X∈ 口 一 ()那 ( ,) 有 , z n6, ( )< , n , 任 意 X ∈ [ ,] 有 () 对 n6,
厂( z)≤ f( ) a
一
这种 证 明方法 与 利 用 单 调性 证 明方法 相 似 , 适用 于这 样一类 不 等 式 的 证 明 : 果不 等 式 的一 如
即 当 z≠ 1 , > 时 矿
3 利 用 函 数 图 象 的 凹 凸性 证 明 不 等 式
所以, J 1 , ≤ 厂 一 4 当 l 时 一5 z≤ ( ) x一
≤ 3
如果 函数 Y= 厂 z 表示 的曲线 在 区间[ , () a
上是 凸的 , 厂 口 且 ( )一 , 6 , 么 对 任 意 X ∈ ( , () 那 口
边 为 常 数 , 另 一 边 为 函 数 , 者 两 边 为 常 数 中 问 而 或
微积分在不等式证明中的运用
1引言微积分学是微分学和积分学的总称.它是一种数学思想,无限细分就是微分,无限求和就是积分.微积分是高等数学中的重要内容,以它为工具能较好的研究函数的形态,有些常规方法难于证明的不等式,可以根据不等式的结构特征,巧妙的构造函数,将不等式问题转化为函数的问题,利用微积分理论研究函数的性质,应用函数的性质证明不等式. 文献[7],[10],[17] [20]介绍微积分在不等式证明中的应用,得到一些一般结论.不等式的证明在数学学习中既是一个重点也是一个难点,方法也很多,在此提出了求证不等式的几种方法,其在实际应用中具有较高的价值. 1.1 微积分的定义 1.1.1微分的定义定义1 设函数()y f x =定义在0x 的某领域0()x 内.当给0x 一个增量x ∆,0x x +∆∈0()U x 时,相应地得到函数的增量为00()()y f x x f x ∆=+∆-. 如果存在常数A ,使得y ∆能表示成0()y A x x ο∆=∆+, (1)则称函数f 在点0x 可微,并称(1)式中的第一项A x ∆为f 在点0x 的微分,记作0x x A x ==∆dy |或0x x A x ==∆df(x)|. (2)由定义可见,函数的微分与增量仅相差一个关于x ∆的高阶无穷小量,由于dy 是x ∆的线性函数,所以当0A ≠时,也说微分dy 是增量y ∆的线性主部.容易看出,函数f 在点0x 可导和可微是等价的. 1.1.2 积分的定义定义2 设f 是定义在[],a b 上的一个函数,J 是一个确定的实数.若对任何给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对[],a b 的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集{}i ξ,只要T δ<,就有1()niii f x Jξε=∆-<∑,则称函数f 在区间[],a b 上可积或黎曼可积;数J 称为f 在[],a b 上的定积分或黎曼积分,记作()ba J f x dx =⎰.其中,f 称为被积函数,x 称为积分变量,[],a b 称为积分区间,a 、b 分别称为这个定积分的下限和上限. 2 微积分在不等式证明中的应用 2.1微分在不等式证明中的应用 2.1.1用导数的定义例1 设12()sin sin 2f x a x a x =++…+sin ,n a nx 已知()sin ,f x x ≤证明122... 1.n a a na ++≤证明:方法1:因为(0)0,f = 由已知()(0)sin (0)0f x f xx x x -≤≠-,'0()(0)lim1(0)10x f x f f x →-∴≤⇒≤-,即122... 1.n a a na ++≤导数的定义是微积分的基础,此题还可运用两个重要极限及变形进行证明.方法2:由()sin ,f x x ≤得()sin (0),f x xx x x≤≠即12sin sin 2sin sin ...n x x nx xa a a x x x x+++≤ .两端同时取x →0 时的极限得 lim x →∞12sin sin 2sin ...n x x nxa a a x x x+++≤lim x →∞sin x x .由重要极限及其变形知:0sin limx kxk x→=. ∴122... 1.n a a na ++≤证毕.2.1.2利用微分中值定理定理1(罗尔定理):设函数f(x)满足条件: (1)在闭区间[a,b]上连续; (2)在开区间(a,b )内可导; (3)f(a)=f(b);则在(a,b )内至少存在一个点ξ,使得f'(ξ)=0.定理2(拉格朗日中值定理):设函数f(x)满足条件: (1)在闭区间[a,b]上连续; (2)在开区间(a,b )内可导;则在(a,b )内至少存在一个点ξ,使得f'(ξ)=0 .定理3(柯西中值定理):设函数f(x),g(x)满足条件: (1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b )内均可导且g'(x)≠0;则在(a,b )内至少存在一个点ξ,使得a b a f b f --)()(=)('ξf 或)()()()()()(''ξξg f a g b g a f b f =--. 例2 已知b>a>0, 证明b a b -<a b ln <aab -. 证明:设f(x)=lnx, 它在[]b a ,(a >0)上连续且可导,,1)('xx f =又),,(b a ∈ξ根据微分中值定理的条件, 有ξ1ln ln =--a b a b ,而b 1<ξ1<a 1,因此b 1<ab a b --ln ln <a 1,即b a b -<a b ln <aab -. 例3 设- 11,≤≤y x ,证明 |arcsin arcsin x y -|≥|x-y |. 证明:设f(z)= arcsin z ,它在[ - 1 ,1 ]上连续且可导,2'11)(zz f -=,又ξ∈( - 1 ,1) ,根据微分中值定理的条件,有arcsin arcsin x yx y --,而1≥,因此|arcsin arcsin x y -|≥|x-y |.如果要证明的不等式或将要证明的不等式简单变形后,与微分中值公式的结构有相似性,就可以利用微分中值定理来证明,采用这种方法要注意的是构造一个辅助函数,然后利用公式证明. 2.1.3利用函数的单调性函数不等式是判断函数之间的大小关系.基于这种思想,可以利用函数单调性证明不等式.基本思想:将不等式两边的函数移到同一端,并作辅助函数;利用函数一阶导数的符号判断函数在所给区间的单调性;根据函数的单调性,得到所求不等式.定理4:设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b )内可导(1)若在(a,b )内,f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加; (2)若在(a,b )内,f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少. 由定理1 我们总结出运用单调性证明不等式的一般方法与步骤:(1)移项,使不等式一端为“0”,另一端即为所作的辅助函数f(x); (2)求出f'(x),并判断f(x)在指定区间的增减性; (3)求出区间端点的函数值,作出比较即得所证.根据导数判断函数单调性的特点,直接构造一个函数,使得被证明的不等式中含有这个函数的两个端点值,然后利用单调性即可证明.例4 证明不等式1+x 21>x +1,x>0.证明:构造函数f(x)= 1+x21-x +1 (x>0), 则'1()2f x =.当x > 0 时,有11-+x >0,从而xx x f +-+=1211)('>0,,所以函数在(0 , + ∞)内单调增加,即当x > 0时,有f ( x) > f (0) ,而f (0) = 0 ,所以1+x 21-x +1(x>0), 即1+x 21>x +1,(x>0).例5 当x > 0 时,证明不等式xx+1<ln(1+x) <x.证明: (1) 令函数f(x)=ln(1+x)- x x+1,因为当x > 0 时,'()f x =x +11-2)1(1x +=2)1(x x +>0, 且f (0) = 0 ,所以函数在(0 , + ∞) 内单调增加,因此)1ln(x +-x x +1>0, 即1n (1 + x) >xx +1;(2) 设g ( x) = 1n (1 + x) - x ,类似可证明g ( x) 在区间(0 , + ∞) 内从0 开始单调减少,因此当x > 0时,有g ( x) < 0 ,即1n (1 + x) < x. 综上所述,可知xx+1 <)1ln(x +<x )0(>x . 运用函数的单调性证明不等式,关键在于构造适当的辅助函数,并研究它在指定区间内的单调性. 若在(a ,b)上总有f '(x) > 0,则f( x) 在( a ,b) 单调增加;若在( a ,b)上总有f '(x) < 0,则f(x) 在(a ,b) 单调减少.