微积分证明不等式方法

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用微积分理论证明不等式的方法

江苏省扬中高级中学 卞国文 212200

高等数学中所涉及到的不等式,大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量).对于前者,一般可直接或稍加变形构造一函数,从而可通过研究所构造函数的性质,进而证明不等式;对于后者,我们也可根据数值不等式的特点,巧妙的构造辅助函数,从而将数值不等式问题转化为函数的问题,研究方法正好与前者相似.

微积分是高等数学中的重要内容,以它为工具能较好的研究函数的形态,有些常规方法难于证明的不等式,若能根据不等式的结构特征,巧妙的构造函数,将不等式问题转化为函数的问题,利用微积分理论研究函数的性质,应用函数的性质证明不等式.

一、用导数定义证明不等式法

1.证明方法根据-导数定义

导数定义:设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义,若极限

x

y x x x x x x f x f ∆∆→∆→=--lim lim 0

00)()(0

存在,则称函数)(x f 在0x 可导,称这极限为函数)(x f y =在点0x 的导数,记作)(0x f y '=.

2.证明方法:

(1)找出0x ,使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边;(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究.

3.例

例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ,其中n a a a ,,21都为实数,

n 为正整数,已知对于一切实数x ,有x x f sin )(≤,试证:1221≤+++n na a a .

分析:问题中的条件与结论不属于同一类型的函数,如果能找出它们之间的关系,无疑能帮助解决此题,可以看出:)0(221f na a a n '=+++ .于是问题可以转化为证明

1)0(≤'f .

nx

na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' .则n

na a a f +++=' 212)0(.

x x f x x f x f x f f x x x )

()(lim 0)0()()0(lim lim 0

00→→→==--=

'.由于x x f sin )(≤. 所以1sin )0(lim 0

=≤'→x x

f x .即1221≤+++n na a a .

4.适用范围

用导数定义证明不等式,此方法得适用范围不广,我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系.有些不等式符合导数的定义,因此可利用导数的定义将其形式转化,以达到化繁为简的目的.

二.用可导函数的单调性证明不等式法

1.证明方法根据-可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理

定理一:若函数)(x f 在),(b a 可导,则)(x f 在),(b a 内递增(递减)的充要条件是:

),(),0)((0)(b a x x f x f ∈≤'≥'.

定理二:设函数)(x f 在],[b a 连续,在),(b a 内可导,如果在),(b a 内0)(>'x f (或0)(<'x f )

,那么)(x f 在],[b a 上严格单调增加(或严格单调减少). 定理三:设函数)(x f 在),(b a 内可导,若0)(>'x f (或0)(<'x f ),则)(x f 在),(b a 内严格递增(或严格递减).

上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系,因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.

2.证明方法

(1)构造辅助函数)(x f ,取定闭区间],[b a ;

△如何构造辅助函数?

①利用不等式两边之差构造辅助函数(见例2);

②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数(见例3);

③若所证的不等式涉及到幂指数函数,则可通过适当的变形(若取对数)将其化为易于证明的形式,再如前面所讲那样,根据不等式的特点,构造辅助函数(见例4).

(2)研究)(x f 在],[b a 上的单调性,从而证明不等式. 3.例

例2:证明不等式:)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .

分析:利用差式构造辅助函数),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ,则将要证明的结论转化为要证)0(,0)(>>x x f ,而0)0(=f ,因而只要证明

)0(),0()(>>x f x f .

证明:令),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ,易知)(x f 在),0[+∞上连续,且有),0(,0)1ln()(2+∞∈>++='x x x x f ,由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加,所以由单调性定义可知)0(,0)0()(>=>x f x f ,即

01)1ln(122>+-+++x x x x .因此 )0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .

例3:求证:

b

b a

a b

a b a ++

+≤

+++111.

分析:不等式两边有相同的“形式”:

A A +1:试构造辅助函数)0(,1)(≥+=x x

x

x f .利用定理二与在)(x f 在),0[+∞上的单调性证明不等式.

证明:设辅助函数)0(,1)(≥+=

x x

x

x f .易知)(x f 在),0[+∞上连续,且有,0)

1(1

)(2

>+=

'x x f )0(>x .则由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加.由b a b a +≤+≤0,有

)()(b a f b a f +≤+,得到

b

b a

a b

a b b

a a b

a b a b

a b a ++

+≤

+++

++=

+++≤

+++111111,所以原不等式成立.

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