探索直角三角形全等的条件(刘小捷)
初中数学知识点精讲精析 探索直角三角形全等的条件
5·7 探索直角三角形全等的条件1.判断三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS2.判断直角三角形全等的方法上述判定两三角形全等的方法对直角三角形同样适用.两直角三角形已具备一个直角对应相等，判定两三角形全等还差二个条件.分别是：二锐角、一边一锐角、二边.两个锐角对应相等的两直角三角形不一定全等。
两锐角对应相等后它们的三个角就对应相等，而三个角对应相等的两个三角形不一定全等.二边对应相等又有两种情况，一种情况是两直角边对应相等，利用SAS可得它们全等，另一种情况是一条直角边和斜边对应相等，这种情况两个直角三角形不一定全等，因为有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.一边和一锐角对应相等的两直角三角形全等.因为两直角三角形已有一个直角对应相等，这样它们就有二个角和一条边对应相等，利用前面学的判定两三角形全等的条件知这两个三角形全等.小结直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜.边、直角边”或“HL”1. 如图所示，已知：AC⊥BC，BD⊥AD，如果要得到△ABC≌△BAD，还需要补充一个条件，请你完成，至少写出3个不同的答案.补充的一个条件可以为：2. 如图所示，有一个Rt △ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P 、Q 两点分别在AC 和过A 点且垂直于AC 的射线AE 上运动，问P 点运动到什么位置时，才能使△ABC 和△APQ 全等？点拨：要使△ABC 和△APQ 全等，由∠C=∠EAC=90°，已知这两个三角形都是直角三角形，又由AB=PQ ，根据“HL ”要判定两个三角形全等，只需AP=BC ，即P 是AC 的中点.【解析】∴P 为AC 的中点 ∴P 点运动到AC 的中点时，才能使△ABC ≌△QPA3. 如图所示，已知△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 边的中点.（1）D 到AB ，AC 的距离相等吗？为什么？（2）连结AD ，△AED 与△AFD 全等吗？为什么？（）1∠=∠CAB DBA （）2∠=∠CBA DAB （）3AC BD =（）4BC AD =C P A ∆∆ABC QPA PQ AB ≅=，∴=AP BC ()全等三角形的对应边相等又 BC =5∴=AP 5 AC =10∴==AP PC AC 12（3）如果P 点是AD 上的一个动点，那么P 到AB ，AC 的距离相等吗？为什么？【解析】（1）D 到AB ，AC 的距离相等理由：过D 点作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F 。
七年级数学探索直角三角形全等的条件
你相信他的结论吗？
已知线段a，c(a﹤c)和一个直角α ，利用尺 规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠α ，CB=a，AB=c. a
作法: ⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ⑵ 在射线CM上截取线段CB=a; ⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交 射线CN于点A; ⑷ 连接AB. 则△ABC即为所求. c A N
D
B
(5) ∠A=∠D, BC=EF ( AAS )
∠B=∠E (6) ________,AC=DF ( AAS )
F
E
有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两 个等长的木条GF与GE，E，F分别是AD，BC的中点。 G是AB的中点吗？ G A B
E
F
D
C
如图，∠ACB=∠BDA=90°。要说明 △ACB≌△BDA,需要再补充几个条件， 应补充什么条件？把它们分别写出来。
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想 知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一 条直角边被花盆遮住无法测量.
