5-Ch4-1 抽样分布与点估计

5. X ~ N ( , 2 ) ( X , X ,, X ) : s 2 X X 1 2 n X
1
Y ~ N ( Y , ) (Y1 , Y2 ,, Yn ) : s
2 Y与Y独立
2 X 2 Y 2 sX 则： F 2 ~ F ( n1 1, n2 1) sY
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
4.5 点估计 （Point Estimation)
数理统计的任务： 根据样本推断总体的统计规律性。 参数估计： 根据样本数据，对总体 X 分布中的 未知参数进行估计。
点估计 参数估计的两种方法 区间估计
4.2 基本概念
1. 个体、观测与总体
（1）个体（Elementary unit)： 某个被测量的对象（如：一个灯泡） （2）抽样框（Frame): 全部个体的名单（list) （3）观测(Observation)： 某个个体在测量变量上的取值 （如：一个灯泡的寿命） （4）总体（Population)： 所有观测的集合 总体可以用一个随机变量来表示。 例如，X是一个正态总体： X ~ N ( , 2 )
“放回抽样”的基本性质： （1）代表性： 每一个随机变量Xi 与总体同分布 （2）独立性： 样本抽取是独立、随机进行的
例：9个白球，1个黑球。抽出两个球:（X1, X2) 放回抽样 9 9 P ( X 1 白） ， P ( X 2 白 X 1 白） 10 10 不放回抽样 9 8 P ( X 1 白） ， P ( X 2 白 X 1 白） 10 9
年份 1936 1940 1944 1948 预测共和党得票 44 48 48 50 共和党实际得票 有利于共和党的 偏差 38 6 45 3 46 2 45 5
Gallup民意测验在1948年后总统选举中的记录
(随机抽样：访问员无任何自主处理的权利）
年份 1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 样本容量 5385 8144 8015 6625 4414 3689 3439 3500 3456 4089 获胜候选人 艾森豪威尔 艾森豪威尔 肯尼迪 约翰逊 尼克松 尼克松 卡特 里根 里根 布什 预测值 51.0% 59.5% 51.0% 64.0% 43.0% 62.0% 49.5% 55.3% 59.0% 56.0% 选举结果 55.4% 57.8% 50.1% 61.3% 43.5% 61.8% 51.1% 51.6% 59.2% 53.9% 误差 +4.4% -1.7% -0.9% -2.7% -0.5% -0.2% +1.6% -3.7% -0.2% -2.1%
大样本：n 30 小样本：n < 30 （3）样本值：一次实际抽取( x1, x2 , …, xn)
3. 简单随机抽样
在含有N个元素的总体中，抽取容量为n的样本。
简单随机抽样（Simple random sampling) 如果每一个容量为 n 的可能样本被抽到的概 率都是一样的。
有限总体N 无放回抽样 简单随机抽样 无限总体N 放回抽样
第四章 参数估计
— — — — 基本概念 常用统计量及其分布 点估计 区间估计
4.1 统计推断的意义
问题： 为什么要做统计推断?
普查( Census ）的代价：
1. 费用昂贵
2. 时间过长 3. 观测值几乎是无穷个 4. 毁坏性实验 5. 精度:
由一个训练有素的调查人员得到的样本统 计结果，可能比没有受过训练的人进行普查得 到的结果更准确.
1n 2、 X ~ N ( , ) ( X 1 , X 2 , , X n ) : X X i n i 1 2 X X ~ N ( , ) 则： Z ~ N (0,1) / n X Z ~ N (0,1)
2

练习：设 = 0.05 ，求： PZ PZ 0.975 查表求 ： =1.96
x 1 1 1 D( p ˆ ) D 2 D( x ) 2 np(1 p) p(1 p) n n n n 根据中心极限定理，当大样本时（np>5, nq>5) 1 p ˆ ~ N p, p(1 p ) q = (1-p ) n p ˆp Z ~ N (0,1) p(1 p ) n
= 0.05： =1.96 = 0.10： =1.645
1n 3. X ~ N ( , ) ( X 1 , X 2 ,, X n ) : X X i n i 1 X n 1 2 2 则： t ~ t ( n 1) (Xi X ) S S/ n n 1 i 1
4.3 常用统计量及其分布
1.