构造恰当的辅助函数,有时需要两次利用函数的单调性证明不等式,有时需要对( a ,b)进行分割,分别在小区间上讨论. 2.1.4利用函数的极值与最值定理5 (极值的第一充分条件)设f 在点0x 连续,在某领域0U 0(;)x δ内可导.(1)若当00(,)x x x δ∈-时'0()0f x ≤,当00(,)x x x δ∈+时'0()0f x ≥,则f 在点0x 取得极小值.(2)若当00(,)x x x δ∈-时'0()0f x ≥,当00(,)x x x δ∈+时'0()0f x ≤,则f 在点0x 取得极大值.定理6(极值的第二充分条件)设f 在点0x 的某领域U 0(;)x δ内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且'0()0f x =,0''()0f x ≠. (1)若0''()0f x <,则f 在0x 取得极大值. (2)若0''()0f x >,则f 在0x 取得极小值.例6 设,10≤≤x ,p >1,证明不等式121-p ≤p x +p x )1(-≤1.证明:令f ( x) =p x +p x )1(-,则)('x f =p 1-p x +p 1)1(--p x (-1)=p []11)1(----p p x x , =)(''x f p(p-1)2-p x +p(p-1)2)1(--p x .令)('x f =0, 得x =21,则)21(''f =p(p-1)]22)21()21(--+⎢⎣⎡p p >0,)1(>p ; 所以f(x)在x=21处取得极小值. 因为,1)0()1(==f f =)21(f 121-p ,所以)(x f 在[]1,0上最大值为1 ,最小值为121-p . 因此121-p ≤p x +p x )1(-≤1.例7 求证:当0x ≥ 时, 1(1)10n n nx n x ----≤ (1,)n n N >∈. 证明:令()f x =1(1)1n n nx n x ----,则 '212()(1)(1)(1)(1).n n n f x n n x n n x n n x x ---=---=--令 '()0f x = 得驻点: 1(0x x ==因为是端点,所以不是驻点). 且当1x <时,'()0,f x >当1x >时,'()0,f x <(1)0f =是极大值也是最大值,所以()(1)0f x f ≤=,即当0x ≥时, 1(1)10n n nx n x ----≤.当我们构造好函数)(x f 后,如果无法得到0)('>x f (或)0)('<x f .即当函数不具有单调性时,可以考虑用极值与最值的方法进行证明,也是一种行之有效的方法. 若函数在某闭区间上连续,根据最值定理,函数必在该区间上取得最大值和最小值.令f( x) 在区间[b ,a ]上连续,则f( x) 在区间[b ,a ]存在最大值M 和最小值m ,那么: m ≤f(x)≤M. 2.1.5 利用函数的凹凸性定义3 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上的任意两点1x ,2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-, (1)则称为上的凸函数.反之,如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-, (2)则称f 为I 上的凹函数.如果(1)、(2)中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.定理7 设f 为区间I 上的二阶可导函数,则在I 上为凸(凹)函数的充要条 件是''()0(''()0),f x f x x I ≥≤∈.定理8 若f 为[],a b 上凸函数,则对任意[]1,,0(1,2,,),ni i i i x a b i n λλ=∈>=⋅⋅⋅∑=1,有11()()nni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑.例8 设0,1,2,3...i x i n >=.12...nx x x n+++≤,其中的等号成立当且仅当所有的i x 全相等.证明:当所有的i x 全相等时等号显然成立,因此只需证明当i x 不全相等时上式是严格不等式. 考虑函数,ln )(x x f =x x f 1)('=>0,)(''x f =-21x<0x (>)0. 因此函数在),0(∞上是严格单调增加且是严格凸函数, 根据严格凸函数的定义,可知: 12...ln nx x x n+++ >11212ln ln ...ln ln(...)n n n x x x x x x n +++=⋅⋅⋅,又根据严格递12...nx x x n+++≤.例9 证明不等式)ln ln (y y y x +>2ln)(yx y x ++x (>y ,0>y x ≠,0). 证明: 构造函数x x x f ln )(=,),0(+∞∈x ,则=)('x f 1ln +x ,=)(''x f x1>0,),0(+∞∈x .因此,函数在),0(+∞∈x .上是凹函 数,由凹函数的定义有: 12()2x x f +<12()()2f x f x +即2ln 2y x y x ++<2ln ln y y x x +,所以)ln ln (y y y x +>2ln )(yx y x ++. 利用函数的凹凸性来证明不等式就是根据函数凹凸性定义中的不等式关系,即12()2x x f +<12()()2f x f x +或12()2x x f +>12()()2f x f x +,构造一个凸函数或凹函数来证明.2.1.6利用泰勒公式定理9 (泰勒定理) 若函数f 在[],a b 上存在直至n 阶的连续导函数,在(),a b 内存在()1n +阶导函数,则对任意给定的[]0,,x x a b ∈,至少存在一点ξ,使得'200000''()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()(1)1000()()()()!(1)!n n nn f x f x x x x n n ξ++⋅⋅⋅+-+-+.例10 如果f(x)在[],a b 上二阶可导,''()()f a f b ==0,则存在(,)c a b ∈使得''24()()().()f c f b f a b a ≥-- 证明:'''21()()()()()(),222!2f a b a b a b f f a f a a a ξ+++=+-+-(a<1ξ<2a b +). '''22()()()()()(),222!2f a b a b a b f f b f b b b ξ+++=+-+-(2a b +<2ξ<b ).所以''''212()()()()(),42f f b a f b f a ξξ---=, 取c 满足''''''12()max{(),()}f c f f ξξ=,2''()()()()4b a f b f a fc --≤, 即''24()()()()f c f b f a b a ≥--.在高等数学中的证明,尤其是题设中含有高阶导数二阶和二阶以上的大小或上下界的函数不等式,Taylor 公式是一个强有力的工具,而应用这一工具证明这类不等式的关键所在,就是正确地写出比题设条件低一阶的函数Taylor 的展开式,恰当选择Taylor 公式两边的x 与0x ,由给出的高阶导数的大小或上下界对展开式进行放大或缩小.泰勒展开式的证明常用的是将函数()f x 在所给区间端点或一些特定点(如区间的中点、零点) 进行展开,通过分析余项在ξ点的性质,而得出不等式,另外若余项在所给区间上不变号,也可将余项舍去而得到不等式.2.2积分在不等式证明中的应用 2.2.1 利用积分的定义主要思想:设()f x 在[],a b 上是严格增,0a x =<1x <…<n x 1,,n n b x x l +=-=则[]01()...()n l f x f x -++< ()ba f x dx ⎰<[]1()...();n l f x f x ++ (1)11()n f x dx -⎰<[]11()...()n l f x f x -++<()baf x dx ⎰, (2)适当选取()f x l 及可得各种不等式与估值例11 证明11p n p ++<12...p p pn +++<1(1),1p n p p +++>0.证明 : 对增函数()p f x x = (0x ≤< 2∞应用()):101p p p n x dx p +=+⎰<(1)...()f f n ++<110(1)1p p pn x dx p +++=+⎰. 