你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS) 方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角 . (ASA)或(AAS)
如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
如图，有两个长度相同 的滑梯，左边滑梯的高 度AC与右边滑梯水平方 向的长度DF相等，两个 滑梯的倾斜角∠ABC和 ∠DFE的大小有什么关 系？
解： ∠ABC + ∠DFE=90° 在Rt△ABC和Rt△DEF中 BC=EF ∵ AC=DF ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF
Hale Waihona Puke ∴ ∠ABC=∠DEF ∵ ∠DEF + ∠DFE=90° ∴∠ABC + ∠DFE=90°
探索直角三角形全等的条件
探索直角三角形全等的条件对于一般三角形来说，“边边角”是无法保证两个三角形全等，但是在两个直角三角形中，当斜边和一直角边分别对应相等时，也就是“边边角”，是可以保证两个直角三角形全等。
因此直角三角形全等的判别方法主要有以下两类：一、直角三角形全等的特殊判别方法斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为：“斜边、直角边”或“HL”.温馨提示：1、这个条件是直角三角形所独有的，只是对于两个直角三角形来说成立的，对于一般三角形不使用。
它实际上包含了三个元素：一条斜边、一条直角边和一个直角分别对应相等。
2、两个直角三角形全等的判定定理“HL”在用于推理时，必须明确标出直角，如△ABC和△A/B/C/中，所以∠C=∠C/=90°，AB=A/B/，BC=B/C/所以Rt△ABC≌Rt△△A/B/C/，这里直角的标志90°不能少。
3、有些三角形本身在其它条件中隐含直角三角形这个条件，首先将直角这一条件明确后才能应用“HL”判定两直角三角形全等。
4、在全等三角形的判定中不存在“SSA”，HL不能说成“SSA”，由于HL必须在三角形是直角三角形的前提下才能应用，即不仅仅是两边及一边的对角相等，而且此角还必须是直角，这两个三角形才全等。
二、一般方法在判别直角三角形全等中的应用直角三角形是三角形的一种特殊情形，所以，一般三角形的性质它都具有，因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”，“SSS”来判别直角三角形全等，又由于两个直角三角形中已有两个直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等时，只需找另两个条件即可，但这两个条件中必须有一边对应相等.具体可以归纳如下：1．确定两直角边对应相等；2．确定一个锐角和一斜边对应相等；3．确定一个锐角和一直角边对应相等；三、应用举例判定直角三角形全等的方法：共有五种，分别是SSS、SAS、ASA、AAS、HL.但是我们在判定直角三角形全等时，首先考虑利用“HL” 条件，再考虑利用一般三角形全等的条件.例1、如图1，AD = BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足为E、F，AE = BF. 则∠A =∠B吗？为什么？分析：欲证∠A =∠B，须证△ADF≌△BCE，由已知CE⊥AB，DF⊥AB，得△ADF与△BCE是直角三角形，由斜边AD = BC，只需证一直角边相等即可，又由AE = BF，知AE+ EF = BF + FE，即AF = BE. 所以Rt△ADF≌Rt△BCE，从而得到结论.解：因为CE⊥AB，DF⊥AB，所以∠AFD=∠BEC=90°，因为AE = BF，所以AE+ EF = BF + FE，所以AF = BE.在Rt△ADF与Rt△BCE中，AD=BC，AF=BE，所以Rt△ADF≌Rt△BCE（HL），所以∠A =∠B。
探索直角三角形全等的条件1
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
则
BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠ABC=∠DEF (全等三角形对应角相等). 又 ∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
5、已知：A B⊥AC，CD ⊥AC，AD＝CB，
A
A'
C
B C'
B'
答：有五种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL
2、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述 条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,
A D
AB=AB, B AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴BC=BD (全等三角形对应边相等).
等”）ASA
D
根据
（用简写法）
（2）若 A= D，BC=EF，
则 △ABC与△ DEF 全等
A （填“全等”或
“不全等”）根A据AS
（用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，
B
