数学知识点人教B版选修(2-1)1.3.1《推出和充分条件、必要条件》word学案2-总结

2010届高三数学一轮复习强化训练精品――命题及其关系、充分条件与必要条件基础自测1.(2009·成化高级中学高三期中考试)若命题“对∀x ∈R ，x 2+4cx +1＞0”是真命题，则实数c 的取值范围是 . 答案 )21,21(-2.（2008·湖北理，2）若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B =C ，且B 不是A 的子集，则下列说法中正确的是 .(填序号)①“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件② “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件③ “x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件④“x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件 答案3.若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的 命题. 答案 否4.（2008·浙江理，3）已知a ,b 都是实数,那么“a 2＞b 2”是“a ＞b ”的 条件. 答案 既不充分也不必要 5.设集合A 、B ，有下列四个命题：①AB ⇔对任意x ∈A 都有x ∉B ;②AB ⇔A ∩B =∅;③AB ⇔BA ;④AB ⇔存在x ∈A ,使得x ∉B .其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）答案 ④例1 把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.（1）正三角形的三内角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）已知a ，b ，c ，d 是实数，若a =b ,c =d ,则a +c =b +d .解 （1）原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等”.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形（或写成：三个内角相等的三角形是正三角形）.否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形（或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形）.（2）原命题即是“若两个三角形全等，则它们的面积相等.”逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等（或写成：面积相等的三角形全等）.否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等（或写成：不全等的三角形面积不相等）. 逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等.（3）原命题即是“已知a ,b ,c ,d 是实数，若a =b ,c =d ，则a +c =b +d ”.其中“已知a ,b ,c ,d 是实数”是大前提，“a 与b ,c 与d 都相等”是条件p ，“a +c =b +d ”是结论q ，所以逆命题：已知a ,b ,c ,d 是实数，若a +c =b +d ，则a 与b ，c 与d 都相等. 否命题：已知a ,b ,c ,d 是实数，若a 与b ,c 与d 不都相等，则a +c ≠b +d .逆否命题：已知a ,b ,c ,d 是实数，若a +c ≠b +d ,则a 与b ,c 与d 不都相等.例2 指出下列命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）在△ABC 中，p ：∠A =∠B ，q ：sin A =sin B（2）对于实数x 、y ，p ：x +y ≠8,q :x ≠2或y ≠6;（3）非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；（4）已知x 、y ∈R ，p ：（x -1）2+（y -2）2=0，q ：（x -1）（y -2）=0.解 （1）在△ABC 中，∠A =∠B ⇒sin A =sin B ，反之，若sin A =sin B ，因为A 与B 不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A =B .故p 是q 的充要条件. (2)易知: ⌝p:x +y =8, ⌝q :x =2且y =6,显然⌝q ⇒⌝p .但⌝p ⌝q ,即⌝q 是⌝p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ,所以p 是q 的必要不充分条件. (4)条件p :x =1且y =2,条件q :x =1或y =2,所以p ⇒q 但q p ,故p 是q 的充分不必要条件. 例3（14分）已知ab ≠0求证：a +b =1的充要条件是a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0.证明∵a +b =1，∴a +b -1=0， 2∴a 3+b 3+ab -a 2-b 2=（a +b ）（a 2-ab +b 2）-（a 2-ab +b 2） 5=（a +b -1）（a 2-ab +b 2）=0. 7∵a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0即（a +b -1）（a 2-ab +b 2）=0， 9又ab ≠0,∴a ≠0且b ≠0,∴a 2-ab +b 2=（a -43)22+b b 2＞0,∴a +b -1=0,即a +b =1, 12分 综上可知,当ab ≠0时,a +b =1的充要条a 3+b 3+ab -a 2-b 2=0. 14分1.写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.解 （1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”. 原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”. 原命题是假命题，否命题是真命题.2.（ 2008·湖南理，2）“|x -1|＜2成立”是“x (x -3)＜0成立”的 条件. 答案必要不充分3.证明一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0.证明 充分性：若ac ＜0,则b 2-4ac ＞0,且ac ＜0,∴方程ax 2+bx +c =0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根，则Δ=b 2-4ac ＞0,x 1x 2=ac＜0,∴ac ＜0.综上所述，一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0.一、填空题1.下列命题：①5＞4或4＞5；②9≥3；③命题“若a ＞b,则a +c ＞b +c ”的否命题；④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为 . 答案 12.（2008·重庆理，2）设m ，n 是整数，则“m ，n 均为偶数”是“m +n 是偶数”的 条件.答案 充分不必要3. “x ＞1”是“x 2＞x ”的 条件. 答案 充分不必要4.（2009·成化高级中学高三期中考试）已知函数f (x )=ax +b (0≤x ≤1),则“a +2b ＞0”是“f (x )＞0”恒成立的 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 答案 必要不充分5.在△ABC 中，“sin2A =23”是“A =30°”的 条件. 答案 必要不充分性6.（2008·安徽理，7）a ＜0方程ax 2+2x +1=0至少有一个负数根的 条件. 答案 充分不必要7.设集合A ={},4|||<x x B {},034|2>+-=x x x 则集合{}B A x A x x ∉∈且|= .答案 {}31|≤≤x x8.设A ={},1)1(|),(22=-+y x y x B {},0|),(≥++=m y x y x 则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是 . 答案 m 12-≥二、解答题9. 求关于x 的方程x 2-mx +3m -2=0的两根均大于1的充要条件.解 设方程的两根分别为x 1、x 2，则原方程有两个大于1的根的充要条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->-+-≥--=∆,0)1)(10)1()1(,0)23(421212x x x x m m （，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++->-+≥+-=∆.01)(02)(,08122121212x x x x x x m m ，又∵x 1+x 2=m ,x 1x 2=3m -2,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-≤+≥.21,2,726726m m m m 或故所求的充要条件为m ≥6+27. 10. 已知x ,y ∈R.求证：|x +y |=|x |+|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明（充分性）若xy ≥0,则x ,y 至少有一个为0或同号.∴|x +y |=|x |+|y |一定成立. （必要性）若|x +y |=|x |+|y |,则(x +y )2=(|x |+|y |)2,x 2+2xy +y 2=x 2+2|xy |+y 2,∴xy =|xy |,∴xy ≥0.综上，命题得证.11. a ,b ,c 为实数，且a =b +c +1.证明：两个一元二次方程x 2+x +b =0,x 2+ax +c =0中至少有一个方程有两个不相等的实数根. 证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根，则1=1-4b ≤0,Δ2=a 2-4c ≤0,∴Δ1+Δ2=1-4b +a 2-4c ≤0.∵a =b +c +1,∴b +c =a -1.∴1-4(a -1)+a 2≤0,即a 2-4a +5≤0.但是a 2-4a +5=(a -2)2+1＞0,故矛盾.所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.12.设α、β是方程x 2-ax +b =0的两个根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α、β均大于1的什么条件？解 令p :a ＞2,且b ＞1;q : α＞1,且β＞1,易知α+β=a , αβ=b .①若a ＞2,且b ＞1,即，⎩⎨⎧>>+12αββα不能推出α＞1且β＞1. 可举反例：若⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+，2163216βααββα，则所以由p 推不出q②若α＞1,且β＞1，则α+β＞1+1=2, αβ＞1.所以由q 可推出p .综合知p 是q 的必要不充分条件，也即a ＞2,且b ＞1是两根α、β均大于1的必要不充分条件.。