微积分证明不等式方法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
用微积分理论证明不等式的方法
江苏省扬中高级中学 卞国文 212200
高等数学中所涉及到的不等式,大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量).对于前者,一般可直接或稍加变形构造一函数,从而可通过研究所构造函数的性质,进而证明不等式;对于后者,我们也可根据数值不等式的特点,巧妙的构造辅助函数,从而将数值不等式问题转化为函数的问题,研究方法正好与前者相似.
微积分是高等数学中的重要内容,以它为工具能较好的研究函数的形态,有些常规方法难于证明的不等式,若能根据不等式的结构特征,巧妙的构造函数,将不等式问题转化为函数的问题,利用微积分理论研究函数的性质,应用函数的性质证明不等式.
一、用导数定义证明不等式法
1.证明方法根据-导数定义
导数定义:设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义,若极限
x
y x x x x x x f x f ∆∆→∆→=--lim lim 0
00)()(0
存在,则称函数)(x f 在0x 可导,称这极限为函数)(x f y =在点0x 的导数,记作)(0x f y '=.
2.证明方法:
(1)找出0x ,使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边;(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究.
3.例
例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ,其中n a a a ,,21都为实数,
n 为正整数,已知对于一切实数x ,有x x f sin )(≤,试证:1221≤+++n na a a .
分析:问题中的条件与结论不属于同一类型的函数,如果能找出它们之间的关系,无疑能帮助解决此题,可以看出:)0(221f na a a n '=+++ .于是问题可以转化为证明
1)0(≤'f .
证
明
:
因
nx
na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' .则n
na a a f +++=' 212)0(.
利
用
导
数
的
定
义
得
:
x x f x x f x f x f f x x x )
()(lim 0)0()()0(lim lim 0
00→→→==--=
'.由于x x f sin )(≤. 所以1sin )0(lim 0
=≤'→x x
f x .即1221≤+++n na a a .
4.适用范围
用导数定义证明不等式,此方法得适用范围不广,我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系.有些不等式符合导数的定义,因此可利用导数的定义将其形式转化,以达到化繁为简的目的.
二.用可导函数的单调性证明不等式法
1.证明方法根据-可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理
定理一:若函数)(x f 在),(b a 可导,则)(x f 在),(b a 内递增(递减)的充要条件是:
),(),0)((0)(b a x x f x f ∈≤'≥'.
定理二:设函数)(x f 在],[b a 连续,在),(b a 内可导,如果在),(b a 内0)(>'x f (或0)(<'x f )
,那么)(x f 在],[b a 上严格单调增加(或严格单调减少). 定理三:设函数)(x f 在),(b a 内可导,若0)(>'x f (或0)(<'x f ),则)(x f 在),(b a 内严格递增(或严格递减).
上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系,因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.
2.证明方法
(1)构造辅助函数)(x f ,取定闭区间],[b a ;
△如何构造辅助函数?
①利用不等式两边之差构造辅助函数(见例2);
②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数(见例3);
③若所证的不等式涉及到幂指数函数,则可通过适当的变形(若取对数)将其化为易于证明的形式,再如前面所讲那样,根据不等式的特点,构造辅助函数(见例4).
(2)研究)(x f 在],[b a 上的单调性,从而证明不等式. 3.例
例2:证明不等式:)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .
分析:利用差式构造辅助函数),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ,则将要证明的结论转化为要证)0(,0)(>>x x f ,而0)0(=f ,因而只要证明
)0(),0()(>>x f x f .
证明:令),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ,易知)(x f 在),0[+∞上连续,且有),0(,0)1ln()(2+∞∈>++='x x x x f ,由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加,所以由单调性定义可知)0(,0)0()(>=>x f x f ,即
01)1ln(122>+-+++x x x x .因此 )0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .
例3:求证:
b
b a
a b
a b a ++
+≤
+++111.
分析:不等式两边有相同的“形式”:
A A +1:试构造辅助函数)0(,1)(≥+=x x
x
x f .利用定理二与在)(x f 在),0[+∞上的单调性证明不等式.
证明:设辅助函数)0(,1)(≥+=
x x
x
x f .易知)(x f 在),0[+∞上连续,且有,0)
1(1
)(2
>+=
'x x f )0(>x .则由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加.由b a b a +≤+≤0,有
)()(b a f b a f +≤+,得到
b
b a
a b
a b b
a a b
a b a b
a b a ++
+≤
+++
++=
+++≤
+++111111,所以原不等式成立.