F C
E
则△ ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或“不全
等”）S根A据S
（用简写法）
D
（4）若AB=DE，BC=EF，（填“全等”或“不全
等”）S根SS据
（用简写法）
学习目标：
掌握直角三角形全等的 条件，并能运用其解决一些 实际问题。
自学指导
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作 人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个 三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
（1）你能帮他想个办法吗？
北师大版七年级下册数学《探索三角形全等的条件》典型例题 含答案
北师大版七年级下册数学《探索三角形全等的条件》典型例题含答案教育专区初中教育数北师大版七年级下册数学《探索三角形全等的条件》典型例题含答案《探索三角形全等的条件》典型例题例1 分析下列结论：（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等（2）有两边和一角对应相等的两个三角形全等（3）判定两个三角形全等，至少需要一对对边应相等（4）三个角对应相等的两个三角形全等（5）三条边对应相等的两个三角形全等其中，正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2 如图，在ΔABCΔABCΔABC与ΔDCBΔDCBΔDCB中，如果AB=DC,AC=BDAB=DC,AC=BDAB=DC,AC=BD，那么ΔABCΔABCΔABC与ΔDCBΔDCBΔDCB全等吗？如果全等，请指出根据．例3 如图，A、F、C、D在同一直线上，AB⊥BC,DE⊥EF,BCFE,AF=DCAB⊥BC,DE⊥EF,BCFE,AF=DCAB⊥BC,DE⊥EF,BCFE,AF=DC，问ΔABCΔABCΔABC和ΔDEFΔDEFΔDEF能全等吗？如果全等请指出根据．例4 如下图，AB=DC,∠ABC=∠DCBAB=DC,∠ABC=∠DCBAB=DC,∠ABC=∠DCB，那么ΔABCΔABCΔABC≌ΔDCBΔDCBΔDCB吗？例5 如图，AC是∠DAB∠DAB∠DAB的角平分线，且AD=ABAD=ABAD=AB，试说明CD=CBCD=CBCD=CB．例6 如图，OA=OB,OC=OD,∠AOC=∠BODOA=OB,OC=OD,∠AOC=∠BODOA=OB,OC=OD,∠A OC=∠BOD那么，AD=BCAD=BCAD=BC吗？例7 已知：如图，AB=AC,DAB=AC,DAB=AC,D是BC中点，E是AD上任意一点，连接EB、EC，求证：EB=ECEB=ECEB=EC例8 如图，AB=AC,AD=AEAB=AC,AD=AEAB=AC,AD=AE，那么，CD=BECD=BECD=BE吗？例9 如图，AB=CD,ACAB=CD,ACAB=CD,AC和BD交于点O，且AC=BDAC=BDAC=BD，那么，∠B=∠C∠B=∠C∠B=∠C吗？参考答案例1 分析：（1）有两角和一边对应相等，只有两种情况：两角和夹边对应相等、两角和其中一角的对边对应相等，可以根据ASA、AAS判定全等，故（1）正确．（2）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形未必全等，如下图：故（2）错误．在ΔABCΔABCΔABC与ΔABDΔABDΔABD中AB=AB,AC=AD,∠B=∠BAB=AB,AC=AD,∠B=∠BAB=AB,AC=AD,∠B=∠B但显然ΔABCΔABCΔABC与ΔABDΔABDΔABD不全等．（3）观察四个判定三角形全等的条件（包括后面将要学习的HL），每一个都至少要求一对边对应相等，故（3）正确．（4）三个角对应相等的两个三角形未必全等，如下图所示的两个三角形：根据“SSS”，（5）正确．解：选C．例2 分析：在ΔABCΔABCΔABC与ΔDCBΔDCBΔDCB中，由于AB=DC,AC=BDAB=DC,AC=BDAB=DC,AC=BD，BC=CBBC=CBBC=CB，根据三边对应相等，两个三角形全等，可知ΔABCΔABCΔABC≌ΔDCBΔDCBΔDCB．解：ΔABCΔABCΔABC≌ΔDCBΔDCBΔDCB，根据SSSSSSSSS，即AB=DC,AC=DB,BC=CBAB=DC,AC=DB,BC=CBAB=DC,AC=DB,BC=CB．说明：判断两个三角形是否全等，应找其全等应满足的条件．例3 分析：在ΔABCΔABCΔABC和ΔDEFΔDEFΔDEF中，由AB⊥BC,DE⊥EFAB⊥BC,DE⊥EFAB⊥BC,DE⊥EF，可知∠ABC=∠DEF=90°∠ABC=∠DEF=90°∠ABC=∠DEF=90°；由BCFEBCFEBCFE，可知∠ACB=∠DFE∠ACB=∠DFE∠ACB=∠DFE；而由AF=DCAF=DCAF=DC可知AC=DFAC=DFAC=DF，所以根据AASAASAAS，可得ΔABCΔABCΔABC≌ΔDEFΔDEFΔDEF．解：ΔABCΔABCΔABC≌ΔDEFΔDEFΔDEF．根据：因为AB⊥BC,DE⊥EFAB⊥BC,DE⊥EFAB⊥BC,DE⊥EF，所以∠ABC=∠DEF=90°∠ABC=∠DEF=90°∠ABC=∠DEF=90°，又因为BCFEBCFEBCFE，所以∠ACB=∠DFE∠ACB=∠DFE∠ACB=∠DFE，因为AF=DCAF=DCAF=DC，所以AC=AF+FC=DC+FC=DFAC=AF+FC=DC+FC=DFAC=AF+FC=DC+FC=DF所以根据AASAASAAS得，ΔABCΔABCΔABC≌ΔDEFΔDEFΔDEF．