1n X ~ N ( , ) ( X 1 , X 2 , , X n ) : X X i n i 1 则： X ~ N ( , 2 / n )
2
因为X1, X2 , …, Xn 服从正态分布，所以 1n X X i ~ N ( , 2 ) n i 1 1n 1n 1n E( X ) E X i E( X i ) n i 1 n i 1 n i 1 1n 1 n 1 n 2 2 2 D( X ) D X i 2 D( X i ) 2 / n n i 1 n i 1 n i 1
1936年美国总统竞选（Gallup的预测）
样本容量3000人，在《摘要》公布其预测结果之前，仅以一个 百分位数的误差预言了《摘要》的预测结果。 利用一个约5万人的样本，正确地预测了Roosevelt的胜利。
盖洛普预言《摘要》的预测结果 《摘要》预测的选举结果 盖洛普预测的选举结果 选举结果 Roosevelt的百分数 44 43 56 62
例如 : 调查某公司 500 位职工的工资收入
(1) 个体:
每一个职工 (2) 抽样框:
500位职工的名单
(3)观测: 每一个职工的工资收入
(4)总体:
500名职工的收入集合
抽样框的设计: 《Literary Digest 》民意调查
1936年美国总统选举 F.D. Roosevelt (罗斯福）任美国总统的第一任期届满(民主党) A. Landon (兰登）Kansas州州长(共和党) 经济背景：国家正努力从大萧条中恢复，失业人数高达九百 万人。 The literary Digest《文学摘要》进行民意测验，将问卷邮寄给 一千万人，他们的名字和地址摘自电话簿或俱乐部会员名册。 其中240万人寄回答案（回收率24%）。 预测结果：Roosevelt 43%, Landon 57% 竞选结果： Roosevelt 62%, Landon 38% 主要原因： 选择偏倚——将一类人排除在样本框之外 （当时四个家庭中，只有一家安装电话） 不回答偏倚——低收入和高收入的人倾向不回答
练习：对于 = 0.05，求
PF (9,14) F F 2.65
ˆ 6. 样本比率 p
例： 在n个样品中，当废品的个数是 x 时，废 品的比率是 p ˆ x/n x 1 1 E( p ˆ ) E E( x ) np p n n n
4. 样本统计量 (statistic)
用样本构造一个函数，用于推断总体参数。
ˆ f ( X ,, X ) 1 n
注意：统计量中不包含任何未知参数。
例： X ~ N ( , 2 ) ( X 1 , X 2 ,, X n )
，未知。
1n 1 n 2 2 则： X Xi ,S ( X i X ) 是统计量。 n i 1 n 1 i 1 n 而 n 不是统计量 Xi i 1 1n X i 服从什么分布——抽样分布 问题：统计量 X n i 1
Sampling Distribution
X ~ N ( , 2 ) ( X 1 , X 2 ,, X n ) X ~ N ( , 2 / n ) X ( 2) Z ~ N (0,1) / n X (3) t ~ t ( n 1) S/ n p ˆp ( 4) Z ~ N (0,1) pq / n (1) (5) 2 ( n 1) S 2
X N ( , 2 / n )
则有:
X Z ~ N (0,1) S/ n
n 30
参见图6 .4 (P153)
例题: P150-152 (关于样本均值的分布)
总体分布（Population Distribution) 总体中所有观测值所形成的相对频数分布
0.3
N=4, n=2
x1=1, x2=2, x3=3, x4=4
xi
1 2 3 4
频数
频率
0.25 0.2
1 1 1 1
0.25 0.25 0.25 0.25
0.15 0.1 0.05 0
x
1
2
3
4
抽样分布（Sampling Distribution) 0.3 样本均值的概率分布
x
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.9 频数 1 2 3 4 3 2 1 频率 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16
方法：
从《摘要》要用的名单中随机选取3000人，并给他 们每人寄去一张明信片，询问他们打算怎样投票。
大样本并不能防止偏倚：当抽样框不正确时，抽取一个大的样本并
无帮助，它只不过是在较大的规模下，去重复基本错误。
Gallup1936~1948年采用定额抽样
定额抽样：样本被精心挑选，以使在某些关键特征上与 总体相似。在规定定额内，访问人员可以自由选取任何人。 例如：在 St. Louis 的访问人员访问13个对象，并规定其中 6人住在近郊，7人住在市中心； 男人7名，女人6名； 在男人中，3人40岁以下，4人40岁以上；1名黑人，6名白人。 6名白人支付的月租：1人支付的金额不少于44.01$ 3人支付的金额为18.01~ 44.00 $ 2人支付的金额不超过18.00 $