此题还可将微分中值定理用到(1)p p k k +-来证. 2.2.2利用积分的性质性质1 若f 在[],a b 上可积,κ为常数,则f κ在[],a b 上也可积,且 ()()bbaaf x dx f x dx κκ=⎰⎰,性质2 若f 、g 都在[],a b 上可积,则f g ±在[],a b 上也可积,且 . []()()()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.性质3 若f 、g 都在[],a b 上可积,则f g 在[],a b 上也可积.性质4 f 在[],a b 上可积的充要条件是:任给(,),c a b f ∈在[],a b 与[],c b 上都可积.此时又有等式()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.性质5 设f 为[],a b 上的可积函数.若[]()0,,f x x a b ≥∈,则()0baf x dx ≥⎰.推论 (积分不等式性) 若f 与g 为[],a b 上的两个可积函数,且()(),f x g x ≤[],x a b ∈,则有()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰.性质6 若f 在[],a b 上可积,则f 在[],a b 上也可积,且()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.例12 已知)(x s =0cos x t ⎰dt, ,当n 为正整数,且ππ)1(+≤≤n x n 时,证明2n≤s(x) <)1(2+n .证明: | cos x| ≥0 且n π≤x < ( n + 1)π, ∴(1)0cos ()<cos ;n n x dx s x x dx ππ+≤⎰⎰又∵cos x 是以π为周期的函数,在每个周期上积分值相等, ∴(1)0cos cos 2;cos 2(1).n n x dx n x dx n x dx n πππ+===+⎰⎰⎰因此,当n π≤x < ( n + 1)π时,有2 n ≤s ( x ) < 2 ( n + 1) .例13 设f ( x) 在(0 ,1) 上有连续导数,且f (0) = f (1) = 0 ,证明:2112'1()().4f x dx f x dx ⎡⎤≤⎣⎦⎰⎰. 证明: 由于(0)0,f =则'0()(),xf x f x dx =⎰于是212'2220000()()1()(1)(),xx x f x f x dx dx f x dx x f x dx ⎡⎤=≤⋅≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰从而11111122222210021()()(1)()()().4f x dx xdx f x dx x dx f x dx f x dx f x dx ≤⋅+-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例14证明不等式22ππ<<⎰ 证明:因为1≤≤=0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,且不恒等于1,所以由积分不等式2200dxππ<<⎰⎰,即22ππ<<⎰例15 设()f x在[],a b上连续,且()f x不恒等于零,证明2(())0baf x dx>⎰.证明:由()f x不恒等于零知,存在x∈[],a b,使0()0f x≠,故2()0f x>.由2()f x连续及连续函数的局部保号性,存在x的某领域00(,)x xδδ-+(当x a=或x b=时,则为右领域或左领域),使得在其中[][]220()()02f xf x≥>.由性质4和性质5,得[][][][]00002222()()()()b x x ba a x xf x dx f x dx f x dx f x dxδδδδ-+-+=++⎰⎰⎰⎰[][]22()0()02xxf xdx f xδδδ++≥+=>⎰.2.2.3利用积分中值定理定理10 (积分第一中值定理)若f在[],a b上连续,则至少存在一点ξ∈[],a b,使得()()()baf x dx f b aξ=-⎰.定理11 (积分第二中值定理)设函数f在[],a b上可积.(1)若函数g在[],a b上减,且()0g x≥,则存在[],a bξ∈,使得()()()();ba af xg x dx g a f x dxξ=⎰⎰;(2)若函数g在[],a b上增,且()0g x≥,则存在[],a bη∈,使得()()()();b baf xg x dx g b f x dxη=⎰⎰.定理12 (推广的积分第一中值定理)若f与g都在[],a b上连续,且()g x在[],a b上不变号,则至少存在一点[],a bξ∈,使得()()()();bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰例16 设122()sin ,()xxf x t dt f x x+=≤⎰试证 (x >0).证明: 令2,u t =则12()sin xxf x t dt +=⎰=22(1)x x+⎰. 被积函数满足第二积分中值定理的条件:()f u =单调, ()sing u u =可积,于是22(1)()sin sin x x f x udu udu ξξ+=⎰,2(1)11()sin sin 22(1)x xf x udu udu xx ξξ+≤++⎰⎰1121x x x≤+≤+ ,(x >0) 证毕. 2.2.4利用积分上限函数定义4 设()f x 在[],a b 上可积,对任何[],x a b ∈,()f x 在[],a x 上也可积.于是,由 ()(),xa x f t dt Φ=⎰ [],x ab ∈定义了一个以积分上限为自变量的函数,称为变上限的定积分.当命题中出现条件()f x 在[],a b 上连续时,可构造积分上限函数,将数值不等式或积分不等式转化为积分上限函数不等式,然后利用函数单调性或定积分性质或泰勒公式解题.例17 设函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内可导,'()f x 单调减少.证明[]1()()()()2b a f x dx b a f a f b >-+⎰.证明: 令[]1()()()()()2x a F x f x dx x a f a f x =--+⎰,[],x a b ∈,则由已知条件,得[]11'()()()()()'()22F x f x f a f x x a f x =-+--= []11()()()'()22f x f a x a f x ---= 11()'()()()'()22x a f x a x a f x ξ----= []1()'()'()2x a f f x ξ--,其中 (,)a x ξ∈;又'()f x 单调减少,所以'()'()f f x ξ>,故[]1'()()'()'()02F x x a f f x ξ=-->,从而[]1()()()()()2xa F x f x dx x a f a f x =--+⎰在[],ab 上单调增加,又()0,F a =,故()()0F b F a >=,即[]1()()()()2b a f x dx b a f a f b >-+⎰.2.2.5 转化为重积分, 再用积分方法进行估计例18 设()(),f x a b 在连续,且f(x)>0,试证21()()()bba af x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰. 证明: 左端=1()()()()b bb b aaa a f y f y dy dx dxdy f x f x =⎰⎰⎰⎰交换积分次序,左端=()()()()bbb b aaa a dyf x f x dx dxdy f y f y =⎰⎰⎰⎰ 因此,左端=221()()()()2()()2()()b b b b a a a a f y f x f y f x dxdy dxdy f x f y f x f y ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰2().b b a a dxdy a b ≥=-⎰⎰证毕. 2.2.6 利用Cauchy-Schwarz 不等式定理13 对于闭区间[],a b 上的可积函数(),f x g(x),有如下不等式:222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.这就是著名的Cauchy-Schwarz 不等式,它在数学分析、高等代数等学科以及许多初等数学的问题中都经常用到.因此,学会并灵活掌握这个定理的证明方法和思想是非常重要的,下面介绍它的证法及在不等式中的运用.