说明：这个题也可以根据ASAASAASA来判断，请读者自行试一试．例4 分析：判定两个三角形全等，需要三个条件，已知两个条件：一对边对应相等，一对角对应相等，需要结合图形，寻找第三个条件，一般地，可以从以下几个方面考虑：①公共边②公共角③对顶角④直角．本题中有公共边，可以利用SAS来证明三角形全等，注意三个条件的罗列顺序，第一个是边相等，第二个是角相等，第三个是边相等．解：在ΔABCΔABCΔABC和ΔDCBΔDCBΔDCB中∵{AB=DC(已知)∠ABC=∠DCB(已知)BC=CB(公共边)∵left{begin{matrix}AB=DC(已知) ∠ABC=∠DCB(已知) BC=CB(公共边)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=DC(已知)∠ABC=∠DCB(已知)BC=CB(公共边)∴ΔABCΔABCΔABC≌ΔDCBΔDCBΔDCB（SAS）例5 分析：要说明CD=CBCD=CBCD=CB，只需说明ΔADCΔADCΔADC≌ΔABCΔABCΔABC，而AB=AD,AC=AC,∠DAC=∠BACAB=AD,AC=AC,∠DAC=∠BACAB=AD,AC=AC,∠D AC=∠BAC，所以ΔADCΔADCΔADC≌ΔABCΔABCΔABC．解：在ΔADCΔADCΔADC和ΔABCΔABCΔABC中，因为AD=AB,AC=ACAD=AB,AC=ACAD=AB,AC=AC，且AC平分∠DAB∠DAB∠DAB，即∠DAC=∠BAC∠DAC=∠BAC∠DAC=∠BAC．所以ΔADCΔADCΔADC≌ΔABCΔABCΔABC，根据是SASSASSAS，所以CD=CBCD=CBCD=CB．说明：在两个三角形中，来判断两个三角形的两条边相等，经常用判断这两个三角形全等的办法来判断，但需注意要判断相等的线段必须是这两个三角形的对应边．例6 分析：如果ΔAODΔAODΔAOD≌ΔBOCΔBOCΔBOC，那么AD=BCAD=BCAD=BC．通过在图形中表示已知条件可知，在ΔAODΔAODΔAOD和ΔBOCΔBOCΔBOC中有两对边对应相等，虽然还已知∠AOC=∠BOD∠AOC=∠BOD∠AOC=∠BOD，但是∠AOC∠AOC∠AOC和∠BOD∠BOD∠BOD不是这两个三角形的内角，不能直接利用“SAS”来证明全等，如果能证明∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC，就可以用“SAS”证明ΔAODΔAODΔAOD≌ΔBOCΔBOCΔBOC了．利用等式的性质，易证∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC．解：∵∠AOC=∠BOD∵∠AOC=∠BOD∵∠AOC=∠BOD（已知）∴∠AOC−∠AOB=∠BOD−∠AOB∠AOC−∠AOB=∠BOD−∠AOB∠AOC −∠AOB=∠BOD−∠AOB（等式的性质）即∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC在ΔAODΔAODΔAOD和ΔBOCΔBOCΔBOC中∵{OA=OB(已知)∠AOD=∠BOC(已证)OD=OC(已知)∵left{begin{matrix}OA=OB(已知) ∠AOD=∠BOC(已证) OD=OC(已知)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩OA=OB(已知)∠AOD=∠BOC(已证)OD=OC(已知)∴ΔAODΔAODΔAOD≌ΔBOCΔBOCΔBOC（SAS）∴AD=BCAD=BCAD=BC（全等三角形的对应边相等）例7 分析：本题比较复杂，可以用“综合—分析法”来证明，分析过程如下：（1）结合已知、求证观察图形，图中共有三组基本图形（哪三组？）．（2）看未知，需证EB=ECEB=ECEB=EC，只需证ΔABEΔABEΔABE≌ΔACEΔACEΔACE，或证ΔBEDΔBEDΔBED≌ΔCEDΔCEDΔCED．（3）看已知，AB=AC,DAB=AC,DAB=AC,D是BC中点，可得，BD=CDBD=CDBD=CD，不要忽略图形中隐含的已知条件AE、DE、AD是三对全等三角形的公共边．（4）找需知，只需证得∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE或∠BDE=∠CDE∠BDE=∠CDE∠BDE=∠CDE，即可得到上述两个三角形全等（恰当选择SAS来判定）（5）再看已知，三组对应边对应相等，可以利用SSS来证明ΔABDΔABDΔABD≌ΔACDΔACDΔACD，就得到∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE或∠BDE=∠CDE∠BDE=∠CDE∠BDE=∠CDE证明：∵D∵D∵D是BC中点∴BD=CDBD=CDBD=CD在ΔABDΔABDΔABD和ΔACDΔACDΔACD中∵{AB=AC(已知)BD=CD(已证)AD=AD(公共边)∵left{begin{matrix}AB=AC(已知) BD=CD(已证) AD=AD(公共边)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=AC(已知)BD=CD(已证)AD=AD(公共边)∴ΔABDΔABDΔABD≌ΔACDΔACDΔACD（SSS）∴∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE（全等三角形的对应角相等）在ΔABEΔABEΔABE和ΔACEΔACEΔACE中∵{AB=AC(已知)∠BAE=∠CAE(已证)AE=AE(公共边)∵left{begin{matrix}AB=AC(已知) ∠BAE=∠CAE(已证) AE=AE(公共边)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=AC(已知)∠BAE=∠CAE(已证)AE=AE(公共边)∴ΔABEΔABEΔABE≌ΔACEΔACEΔACE（SAS）∴EB=ECEB=ECEB=EC（全等三角形的对应边相等）例8 分析：本图比较复杂，很难找到证明哪两个三角形全等，故可以采用分解法，将图形分解成ΔABEΔABEΔABE和ΔACDΔACDΔACD 然后用相同的符号标示已知的相等条件，显然它们全等．解：在ΔABEΔABEΔABE和ΔACDΔACDΔACD中∵{AB=AC(已知)∠A=∠A(公共角)AE=AD(已知)∵left{begin{matrix}AB=AC(已知) ∠A=∠A(公共角) AE=AD(已知)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=AC(已知)∠A=∠A(公共角)AE=AD(已知)∴ΔABEΔABEΔABE≌ΔACDΔACDΔACD（SAS）∴CD=BECD=BECD=BE（全等三角形的对应边相等）例9 分析：假如ΔAOBΔAOBΔAOB≌ΔDOCΔDOCΔDOC，那么∠B=∠C∠B=∠C∠B=∠C，但是，已知的两组线段不是这两个三角形的边，为充分利用条件，可以添加辅助线：连接AD，这样易证∠B=∠C∠B=∠C∠B=∠C．解：连结AD在ΔABDΔABDΔABD和ΔDCAΔDCAΔDCA中∵{AB=DC(已知)AD=DA(公共边)AC=BD(已知)∵left{begin{matrix}AB=DC(已知) AD=DA(公共边) AC=BD(已知)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=DC(已知)AD=DA(公共边)AC=BD(已知)∴ΔABDΔABDΔABD≌ΔDCAΔDCAΔDCA（SSS）∴∠B=∠C∠B=∠C∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。
探索直角三角形全等的条件
如图，两根长度为12米的绳子， 如图，两根长度为12米的绳子，一端系 12米的绳子 在旗杆上， 在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩 两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？ 上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请 说明你的理由。 说明你的理由。
解： (1)∵在R t△ABC和Rt△DEF中 ∵ △ 和 △ 中 BC=EF AC=DF ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL) △ ≌ △ (2) ∵Rt△ABC≌Rt△DEF △ ≌ △ ∴∠ABC=∠DEF ∠ ∴∠ (全等三角形对应角相等 全等三角形对应角相等) 全等三角形对应角相等 又∵∠DEF+∠DFE=90° ∠ ° (直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的两个锐角互余) 直角三角形的两个锐角互余 ∴∠ABC+∠DFE=90° ∠ ∴∠ °
A
E
B
C
D
如图，有两个长度相同的滑梯， 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高 与右边滑梯水平方向的长度DF相等 度AC与右边滑梯水平方向的长度 相等， 与右边滑梯水平方向的长度 相等， (1)△ABC≌△DEF吗? △ABC≌△DEF吗 (2)两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小 两个滑梯的倾斜角∠ 两个滑梯的倾斜角 和 的大小 有什么关系？ 有什么关系？
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FC A 40° 40° D B
E
1、已知：如图AD、BC相交于 ，OA=OD， 、已知：如图 、 相交于 相交于O， ， 请你添加一个条件， 一个条件 请你添加一个条件，使△AOB≌△DOC, ≌ 并说明理由； 并说明理由； A A C C O B A C O B D D B O D
北师大版数学七年级下册《第五章三角形第8节探索直角三角形全等的条件》优秀教案
5.8 探索直角三角形全等的条件一、教学目标1、知识与技能目标：①培养学生用不同的方法探究发现直角三角形全等条件的能力；②掌握“斜边、直角边”公理；③熟练利用“斜边、直角边”公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等。