证明: 由微积分学基本定理知:()ta f x dx ⎰是()f t 在[],ab ]上的一个原函数,不妨设222()()()()(),tttaa a F t f x dx g x dx f x g x dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ [],t a b ∈则有'2222()()()()()2()()()()ttbaaaF t f t g x dx g t f x dx f t g t f x g x dx =+-⎰⎰⎰=[]2()()()()0taf tg x g t f x dx -≥⎰.因为[],,t a b ∈所以t a ≥, 又[]2()()()()0f t g x g t f x -≥,所以'()0,F t ≥从而()F t 是[],a b 上的增函数. 故()().F b F a ≥而()0,F a =所以()0,F b ≥ 即222()()()()()0,bbba aa Fb f x dx g x dx f x g x ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故. 222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2.2.6.1Cauchy-Schwarz 不等式的运用定理14 设111,1,1p qp q >>+=,如果()f x 为[],a b 上的p 次可积函数,()g x 为[],a b 上的q 次可积函数,那么()()f x g x 在[],a b 上可积,且有11()()()()pqbbbpaa a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰.为证上述定理,先证如下引理:引理 对任意非负实数A ,B ,都有11q P A B A p B q ≤+成立,其中1,1,p q >>11 1.p q +=证明: 设()(0)y x x φ=≥是严格增加的连续函数,且(0)0,()(0)x y y φϕ==≥是φ的逆函数①()a b φ= , ②()a b φ>, ③()a b φ<.不论()a φ与b 的关系如何,都成立着不等式()()abx dx y dy ab φϕ+≥⎰⎰.其中当且仅当()b a φ=时等号成立. 在上式中取1111(),(),,,q Pp q x xy y a A b B φϕ--====就得到11p q A B A p B q ≤+. 从而引理得证.下证定理.当11(),()pqbbpqa a f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰,之中有一个是零时,不等式显然成立.不妨设1()0pbpa f x dx ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦⎰,1()0qbqa g x dx ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦⎰.作辅助函数1()(),()pbpa f x x f x dx φ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰1()()()qbqa g x x g x dx ϕ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰.令 (),()p qA xB x φϕ==, 由引理得()()()()pqx x x x pqφϕφϕ=+, (1)因为(),()pqx x φϕ为[],a b 上的可积函数,由上述不等式知()()x x φϕ为[],a b 上的可积函数,因此()()f x g x 为[],a b 上的可积函数,且对(1)式两端积分得 ()()()()pqbbba aax x x x dx dx dx pqφϕφϕ≤+⎰⎰⎰=()()111()()b b pqaabbpqaaf x dxg x dx p qp f x dxq g x dx+=+=⎰⎰⎰⎰. (2)而11()()()()()()pqbbaabbpqa a f x g x dxx x x f x dx g x dx φϕ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰,将它代入(2)式即得 11()()()()pq b b b p q aa a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰. 即为所要证的不等式.证毕.例19 利用施瓦茨不等式证明:若f 在[],a b 上可积,且()0f x m ≥>,则 21()()()bbaaf x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰; 证明: 由()f x 可积,且()0f x m ≥>知,1()f x1()f x ,可积,于是根据Schwarz 不等式,有 1()()bb a af x dx dx f x ⋅⎰⎰222()()()b a adx b a ≥==-⎰⎰.致谢在完成论文的过程中,得到了x xx老师的精心指导和大力帮助,在此,衷心感谢x老师的悉心指导!参考文献【l】李大华, 胡适耕, 林益.高等数学典型问题100类[M].华中理工大学出版社1987.【2】钱吉林.数学分析解题精粹[M].崇文书局,2009.【3】裘卓明、葛钟美、于秀源.研究生人学考试指导. 数学分析[M].山东科学技术出版社,1985.【4】陈纪修,於崇华,金路.数学分析[M].高等教育出版社,2004.【5】华东师范数学系.数学分析[M].高等教育出版社,2001.【6】同济大学应用数学系,高等数学( 上册) [M] .高等教育出版社,2000. 【7】刘玉琏,傅沛仁. 数学分析讲义[M].人民教育出版社,1981.【8】吉米多维奇.数学分析习题集题解[M].山东科学技术出版社,2003.【9】菲赫金哥尔茨. 微积分学教程( 第一卷) ( 第8 版) [M].高等教育出版社,2001.【10】罗幼芝.微积分在不等式中的应用[J].泰山学院学报,2004,第6期:20~21.【11】同济大学数学教研室.高等数学:上册[M].上海人民教育出版社,1979. 【12】裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].高等教育出版社,1993. 【13】寇业富. 不等式的证明[J ] . 数学的实践与认识,2003,第6期:112~116. 【14】萧树铁. 大学数学[M] . 高等教育出版社,2003.【15】徐荣贵,叶红. 微积分的基本思想[J ]. 四川工程职业技术学院学报, 2008,第4~5期,54~55.【16】李以渝. 高等数学(新编本) [M ]. 北京邮电大学出版社, 2006.【17】李光英. 用辅助函数证明不等式[J ] . 安庆师范学院学报(自然科学版) ,1999,第5期:63~64.【18】高汝熹.高等数学一微积分[M ].高等教育出版社,1992.【19】复旦大学数学系. 数学分析(第二版) [M ]. 北京:高等教育出版社, 1983.【20】韩宝燕.应用微积分理论证明不等式[J].中国新科技新产品,2009,第08期:203.【21】L.A.zadeh.“Fuzzy sets,”Information and control,vol.3,no.8, 1965.【22】Lin,T.Y.,Neighborhood systems and approximation in relational databases and knowledge bases,proceedings of the 4th Internationnal symposium on Methodologies of Intelligent systems 1988.。
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高等数学之微积分中不等式的证明方法总结
不等式的证明题作为微分的应用经常出现在考研题中。
利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的基本方法。
有时需要两次甚至三次连续使用该方法,其他方法可作为该方法的补充,辅助函数的构造仍是解决问题的关键。
证明方法总结:
(1)利用函数单调性证明不等式
若在(a,b)上总有f(x)的导数大于零,则函数f(x)在区间(a,b)上单调增加;若在(a,b)上总有f(x)的导数小于零,则函数f(x)在区间(a,b)上单调减少。
(2)利用拉格朗日中值定理证明不等式
对于不等式中含有f(b)-f(a)的因子,可考虑用拉格朗日中值定理先处理一下。
(3)利用函数的最值证明不等式
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上存在最大值M和最小值m.