2、过程与方法目标：①引导学生用不同的方法探索三角形全等的方法；②通过交流与研讨，让学生学会在活动过程中学会与人合作与人交流；③指导学生自己动手发现问题探索解决问题；④渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法。
3、情感与态度目标：①通过现实背景图的展现，让学生体验几何的图形美；②培养学生解决复杂问题的信心，获得成功的体验；③鼓励学生用自己的语言解决问题。
二、教学重难点：1、重点：“斜边、直角边”公理的掌握2、难点：“斜边、直角边”公理的灵活运用三、教学手段：多媒体四、教学过程；（一）复习问题：三角形全等的判定方法有哪几种？（学生答：SAS、ASA、AAS、SSS）（二）新课引入1、舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。
提问：⑴你能帮他想个办法吗？⑵如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？① 学生可以回答去量斜边和一锐角，学生间进行交流与讨论 ② 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个三角形是全等的”，你相信他的结论吗？2、 引导学生探索做一做：已知线段a=4cm 、c=5cm 和一个直角α,利用尺规作一个Rt △ABC ，使∠c=∠α,AB=5cm,CB=a=3cm按照下面的步骤做一做（1） 作∠MCN=∠α=90° （2） 在射线CM 上截取线段CB=a（3） 以B 为圆心，C 为半径画弧交射线CN 于点A （4） 连接AB 。
学生动手画，同桌两同学剪下来比较 用多媒体展示其过程，画两次看所得的两个三角形是否全等。
《探索三角形全等的条件》数学教案
《探索三角形全等的条件》数学教案教员以探求义务引导先生自学自悟的方式，提供了先生自主协作探求的舞台，营建了思想驰骋的空间，在阅历知识的发现进程中，培育了先生分类、探求、协作、归结的才干。
为了更好的将教与学无机结合，提高课堂教学效率，数学网小编与大家分享2021年«探求三角形全等的条件»数学教案，希望大家在学习中失掉提高。
一、教学内容剖析本节课选自北师大版«七年级数学下册»第五章第四节探求三角形全等的条件第一课时，本节课探求第一种判定方法—边边边，为了使先生更好地掌握这一局部外容，遵照启示式教学原那么，用设问方式创设效果情形，设计一系列实际活动，引导先生操作、观察、探求、交流、发现、思想，真正把先生放到主体位置，开展先生的空间观念，体会剖析效果、处置效果的方法，积聚数学活动阅历，为以后的证明打下基础。
二、先生学习状况剖析先生的知识技艺基础：先生在前几节中，曾经了解了三角形的有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，以及三角形三边之间的关系、图形的全等，对本节课要学习的三角形全等条件中的〝边边边〞和三角形的动摇性来说曾经具有了一定的知识技艺基础。
先生活动阅历基础：在相关知识的学习进程中，先生曾经阅历了一些探求图形全等的活动，经过拼图、折纸等方式处置了一些复杂的理想效果，取得了一些数学活动阅历的基础;同时在以前的数学学习中先生曾经阅历了很多协作学习的进程，具有了一定的协作学习的阅历，具有了一定的协作与交流的才干。
三、设计思想我们所在的学校处于郊区，教学设备完全，先生学习基础较好，在这之前他们已了解了图形全等的概念及特征，掌握了全等图形的对应边、对应角的关系，这为探求三角形全等的条件做好了知识上的预备。
另外，先生也基本具有了应用条件拼出三角形的才干，具有探求的热情和愿望，这使先生能自动参与本节课的操作、探求。
遵照启示式教学原那么，采用引探式教学方法。
用设问方式创设效果情形，设计一系列实际活动，引导先生操作、观察、探求、交流、发现、思想，真正把先生放到主体位置，开展先生的空间观念，体会剖析效果、处置效果的方法。
小学数学课件1124 三角形全等条件4直角三角形精品文档
F
A
E
G
C
D
变式2：
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
想一想：BD平分EF吗?
B
E
C
A
FG
D
如图，有两个长度相同的滑梯 ，左边滑梯的高度AC与右边滑
实际应用
梯水平方向的长度DF相等，两
个滑梯的倾斜角∠ABC和
∠DFE的大小有什么关系？ 议一议
∠ABC+∠DFE=90°
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中
思考：
1：如图：Rt△ACB、与Rt△A1C1B1中，∠C与∠C1是直角， 用我们已经学过的知识，除了两直角相等以外，你还能补
充哪些条件就能使这两个直角三角形全等？
A
A1
C
B
C1
B1
2: 如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相 等，这两个直角三角形全等吗？
画一画：
画一个Rt△ACB ，使∠C﹦90°，AB=4cm,AC=3cm. （1）：你能试着画出来吗？
§11.2.4 三角形全等的条件
同江市第三中学 刘兆来
想一想：
1：如图:(1) △ABC≌△DEF，指出它们的对应
顶点、对应角、对应边。
AD
AB——DE AC——DF
BC——EF
∠A——∠D
B
E
∠B——∠DEF
C
F ∠ACB——∠F
2：我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？
（SSS）、（SAS）、（ASA）、（AAS）
（2）：把画好的Rt△ACB与同桌交流一下,能否完全 重合?
(3)：你能写出画法吗?
规律：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 简写成“斜边、直角边”或“HL”.
七年级数学探索直角三角形全等的条件
c
M B a C
α
如何判断你所作的三角形和其他同 学所作的三角形是否全等？
M B a
c
C A N 剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较， 完全重合说明这两个三角形全等。（全等三角形定义） 测量AC的长度，若相等，说明这两个三角形全等。（SSS） 测量∠CBA的大小，若相等，说明这两个三角形全等。 （SAS或ASA或AAS）
地,翠绿の原始森.林占据着这里大概三成左右の面积,甚至这颗星辰の直径都和地球差不多,而且海洋占七成の面积,陆地占三成左右.这里の气压,还有重力系统都和地球十分相似,只是这颗星辰周围,没有太阳,没有月亮罢了.它の光源,似乎来自自己.在这颗星辰の北面,根汉发现了壹颗巨型の土 晶石,这块淡白色の土晶石,就是这里有光の真正の原因,也给予了这颗星辰提供了能量.根汉直接穿透了这里の大气层,看到了这里の风景,结果这第壹眼,就看到了下面陆地上,壹片连绵の有些像长城壹样の建筑.在下面の陆地上,绵延了有大概三四千里之长."乖乖."根汉想大叫出声,甚至都想叫出 长城の名字了,这种亲切感让他十分振奋,好些年没有这样の兴奋の感觉了.<b>（正文叁00叁古星）叁00肆灵狐..ilou.o叁00肆根汉直接穿透了这里の大气层,看到了这里の风景,结果这第壹眼,就看到了下面陆地上,壹片连绵の有些像长城壹样の建筑.在下面の陆地上,绵延了有大概三四千 里之长."乖乖."根汉想大叫出声,甚至都想叫出长城の名字了,这种亲切感让他十分振奋,好些年没有这样の兴奋の感觉了.他往下飞了飞,离近了壹些,看到了这长古城墙の全貌.很显然这里不会是长城,只是壹条类似于长城の建筑,和长城壹样,也是沿着山脉建造の,只不过却比地球上の长城要威武 得多了.因为这条古城墙几乎都是建在千米以上の山峰上,壹路连绵了数
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c
c A N
α
Rt△ABC即为所求作的三角形 △ 即为所求作的三角形. 即为所求作的三角形
2011-12-12
城阳区第二实验中学
探索交流
（1）我们所画的这些三角形满足了哪些条件？ 我们所画的这些三角形满足了哪些条件？ （2）剪下这个三角形，和其他同学所作的 ）剪下这个三角形， 三角形进行比较，它们能重合吗？ 三角形进行比较，它们能重合吗？ 探究结论：如果两个直角三角形满足一条直 探究结论：如果两个直角三角形满足一条直 角边与斜边分别对应相等 分别对应相等， 角边与斜边分别对应相等，那么这两个直角 三角形全等. 三角形全等.
2011-12-12 城阳区第二实验中学
直角三角形全等的特殊判定条件
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角 HL”. 形全等.简写成“斜边、直角边” 形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.
符号语言： 符号语言：∵∠B=∠E=90° ∠ ° 在Rt△ABC与Rt△DEF中， △ 与 △ 中 AC= DF C AB = DE ∴Rt △ABC ≌ Rt △ DEF（HL） （ ）
∴ BD=CD
2011-12-12 城阳区第二实验中学
回顾总结
你能够用几种方法说明两个直角 三角形全等？ 三角形全等？ 直角三角形是特殊的三角形，所以不 直角三角形是特殊的三角形， 仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、 仅有一般三角形判定全等的方法 、 ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊 、 、 ， 的判定方法——“HL”. 的判定方法
2011-12-12 城阳区第二实验中学
BE于 BE,垂足为 垂足为E 2、如图，AB ⊥ BE于B，DE ⊥ BE,垂足为E， 如图， D，AB=DE， （1）若∠ A= ∠D，AB=DE， 则 △ ABC与 △ DEF 全等 （填“全等”或“不全 ABC与 全等” （用简写法） 等”）ASA 根据 用简写法） （2）若∠ A=∠ D，BC=EF， D，BC=EF， ABC与 全等” 则 △ ABC与 △ DEF 全等 （填“全等”或“不全 用简写法） 等”）根据 （用简写法） AAS （3）若AB=DE，BC=EF， AB=DE，BC=EF， ABC与 全等” 则△ ABC与△ DEF 全等 （填“全等”或“不全 用简写法） SAS 等”）根据 （用简写法） AB=DE，BC=EF， （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF ABC与 全等” 则 △ ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或“不全 SSS （用简写法） 用简写法） 等”）根据
B
A D
2011-12-12
城阳区第二实验中学
直角三角形全等特殊判定方法（HL） １.直角三角形全等特殊判定方法（HL） ２.直角三角形全等的判定方法: SAS、ASA、AAS、SSS，HL； SAS、ASA、AAS、SSS，HL； 数学在实际生活中的应用; ３.数学在实际生活中的应用; ４．……. .