(4)利用泰勒公式证明不等式
如果要证明的不等式中,含有函数的二阶或二阶以上的导数,一般通过泰勒公式证明不等式。
不等式证明的难点也是辅助函数的构造,一般可以通过要证明的不等式分析得出要构造的辅助函数。
题型一:利用函数的单调性证明不等式
分析:对要证明的不等式进行如下化简:
解:
备注:构造适当的辅助函数是解决问题的基础,有时需要两次利用函数的单调性证明不等式,有时需要对区间(a,b)进行分割,分别在小区间上讨论。
题型二:利用拉格朗日中值定理证明不等式
例2:
分析:
解:
备注:对于不等式中含有f(b)-f(a)的因子,可以考虑使用拉格朗日公式先处理一下。
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用微积分理论证明不等式的方法江苏省扬中高级中学 卞国文 212200高等数学中所涉及到的不等式,大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量).对于前者,一般可直接或稍加变形构造一函数,从而可通过研究所构造函数的性质,进而证明不等式;对于后者,我们也可根据数值不等式的特点,巧妙的构造辅助函数,从而将数值不等式问题转化为函数的问题,研究方法正好与前者相似.微积分是高等数学中的重要内容,以它为工具能较好的研究函数的形态,有些常规方法难于证明的不等式,若能根据不等式的结构特征,巧妙的构造函数,将不等式问题转化为函数的问题,利用微积分理论研究函数的性质,应用函数的性质证明不等式.一、用导数定义证明不等式法1.证明方法根据-导数定义导数定义:设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义,若极限xy x x x x x x f x f ∆∆→∆→=--lim lim 000)()(0存在,则称函数)(x f 在0x 可导,称这极限为函数)(x f y =在点0x 的导数,记作)(0x f y '=.2.证明方法:(1)找出0x ,使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边;(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究.3.例例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ,其中n a a a ,,21都为实数,n 为正整数,已知对于一切实数x ,有x x f sin )(≤,试证:1221≤+++n na a a .分析:问题中的条件与结论不属于同一类型的函数,如果能找出它们之间的关系,无疑能帮助解决此题,可以看出:)0(221f na a a n '=+++ .于是问题可以转化为证明1)0(≤'f .证明:因nxna x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' .则nna a a f +++=' 212)0(.利用导数的定义得:x x f x x f x f x f f x x x )()(lim 0)0()()0(lim lim 000→→→==--='.由于x x f sin )(≤. 所以1sin )0(lim 0=≤'→x xf x .即1221≤+++n na a a .4.适用范围用导数定义证明不等式,此方法得适用范围不广,我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系.有些不等式符合导数的定义,因此可利用导数的定义将其形式转化,以达到化繁为简的目的.二.用可导函数的单调性证明不等式法1.证明方法根据-可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理定理一:若函数)(x f 在),(b a 可导,则)(x f 在),(b a 内递增(递减)的充要条件是:),(),0)((0)(b a x x f x f ∈≤'≥'.定理二:设函数)(x f 在],[b a 连续,在),(b a 内可导,如果在),(b a 内0)(>'x f (或0)(<'x f ),那么)(x f 在],[b a 上严格单调增加(或严格单调减少). 定理三:设函数)(x f 在),(b a 内可导,若0)(>'x f (或0)(<'x f ),则)(x f 在),(b a 内严格递增(或严格递减).上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系,因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.2.证明方法(1)构造辅助函数)(x f ,取定闭区间],[b a ;△如何构造辅助函数?①利用不等式两边之差构造辅助函数(见例2);②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数(见例3);③若所证的不等式涉及到幂指数函数,则可通过适当的变形(若取对数)将其化为易于证明的形式,再如前面所讲那样,根据不等式的特点,构造辅助函数(见例4).(2)研究)(x f 在],[b a 上的单调性,从而证明不等式. 3.例例2:证明不等式:)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .分析:利用差式构造辅助函数),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ,则将要证明的结论转化为要证)0(,0)(>>x x f ,而0)0(=f ,因而只要证明)0(),0()(>>x f x f .证明:令),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ,易知)(x f 在),0[+∞上连续,且有),0(,0)1ln()(2+∞∈>++='x x x x f ,由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加,所以由单调性定义可知)0(,0)0()(>=>x f x f ,即01)1ln(122>+-+++x x x x .因此 )0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .例3:求证:bb aa ba b a +++≤+++111.分析:不等式两边有相同的“形式”:A A +1:试构造辅助函数)0(,1)(≥+=x xxx f .利用定理二与在)(x f 在),0[+∞上的单调性证明不等式.证明:设辅助函数)0(,1)(≥+=x xxx f .易知)(x f 在),0[+∞上连续,且有,0)1(1)(2>+='x x f )0(>x .则由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加.由b a b a +≤+≤0,有)()(b a f b a f +≤+,得到bb aa ba b ba a ba b a ba b a +++≤+++++=+++≤+++111111,所以原不等式成立.例4:证明:当0>x 时,2111)1(x xex ++<+.分析:此不等式为幂指数函数不等式,若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数,更很难判断其在),0(+∞上的单调性,可对不等式两边分别取对数得到21)1ln()11(xx x +<++,化简得22)1ln()1(2x x x x +<++,在此基础上可利用差式构造辅助函数:)0)(1ln()1(22)(2≥++-+=x x x x x x f ,因0)0(=f ,因而只要证明)0(),0()(>>x f x f 即可.证明:分别对不等式得两边取对数,有21)1ln()11(xx x +<++,化简有: 22)1ln()1(2x x x x +<++.设辅助函数)0(),1ln()1(22)(2≥++-+=x x x x x x f ,)1ln(22)(x x x f +-=',易知)(x f 在),0[+∞上连续,)(x f '也在),0[+∞上连续,因)0(,012)(>>+=''x xxx f ,根据定理二,得)(x f '在),0[+∞上严格单调增加,所以)0(,0)0()(>='>'x f x f .