2011-12-12
城阳区第二实验中学
如图AB ⊥CD，你能添上一个直接条件使 如图 ，
A
Rt△ ABC ≌Rt△ ABD吗？ △ △ 吗 说说你的根据. 说说你的根据
B HL 方法1 添加条件AC=AD 根据_______ AC=AD， 方法1：添加条件AC=AD，根据_______ 方法2 添加条件_______，根据AAS 方法2：添加条件_______，根据AAS _______ ∠C=∠D ∠
5.7探索直角三角形全等的条件 5.7探索直角三角形全等的条件
城阳区第二实验中学
2011-12-12 城阳区第二实验中学
刘小捷
1.判断两个三角形全等的方法有： 1.判断两个三角形全等的方法有： 判断两个三角形全等的方法有
(1)： SSS ； ：
(2)： SAS ； ： (3)： ASA ； ： (4)： AAS ； ：
ASA 方法3 添加条件∠CAB=∠BAD，根据_____ 方法3：添加条件∠CAB=∠BAD，根据_____
C
┓
D
方法4 添加条件BC=BD _______，根据SAS 方法4：添加条件_______，根据SAS _______
2011-12-12 城阳区第二实验中学
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 如图，有两个长度相同的滑梯， AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等 与右边滑梯水平方向的长度DF相等， AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等， (1)△ABC≌△DEF吗 (1)△ABC≌△DEF吗? (2)两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么 两个滑梯的倾斜角∠ 两个滑梯的倾斜角 和 的大小有什么 关系？ 关系？
你相信他的结论吗？ 你相信他的结论吗？
2011-12-12 城阳区第二实验中学
探 究 验 证
已知线段a 已知线段a，c(a﹤c)和一个直角α，利用尺规作 和一个直角α 一个Rt△ABC,使∠C= ∠α，直角边CB=a， 一个Rt△ABC,使 ∠α 直角边CB=a， Rt CB=a 斜边AB=c. 斜边AB=c. a
2011-12-12
∴BC=BD
城阳区第二实验中 E
F B C
D
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工 作人员想知道这两个直角三角形是否全等， 作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个 三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. 三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
A E
C D
B
现有测量角的工具和卷尺， 现有测量角的工具和卷尺，你能帮他想个办法 验证全等吗？ 验证全等吗？ SAS ASA AAS
2011-12-12 城阳区第二实验中学
A
C
B
E
D
如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边， 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现 直角边 对应相等， 它们分别对应相等 于是他就肯定“ 它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的 ”.
2011-12-12 城阳区第二实验中学
A
D
B E
F
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上， 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上， 12米的绳子 另一端分别固定在地面两个木桩上， 另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。 杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。 解：BD=CD 理由： 理由： ∵ ∠ADB=∠ADC=90° ∠ ° 在Rt△ADB和Rt△ADC中 △ 和 △ 中 AB=AC AD=AD Rt△ABD≌Rt△ACD(HL HL) ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
2011-12-12 城阳区第二实验中学
如图，AC=AD， 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，你能说明BC与BD相等 是直角，你能说明BC与BD相等 BC 吗？
C 结论： 解 ：结论：BC=BD 理由： 理由：∵ ∠C= ∠D=90° ° 在Rt△ACB和Rt△ADB中 △ 和 △ 中 A B AB=AB, AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). △ ≌ △ D
2011-12-12
城阳区第二实验中学
E C
解 (1) ∵∠CAB=∠EDF=90° ∠ ° 在R t△ABC和Rt△DEF中 △ 和 △ 中 BC=EF AC=DF F ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL) △ ≌ △ (2) ∵Rt△ABC≌Rt△DEF △ ≌ △ ∴∠B=∠DEF ∴∠ ∠ 又∵∠DEF+∠DFE=90° ∠ ° ∴∠B+∠ ∴∠ ∠DFE=90° °