又由)(x f 在),0[+∞上连续,且0)(>'x f ,根据定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加,所以)0(,0)0()(>=>x f x f ,即0)1ln()1(222>++-+x x x x ,因此)1ln()1(222x x x x ++>+,即2111)1(x xex ++<+.4.适用范围利用函数单调性证明不等式,不等式两边的函数必须可导;对所构造的辅助函数)(x f 应在某闭区间上连续,开区间内可导,且在闭区间的某端点处)(x f 的值为0,然后通过在开区间内)(x f '的符号来判断)(x f 在闭区间上的单调性.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1.证明方法根据-极值的充分条件定理定理四(极值的第一充分条件) 设)(x f 在0x 连续,在),(00δx ⋃内可导,(i )若当),(00x x x δ-∈时,0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时,0)(≤'x f ,则)(x f 在0x 取得极大值;(ii) 若当),(00x x x δ-∈时,0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时,0)(≥'x f ,则)(x f 在0x 取得极小值.定理五(极值的第二充分条件) 设)(x f 在的某领域),(0δx ⋃内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0='x f ,0)(0≠''x f ,(i)若0)(0<''x f ,则)(x f 在0x 取得极大值;(ii)若0)(0>''x f ,则)(x f 在0x 取得极小值.极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑,而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值,则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.2.证明方法(1)构造辅助函数)(x f ,并取定区间.△如何构造辅助函数?①当不等式两边均含有未知数时,可利用不等式两边之差构造辅助函数(见例5); ②当不等式两边含有相同的“形式”时,可利用此形式构造辅助函数(见例6); ③当不等式形如a x g ≥)((或a x g ≤)()(a 为常数)时,可设)(x g 为辅助函数(见例7).(2)求出)(x f 在所设区间上的极值与最大、最小值.△极值与最大、最小值的求法 ①极值求法:(1)求出可疑点,即稳定点与不可导的连续点;(2)按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.②最大、最小值的求法:(1)闭区间],[b a 上连续函数的最大、最小值的求法:先求出可疑点,再将可疑点处的函数值与端点b a ,处的函数值比较,最大者为最大值,最小者为最小值.(2)开区间),(b a 内可导函数的最大值、最小值的求法:若)(x f 在),(b a 内可导,且有唯一的极值点,则此极值点即为最大值点或最小值点.3.例例5:证明:当0>x 时有455+≥x x .分析:利用差式构造辅助函数)0(,45)(5>--=x x x x f ,这与前面利用函数单调性定义证明不等式中所构造辅助函数的方法相同,但由于)(x f 在),0(+∞上不是单调函数,(因对任意0,21>x x ,且)(5)()()(,2152512121x x x x x f x f x x ---=->,不能判断)(x f 的符号).所以不能用可导函数的单调性证明此不等式,则可采用函数的极值方法试之.函数的单调性证明此不等式,则可采用函数的极值方法试之.证明:构造辅助函数)0(,45)(5>--=x x x x f ,则有),1)(1)(1(5)1)(1(555)(2224-++=-+=-='x x x x x x x f 令0)(='x f ,解得1±=x ,其中只有1=x 在区间),0(+∞内,由)1(45lim )(lim 511f x x x f x x =--=→→,有)(x f 在1=x 点连续.因当10<<x 时,0)(<'x f ,则)(x f 在)1,0(上为减函数;当1>x 时,0)(>'x f ,则)(x f 在),1(+∞上为增函数;由定理四可知,)(x f 在1=x 处取得极小值,即0)1(=f 为区间),0(+∞上的最小值,所以当0>x 时,有0)1()(=≥f x f .故),0(0455>≥--x x x 即)0(455>+≥x x x .例6:设0,0>>b a ,则b b bab a )()11(1≥+++. 分析:此不等式两边含有相同的“形式”:BBA )(,可将不等式变形为b b b b b b a a 11)1()1(+++≥+,可构造辅助函数)0()1()(1>+=+x xx x f bb . 证明:将不等式变形为bb b b b b a a 11)1()1(+++≥+,构造辅助函数)0()1()(1>+=+x x x x f b b ,则有bb b xb x x x x f 21)()1()(-+='-,令0)(='x f ,则有b x =.当b x <<0时,0)(<'x f ,所以)(x f 单调递减;当b x >时,0)(>'x f ,则)(x f 单调递增.因此,由定理四可知)(x f 在b x =时取得极小值,即最小值.所以当),0(+∞∈∀a ,有≥+=+b b a a a f 1)1()(bb bb b f 1)1()(++=,即)0,(,)()11(1>≥+++b a b a b a bb .例7:证明:若1>p ,则对于]1,0[中的任意x 有:121)1(1-≥-+≥p pp x x .分析:显然设辅助函数)10(,)1()(≤≤-+=x x x x f pp ,若设121)(-=p x g ,由)10(0)1(211)0()0()0(1≤≤≠=-=-=-x F g f F p ,故很难用函数单调性的定义去证明.考虑到1)1()0(==f f ,不难看到不等式1)1(≤-+ppx x ,即为)(x f 与其端点1,0==x x 处的函数值的大小比较问题,因而可想到用最值方法试之.证明:设辅助函数为)10(,)1()(≤≤-+=x x x x f pp,则10≤≤x 时,有:],)1([)1()(1111------=--='p p p p x x p x p px x f 令)(='x f 得11)1(---=p p x x ,解之得稳定点21=x ,因函数)(x f 在闭区间[0,1]上连续,因而在[0,1]上有最大值和最小值,已知121)211()21()21(,1)1()0(-=-+===p p p f f f .有,1}21,1{max )}({max 1]1,0[]1,0[==-∈∈p x x x f =∈)}({min ]1,0[x f x,21}21,1{min 11]1,0[--∈=p p x 因此对一切1],1,0[>∈p x 时,有,1)(211≤≤-x f p 所以原不等式得证.4.适用范围(1)所设函数)(x f 在某闭区间上连续,开区间内可导,但在所讨论的区间上不是单调函数时;(2)只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式.四、用拉格朗日中值定理证明不等式法1.证明方法根据-拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:若函数)(x f 满足下列条件:(I ))(x f 在闭区间],[b a 上连续;(ⅱ))(x f 在开区间),(b a 内可导,则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=')()()(ξ.拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系.2.证明方法①辅助函数)(x f ,并确定)(x f 施用拉格朗日中值定理的区间],[b a ; ②对)(x f 在],[b a 上施用拉格朗日中值定理;③利用ξ与b a ,的关系,对拉格朗日公式进行加强不等式.3.例例8:证明:当x x xxx <+<+>)1ln(1,0. 分析:所证不等式中的函数)1ln(x +的导数为x+11,即所证不等式中含有函数及其导数,因而可用拉格朗日中值定理试之.由于01ln =,因此可构造函数的改变量1ln )1ln(-+x ,则相应自变量的改变量为x ,原不等式等价于:11)1(11)1ln(11<-+-+<+x n x x ,由不等式中间部分的形式可知,可利用拉格朗日中值定理去证明.证明:构造函数t t f ln )(=,因)(t f 在)0](1,1[>+x x 上连续,在)1,1(x +上可导,)(t f 在)0](1,1[>+x x 上满足拉格朗日条件,于是存在)1,1(x +∈ξ,使 ξξ1)(1)1()1()1(='=-+-+f x f x f ,因1111),1ln(1ln )1ln()1()1(<<++=-+=-+ξx x x f x f ,所以1)1ln(11<+<+x x x . 即)0(,)1ln(1><+<+x x x xx.4.适用范围当所证的不等式中含有函数值与一阶导数,或函数增量与一阶导数时,可用拉格朗日中值定理来证明.五、用柯西中值定理证明不等式法1.证明方法根据-柯西中值定理柯西中值定理:若⑴函数)(x f 与)(x g 都在闭区间],[b a 上连续;⑵)(x f 与)(x g 都在开区间),(b a 内可导;⑶)(x f '与)(x g '在),(b a 内不同时为0;⑷)()(b g a g ≠. 则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ . 柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系.2.证明方法①构造两个辅助函数)(x f 和)(x g ,并确定它们施用柯西中值定理的区间],[b a ; ②对)(x f 与)(x g 在],[b a 上施用柯西中值定理; ③利用ξ与b a ,的关系,对柯西公式进行加强不等式.3.例例9:设20,π<<<>y x e a ,证明a a y x a a xx y ln )cos (cos ->-.分析:原不等式可等价于a a x y a a x xy ln cos cos -<--.可看出不等式左边可看成是函数t a t f =)(与t t g cos )(=在区间],[y x 上的改变量的商,故可用柯西中值定理证明之.证明:原不等式等价于a a xy a a x x y ln cos cos -<--,可构造函数ta t f =)(,t t g cos )(=,因),(t f )(t g均在],[y x 上连续,在),(y x 上可导,且0ln )(≠='a a t f t,由于20π<<<y x ,则y y g x x g t t g cos )(cos )(,0sin )(=≠=≠-=',所以),(t f )(t g 在],[y x 上满足柯西中值条件,于是存在),(y x ∈ξ,使得ξξξξsin ln cos cos )()()()()()(-=--=--=''aa x y a a x g y g x f y f g f x y ,又因),,(,y x e a ∈>ξ,20π<<<y x 有1ln ,1sin 1,>><a a a x ξξ,得到ξξξξsin ln ln ,sin ln ln a a a a a a a a xx->-< ,因此a a xy a a x xy ln cos cos -<--,即a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-.4.适用范围当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数,或两个函数的函数增量及其一阶导数时,可用柯西中值定理证明.六、上述二、三、四、五种方法小结前面二、三、四、五种方法中,均可利用差式构造函数,但有时应用导数研究函数单调性证明不等式,有时应用导数研究函数极值证明不等式,而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式.三者有何区别:⑴若所证不等式含有函数值及其导数,宜用中值定理;若所证不等式),(),()(b a x x g x f ∈<,其两端函数)(),(x g x f 均可导,且)()()(a g a f a F -=或)()()(b g b f b F -=有一为0时,宜用函数的单调性.⑵若所证不等式的两端函数有不可导时,不能用函数单调性证明,宜用中值定理. ⑶若所证不等式),(),()(b a x x g x f ∈<,两端函数)(),(x g x f 均可导,但)()()(x g x f x F -=不是单调的函数时,宜用函数的极值来证明.七、用函数的凹凸性证明不等式1.证明方法根据-凹凸函数定义及其定理和詹森不等式定义:设)(x f 为定义在区间I 上的函数,若对于I 上任意两点21,x x 和实数)1,0(∈λ,总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称)(x f 为I 上的凸函数,若总有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+,则称)(x f 为I 上的凹函数.定理六:设)(x f 为I 上的二阶可导函数,则)(x f 为I 上的凸函数(或凹函数)的充要条件是在I 上)0)((0)(≤''≥''x f x f 或 .命题(詹森不等式) 若)(x f 在],[b a 上为凸函数,对任意的)2,1(0],,[n i b a x i i =>∈λ且11=∑=n i i λ,则≤∑=)(1ni i i x f λ)(1i ni ix f ∑=λ.该命题可用数学归纳法证明.函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系. 2.证明方法:①定义证明法:将不等式写成定义的形式,构造辅助函数)(x f ,并讨论)(x f 在所给区间上的凹凸性.②詹森不等式法:对一些函数值的不等式,构造凸函数,应用詹森不等式能快速证此类不等式.3.例例10:证明:当0,0>>y x 时, 2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+. 分析:不等式等价于:2ln)2(2ln ln yx y x y y x x ++>+.不等式两边含有相同“形式”:t t ln ,可设辅助函数)0(ln )(>=t t t t f .因此原不等式可化为要证)2(2)()(yx f y f x f +>+.只要证明)(t f在),0(+∞上为凸函数,即证)(x f 在),(y x 内0)(>''x f 即可.证明(定义证明法):设)0(ln )(>=t t t t f .有)0(01)(,1ln )(>>=''+='t tt f t t f .则)(t f 在),0(+∞为凸函数.对任意)(0,0y x y x ≠>>,有)2(2)()(y x f y f x f +>+(取21=λ).(要使)(x f 与)(x g 的系数相同,当且仅当λλ-=1时成立,即21=λ).因此2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+.例11:若A,B,C 是ABC ∆的三内角,则323sin sin sin ≤++CB A . 分析:不等式左边为x sin 的函数的和,考虑构造凸函数x x f sin )(-=.证明(詹森不等式):令π<<-=x x x f 0,sin )(,则0sin )(>=''x x f .则)(x f 是),0(π上的凸函数, π<<C B A ,,0,取321λλλ==,由131=∑=i iλ,得到31321===λλλ,由詹森不等式结论得:)sin sin (sin 313sinC B A C B A ++-≤++-,因C B A ,,是ABC ∆的三内角,则π=++C B A ,可得233sin )sin sin (sin 31=≤++πC B A .即323sin sin sin ≤++C B A .4.适用范围当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式.八、用泰勒公式证明不等式法1.证明方法根据-泰勒定理泰勒定理:若函数)(x f 满足如下条件:⑴在闭区间],[b a 上函数)(x f 存在直到n 阶连续导数;⑵在开区间),(b a 内存在)(x f 的1+n 阶导数,则对任何),(b a x ∈,至少存在一点),(b a ∈ξ,使得:1)1()(2)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n a x n a f a x n a f a x a f a x a f a f x f . 泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系.2.证明方法①根据已知条件,围绕证明目标,选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展式; ②根据已知条件,向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理,直到可以结合已知条件证出不等式为止.(注意具体的题目应用此方法时要灵活运用,有些题目在进行①前,要先对已知条件或证明目标进行适当的转化,以更有利于证明的进行,使②不会过于繁琐.)3.例例12:设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导,)1()0(f f =,且2)(≤''x f ,试证明:1)(≤'x f .分析:根据题设条件,)(x f 在]1,0[上二阶可导,且函数值)1()0(f f =,2)(≤''x f ,可写出函数)(x f 在x 处的一阶泰勒公式,并取考察点0或1,利用相应的泰勒公式,对)(x f '作估计.证明:取10≤≤x ,由泰勒公式分别有:,0,)0)((21)0)(()()0(121x x f x x f x f f <<-''+-'+=ξξ10,)1)((21)1)(()()1(222<<-''+-'+=ξξx f x x f x f f .由于)1()0(f f =,则将以上两式做差,整理得:],)1)(()([21)(2221x f x f x f -''-''='ξξ所以])1()()([21)(2221x f x f x f -''+''≤'ξξ)0)1(2(,1)1(21)1(])1(22[212222≥-≤--=-+=-+≤x x x x x x x x .因此原不等式成立.4.适用范围当遇到含有函数或高阶导数,或函数增量与高阶导数,或要证的是导数(一阶或二阶)不等式时,可利用泰勒公式来证明有关的不等式.九、用幂级数展开式证明不等式法1.证明方法根据-几个重要的初等函数的幂级数展开式 几个重要的初等函数的幂级数展开式如下:),(,!1!2112+∞-∞∈+++++=x x n x x e n x ; ),(,)!12(1)1(!31sin 1213+∞-∞∈+--++-=--x x n x x x n n ; ),(,)!2(1)1(!41!211cos 242+∞-∞∈+-++-=x x n x x x n n ; )1,0(,1112∈+++++=-x x x x xn ; ]1,1(,)1(3121)1ln(132-∈+-+++-=+-x nxx x x x nn.初等函数是中学数学教学重点,某些初等函数可展开成幂级数,在展开式中添加或删去某些幂级数时,可很快证明出某些含幂级数的不等式.2.证明方法先把初等函数展开成幂级数,然后在展开式中添加或删去某些幂级数即可快速证明此不等式.3.例例13:当)1,0(∈x ,证明x e xx211>-+. 证明:因x e x2,11-分别可写成幂级数展开式,有:=++++++=-+)1)(1(112 n x x x x xx)1,0(,22212∈+++++x x x x n .),(,!2!2221222+∞-∞∈+++++=x x n x x enn x.则左边的一般项为nx 2,右边的一般项为!2n x n n ,因此当!22,3n n n>≥,所以)1,0(,112∈>-+x e xxx .4.适用范围当不等式中含有上面几个重要初等函数之一时,可用幂级数展开式法来证明此不等式.十、用定积分理论来证明不等式法1.证明方法根据-定积分的性质和变上限辅助函数理论定积分性质之一:设)(x f 与)(x g 为定义],[b a 在上的两格可积函数,若],[),()(b a x x g x f ∈≤则dx x g dx x f baba⎰⎰≤)()(.微积分学基本定理:若函数)(x f 在],[b a 上连续,则由变动上限积分],[,)()(b a x dt t f x xa∈=Φ⎰,定义的函数Φ在],[b a 上可导,而且)()(x f x =Φ'.也就是说,函数Φ是被积函数)(x f 在],[b a 上的一个原函数.微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系.2.证明方法①利用定积分的性质证明不等式法:对可积函数)(x f ,)(x g ,先证出)()(x g x f ≤,然后由定积分的性质可证dx x g dx x f baba⎰⎰≤)()((见例14);②构造变上限辅助函数证明不等式法:对于含有定积分的不等式,可把常数变为变数构造辅助函数, 利用变上限积分⎰xadt t f )(及函数的单调性解决此类不等式(见例15).3.例 例14:证明:⎰⎰≤2121ln ln xdx x xdx x .证明(利用定积分性质):当]2,1[∈x 时,0ln ,>≤x x x ,则x x x x ln ln ≤.因x x ln ,x x ln 在]2,1[上均为连续函数.则x x x x ln ,ln 在]2,1[均可导.由定积分性质可知:⎰⎰≤2121ln ln xdx x xdx x .例15:设)(x f 在],[b a 上连续,且单调递增,试证明dx x f b a dx x xf ba ba ⎰⎰+≥)(2)(. 分析:可将此定积分不等式看成是数值不等式,并将常数b 变为变数t ,利用差式构造辅助函数:dx x f t a dx x xf t F tata ⎰⎰+-=)(2)()(,则要证0)()(=≥a Fb F .证明:(利用构造变上限辅助函数):设辅助函数dx x f t a dx x xf t F ta ta ⎰⎰+-=)(2)()(.显然0)(=a F . 对],[b a t ∈∀,⎰⎰⎰-=--=+--='tat a t a dx x f t f dx x f t f a t t f t a dx x f t tf t F )]()([21)(21)(2)(2)(21)()(),(t a x ∈.因为)(x f 单调递增,则0)(≥'t F ,则)(t F 单调递增,所以)(,0)()(a b a F b F ≥=≥.因此dx x f b a dx x xf baba ⎰⎰+≥)(2)(.4.适用范围当不等式含有定积分(或被积函数)()(x g x f ≤时),可用定积分的性质来证明或构造上限辅助函数来证明.十一、引入参数证明不等式法1.证明方法根据-将对数值不等式的证明转化为对函数不等式的证明,用微积分理论研究函数的性质,从而证明不等式.2.证明方法引入参数t ,构造辅助函数0])()([2≥-⎰dx x tg x f ba ,得到关于t 的二次多项式,利用判别式0≤∆来证明不等式.3.例例16:设)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续,证明:dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤)()())()((222(柯西-许瓦茨不等式).分析:欲证不等式是函数)(),(22x g x f ,以及)()(x g x f 的积分不等式,引入参数t ,考虑辅助函数2)]()([x tg x f -在区间],[b a 上的积分.证明:利用定积分的性质易知0])()([2≥-⎰dx x tg x f ba ,即0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰bababadx x f dx x g x f t dx x g t .这是关于t 的二次多项式不等式,因此,判别式:0)()(4))()((4222≤-=∆⎰⎰⎰bababadx x g dx x f dx x g x f ,即:dx x g dx x f dx x g x f bab ab a⎰⎰⎰≤)()())()((222.4.适用范围当积分式含有平方项)(2x f ,或)(2x f '的情形.参考文献:1.《高等数学选讲》 2.《数学分析》 3.《常微分选讲》。